Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1

Transcript

1 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι Υποχώροι Γραµµικοί συνδυασµοί Γραµµική ανεξαρτησία Άθροισµα και ευθύ άθροισµα υποχώρων Ασκήσεις... Στο κεφάλαιο αυτό θα µελετήσουµε την έννοια του διανυσµατικού χώρου, µιας µαθηµατικής δοµής, που αποτελεί γενίκευση της δοµής του R. Θα γνωρίσουµε την έννοια του διανυσµατικού υποχώρου ενός χώρου, πότε δηλαδή ένα υποσύνολο ενός χώρου γίνεται και εκείνο διανυσµατικός χώρος. Θα δούµε τι είναι γραµµικοί συνδυασµοί στοιχείων-διανυσµάτων ενός χώρου και πως διανυσµατικοί υποχώροι µπορούν να χτιστούν από λίγα διανύσµατα. Τέλος, θα δούµε πως από δοσµένους διανυσµατικούς υποχώρους µπορούµε να παράξουµε άλλους χώρους µέσα από τη πράξη του αθροίσµατος υποχώρων.

2 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 6. ιανυσµατικοί χώροι Στη παράγραφο αυτή θα εισαγάγουµε την έννοια του διανυσµατικού χώρου και θα δούµε µερικά παραδείγµατα, σηµαντικά για τη συνέχεια, όπου διαπιστώνεται η ύπαρξη της νέας µαθηµατικής δοµής, του διανυσµατικού χώρου. Στην παράγραφο 5. µελετήσαµε το σύνολο, για κάθε N, δηλαδή το R x, x,, x : x R, i,,,, όπου ορίσαµε µια πράξη πρόσθεσης {( ) i } και ένα πολλαπλασιασµό που ονοµάζουµε βαθµωτό ή κλιµακωτό. Θυµίζουµε λοιπόν ότι στο R έχουµε τους εξής ορισµούς. Πρόσθεση: Αν v ( x, x,, x ) και v ( y, y,, y ) στοιχεία του v + v ( x, x,, x ) + ( y, y,, y ) ( x + y, x + y, x + y ) R τότε Βαθµωτός πολλαπλασιασµός: Για κάθε v ( x, x,, x ) R και για κάθε k R ορίζουµε k v k ( x, x,, x ) ( kx, kx,, kx ) Η πράξη της πρόσθεσης ικανοποιεί τις επόµενες ιδιότητες:. v+ + v, για όλα τα v, R (αντιµεταθετική ιδιότητα στο. ( u+ v) + u+ ( v+ ), για όλα τα uv,, R (προσεταιριστική ιδιότητα στο R ). υπάρχει ένα στοιχείο, το µηδενικό διάνυσµα (,,,) για το οποίο ισχύει + v v+, για κάθε v του R. για κάθε v ( x, x,, x ) R υπάρχει το αντίθετο του, το οποίο συµβολίζουµε µε v ( x, x,, x ) R και ικανοποιεί τη σχέση v+ ( v) ενώ ο βαθµωτός πολλαπλασιασµός ικανοποιεί τις ιδιότητες: 5. v v, για κάθε v ( x, x,, x ) R και η µονάδα στο. 6. k( v+ ) kv+ k, για κάθε v, R και κάθε k (επιµεριστική ιδιότητα του βαθµωτού πολλαπλασιασµού ως προς τη πρόσθεση στο R ) 7. ( k + l) v kv+ lv, για κάθε v ( x, x,, x ) R και κάθε k, l R (επιµεριστική ιδιότητα του βαθµωτού πολλαπλασιασµού ως προς τη πρόσθεση στο R) 8. ( kl) v k( lv), για κάθε v ( x, x,, x ) R και κάθε k, l R. Τα στοιχεία του R τα ονοµάζουµε, ως γνωστό, διανύσµατα. R ) Οι παραπάνω αλγεβρικές ιδιότητες () - (8) ικανοποιούνται και από τα στοιχεία και άλλων συνόλων όταν αυτά εφοδιαστούν µε µια πράξη πρόσθεσης και ένα βαθµωτό πολλαπλασιασµό. Για παράδειγµα, αν µε u, v, παραστήσουµε mx Αν σε ένα µη κενό σύνολο Α οριστεί µια πράξη * η οποία ικανοποιεί τις ιδιότητες () έως (), τότε το ζεύγος (Α,*) λέγεται οµάδα αντιµεταθετική (ή απλά οµάδα όταν δεν ισχύει η ιδιότητα () ).

3 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 πίνακες µε στοιχεία πραγµατικούς (ή µιγαδικούς αριθµούς) µε πράξη πρόσθεσης και βαθµωτού πολλαπλασιασµού όπως ορίστηκαν στη παράγραφο. τότε οι ιδιότητες ()-(8) παραµένουν ισχυρές. Έτσι, για παράδειγµα, το µηδενικό στοιχείο του συνόλου των mx πινάκων είναι ο mx πίνακας () ij (µε όλα τα στοιχεία του µηδέν) και το αντίθετο ενός πίνακα A ( a ij ) είναι ο πίνακας A ( a ij ). Και ακόµα αν k R, και A ( a ij ), B ( b ij ) δύο mx πίνακες, τότε σχετικά µε την ισχύ της ιδιότητας (6) του βαθµωτού πολλαπλασιασµού στο σύνολο των mx πινάκων, έχουµε k( A+ B) k(( a ) + ( b )) k( a+ b) ( k( a+ b)) ij ij ij ij ( ka+ kb) ( ka) + ( kb) k( a ) + k( b ) ka + kb ij ij ij ij ij Ένα άλλο παράδειγµα σηµαντικό στην ανάλυση Fourier, αποτελεί το σύνολο των συνεχών πραγµατικών συναρτήσεων ορισµένων στο διάστηµα [, π ] ικανοποιεί αντίστοιχα τις παραπάνω οκτώ ιδιότητες (αφού το άθροισµα ( f + g)( x) f ( x) + g( x) συνεχών συναρτήσεων στο ίδιο διάστηµα Ι είναι συνεχής συνάρτηση στο Ι, όπως επίσης συνεχής συνάρτηση στο Ι είναι και το γινόµενο ( kf )( x) k f ( x), αριθµού k R µε συνεχή συνάρτηση f στο Ι ). Γίνεται λοιπόν αναγκαίο να εξερευνήσουµε τα σύνολα µε τέτοιες ιδιότητες για τα στοιχεία τους και να αναπτύξουµε µια κατάλληλη ορολογία για να τα περιγράψουµε. Έτσι, στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε την έννοια του διανυσµατικού χώρου και του υποχώρου, που είναι στην καρδιά της γραµµικής άλγεβρας. 6.. Ορισµός. Έστω V ένα µη κενό σύνολο και Κ το σύνολο των πραγµατικών αριθµών ή των µιγαδικών αριθµών, δηλαδή K R ή K C. Εφοδιάζουµε το V α) µε µια πράξη, την οποία ονοµάζουµε πρόσθεση και συµβολίζουµε µε + και η οποία ικανοποιεί τις επόµενες ιδιότητες () (). v + + v, για όλα τα v, V (αντιµεταθετική ιδιότητα της πράξης + στο V ). ( u+ v) + u+ ( v+ ), για όλα τα uv,, V (προσεταιριστική ιδιότητα της + στο V ). υπάρχει ένα στοιχείο στο V το οποίο ονοµάζουµε µηδενικό διάνυσµα και συµβολίζουµε µε, για το οποίο ισχύει + v v+, για κάθε v V Γενικότερα το Κ είναι ένα σώµα, δηλ. ένα σύνολο εφοδιασµένο µε δύο (εσωτερικές) πράξεις µια + (πρόσθεση) και µια i (πολλαπλασιασµός) ως προς τις οποίες τα ( K, + ) και ( K, i ), είναι οµάδες αντιµεταθετικές (όπου K K {} ) και ισχύει η επιµεριστική ιδιότητα της i ως προς την +. Τέτοια σύνολα είναι το σύνολο των ρητών, των πραγµατικών των µιγαδικών αριθµών κ.ά. µε τις γνωστές πράξεις + και i. Το ρόλο του στον πολλαπλασιασµό έχει ένα στοιχείο που συµβολίζεται µε (λέγεται µοναδιαίο), δηλ. i x x, για κάθε x K και το ρόλο του αντίθετου x έχει το x - (λέγεται αντίστροφο) Όταν λέµε ότι εφοδιάζουµε ένα µη κενό σύνολο Α µε µία πράξη * (συνήθως λέµε εσωτερική πράξη) εννοούµε µια συνάρτηση *:A A A, όπου ( ab, ) a b

