i C + i R i C + i R = 0 C du dt + u R = 0 du dt + u RC = 0 0 RC dt ln u = t du u = 1 RC dt i C = i R = u R = U 0 t > 0.

Transcript

1 Α. Δροσόπουλος 6 Ιανουαρίου 2010 Περιεχόμενα 1 Κυκλώματα πρώτης τάξης Εκφόρτιση κυκλωμάτων RC πρώτης τάξης Εκφόρτιση κυκλωμάτων RL πρώτης τάξης Διέγερση βαθμίδας σε RC κυκλώματα Διέγερση βαθμίδας σε RL κυκλώματα Στόχος Συμπληρωματικό υλικό για μεταβατικά φαινόμενα σε συνδυασμό με το αντίστοιχο κεφάλαιο 5 του βιβλίου. Αντικαθιστά τους μετασχηματισμούς Laplace. Ορισμός Μεταβατικά φαινόμενα είναι οι τάσεις, τα ρεύματα και όλα τα επακόλουθα αυτών που εμφανίζονται όταν ένα ηλεκτρικό κύκλωμα μεταβαίνει από μια σταθερή κατάσταση σε μια άλλη. 1

2 1 Κυκλώματα πρώτης τάξης Τα πιο απλά κυκλώματα για να μελετήσουμε μεταβατικά φαινόμενα είναι τα κυκλώματα πρώτης τάξης RC ή RL, τα οποία περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Η διέγερσή τους μπορεί να γίνει με έναν από δύο τρόπους. Στον πρώτο τρόπο, το κύκλωμα ήδη λειτουργεί υπό την επίδραση κάποιας πηγής και το πηνίο ή ο πυκνωτής έχουν απορροφήσει κάποια ενέργεια όταν ξαφνικά ένας διακόπτης θέτει εκτός λειτουργία την πηγή και το κύκλωμα εκφορτίζεται. Η μετάβαση είναι από μια κατάσταση λειτουργίας στην κατάσταση ηρεμίας. Στον δεύτερο τρόπο τα στοιχεία μπορεί να βρίσκονται στην κατάσταση ηρεμίας ή σε μια κατάσταση λειτουργίας όταν ένας διακόπτης ενεργοποιεί μια πηγή διέγερσης και το κύκλωμα μεταβαίνει σε διαφορετική κατάσταση λειτουργίας. 1.1 Εκφόρτιση κυκλωμάτων RC πρώτης τάξης Το ελεύθερο (sorcefree) κύκλωμα RC είναι εκείνο στο οποίο η πηγή που παρέχει ενέργεια βγαίνει ξαφνικά εκτός και ο πυκνωτής C εκφορτίζει την ενέργειά του στην ωμική αντίσταση R. C C R R Σχήμα 1: Ενα ελεύθερο κύκλωμα RC. Θεωρούμε το κύκλωμα στο σχ. 1, όπου η αντίσταση R και ο πυκνωτής C μπορεί να είναι ισοδύναμα στοιχεία από πιο σύνθετους συνδυασμούς στο κύκλωμα. Στόχος μας είναι ο προσδιορισμός της απόκρισης του κυκλώματος, δηλ. η τάση (t) στα άκρα του πυκνωτή καθώς και το ρεύμα C (t) που τον διαρρέει. Ο πυκνωτής την αρχική στιγμή t = 0 έχει μια αρχική τάση (0) = U 0. Εφαρμόζοντας κανόνα ρευμάτων του Krchhoff στον επάνω κόμβο του κυκλώματος έχουμε Εξ ορισμού, C = Cd/dt και R = /R, οπότε C R = 0 C d dt R = 0 d dt RC = 0 Αυτή είναι μια πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση και για να την λύσουμε εργαζόμαστε ως εξής: d = 1 RC dt U 0 d t = 1 0 RC dt ln = t U 0 RC = U 0e t/rc (t) = U 0 e t/τ όπου (t) = U 0 exp( t/τ) είναι η φυσική απόκριση τάσης του κυκλώματος, μια φθίνουσα εκθετική συνάρτηση, με σταθερά χρόνου τ = RC. Η σταθερά χρόνου δείχνει τον χρόνο που χρειάζεται για να εκφορτιστεί ο πυκνωτής κατά 1/e της αρχικής του τιμής. Στην πράξη θεωρούμε ότι σε χρόνο 5τ ο πυκνωτής έχει εκφορτιστεί. Είναι προφανές ότι όσο μικρότερη είναι η σταθερά χρόνου τ τόσο πιο γρήγορα εκφορτίζεται ο πυκνωτής. Για το ρεύμα C έχουμε C = R = R = U 0 R e t/τ όπου το αρνητικό πρόσημο απλώς σημαίνει ότι η πραγματική φορά του ρεύματος είναι αντίθετη από αυτή που φαίνεται στο σχήμα. Παράδειγμα 1.1 Εστω C (0) = 15 V στο παρακάτω κύκλωμα (a). Να βρεθούν τα μεγέθη C (t), x (t) και x (t) για t > 0. 2

