ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΧΑΟΤΙΚΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΧΑΟΤΙΚΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ Γιουνανλής Παναγιώτης Επιβλέπων: Γ.Βουγιατζής Επίκουρος Καθηγητής ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 008

2 Περίληψη Το σύστημα που μελετάμε αποτελείται από το βαρυτικό πεδίο μίας μαύρης τρύπας Schwazschild στην οποία κινείται ένα στοιχειώδης σωματίδιο, του οποίου οι τροχιές θα δείξουμε ότι είναι χαοτικές. H προσέγγιση που ακολουθήσαμε βασίζεται κυρίως στους Luca Bombelli και Esteban Calzetta[1] οι οποίοι μελέτησαν την κίνηση του σωματιδίου γύρω από την μαύρη τρύπα με την μέθοδο Melnikov, για να προσδιορίσουν εάν η ομοκλινική τροχιά, που υπάρχει στην γεωδαιτική κίνηση του σωματιδίου γίνεται χαοτική εφαρμόζοντας βαρυτικές διαταραχές στην μετρική. Εμείς αρχικά μελετάμε το σύστημα για ένα βαθμό ελευθερίας. Αφού βρούμε τις εξισώσεις της κίνησης εισάγουμε σε αυτές μία μικρή εξωτερική διαταραχή. Στη συνέχεια κατασκευάζοντας την τομή Poincae και χρησιμοποιώντας το δείκτη Lyapunov, εναλλακτικά, παρατηρούμε ότι για κατάλληλες αρχικές συνθήκες εμφανίζεται χάος. Μετέπειτα εφαρμόζοντας βαρυτικές διαταραχές στην μετρική το σύστημά μας γίνεται δύο βαθμών ελευθερίας. Kατασκευάζονταις και σε αυτή την περίπτωση την τομή Poincae και επίσης μέσω του δείκτη Lyapunov (FLI) δείχνουμε ότι υπάρχει χάος.

3 Abstact The system to be examined is compised of a gavitational field coming fom a Schwazschild black hole and a paticle moving in it. We will pove that the paticle moves in a chaotic tajectoy. The appoach we followed is mostly based on the wok done by Luca Bombelli and Estevan Calzetta[1] who studied the paticle's tajectoy aound the black hole using the Melnikov method to detemine if the homoclinic obit in the geodesic motion of the paticle becomes chaotic afte applying gavitational petubations to the metic. Initially we studied the system with one degee of feedom. Afte extacting the motion equations we applied a small extenal petubation. By constucting the Poincae map and using the Fast Lyapunov indicato (FLI), we obseved that fo some initial values chaotic behavio emeged. Then by intoducing gavitational petubations to the metic the system has two degees of feedom. Finally by constucting the Poincae map and with the FLI we poved the existence of chaotic behavio in the system.

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή... 1 Η συνάρτηση του Lagange για ελεύθερο υλικό σημείο... 1 Ο ίδιος χρόνος τ... O μετρικός τανυστής... H μετρική Schwazschild Περιγραφή του συστήματος... 6 Μελέτη του συστήματος για ένα βαθμό ελευθερίας Εξίσωση της κίνησης σε μία διάσταση Ομοκλινική τροχιά Φασικό διάγραμμα και περίοδοι των τροχιών Εισαγωγή μικρής διαταραχής Τομή Poincae Fast Lyapunov Indicato Μελέτη του συστήματος για δύο βαθμούς ελευθερίας Κανονικές εξισώσεις του Hamilton στις δύο διαστάσεις Τομή Poincae του συστήματος στους δύο βαθμούς ελευθερίας Fast Lyapunov Indicato στις δύο διαστάσεις ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α

5 Εισαγωγή Η συνάρτηση του Lagange για ελεύθερο υλικό σημείο Στον Ευκλείδειο χώρο ένα ελεύθερο σωματίδιο κινείται σε ευθεία γραμμή. Στην ανυπαρξία πεδίου η συνάρτηση του Lagange δίνεται από τη σχέση L 1 = mu (I.1) Εάν θεωρήσουμε πιο ειδικά την απειροστή κίνηση ενός σωματιδίου κατά μήκος μίας καμπύλης (με παράμετρο το χρόνο), μπορούμε να γράψουμε μ ν 1 dx dx L= mgμν (I.) dt dt όπου g μν η μετρική αντίστοιχη στο σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιούμε (βλ. παρακάτω) και πιο ειδικά για τις Καρτεσιανές συντεταγμένες dx ( dx, dy, dz) μ = με g μν να α- ντιστοιχεί στον ταυτοτικό πίνακα. Στην περίπτωση αυτή το τετράγωνο της απειροστής απόστασης (κατά μήκος μίας καμπύλης παραμετροποιημένης με το χρόνο t ). Εάν τώρα αντιστοιχήσουμε όπου x μ () t μ μ μία καμπύλη, τότε μπορούμε να γράψουμε dx = dx dt και το τετράγωνο της απειροστής απόστασης κατά μήκος αυτής της καμπύλης θα δίνεται από τη σχέση μ ν d gμν dx dx = (I.3) Η δράση (action) σε αυτή την περίπτωση ορίζεται ως ( ()) () () (,, ) t t t μ ν S q t = L q t q t t dt = d = x g x dt (I.4) t1 t1 t1 (με q() t και q () t τις γενικευμένες θέσεις και ταχύτητες αντίστοιχα), όπου το αρχικό και τελικό σημείο της κίνησης ορίζονται ως q1 μν = q( t1 ) και q q( t ) =. Σύμφωνα με την αρχή Hamilton η τροχιά του συστήματος, μεταξύ όλων των πιθανών τροχιών, θα είναι εκείνη για την οποία η δράση θα είναι στατική (stationay). Αυτή η απαίτηση, μπορεί να μας οδηγήσει στις εξισώσεις Eule Lagange, ένα σύνολο διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν την κίνηση του συστήματος. Εάν υποθέσουμε για απλότητα ότι η συνάρτηση του Lagange εξαρτάται μόνο από τη γενικευμένη συντεταγμένη x() t και την παράγωγό της x ( t) το ολοκλήρωμα της δράσης μπορεί να γραφτεί t t1 (, ) S = L x x dt (I.5) Έστω ότι x () t είναι η πραγματική εξέλιξη του συστήματος (που ψάχνουμε να βρούμε) και xpe () tue t είναι μία λίγο διαταραγμένη αυτής. Η διαφορά μεταξύ τους τότε θα είναι: () t x () t x () t ε = (Ι.6) pe tue 1

6 και επειδή και οι δύο τροχιές έχουν το ίδιο αρχικό και τελικό σημείο στα σημεία αυτά θα ι- σχύει: ε ( t ) ε( t ) = = (Ι.7) 1 0 Η διαφορά μεταξύ των δύο αντίστοιχων ολοκληρωμάτων της δράσης μπορεί να γραφεί t t1 (, ) (, ) δs = L x + ε x + ε L x x t L L = ε ε dt t + 1 x x tue tue tue tue dt Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της παραγώγισης κατά παράγοντες στον τελευταίο όρο της (Ι.8) και λαμβάνοντας υπόψη την (Ι.7) παίρνουμε : t L d L δs = ε ε d t t (Ι.9) 1 x dt x Η απαίτηση το συναρτησιακό να ισούται με μηδέν για κάθε διαταραχή L d L = 0 x dt x (Ι.10) S (Ι.8) να έχει στατική τιμή σημαίνει ότι η δ μεταβολή του πρέπει ε ( t), που επαληθεύεται μόνο όταν ισχύει: Η έκφραση (Ι.10) αποτελεί τις εξισώσεις Eule Lagange και η παραπάνω απόδειξη μπορεί να γενικευτεί και στην περίπτωση που η συνάρτηση του Lagange εξαρτάται και από το χρόνο. Ο ίδιος χρόνος τ Στην σχετικιστική προσέγγιση ο χώρος και ο χρόνος δεν είναι αναλλοίωτες ποσότητες διότι δεν παραμένουν αμετάβλητες ως προς τους μετασχηματισμούς του Loentz. Υπάρχει όμως μία αναλλοίωτη ποσότητα, ο ίδιος χρόνος τ που ορίζεται από τη σχέση () t 1 dx dy dz dt υ τ = 1 = c c dt dt dt dt (I.11) H σχετικιστική δράση (elativistic action), σε αντιστοιχία με την αντίστοιχη συνάρτηση Lagange, θα δίνεται από τη σχέση μ ν dx dx S = mc gμν dτ (I.1) dτ dτ όπου χρησιμοποιούμε τον ίδιο χρόνο τ ως παράμετρο. Ο μετρικός τανυστής Ένα από τα πιο σημαντικά παραδείγματα ενός δεύτερης τάξης τανυστή είναι ο μετρικός τανυστής. Σημειώνουμε ότι το γενικευμένο Πυθαγόρειο Θεώρημα μας επιτρέπει να εκφράσουμε το τετράγωνο της διαφορισμένης απόστασης (squaed diffeential distance) ds κατά μήκος μίας διαδρομής (path) στον χωροχρονικό τοπολογικό χώρο (spacetime manifold) ως