4 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 και. για κάθε v V υπάρχει ένα άλλο στοιχείο τουv το οποίο ονοµάζουµε αντίθετο του v και συµβολίζουµε µε v και ικανοποιεί τη σχέση v+ ( v) β) και ένα πολλαπλασιασµό το οποίο ονοµάζουµε βαθµωτό πολλαπλασιασµό µε πραγµατικούς ή µιγαδικούς αριθµούς και ικανοποιεί τις επόµενες ιδιότητες (5)- (8) 5. v v, για κάθε v V 6. k( v+ ) kv+ k, για κάθε v, V και κάθε k R (ή C) (επιµεριστική ιδιότητα του βαθµωτού πολλαπλασιασµού ως προς τη πρόσθεση στο V ) 7. ( k + l) v kv+ lv, για κάθε v V και κάθε k, l R (ή C) (επιµεριστική ιδιότητα του βαθµωτού πολλαπλασιασµού ως προς τη πρόσθεση στο R) 8. ( kl) v k( lv), για κάθε v V και κάθε k, l R (ή C). 5 Τη µαθηµατική δοµή ( V, +, i) ονοµάζουµε Κ-διανυσµατικό χώρο ή διανυσµατικό χώρο πάνω από το Κ. 6.. Παραδείγµατα:. Τα σύνολα Q, R και C, των ρητών, πραγµατικών και των µιγαδικών αριθµών αντίστοιχα, αποτελούν διανυσµατικούς χώρους 6 πάνω από τον εαυτό τους, µε πρόσθεση τη γνωστή µας πρόσθεση στο R ή C και βαθµωτό πολλαπλασιασµό τον γνωστό πολλαπλασιασµό µεταξύ ρητών, πραγµατικών ή µιγαδικών αριθµών αντίστοιχα. Συγκεκριµένα, ο βαθµωτός πολλαπλασιασµός, στη περίπτωση αυτή, είναι ταυτόσηµος µε την (εσωτερική) πράξη του πολλαπλασιασµού στο Q ή R ή C, δηλαδή πρόκειται για συναρτήσεις i :K K K όπου K Q, R ή C αντίστοιχα. Ακόµη, το C είναι Q- ή R-διανυσµατικός χώρος µε πρόσθεση και βαθµωτό πολλαπλασιασµό ( a+ ib) + ( + id) ( a+ ) + i( b+ d) k( a+ ib) ( ka) + i( kb) όπου abd,,, R και k Q ή R. Όµοια και το R µπορεί να θεωρηθεί Q-διανυσµατικός χώρος, µε βαθµωτό πολλαπλασιασµό το πολλαπλασιασµό µεταξύ ρητών µε πραγµατικούς αριθµούς.. Το σύνολο όλων των πολυωνύµων p(x) βαθµού P p( x) a x + a x + ax + a : a R, i { } i αποτελεί διανυσµατικό χώρο µε πρόσθεση : αν p( x), q( x) P και p( x) ax + a x + ax + a τότε, qx ( ) bx + b x + bx+ b Πρόκειται για εξωτερική όπως λέµε πράξη, δηλαδή για µια συνάρτηση i :R V V C V V όπου ( kv, ) i kv i ή απλά kv. 5 Το ζεύγος ( V, + ) είναι πάντα οµάδα αντιµεταθετική σε ένα διανυσµατικό χώρο ( V, +, i) 6 Κάθε σώµα είναι και διανυσµατικός χώρος., ή

5 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα 5 από 5 p( x) + q( x) ( a + b) x + ( a + b ) x + ( a + b) x + ( a + b) και βαθµωτό πολλαπλασιασµό : αν k R και p( x) a x + a x + ax + a P τότε k p( x) ka x + ka x + ka x + ka. Το σύνολο AR ( ) {( a) ( a, a, a, ): ai R, i,,, } όλων των ακολουθιών µε στοιχεία από το R αποτελεί R- διανυσµατικό χώρο, µε πρόσθεση και βαθµωτό πολλαπλασιασµό: ( a) + ( b) ( a, a, a, ) + ( b, b, b, ) ( a + b, a + b, a + b, ) k ( a) k ( a, a, a, ) ( ka, ka, ka, ), k R Το µηδενικό στοιχείο του AR ( ) είναι η ακολουθία (,,,, ) και το αντίθετο του ( a) ( a, a, a, ) η ακολουθία ( a) ( a, a, a, ). Η ισχύς των ιδιοτήτων του ορισµού είναι εύκολο να αποδειχθεί. F( A) f : A R / A R των. Έστω Α. Το σύνολο { } συναρτήσεων f : A R, από το Α στο σύνολο R των πραγµατικών αριθµών, αποτελεί διανυσµατικό χώρο από το R. Πραγµατικά, αν ορίσουµε Πρόσθεση : ( f + g)( x) f ( x) + g( x) για κάθε f, g F(A) και κάθε x A. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός : ( kf )( x) k f ( x) για κάθε f, g F(A), κάθε k R και κάθε x A. Το αντίθετο µιας f F(A) είναι η (-f ), όπου (-f )(x)-f(x) και το ρόλο του µηδενικού έχει η µηδενική συνάρτηση, δηλαδή ( x ) απεικονίζει κάθε x A στο (το γνωστό µηδέν του R). Παρατήρηση : Το σύνολο F(A) είναι µη κενό, αφού Α. Έτσι, π.χ. στο F(A) ανήκει η µηδενική συνάρτηση, ή ακόµη η ταυτοτική συνάρτηση I : A R, όπου I ( x) x, για κάθε x A. 5. Το σύνολο M ( K ) των τετράγωνων x πινάκων αποτελεί K- διανυσµατικό χώρο, µε πρόσθεση και βαθµωτό πολλαπλασιασµό όπως ορίστηκαν γενικότερα (δες. αλλά και στην αρχή της 6.) στο σύνολο M ( K ) των mx πινάκων (αρκεί να θέσουµε m ) m 6.. Βασικές ιδιότητες διανυσµατικών χώρων Έστω V ένας K-διανυσµατικός χώρος, K R ή K C. Οι επόµενες ιδιότητες των διανυσµατικών χώρων προκύπτουν άµεσα από τον ορισµό 6... Αν στην ιδιότητα (7) του ορισµού 6.. θέσουµε l αντί l, (αφού ισχύει για κάθε l K ) η ιδιότητα (7) γίνεται : Αν στην (7α) θέσουµε ( k l) v kv lv (7α) k l, τότε έχουµε

