2.1 Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες

Transcript

1 1. ΓΡ. ΑΥΞΕΝΤΙΟΥ 63 ΙΛΙΣΙΑ -. ΓΑΛΗΝΗΣ ΙΛΙΣΙΑ ΤΗΛ paps000g@yahoo.gr.1 Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες συνάρτησης Α. ΘΕΩΡΙΑ : ΕΡ-1. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι : α) γνησίως αύξουσα και β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση: α) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε 1, Δ, με 1 <,ισχύει : f( 1 ) < f( ). Μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση f, συμβολίζεται με f. β) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε 1, Δ, με 1 <,ισχύει : f( 1 ) > f( ). Μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f, συμβολίζεται με f. ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ: 1) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ. ) Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της f είναι ένα διάστημα Δ και η f είναι γνησίως μονότονη σ αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η f είναι γνησίως μονότονη. 38

2 1. ΓΡ. ΑΥΞΕΝΤΙΟΥ 63 ΙΛΙΣΙΑ -. ΓΑΛΗΝΗΣ ΙΛΙΣΙΑ ΤΗΛ paps000g@yahoo.gr 3) Μια συνάρτηση f λέγεται αύξουσα (ή αντίστοιχα φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε 1, Δ ισχύει : Αν 1 <, τότε : f(1) f() (ή αντίστοιχα f(1) f()) 4) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα Δ1 και Δ, τότε δεν είναι απαραίτητα γνησίως μονότονη και στην ένωσή τους Δ1 U Δ. Παράδειγμα : Η συνάρτηση f() 1, 0 είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα (-, 0) και (0, +). Αν όμως θεωρήσουμε 1 (-, 0) και (0, +), δηλαδή 1 < 0 <, τότε f(1) < f(), άρα η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο (-, 0) U (0, +). 5) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε η εξίσωση f() = κ,με κ R έχει το πολύ μια ρίζα στο Δ. Παράδειγμα : Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f με τύπο f() = 1 1. Λύση : Πρέπει : Άρα : Df = 1,. Έστω 1, 1, με 1 <, τότε : 1 < 1 1 < < > > 1-1 f(1) > f(). Άρα, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 1,. 39

3 1. ΓΡ. ΑΥΞΕΝΤΙΟΥ 63 ΙΛΙΣΙΑ -. ΓΑΛΗΝΗΣ ΙΛΙΣΙΑ ΤΗΛ paps000g@yahoo.gr ΕΡ-. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f : A R παρουσιάζει ολικό ελάχιστο και πότε ολικό μέγιστο σε ένα o A; Απάντηση: Έστω μια συνάρτηση f : A R. α) Η συνάρτηση f έχει ολικό ελάχιστο, αν υπάρχει o A τέτοιο ώστε : f() f(o), για κάθε A. Το o A λέγεται θέση ελαχίστου, ενώ το f(o) ολικό ελάχιστο ή απλώς ελάχιστο της συνάρτησης f και το συμβολίζουμε με minf(). Τότε λέμε ότι η συνάρτηση f για = o, έχει ελάχιστο το f(o). Το σημείο Μ(o, f(o)) είναι το «χαμηλότερο» σημείο της γραφικής παράστασης της f. Δηλαδή, η τιμή της f στο o είναι η μικρότερη από τις τιμές της. β) Η συνάρτηση f έχει ολικό μέγιστο, αν υπάρχει o A τέτοιο ώστε : f() f(o), για κάθε A. Το o A λέγεται θέση μεγίστου, ενώ το f(o) ολικό μέγιστο ή απλώς μέγιστο της συνάρτησης f και το συμβολίζουμε με maf(). Τότε λέμε ότι η συνάρτηση f για = o, έχει μέγιστο στο o με τιμή f(o). Το σημείο Μ(o, f(o)) είναι το «ψηλότερο» σημείο της γραφικής παράστασης της f. Δηλαδή, η τιμή της f στο o είναι η μεγαλύτερη από τις τιμές της. Το ολικό μέγιστο και το ολικό ελάχιστο μιας συνάρτησης f λέγονται oλικά ακρότατα της συνάρτησης f. Παρατήρηση : Το ολικό μέγιστο (ή το ολικό ελάχιστο) μιας συνάρτησης (αν υπάρχει) μπορεί να παρουσιάζεται σε περισσότερα από ένα σημεία, έχει όμως μοναδική τιμή. Έτσι μια συνάρτηση έχει το πολύ ένα ολικό μέγιστο και το πολύ ένα ολικό ελάχιστο. 40

