ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: info@hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: info@hms.gr Πρόβλημα 1 ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 1 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" Φεβρουαρίου 014 Βρείτε όλα τα πολυώνυμα ( x) ισότητα για κάθε x. Θέματα μεγάλων τάξεων Ρ με πραγματικούς συντελεστές που ικανοποιούν την ( x 6x 8) ( x) ( x x) ( x ) + Ρ = + Ρ, Πρόβλημα Βρείτε τις τιμές του ακέραιου αριθμού n για τις οποίες ο αριθμός ισούται με τον κύβο ρητού αριθμού. 8n 5 Α= n + 5 Πρόβλημα Θεωρούμε μια n n σκακιέρα, όπου άρτιος θετικός ακέραιος, στην οποία τοποθετούνται όλοι οι αριθμοί 1,,,...n, ένας σε κάθε τετραγωνάκι. Καλούμε S 1 το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται στα άσπρα τετράγωνα και S το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται στα μαύρα τετράγωνα. Να βρεθούν όλοι οι αριθμοί n που είναι τέτοιοι, ώστε να είναι δυνατή μία τοποθέτηση, για την οποία ισχύει: S1 9 S = 64.. Πρόβλημα 4 Δίνεται κύκλος c ( O,R ) (με κέντρο το σημείο O και ακτίνα R ) και δύο σημεία του A, B τέτοια, ώστε R < AB < R. Ο κύκλος c 1 ( A,r ) (με κέντρο το σημείο A και ακτίνα r, 0 < r < R), τέμνει τον κύκλο c ( O,R ), στα σημεία C και D (το σημείο C ανήκει στο μικρό τόξο AB ). Από το σημείο B, θεωρούμε τις εφαπτόμενες BE και BF στον κύκλο c 1 ( A,r ), έτσι ώστε από τα σημεία επαφής E, F, το σημείο E βρίσκεται εκτός του κύκλου c ( O,R ). Οι ευθείες EC και DF τέμνονται στο σημείο M. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο BCFM είναι εγγράψιμο. Διάρκεια εξέτασης 4 ώρες. Κάθε πρόβλημα βαθμολογείται με 5 μονάδες Καλή επιτυχία!

2 Ενδεικτικές λύσεις θεμάτων μεγάλων τάξεων Πρόβλημα 1 Βρείτε όλα τα πολυώνυμα ισότητα για κάθε x. x με πραγματικούς συντελεστές που ικανοποιούν την x 6x 8 x x x x, Λύση Η δεδομένη ισότητα γράφεται στη μορφή x x4 x x x x, για κάθε x, (1) οπότε, για x 0, και 4προκύπτουν οι ισότητες: x 0 0. Επομένως το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x, x και x, οπότε έχουμε: x x x x Q x, () Qx όπου το είναι πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές. Λόγω της () η σχέση (1) γίνεται: x x4 xxqx xxxxx4qx, () για κάθε x. Ισοδύναμα, έχουμε x x x x4 x Q x xq x 0, για κάθε x. (4) Από τη σχέση (4), επειδή το πολυώνυμο x x x x 4 δεν είναι το μηδενικό πολυώνυμο, προκύπτει η ισότητα: x Q x xq x 0, για κάθε x. (5) Από την τελευταία σχέση για 0 όπου γίνεται: x λαμβάνουμε ότι Q 0 0, οπότε Qx xrx, Rx πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές. Λόγω της (5) η σχέση (4) xxr x x x R x 0 xxrxrx 0, από την οποία, αφού xx0 x, προκύπτει ότι: RxR x, για κάθε x. Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι R x R x k k Rx παράδειγμα ισχύει cr 0 Rk, k. Άρα είναι R x c,,, για κάθε x, οπότε το πολυώνυμο παίρνει την ίδια τιμή για άπειρες τιμές του x, για οπότε για κάθε x, x x x x Q x x x x xr x cx x 4.