6 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα 6 από 5 ( k k) v kv kv όπου το µηδενικό στοιχείο του V. Έτσι έχουµε v για κάθε v V (9) Ανάλογα, αν στην ιδιότητα (6) θέσουµε αντί τότε αποκτούµε δηλαδή k( ) k k, για κάθε k K (6α) Αν στην ιδιότητα (5) του ορισµού 6.. θέσουµε k τότε γίνεται v v, για κάθε v V ()

7 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα 7 από 5 6. Υποχώροι Στη παράγραφο αυτή θα µελετήσουµε πότε ένα υποσύνολο ενός διανυσµατικού χώρου αποτελεί και αυτό διανυσµατικό χώρο, το οποίο θα ονοµάζουµε διανυσµατικό υποχώρο. Πότε π.χ. ένα σύνολο διανυσµάτων του R ή του R ή ακόµα του C και όχι ολόκληροι οι χώροι γίνονται διανυσµατικοί χώροι µε πρόσθεση και βαθµωτό πολλαπλασιασµό αυτούς που έχουν ήδη ορισθεί στα R και C. 6.. Ορισµός. Έστω V ένας K-διανυσµατικός χώρος, K R ή K C. Ένα µη κενό υποσύνολο W του V θα λέγεται K-διανυσµατικός υποχώρος του V αν είναι διανυσµατικός χώρος ως προς τις πράξεις πρόσθεσης και βαθµωτού πολλαπλασιασµού στον V. Θα πρέπει εποµένως κάποιος για να ελέγξει αν ένα υποσύνολο W ενός διανυσµατικού χώρου V ότι θα είναι διανυσµατικός υποχώρος, βάσει του ορισµού 6.., να ελέγξει την ισχύ των οκτώ ιδιοτήτων του ορισµού 6... Το επόµενο θεώρηµα όµως απλουστεύει αυτό τον έλεγχο. Έτσι, 6.. Θεώρηµα. Ένα µη κενό υποσύνολο W ενός K-διανυσµατικού χώρου V θα K-διανυσµατικός υποχώρος του V αν και µόνο αν ισχύουν για το W οι επόµενες δύο ιδιότητες: i) u+ v W για κάθε uv, W ιι) k W για κάθε k K και κάθε W Απόδειξη. Είναι φανερό ότι αν ο W είναι K-διανυσµατικός υποχώρος του V τότε ως χώρος ικανοποιεί τις οκτώ ιδιότητες του ορισµού 6.. για χώρους. Έτσι το άθροισµα στοιχείων ενός χώρου, άρα και του W, είναι πάλι στοιχείο του χώρου, οπότε ικανοποιείται η ιδιότητα (i). Όµοια, ο βαθµωτός πολλαπλασιασµός στον V είναι και βαθµωτός πολλαπλασιασµός για τον W, αφού W V. Και εφόσον ο W είναι χώρος το k W είναι πάντα στοιχείο του, εποµένως ισχύει και η ιδιότητα (ii). Αντίστροφα, έστω ότι ισχύουν οι ιδιότητες (i) και (ii). Εφόσον W V τότε τα στοιχεία του W ικανοποιούν την αντιµεταθετική και προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (οι δύο πρώτες ιδιότητες του ορισµού 6..). Από την ιδιότητα (ii) για k και για κάθε W έχουµε ( ) W (ιδιότητα (), της 6.. ), δηλαδή κάθε στοιχείο του W έχει αντίθετο που ανήκει πάλι στο W (ισχύει δηλ η ιδιότητα του ορισµού 6..). Επίσης, για k η ιδιότητα (ii) δίνει W (ιδιότητα (9) ), όπου το µηδενικό στοιχείο του V (ισχύς της ιδιότητας του ορισµού 6..). Οι ιδιότητες (5)-(8) του ορισµού 6.. ισχύουν για τα στοιχεία του W, αφού µπορούν να θεωρηθούν και στοιχεία του V. Και το θεώρηµα αποδείχτηκε. 6.. Παρατηρήσεις. α) Από το θεώρηµα 6.. και την απόδειξη έγινε φανερό ότι ένα µη κενό υποσύνολο W ενός K-διανυσµατικού χώρου V θα K- διανυσµατικός υποχώρος του V αν και µόνο αν το άθροισµα στοιχείων του W

8 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα 8 από 5 είναι πάλι στοιχείο του W όπως και ο βαθµωτός πολλαπλασιασµός στο W δίνει ξανά στοιχείο του W. β) Κάθε υποχώρος ενός K-διανυσµατικού χώρου V είναι πάντοτε ένα µη κενό σύνολο, αφού οπωσδήποτε περιέχει το µηδενικό στοιχείο του V. Το παραπάνω θεώρηµα 6.. έχει και την επόµενη ισοδύναµη έκφρασή του: 6... Πρόταση. Ένα µη κενό υποσύνολο W ενός K-διανυσµατικού χώρου V θα K-διανυσµατικός υποχώρος του V αν και µόνο αν για κάθε uv, W και κάθε kl, K, ισχύει ku + lv W Απόδειξη. Αν ο W είναι K-διανυσµατικός υποχώρος του V τότε για uv, W και κάθε kl, Kτότε ku W και lv W οπότε και ku + lv W. Αντίστροφα, αν ισχύει ku + lv W για κάθε uv, W και κάθε kl, K, τότε για k l έχουµε u+ v W και ακόµη για l έχουµε ku W για κάθε k K και κάθε u W. Ετσι ικανοποιούνται οι ιδιότητες του θεωρήµατος 6.. και εποµένως ο W είναι K-διανυσµατικός υποχώρος του V Παραδείγµατα.. Έστω V ένας K-διανυσµατικός χώρος. Τότε ο εαυτός του και το µονοσύνολο, όπου το µηδενικό στοιχείο του V, είναι K-διανυσµατικοί υποχώροι του V. { } Πράγµατι, στο { } έχουµε ότι + και k, για κάθε k K και σύµφωνα µε το θεώρηµα 6.. το { } αποτελεί K-διανυσµατικοί υποχώρο του V. Είναι προφανές ότι ο ίδιος χώρος V είναι υποχώρος του εαυτού του.. Έστω M ( K ) ο K-διανυσµατικός χώρος των x πινάκων µε στοιχεία από το K ή K. α) Συµβολίζουµε µε D ( K) το υποσύνολο του M ( K ) των διαγωνίων x a a πινάκων, δηλαδή των πινάκων της µορφής. Το D ( K) a αποτελεί K-διανυσµατικό υποχώρο του M ( K ). Πράγµατι, αφού το άθροισµα δύο διαγώνιων a b a + b a b a + b + a b a + b είναι πάλι διαγώνιος πίνακας. Αλλά και ο βαθµωτός πολλαπλασιασµός a ka a ka k, για κάθε k K a ka