4 1. ΓΡ. ΑΥΞΕΝΤΙΟΥ 63 ΙΛΙΣΙΑ -. ΓΑΛΗΝΗΣ ΙΛΙΣΙΑ ΤΗΛ paps000g@yahoo.gr ΕΡ-3. Πώς βρίσκουμε τα ολικά ακρότατα μιας συνάρτησης f : A R ; Απάντηση: Έστω μια συνάρτηση f : A R. Για να βρούμε τα ολικά ακρότατα της f εργαζόμαστε ως εξής : 1 Ος Τρόπος : Ξεκινάμε από ένα κομμάτι του τύπου της συνάρτησης που είναι σίγουρα θετικό (αυτό μπορεί να είναι μια απόλυτη τιμή ή μια ρίζα ή μια άρτια δύναμη) και στη συνέχεια κατασκευάζουμε συνθετικά ανισοϊσότητες της μορφής : f() μ ή f() M ή μ f() M που ισχύουν για κάθε A και τα μ, Μ είναι τιμές της συνάρτησης. Αν μ = f(1), τότε η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = 1, το f(1) = μ. Αν Μ = f(), τότε η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο =, το f() = Μ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : Έστω ότι θέλουμε να βρούμε τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης f() = H f έχει πεδίο ορισμού το Α = R. Για κάθε R ισχύει : Θα προσπαθήσουμε να «κατασκευάσουμε» την f() = στο πρώτο μέλος της ανισοϊσότητας με ισοδυναμίες. Δηλαδή, f() - = f(1). Άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = 1, και είναι το f(1) = -. Ος Τρόπος : Χρησιμοποιούμε την μονοτονία της συνάρτησης f. Δηλαδή : 41

5 1. ΓΡ. ΑΥΞΕΝΤΙΟΥ 63 ΙΛΙΣΙΑ -. ΓΑΛΗΝΗΣ ΙΛΙΣΙΑ ΤΗΛ paps000g@yahoo.gr Αν η συνάρτηση f : A R είναι γνησίως αύξουσα στο A και έχει πεδίο ορισμού της το κλειστό διάστημα [α,β], τότε η f παρουσιάζει : στο α ολικό ελάχιστο το f(α) και στο β ολικό μέγιστο το f(β). Αν η συνάρτηση f : A R είναι γνησίως φθίνουσα στο Α και έχει πεδίο ορισμού της το κλειστό διάστημα [α,β], τότε η f παρουσιάζει : στο α ολικό μέγιστο το f(α) και στο β ολικό ελάχιστο το f(β). Αν η συνάρτηση f : A R έχει πεδίο ορισμού το ανοικτό διάστημα Α = (α,β) ή Α = (-, α) ή Α = (α, + ) και είναι γνησίως μονότονη, τότε : η f δεν έχει ολικό ακρότατα. Αν η συνάρτηση f έχει σύνολο τιμών το [κ, λ], τότε : έχει ολικό ελάχιστο το κ και ολικό μέγιστο το λ. Έστω η συνάρτηση f : A R έχει πεδίο τιμών το ανοικτό διάστημα f(α) = (κ,λ) ή f(α) = (-, κ) ή Α = (κ, + ), τότε : η f δεν έχει ολικό ακρότατα. Αν η συνάρτηση f : (α,β) R, είναι γνησίως φθίνουσα στο (α, o) και γνησίως αύξουσα στο [o, β), τότε : η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο o. Αν η συνάρτηση f : (α,β) R, είναι γνησίως αύξουσα στο (α, o) και γνησίως φθίνουσα στο [o, β), τότε : η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο o. ΕΡ-4. Έστω μια συνάρτηση f : A R. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f είναι άρτια ; Απάντηση: Μια συνάρτηση f : A R λέγεται άρτια αν : για κάθε A ισχύει : - A και f(-) = f(). Επειδή f(-) = f(), τα σημεία Μ(o, f(o)) και Ν(-o, f(o)) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, θα είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y y. Άρα: Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y y. 4

