ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

Transcript

1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ () ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματιά ενδεχόμενα Α αι A ισχύει: P(A ) = - P(A) Μονάδες 7 Α. Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή ύμανση. Μονάδες Α. Τι ονομάζεται παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x o του πεδίου ορισμού της; Μονάδες Α. Να χαρατηρίσετε τις προτάσεις που αολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε άθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) lim (συνx) = συνxo x x o β) ( c f(x) ) = c f (x) (μονάδες ) (μονάδες ) γ) Σε μια ποσοτιή μεταβλητή αντί του ραβδογράμματος χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχνοτήτων. (μονάδες ) δ) Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής Χ χαρατηρίζεται ομοιογενές, όταν ο συντελεστής μεταβολής ξεπερνά το 0% (μονάδες ) ε) Δύο ενδεχόμενα Α αι Β ενός δειγματιού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα, όταν Α Β Ø (μονάδες ) Μονάδες 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Β x Δίνεται η συνάρτηση ( ) f(x) = e x, x Θεωρούμε επίσης δύο ενδεχόμενα Α αι Β ενός δειγματιού χώρου Ω με f(x ) = e P(A) = x αι P( Β) όπου η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x Β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία αι τα αρότατα. Μονάδες Β. Να αποδείξετε ότι P( A ) = αι PB ( ) = Β. Να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα Α αι Β δεν είναι ασυμβίβαστα αι Β. Να αποδείξετε ότι P( Α Β ) ΘΕΜΑ Γ Μονάδες Μονάδες 5 Μονάδες 8 Εξετάζουμε ένα δείγμα μεγέθους ν ως προς μία ποσοτιή μεταβλητή Χ αι ομαδοποιούμε τις παρατηρήσεις του δείγματος σε 5 ισοπλατείς λάσεις πλάτους c, όπως φαίνεται στον παραάτω πίναα: Κλάσεις [α, ) Κεντριές τιμές x i f i % F i F i % λ [, ) λ + 0 [, ) [, ) λ λ + 0 [, ) λ λ + 0 Σύνολα Δίνεται ότι οι αθροιστιές σχετιές συχνότητες F αι F 5 είναι οι ρίζες της εξίσωσης: 5x 8x + = 0, όπου x αι ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

3 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ. Να αποδείξετε ότι = αι λ = 0 Μονάδες 8 Γ. Να αποδείξετε ότι f % = 0, f % = 0, f % = 0, f % = 0 αι f 5 % = 0 Μονάδες 5 Γ. Αν το 5% των παρατηρήσεων είναι μιρότερες του αι το 5% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες ή ίσες του, τότε να αποδείξετε ότι α = 0 αι c = (μονάδες ) Στη συνέχεια να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίναα ατάλληλα συμπληρωμένο. (μονάδες ) Μονάδες 8 Γ. Αν το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μεγαλύτερες ή ίσες του είναι 800, τότε να υπολογίσετε το μέγεθος του δείγματος. Μονάδες ΘΕΜΑ Δ x Δίνεται η συνάρτηση f(x) = +, x αι ο δειγματιός χώρος x+ Ω = { ω, ω, ω, ω }, όπου ω = -, ω = 0 αι < ω < ω Δίνονται, επίσης, οι πιθανότητες ( ) P ω f( ω ) i = i, όπου i =, αι P( ω ) = li m x f(x) x Δ. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α, Β αι Γ του δειγματιού χώρου Ω με { }, Β = { ω Ω f(ω) > } A = ω Ω f(ω) 0 αι Γ = ω Ω x + ωx για άθε x α) Να βρείτε τις πιθανότητες P( ω ), P ( ω ), P ( ω ) αι P( ω ) (μονάδες 8) ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

4 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ β) Να βρείτε τις πιθανότητες P(Α), P(Β), P(Γ) αι P(A-B) (μονάδες 8) Μονάδες Δ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφιής παράστασης της f, η οποία σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία 5 ο Μονάδες Δ. Αν Μ (ω, y ), =,,, είναι σημεία της εφαπτομένης (ε): y = x + με δ = δ αι ω y Ry = 5 τότε να υπολογίσετε τα ω αι ω του δειγματιού χώρου Ω, όπου δ ω : η διάμεσος των τετμημένων των σημείων Μ, δ y : η διάμεσος των τεταγμένων των σημείων Μ αι R y : το εύρος των τεταγμένων των σημείων Μ Μονάδες 5 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομιά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία αι το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο αι να μην γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε αμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο αι τα φωτοαντίγραφα.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εφώνηση, αι ΜΟΝΟ για πίναες, διαγράμματα λπ.. Κάθε απάντηση επιστημονιά τεμηριωμένη είναι αποδετή. 5. Διάρεια εξέτασης: τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 8:5 KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 0 IOYNIΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολιό βιβλίο σελίδα 5 A. Σχολιό βιβλίο σελίδα 9 A. Σχολιό βιβλίο σελίδα Α. α. Σωστό, β. Σωστό, γ. Σωστό*, δ. Λάθος, ε. Λάθος. *έπρεπε να δίνεται ότι η μεταβλητή είναι ποσοτιή διαριτή ΘΕΜΑ Β Β. x x x x f (x) = e (x - ) = e (x - ) + e = e (x - ) x f (x) = 0 e (x - ) x = x - f (x) - + f (x) + Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο -,, ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο, +. Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x = την τιμή f (x ) = f = e - = e(-) = - e