9 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα 9 από 5 είναι ξανά διαγώνιος πίνακας. Εποµένως, από το θεώρηµα 6.. το αποτελεί K-διανυσµατικό υποχώρο του M ( K ). D ( K) β) Συµβολίζουµε µε A ( K) το υποσύνολο του M ( K ) των άνω τριγωνικών a a a a a πινάκων, δηλαδή πινάκων της µορφής των οποίων τα a στοιχεία κάτω από τη κύρια διαγώνιο είναι όλα ίσα µε µηδέν. Το A ( K) αποτελεί K-διανυσµατικό υποχώρο του M ( K ). Πράγµατι, το άθροισµα δύο άνω τριγωνικών πινάκων a a a b a b a + b a + b a + b a a b b a + b a + b + a b a + b είναι τριγωνικός πίνακας. Και ανάλογα ο βαθµωτός πολλαπλασιασµός άνω τριγωνικού πίνακα µε στοιχείο του K a a a ka ka ka a a ka ka k, για κάθε k K a ka είναι πάλι τριγωνικός πίνακας και σύµφωνα µε το θεώρηµα 6.. το αποτελεί K-διανυσµατικό υποχώρο του M ( K ). A ( K) γ) Συµβολίζουµε µε S ( K) το υποσύνολο του M ( K ) των συµµετρικών πινάκων δηλαδή τετράγωνων πινάκων των οποίων τα στοιχεία είναι συµµετρικά 5 ως προς τη κύρια διαγώνιο (π.χ. αν, ο πίνακας 5 7 είναι 7 συµµετρικός. Θυµίζουµε ότι για ένα συµµετρικό πίνακα A ( a ij ) ισχύει A A ( aij ) ( aji )). Το S ( K) αποτελεί K-διανυσµατικό υποχώρο του ( K ). Πράγµατι, το άθροισµα δύο τυχαίων συµµετρικών x πινάκων M a a a b b b a + b a + b a + b a a a b b b a + b a + b a + b + a a a b b b a + b a + b a + b είναι συµµετρικός πίνακας και ο βαθµωτός πολλαπλασιασµός συµµετρικού πινάκα µε στοιχείο του K

10 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 a a a ka ka ka a a a ka ka ka k, για κάθε k K a a a ka ka ka είναι ξανά συµµετρικός πίνακας. Επαληθεύεται εποµένως το θεώρηµα 6.. και έτσι το S ( K ) αποτελεί K-διανυσµατικό υποχώρο του M ( K ).. Το σύνολο W {(,,, s t s):, t s t } είναι -υποχώρος του. Έστω ( s,,, t s ) t και ( s',, t', s' t') δύο στοιχεία του W. Τότε το άθροισµα τους ( s,, t,s t) + ( s',, t', s' t') ( s+ s',, t + t',( s+ s') ( t + t')) είναι στοιχείο του W. Ανάλογα, για κάθε k και (,,, s t s ) t του W έχουµε k( s,, t,s t) ( ks,, kt,( ks) ( kt)) W Άρα το W είναι -υποχώρος του.. Το σύνολο W {(, s 5,, t s+ ):, t s t } δεν είναι -υποχώρος του. Αρκεί να παρατηρήσουµε ότι το µηδενικό στοιχείο (,,,) του δεν είναι στοιχείο του W, αφού δεν µπορεί να είναι της µορφής (, s 5,, t s+ ) t για καµία τιµή των s, t. Οπότε σύµφωνα µε τη παρατήρηση 6.. (β) το W δεν µπορεί να αποτελεί -υποχώρο του. 5. Ανάλογα µπορούµε να αποδείξουµε ότι το επίπεδο P {( x, y, ) : x + y } είναι υποχώρος του χώρου. Παρατηρείστε ότι, πρόκειται για ένα επίπεδο διερχόµενο από την αρχή (,,) των αξόνων. Ενώ το επίπεδο Q {( x, y, ) : x + y }, δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων και εποµένως το µηδενικό στοιχείο του χώρου δεν περιέχεται στο υποσύνολό του Q, πράγµα που σηµαίνει ότι το Q δεν αποτελεί υποχώρο του. Οι επόµενες προτάσεις µας δίνουν δύο σηµαντικά παραδείγµατα υποχώρων που συνοδεύουν κάθε m πίνακα Α Πρόταση. Αν Α είναι ένας m πίνακας µε στοιχεία από το, το σύνολο N( A) X : AX είναι -διανυσµατικός υποχώρος του. { } Σηµείωση. Η πρόταση 6..6 µπορεί να διατυπωθεί και πίνακες µε στοιχεία από το Ορισµός. Για ένα m πίνακα Α ο υποχώρος N( A) X : AX λέγεται µηδενοχώρος (ullspae) του Α. { }

11 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Απόδειξη της Πρότασης Θεωρώντας τα στοιχεία του σαν στήλες µε στοιχεία το γινόµενο ΑΧ εκτελείται. Έστω λοιπόν X, X N( A) οπότε AX και AX. Έχουµε AX ( + X) AX + AX +, οπότε το άθροισµα στοιχείων του Ν(Α) είναι στοιχείο του Ν(Α). Ακόµα, αν k και X N( A), τότε AkX ( ) AkX kax ( ) k, δηλαδή kx N( A). Εποµένως, Ν(Α) είναι -διανυσµατικός υποχώρος του Πόρισµα. Το σύνολο λύσεων ενός οµογενούς συστήµατος, m εξισώσεων µε αγνώστους, είναι ένας -διανυσµατικός υποχώρος του. Απόδειξη. Αν Α είναι ο m πίνακας του συστήµατος και Χ παριστάνει τη στήλη [ xx x ] των αγνώστων του συστήµατος, τότε το σύστηµα ως γνωστό παίρνει τη µορφή AX. Οπότε κάθε λύση Χ του συστήµατος είναι στοιχείο του µηδενοχώρου Ν(Α) του πίνακα Α και εποµένως το σύνολο λύσεων είναι ακριβώς ο µηδενοχώρος του Α, δηλαδή -διανυσµατικός υποχώρος του Πρόταση. Αν είναι ένας m µε στοιχεία πραγµατικούς αριθµούς (αντ. µιγαδικούς) πίνακας, το σύνολο ( ) m R A b : AX b, για καποιο X { } m m είναι ένας (αντ. )-διανυσµατικός υποχώρος του (αντ. ). 6.. Ορισµός. Για ένα m πίνακα Α ο υποχώρος R( A) b m : AX b, για καποιο X { } λέγεται χώρος των στηλών (rage) του πίνακα Α. Απόδειξη της πρότασης Έστω b, b R( A), οπότε υπάρχουν X, X τέτοια ώστε AX b και Ax b. Έχουµε AX ( + X) AX + AX b + b δηλαδή για το στοιχείο b b υπάρχει το X + X τέτοιο ώστε + AX ( + X ) b+ b. Άρα b + b R( A). Έστω b R( A) και k. Τότε υπάρχει X τέτοιο ώστε AX b AkX ( ) kax ( ) kb, οπότε kb R( A) αφού υπάρχει το kx ώστε AkX ( ) kb. m Εποµένως, R(A) είναι -διανυσµατικός υποχώρος του Παραδείγµατα.. Θεωρείστε το παράδειγµα 6..5 (). Το σύνολο W (,,, s t s):, t s t είναι ο χώρος των στηλών του πίνακα { } και

