Η επίδοση και τα συναισθήματα των μαθητών σε ασυνήθιστα προβλήματα κάλυψης επιφανειών. Καλογήρου Παναγιώτα

Transcript

1 Η επίδοση και τα συναισθήματα των μαθητών σε ασυνήθιστα προβλήματα κάλυψης επιφανειών Ερημάκη Ελένη Πανεπιστήμιο Κύπρου Χρυσοστόμου Αγγέλα Πανεπιστήμιο Κύπρου Ζαχαρίου Χριστίνα Πανεπιστήμιο Κύπρου Γαγάτσης Αθανάσιος Πανεπιστήμιο Κύπρου Καλογήρου Παναγιώτα Πανεπιστήμιο Κύπρου Περίληψη Σκοπός της παρούσας έρευνας ήταν να διερευνηθεί η ικανότητα των μαθητών να επιλύουν προβλήματα κάλυψης επιφανειών μίας λύσης, χωρίς λύση και με πολλές λύσεις. Παράλληλα διερευνήθηκαν οι στάσεις και οι πεποιθήσεις τους, καθώς και η επίδραση του διδακτικού συμβολαίου. Το δείγμα της παρούσας έρευνας αποτέλεσαν εκατό είκοσι επτά μαθητές της Στ τάξης του δημοτικού, οι οποίοι κλήθηκαν να συμπληρώσουν ένα δοκίμιο. Από τα αποτελέσματα φάνηκε ότι οι μαθητές είναι κατά ένα μεγάλο βαθμό επηρεασμένοι από το διδακτικό συμβόλαιο αφού φαίνεται να προβάλλουν θετικότερες στάσεις και πεποιθήσεις σε προβλήματα μόνο μιας λύσης, γεγονός που οδηγεί και σε μεγαλύτερα ποσοστά επιτυχίας σε αυτού του είδους προβλήματα. Εισαγωγή-Θεωρητικό Υπόβαθρο Σύμφωνα με τους Pajares και Miller (1994), τα συναισθήματα λειτουργούν ως δείκτες του τι συμβαίνει στην παρούσα κατάσταση ή του τι αναμένεται να συμβεί και προκύπτουν από την αλληλεπίδραση με το περιβάλλον, δείχνοντας το βαθμό στον οποίο οι προσδοκίες μας εκπληρώνονται κατά την τρέχουσα κατάσταση. Οι σύγχρονες θεωρήσεις αντιμετωπίζουν το συναισθηματικό σύστημα του ατόμου ως ένα αναπαραστατικό σύστημα παράλληλο και όμοια σημαντικό με το γνωστικό, ως τις δύο όψεις του ίδιου νομίσματος (De Bellis & Goldin, 2006). Τα συστήματα αυτά, συναισθηματικό και γνωστικό, είναι αλληλεξαρτώμενα και δύσκολα κανείς μπορεί να προσδιορίσει τις στιγμές που η κατεύθυνση των αλληλεπιδράσεων είναι αναγνωρίσιμη. Οι De Bellis και Goldin (1999, στους Καγκουρά, Γαγάτσης, Μονογυιού & Ηλία, 2009), αναφέρουν ότι ο συναισθηματικός τομέας διαδραματίζει σημαντικό ρόλο στη διαδικασία της μάθησης και συνεπιδρά με το γνωστικό τομέα, επηρεάζοντας την επίδοση του ατόμου σε διάφορα θέματα, ανάμεσα στα οποία και η επίλυση προβλήματος. Για το λόγο αυτό, υπάρχει ανάγκη για περισσότερη έμφαση στην κατανόηση του συναισθηματικού τομέα και στη σχέση του με τη μαθησιακή διαδικασία. Ο McLeod (1992) στην προσπάθεια του να προσδιορίσει το συναισθηματικό τομέα διακρίνει τρεις παραμέτρους του: τις συγκινήσεις (emotions), στάσεις (attitudes) και πεποιθήσεις (beliefs). Σε ένα συνεχές με υψηλή ένταση και μικρή διάρκεια στο ένα 11 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 84

2 άκρο και χαμηλή ένταση αλλά αυξημένη μονιμότητα στο άλλο, θεωρείται ότι τις στάσεις τις εντάσσουμε κάπου στο μέσο γιατί αντικατοπτρίζουν μέση ένταση και μονιμότητα ενώ οι πεποιθήσεις χαρακτηρίζονται από χαμηλή ένταση και αυξημένη διάρκεια. Αναφέροντας τον όρο πεποιθήσεις, ορίζουμε την υποκειμενική γνώση του ατόμου, τις θεωρίες και τις αντιλήψεις του, καθώς και οτιδήποτε θεωρείται ως αληθινή γνώση, ακόμη κι αν δεν μπορεί να παρέχει πειστικά στοιχεία προκειμένου να αποδείξει κάτι τέτοιο (Pehkonen, 2001). Οι πεποιθήσεις είναι υποκειμενικές και δεν απαιτούν τυπική αιτιολόγηση. Διαμορφώνονται μέσω των εμπειριών και καλλιεργούνται κατά τη διάρκεια της δράσης. Σύμφωνα με τους Χρίστου και Φιλίππου (2001), οι πεποιθήσεις βρίσκονται στο μέσο μιας συνεχούς κλίμακας, όπου στο ένα άκρο της