7 προς τις ποσότητες των διαφορικών dt, dx, dy, dz αυτών των διαφορικών όπως δείχνεται παρακάτω: ( ds) = g00 ( dt)( dt) + g01 ( dt)( dx) + g0 ( dt)( dy) + g03 ( dt)( dz) + g10 ( dx)( dt) + g11 ( dx)( dx) + g1 ( dx)( dy) + g13 ( dx)( dz) + g0 ( dy)( dt) + g1 ( dy)( dx) + g ( dy)( dy) + g3 ( dy)( dz) + g ( dz)( dt) + g ( dz)( dx) + g ( dz)( dy) + g ( dz)( dz) ως μια γενική δευτέρου βαθμού συνάρτηση Εάν θέσουμε g00 = g11 = g = g33 = 1 και όλους του υπόλοιπους συντελεστές μηδέν, αυτό παράγει τη μετρική του Minkowski (Minkowski metic). Ωστόσο, μία διαφορετική επιλογή συστημάτων συντεταγμένων (ή μία διαφορετική ουσιαστικά γεωμετρία) απαιτεί τη χρησιμοποίηση όλοκληρης της σχέσης. Για να απλοποιήσουμε το συμβολισμό, συνηθίζεται να χρησιμοποιούμε τις μεταβλητές x, x, x, x στη θέση των txyz,,, αντίστοιχα. Αυτό μας επιτρέπει να εκφράσουμε την παραπάνω μετρική σχέση ως ( ) 3 3 μ ν ds = g dx dx (I.9) μ= 0ν= 0 μν Για να συντομεύσουμε το συμβολισμό ακόμα πιο πολύ, υιοθετούμε τη σύμβαση του Einstein που παραλείπει το σύμβολο των αθροισμάτων ολοκληρωτικά, και απλά ορίζει ότι η ά- θροιση από 0 έως 3 εισάγεται σε κάθε δείκτη που εμφανίζεται πάνω από μία φορά σε ένα δοσμένο γινόμενο. Με αυτή τη συνθήκη η παραπάνω έκφραση γίνεται ( ) μ ν ds = g dx dx (I.10) μν (I.8) g ij H μετρική Schwazschild Για να μπορέσουμε να πετύχουμε μία σωστή περιγραφή των βαρυτικών πεδίων αυθαίρετης δύναμης, πρέπει αρχικά να βρούμε ακριβείς λύσεις των εξισώσεων πεδίου της γενικής θεωρίας της σχετικότητας του Einstein G μν 8π G μν = T (I.11) c ή μν 1 μν 8π G μν R g R= T (I.1) c Αυτό πρώτα έγινε για την περίπτωση του στατικού, σφαιρικά συμμετρικού πεδίου από τον Schwazschild το Η πιο απλή μαύρη τρύπα στην θεωρία είναι η μαύρη τρύπα Schwazschild. Η μαύρη τρύπα Schwazschild είναι τέλεια σφαιρική, έχει μηδενική γωνιακή ορμή, δεν φέρει ηλεκτρικό φορτίο και υπάρχει στο χωρόχρονο χωρίς την παρουσία άλλης μάζας. Αποτελείται από μία σημειακή μάζα άπειρης πυκνότητας στο κέντρο (μία ανωμαλία στο κέντρο) με ένα βαρυτικό πεδίο γύρω της. 3

8 Η μετρική Schwazschild έχει τη μορφή MG d ds c dt d d c MG 1 c = 1 + s ή ισοδύναμα σε συντεταγμένες Schwazschild όπου ( ϑ in ϑ ϕ ) s d cdτ = 1 cdt ( dϑ sin ϑd ) + ϕ (I.14) s 1 (I.13) τ : ο ίδιος χρόνος (μετρούμενος από ένα ρολόι που μετακινείται με το σωματίδιο) σε δευτερόλεπτα c : η ταχύτητα του φωτός μετρούμενη σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο t : η χρονική συντεταγμένη μετρούμενη από ένα σταθερό ρολόι τοποθετημένο στο άπειρο σε δευτερόλεπτα, θ, φ : οι σφαιρικές πολικές συντεταγμένες s : η ακτίνα Schwazschild (σε μέτρα) ενός σώματος μάζας M Η σχέση ακτίνας Schwazschild μάζας σώματος είναι όπου MG s = (I.14), c G η βαρυτική σταθερά. Η ακτίνα Schwazschild ή ορίζοντας γεγονότων είναι η απόσταση από τη σημειακή μάζα στην οποία το βαρυτικό πεδίο γίνεται τόσο ισχυρό που η ταχύτητα διαφυγής είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός. Επίσης ορίζεται η φωτόσφαιρα της μαύρης τρύπας Schwazschild ως η απόσταση από το κέντρο στην οποία το φως μπορεί να πραγματοποιήσει μία «κυκλική» τροχιά γύρω από την μαύρη τρύπα. Κάτω από αυτό το όριο τίποτα δεν μπορεί να διατηρήσει «κυκλική» τροχιά γύρω από αυτήν. Η απόσταση αυτή s είναι 1, 5 s. Στο όριο που ο λόγος του Minkowski ( sin ) cdτ = cdt d dϑ + ϑdϕ (Ι.15) (στη σχέση (Ι.14)) τείνει στο μηδέν έχουμε τη μετρική Η χαοτική συμπεριφορά είναι χαρακτηριστικό πολλών σχετικιστικών συστημάτων, που οφείλεται εν μέρει στη μη γραμμικότητα της θεωρίας του Einstein. Το σύστημα που θα μελετήσουμε αποτελείται από το βαρυτικό πεδίο μίας μαύρης τρύπας Schwazschild στην οποία κινείται ένα στοιχειώδης σωματίδιο, του οποίου οι τροχιές θα δείξουμε ότι είναι χαοτικές. H προσέγγιση που ακολουθήσαμε βασίζεται κυρίως στους Luca Bombelli και Esteban Calzetta[1] (βλ. βιβλιογραφία), οι οποίοι μελέτησαν την κίνηση του σωματιδίου γύρω από την μαύρη τρύπα με την μέθοδο Melnikov. Πιο συγκεκριμένα εφάρμοσαν την μέδοδο Melnikov για να προσδιορίσουν εάν η ομοκλινική τροχιά, που υπάρχει στην γεωδαιτική κίνηση του 4

9 ( ) { } σωματιδίου γύρω από τη μαύρη τρύπα για συγκεκριμένες τιμές παραμέτρων, γίνεται χαοτική εφαρμόζοντας βαρυτικές διαταραχές στην μετρική. Η μέθοδος Melnikov ερφαρμόζεται κυρίως σε συστήματα δύο βαθμών ελευθερίας και βασίζεται στον υπολογισμό του ολοκληρώματος Melnikov I t = dt H, G, όπου H η αδιατάρακτη συνάρτηση Hamilton του συστήματος και G μία λίγο διαταραγμένη αυτής. Οι Luca Bombelli και Esteban Calzetta υπόλογισαν το ολοκλήρωμα Melnikov στο όριο των υψηλών συχνοτήτων και έδειξαν ότι έχει απομονωμένα απλά μηδενικά που ισοδυναμεί με χαοτική τροχιά. Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να δείξουμε ότι οι τροχιές για το συγκεκριμένο σύστημα γίνονται χαοτικές εφαρμόζοντας της ίδιας μορφή διαταραχή με τους Luca Bombelli και Esteban Calzetta, αλλά αυτό επιτυγχάνεται υπολογιστικά κατασκευάζονταις την τομή Poincae και εναλλακτικά μέσω του δείκτη Lyapunov (FLI). 5

10 1. Περιγραφή του συστήματος Το σύστημά μας αποτελείται από ένα σχετικιστικό σωματίδιο μάζας μ κινούμενο σε ένα χώρο που περιγράφεται από το μετρικό τανυστή s τις συντεταγμένες του σωματιδίου ως συνάρτηση της παραμέτρου (wold-line), και η δράση (action) θα δίνεται από τη σχέση ( ) S x μ a b = gabx x ds. Συμβολίζουμε με ab a g x ( ) s κατά μήκος της κοσμικής γραμμής Ας υποθέσουμε ότι το υπόβαθρο είναι αυτό μίας μαύρης τρύπας Schwazschild μάζας M, που περιγράφεται από τον τανυστή Schwazschild. Τότε ισχύει ότι: ( ϑ sin ϑ ϕ ) 1 ds f dt f d d d ds = + + +, όπου = g dx dx (1.0) a b ab M f = 1 και a (the line element) όπου ( x ) ( t,, ϑ, ϕ ) = οι σφαιρικές πολικές συντεταγμένες και g ab μετρικός τανυστής με ab (,1,, sin ) g = diag f f ϑ και g ab 1 =. (από τις ιδιότη- g τες του μετρικού τανυστή: (συμμετρικός ως προς του άξονες (axisymmetic) και σταθερός (stationay)) ab Η συνάρτηση του Lagange του συστήματος είναι: μ a b dx L= gabx x, x =, s τ (1.1) ds Γενικευμένες ορμές: Από την (1.1) παίρνουμε: ( xx) a b a b L μ μ x b a x pγ = = gab = gab x x γ γ + γ = x x x x γ μ α b a β μ α b μ β a gab ( δγ x + x δγ ) = gabδγ x + gabδγ x = μ b μ a μ a μ a gγbx + ga γx = gγax + gγαx p = μg x p = μg x γ a γa a ab b (1.) ( ) ( )( ) 1 (1.) ( ) 1 1 a ab p = μ gab x x = gab p x = g pb (1.3) μ μ 6