12 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 δηλαδή R( A) W. Πραγµατικά A b b b b x x R( A) b : AX, για καποιο X b y b y b b { [ ] :[ ] [ + ] } b b b b b b b b b x y x y W. Έστω το σύνολο V {[ x y x + y x y] : x, y }. Το σύνολο V είναι ένας υποχώρος του, αν τον θεωρήσουµε σαν το µηδενοχώρο του πίνακα A. Πράγµατι, ένα στοιχείο X [ abd] του µηδενοχώρου Ν(Α) του Α έχει την ιδιότητα AX, δηλαδή a b a + d οπότε απ όπου a d και b + d d d + d b + d. Έτσι X [ d + d d], το οποίο έχει την d µορφή των στοιχείων του συνόλου V. Άρα V N( A), το οποίο σηµαίνει ότι το V είναι ένας υποχώρος του.

13 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 6. Γραµµικοί συνδυασµοί Στη παράγραφο αυτή θα δούµε πως µπορούµε να περιγράφουµε διανυσµατικούς υποχώρους µε λίγα διανύσµατα τους, πως δηλαδή θα µπορούµε να χτίσουµε αυτούς τους χώρους από λίγα διανύσµατα µε βάση τη πρόσθεση και το βαθµωτό πολλαπλασιασµό. Έτσι θα αποκτήσουµε στη συνέχεια τη δυνατότητα να περιγράψουµε µε σαφήνεια τις λύσεις (αορίστων) συστηµάτων. 6.. Ορισµός. Αν v, v,, v και είναι διανύσµατα ενός Κ-διανυσµατικού χώρου V, θα λέµε ότι το είναι γραµµικός συνδυασµός των v, v,, v αν υπάρχουν αριθµοί (πραγµατικοί ή µιγαδικοί) k, k, k τέτοιοι ώστε 6.. Παραδείγµατα. k v + k v + + k v. Το διάνυσµα [ 58] του είναι γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων [ ], [ ] και [ ], αφού. Ο πίνακας γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των πινάκων E, E, E, E.. Αν v (,) και (, ) δύο διανύσµατα του επιπέδου τότε ένα τυχαίο διάνυσµα u ( a, b) του γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός αυτών µε τον επόµενο τρόπο u ( a b) v+ ( a b) Αν τα v και ήταν διαφορετικά θα εξακολουθούσε το τυχαίο διάνυσµα u του επιπέδου να γράφεται σαν γραµµικός τους συνδυασµός ; Την απάντηση θα δούµε σε επόµενη παράγραφο που αναφέρεται στη γραµµική ανεξαρτησία διανυσµάτων Θεώρηµα. Αν v, v,, vs είναι διανύσµατα ενός Κ-διανυσµατικού χώρου V, τότε το σύνολο όλων των γραµµικών τους συνδυασµών αποτελεί υποχώρο του V. Απόδειξη. Ας είναι W το σύνολο όλων των γραµµικών συνδυασµών των v, v,, vs, δηλαδή

14 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 { :,,, } W k v + k v + k v k k k K s s s Αρκεί να δείξουµε, σύµφωνα µε το θεώρηµα 6.. ότι το άθροισµα στοιχείων του W και ο βαθµωτός πολλαπλασιασµός αριθµού µε στοιχείο του W δίνει αποτέλεσµα µέσα στο W. Έστω λοιπόν, u στοιχεία του W. Τότε γράφονται σας γραµµικοί συνδυασµοί των v, v,, vs και είναι kv+ kv+ ksvs και u v + v+ svs Τότε + u ( k + ) v + ( k + ) v + ( k + ) v και k ( kk) v + ( kk) v + ( kks ) v οπότε + u W και k W. s s s s 6.. Ορισµός. Αν v, v,, vs είναι διανύσµατα ενός Κ-διανυσµατικού χώρου V τότε ο υποχώρος του V όλων των γραµµικών συνδυασµών των v, v,, vs λέγεται χώρος παραγόµενος από τα διανύσµατα v, v,, vs και τον συµβολίζουµε µε { v } spa v, v,, s Παραδείγµατα.. Στο παράδειγµα 6.. () είδαµε ότι τα διανύσµατα v (,) και (, ) του επιπέδου παράγουν τον, αφού ένα τυχαίο διάνυσµα του u ( a, b) γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός αυτών. Εποµένως,. spa{, v }. Τα διανύσµατα e (,,), e (,,), e (,,) του χώρου παράγουν τον ίδιο, αφού ένα οποιοδήποτε διάνυσµα u ( x, y, ) του γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός αυτών σαν u xe + ye + e.. Γενικότερα, τα διανύσµατα e (,,,), e (,,,,),..., e (,,,) του χώρου παράγουν τον, για κάθε, επειδή ένα διάνυσµα u ( x, x,, x ) γράφεται σαν u xe+ xe+ xe. Οπότε spa{ e, e,, e }. a b. Όπως είδαµε και στο παράδειγµα 6..() κάθε x πίνακας A d γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των E, E, E και E σαν A ae + be + E + de. Και γενικότερα, στο σύνολο M ( K ) των πινάκων, αν µε Eij παραστήσουµε εκείνο τον πίνακα που έχει στη (ij)-θέση τη µονάδα και παντού αλλού µηδέν, τότε κάθε πίνακας γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των. Εποµένως, E ij M ( K ) spa{ Eij, i, j }