τοποθετείται η απόλυτη πίστη σε κάτι, ενώ στο άλλο άκρο αντιστοιχούν οι ελπίδες, οι προσδοκίες και οι προσωπικές εκτιμήσεις του ατόμου. Οι πεποιθήσεις δηλαδή, εμπεριέχουν τόσο μία γνωστική όσο και μία συναισθηματική διάσταση και δεν επιδέχονται τεκμηρίωση. Επομένως, το σύστημα των πεποιθήσεων κάθε ατόμου διαφέρει εφόσον προκύπτει από τις προσωπικές του εμπειρίες, το σύστημα των αξιών και τη φιλοσοφία του, είναι υποκειμενικό και υποσυνείδητο γιατί υπάρχει έντονη η παρουσία του συναισθήματος. Ο Schoenfeld (1983, στους Mason & Scrivani, 2004), έχει επισημάνει την ύπαρξη και την επίδραση ενός συστήματος πεποιθήσεων, το οποίο κατευθύνει τη συμπεριφορά των μαθητών στη διαδικασία επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων. Υποστήριξε ότι η ικανότητα επίλυσης προβλήματος δεν μπορεί να θεωρηθεί ως καθαρά γνωστική διαδικασία, αφού οι πεποιθήσεις των μαθητών για το τι είναι χρήσιμο να μάθει κανείς στα μαθηματικά επηρεάζει τις γνωστικές πηγές που είναι διαθέσιμες για αυτούς κατά τη διαδικασία της μάθησης. Οι πεποιθήσεις των μαθητών διαμορφώνουν τη συμπεριφορά τους και αφού είναι ισχυρές, συχνά προκαλούν αρνητικές συνέπειες. Επίσης, ο Schoenfeld (1985) όρισε το σύστημα πεποιθήσεων του ατόμου ως «την οπτική του για τον κόσμο των μαθηματικών, το σύνολο των (όχι απαραίτητα συνειδητών) αιτίων που αποδίδει το άτομο για τη στάση του ως προς τον εαυτό του, το περιβάλλον, το θέμα που μελετάει, και τα μαθηματικά». Στάση ορίζεται η συναισθηματική προδιάθεση του ατόμου (το τι νιώθει δηλαδή) γύρω από ένα αντικείμενο, πρόσωπο ή κατάσταση. Η προδιάθεση αυτή θα οδηγήσει το άτομο σε μια συγκεκριμένη συμπεριφορά, η οποία μπορεί να είναι είτε αρνητική είτε θετική. Σύμφωνα με τον Oppenheim (1992) στάση θεωρείται μια κατάσταση ετοιμότητας, μια τάση για αντίδραση με κάποιο ορισμένο τρόπο, όταν αντιμετωπίζεται με ορισμένα κίνητρα (διεγέρσεις). Κατά τους Φιλίππου και Χρίστου (2001), στάσεις ορίζονται οι τάσεις του υποκειμένου να ανταποκρίνεται με κάποιο ομοιόμορφο τρόπο, ευμενώς ή δυσμενώς, έναντι συγκεκριμένων γεγονότων, ατόμων ή φορέων, αντικειμένων ή μαθημάτων. Οι στάσεις όπως και οι πεποιθήσεις περιέχουν το στοιχείο της υποκειμενικής αντίληψης και αξιολόγησης βασικών παραμέτρων της κατάστασης που εξετάζεται, προέρχονται από προηγούμενες εμπειρίες, θετικές ή αρνητικές, του ατόμου και επηρεάζουν τα συναισθήματα και τη συμπεριφορά του (Καγκουρά, κ.ά., 2009). Ασυνήθιστα συνηθισμένα μαθηματικά προβλήματα Η αξία του προβλήματος στη μάθηση και όχι μόνο στα μαθηματικά αλλά σε όλους τους επιστημονικούς τομείς θεωρείται αδιαμφισβήτητη. Ο Hilbert (1902) αναφέρει ότι κάθε 11 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 85

3 κλάδος της επιστήμης παραμένει ζωντανός εφόσον εξακολουθεί να προσφέρει αφθονία προβλημάτων. Οι Verschaffel, Greer και De Corte (2000) ταξινομούν τα λεκτικά προβλήματα σε δύο μεγάλες κατηγορίες: (α) Τα συνηθισμένα (Standard), στα οποία οι μαθητές δεν αντιμετωπίζουν ιδιαίτερες δυσκολίες για να τα λύσουν, παρά μόνο να συνδυάσουν αριθμητικά δεδομένα με μία ή περισσότερες αριθμητικές πράξεις. Αυτού του είδους τα προβλήματα επικρατούν κατά μεγάλο βαθμό στη διδακτική πρακτική. (β) Τα ασυνήθιστα ή προβληματικά (Problematic) προβλήματα. Στα συγκεκριμένα προβλήματα δεν είναι εμφανές το μαθηματικό μοντέλο, εκτός αν ληφθούν υπόψη οι ρεαλιστικές καταστάσεις που εγείρονται από το πλαίσιο του προβλήματος. Η παρουσία τέτοιων προβλημάτων στα σχολικά