11 Έτσι οι ορμές στο συγκεκριμένο σύστημα θα είναι με βάση την (1.) = = μ = μ (1. ) 1 p1 pt g11x f a (1. ) p p gx b dϑ ds (1. ) sin dϕ ds (1. ) 3 p3 pϑ g33x c 4 p4 = pϕ = μg44x = μ ϑ d dt ds = = μ 1 d = μ f ds = = μ = μ Η συνάρτηση Hamilton του συστήματος μπορεί τώρα να βρεθεί: (1) a a μ a b H = x pa L= x pa gabx x = () a 1 a b a 1 a a ab a a ( μ ) x p x g x = x p x p = μ μ (3) 1 a 1 1 ab 1 ab x pa = g pb pa H = g papb (1.4) Ακόμα μπορούμε να γράψουμε πιο αναλυτικά από τις (1.a-1.d): H = ( g pt + g p + g pϑ + g pϕ ) ή μ 1 pt p p ϑ ϕ H = + f p + + (1.5) μ f sin ϑ Από τη σχέση (1.0) προκύπτουν ότι: a b a b ds dx dx a b ds = gabdx dx = g 1 (1.6) ab gabx x = ds ds ds 1 aγ 1 bδ (1.6) (1.3) gab g pγ g pδ = 1 μ μ 1 aγ bδ γδ ( gabg g ) pγ pδ = 1 g pγ pδ = μ μ g p p ab a b = μ (1.7) 1 μ (1.4) (1.7) H = ( μ ) H = (1.8) μ 7

12 . Μελέτη του συστήματος για ένα βαθμό ελευθερίας. 1 Εξίσωση της κίνησης σε μία διάσταση Οι κανονικές εξισώσεις του Hamilton ή εξισώσεις Hamilton δίνονται από τις σχέσεις: H q i = p i H p i = q i ( i = 1, n) Με βάση τις σχέσεις αυτές και για την συνάρτηση Hamilton που βρήκαμε παραπάνω 1 M p p ϑ ϕ (1.5) H = pt + 1 p + + μ M sin ϑ υπολογίζουμε αρχικά τις κανονικές εξισώσεις του συστήματος και μετέπειτα το περιορίζουμε σε ένα βαθμό ελευθερίας (παίρνοντας κατάλληλες αρχικές συνθήκες). Οι κανονικές εξισώσεις θα είναι: pt t = p t = 0 μ f ( ) pθ φ p θ ( θ ) ( θ) csc( θ) ( θ ) ( ) ( ) p p csc pt f θ φ + p 3 3 f ( ) + p f ( ) f = p = μ μ θ = = μ pφ csc φ = p 0 φ = μ p cot μ (.1) Από τις εξισώσεις (.1) παρατηρούμε ότι p = 0 p = σταθ. και p = 0 p = σταθ. Άρα οι αντίστοιχες ορμές αποτελούν για το σύστημά μας διατηρήσιμες ποσότητες, τις συζυγής ορμές των t και ϕ αντίστοιχα. dt E pt = μ f ds (.) dϕ L pϕ = μ sin ϑ ds Εάν τώρα θέλουμε να περιορίσουμε το σύστημά μας σε ένα βαθμό ελευθερίας αυτό μπορούμε να το πετύχουμε θεωρώντας σταθερή γωνιακή ορμή L, ή αλλιώς θεωρώντας στις (.) αρχικές συνθήκες ώστε να κινούμαστε πάνω στο επίπεδο ϑ = π, ϑ = 0 : π ϑ( 0 ) =, ϑ( 0) = 0 p = 0, p = 0 (. ϑ ϑ 3) t t ϕ ϕ 8

13 Λαμβάνοντας υπόψη την (1.8) και για τις αρχικές συνθήκες (.3) από τη συνάρτηση Hamilton παίρνουμε: μ p p t ϕ H = + f p + = μ f E 1 d L + f μ + = μ f f ds d L μ μ E + + f = f ds d L f μ E μ + + = ds (.4) Παρακάτω απλά αντικαθιστούμε την έκφραση για το f και παίρνουμε: 1 L Mμ ML ( μ ) + μ + = E 3 1 Mμ L ML ( μ ) + = E μ (.5 a) 3 1 Mm L ML m + + = E (.5 b) 3 m όπου E = E μ = E, m= μ. L Εάν ακόμα θεωρήσουμε ότι L = από τις (.5) προκύπτει: m 1 M L ML E E (.6) 3 = = m Η (.6) περιγράφει την κίνηση σε μία διάσταση ενός μη σχετικιστικού σωματιδίου ενέργειας E κινούμενο στο δυναμικό M L ML ( ) = + (.7) 3 U 9

14 . Ομοκλινική τροχιά Η ομοκλινική τροχιά είναι μια τροχιά ενός δυναμικού συστήματος που έχει ως αρχή και πέρας ένα σαγματικό σημείο ισορροπίας. Η μορφή του δυναμικού που δίνεται από την (.7) μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε να έχουμε μία τέτοια τροχιά, για κατάλληλες τιμές των παραμέτρων ( L, M ). Αρχικά, αυτό προϋποθέτει ότι θα έχουμε ένα ασταθές σημείο ισορροπίας και ένα ευσταθές σημείο ισορροπίας επίσης. Τα σημεία ισορροπίας θα δίνονται από το μηδενισμό της πρώτης παραγώγου του δυναμικού ενώ το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου του δυναμικού για το συγκεκριμένο σημείο ισορροπίας που προκύπτει θα μας δώσει την ευστάθεια ή αστάθεια του. Εύρεση των σημείων ισορροπίας Από τον μηδενισμό της πρώτης παραγώγου του δυναμικού προκύπτουν τα σημεία ισορροπίας του συστήματος, ενώ από το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου του δυναμικού για τα σημεία ισορροπίας προκύπτει η ευστάθειά τους. Παίρνουμε: L L L 1M = ( ) = 0 d L + L L 1M = M 1 du M du d du d και επειδή 4 ( ) 16M ( L 1M L L 1M ) 1 = 5 3/ L ( L L 1M ) 4 ( ) 16M ( L 1M + L L 1M ) = 5 3/ L ( L + L 1M ) ( ) ( L L 1M ) 4 [ ] < 0 1 > 0 > 1 ( Α), 1 1 ( 1 ) ( ) L 1M L L 1M L M L L M = = 5 5 L L 1M L L 1M L 1M = αφού L > 0 και M > 0 U όταν L M L M άρα όταν ισχύει η ( Α) έχω τοπικό μέγιστο και ασταθ ές σημε ίο ισορροπίας 10

15 Αντίστοιχα ( ) ( L + L 1M ) 4 [ ] > 0 1 > 0 > 1 ( Β), 1 1 ( 1 ) ( ) L 1M + L L 1M L M L + L M = = 5 5 L + L 1M L + L 1M L 1M = αφού L > 0 και M > 0 U όταν L M L M άρα όταν ισχύει η ( Β) έχω τοπικό ελάχιστο και ευσταθ ές σημε ίο ισορροπίας Βρίσκουμε τα όρια της συνάρτησης του δυναμικού και έπειτα προσδιορίζοντας αξιοποιώντας και τα παραπάνω συμπεράσματα για τα σημεία ισορροπίας τα όρια για τις ζητούμενες τιμές των παραμέτρων συμπεραίνουμε ότι έχουμε δύο σημεία ισορροπίας, με το πρώτο να είναι ασταθές και το δεύτερο να είναι ευσταθές. Δεξιά από το ασταθές σημείο ισορροπίας η συνάρτηση του δυναμικού θα είναι φθίνουσα έως το ευσταθές σημείο ισορροπίας (ενώ θα είναι φθίνουσα έως το από τα αριστερά). Από το ευσταθές σημείο ισορροπίας και προς τα δεξιά θα συνεχίσει ως αύξουσα. Ωστόσο για να έχουμε ομοκλινική τροχιά θα πρέπει αυτή να είναι κλειστή, που σημαίνει ότι η U( ) θα πρέπει να παίρνει την τιμή που έχει για το α- σταθές σημείο ισορροπίας δύο φορές. Όμως (βλ. πρόγραμμα b το όριο του δυναμικού όταν το τείνει στο άπειρο είναι μηδέν που σημαίνει ότι καθώς κινούμαστε προς τα δεξιά του α- σταθούς σημείου ισορροπίας το μηδέν είναι η μέγιστη δυνατή τιμή για το δυναμικό. Αυτό σημαίνει ότι για να έχουμε κλειστή τροχιά που θα έχει ως αρχή το ασταθές σημείο ισορροπίας το δυναμικό θα πρέπει να είναι μικρότερο του μηδενός. Αυτός ο περιορισμός μας οδηγεί στον ακριβή προσδιορισμό των τιμών των παραμέτρων για το δυναμικό μας, αφού από την απαίτηση το δυναμικό να είναι μικρότερο του μηδενός και ακόμα την απαίτηση L > 1M 0 < < (βλ. πιο πάνω εύρεση των σημείων ισορροπίας) συνεπάγεται ότι: 1M L 16 M (.8) Εξάλλου για την περίπτωση που οποίο θα είναι ασταθές ενώ όταν τότε το ασταθές σημείο ισορροπίας θα αντιστοιχεί σε θετική τιμή της U. U( ) ( ) L = 16M L > 16M Παρακάτω δείχνονται για διάφορες τιμές των παραμέτρων θα έχουμε ένα σημείο ισορροπίας, το μηδέν, το αναπαραστάσεις της. Παρατηρούμε ότι για τις περιπτώσεις που ισχύει η (.8) το δυναμικό έχει τη μορφή που περιγράψαμε. L, M 11

