ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 0 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός

2 ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 00, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των προαγωγικών εξετάσεων της Α Λυκείου στα Μαθηματικά Φιλοδοξεί να φέρει τον μαθητή της Α Λυκείου: Σε επαφή με θέματα που έχουν δοθεί σε εξετάσεις Λυκείων Σε κατάσταση πλήρους ετοιμότητας πριν τις εξετάσεις του, λύνοντας τα Θέματα Α-Β-Γ-Δ Σε επαφή με γενικά θέματα Έτσι του δίνεται η ευκαιρία για δυναμική δοκιμασία και τριβή με θέματα επιπέδου, λίγο πριν την Β Λυκείου Βαγγέλης Α Νικολακάκης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α Θέματα Θεωρίας από εξετάσεις Λυκείων Β Ασκήσεις (Θέμα Β) από εξετάσεις Λυκείων Γ Ασκήσεις (Θέμα Γ) από εξετάσεις Λυκείων Δ Ασκήσεις (Θέμα Δ) από εξετάσεις Λυκείων Ε ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

3 Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ ο ι) Αν θ >0, να δείξετε ότι -θ < < θ ιι) α Να γράψετε τον ορισμό της συνάρτησης β Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της ιιι) Οι ευθείες ε : y = (λ ) + 5, ε : y = 4λ είναι παράλληλες όταν το λ είναι: α) β) γ) - δ) 0 ΘΕΜΑ ο ι) Να συμπληρώσετε τους τύπους : Δ = χ, χ = όπου χ,χ είναι ρίζες της εξίσωσης : αχ +βχ+γ=0,α 0 και κατόπιν να συμπληρώσετε τις προτάσεις : α) Αν Δ 0, τότε οι ρίζες β) Αν Δ = 0, τότε οι ρίζες ιι) Να χαρακτηρίσετε κάθε πρόταση με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) α) Η εξίσωση α = β είναι αόριστη (ταυτότητα), όταν α = 0 και β 0 β) Αν λ = λ, τότε οι ευθείες y = λ χ + β και y = λ χ + β είναι παράλληλες γ) Αν S και P το άθροισμα και το γινόμενο δυο αριθμών, τότε η εξίσωση που έχει ρίζες αυτούς τους τους δυο αριθμούς είναι η : χ + S + P = 0 δ) Εάν α < β και γ < δ, τότε α γ <β δ ΘΕΜΑ ο ι) Να δοθεί ο ορισμός της απόλυτης τιμής ενός θετικού αριθμού α ιι) Αν θ > 0 τότε να αποδείξετε ότι: <θ - θ < < θ ιιι) Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: α) Αν =α β) Έστω τα σημεία Α(, y) και Β(, y ) Η απόσταση του Α από το Β δίνεται από τον τύπο : d (ΑΒ) = γ) Έστω f() = α + β + γ, με α 0 Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου τότε η f() γίνεται γινόμενο παραγόντων σύμφωνα με τον τύπο : f(χ) = ΘΕΜΑ 4 ο ι) Να αποδείξετε ότι : ιι) Τι λέγεται απόσταση δύο αριθμών α και β ιιι) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) α) Ισχύει : β) Ισχύει : γ) Οι ευθείες ε : ψ = λχ + και ε : ψ = λχ + είναι παράλληλες δ) Αν R, τότε :