15 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα 5 από Παρατήρηση. Ένας χώρος µπορεί να παράγεται από περισσότερα το ενός σύνολα (διάφορα µεταξύ τους) διανυσµάτων. Αυτό διαπιστώνουµε και στα παραπάνω παραδείγµατα 6..5 () και (), όπου ο χώρος µπορεί να είναι spa{ e, e }, όπου e (, ) και e (,) spa{, v } Θα δούµε όµως, αργότερα, ότι κάποια σύνολα διανυσµάτων που παράγουν ένα χώρο είναι καλύτερα από κάποια άλλα Πρόταση. Αν για ένα χώρο V ισχύει V spa{ v, v,, vs} διάφορο των v v v, τότε {,,,, } v s +,,, s Απόδειξη. Αν u spa{ v v v } και v V, V spa v v v v +. s s s+,,, s τότε u av + av+ + asvs για κάποια ai K. Όµως το u µπορεί να γραφεί και ως u av + av+ + asvs + v s +, εποµένως τα v, v,, vs, v s + παράγουν τον χώρο V Θεώρηµα. Έστω Α ένας m πίνακας. Ο χώρος των στηλών R( A ) του Α είναι ( ) ο χώρος που παράγεται από τις στήλες του πίνακα Α. ηλαδή, αν A A, A,, A, όπου A, A,, A οι στήλες του Α, τότε R( A) spa{ A, A,, A }. Απόδειξη. Επειδή θέλουµε να δείξουµε µια ισότητα µεταξύ συνόλων, αρκεί να δείξουµε ότι R( A) spa{ A, A,, A } και spa{ A, A,, A} R( A) Έστω u k A + k A + + k A. Τότε το u γράφεται και σαν k k k u [ A, A,, A ] k ], από όπου u AX για X. Άρα το u είναι στοιχείο k k του R( A ) (βλέπε ορισµό 6..) και έτσι spa{ A, A,, A} R( A) k k Αντίστροφα, έστω b R( A) οπότε AX b για κάποιο X. Τότε όµως k b k A + k A + + k A, δηλαδή είναι ένας γραµµικός συνδυασµός των στηλών του πίνακα Α και εποµένως 6..9 Παραδείγµατα. R( A) spa{ A, A,, A }.. Να βρεθούν τα διανύσµατα που παράγουν το χώρο R( A ), όπου A Απάντηση : Σύµφωνα µε το θεώρηµα 6. ο χώρος ( ) R A είναι ο χώρος που παράγεται από τις στήλες του Α, δηλαδή

16 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα 6 από 5 R( A) spa,,, Κάθε διάνυσµα λοιπόν στο R( A ) γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός , i Παρατηρείστε όµως ότι, τα διανύσµατα- στήλες και µπορούν να γραφούν σαν γραµµικοί συνδυασµοί των άλλων δύο στηλών, του πίνακα Α, αφού υπάρχουν kl, τέτοια ώστε k l k + l k l απ όπου k και l Επίσης - k - l k + l - k - l απ όπου k και l - - Έτσι R( A) spa, - και το τυχαίο στοιχείο R( A) γράφεται πλέον σαν a b + Παρατήρηση: είτε ότι και R( A) spa, spa, spa, ηλαδή υπάρχουν διαφορετικά σύνολα διανυσµάτων που παράγουν τον R( A ).. Να βρεθούν διανύσµατα που παράγουν τον µηδενοχώρο N(A) του πίνακα A. x y Απάντηση : Αν X N( A) τότε X [ x y ] και AX οπότε [ x y ] [ ] απ όπου x + y + -. Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι x + y -

17 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα 7 από 5 5 Έτσι το αρχικό σύστηµα είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα των εξισώσεων 5 + x και + y, απ όπου x 5 + και. y ηλαδή αν τότε έχει τη µορφή [ ] ) N(A y x X y x Εποµένως, το τυχαίο ) είναι γραµµικός συνδυασµός των ( A N X [ ] και [ ]. Άρα 5 [ ] [ ] { } ( ), 5 N A spa 6.. Παράδειγµα: ίνεται ο πίνακας A α) Αν τότε ). Να δείτε ότι το [ ] X (A R AX AX είναι γραµµικός συνδυασµός των στηλών του. A β) Είναι το διάνυσµα [ στοιχείο του ; ] ) (A R Απάντηση: α) Είναι ) ( A AX R λόγω ορισµού του χώρου ). Σύµφωνα µε το θεώρηµα 6.., το είναι γραµµικός συνδυασµός των στηλών του. ηλαδή υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί τέτοιοι ώστε R(A A,, και λύνοντας το παραπάνω σύστηµα προκύπτει ότι, και.

18 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα 8 από 5 β) Για να είναι το διάνυσµα στοιχείο του ), αρκεί να γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των στηλών του. Έστω λοιπόν [ ] (A R A + + b a ή ισοδύναµα b a Λύνοντας το παραπάνω σύστηµα έχουµε: όπου η τελευταία γραµµή δηλώνει ότι το σύστηµα είναι αδύνατο. Εποµένως το δεν µπορεί να γραφεί σαν γραµµικός συνδυασµός των στηλών του και έτσι [ ]. [ ] A ) ( - A R

19 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα 9 από 5 Έστω V spa{ v v v } 6. Γραµµική ανεξαρτησία,,, s ένας K-διανυσµατικός χώρος. Τότε το µηδενικό στοιχείο του V γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των v, v,, vs, δηλαδή υπάρχουν,,, s K τέτοια ώστε v + v + + v (6..) s s Ενδιαφερόµαστε αν υπάρχουν,,, s K τα οποία είναι όλα µηδέν για να ισχύει η σχέση (6..) ή κάποια από αυτά είναι διάφορα του µηδενός και εξακολουθεί να ισχύει η σχέση (6..). ίνουµε για το λόγο αυτό τους επόµενους ορισµούς. 6.. Ορισµός. Έστω v, v,, vs διανύσµατα ενός K-διανυσµατικού χώρου V. Αν από κάθε γραµµικό συνδυασµό v + v + + svs των v, v,, vs προκύπτει ότι s, τότε τα διανύσµατα v, v,, vs λέγονται γραµµικά ανεξάρτητα. Σε κάθε άλλη περίπτωση, δηλαδή αν υπάρχει ένα τουλάχιστο i και ισχύει v + v+ + v s s, τότε τα διανύσµατα v, v,, vs λέγονται γραµµικά εξαρτηµένα. 6.. Παραδείγµατα.. Έστω u και v διανύσµατα του και έστω au + bv ένας γραµµικός τους ίσος b b µε µηδέν. Έστω π.χ. ότι a, τότε u v. Αν θέσουµε k τότε u kv, το a a οποίο σηµαίνει ότι τα διανύσµατα u και v είναι συγγραµµικά. ηλαδή, αν δύο διανύσµατα u και v του είναι γραµµικά εξαρτηµένα τότε αυτά είναι συγγραµµικά. Αλλά και αντίστροφα, αν ισχύει u kv, k K, για δύο διανύσµατα u και v του, τότε u kv, δηλαδή υπάρχει ένας γραµµικός τους συνδυασµός µε µη µηδενικούς συντελεστές που είναι ίσος µε µηδέν. Άρα τα u και v είναι γραµµικά εξαρτηµένα. Αν όµως από τη σχέση au + bv προκύπτει κατανάγκη ότι a b, δηλαδή είναι γραµµικά ανεξάρτητα, τότε τα διανύσµατα u και v του δεν µπορούν να είναι συγγραµµικά.. Τα διανύσµατα e (,,), e (,,), e (,,) του είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Πραγµατικά, αν θεωρήσουµε ένα γραµµικό τους συνδυασµό e + e+ e, τότε (,,) + (,,) + (,, ) (,,), από όπου προφανώς, δηλαδή τα e, e, eείναι γραµµικά ανεξάρτητα. Με ανάλογο ακριβώς τρόπο µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι τα διανύσµατα e (,,,), e (,,,,),, e (,,,,), του χώρου, είναι επίσης γραµµικά ανεξάρτητα.. Είναι γνωστό ότι δύο µη συγγραµµικά διανύσµατα u και v του ορίζουν ένα επίπεδο P, είναι δηλαδή συνεπίπεδα. Από το προηγούµενο παράδειγµα 6.. () τα u και v θα είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Κάθε άλλο διάνυσµα P µπορεί να γραφεί σαν γραµµικός συνδυασµός au+ bv (σύµφωνα µε το κανόνα του παραλληλογράµµου.