3 8 Ω x 5 Ω 0.1 F 12 Ω C x R eq 0.1 F (a) (b) Στην περίπτωση αυτή έχουμε απλώς εκφόρτιση πυκνωτή. Στόχος μας είναι να βρούμε πρώτα την τάση C (t) στα άκρα του και μετά τα υπόλοιπα μεγέθη. Η ολική αντίσταση που βλέπει ο πυκνωτής είναι R eq = (8 12) 5 = = 4 Ω επομένως το ισοδύναμο κύκλωμα είναι το (b) και η σταθερά χρόνου είναι τ = R eq C = = 0.4 s. Επομένως C (t) = (0)e t/τ = 15e t/0.4 = 15e 2.5t V Ο πυκνωτής στην εκφόρτισή του συμπεριφέρεται σαν πηγή τάσης επομένως με διαιρέτη τάσης και x (t) = C(t) = e 2.5t = 9e 2.5t V x (t) = x(t) 12 = 0.75e 2.5t A Άσκηση 1.1 Στο παρακάτω κύκλωμα C (0) = 30 V. Προσδιορείστε τα μεγέθη C, x, 0 για t > 0. 8Ω 0 12Ω x 6Ω (1/3) F C Παράδειγμα 1.2 Ο διακόπτης στο παρακάτω κύκλωμα ήταν κλειστός για μεγάλο χρονικό διάστημα και ανοίγει την χρονική στιγμή t = 0. Προσδιορείστε την τάση (t) για t 0. 3Ω 1Ω 20V 9Ω 20mF Στο συνεχές ρεύμα ο πυκνωτής δρα σαν διακόπτης (ανοικτό κύκλωμα). Επομένως ο δεξιός κλάδος για t < 0 είναι εκτός και η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι C (t) = 9 20 = 15 V 9 3 Εφόσον η τάση στα άκρα ενός πυκνωτή δεν μπορεί να αλλάξει ακαριαία έχουμε για την αλλαγή από t = 0 σε t = 0 C (0) = U 0 = 15 V Για t > 0 ο διακόπτης ανοίγει και ο αριστερός κλάδος βγαίνει εκτός. Ο πυκνωτής εκφορτίζεται στην ολική αντίσταση R eq = 9 1 = 10 Ω. Η σταθερά χρόνου είναι τ = R eq C = = 0.2 s. Οπότε, για t 0 έχουμε C (t) = U 0 e t/τ = 15e t/0.2 = 15e 5t V 3