4 ΘΕΜΑ 5 ο ι) Αν οι ρίζες της εξίσωσης, X + β + γ =0 με α 0 είναι οι ρ και ρ δείξετε ότι : S = και Ρ = (τύποι Vieta ) ι ι) Να χαρακτηρίσετε με Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τις παρακάτω προτάσεις : ) Η εξίσωση α = β έχει μοναδική λύση όταν α 0 ) Όταν α 0, τότε η παριστάνει τη λύση της εξίσωσης = α ) Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει : α α α 4) Αν στην εξίσωση α + β + γ =0 με α 0 ισχύει αγ<0,τότε έχει δύο ρίζες άνισες ΘEMA 6 ο Δίνεται η εξίσωση ε : α + β + γ = 0, όπου α 0 α Να γράψετε τη Διακρίνουσα Δ της εξίσωσης (ε) και ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιεί η Δ, ώστε η (ε) να έχει πραγματικές ρίζες (χωρίς απόδειξη ) β Αν η εξίσωση ε έχει πραγματικές ρίζες, τότε να γράψετε τους τύπους των ριζών της σε σχέση με τα α, β, γ (χωρί ςαπόδειξη) γ Αν η εξίσωση ε έχει πραγματικές ρίζες ίσες τότε να γράψετε τους τύπους των ριζών της σε σχέση με τα α, β ( χωρίςαπόδειξη ) ΘΕΜΑ 7 ο Α) Να δώσετε τους ορισμούς της Αριθμητικής Προόδου Β) Αν α,β,γ διαδοχικοί όροι ΑρΠροόδου,να δείξετε ότι β=α+γ Γ) Να χαρακτηρίσετε με Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τις παρακάτω προτάσεις : αοι αριθμοί,7,,5,9, αποτελούν Αρ Πρόοδο β Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f 4 γ Αν 7,τότε και 7 είναι A, ΘΕΜΑ 8 ο ι) Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ιδιότητες των απολύτων τιμών: α) β) γ) ιι) Να χαρακτηρίσετε ως σωστό ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) τις επόμενες προτάσεις : α) β) Αν 0, τότε : γ) Αν, 0, τότε : δ)

5 ΘΕΜΑ 9 ο Α Nα δείξετε ότι για κάθε α, β R Β Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) α) Αν, ψ 0, τότε β) Για κάθε R ισχύει : γ)γι α κάθε, y R ισχύει : y y δ) Αν + y < y, τότε : < 0 ε) Η εξίσωση α = 0 είναι αδύνατη ΘΕΜΑ 0 ο ι) Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης τιμής του πραγματικού αριθμού α ι ι) Να αποδείξετε ότι: αν θ > 0, < θ θ < < θ ιιι) Να γράψετε αν είναι σωστοί (Σ) ή λάθος (Λ), οι παρακάτω ισχυρισμοί: α α + β = α + β, α, β R β =, R γ + + =0 είναι αδύνατη, R δ Αν α + β = 0, τότε : α = 0 ή β = 0 ε >, R ΘΕΜΑ ο ι) Να αποδείξετε ότι για κάθε α, β R ισχύει : α β = α β ιι) Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης τιμής πραγματικου αριθμού α ιιι) Να γράψετε Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) στις παρακάτω προτάσεις : α) Αν α 0, τότε η εξίσωση αχ+β=0, δεν έχει μία λύση β) Για χ R κα ι θ > 0, ισχύει : = θ = ± θ γ) Η ευθεία χ = α είναι παράλληλη στον άξονα χχ δ) Αν η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης : αχ +βχ +γ = 0,α a 0 είναι θετική, τότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες

6 ΘΕΜΑ ο ι) Να αποδείξετε ότ ι: Δύο ευθείες ε και ε με εξισώσεις ε : y = α + β και ε : y = α + β αντίστοιχα, είναι παράλληλες μόνο όταν οι συντελεστές διεύθυνσης αυτών είναι ίσοι ιι) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις μ ε Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ): α) Μί α ευθεία παράλληλη στον άξονα σχηματίζει με τον άξονα των χχ γωνία 90 β) Αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία ε :y = α + β με τον άξονα των χχ, τότε εφω = β γ) Οι συντελεστές διεύθυνσης δύο κάθετων ευθειών έχουν γινόμενο ίσο με - δ) ευθεία y = α δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων ΘΕΜΑ ο ΑΑν, οι ρίζες της εξίσωσης τους S δίνεται από τη σχέση S 0 με 0 να αποδείξετε ότι το άθροισμά Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση i Αν, τότε ii Αν 0 τότε a, όπου, θετικοί ακέραιοι iii Αν τρεις μη μηδενικοί αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε ισχύει : iv Η εξίσωση με 0 και άρτιο φυσικό αριθμό έχει ακριβώς δύο λύσεις τις και v Αν 0 και 0 τότε η εξίσωση 0 έχει ακριβώς μια λύση ΘΕΜΑ 4 ο ΑΠότε μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς, 0 και για κάθε θετικό ακέραιο ν Τι λέγεται γεωμετρικός μέσος δύο αριθμών α και γ; Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν α > β τότε α γ > β γ, για κάθε πραγματικό αριθμό γ β Ισχύει για κάθε R γ Το συμμετρικό του σημείου Μ(α, β) ως προς τον άξονα y y είναι το Μ (α, -β) για κάθε α, β δ Αν η εξίσωση α + β + γ = 0 με α 0 έχει δύο άνισες ρίζες, τότε α + β + γ = α ( - ) ( ) ε Ο ν-οστός όρος α ν μιας αριθμητικής προόδου ισούται με α ν = α +(ν-)ω, όπου α ο πρώτος όρος και ω η διαφορά της προόδου