εγχειρίδια είναι κατά μεγάλο βαθμό περιορισμένη και σπάνια βλέπουμε να χρησιμοποιούνται στη διδασκαλία από τους εκπαιδευτικούς. Απαραίτητο είναι το γεγονός οι μαθητές να έρχονται σε επαφή με προβλήματα όχι μόνο συνηθισμένα και παραδοσιακά, αλλά και με προβλήματα ασυνήθιστα και μη ρεαλιστικά (Gagatsi & Elia, 2002). Μέσα από έρευνες που διεκπεραιώθηκαν στο χώρο της μαθηματικής παιδείας διαφάνηκε ότι κατά μεγάλο ποσοστό οι μαθητές, μέσα από απαντήσεις που έδωσαν σε λεκτικά προβλήματα, αδιαφορούσαν πλήρως για το αν η απάντηση η οποία έδωσαν συμφωνεί με την κοινή λογική. Ο Verscaffel και οι συνεργάτες του (2000) υποστήριξαν ότι πρόκειται για φαινόμενο παγκόσμιας έκτασης. Ερευνητές που προέρχονται από το χώρο της Διδακτικής των Μαθηματικών δεν δέχτηκαν ότι αυτός ο παραλογισμός οφείλεται σε έλλειψη γνώσεων ή έλλειψη κοινής λογικής από την πλευρά των μαθητών, αλλά σε αυτό που αργότερα ονομάστηκε Διδακτικό Συμβόλαιο. Μέσα από την εμπλοκή των μαθητών σε ασυνήθιστα προβλήματα, θα αποκτήσουν την ικανότητα να συγκρίνουν τις διάφορες στρατηγικές που χρησιμοποιούνται για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, θα λάβουν μέρος στη λήψη αποφάσεων και στο τέλος, θα αναπτύξουν μεταγνωστικές και αυτόαξιολογητικές ικανότητες. Με αποτέλεσμα, οι μαθητές θα ξεφύγουν από την επιμονή στη χρήση διαδικαστικής γνώσης. Αξιοσημείωτο είναι το παράδειγμα της έρευνας των Mason και Scrivani (2004), όπου σκοπός της έρευνας ήταν η εισαγωγή παρεμβατικών διδασκαλιών, οι οποίες στηρίζονταν στα «ειδικά» (ασυνήθιστα) προβλήματα. Μέσα από τα αποτελέσματα της έρευνας τους, διαφάνηκε στατιστικά σημαντική θετική συσχέτιση μεταξύ των απλών συνηθισμένων, λεκτικών, μαθηματικών προβλημάτων και των προσωπικών πεποιθήσεων του μαθητή για τον εαυτό του ως δέκτη μαθηματικών γνώσεων, των πεποιθήσεων για τα μαθηματικά και την επίδοση του στην επίλυση προβλημάτων. Με άλλα λόγια, ένας μαθητής με ισχυρή αυτό-αναπαράσταση σε σχέση με τα μαθηματικά έχει και καλύτερα αποτελέσματα στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος, γεγονός που όμως δεν ισχύει στα ασυνήθιστα λεκτικά προβλήματα. Όσον αφορά στη σχέση των συναισθημάτων με την επίλυση ασυνήθιστων προβλημάτων, η Καγκουρά και οι συνεργάτες της (2009), έδειξαν μέσα από την έρευνά τους ότι η επιτυχία των μαθητών στα ασυνήθιστα προβλήματα ελάχιστα συνδέεται με τις στάσεις και τις πεποιθήσεις τους σχετικά με τα μαθηματικά και την επίλυση προβλήματος. Επίσης, διαφάνηκαν ενδείξεις ότι τα παιδιά με εξαιρετικά θετική στάση ως προς τα μαθηματικά και θετική προδιάθεση ως προς τα ασυνήθιστα προβλήματα, ανταποκρίνονται καλύτερα σε αυτά. 11 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 86

4 Διδακτικό Συμβόλαιο «Διδακτικό Συμβόλαιο» ορίζεται ως το σύνολο των συμπεριφορών του διδάσκοντος που αναμένονται από τον μαθητή και το σύνολο των συμπεριφορών του μαθητή που αναμένονται από τον διδάσκοντα (Brousseau, 1984). Το συμβόλαιο αυτό περιλαμβάνει κανόνες που προσδιορίζουν υπόρρητα τις συμπεριφορές δασκάλων και μαθητών στο μάθημα των μαθηματικών, τον τρόπο σκέψης και επικοινωνίας μεταξύ τους, τις ερωτήσεις που επιτρέπονται να γίνονται από το δάσκαλο καθώς και τι είδους απαντήσεις αναμένονται από τους μαθητές (Γαγάτσης & Μάρκου, 2004). Έτσι σε κάποιο βαθμό οι πεποιθήσεις των μαθητών για τα λεκτικά προβλήματα είναι αποτέλεσμα των κανόνων του διδακτικού συμβολαίου. Στα μαθηματικά η μάθηση επιτυγχάνεται όχι με τη σωστή