20 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Αργότερα θα δούµε ότι δύο γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα του τον παράγουν). Έστω διαφορετικό των u και v. Αν au το P θα είναι και αυτό γραµµικός au+ bv συνδυασµός των u και v. Αν P και au + bv + τότε, γιατί u a b διαφορετικά u v, δηλαδή v bv P, πράγµα αδύνατο. Άρα και τότε και a b, αφού τα u και v είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Έτσι, τρία µη συνεπίπεδα διανύσµατα u, v και του είναι πάντα γραµµικά ανεξάρτητα.. Είναι τα διανύσµατα u, [ ] [ ] [ - ] και v γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα του χώρου ; Απάντηση : Αρκεί να πάρουµε ένα γραµµικό συνδυασµό των u, v,, au + bv + και να δούµε αν όλοι οι συντελεστές είναι µηδέν (προκειµένου για γραµµικά ανεξάρτητα) ή ένας τουλάχιστο είναι διάφορος του µηδενός (προκειµένου για γραµµικά εξαρτηµένα). Έχουµε λοιπόν + a + b - και λύνοντας το σύστηµα παίρνουµε: το οποίο σηµαίνει ότι υπάρχουν a, b και µη µηδενικά ώστε au + bv +. Εποµένως τα u, v και είναι γραµµικά εξαρτηµένα διανύσµατα του. 5. Το µηδενικό διάνυσµα είναι γραµµικά εξαρτηµένο, αφού για κάθε k ισχύει k. 6. Κάθε µη µηδενικό διάνυσµα u είναι γραµµικά ανεξάρτητο, αφού η σχέση au ισχύει µόνο αν a. 6.. Θεώρηµα. Κάθε υποσύνολο γραµµικά ανεξαρτήτων διανυσµάτων είναι επίσης γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσµάτων. Απόδειξη. Αν τα v, v,, vk είναι γραµµικά ανεξάρτητα, τότε οσαδήποτε από αυτά, π.χ. τα v, v,, v, t k συνεχίζουν να είναι γραµµικά ανεξάρτητα, γιατί αν t av av av τότε µπορούµε να γράψουµε t t

21 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από t t + t+ + + s av av av v v (6..) Επειδή τα v, v,, vk είναι γραµµικά ανεξάρτητα, από τη σχέση (6..) προκύπτει ότι a a a t από όπου διαπιστώνουµε ότι και τα v, v,, v t είναι επίσης γραµµικά ανεξάρτητα. 6.. Παραδείγµατα.. Είναι γνωστό (παράδειγµα 6.. () ) ότι τα διανύσµατα e (,,), e (,,), e (,,) του είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Από το θεώρηµα 6.., τα διανύσµατα e, e, e είναι ανά δύο γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα του (π.χ. τα e, e είναι γραµµικά ανεξάρτητα). Και ανάλογα, κάθε υποσύνολο του συνόλου { e, e,, e}, π.χ. { e, e,, ek } µε k,είναι γραµµικά ανεξάρτητο υποσύνολο του (παράδειγµα 6.. () ).. Είδαµε, στο παράδειγµα 6.. () ότι οι στήλες u [ ] [ - ] και [ ], v γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα του χώρου. Σύµφωνα µε το θεώρηµα 6.., όποιες δύο από τις στήλες u, v και είναι γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα του χώρου. 6.. Θεώρηµα. Το σύνολο των διανυσµάτων { v v v },,, s είναι γραµµικά εξαρτηµένο αν και µόνο αν ένα διάνυσµα του συνόλου είναι γραµµικός συνδυασµός των υπολοίπων. Απόδειξη. Έστω ότι το διάνυσµα δηλαδή οπότε v i είναι γραµµικός συνδυασµός των υπολοίπων, v av + a v + + a v + a v + + a v i i i i+ i+ s s av + av + + a v + ( ) v + a v + + av i i i i+ i+ s s απ όπου προκύπτει ότι το σύνολο { v, v,, vs} Αντίστροφα, αν το σύνολο { v v v } είναι γραµµικά εξαρτηµένο.,,, s είναι γραµµικά εξαρτηµένο, τότε υπάρχει ένας γραµµικός συνδυασµός av + av + + a v + av + a v + + av i i i i i+ i+ s s όπου ένας τουλάχιστο συντελεστής, έστω ai έχουµε a a as vi v v + v s a a a i i i. Τότε το λύνοντας ως προς το ότι το v i γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των υπολοίπων διανυσµάτων του συνόλου { v, v,, vs} Παράδειγµα. Αν τρία διανύσµατα u, v και του είναι γραµµικά εξαρτηµένα τότε ένα από αυτά π.χ. το θα είναι γραµµικός συνδυασµός των άλλων δύο u και v. Αυτό σηµαίνει ότι το ανήκει τότε στο επίπεδο που ορίζουν τα διανύσµατα u και v. v i

22 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από Θεώρηµα. Κάθε υπερσύνολο γραµµικά εξαρτηµένων διανυσµάτων είναι γραµµικά εξαρτηµένο σύνολο.,,, s ένα γραµµικά εξαρτηµένο σύνολο διανυσµάτων ενός K-διανυσµατικού χώρου V και V διαφορετικό των v, v,, vs. Έστω ένας γραµµικός συνδυασµός των v, v,, vs και av + av + av s s + b. Αν a a as b, δηλαδή τα v, v,, vs και είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Όµως τότε από το θεώρηµα 6.. και τα v, v,, vs θα v, v,, v, είναι ένα Απάντηση. Έστω { v v v } είναι γραµµικά ανεξάρτητα πράγµα άτοπο. Άρα το σύνολο { } γραµµικά εξαρτηµένο σύνολο διανυσµάτων. Στο επόµενο κεφάλαιο θα δούµε ότι όταν κάποια διανύσµατα { v v v },,, s είναι γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα ενός K-διανυσµατικού χώρου V και τον παράγουν, τότε αποτελούν µια βάση του, η οποία παίζει σπουδαίο ρόλο στη περιγραφή του χώρου. s