16 Εικόνα.1 Εικόνα. Εικόνα.3 1

17 Εικόνα.4 Εικόνα.5 13

18 Εικόνα.6 Εικόνα.7 14

19 .3 Φασικό διάγραμμα και περίοδοι των τροχιών Το σύστημά μας, έτσι όπως ορίζεται από τις (.6) - (.7), είναι ένα αυτόνομο σύστημα ε- νός βαθμού ελευθερίας και δύο διαστάσεων με χώρο φάσεων το επίπεδο θέση ταχύτητα ( p). Μπορεί γενικά να περιγραφεί από μία αυτόνομη διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης της μορφής = f ( ), (.9) η οποία μπορεί να γραφεί με τη μορφή δυναμικού συστήματος ως = p (.10) p = f ( ) Ακόμα το σύστημά μας είναι διατηρητικό αφού divf = 0 (.11), διαθέτει το ολοκλήρωμα της ενέργειας (.6) και ισχύει U = f d (.1) ( ) Με βάση την (.7) και λαμβάνοντας υπ όψη τις (.10) (.1) οι (.10) μπορούν να γραφτούν στην περίπτωσή μας ως: = p L M 3LM (.13) p = 3 4 Τέλος για το σύστημά μας κάθε περατωμένη φασική τροχιά, που θα είναι κλειστή τροχιά αφού το σύστημά μας είναι αυτόνομο, αντιστοιχεί σε τιμές της ενέργειας για τιμές του δυναμικού ανάμεσα στα σημεία ισορροπίας,. Κάθε τέτοια τροχιά οφείλει να είναι περιοδική, με περίοδο T = max d (.14), min ( E U( ) ) όπου βέβαια ισχύει E U( ) 0. Παρακάτω δείχνεται το φασικό πορτρέτο του συστήματος * στο φασικό χώρο ( p) που αναπαρίστανται όλες οι πιθανές καταστάσεις του συστήματος με κάθε πιθανή κατάσταση του συστήματος να αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο μέσα στο χώρο αυτό ), καθώς και ένα διάγραμμα με τις περιόδους που αντιστοιχούν στις κλειστές τροχιές (να σημειώσουμε ότι για όλους τους υπολογισμούς μας παρακάτω οι τιμές που δίνουμε στις σταθερές L,M θα είναι L = 13,M = 1 τιμές παραμέτρων τέτοιες ώστε να υπάρχει ομοκλινική τροχιά). Παρατηρούμε ότι η περατωμένη τροχιά που ξεκινάει από το ασταθές σημείο ισορροπίας είναι η τελευταία κλειστή τροχιά (πηγαίνοντας από τις χαμηλότερες προς τις υψηλότερες ενέργειες),, (ό- * Βλ. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Πρόγραμμα c 15

20 αφού για μεγαλύτερες τιμές της ενέργειας οι τροχιές είναι ανοιχτές. Αυτή η τροχιά είναι η ομοκλινική τροχιά. Επίσης υπολογίζουμε την τιμή της περιόδου που αντιστοιχεί σε τροχιά για ενέργεια πολύ λίγο μεγαλύτερη του ευσταθούς σημείου ισορροπίας και βρίσκουμε σύμφωνα με την (.14) τιμή T ευστ. = 8.08 (.15) Το αποτέλεσμα (.15) θα χρησιμοποιήσουμε περεταίρω όταν εισάγουμε στις εξισώσεις της κίνησης μία μικρή διαταραχή και συγκεκριμένα θα χρησιμοποιηθεί για την τιμή που θα δώσουμε στην συχνότητα της διαταραχής. Η τιμή αυτή, της συχνότητας της διαταραχής, ό- πως θα δειχθεί, είναι καθοριστική στην συμπεριφορά του συστήματος. Εικόνα.8 Εικόνα.9 16

21 Εικόνα.10 17

22 .4 Εισαγωγή μικρής διαταραχής Τομή Poincae Εισάγουμε μία εξωτερική διέγερση στο σύστημά μας της μορφής gcos( t) ω όπου g σταθερά που εκφράζει το πλάτος της διαταραχής και ω η κυκλική συχνότητα της διαταραχής. Το σύστημά μας πλέον μετατρέπεται σε μη αυτόνομο ενός βαθμού ελευθερίας και θα έχει την έκφραση = p L M 3LM p = + gcos t 3 4 ( ω ) (.16) Η τομή Poincae ορίζεται στο ίδιο επίπεδ που πήραμε προηγουμένως το φασικό ο ( p) διάγραμμ α, όμως σ ε αυτ ό δείχνοντα ι μόνο τα σημεία της τροχιάς για χρόνους t = ktδ k = 1,, 3 όπου T δ είναι η περίοδος της εξωτερικής διέγερσης. Σύμφωνα με το θεώρημα aveaging όταν η συχνότητα ω της διαταραχής είναι αρκετά μεγάλη το διαταραγμένο σύστημα παρουσιάζει προσεγγιστικά τη δυναμική του αδιατάρακτου συστήματος. Αυτό θα το επαληθεύσουμε παρακάτω. Διαλέγουμε μία μικρή τιμή για τη σταθερά g ενώ αρχικά δίνουμε πολύ μεγαλύτερη τιμή στην συχνότητα ω ( ω = 1) από εκείνη που αντιστοιχεί στην περίοδο που προσδιορίσαμε από την (.15) (από τη σχέση T = π ω ). Παρατηρούμε ότι όσο και να αυξήσουμε (σε λογικά όρια) την τιμή της η συμπεριφορά του συστήματος παραμένει ίδια με εκείνη που παρουσιάστηκε στο φασικό πορτρέτο του αυτόνομου συστήματος (.13). Παρακάτω παρουσιάζονται οι αντίστοιχες τομές για τις τιμές g = 0.1, g = 0., g = 0.3, g = 0.6, g = 0.8. Να σημειωθεί ότι αυτά δημιουργήθηκαν με τη βοήθεια του προγράμματος d (όπου το πρόγραμμα έτρεξε για τιμή ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΟΣ Α. g g = 0.1) του 18

23 PHASESPACE g = 0.1 Εικόνα PHASE SPACE g = 0. Εικόνα.1 19

24 0.10 PHASESPACE g = 0.3 Εικόνα PHASESPACE g = 0.6 Εικόνα.14 0

25 0.10 PHASESPACE g = 0.8 Εικόνα.15 Παρατηρούμε ότι όσο και να αυξήσουμε το πλάτος της διαταραχής το σύστημά μας συμπεριφέρεται ως αδιατάραχτο. Ας δούμε τώρα τι θα συμβεί αν η συχνότητα της διαταραχής πάρει τιμή κοντά σε εκείνη που να αντιστοιχεί στην περίοδο (.15). Παρακάτω παρουσιάζονται τα αντίστοιχα φασικά πορτρέτα για g = (τιμή πολύ πιο μικρή από εκείνες που πήραμε παραπάνω, δηλαδή για ακόμα πιο μικρή διαταραχή), ενώ η τιμή που θα διαφοροποιείται θα είναι της συχνότητας ω (η τιμή του T = π / ω δείχνεται στο πάνω μέρος της εικόνας καθεμίας αναπαράστασης). Τα προγράμμα τα e και e - από το ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α χρησιμοποιήθηκαν για το σκοπό αυτό. 1