7 Β ΘΕΜΑ Β Δίνονται τα σημεία Α(λ +, λ+) και Β(λ, λ + λ), με λ Β Αν τα Α,Β είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y y, να βρείτε τις τιμές του λ Β Βρείτε τις τιμές του λ, ώστε το σημείο Β να βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο του ορθοκανονικού συστήματος Β Για λ = 0, i Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από τα σημεία Α και Β, καθώς και το είδος της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα ii Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στην ευθεία y = (κ + ) 7, να βρείτε την τιμή του κ Έστω η ευθεία (ε) με εξίσωση y = α +β, η οποία έχει κλίση και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη - Να υπολογίσετε τα α, β Να χαράξετε την γραφική παράσταση της ευθείας ε Να υπολογιστεί το λ έτσι ώστε η ευθεία (ε) να είναι παράλληλη με την ευθεία (ζ) που έχει εξίσωση y = λ- + λ Α) Δίνεται η εξίσωση λ -4+8=0 Να βρεθεί το λ ώστε η εξίσωση να έχει μια διπλή λύση Β) Να λυθεί η εξίσωση: 4 4 Δίνεται η συνάρτηση: g Α Να βρεθεί το πεδίο ορισμού D g της συνάρτησης g Β Να βρεθούν οι τιμές της συνάρτησης g, Γ Αν g και g να λυθεί η εξίσωση: g g 5 5 Δίνεται η παράσταση : α Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : i 5 ii β Να βρείτε τις τιμές του ώστε να ορίζεται η παράσταση Α 5 γ Να αποδείξετε ότι :

8 6 Α) Να λύσεις την εξίσωση : χ -0χ+=0 B) Nα λύσεις την ανίσωση: Δίνεται η συνάρτηση f( ) 7 Β Να λυθεί η εξίσωση f( ) 5 Β Να λυθεί η ανίσωση f( ) Β Να βρείτε που τέμνει η γραφική παράσταση τους άξονες και yy Β4 Να βρείτε τα σημεία Α(, f ()) και Β (, f ()) και να βρείτε την απόσταση των τεταγμένων τους 8 Δίνονται οι παραστάσεις: B Να απλοποιήσετε την παρ άσταση ΒΝα υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 6 9 ΒΑν και να λύσετε την ανίσωση: και αν Δίνεται η παράσταση : α Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : i 5 ii β Να βρείτε τις τιμές του ώστε να ορίζεται η παράσταση Α 5 γ Να αποδείξετε ότι : 4 0 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο : f Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης f Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες και y y Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : 04 04

9 Γ ΘΕΜΑ Γ Έστω οι αριθμοί 4,, οι οποίοι είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου (α ν ) με λόγο λ Να υπολογιστεί το και το λ της προόδου Αν ο τέταρτος όρος της είναι το 4 τότε: α) Να αποδείξετε ότι β)να υπολογιστεί το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της προόδου γ)να αποδείξετε ότι 6, όπου 0 Δίνονται οι αριθμοί 5,, ΓΝα βρείτε την τιμ ή του ώστε οι αριθμοί,, να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ΓΑν 5 και 7 να βρείτε τη διαφορά ω τον πρώτο όρο ( )και τον πέμπτο όρο ( 5 ) της αριθμητικής προόδου y 5 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση C μιας άρτιας συνάρτησης f, που έχει πεδίο f ορισμού το διάστημα: D f, C f 4 Α Να βρείτε τα διαστήματα του, για τα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα και για εκείνα που η f είναι γνησίως φθίνουσα ' y' Β Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f, καθώς και οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής που τα παρουσιάζει Γ Να βρείτε το είδος της συμμετρίας που παρουσιάζει η C f Δ Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f