6 1. ΓΡ. ΑΥΞΕΝΤΙΟΥ 63 ΙΛΙΣΙΑ -. ΓΑΛΗΝΗΣ ΙΛΙΣΙΑ ΤΗΛ paps000g@yahoo.gr ΕΡ-5. Έστω μια συνάρτηση f : A R. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή ; Απάντηση: Μια συνάρτηση f : A R λέγεται περιττή αν: για κάθε A ισχύει : - A και f(-) = -f(). Επειδή f(-) = -f(), τα σημεία Μ(o, f(o)) και Ν(-o, -f(o)) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f θα είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων Ο(0,0). Άρα: Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας το Ο(0,0). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ : 1. Αν μας δοθεί μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α και για κάποιο α A ισχύει -α Α, τότε η f δεν μπορεί να είναι ούτε άρτια, ούτε περιττή συνάρτηση. Δηλαδή, σε μια άρτια ή περιττή συνάρτηση, πρέπει το πεδίο ορισμού της να είναι συμμετρικό διάστημα ως προς το Ο(0,0). π.χ. R *, R - {-1, 1}, [-3, 3]. Αν μας δοθεί η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f και διαπιστώσουμε ότι αυτή έχει τον άξονα y y ως άξονα συμμετρίας, τότε η συνάρτηση f είναι άρτια. 3. Αν μας δοθεί η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f και διαπιστώσουμε ότι αυτή έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο(0, 0) των αξόνων, τότε η συνάρτηση είναι περιττή. Γενικά : Όταν σε μια άσκηση μας ζητάνε να εξετάσουμε μια συνάρτηση ως προς τη συμμετρία της, ουσιαστικά μας ζητάνε να εξετάσουμε αν είναι άρτια ή περιττή. Παράδειγμα : Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με τύπο f() = 9 έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y y. 43

7 1. ΓΡ. ΑΥΞΕΝΤΙΟΥ 63 ΙΛΙΣΙΑ -. ΓΑΛΗΝΗΣ ΙΛΙΣΙΑ ΤΗΛ paps000g@yahoo.gr Λύση : Πρέπει : Άρα : Df = [-3, 3]. Και f(-) = 9 9 f(). Άρα, η συνάρτηση f είναι άρτια και η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y y. Β. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ. 1. Τα παρακάτω σημεία ανήκουν στη γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης. Να συμπληρώστε τους αριθμούς που λείπουν: (-1, ), 1 1 (, ), (..., ), (..., 4), (3,...), (-3, 18), (,4),(1/, ). Η συνάρτηση f () = έχει πεδίο ορισμού το R και για οποιουσδήποτε 1, R με 1 τότε : ή ή f (...) > f (...). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. 3. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιττή, αν για κάθε... Α ισχύει... Α και f (...) = - f (...). 4. Η συνάρτηση f έχει ελάχιστο στο 0 A, όταν: f ()...f ( 0 ), για κάθε... Α. Η τιμή... λέγεται... της f στο Μία συνάρτηση είναι περιττή και έχει πεδίο ορισμού το διάστημα [-3, 3]. Να συμπληρώσετε στο σχήμα τη γραφική της παράσταση. 44

8 1. ΓΡ. ΑΥΞΕΝΤΙΟΥ 63 ΙΛΙΣΙΑ -. ΓΑΛΗΝΗΣ ΙΛΙΣΙΑ ΤΗΛ paps000g@yahoo.gr Γ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1. Στο σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. Σ Λ. Αν η περιττή συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R,τότε f (0) = 0. Σ Λ 3. Η συνάρτηση f () 3 έχει ελάχιστο. Σ Λ 4. Στο σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που έχει μέγιστο το 3. Σ Λ 5. Η συνάρτηση g της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήμα είναι άρτια. Σ Λ 4 6. Η συνάρτηση f () είναι άρτια. Σ Λ 7. Η συνάρτηση 7 3 g () 5 είναι περιττή. Σ Λ 45