4 Άσκηση 1.2 Εάν στο παρακάτω κύκλωμα ο διακόπτης ανοίγει την χρονική στιγμή t = 0, υπολογείστε την τάση (t) για t 0. 6Ω 24V 0.2F 4Ω 12Ω 1.2 Εκφόρτιση κυκλωμάτων RL πρώτης τάξης Το ελεύθερο (sorcefree) κύκλωμα RL είναι εκείνο στο οποίο η πηγή που παρέχει ενέργεια βγαίνει ξαφνικά εκτός και το πηνίο L εκφορτίζει την ενέργειά του στην ωμική αντίσταση R. L L R R Σχήμα 2: Ενα ελεύθερο κύκλωμα RL. Θεωρούμε το κύκλωμα στο σχ. 2, όπου η αντίσταση R και το πηνίο L μπορεί να είναι ισοδύναμα στοιχεία από πιο σύνθετους συνδυασμούς στο κύκλωμα. Στόχος μας είναι ο προσδιορισμός της απόκρισης του κυκλώματος, δηλ. το ρεύμα (t) που διαρρέει το πηνίο L καθώς και την τάση L (t) στα άκρα του. Το πηνίο την αρχική στιγμή t = 0 διαρρέεται από ένα αρχικό ρεύμα (0) = I 0. Εφαρμόζοντας κανόνα τάσεων του Krchhoff στον βρόχο έχουμε Εξ ορισμού, L = Ld/dt και R = R, οπότε L R = 0 L d d R = 0 dt dt R L = 0 Αυτή είναι μια πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση και για να την λύσουμε εργαζόμαστε ως εξής: d = R L dt I 0 d t = R 0 L dt ln I 0 = Rt L = I 0e Rt/L (t) = I 0 e t/τ όπου (t) = I 0 exp( t/τ) είναι η φυσική απόκριση ρεύματος του κυκλώματος, μια φθίνουσα εκθετική συνάρτηση, με σταθερά χρόνου τ = L/R. Η σταθερά χρόνου δείχνει τον χρόνο που χρειάζεται για να εκφορτιστεί το πηνίο κατά 1/e της αρχικής του τιμής. Στην πράξη θεωρούμε ότι σε χρόνο 5τ το πηνίο έχει εκφορτιστεί. Είναι προφανές ότι όσο μικρότερη είναι η σταθερά χρόνου τ τόσο πιο γρήγορα εκφορτίζεται το πηνίο. Για την τάση L έχουμε με πολικότητα όπως φαίνεται στο σχ. 2. L = R = R = I 0 Re t/τ Παράδειγμα 1.3 Εστω (0) = 10 A στο παρακάτω κύκλωμα (a). Να βρεθούν τα μεγέθη (t), L (t) και x (t) για t > 0. 4

5 4 Ω (4/3) Ω x 0.5 H 2 Ω H (a) (b) Στην περίπτωση αυτή έχουμε απλώς εκφόρτιση πηνίου. Στόχος μας είναι να βρούμε πρώτα το ρεύμα (t) που διέρχεται από αυτό και μετά τα υπόλοιπα μεγέθη. Μπορούμε να αρχίσουμε με το ισοδύναμο κατά Thevenn που βλέπει το πηνίο (η ολική αντίσταση εκφόρτισης). Εφόσον έχουμε εξαρτημένη πηγή, πρέπει να βρούμε την τάση με ανοικτούς ακροδέκτες (το φορτίο είναι το πηνίο) U T H = = V και το ρεύμα βραχυκυκλώσεως I N = 3 4 A οπότε R T H = U T H = 4 I N 3 Ω και έχουμε το κύκλωμα (b). Από τον κανόνα τάσεων του Krchhoff R T H L d dt = d dt R T H 1 L (t) = C exp ( R T H 1 L ) t = C exp Από την αρχική συνθήκη (0) = 10 A έχουμε C = 10, επομένως ( (t) = 10 exp 23 ) t A Η τάση στα άκρα του πηνίου είναι L (t) = L d dt = 0.5 = 0 ( 23 t ) ( 2 ) ( 10 exp 23 ) 3 t = 103 ( exp 23 ) t V Η ίδια τάση είναι και στα άκρα της αντίστασης των 2 Ω οπότε x (t) = ( L 2 = 5 3 exp 23 ) t Παράδειγμα 1.4 Ο διακόπτης στο παρακάτω κύκλωμα ήταν κλειστός για μεγάλο χρονικό διάστημα και ανοίγει την χρονική στιγμή t = 0. Προσδιορείστε το ρεύμα (t) για t 0. A 2Ω 4Ω 40V 12Ω 16Ω 2H Στο συνεχές ρεύμα το πηνίο δρα σαν βραχυκύκλωμα. Το κύκλωμα για t < 0 δεν περιέχει την 16 Ω και το ρεύμα που διέρχεται από το πηνίο είναι αυτό που διέρχεται από την 4 Ω. Με μετασχηματισμό της πηγής τάσης σε ρεύματος, I = 20 A, έρχονται όλα τα στοιχεία παράλληλα, με = 1.2 Ω. Η κοινή τάση στα άκρα είναι = 24 V άρα και το ρεύμα από το πηνίο είναι (t) = 24 4 = 6 A 5