λειτουργία του συμβολαίου, αλλά με τη ρήξη του (Brousseau, 1984). Σύμφωνα με τον Brousseau (1984), οι μαθητές τηρούν τους κανόνες του διδακτικού συμβολαίου παρουσιάζοντας κοινές συμπεριφορές στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων. Για παράδειγμα, οι μαθητές σε ένα πρόβλημα για το οποίο δεν υπάρχει τρόπος λύσης, έχουν την πεποίθηση ότι είναι υποχρεωμένοι να δώσουν μία απάντηση, κάνοντας χρήση των αριθμητικών δεδομένων του προβλήματος, ακόμα και αν αυτά δε σχετίζονται με το ζητούμενο. Η συμπεριφορά αυτή οφείλεται στην πεποίθηση των μαθητών ότι ένα πρόβλημα, που δίνεται από τον εκπαιδευτικό, πάντα σημαίνει κάτι και πάντα έχει λύση (Γαγάτσης & Μάρκου, 2004). Βάση του διδακτικού συμβολαίου λοιπόν, κατά την επίλυση ενός λεκτικού προβλήματος οι μαθητές αναμένουν ότι: Υπάρχει μία μοναδική, σωστή και ακριβής αριθμητική απάντηση. Αυτή η μοναδική απάντηση πρέπει να λαμβάνεται με την εκτέλεση μιας ή περισσότερων μαθηματικών πράξεων με τους αριθμούς που είναι ενσωματωμένοι στο κείμενο. Το έργο μπορεί να επιτευχθεί με την καταφυγή σε οικείες μαθηματικές διαδικασίες. Το κείμενο περιλαμβάνει όλη την πληροφορία που χρειάζεται για να λυθεί το πρόβλημα. Η εκφώνηση του προβλήματος οφείλει να μην έχει περιττά στοιχεία. Οι γνώσεις ή οι αισθήσεις για τον καθημερινό κόσμο πρέπει να αγνοούνται. Σκοπός Σκοπός της παρούσας έρευνας ήταν να διερευνηθεί η ικανότητα των μαθητών να επιλύουν προβλήματα κάλυψης επιφανειών μίας λύσης, χωρίς λύση και με πολλές λύσεις. Παράλληλα διερευνήθηκαν οι στάσεις και οι πεποιθήσεις των μαθητών, καθώς και η επίδραση του διδακτικού συμβολαίου στην επίλυση των συγκεκριμένων έργων. 11 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 87

5 Μεθοδολογία Το δείγμα της παρούσας έρευνας αποτέλεσαν 127 μαθητές της Στ τάξης. Οι μαθητές κλήθηκαν να συμπληρώσουν ένα δοκίμιο το οποίο κατασκευάστηκε για τους σκοπούς της έρευνας αυτής. Το δοκίμιο απαρτιζόταν από δύο μέρη. Στο μέρος Α του δοκιμίου υπήρχαν έξι προβλήματα, δύο από κάθε κατηγορία: με μία μόνο λύση (προβλήματα 1 και 3), με πολλές λύσεις (προβλήματα 4 και 6) και χωρίς λύσεις (προβλήματα 2 και 5). Πιο κάτω παρατίθενται ενδεικτικά έργα από κάθε κατηγορία. Στο τέλος κάθε προβλήματος δόθηκαν τρεις επιλογές: «Το πρόβλημα έχει μόνο μία λύση», «Το πρόβλημα έχει πολλές λύσεις», «Το πρόβλημα δεν λύνεται». Όλα τα προβλήματα αφορούσαν την κάλυψη τετραγωνισμένων επιφανειών. Ένα πρόβλημα από το κάθε είδος επιλέχθηκε να είναι παραλλαγή από τη γνωστή σειρά των chessboard problems, ενώ τα άλλα τρία ήταν πιο συνηθισμένα προβλήματα κάλυψης επιφανειών (παρόμοια μπορούν να εντοπιστούν και στα σχολικά εγχειρίδια των παιδιών). Έχω μία σκακιέρα 6Χ6. Θέλω να καλύψω όλη την επιφάνεια με το μεγάλο ντόμινο που υπάρχει δίπλα από τη σκακιέρα. Το σχήμα και το μέγεθος των τετραγώνων των ντόμινο είναι το ίδιο με των τετραγώνων της σκακιέρας. Πόσα τέτοια ντόμινο χρειάζομαι για να καλύψω όλη τη σκακιέρα; Πρόβλημα με μία μόνο λύση (Ο) Έχω μια σκακιέρα 6Χ6 από την οποία αφαιρέθηκαν τα 4 τετραγωνάκια από τις 4 κορυφές (2 άσπρα και 2 μαύρα). Θέλω να καλύψω όλη την επιφάνεια με τα δύο είδη ντόμινο που φαίνονται δίπλα από τη σκακιέρα. Το σχήμα και το μέγεθος των τετραγώνων των ντόμινο είναι το ίδιο με των τετραγώνων της σκακιέρας. Πόσα μεγάλα και πόσα μικρά ντόμινο χρειάζομαι για να καλύψω όλη τη σκακιέρα; Πρόβλημα με πολλές λύσεις (Μ) Έχω μία σκακιέρα 6Χ6 από την οποία αφαιρέθηκαν δύο μαύρα τετράγωνα