3 Πρόβλημα Βρείτε τις τιμές του ακέραιου αριθμού ισούται με τον κύβο ρητού αριθμού. n για τις οποίες ο αριθμός 8n 5 n 5 Λύση (1 ος τρόπος) Έστω pq,, q0, με pq, 1 και τέτοιοι ώστε 8n 5 p. (1) n 5 q Τότε θα είναι και p, q 1, ενώ από τη σχέση (1) λαμβάνουμε: q 8n5 p n 5, () από την οποία έπεται ότι p 8n5 και q n5 υπάρχει k έτσι ώστε: 8n5kp και n5 kq. ( Πράγματι, αν υποθέσουμε ότι 8n 5 kp, k, τότε από τη σχέση () λαμβάνουμε τις σχέσεις (). Από τις σχέσεις () προκύπτει ότι: 8 n5 8n5 k 8q p Επομένως οι αριθμοί Παρατηρούμε όμως ότι k q p q qp p k,q p και 4q qp p 4 q pq p q p ) είναι διαιρέτες του 65. q 1 mod και επιπλέον ισχύει 4q pq p q pq, οπότε, αφού ο αριθμός 4q pq p είναι διαιρέτης του 65 η μοναδική δυνατή τιμή του είναι 4q pq p 1q pq 1, οπότε έχουμε τις περιπτώσεις: 4q qp p 1, k 1, q p 5. Τότε έχουμε: p q 5 και 4q q q5 q5 1 p q5, q 5q0 pq5, q p1, q. Τότε και για τις δύο περιπτώσεις έχουμε p 1, οπότε θα είναι: 8 n n 5 n5 n. q 8 n 5 8 ος τρόπος Όπως στον πρώτο τρόπο φθάνουμε στη σχέση () και τη λύνουμε ως προς n, οπότε λαμβάνουμε: 55 q p n. (4) 8q p Έστω d 5 q p,8q p. Τότε d 5q p 8q p 1 q και αφού pq, 1 έπεται ότι d 1. Επομένως 8q p d q p q p q pq p

4 Παρατηρούμε ότι και επιπλέον ισχύει 4q pq p q pq, οπότε, αφού ο αριθμός 4q pq p είναι διαιρέτης του 65 η μοναδική δυνατή τιμή του είναι 4q pq p q pq 1 mod 4q pq p 1q pq 1. Από τη σχέση (5) προκύπτει ότι q, οπότε έχουμε τις περιπτώσεις: Αν q 0 ή q 1, οπότε p q p q (5) 1 ή 10, αδύνατες με pq,. 1, pq, 1, ή pq, 1, ή pq,, ή pq,,. q p, δεκτές είναι μόνο οι λύσεις pq, 1, ή pq, 1, Αν q, τότε pq από την οποία προκύπτουν οι λύσεις : Επειδή ( ) 65 από τις οποίες προκύπτει ότι n., Πρόβλημα Θεωρούμε μια n n σκακιέρα, όπου άρτιος θετικός ακέραιος, στην οποία τοποθετούνται όλοι οι αριθμοί, ένας σε κάθε τετραγωνάκι. Καλούμε το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται στα άσπρα τετράγωνα και S το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται στα μαύρα τετράγωνα. Να βρεθούν όλοι οι αριθμοί n που είναι τέτοιοι, ώστε να είναι δυνατή μία τοποθέτηση, για την οποία ισχύει: S1 9 S 64. Λύση 9 Η δεδομένη σχέση είναι ισοδύναμη με την S1 S1 S. Παρατηρούμε ότι : 10 n n 1 S1 S 1n Επειδή ο είναι φυσικός αριθμός, από τις παραπάνω θα έχουμε ότι S 1 n n Όμως ο 10 είναι πρώτος της μορφής 4κ+, οπότε ο 10 δεν διαιρεί τον n 1. Επομένως πρέπει να διαιρεί τον n και αφού είναι πρώτος, πρέπει 10 n. Αφού επιπλέον ο n είναι άρτιος, θα έχουμε ότι είναι πολλαπλάσιο του 06, δηλαδή πρέπει: n06 k, k *. Θα αποδείξουμε τώρα ότι για κάθε πολλαπλάσιο του 06 είναι δυνατή μια τέτοια τοποθέτηση. Η ελάχιστη δυνατή τιμή του είναι: n n 1 n 1 A, ενώ η μέγιστη τιμή είναι: n n 1 1n B. S 1 S 1