10 4 Να βρείς αν υπάρχουν, τις λύσεις των εξισώσεων: Α) χ = 8, Β) χ 4 = -6, Γ) χ = -8, Δ) χ 4 = 6 5 Δίνεται η συνάρτηση f( ) ( ) με 0 Γ Να λυθεί η εξίσωση f( ) 0 για λ = - Γ Για λ=, να λυθεί η ανίσωση f( ) 0 Γ Να αποδείξετε ότι στην εξίσωση f( ) 0, η διακρίνουσα είναι η Δ= 4λ+4 Γ4 Να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει ότι 6 Έστω οι αριθμοί 4,, οι οποίοι είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου (α ν ) με λόγο λ ΑΝα υπολογιστεί το και το λ της προόδου ΒΑν ο τέταρτος όρος της είναι το 4 τότε: α) Να αποδείξετε ότι β)να υπολογιστεί το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της προόδου γ)να αποδείξετε ότι 6, όπου 0 7 Βρείτε τις λύσεις στις παρακάτω εξισώσεις: Α 5+4 =+0 Β α Να λυθεί η ανίσωση: 5 5 β Να λυθεί η ανίσωση: 4 0 γ Να βρεθούν οι κοινές ακέραιες λύσεις των παραπάνω ανισώσεων 8 Δίνεται η συνάρτηση f( ) Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Β)Να απλοποιηθεί ο τύπος της συνάρτησης Γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες χ χ και ψ ψ Δ) Να βρεθούν οι τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της f που βρίσκονται πάνω από τον χ χ 9 Δίνονται οι παραστάσεις ( ) Α) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ( ) 4 και ii) ( ) 5 Β) Να λυθεί η εξίσωση ( ) 0 Γ) Να λυθεί η ανίσωση ( ) ( ) και ( )

11 0 Δίνεται η παράσταση Α = (8 4 ) α Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α γίνεται: Α = β Αν < <4 να αποδείξετε ότι Α = Δίνεται η συνάρτηση f Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο 0,0 O f 0 f 8 Δίνεται η συνάρτηση : f( ) Α) Να βρείτε το ώστε Β) Αν τότε: με R α) Να βρείτε την απόσταση των σημείων A, f () και 5, ( 5) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης P f f B f β) Δίνονται οι ευθείες : y 6 5 και : y 5 8 με R Α) Να βρείτε αν υπάρχει- τιμή του ώστε η να διέρχεται από το σημείο,4 Β) Να βρείτε το ώστε οι ευθείες και Γ) Αν να βρείτε τα σημεία στα οποία η να είναι παράλληλες τέμνει τους άξονες 4 Δίνεται η συνάρτηση f Α) Να βρείτε τα f, f, f και f Β) Να υπολογίσετε την απόσταση των σημείων, f και, f Γ) Να βρείτε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς f και f 5 Δίνονται τα τριώνυμα: P 5 4, Q 9 και K Α) Να λύσετε κάθε μια από τις ανισώσεις: P 0, Q 0 και 0 K Β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f P Q K

12 Δ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να απλοποιήσετε τον τύπο της Β) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή Γ) Να λύσετε την ανίσωση f Δίνεται η εξίσωση λ(λ ) + λ = (λ ) όπου o άγνωστος και λr α Nα βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ αν η εξίσωση έχει ως ρίζα τον αριθμό β Nα λυθεί η εξίσωση για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ γ Αν η εξίσωση είναι αόριστη να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού α ώστε να ισχύει: (α+) λ = 8 Δ Να βρείτε τις ρίζες του τριωνύμου Δ Να δείξετε ότι 0 για κάθε Δ Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου P( ) ( )( )( ) για τις διάφορες τιμές του Δ4 Να βρείτε το πρόσημο των τιμών P ( 5,) και P (,04) 4 Δίνεται η παραβολή f με τον στο σημείο,0 και ότι διέρχεται από το σημείο,5, για την οποία έχουμε ότι η γραφική της παράσταση τέμνει ΑΑποδείξετε ότι για τους πραγματικούς, ισχύει : 4 4 ΒΝα δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης είναι f 4 ΓΛύστε την εξίσωση f Αν για κάθε ισχύει 4 f 0, να βρείτε τον αριθμό 0 5 Δίνεται το τριώνυμο f()= -+ λ- με λr α) Να δειχθεί ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: 4(- ) β) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση f()=0 έχει μία ρίζα διπλή; γ) Για ποιές τιμές του λ ισχύει f() > 0 για κάθε R; (-) f() δ) Για λ= να λυθεί η ανίσωση 0 -