από τις δύο απέναντι κορυφές. Έτσι στη σκακιέρα έμειναν 34 τετράγωνα. Έχω 17 ντόμινο, όπως αυτό που βρίσκεται δίπλα στη σκακιέρα. Το καθένα τους έχει ακριβώς το σχήμα και το μέγεθος δύο διαδοχικών τετραγώνων της σκακιέρας. Πώς θα πρέπει να τα τοποθετήσουμε στη σκακιέρα ώστε να την καλύψουμε πλήρως; Πρόβλημα χωρίς λύση (Ν) Κάτω από το κάθε πρόβλημα δόθηκαν τρεις ερωτήσεις κλειστού τύπου που διερευνούσαν την πεποίθηση των μαθητών για την ικανότητά τους να διαχειρίζονται παρόμοια έργα, την πεποίθηση των μαθητών για την ευκολία/δυσκολία του 11 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 88

6 συγκεκριμένου έργου, και τη στάση των μαθητών απέναντι στο συγκεκριμένο έργο. Σε κάθε ερώτηση υπήρχε η δυνατότητα αρνητικής ή θετικής απάντησης μόνο. Στο μέρος Β του δοκιμίου υπήρχαν 17 δηλώσεις οι οποίες διερευνούσαν τις πεποιθήσεις και τις στάσεις των μαθητών για τα προβλήματα με μία λύση, με πολλές λύσεις και χωρίς λύσεις, για την επίλυση προβλήματος γενικότερα, αλλά και τις πεποιθήσεις που απορρέουν από το διδακτικό συμβόλαιο. Οι τελευταίες τρεις δηλώσεις του μέρους Β (18, 19, 20) στόχευαν στη διερεύνηση του βαθμού εξοικείωσης των μαθητών με τα προβλήματα με μία λύση, με πολλές λύσεις και χωρίς λύση, στα πλαίσια της σχολικής τάξης, ανάλογα με τη συχνότητα ενασχόλησής τους με αυτά. Σε κάθε μία από τις 20 δηλώσεις του μέρους Β υπήρχε η δυνατότητα επιλογής από 4 διαφορετικές βαθμίδες απαντήσεων. Οι δυνατές απαντήσεις ήταν διαβαθμίσεις της κλίμακας Likert, έχοντας αφαιρέσει την ουδέτερη απάντηση, με σκοπό να αποφευχθεί η επιλογή της από τους μαθητές ως μιας βιαστικά και πρόχειρα επιλεγμένης απάντησης. Όλα τα έργα και όλες οι ερωτήσεις του δοκιμίου αποτέλεσαν τις μεταβλητές της έρευνας. Συγκεκριμένα, οι μεταβλητές κωδικοποιήθηκαν ως εξής: Ο: Πρόβλημα με μια λύση Ν: Πρόβλημα χωρίς λύση Μ: Πρόβλημα με πολλές λύσεις Β: Πεποιθήσεις, ΒΕ: Πεποιθήσεις ευκολίας, ΒS: Πεποίθηση χειρισμού. Α: Στάσεις D: Ερωτήσεις Διδακτικού Συμβολαίου Για την ανάλυση των δεδομένων χρησιμοποιήθηκαν τα λογιστικά φύλλα Excel καθώς και το στατιστικό πακέτο CHIC από όπου προέκυψε το διάγραμμα ομοιότητας. Αποτελέσματα Ο πίνακας 1 παρουσιάζει τα ποσοστά επιτυχίας και λάθος απαντήσεων σε κάθε πρόβλημα. Τα προβλήματα 1 και 3 που έχουν μόνο μία λύση, παρουσίασαν τα υψηλότερα ποσοστά επιτυχίας: 60,6% και 57,5% αντίστοιχα. Ακολουθεί το πρόβλημα 6 (πολλές λύσεις) με 56,7%, το πρόβλημα 5 (δε λύνεται) με 49,2% και το πρόβλημα 4 (πολλές λύσεις με 45,2%. Τη χαμηλότερη επίδοση παρουσίασαν οι μαθητές στο πρόβλημα 2 (δε λύνεται) με ποσοστό επιτυχίας μόνο 22%. Παρατηρώντας τα ποσοστά επιλογής των λανθασμένων απαντήσεων, φαίνεται ότι το μεγαλύτερο ποσοστό των παιδιών που απαντάει λάθος στα προβλήματα επιλέγει την απάντηση «Το πρόβλημα έχει μόνο μία λύση». Αντίθετα, η λανθασμένη απάντηση που επιλέγεται από το μικρότερο ποσοστό των παιδιών είναι «Το πρόβλημα δε λύνεται». Πίνακας 1: Ποσοστά επιτυχίας και λάθος απαντήσεων σε κάθε πρόβλημα Πρόβλημα Πιθανές λύσεις Αριθμός Ατόμων Ποσοστά Πρόβλημα 1 (1 λύση) Μία λύση 77 60,6% Πολλές λύσεις 44 34,7% 11 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 89