9 1. ΓΡ. ΑΥΞΕΝΤΙΟΥ 63 ΙΛΙΣΙΑ -. ΓΑΛΗΝΗΣ ΙΛΙΣΙΑ ΤΗΛ paps000g@yahoo.gr Δ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 1. Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας: Α. B. y y Γ. Την ευθεία y = - Δ. Την ευθεία y = E. Την ευθεία y =. Μία άρτια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R στο 0 έχει μέγιστο το f () = 5. Η τιμή της f στο είναι: Α. 4 Β. - Γ. 5 Δ. -1 Ε. 3. Η συνάρτηση f () = 3 + (α - 1) + + αβ + 1 γίνεται περιττή αν: Α. α =, β = - 1 Β. α = - 1, β = 0 Γ. α = 1, β = - 1 Δ. α = -, β = 1 Ε. α = 0, β = 1 Ε. ΕΡΩΤΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α και σύνολο τιμών f (A) είναι γνησίως φθίνουσα. Να κάνετε την αντιστοίχιση. στήλη (Α) στήλη (Β) 46

10 1. ΓΡ. ΑΥΞΕΝΤΙΟΥ 63 ΙΛΙΣΙΑ -. ΓΑΛΗΝΗΣ ΙΛΙΣΙΑ ΤΗΛ paps000g@yahoo.gr ΣΤ. Ασκήσεις για λύση 1. Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις: 3. f f() 1 3. f( ) 9. f() 3 3. f() 1. f f(). f(). f f(), 1 3, 1. f Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι παρακάτω συναρτήσεις: 1. f 1 1. f 3. f, 4. f 5 X X X, X 0 5 X X X X 0 5. f(x) X 1 X X 6. X 1, X f(x) X 1, X 7. f X 3 X X X 47

11 1. ΓΡ. ΑΥΞΕΝΤΙΟΥ 63 ΙΛΙΣΙΑ -. ΓΑΛΗΝΗΣ ΙΛΙΣΙΑ ΤΗΛ paps000g@yahoo.gr f(x) f() f() 3 X 1, X 0 3 X 1, X f() f() f() Να αποδειχθεί ότι είναι περιττές οι παρακάτω συναρτήσεις: α) 1 1 f 1 1 β) g Τι είδους συμμετρία έχουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων αυτών; 4. Μια συνάρτηση f : έχει την ιδιότητα f (+ y) = f() + f (y) για κάθε χ, y. Nα αποδειχθεί ότι : α) f(0) = 0, β) η f είναι περιττή. 5. Να μελετήσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων: 1. f 3. f f 1, 0 f, f 1 6. f

12 1. ΓΡ. ΑΥΞΕΝΤΙΟΥ 63 ΙΛΙΣΙΑ -. ΓΑΛΗΝΗΣ ΙΛΙΣΙΑ ΤΗΛ paps000g@yahoo.gr 6. Να μελετήσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων: i ) f 0 ii) f iii) f 3 5, 6 1, 6 iv) f , 7. Να γίνει η γραφική παράσταση και να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση: g 1 0, Να βρείτε (αν υπάρχουν) τα ακρότατα των συναρτήσεων: ) f 1 1, ii) g 3 1, i iii) h Να βρείτε τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων: ) f 4 ) g 5 ) h 1 3 ) Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις έχουν ακρότατα: 3 ) f 3, B) f 3 1 ) f 1, ) f Να βρεθεί το ελάχιστο της συνάρτησης f() = Έστω η συνάρτηση : f 1. α) Να παρασταθεί γραφικά. β) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία. γ) Να βρεθεί το μέγιστό της. 49

13 1. ΓΡ. ΑΥΞΕΝΤΙΟΥ 63 ΙΛΙΣΙΑ -. ΓΑΛΗΝΗΣ ΙΛΙΣΙΑ ΤΗΛ paps000g@yahoo.gr 13. Έστω η συνάρτηση : f 1. α) Να γραφεί ο τύπος της συνάρτησης χωρίς απόλυτα. β) Να παρασταθεί γραφικά. γ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία. δ) Να βρεθεί το ελάχιστό της. 14. Για τη συνάρτηση f του παρακάτω σχήματος να βρείτε: α) τα ακρότατα, β) τα διαστήματα μονοτονίας, γ) τις λύσεις της ανίσωσης f 0, δ) τις λύσεις της εξίσωσης f() = 0, ε) την τιμή f (0). 3 6, Δίνεται η συνάρτηση: f 3, 1,1 3 6, 1 α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. β. Να βρεθούν οι τιμές f(), f(-1), f(0), f(1) και f(). γ. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι άρτια. δ. Έχει η γραφική παράσταση της f συμμετρίες; ε. Να σχεδιαστεί η γραφκική παράσταση της f. στ. Να γραφούν τα διαστήματα μονοτονίας της f. ζ. Να βρεθούν τα ακρότατα της f, καθώς και τα σημεία στα οποία παρουσιάζονται. 50