13 6 Δίνεται η συνάρτηση f( ) 4 Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Β) Να δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f παίρνει τη μορφή f( ) Γ) Να λυθεί η ανίσωση: 7 f( ) 0 7 Δίνεται η συνάρτηση f( ) Δ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της με μορφή διαστημάτων Δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της συνάρτησης f με τον άξονα και με τον άξονα y y Δ) Αφού απλοποιήσετε τον τύπο της παραπάνω συνάρτησης, να δικαιολογήσετε γιατί παριστάνει ευθεία γραμμή από την οποία εξαιρείται ένα σημείο Ποιο είναι αυτό; Τι γωνία σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα ; 8 Δίνεται η συνάρτηση ( ) f k, kr α Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(5, ) να βρείτε τη τιμή του κ γ Για κ = να βρείτε σε ποια σημεία τέμνει τους άξονες χ χ και ψ ψ (αν τους τέμνει) η γραφική παράσταση της f δ Να δείξετε ότι f(0) ( 00 ) Δίνεται η συνάρτηση f() =, κr Α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Α Β Να βρείτε την τιμή του κ αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Μ( -, ) Γ Για κ = να απλοποιήσετε τον τύπο της f Δ Να βρείτε για ποιες τιμες του χα η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ 4 0 Δίνεται η συνάρτηση f( ) 6 8 Δ Να βρείτε το πεδίο ορισμού της A Δ α Να αποδείξετε ότι: 0, για κάθε πραγματικό αριθμό β Να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f απλοποιείται στη μορφή (5) Δ Να λύσετε την ανίσωση f( ) f f( ) 4, A

14 6 4 Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να απλοποιήσετε τον τύπο της Δίνεται η συνάρτηση f Β) Να λύσετε την εξίσωση f Γ) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει f 0 Θεωρούμε το τριώνυμο f( ), 0 ΑΝα βρείτε τι τιμές του, ώστε η εξίσωση f( ) 0 να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες Β Να βρείτε τις τιμές του, ώστε η εξίσωση f( ) 0 να έχει ρίζες δύο αντίστροφους πραγματικούς αριθμούς Γ Να βρείτε τις τιμές του, ώστε το τριώνυμο να έχει θετικές τιμές για κάθε Έστω η συνάρτηση f( ) ( ) με λr {} Δ Να βρείτε την τιμή του λ, ώστε η συνάρτηση να έχει ελάχιστο στο 0 Δ Για λ = 4: i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f() και τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες και y y ii Να λυθεί η εξίσωση f( ) iii Nα δειχτεί ότι ο αριθμός 4 f(5) Α=, είναι ρητός f(4) f(0) iv Για ποιες τιμές του,με, η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τη διχοτόμο της ης και 4ης γωνίας των αξόνων ( 7 5)(4 4) 4 Έστω η συνάρτηση f( ) 8 ΑΝα βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και να αποδειχθεί ότι ΒΓια ποιες τιμές του η C f βρίσκεται κάτω από τον άξονα ; ΓΝα αποδείξετε ότι f () 8 f(4) f() 5( 7 ) f( ) Δίνεται η συνάρτηση f 6 8 ΔΝα βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ΔΝα απλοποιηθεί η συνάρτηση 4 ΔΑν h 4 h f, να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες h και h 6 Δίνεται η συνάρτηση f()= ++=0 Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f() B) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η f έχει α θετικές τιμές και β αρνητικές τιμές Γ) Να λυθεί η ανίσωση f()

15 7 Δίνονται οι συναρτήσεις: f g Α Να βρεθούν τα, ώστε η παραβολή να διέρχεται από το σημείο, άξονα y ' y στο σημείο 0, 9 5,, 0 Β Αν 9 τότε, να βρεθούν: Οι συντεταγμένες των κοινών σημείων της παραβολής και της ευθείας και η ευθεία να τέμνει τον, 0 8 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ), 0 α Να βρείτε τις τιμές : f (0), f ( ), f β Αν 0, να λύσετε την ανίσωση : f( ) 0 γ Αν 0, να λύσετε την ανίσωση : f( ) 5 9 Δίνονται οι ευθείες ( ) : y ( ) και ( ) : y ( ) 5, Δ Αν η ευθεία ( ) διέρχεται από το σημείο Α(,) να υπολογίσετε την τιμή του λ Δ Να βρείτε την τιμή του λ ώστε οι ευθείες ( ), ( ) να είναι παράλληλες Δ Αν λ = -, να βρείτε το κοινό σημείο των ευθειών ( ), ( ) Δ4 Για λ = -, να σχεδιάσετε την ευθεία ( ) 0 Δίνεται η συνάρτηση f 6 8 ΔΝα βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ΔΝα απλοποιηθεί η συνάρτηση 4 h f ΔΑν h 4, να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες h και h