7 Δε λύνεται 6 4,7% Πρόβλημα 2 (Δεν λύνεται) Μία λύση 56 44% Πολλές λύσεις 44 34% Δε λύνεται 28 22% Πρόβλημα 3 (1 λύση) Μία λύση 73 57,5% Πολλές λύσεις 47 37% Δε λύνεται 7 5,5% Πρόβλημα 4 (Πολλές λύσεις) Πρόβλημα 5 (Δεν λύνεται) Μία λύση 39 31% Πολλές λύσεις 57 45,2% Δε λύνεται 30 23,8% Μία λύση 37 29,4% Πολλές λύσεις 27 21,4% Δε λύνεται 62 49,2% Πρόβλημα 6 (Πολλές λύσεις) Μία λύση 35 27,6% Πολλές λύσεις 72 56,7% Δε λύνεται 20 15,7% Η συχνότητα ασχολίας των μαθητών με τέτοιου είδους προβλήματα παρουσιάζεται στον πίνακα 2. Όπως δηλώνουν τα παιδιά συχνότερα (79,8%) στην τάξη ασχολούνται με προβλήματα με μία λύση, λιγότερο συχνά με προβλήματα που έχουν πολλές λύσεις (34,3%) και με προβλήματα που δεν λύνονται ασχολούνται από σπάνια έως ποτέ (11,1%). Πίνακας 2: Πόσο συχνά ασχολούνται στην τάξη με αυτού του είδους τα προβλήματα Είδη Προβλημάτων Συχνά / Κάποιες φορές Σπάνια / Ποτέ Μόνο μία λύση 79,8 20,2 Πολλές λύσεις 34,3 65,7 Δεν λύνεται 11,1 88,9 11 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 90

8 Ο πίνακας 3 παρουσιάζει τις πεποιθήσεις και τις στάσεις των μαθητών για τα έργα που κλήθηκαν αν επιλύσουν. Πίνακας 3: Πεποιθήσεις και στάσεις για τα συγκεκριμένα έργα Πεποιθήσεις / Στάσεις Πιστεύω ότι μπορώ να χειρίζομαι προβλήματα σαν κι αυτό; Πιστεύω ότι αυτό το πρόβλημα είναι: Μου άρεσε αυτό το πρόβλημα; Ναι Όχι Εύκολο Δύσκολο Ναι Όχι Πρόβλημα 1 86,6% 13,4% 87,4% 12,6% 77,2% 22,8% Πρόβλημα 2 81,1% 18,9% 78% 22% 63,8% 36,2% Πρόβλημα 3 85% 15% 85% 15% 72,4% 27,6% Πρόβλημα 4 66,9% 33,1% 60,6% 39,4% 53,5% 46,5% Πρόβλημα 5 52% 48% 42,5% 57,5% 39,4% 60,6% Πρόβλημα 6 67,7% 32,3% 70,9% 29,1% 59,1% 40,9% Στην ερώτηση αυτεπάρκειας, αν δηλαδή πιστεύουν ότι μπορούν να χειριστούν τα προβλήματα, οι μαθητές παρουσιάζουν υψηλά ποσοστά θετικής απάντησης και ιδιαίτερα στα τρία πρώτα προβλήματα. Αυτό σημαίνει ότι οι πεποιθήσεις τους είναι θετικές σε σχέση με την ικανότητά τους για χειρισμό των συγκεκριμένων προβλημάτων. Στην ερώτηση πεποίθησης που αφορά το βαθμό δυσκολίας του κάθε προβλήματος, οι μαθητές φαίνεται να θεωρούν γενικότερα τα προβλήματα εύκολα, παρόλο που αυτό δεν ανταποκρίνεται στις πραγματικές επιδόσεις τους. Ευκολότερα θεωρούνται από τους μαθητές τα προβλήματα με μόνο μία λύση (1 και 3). Δυσκολότερο θεωρείται το πρόβλημα 5, το οποίο δεν λύνεται (42,5%). Παραδόξως το πρόβλημα 2, το οποίο επίσης δεν λύνεται, θεωρείται από τους μαθητές αρκετά εύκολο με ποσοστό 78%. Στην ερώτηση «Μου άρεσε το πρόβλημα;» που αφορά στις στάσεις των μαθητών, θετικότερες παρουσιάζονται οι στάσεις τους στο πρόβλημα 1 (77,2%) ενώ τις αρνητικότερες στάσεις παρουσιάζουν στο πρόβλημα 5 (39,4%). Συγκεκριμένα στο πρόβλημα 5 παρουσιάζεται σχέση μεταξύ των πεποιθήσεων της επάρκειας και του βαθμού δυσκολίας με τις στάσεις των μαθητών απέναντι στο συγκεκριμένο πρόβλημα. 11 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 91

9 Στο Διάγραμμα Ομοιότητας (Διάγραμμα 1) παρουσιάζονται πέντε ομάδες ομοιότητας. Διάγραμμα 1: Διάγραμμα Ομοιότητας O1 O3 B17 D1 D2 BSO1 BSO3 BEO3 BSN2 BEN2 B6 A8 BE01 A01 B7 AN2 AO3 BSM4 AM4 BEM4 BSM6 AM6 BEM6 BSN5 BEN5 AN5 N2 N5 M4 M6 D3 A13 A9 A10 B5 A11 A12 B4 B16 A14 B15 Όπως φαίνεται στο διάγραμμα 1, στην πρώτη ομάδα ομοιότητας ομαδοποιούνται τα δύο προβλήματα με μόνο μία λύση (O1, O3) μαζί με την πεποίθηση ότι τα προβλήματα μίας λύσης είναι εύκολα (Β17) και οι δυο από τις δηλώσεις του διδακτικού συμβολαίου (D1, D2) οι οποίες αναφέρουν ότι όλα τα προβλήματα λύνονται και όλα τα προβλήματα έχουν μόνο μια λύση. Σε γενικές γραμμές, η πρώτη ομάδα αφορά μεταβλητές που σχετίζονται με το διδακτικό συμβόλαιο. Στη δεύτερη ομάδα ομοιότητας ομαδοποιούνται οι μεταβλητές που αφορούν στις πεποιθήσεις χειρισμού των προβλημάτων