26 p Εικόνα p Εικόνα.17 14

27 p Εικόνα p Εικόνα

28 p Εικόνα p Εικόνα.1 4

29 p Εικόνα p Εικόνα.3 5

30 p Εικόνα p Εικόνα.5 6

31 p Εικόνα p Εικόνα.7 7

32 p Εικόνα p Εικόνα.9 8

33 p Εικόνα p Εικόνα.30 9

34 p Εικόνα p Εικόνα.3 30

35 p Εικόνα p Εικόνα.34 31

36 p Εικόνα.35 Παρατηρούμε λοιπόν ότι για κατάλληλες τιμές της συχνότητας ω (μεγαλώνοντας σταδιακά την περίοδο T ) το σύστημά μας γίνεται χαοτικό όπως δείχτηκε στα αντίστοιχα φασικά διαγράμματα. Παρατηρούμε ότι υπάρχουν συχνότητες στις οποίες έχουμε και εγκλωβισμένο χάος, για τροχιές εσωτερικές της ομοκλινικής (ανάμεσα στις νησίδες ξέρουμε υπάρχουν χαοτικές περιοχές), ενώ στα όρια της ομοκλινικής τροχιάς υπάρχει επίσης χάος το οποίο παρατηρούμε στο βαθμό που η διαταραχή μας επιτρέπει οι τροχιές να μη φύγουν πολύ γρήγορα στο άπειρο. Ωστόσο καθώς πηγαίνουμε σε μεγαλύτερες περιόδους (μικρότερες συχνότητες) είναι δύσκολο να εντοπίσουμε χαοτικές περιοχές, αφού οι τροχιές πολύ γρήγορα φεύγουν στο άπειρο. 3

37 .5 Fast Lyapunov Indicato Σκοπός μας σε αυτή την παράγραφο είναι να εξετάσουμε εάν υπάρχουν χαοτικές τροχιές με τη βοήθεια του δείκτη Lyapunov (FLI). Το σκεπτικό της συγκεκριμένης μεθόδου είναι να παρατηρήσουμε την εξέλιξη των εφαπτόμενων διανυσμάτων υπολογιζόμενων κατά μήκος μίας δοσμένης τροχιάς του συστήματος (τα εφαπτόμενα στην τροχιά διανύσματα είναι παράλληλα του διανυσματικού πεδίου). Για να εκτιμήσουμε αριθμητικά αυτή τη μεταβολή οι εξισώσεις της κίνησης λύνονται μαζί με τις αντίστοιχες εξισώσεις του Ιακωμβιανού πίνακα (βλ. παρακάτω σχ.(.0)), π.χ μπορούμε να γράψουμε για τη διανυσματική ροή d dj X = f ( X), = Df ( X) J (.17) dt dt όπου X = ( x 1, x,..., xn ) είναι ένα n διαστάσεων διάνυσμα στο χώρο των φάσεων J είναι ο n n Ιακωμβιανός πίνακας της διανυσματικής ροής, και Df ( X ) είναι ο πίνακας των μερικών παραγώγων { fi xj}, = 1, της ροής. Οι στήλες του Ιακωμβιανού πίνακα είναι τα εφαπτόμενα διανύματα της ροής { v j} = 1, για κάθε αρχική συνθήκη (FLI) ως προς το χρόνο t ορίζεται ως φ όπου i j ( tx, ) maxlog ( t, x) = v (.18) t t ( 0 n j n. Δοσμένου ενός αρχικού εφαπτόμενου διανύσματος x 0 για το χώρο των φάσεων του συστήματος ο δείκτης Lyapunov v t, x ) είναι το εφαπτόμενο διάνυσμα τη χρονική στιγμή t. Ο δείκτης Lyapunov όπως ορίστηκε από την (.18) στην ουσία χαρακτηρίζει το ρυθμό που διαχωρίζονται δύο α- πειροστά γειτονικές τροχιές. Για τις χαοτικές τροχιές η εξέλιξη του εφαπτόμενου διανύσματος με το χρόνο θα είναι εκθετική ενώ στις κανονικές τροχιές θα εξελίσσεται γραμμικά έτσι ώστε εύκολα μπορούν αυτές οι δύο κατηγορίες τροχιών να διαχωριστούν. όπου Το δυναμικό μας σύστημα περιγράφεται από τις εξισώσεις (βλ. σχ.(.10)) = p (.19) p = f ( ) H = = f p p 1 H = = f (.0) Για τον υπολογισμό του δείκτη Lyapunov θεωρούμε τις εξισώσεις μεταβολών (vaiational equations): = + ξ 1 p = p+ ξ και θα ισχύει (.1) v 0 33

38 f1 f1 ξ p 1 ξ1 = ξ f f ξ p Λύνοντας το σύστημα των τεσσάρων διαφορικών εξισώσεων που προκύπτουν από τις σχέσεις (.19) και (.) ο δείκτης Lyapunov θα δίνεται από τη σχέση: FLI () t = log ξ () t (.3) όπου ξ() t = ξ () t, ξ () t (.) ( 1 ) (.4) Με τη βοήθεια του προγράμματος -FLI του ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΟΣ Α (για τιμή T = 34 ) παίρνουμε σε αντιστοιχία με τις αρχικές συνθήκες τις διάφορες αναπαραστάσεις της FLI ( t ). Χαοτικές τροχιές έχουμε για εκείνες τις αρχικές συνθήκες που η κλίση της FLI () t μεγαλώνει αισθητά σε σχέση με τις υπόλοιπες (μη χαοτικές) τροχιές. 34

39 0 = t FLI@tD t Εικόν α.36 Παρατηρούμε η κλίση της καμπύλης ανεβαίνει απότομα σε σχέση με τις υπόλοιπες καμπύλες (που ακολουθούν), ωστόσο επειδή ο δείκτης Lyapunov ορίζεται για περατωμένες τροχιές δεν μπορούμε με σιγουριά να πούμε ότι η τροχιά είναι χαοτική. Ωστόσο στην αντίστοιχη τομή Poincae μπορούμε να διακρίνουμε στα όρια μεταξύ περατωμένων και ανοικτών τροχιών για τις ίδιες αρχικές συνθήκες χαοτικές περιοχές. Να σημειώσουμε ότι η τροχιά είναι ανοικτή για τιμές t και μεγαλύτερες (όπως φαίνεται από το αντίστοιχο διάγραμ- () μα της t ) 35

40 0= t FLI@tD t Εικόνα.7 36

41 0= t FLI@tD t Εικόνα.9 0=

42 @td t FLI@tD t Εικόνα.31 0=

43 @td t FLI@tD t Εικόνα.3 Μία χαοτική τροχιά. Η τροχιά είναι περατωμένη, όπως δείχνεται στο αντίστοιχο διάγραμμα ης t. τ () 0=

44 @td t FLI@tD t Εικόνα.35 Και εδώ η κλίση της καμπύλης μας δείχνει ότι η τροχιά είναι χαοτική ενώ από το διάραμμα της () t δείχνεται ότι είναι και αυτή περατωμένη. Οι υπόλοιπες τροχιές για γ 0 > 9.4 είναι ανοικτές τροχιές που φεύγουν πολύ γρήγορα στο άπειρο.. 40

45 3. Μελέτη του συστήματος για δύο βαθμούς ελευθερίας 3. 1 Κανονικές εξισώσεις του Hamilton στις δύο διαστάσεις Σε αυτό το κεφάλαιο εισάγουμε μία περιοδική διαταραχή στη συνάρτηση Hamilton για το σχετικιστικό σωματίδιο μ γύρω από την μαύρη τρύπα Schwazschild ώστε να δούμε εάν η ομοκλινική τροχιά είναι χαοτική. Αυτό που προκύπτει είναι η διαταραχή να είναι περιοδική ως προς τη συντεταγμένη του χρόνου t( s ), να είναι ανεξάρτητη της γωνίας φ που σημαίνει ότι η p φ να είναι επίσης διατηρήσιμη ποσότητα. Πιο συγκεκριμένα η περιοδική αυτή διαταραχή θα αντιστοιχεί σε αλλαγή στη μορφή του μετρικού τανυστή, ο οποίος θα γίνει g g + εh (3.1) ab ab ab όπου h είναι μία λ ύση της γραμμικοποιημένης εξίσωσης Einstein στο χώρο Schwazschild ab και θα μελετήσουμε την επίδραση που θα έχει αυτή στη συνάρτηση Hamilton και περεταίρω στο φασικό πορτρέτο του συστήματος των κανονικών εξισώσεων. Η διαταραχή h ab αποδεικνύεται ότι μπορεί να γραφεί όπου h0 ( ) h ( ) = h0( ) h1( ) iωt hab e Z 1 d = iω d h 0 * ( Q) ( θ ) (3.) 1 h1 = f Q (3.3) με Z ( θ) = sinθ = + ln 1 M * M (3.4) * * * ( ω ) ( ω ) = A ( ω φ) Q= Acos + Bsin cos + (3.5) όπου A αυθαίρετη σταθερά. Εάν στην (3.5) θέσουμε φ = 0 οι (3.3) γίνονται: 1 d h0 = Q Aωsin * iω d 1 * h1 = Acos( ω ) f * ( ω ) (3.6) 41