5 4 Εύκολα ελέγχουμε την ανισότητα, 9 A S1 S1S B 10 Τώρα θα πάρουμε το ζητούμενο δείχνοντας ότι το S 1 μπορεί να πάρει κάθε δυνατή τιμή ανάμεσα στα A, B Πράγματι, ο αριθμός A 1 μπορεί να επιτευχθεί επιλέγοντας n n στα άσπρα τετράγωνα τους αριθμούς 1,,..., 1, 1. O αριθμός A μπορεί να n n επιτευχθεί επιλέγοντας στα άσπρα τετράγωνα τους αριθμούς 1,,..., 1,, και ούτω καθεξής. Όταν φτάσουμε στο βήμα όπου χρειάζεται η τοποθέτηση των αριθμών n 1,,..., 1, n, για να πάρουμε τον επόμενο αριθμό ως άθροισμα, θα επιλέξουμε n n στα άσπρα τετράγωνα τους αριθμούς1,,...,,,n, και στον επόμενο τους n n 1,,...,, 1, n, και ούτω καθεξής. Αυξάνοντας λοιπόν με την παραπάνω διαδικασία το άθροισμα κατά 1, ξεκινώντας από το Α, μπορούμε να κατασκευάσουμε όλους τους αριθμούς μέχρι το Β. Πρόβλημα 4 Δίνεται κύκλος c( O,R ) (με κέντρο το σημείο O και ακτίνα R ) και δύο σημεία του A, B τέτοια, ώστε R AB R. Ο κύκλος c1( A,r ) (με κέντρο το σημείο A και ακτίνα r, 0 r R), τέμνει τον κύκλο c( O,R ), στα σημεία C και D (το σημείο C ανήκει στο μικρό τόξο AB ). Από το σημείο B, θεωρούμε τις εφαπτόμενες BE και BF στον κύκλο c 1 ( A,r ), έτσι ώστε από τα σημεία επαφής E, F, το σημείο E βρίσκεται εκτός του κύκλου c( O,R ). Οι ευθείες EC και DF τέμνονται στο σημείο M. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. BCFM Λύση (1 ος τρόπος) Το τετράπλευρο AEBF είναι εγγράψιμο (διότι οι BE και BF είναι εφαπτόμενες, o οπότε: AÊB AFˆB 90 ) και έστω c ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Το τμήμα CD είναι η κοινή χορδή των κύκλων c και ( c 1 ). Το τμήμα AB είναι η κοινή χορδή των κύκλων c και ( c ). Το τμήμα EF είναι η κοινή χορδή των κύκλων ( c 1 ) και ( c ). Άρα οι τρεις παραπάνω χορδές θα συντρέχουν στο ριζικό κέντρο, έστω L, των τριών κύκλων. Η AB είναι διχοτόμος της γωνίας EBF ˆ (διότι BE και BF είναι εφαπτόμενες του κύκλου c 1 ( A,r )). Η AB είναι επίσης διχοτόμος της γωνίας C Bˆ D, γιατί οι γωνίες A BˆC και ABD ˆ είναι εγγεγραμμένες στο κύκλο co, R και βαίνουν στα ίσα τόξα AC και AD. Άρα οι γωνίες E Bˆ C και FBD ˆ είναι ίσες.

6 5 Σχήμα Με τη βοήθεια της ισότητας EBˆ C FBD ˆ, θα αποδείξουμε ότι τα τρίγωνα BCE και BFD είναι όμοια. Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι: BC BF a y xy a, BE BD x a όπου θέσαμε (χάριν συντομίας): BE BF a, BC x και BD y. Από την ομοιότητα των τριγώνων LCB και LAD έχουμε: LC CB LC x (1). LA AD LA r Από την ομοιότητα των τριγώνων LCA και LBD, έχουμε: LB BD LB y (). LC CA LC r έχουμε: Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις 1 και LB xy (A). LA r Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABE, το τμήμα AL είναι το ύψος προς την υποτείνουσα, άρα: LB EB a (B). LA EA r Από τις σχέσεις A και B έχουμε: xy a. Άρα τα τρίγωνα BCE και BFD είναι όμοια, οπότε θα έχουν τις γωνίες τους ίσες (μία προς μία). Από τις ισότητες των γωνιών των τριγώνων BCE και BFD, προκύπτει η ισότητα: Cˆ Fˆ. Άρα το τετράπλευρο BCFM είναι εγγράψιμο. ος τρόπος. Σημειώνουμε με Q το σημείο τομής των EF, CD Από το θεώρημα Pascal στο εκφυλισμένο εξάγωνο EEDFFC παίρνουμε ότι, αν T είναι το σημείο τομής των

7 6 ED, CF, τότε τα σημεία T, B, M είναι συνευθειακά. Επιπλέον, στο εγγεγραμμένο ECFD, τα σημεία T, M είναι τα σημεία τομής των απέναντι πλευρών και το Q είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του. Επομένως η ευθεία TM είναι η πολική του Q, οπότε η AQ είναι κάθετη στην πολική (αφού Α κέντρο του κύκλου), οπότε έχουμε ότι ABT ˆ 90. Έτσι, έπεται ότι EF TM αφού AB EF, οπότε έχουμε ότι BMC ˆ MEF ˆ CFˆB, όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει από τις γωνίες χορδής και εφαπτομένης. Σχήμα Παρατήρηση Από τις ισότητες των γωνιών των τριγώνων BCE και BFD, προκύπτει επίσης ότι και το τετράπλευρο BEDM είναι εγγράψιμο.