μια λύσης (BSO1, BSO3) μαζί με την πεποίθηση που αφορά το βαθμό ευκολίας του προβλήματος 3 το οποίο έχει μια λύση (BEO3). Μαζί τους ομαδοποιούνται οι μεταβλητές που αφορούν στις πεποιθήσεις χειρισμού (BSN2) και το βαθμό ευκολίας του προβλήματος 2 (BEN2) το οποίο δεν λύνεται. Καθώς και δυο μεταβλητές, όπου η πρώτη αφορά τη δήλωση πεποίθησης (B6) «Πιστεύω πως όταν λύνω ένα πρόβλημα πρέπει να το διαβάζω προσεκτικά πολλές φορές» και τη δήλωση στάσης (Α8) «Όταν δυσκολεύομαι σε ένα πρόβλημα πρέπει να επιμένω μέχρι να το λύσω». Η τρίτη ομάδα περιλαμβάνει τις μεταβλητές BEO1 και AO1, οι οποίες αφορούν το πρώτο πρόβλημα (με μόνο μια λύση) και αποτελούν την πεποίθηση ότι είναι εύκολο και τη δήλωση «Μου άρεσε αυτό το πρόβλημα». Με τις δυο αυτές μεταβλητές ομαδοποιείται η δήλωση Β7 «Πιστεύω πως πρέπει να καταλάβω καλά τι λέει και τι ζητάει το πρόβλημα, πριν αρχίσω να το λύνω». Μαζί τους ομαδοποιούνται οι μεταβλητές ΑΝ2 και ΑΟ3 που αφορούν τις θετικές στάσεις για τα προβλήματα 2 (δε λύνεται) και 3 (έχει μία λύση) αντίστοιχα, καθώς και οι πεποιθήσεις και στάσεις για τα προβλήματα 4, 6 και 5 (BSM4, AM4, BEM4, BSM6, AM6, BEM6 και BEN5, AN5). Μαζί τους ομαδοποιούνται τα προβλήματα που δεν λύνονται (2 και 5) και τα προβλήματα που έχουν πολλές λύσεις (4 και 6). Στην τέταρτη ομάδα του διαγράμματος ομοιότητας ομαδοποιούνται μεταβλητές που αφορούν θετικές στάσεις και πεποιθήσεις των μαθητών για τα προβλήματα (D3, A13, A9, A19, B5, A11 και A12). Ενώ στην πέμπτη ομάδα (B4, B16, A14, A15), συγκεντρώνονται πεποιθήσεις και στάσεις που χαρακτηρίζουν μη-ικανούς λύτες, αφού 11 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 92

10 εκφράζουν αρνητική στάση απέναντι σε προβλήματα που θεωρούν δύσκολα (χωρίς λύση ή με πολλές λύσεις). Συμπεράσματα Σκοπός της παρούσας έρευνας ήταν η μελέτη επίλυσης προβλημάτων με μια λύση, πολλές λύσεις και χωρίς λύση καθώς και οι στάσεις και οι πεποιθήσεις των μαθητών για τα προβλήματα αυτά και ο ρόλος του διδακτικού συμβολαίου. Από τα αποτελέσματα φάνηκε ότι οι μαθητές είναι κατά ένα μεγάλο βαθμό επηρεασμένοι από το διδακτικό συμβόλαιο αφού φαίνεται να προβάλλουν θετικότερες στάσεις και πεποιθήσεις σε προβλήματα μόνο μιας λύσης, γεγονός που οδηγεί και σε μεγαλύτερα ποσοστά επιτυχίας σε αυτού του είδους προβλήματα. Η τάση των μαθητών προς το διδακτικό συμβόλαιο φαίνεται και από το γεγονός ότι πολύ λίγοι μαθητές επέλεξαν την απάντηση «Το πρόβλημα δεν λύνεται», αφού οι μαθητές τείνουν να πιστεύουν ότι υπάρχει μία μοναδική, σωστή και ακριβής αριθμητική απάντηση (Brousseau, 1984). Επίσης, τόσο οι πεποιθήσεις όσο και οι στάσεις των μαθητών ήταν θετικότερες στα προβλήματα με μία λύση. Η συμπεριφορά αυτή των μαθητών ενισχύεται από το γεγονός ότι οι μαθητές είναι πιο εξοικειωμένοι με τέτοιου είδους προβλήματα από την ενασχόληση τους με αυτά στην τάξη. Αξιοσημείωτη είναι και η σχέση μεταξύ των πεποιθήσεων των μαθητών και της επίδοσής τους στα συγκεκριμένα έργα. Στην ερώτηση αυτεπάρκειας, αν δηλαδή πιστεύουν ότι μπορούν να χειριστούν τα συγκεκριμένα προβλήματα, οι μαθητές παρουσίασαν υψηλά ποσοστά θετικής απάντησης. Η πραγματική επίδοση τους όμως έρχεται σε αντίθεση με τις πεποιθήσεις τους για την ικανότητα χειρισμού των συγκεκριμένων προβλημάτων. Πολλές φορές όπως υποστηρίζουν ερευνητές, οι μαθητές, με χαμηλή επίδοση, έχουν την τάση να υπερεκτιμούν τις δυνατότητές τους (Stankov, 2000). Θα ήταν καλό, ως συνέχεια της παρούσας έρευνας