46 Όμως είναι d 1 M = = 1 f (3.7) * * d d d Με βάση την (3.7) για τις (3.6) μπορούμε να γράψουμε: 1 1 h0 = f AQ+ Asin f AQ+ A ω ω 1 * 1 h1 = Acos( ω ) Acos( ω) f f * ( ω ) sin ( ω ) (3.8) Από την (3.1) και εάν λάβουμε υπόψη τις (3.) και (3.8) και ακόμη θεωρήσουμε ότι ε ε 0 0 για ω σχετικά μεγάλο προκύπτει με βά ση την (1.4) η παρακάτω έκφραση ω για τη συνάρτηση Hamilton του συστήματος ( 4 ( θ ) ( θ ( t ) )) 1 H = M p + M p + p p + p p + ( M ) μ 1 ( pφ ( M ) ( p ε cos( ω) cos( ωt) + pφ cscθ) ptpφ ε cos( ωt) sin ( ω) ) ( M ) μ (3.9) Η έκφραση (3.9) αποτελεί τη διαταραγμένη συνάρτηση Hamilton, συνεπώς εάν θέσουμε ε = 0 θα προκύψει η (1.5). Οι κανονικές εξισώσεις για τη συνάρτηση Hamilton (3.9) θα είναι: t cos( ) sin ( ) p ( p( M ) cos( ) pt sin( ) sin( t φε ω ω φ εω ω + ω ω )) p t ( M ) μ ( M) μ ( M) pφε cos( ω) cos( ωt) 1 ( 4 4 ( ) ( 4 ) ( ) 3 θ θ θ t μ ( M) μ + pφ ( M ) ( ε( M p + ( p + pt ω) cos( ω) cos( ωt) + pφ ( M ) cscθ) ) p ε p+ p ( M) ω cos ωt sin ω )) p p t t = = p = p pφ cotθcscθ θ θ = p θ = μ μ pε cos( ω) cos( ωt) pφ cscθ μ ptεcos( ωt) sin ( ω) ( M) μ + φ = p = = p M p M M p p M p p M p p φ φ ( t ) ( ) ( ) (3.10) Θεωρούμε αρχικές συνθήκες (όπως και στην παράγραφο.1) ώστε να κινούμαστε πάνω στο επίπεδο ϑ = π, ϑ = 0 π.3 0 =, 0 = 0 pϑ = 0, pϑ = 0 ). Ακόμα παρατηρούμε ότι p φ = 0 (( ) ϑ( ) ϑ( ) συνεπώς το σύστημα μας γίνεται δύο βαθμών ελευθερίας. 4

47 3. Τομή Poincae του συστήματος στους δύο βαθμούς ελευθερίας Το σύστημα μας όμως δείξαμε στην προηγούμενη παράγραφο είναι αυτόνομο δύο βαθμών ελευθερίας. Η συνάρτηση Hamilton είναι της μορφής μ H = H( t,, pt, p) = h= (3.11) και είναι περιοδική ως προς τη μεταβλητή t με περίοδο ( ) π T =. Ο χώρος των φάσεων είναι ω t ο τετρασδιάστατος χώρος t,, p, p. Αρχικά βρίσκουμε τις εξισώσεις της κίνησης που προκύπτουν από τη λύση των διαφορικών εξισώσεων (3.10), δίνοντας αρχικές συνθήκες στις με- ταβλητές (,, ) tp (όπου t 0 π ω = έτσι ώστε cos( t) ω = 0 ) και προσδιορίζοντας κάθε φορά της τιμή της p t0 από την ( 3.11). Αφού υπολογίσουμε τις εξισώσεις της κίνησης λύνουμε την εξίσωση t ( ) τ = τ ανά για την τ αντικαθιστούμε στις ( τ ) p ( ) π T = που είναι η περίοδος και την τιμή που προκύπτει κάθε φορά ω, αντίστοιχες χρονικές στιγμές ορίζει την τομή Poincae. τ. Το σύνολο των σημείων που προκύπτει για τις Τομή Poincae Βασιζόμενοι στη συνάρτηση Hamilton που υπολογίσαμε παραπάνω και με τη βοήθεια του προγράμματος 3a.1-3α. του ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΟΣ Α παίρνουμε διάφορες τομές για συγκεκριμένη τιμή ε = (στο πρόγραμμα η διαταραχή συμβολίζεται με g ) της διαταραχής, ενώ μεταβάλουμε τ η συχνότητα ω της διαταραχής (η τιμή του T = π / ω δείχνεται στο πάνω μέρος της εικόνας καθεμίας αναπαράστασης). 43

48 Εικόνα Εικόνα 3. 44

49 Εικόνα Εικόνα

50 Εικόνα Εικόνα

51 Εικόνα Εικόνα

52 Εικόνα Εικόνα

53 Εικόνα Εικόνα

54 Εικόνα Εικόνα

55 Εικόνα Εικόνα

56 Εικόνα Εικόνα

57 Εικόνα Εικόνα

58 Εικόνα Εικόνα 3. 54

59 Εικόνα Εικόνα

60 3.3 Fast Lyapunov Indicato στις δύο διαστάσεις Κατ αντιστοιχία με την παράγραφο.4 θα εξετάσουμε εάν υπάρχουν χαοτικές τροχιές με τη βοήθεια του δείκτη Lyapunov (FLI). Το δυναμικό μας σύστημα είναι δύο βαθμών ε- λευθερίας και περιγράφεται από τις εξισώσεις H = = f p 1 H t = = f pt (3.14) H p = = f3 H p t = = f4 t Οι εξισώσεις μεταβολών (vaiational equations) θα είναι: = + ξ1 t = t+ ξ (3.15) p = p + ξ3 p = p + ξ t και θα ισχύει t 4 f1 f1 f1 f1 t p p t ξ f f f f ξ 1 1 ξ t p p t ξ = ξ f 3 3 f3 f3 f 3 ξ 3 ξ t p 4 pt ξ4 f4 f4 f4 f 4 t p pt (3.16) Λύνοντας το σύστημα των οκτώ διαφορικών εξισώσεων που προκύπτουν από τις σχέσεις (3.14) και (3.16) ο δείκτης Lyapunov θα δίνεται από τη σχέση: FLI ( τ ) = log ξ ( τ) (3.17) όπου τώρα ξ τ = ξ τ, ξ τ, ξ τ, ξ τ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.18) Με τη βοήθεια του προγράμματος 3-FLI του ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΟΣ Α (για τιμή T = 90 ) παίρνουμε σε αντιστοιχία με τις αρχικές συνθήκες τις διάφορες αναπαραστάσεις της Παρακάτω δείχνονται κάποιες αντιπροσωπευτικές τροχιές. FLI ( τ ). 56

61 0= t t Εικόνα 3.5 Για 0 < 5 οι τροχιές είναι ανοικτές, οπότε δεν μπορούν να απεικονισθούν. 57

62 0= t t Εικόνα 3.6 Οι υπόλοιπες τροχιές που ακολουθούν μέχρι την τιμή 0 = 9.5 είναι κλειστές τροχιές κανονικές, (όπως φαίνεται και από την αντίστοιχη αναπαράσταση της τομής Poincae). 58

63 0= t t Εικόνα 3.7 Η κλίση της καμπύλης ανεβαίνει απότομα σε σχέση με τις υπόλοιπες καμπύλες (που ακολουθούν), ωστόσο η τροχιά δεν είναι περατωμένη συνεπώς από το δείκτη Lyapunov δεν μπορούμε με σιγουριά να πούμε ότι είναι χαοτική. Ωστόσο στην αντίστοιχη τομή Poincae μπορούμε να διακρίνουμε στα όρια μεταξύ περατωμένων και ανοικτών τροχιών για τις ίδιες αρχικές συνθήκες χαοτικές περιοχές. 59

64 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΑ Πρόγραμμαa CleaAll "Global` " ; Off Geneal::spell g ab DiagonalMatix f, f 1,, Sin θ ; g 1 i, j : g ab i, j g i, j : Invese g ab i, j p i : pt, p, pθ, pφ i x i : t,, θ, φ i 4 4 H: 1 μ g i, j p i p j i 1 j 1 kaneksisosis ; Fo k 1, k 5, k, AppendTo kaneksisosis, x k ' p k H, p k ' x k H ; kaneksisosis MatixFom t pt μf p f μ θ pθ μ φ pφcsc θ μ pt 0 p pθ 3 pφ Csc θ 3 pθ pφ Cot θ Csc θ μ pφ 0 p f pt f f μ En En. Solve Evaluate H. pt En, pθ 0, pφ Ln, p μ' f, θ π μ 0, En 1 ; Pint "En " En FullSimplify En Ln μ f μ En f Ln μ μ f 1 M ; eq En μ FullSimplify; eq eq. μ m Expand; eq4 eq. Ln m Ldot m Simplify Expand; Pint "En " eq4 En Ldot M Ldot 3 M

65 Πρόγραμμα b CleaAll "Global` " ; U M 1 Ldot M Ldot 3 ; Limit U, 0 Limit U, 0 Solve U 0, Ldot Ldot Ldot 16 M 4M Ldot Ldot Ldot 16 M, 4 M Reduce U 0 && 0&& Ldot 0&&Ldot 1 M, M 0&& 1M Ldot 16 M && 0 Ldot 16M && 0 Ldot 4M 1 4 Ldot 16 Ldot M M Ldot 4 M 1 4 Ldot 16Ldot M M Ldot 16M && 0 Ldot 4 M 1 4 Ldot 16 LdotM M Ldot 4M 1 4 Ldot 16Ldot M M