6 Εφόσον το ρεύμα που διαρρέει ένα πηνίο δεν μπορεί να αλλάξει ακαριαία έχουμε για την αλλαγή από t = 0 σε t = 0 (0) = I 0 = 6 A Με το άνοιγμα του διακόπτη, ο αριστερός κλάδος βγαίνει εκτός. Η ολική αντίσταση που βλέπει το πηνίο είναι τότε R eq = (4 12) 16 = 8 Ω και η σταθερά χρόνου τ = L/R eq = 0.25 s. Οπότε για t 0 (t) = I 0 e t/τ = 6e 4t A 1.3 Διέγερση βαθμίδας σε RC κυκλώματα Στη διέγερση βαθμίδας σε RC κυκλώματα εφαρμόζεται απότομα μια πηγή συνεχούς τάσης ή ρεύματος και ο πυκνωτής αλλάζει την κατάστασή του. R U s C Σχήμα 3: Διέγερση βαθμίδας σε κύκλωμα RC. Εστω ότι ο διακόπτης κλείνει τη χρονική στιγμή t = 0. Εφόσον η τάση στα άκρα ενός πυκνωτή δεν μπορεί να αλλάξει ακαριαία έχουμε (0 ) = (0 ) = U 0 όπου (0 ) η τάση στα άκρα του αμέσως πριν λειτουργήσει ο διακόπτης και (0 ) η τάση στα άκρα του αμέσως μετά τη λειτουργία του διακόπτη. Για t > 0 ο κανόνας ρευμάτων του Krchhoff δίνει C d dt U s R = 0 d dt U s RC = 0 d dt = U s RC d = dt U s RC U 0 d t dt = U s 0 RC ln U s U 0 U s = t RC όπου τ = RC η σταθερά χρόνου. Η πλήρης λύση είναι επομένως (t) = U s (U 0 U s )e t/τ (t) = { U0, t 0 U s (U 0 U s )e t/τ, t 0 Παραγωγίζοντας, έχουμε και την αντίστοιχη απόκριση για το ρεύμα που διαρρέει τον πυκνωτή 1 { (t) = C d 0, t < 0 dt = U s U 0 e t/τ, t > 0 RC Εν γένει, την πλήρη λύση για τη τάση, μπορούμε να την δούμε σαν (t) = ( ) [(0) ( )]e t/τ όπου (0) η αρχική κατάσταση, ( ) η τελική κατάσταση και τ η σταθερά χρόνου. Η παραπάνω σχέση γενικεύεται σαν απόκριση βαθμίδας σε όλα τα συστήματα πρώτης τάξης. Επίσης, αν ο διακόπτης ενεργοποιείται την χρονική στιγμή t = t 0 αντί της t = 0 τότε η καθυστέρηση αυτή ενσωματώνεται στη λύση σαν 1 Εδώ δεν απαγορεύεται η ασυνέχεια για t = 0. (t) = ( ) [(t 0 ) ( )]e (t t0)/τ 6