να διερευνηθεί κατά πόσο μια παρεμβατική διδασκαλία με την ενσωμάτωση ασυνήθιστων προβλημάτων διαφοροποιούσε τα αποτελέσματα αυτά. Πέρα από αυτό, είναι σημαντικό οι εκπαιδευτικοί να δίνουν την ευκαιρία στους μαθητές να έρχονται σε επαφή με προβλήματα χωρίς λύσης ή με πολλές λύσεις, έτσι ώστε να μπορέσουν οι μαθητές να ξεφύγουν από τους όρους του διδακτικού συμβολαίου. Αναφορές Στα Ελληνικά Γαγάτσης, Α., & Μάρκου, Α. (2004). Διδακτικό συμβόλαιο, εικόνες και επίλυση μη ρεαλιστικών προβλημάτων: Η επίδραση των εικόνων στην επίλυση μη ρεαλιστικών προβλημάτων. Στο Α. Γαγάτση (Εκδ.), Σύγχρονες τάσεις της διδακτικής των μαθηματικών (σελ ). Λευκωσία: Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού- Πανεπιστήμιο Κύπρου. Καγκουρά, Θ., Γαγάτσης, Α., Μονογυιού, Α., & Ηλία, Ι. (2009). Επίλυση Ασυνήθιστων Προβλημάτων και Πεποιθήσεις των Μαθητών Δημοτικού και Γυμνασίου Ελλάδας για τα Μαθηματικά. Στο Α. Γαγάτσης, Α. Φιλίππου, Π. Δαμιανού & Ε. Αυγερινός (Εκδ.), 11 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 93

11 Πρακτικά 11ου Παγκύπριου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης (σελ ). Λευκωσία: Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία. Φιλίππου, Γ. & Χρίστου, Κ. (1995). Διδακτική των μαθηματικών. Αθήνα: Γιώργος Δαρδάνος. Φιλίππου, Γ. Ν., & Χρίστου, Κ. (2001). Συναισθηματικοί παράγοντες και μάθηση των Μαθηματικών. Αθήνα: Εκδόσεις ΑΤΡΑΠΟΣ. Στα Αγγλικά Brousseau, G. (1984). The crucial role of the didactical contract in the analysis and construction of situations in teaching and learning mathematics: Theory of Mathematics Education. Germany: Bielefeld. De Bellis, V.A., & Goldin, G. A. (2006). Affect and Meta-affect in Mathematical Problems Solving: A Representational Perspective. Educational Studies in Mathematics, 63(2), Elia, I., & Gagatsis, A. (2002). Matching Unusual Word Problems with Given Answers. In A. Rogerson (Ed.), Proceedings of the International Conference: The Humanistic Renaissance in Mathematics Education (pp ). Palermo: The Mathematics Education into the 21st Century Project Hilbert, D. (1902). Mathematical problems. Bulletin of the American Mathematical Society, 8, Mason, L. & Scrivani L. (2004). Enhancing students mathematical beliefs: an intervention study. Learning and Instruction, 14(2), McLeod, D. B. (1992). Research on Affect in Mathematics Education: A Reconceptualization. In D.A. Grows (Ed.), Handbook of Research in Mathematics Teaching and Learning, (pp ). New York: Macmillan. Oppenheim A.H. (1992). Questionnaire Design, Interviewing and Attitude Measurement. London: Pinter Publishers. Pajares, F., & Miller, M. D. (1994). The role of self-efficacy and self-concept beliefs in mathematical problem-solving: A path analysis. Journal of Educational Psychology, 86, Pehkonen, E. (2001). A Hidden Regulating Factor in Mathematics Classrooms: Mathematics -Related Beliefs. In M. Ahtee, O. Bjockqvist, E. Pehkonen, & V. Vatanen (Eds.), Research on Mathematics and Science Education (pp ). Institute for Educational Research. University of Jyvaskyla. Schoenfeld, A. (1985). Mathematical problem solving. New York: Academic Press. Stankov, L. (2000). Complexity, Metacognition and Fluid Intelligence, Intelligence, 28 (2), Verschaffel, L., Greer, B., & De Corte, E. (2000). Making sense of word problems. The Netherlands: Swets & Zeitlinger. 11 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 94