66 Προγραμμαc CleaAll "Global` " ; Ldot 13; M 1; U M Ldot M Ldot 3 lis Solve U' 0, N 4.697, Plot U,, 4, 16, AxesLabel, "U " Plot U',, 4, 16, AxesLabel, "U' " U U' Algeba`InequalitySolve` Enegy1 U Evaluate. lis 1 ; Enegy U Evaluate. lis ; F U' ; enegyi ; ineqsolvei ; dataens ;inf 0, p0 ; enin 0.04;enmax 0.048;enstep ; Fo en enin, en enmax, en enstep, AppendTo enegyi, en ; AppendTo ineqsolvei, InequalitySolve en U 0, ; AppendTo dataens, NSolve en U 0, ; ;

67 ineqsolvei ColumnFom dataens ColumnFom , , , , , , , , , 5., , , , , , , , , , , , , , 6.59, plots ; peiods ; tmin 150; tmax 150; Fo i 1, i Length dataens, i, Enegy enegyi i ; pp Sqt Enegy U ; If Im Evaluate.dataens i,, 1 0, T NIntegate 1,,. dataens i,, 1,.dataens i, 1, 1 ; Sqt Enegy U deq1 1' t p1 t ; deq p1' t F. 1 t ; 10. dataens i, 1, 1 ; If i 1, p10 pp 10, p10 0 ; AppendTo inf, 10, p10 ; sol1 NDSolve deq1, deq, , p1 0 p10, 1, p1, t, tmin, tmax ; t 1 t.sol1 1 ; pt p1 t. sol1 1 ; Plot t, t, tmin, tmax, PlotStyle RGBColo 0, 0, 1, PlotPoints 10, DisplayFunction Identity ; Plot pt, t, tmin, tmax, PlotStyle RGBColo 1, 0, 0, PlotPoints 10 ; tajectoy PaameticPlot t, pt, t, tmin, tmax, PlotRange All ; AppendTo plots, tajectoy ; AppendTo peiods,. dataens i, 1, 1, Re T ; ; tmin 500; tmax 500;

68 Enegy U Evaluate. lis 1 ;F U' ; InequalitySolve Enegy U 0, NSolve Enegy U 0, pp Sqt Enegy U ; deq1 1' t p1 t ;deq p1' t F. 1 t ; ;p10 pp 10 ; Pint "omoclinicki, 10 ", 10, " p10 ", p10 sol1 NDSolve deq1, deq, , p1 0 p10, 1, p1, t, 500, 500 ; t 1 t. sol1 1 ; pt p1 t. sol1 1 ; Plot t, t, tmin, tmax, PlotStyle RGBColo 0, 0, 1, PlotPoints 10, AxesLabel t, Plot pt, t, tmin, tmax, PlotStyle RGBColo 1, 0, 0, PlotPoints 10, AxesLabel t, p omocliniki PaameticPlot t, pt, t, tmin, tmax, PlotRange All, PlotLabel HOMOCLINIC ORBIT, AxesLabel, p, AspectRatio 1, PlotStyle RGBColo 1, 0, , 4.697, omoclinicki, p t 0.10 p t 0.10

69 p HOMOCLINICORBIT Show plots, omocliniki, PlotLabel PHASE SPACE, AxesLabel, p, AspectRatio 1 p PHASE SPACE

70 ListPlot peiods, AxesLabel "", "T" T Θεωρητικόςυπολογισμόςτηςπεριόδου k U''. lis F U' deq1 1' t p1 t deq p1' t F. 1 t t p1 t p1 t t 4 1 t 3 1 t omega k T π omega Enegy U.lis limits NSolve Enegy U 0, , ,

71 1 T NIntegate,,.limits, 1,.limits 1, 1 Sqt Enegy U 8.107

72 Πρόγραμμαd In[1]:= CleaAll "Global` " ; In[]:= M 1;Ldot 13; In[3]:= U M Out[3]= Ldot M Ldot 3 In[4]:= Plot U,, 3, Out[4]= In[5]:= F U' ; In[6]:= lis Solve U' 0, N Out[6]= 4.697, In[7]:= lis 1 Out[7]= In[8]:=.lis 1 Out[8]= In[9]:= U. lis 1 Out[9]= In[10]:= Solve U , Out[10]= 4.697, 4.697, In[11]:= tmin 0; tmax 1000; T π; In[14]:= g 0.1;

73 In[15]:= deq1 1' t p1 t deq p1' t F. 1 t gcos t sol1 NDSolve deq1, deq, 1 0 6, p1 0 0, 1, p1, t, tmin, tmax, MaxSteps, AccuacyGoal 10, PecisionGoal 10 ; Out[15]= 1 t p1 t Out[16]= p1 t 0.1Cos t t 4 1 t 3 1 t In[18]:= gaphs ; Fo 0 4.7, 0 9, , data ; deq1 1' t p1 t ; deq p1' t F. 1 t g Cos t ; sol1 NDSolve deq1, deq, 1 0 0, p1 0 0, 1, p1, t, tmin, tmax, MaxSteps, AccuacyGoal 10, PecisionGoal 10 ; t 1 t. sol1 1 ; pt p1 t. sol1 1 ; poincae Table Check t, pt, 0, 0, IntepolatingFunction::"dmval", t, tmin, tmax, T ; DeleteCases poincae, Null ; AppendTo data, ListPlot poincae, PlotLabel StandadFom g N, PlotRange All, Fame Tue, Axes False, PlotStyle PointSize 0.006, DisplayFunction Identity ; Show data, DisplayFunction $DisplayFunction, PlotRange All ; AppendTo gaphs, Show data, DisplayFunction Identity, PlotRange 4, 14, 0.7, ; ; In[0]:= Show gaphs, PlotRange All, PlotLabel PHASE SPACE, FameLabel "g 0.1" PHASE SPACE 0.10 Out[0]= g 0.1

74 Πρόγραμμα e CleaAll@"Global` "D; M = 1; Ldot = 13; U@_D = M + 1 Ldot Plot@U@D, 8, 3, 0<D; F@D = U'@D; M Ldot 3 lis = Solve@U'@D 0, D êên lis@@1dd ê. lis@@1dd U@ ê. lis@@1ddd tmin = 0; tmax = ; T = 34; g = ; deq1 = 1'@tD p1@td deq = p1'@td HF@D ê. 8 1@tD<L + g Cos@t π ê 34D sol1 = NDSolve@8deq1, deq, 1@0D 6, p1@0d 0<, 81, p1<, 8t, tmin, tmax<, MaxSteps, AccuacyGoal 10, PecisionGoal 10D; Fo@0 = 4.7, 0 10, 0 = , data = 8<; deq1 = 1'@tD p1@td; deq = p1'@td HF@D ê. 8 1@tD<L + g Cos@t π ê 34D; sol1 = NDSolve@8deq1, deq, 1@0D 0, p1@0d 0<, 81, p1<, 8t, tmin, tmax<, MaxSteps, AccuacyGoal 10, PecisionGoal 10D; t = 1@tD ê. sol1p1t; pt = p1@td ê. sol1p1t; poincae = Table@Check@8t, pt<, 80, 0<, IntepolatingFunction::"dmval"D, 8t, tmin, tmax, T<D; DeleteCases@poincae, NullD; AppendTo@data, ListPlot@poincae, PlotLabel StandadFom@0 êê ND, PlotRange All, Fame Tue, Axes False, PlotStyle 8PointSize@0.006D<, DisplayFunction IdentityDD; Show@data, DisplayFunction $DisplayFunction, PlotRange AllD; D;

75 Πρόγραμμαe - In[5]:= CleaAll "Global` " ; In[6]:= M 1;Ldot 13; In[7]:= U M Out[7]= Ldot M Ldot 3 In[8]:= In[9]:= In[30]:= Out[30]= In[31]:= Out[31]= In[3]:= Plot U,, 3, 0 ; F U' ; lis Solve U' 0, N 4.697, lis lis 1 Out[3]= In[33]:= U.lis 1 Out[33]= In[34]:= tmin 0; tmax ; T 34; In[37]:= g ; In[38]:= deq1 1' t p1 t deq p1' t F. 1 t gcos t π 34 sol1 NDSolve deq1, deq, 1 0 6, p1 0 0, 1, p1, t, tmin, tmax, MaxSteps, AccuacyGoal 10, PecisionGoal 10 ; Out[38]= Out[39]= 1 t p1 t p1 t Cos πt t 4 1 t 3 1 t In[41]:= data ;

76 In[00]:= deq1 1' t p1 t ;0 9.1; deq p1' t F. 1 t gcos t π 34 ; sol1 NDSolve deq1, deq, 1 0 0, p1 0 0, 1, p1, t, tmin, tmax, MaxSteps, AccuacyGoal 10, PecisionGoal 10 ; t 1 t. sol1 1 ; pt p1 t.sol1 1 ; poincae Table Check t, pt, 0, 0, IntepolatingFunction::"dmval", t, tmin, tmax, T ; DeleteCases poincae, Null ; AppendTo data, ListPlot poincae, PlotRange All, Fame Tue, Axes False, PlotStyle PointSize 0.005, DisplayFunction Identity ; Show data, DisplayFunction $DisplayFunction, PlotRange 4.5, 10, 0.1, 0.1, FameLabel "", "p", PlotLabel StandadFom T N Out[06]= p In[199]:= data Dop data, 1 ;