16 Ε ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Δίνεται η εξίσωση y 4,με, R Αν η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα και η ευθεία από το σημείο A,,τότε : α Να δείξετε ότι β Να λυθεί η εξίσωση και η ευθεία διέρχεται 7 0 γ Να δείξετε ότι η εξίσωση 0 0 έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες,για κάθε R Δίνεται το τριώνυμο f 5 με R και διακρίνουσα Αν,τότε : α Να βρείτε τον R β Για την μικρότερη από τις τιμές του που βρήκατε,να προσδιορίσετε τα f βρίσκεται πάνω από R για τα οποία η γραφική παράσταση της τον άξονα γ Για την μεγαλύτερη από τις τιμές του που βρήκατε,να προσδιορίσετε τα R για τα οποία ισχύει f f Οι αριθμοί,--,-5 είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου ΑΝα βρείτε τον πραγματικό αριθμό ΒΝα βρείτε την διαφορά της αριθμητικής προόδου ΓΑν ο αριθμός είναι ο 5 0ς όρος της ΑΠ,τότε να βρείτε: i) Τον πρώτο και 0 όρο της ΑΠ ii) Το άθροισμα S των πρώτων όρων της ΑΠ 4Σε μια αριθμητική πρόοδο ισχύουν οι σχέσεις : S5 5 και 7 5 Να βρείτε : α Τον πρώτο όρο και την διαφορά της αριθμητικής προόδου β Τον τριακοστό πρώτο όρο γ Τον θετικό ακέραιο για τον οποίο ισχύει η σχέση S 4 δ Να βρείτε την μεγαλύτερη θετική ακεραία τιμή του για την οποία ισχύει: 7

17 5Σε μια αριθμητική πρόοδο ισχύουν οι σχέσεις : S5 5 και 7 5 Να βρείτε : α Τον πρώτο όρο και την διαφορά της αριθμητικής προόδου β Τον τριακοστό πρώτο όρο γ Τον θετικό ακέραιο για τον οποίο ισχύει η σχέση S 4 δ Να βρείτε την μεγαλύτερη θετική ακεραία τιμή του για την οποία ισχύει: 7 ε Να βρείτε την μικρότερη θετική ακεραία τιμή του για την οποία ισχύει: στ Έστω ο δειγματικός χώρος,,,,00 αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου : A / os os 6 Σε μια αριθμητική πρόοδο ο και ο 8 όρος διαφέρουν κατά 4, ενώ το ou ou άθροισμα του και του 4 είναι 70 Α Αν γνωρίζουμε ότι η διαφορά της είναι θετική,να δείξετε ότι 7 και 4 ou ou Β Ποιο είναι το άθροισμα των όρων της που βρίσκονται μεταξύ του 8 και του 5 όρου της; Γ Δίνεται η εξίσωση 0 0 με ρίζες, και η παράσταση 4 με N Αφού λύσετε την εξίσωση,τότε : 0 i) Να εξετάσετε ποιες από τις ρίζες, της είναι όροι της παραπάνω ΑΠ ii) Να βρείτε τους όρους της ΑΠ,αν ισχύει : iii) Αν οι τιμές του καθορίζονται από τις ρίψεις ενός αμερόληπτου ζαριού,να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου να ισχύει : 7 7 Δίνονται οι αριθμοί α, β, γ 0, >0 Α Aν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να βρεθεί το Β Ο αριθμός α είναι ο 4 ος όρος της προόδου Να βρεθεί ο πρώτος όρος α της προόδου Γ Δίνεται η συνάρτηση f i) Να δείξετε ότι f 0 με ii) Να λύσετε την εξίσωση f f f R 0 8 Δίνεται η συνάρτηση f 0 5 i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να λύσετε την εξίσωση f 7 iii) Να λύσετε την ανίσωση f 5