23 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από Άθροισµα και ευθύ άθροισµα υποχώρων 6.5. Ορισµός. Αν U και W είναι δύο υποχώροι ενός K-διανυσµατικού χώρου V, ορίζουµε άθροισµα U+W το σύνολο U + W v: v x + y,για καποιο x U και καποιο y W { } Ο ορισµός θα µπορούσε να δοθεί και για πεπερασµένου πλήθους υποχώρους U, U,, Ut ενός K-διανυσµατικού χώρου V σαν U + U + + Ut { v: v u + u + + kt, για καποια u i Ui, i t} Αναφέρουµε µια χρήσιµη πρόταση για τη συνέχεια Πρόταση. Το άθροισµα των υποχώρων U και W ενός K-διανυσµατικού χώρου V, αποτελεί υποχώρο του V. Απόδειξη. Αν v x + y και v x + y δύο στοιχεία του αθροίσµατος U+W τότε είναι φανερό ότι v + v ( x + x ) + ( y + y ) U + W και k v kx + kx U + W εφόσον οι U και W είναι υποχώροι Παρατήρηση. Το άθροισµα των υποχώρων U και W του χώρου V είναι ο µικρότερος υποχώρος του V που περιέχει και τους δύο υποχώρους. Ενώ η ένωση τους, σαν σύνολα, δεν αποτελεί υποχώρο του V (δείτε το σαν άσκηση) παρότι φυσικά περιέχει και τους δύο υποχώρους. Έτσι λοιπόν η έννοια του αθροίσµατος υποχώρων αποκτά ιδιαίτερη σηµασία σε σχέση µε την ένωση υποχώρων (δείτε, σε αντιδιαστολή µε την ένωση, ότι η τοµή υποχώρων είναι πάλι υποχώρος).

24 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από Ασκήσεις Άσκηση. Αφού ελέγξετε ότι το σύστηµα έχει + x y + x y + x + y άπειρες λύσεις, να βρείτε εκείνες τις λύσεις που παράγουν το σύνολο των λύσεων του συστήµατος. Άσκηση. α) Αποδείξτε ότι το σύνολο P των πολυωνύµων βαθµού µικρότερου ή ίσου του αποτελεί υποχώρο του διανυσµατικού χώρου όλων των πολυωνύµων. β) Εξετάστε αν το σύνολο { p P : p() } των πολυωνύµων βαθµού µικρότερου ή ίσου του που έχουν µια ρίζα το x αποτελεί υποχώρο του P. γ) Εξετάστε αν το σύνολο { p P : p() } των πολυωνύµων βαθµού µικρότερου ή ίσου του που έχουν τιµή στο αποτελεί υποχώρο του P. x Άσκηση. α) Εξετάστε αν τα διανύσµατα (,, 5, 5 ) και (,,, ) χώρο που παράγεται από τα διανύσµατα (,,,) και (,,, -). β) εξετάστε αν οι χώροι που παράγονται από τα διανύσµατα u (,, ) και (,, ) υ ( ) (,,) την απάντησή σας). ανήκουν στο u,, είναι ίσοι (δικαιολογήστε Άσκηση. α) Τι µορφής γεωµετρικά είναι εκείνος ο υποχώρος του ο οποίος παράγεται από ένα µη µηδενικό διάνυσµα; β) Τι µορφής γεωµετρικά είναι εκείνος ο υποχώρος του ο οποίος παράγεται από δύο µη µηδενικά διανύσµατα που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία; γ) Έστω ότι τα διανύσµατα, παράγουν το χώρο W. Αν W τότε τα, διανύσµατα,,, παράγουν επίσης τον ίδιο χώρο W ;, 5 Άσκηση 5. Ο φοιτητής Παύλος κάνοντας την εργασία του στη Γραµµική Άλγεβρα, παρατήρησε ότι όταν έχει τα διανύσµατα u (,, ), υ (,, ), (,, ) ισχύει ότι u + υ +. Τι µπορεί να συµπεράνει ο Παύλος για τα διανύσµατα u,υ, α) ότι είναι γραµµικά ανεξάρτητα, ή β) γραµµικά εξαρτηµένα ή γ) δεν µπορεί να συµπεράνει τίποτα από τα δύο. Άσκηση 6. Η φοιτήτρια Κατερίνα κάνοντας την εργασία της στη Γραµµική Άλγεβρα, παρατήρησε ότι αν x (,, ), y (,, ), (,, ) τότε το σύστηµα x + y + έχει µοναδική λύση την. Μπορεί η Κατερίνα να αποδείξει τότε ότι τα x, y, είναι γραµµικά ανεξάρτητα, ή γραµµικά εξαρτηµένα ή δεν µπορεί να αποδείξει τίποτε από τα δύο., 5

25 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα 5 από 5 Άσκηση 7. Έστω A ένας αντιστρέψιµος πίνακας και έστω υ, υ,..., υ k διανύσµατα του χώρου. είξτε ότι αν τα διανύσµατα υ, υ,..., υ k είναι γραµµικά ανεξάρτητα τότε και τα διανύσµατα Aυ, Aυ,..., Aυk είναι γραµµικά ανεξάρτητα. ώστε ένα συγκεκριµένο παράδειγµα. Άσκηση 8. Έστω A ένας m πίνακας. α) Αν b διάνυσµα του χώρου dim R( A), τότε το σύστηµα AX b έχει λύση. Αν ναι έχει µια ή άπειρες και πότε. β) Αν N( A), τότε το σύστηµα AX b έχει λύση. Αν ναι έχει µια ή άπειρες και πότε. γ) Αν X, X είναι δύο λύσεις του συστήµατος AX b τότε µπορείτε να βρείτε µια λύση του αντίστοιχου οµογενούς συστήµατος AX. Άσκηση 9. α) Κατασκευάστε ένα πίνακα του οποίου ο µηδενοχώρος περιέχει το διάνυσµα x (,, ). β) Κατασκευάστε ένα πίνακα του οποίου ο µηδενοχώρος του ανάστροφου του περιέχει το διάνυσµα y, 5. ( ) γ) Κατασκευάστε ένα πίνακα του οποίου ο χώρος των στηλών παράγεται από το διάνυσµα (,, ) και του οποίου ο χώρος των γραµµών παράγεται από το διάνυσµα. (,5 ) Άσκηση. Εξηγήστε ποια από τις υπόλοιπες προτάσεις είναι αληθής ή ψευδής. α) Κάθε ευθεία του χώρου R αποτελεί υποχώρο του. β) Κάθε επίπεδο του χώρου R αποτελεί υποχώρο του. Άσκηση. Να προσδιορίσετε κατά πόσο το W όπου το αποτελείται από όλα τα διανύσµατα W ( ) a b, (β) a b, (γ) a + b +, (δ) b a, (ε) είναι ή όχι ένας υποχώρος του R, a, b, στον R για τα οποία: (α) a b. Άσκηση. Υποθέτοντας ότι οι U και W είναι υποχώροι του V για τους οποίους ο U W είναι επίσης ένας υποχώρος, να δείξετε ότι U W ή W U. Άσκηση. Να γράψετε το πολυώνυµο f ( t) at + bt + ως γραµµικό συνδυασµό των πολυωνύµων p ( t, p t, p. [Εποµένως τα p, p p παράγουν ) το χώρο των πολυωνύµων βαθµού, P ( t ).] Άσκηση. Υποθέτοντας ότι το { u,..., u r,,..., s } υποσύνολο του V, να δείξετε ότι ( u ) spa( ) { }, είναι ένα γραµµικά ανεξάρτητο spa. i j