77 Πρόγραμμα FLI "D; M = 1; Ldot = 13; U@_D = M + 1 Ldot F@D = U'@D; tmin = 0; tmax = ; T = 34; g = ; M Ldot 3 f1 = p1@td f = HF@D ê. 8 1@tD<L + g Cos@t π ê TD deq1 = 1'@tD f1 deq = p1'@td f deq3 = j1'@td D@f1, 1@tDD j1@td + D@f1, p1@tdd j@td deq4 = j'@td D@f, 1@tDD j1@td + D@f, p1@tdd j@td FoB0 = 4.8, 0 < 10, 0 = , sol1 = NDSolve@8deq1, deq, deq3, deq4, 1@0D 0, p1@0d 0, j1@0d 1, j@0d 0<, 81, p1, j1, j<, 8t, tmin, tmax<, MaxSteps, AccuacyGoal 10, PecisionGoal 10DP1T; LP@t_D = 1 LogAHj1@tD ê. sol1p3tl + Hj@tD ê. sol1p4tl E; Plot@1@tD ê. sol1p1t, 8t, tmin, tmax<, AxesLabel FameLabel 8Pint@"0=", 0D<D; Plot@LP@tD, 8t, tmin, tmax<, AxesLabel 8t, FLI@tD<, FameLabel 8Pint@"0=", 0D<, PlotRange > 8All, 80, 30<<D; F;

78 Πρόγραμμα 3. a.1 "D; M = 1; g ab = DiagonalMatixA9 f@d, f@d 1,, Sin@θD=E; h abodd = ComplexExpandBReBExpToTigBε g combined = g ab + h abodd ; a = Invese@g combined D; small = Invese@g combined Dê. ε 0; g j_d := smallpi, jt p@i_d := 8pτ, p,pθ, pφ<pit x@i_d := 8τ,,θ, φ<pit H:= μ g jd p@id p@jd i=1 j=1 dot@d = + M LogB M 1F; gamma = 1 ê D@dot@D, DêêSimplify; Z@θD = Sin@θD; ho@d h1@d ho@d h1@d 0 0 ωτ Z@θDFFF; H01 = FactoTemsBEvaluateBH ê. :ho@d > 1 ω f@d Cos@ω D + Sin@ω D, h1@d > 1 f@d Cos@ω D>F, εf ê. ε ω 0 êê FullSimplify êê Apat; Hfinal = H01 ê. 8f@D gamma< êêfullsimplify; 1 ppt = SolveBHfinal,pτF ê. :pφ L, pθ 0, θ p p@td, pτ pτ@td, τ τ@td>; kaneksisosis = 8<; FoAk = 1, k < 5, k++, AppendToAkaneksisosis, 9 x@kd' p@kd Hfinal, p@kd' x@kd Hfinal=E;E kaneksisosisfinal = kaneksisosis ê. :pφ L, pθ 0, θ ' '@td, p p@td, p' p'@td, pτ pτ@td, pτ' pτ'@td, τ τ@td, τ' τ'@td> êê FullSimplify; ekskinisis = 8<; μ = 1 ê ;L= 13 ê ;ω = π ê 54; Hfinal ê. :pφ L, pθ 0, θ π > FoAi = 1, i < 5, i++, a = ChopAEvaluateAkaneksisosisfinal@@i, 1DD êê Simplify, 10 5 EE; b = ChopAEvaluateAkaneksisosisfinal@@i, DD êê Simplify, 10 5 EE; Pint@aD; Pint@bD; AppendTo@ekskinisis, 8a, b<d; E deq@x_, y_d := ekskinisispx, yt

79 acc = 8; initstep = ; maxstep = 0.5; steps = ; tmin = 0; tmax = ; ε=0.018; kmax = ; kstep = 1; poincae = 8<; plots = 8<; FoB0 = 4.8, 0 1., 0 = , pptt = ppt ê. :@td 0, p@td 0, τ@td en = pτ@td ê. ppttp1t; π ω >; lisis = NDSolveB:deq@1, 1D, deq@1, D, deq@, 1D, deq@, 0, p@0d 0, τ@0d 8, p, τ, pτ<, 8t, tmin, tmax<, AccuacyGoal acc, PecisionGoal acc, MaxSteps steps, StatingStepSize initstep, MaxStepSize maxstepf; Pint@"0=", 0D; p1 = Plot@τ@tD ê. lisisp1, 3T, 8t, tmin, tmax<, PlotRange All, AxesLabel 8t, τ@td<, FameLabel 8Pint@"0=", 0D<D; p = Plot@pτ@tD ê. lisisp1, 4T, 8t, tmin, tmax<, PlotRange All, AxesLabel 8t, pτ@td<, FameLabel 8Pint@"0=", 0D<D; p3 = Plot@@tD ê. lisisp1, 1T, 8t, tmin, tmax<, PlotRange All, AxesLabel FameLabel 8Pint@"0=", 0D<D; p4 = Plot@p@tD ê. lisisp1, T, 8t, tmin, tmax<, PlotRange All, AxesLabel 8t, p@td<, FameLabel 8Pint@"0=", 0D<D; AppendTo@plots, 8p1, p, p3, p4<d; tim@t_d = τ@tdê. lisis@@1, ê. lisis@@1, 1DD; pp@t_d = p@td ê. lisis@@1, DD; data = 8<; tt= π ω ; While@tt < 0.99 tmax, tt += π ê ω; sol = FindRoot@tim@tD tt, 8t, tt<d; tfound = t ê. sol@@1dd; AppendTo@data, 8@tfoundD, pp@tfoundd<d;d; t1 = ListPlot@dataD; F π,pτ@0d en>, ω

80 Πρόγραμμα 3. a. "D; H = 1 H + L Hp H + L pτ L Hp H + L + pτ L + 13 H + L 13 pε Cos@ ωd Cos@τ ωd + 6 pτ ε Cos@τ ωd Sin@ ωd ; FullSimplify@HD 6 + I13 + p H + L pτ M + 6 ε Cos@τ ωdh p H + L Cos@ ωd + pτ Sin@ ωdl H + L deq1 = D@H, pd deq = D@H, pτd deq3 = D@H, D deq4 = D@H, τd êê FullSimplify; êê FullSimplify; êê FullSimplify; êê FullSimplify; deq1 = '@td Evaluate@deq1 ê. p p@td, pτ pτ@td, τ τ@td<d; deq = τ'@td == Evaluate@deq ê. p p@td, pτ pτ@td, τ τ@td<d; deq3 = p'@td == Evaluate@deq3 ê. p p@td, pτ pτ@td, τ τ@td<d; deq4 = pτ'@td == Evaluate@deq4 ê. p p@td, pτ pτ@td, τ τ@td<d; H Initial Paametes L T = 34; ω = π ê T; ε=0.018; h = 1 ê í.0; τ0 = Pi êh ωl; data = 8<; cosdata = 8<; H Initial Conditions L 0 = 8.4; p0 = 0.0; Hsection = H h ê. 8 0, p p0, τ τ0< êê Chop; sol = Solve@Hsection, pτd; pτ0 = pτ ê. sol@@1dd; tmax = ; nsol = NDSolve@8deq1, deq, deq3, 0, p@0d p0, τ@0d == τ0, pτ@0d pτ0<, 8, τ, p, pτ<, 8t, 0, tmax<, MaxSteps D; my@t_d ê. nsol@@1dd; myp@t_d = p@td ê. nsol@@1dd; myτ@t_d = τ@td ê. nsol@@1dd; mypτ@t_d = pτ@td ê. nsol@@1dd; Plot@my@tD, 8t, 0, tmax ê 100<D Plot@myp@tD, 8t, 0, tmax ê 100<, PlotRange AllD Plot@Evaluate@D@myτ@tD, tdd, 8t, 0, tmax ê 100<D Plot@mypτ@tD, 8t, 0, tmax ê 100<D

81 Gaphics Gaphics Gaphics Gaphics

82 tt Τ0 While tt 0.99 tmax, tt Pi Ω; sol FindRoot myτ t tt, t, tt ; tfound t. sol 1 ; AppendTo data, my tfound, myp tfound ; AppendTo cosdata, Cos Evaluate myτ tfound Ω Length data Shot data, FindRoot::lstol : The line seach deceased the step size to within toleance specified by AccuacyGoal and PecisionGoal but was unable to find a sufficient decease in the meit function. You may need moe than MachinePecision digits of woking pecision to meet these toleances. Moe , , , , 11.95, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 71073, , , 11.81, , , , , , , , , , 358, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 0.000, 7.066, , , , 8.069, , , , , , , , , , 8.169, , , , , t1 ListPlot data, PlotLabel StandadFom T N Gaphics