18 5 4 4 ΑΝα βρείτε τις τιμές του R για τις οποίες η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το R ΒΔίνεται ότι 9 και οι τιμές του καθορίζονται από τις ρίψεις ενός 9 Δίνεται η συνάρτηση f αμερόληπτου ζαριού i) Να λύσετε την εξίσωση f ii) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου να ισχύει : f 0 4f f 6 0 Δίνεται η συνάρτηση f Α Να δείξετε ότι f 0 0 για κάθε R Β Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g f και να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης g χωρίς το σύμβολο της ρίζας Γ Να λύσετε την εξίσωση 5 g 4 g Δ Να λύσετε την εξίσωση f και g,όπου R Α Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f,g Δίνονται οι συναρτήσεις f Β Να βρείτε τον R,ώστε η f Γ Για,να βρείτε αν υπάρχουν : i) Τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες και yy ii) Τις τετμημένες των σημείων τομής των C f,c g iii) Πραγματικές τιμές του,ώστε οι αριθμοί να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου C να διέρχεται από το σημείο A, f, g, g f 5 Δίνεται η εξίσωση 8 0 και κ, λ, μ οι ρίζες της κατά αύξουσα σειρά Α Να βρείτε τους αριθμούς κ,λ,μ Β Να δείξετε ότι ΓΝα δείξετε ότι οι αριθμοί κ,λ,μ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής πρόδου Αν ο 0 0ς όρος της ΑΠ είναι 4,να βρείτε τον όρο της Δ Αν τα σημεία M 5, και τον άξονα,να βρείτε τον R M, είναι συμμετρικά ως προς

19 i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f,για,0 Δίνεται η συνάρτηση f ii) Να δείξετε ότι iii) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η τους άξονες iv) Να λύσετε την εξίσωση f f C της g g f,τέμνει 4 Δίνονται οι συναρτήσεις f 8 και g Α Να βρείτε τα πεδία ορισμού τους Β Να βρείτε για ποια ορίζεται η παράσταση f g f 4 f 4 Γ Να δείξετε ότι 4 f 4 f 4 f 4 f 4 Δ Να λύσετε την εξίσωση f g 5 Δίνεται η τρωνυμική παράσταση Α Να δείξετε ότι η εξίσωση T T 0, έχει πραγματικές ρίζες για κάθε R Β Να βρείτε την τιμή του R,ώστε η εξίσωση,να έχει ρίζα τον αριθμό 4 4 Γ Αν, είναι ρίζες της,να βρείτε τον R,ώστε 6 Δίνεται η εξίσωση 0, R Α Να βρείτε τις τιμές του R,για τις οπίθες η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες Β Για i) Να βρείτε τις ρίζες, της εξίσωσης ii) Να βρείτε την εξίσωση ου βαθμού,που έχει ρίζες τους αριθμούς, iii) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 7 Δίνεται η εξίσωση 0, R Α Να βρείτε τις τιμές του R,για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες Β Για i) Να βρείτε τις ρίζες, της εξίσωσης ii) Να λύσετε την εξίσωση 4 4 iii) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

20 8 Δίνεται η συνάρτηση f 5 i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να εξετάσετε ποιά από τα παρακάτω σημεία ανήκουν στην A 4,0, B, 7, 6 7,4 και 8, iii) Να δείξετε ότι : f 6 f 6 iv) Να βρείτε τη εξίσωση της χορδής ΑΓ Cf 9 Δίνονται οι συναρτήσεις f 4, R και g 9 Α Να προσδιορίσετε τον R,ώστε το σημείο Β Για i) Να βρείτε τα κοινά σημεία των C f,c g ii) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της iii) Να λύσετε την ανίσωση : f g, 8 να ανήκει στην C f Cf που είναι πάνω από την C g 0 Δίνεται η συνάρτηση f 5, R i) Να δείξετε ότι η γραφική της παράσταση,έχει δύο κοινά σημεία με τον άξονα,για κάθε R ii) Αν, οι τετμημένες των σημείων τομής της C με τον άξονα,να f βρείτε την τιμή του R,ώστε iii) Για τα R που βρήκατε στο (ii),να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με

21