14 1. ΓΡ. ΑΥΞΕΝΤΙΟΥ 63 ΙΛΙΣΙΑ -. ΓΑΛΗΝΗΣ ΙΛΙΣΙΑ ΤΗΛ paps000g@yahoo.gr 16. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f,. Να δείξετε ότι η f είναι άρτια, 3. Να βρείτε τα ακρότατα της f. 17. Δίνεται η f() = 3 + κ. Να οριστεί ο κ προκειμένου η γραφική της παράσταση να περνά από το σημείο Α (1,5). Ποιο το είδος της μονοτονίας της; Πού η ευθεία τέμνει τους άξονες; 18. Να ορίσετε από τη γραφική παράσταση ψ της συνάρτησης το πεδίο ορισμού, το πεδίο τιμών της, τη μονοτονία και τα ακρότατα. Ο χ 19. Να ορίσετε το πεδίο ορισμού, το πεδίο τιμών, τη μονοτονία και τα ακρότατατα της συνάρτησης. ψ 4 4 χ -1 Ο 3 0. Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο με τύπο: f () = (α 1)χ + α. Να βρείτε το α ώστε η f να είναι : I) άρτια και ii) περιττή. 51

15 1. ΓΡ. ΑΥΞΕΝΤΙΟΥ 63 ΙΛΙΣΙΑ -. ΓΑΛΗΝΗΣ ΙΛΙΣΙΑ ΤΗΛ paps000g@yahoo.gr 1. Η συνάρτηση f() έχει πεδίο ορισμού το Α, είναι γνησίως αύξουσα σ αυτό και f () > 0 για κάθε γιατί. R. Nα εξετάσετε αν η 1 g () = είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο Α και f (). Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R και είναι άρτια. Στο [α, β] με 0 < α < β είναι γνησίως αύξουσα. Να εξεταστεί η μονοτονία της στο [- β, - α] Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g () [f () f ( )] είναι άρτια. 4. Η συνάρτηση f () = έχει πεδίο ορισμού το Α = [-1, ]. Να βρείτε τα ακρότατα της f. 5. Να αποδείξετε ότι μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση δεν μπορεί να είναι άρτια. 6. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης τέμνει τον άξονα σε ένα το πολύ σημείο. 7. Δύο ευθείες με εξισώσεις ε1: = 0 όπου 0 > 0 και ε: ψ = ψ0 όπου ψ0 > 0 κινούνται παράλληλα προς τους άξονες ψ ψ και αντίστοιχα, έτσι ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου που σχηματίζεται από τις ευθείες και τους άξονες να έχει εμβαδόν 5 τετραγωνικές μονάδες. Πάνω σε ποια γραμμή κινείται το σημείο τομής των ευθειών ε1 και ε; 8. Εξετάστε αν υπάρχει συνάρτηση που να είναι συγχρόνως άρτια και περιττή. Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 9. Αν η συνάρτηση f () είναι περιττή με πεδίο ορισμού Α, να εξεταστεί αν η συνάρτηση g () f () είναι άρτια στο Α. 30. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης που είναι ορισμένη στο (- α, α), α > 0 διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 31. Έστω f περιττή συνάρτηση ορισμένη στο (-α, α). Να δείξετε ότι αν f είναι αύξουσα στο (0, α) τότε f θα είναι αύξουσα και στο (-α, 0). 5

16 1. ΓΡ. ΑΥΞΕΝΤΙΟΥ 63 ΙΛΙΣΙΑ -. ΓΑΛΗΝΗΣ ΙΛΙΣΙΑ ΤΗΛ paps000g@yahoo.gr 3. Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο [α, β]. Να δείξετε ότι: Αν f είναι αύξουσα στο [α, β], τότε παρουσιάζει ελάχιστο στο α, το f(α) και μέγιστο στο β το f(β). Αν f είναι φθίνουσα στο [α, β], τότε παρουσιάζει μέγιστο στο α, το f(α) και ελάχιστο στο β το f(β) 33. Να δείξετε ότι μια γνήσια μονότονη συνάρτηση f ορισμένη στο (α, β) δεν παρουσιάζει ακρότατα στο (α, β) 53