6 Β. Ρ (A) = x = f (x ) - e e e Ρ (B) = - = - = = Β. Έστω ότι Α, Β είναι ασυμβίβαστα Ισχύει ο απλός προσθετιός νόμος 7 Ρ (Α Β) = Ρ (Α) + Ρ (Β) = + = > 0 ΑΤΟΠΟ Άρα τα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα. Β. Α - B = Α (Β ) = Α Β = Β Α = Β - Α Β - Α Β Ρ(Β - Α) Ρ(Β) Ρ(Α - Β ) () ή Α - Β Α Ρ(Α - Β ) Ρ(Α ) Ρ(Α - Β ) < Θα δείξουμε ότι Ρ(Α - Β ) Ρ(Β - Α) Ρ(Β) - Ρ (Α Β) - Ρ (Α Β) Ρ (Α Β) - Ρ (Α Β) που ισχύει διότι Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Α Β) άρα Ρ(Α - Β ) ( ) Από () αι () : Ρ(Α - Β ) ()

7 ΘΕΜΑ Γ Γ. F 5 = αι F 5 % = 00 Από τύπους Vieta έχουμε : 8 8 F + F = F + = F = F 5 = F = 5 F F 5 = F = = = = F % = 00 λ - λ + 0 = 00 λ - λ - 70 = 0 Δ = 89 αι λ = 0 ή λ = -7 Όμως F % = λ 0, άρα λ = 0 Γ. f % = F % = λ = 0 F % = λ + 0 = 0 f % = F % - F % = 0-0 = 0 F % = 00. F = 0 f % = F % - F % = 0-0 = 0 F % = λ - λ + 0 = 90 f % = F % - F % = 90-0 = 0 f 5 % = F 5 % - F % = = 0 f % Γ. 5% = f % + x = () f % 5% = + f 5% x = () () x - x = c c = 8 () c = η λάση : [ α, α + ), η λάση : [ α +, α + 8 ) α + + α + 8 α + x = = α + = α = 0 α = 0

8 Κλάσεις Κεντριές τιμές x i f i % F i F i % [0, ) 0 0, 0 [, 8) 0 0, 0 [8, ) 0 0 0, 0 [, ) 0 0,9 90 [, 0) ΣΥΝΟΛΑ Γ. Το 0% (f % + f 5 %) των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες ή ίσες του. Στο 0% των παρατηρήσεων αντιστοιχούν 800 παρατηρήσεις Στο 00% των παρατηρήσεων αντιστοιχούν ν παρατηρήσεις 0ν = ν = ν = 000 ΘΕΜΑ Δ Δ.α. P(ω ) = P(-) = f (-) - = = P(ω ) = P(0) = f (0) - = - = f (x) = + = = = x + (x + ) (x + ) f (x) im = x - x x x (x + ) - x x - x -(x - )(x + im - (x - ) (x + ) (x + ) x - -(x + ) - = im = = - x (x + ) f (x) P(ω ) = - im = - - = x x - P(ω ) = - P(ω ) - P(ω ) - P(ω ) = = (x + ) )

9 Δ.β. - ω ω + > 0 f (ω) ω 0 (ω + ) ω ω ω ή ω - Άρα Α = {-, ω, ω } αι Ρ(Α) = P(-) + P(ω ) + P(ω ) = + + = ω ω ω + > 0 f (ω) > + > > 0 ω > 0 ω + ω + Άρα Β = {ω, ω } αι Ρ(Β) = P(ω ) + P(ω ) = + = άθε x IR x + ωx + 0, για άθε x IR Πρέπει Δ 0 ω - 0 ω ω - ω x + ωx -, για Άρα Γ = {-, 0} αι Ρ(Γ) = P(-) + P(0) = + = 5 Α - Β = {-} αι P(Α - Β) = P(-) = Δ. - x f (x ) = εφ5 = = (x 0 + ) (x + ) = - x x + x + = - x x x + x = 0 x (x + ) = 0 x = 0 x = 0 f (0) = αι f (0) =, άρα (ε) : y - f (0) = f (0) (x - 0) y - = x y = x + 0

10 Δ. ω i = -, 0, ω, ω M ε y = ω + = - + = 0 M ε y = ω + = 0 + = M ε y = ω + M ε y = ω + Είναι < ω < ω, άρα y < y < y < y R y = y - y 5 = (ω + ) = ω + ω = 0 + ω ω δ ω = = + ω + + ω δ y = = Eίναι δ = δ ω ω + ω = ω = + ω ω = y ( )