7 Παράδειγμα 1.5 Ο διακόπτης στο παρακάτω κύκλωμα ήταν στη θέση Α για μεγάλο χρονικό διάστημα. Την χρονική στιγμή t = 0 μετατοπίζεται στη θέση Β. Προσδιορείστε την τάση (t) για t 0 και υπολογείστε την τιμή της για t = 1 s και t = 4 s. 3kΩ A B 4kΩ 24V 5kΩ 0.5mF 30V Οταν ο διακόπτης βρίσκεται στη θέση Α, ο πυκνωτής είναι ανοικτό κύκλωμα και ο δεξιός κλάδος είναι εκτός. Επομένως η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι η τάση στα άκρα της 5 kω (0 ) = Εφόσον ο πυκνωτής δεν μπορεί να αλλάξει τάση ακαριαία έχουμε 24 = 15 V (0) = (0 ) = (0 ) = 15 V Για t > 0 ο διακόπτης γυρίζει στη θέση Β. Τότε ο αριστερός βρόχος βγαίνει εκτός και ο πυκνωτής εκφορτίζεται στην αντίσταση των 4 kω. Η σταθερά χρόνου είναι τ = RC = = 2 s Η τελική κατάσταση του πυκνωτή εφόσον το κύκλωμα είναι πάλι κύκλωμα συνεχούς είναι ( ) = 30 V. Επομένως, για t 0 (t) = ( ) [(0) ( )]e t/τ = 30 (15 30)e t/2 = 30 15e 0.5t V Για t = 1 s, (1) = 30 15e 0.5 = V και για t = 4 s, (4) = 30 15e 2 = V. Παράδειγμα 1.6 Στο παρακάτω κύκλωμα, μετά από μεγάλο χρονικό διάστημα, την χρονική στιγμή t = 0, ο διακόπτης 1 κλείνει και ο διακόπτης 2 ανοίγει. Προσδιορείστε τα (t) και (t) για < t <. 10Ω V 20Ω 0.25F 10V 10Ω 20Ω 0.25F 10V 30V 20Ω 0.25F t<0 t>0 Για t < 0 έχουμε το κάτω αριστερό κύκλωμα. (t) = 0 εφόσον ο κλάδος είναι ανοικτός και (t) = 10 V, η τάση στα άκρα της 20 Ω. Για t > 0 έχουμε το κάτω δεξιό κύκλωμα. Στην τελική κατάσταση ( ) = = 20 V 7

8 και ο πυκνωτής εκφορτίζεται στην ολική αντίσταση που βλέπει = 6.67 Ω. Η σταθερά χρόνου είναι τ = = 1.67 s και (t) = ( ) [(0) ( )]e t/τ = 20 (10 20)e t/1.67 = 20 10e 0.6t V Το ρεύμα (t) είναι (t) = 20 C d dt = 1 0.5e 0.6t 0.25( 10)( 0.6)e 0.6t = 1 e 0.6t A Επομένως: { 10 V, t 0 (t) = 20 10e 0.6t V, t 0 (t) = Παρατηρούμε ότι η τάση είναι συνεχής ενώ το ρεύμα όχι. { 0 A, t < 0 1 e 0.6t A V, t > Διέγερση βαθμίδας σε RL κυκλώματα Στη διέγερση βαθμίδας σε RL κυκλώματα εφαρμόζεται απότομα μια πηγή συνεχούς τάσης ή ρεύματος και το πηνίο αλλάζει την κατάστασή του. R U s L Σχήμα 4: Διέγερση βαθμίδας σε κύκλωμα RL. Μπορούμε και εδώ να εφαρμόσουμε κανόνα Krchhoff για τον προσδιορισμό του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο, ή, πιο απλά, εφόσον είναι σύστημα πρώτης τάξης, η διέγερση βαθμίδας θα είναι: όπου τ = L/R η σταθερά χρόνου. (t) = { (0), t 0 ( ) [(0) ( )]e t/τ, t 0 Παραγωγίζοντας, έχουμε και την αντίστοιχη απόκριση για την τάση στα άκρα του πηνίου, (t) = Ld/dt. Παράδειγμα 1.7 Στο παρακάτω κύκλωμα, μετά από μεγάλο χρονικό διάστημα, την χρονική στιγμή t = 0, κλείνει ο διακόπτης 1 και την χρονική στιγμή t = 4 s κλείνει ο διακόπτης 2. Προσδιορείστε το (t) για t > 0 καθώς και τις τιμές (2) και (5). 4Ω 6Ω 1 t=4 40V 2 2Ω 5H 10V 8

9 Εδώ χρειάζεται να εξετάσουμε τα τρία χρονικά διαστήματα t 0, 0 t 4 και t 4 ξεχωριστά. Για το πρώτο, t 0, και οι δυο διακόπτες είναι ανοικτοί άρα δεν κυκλοφορεί ρεύμα στο κύκλωμα και (0 ) = 0. Εφόσον το ρεύμα δεν μπορεί να αλλάξει ακαριαία σε ένα πηνίο, έχουμε (0) = (0 ) = (0 ) = 0 A Για 0 t 4 ο διακόπτης 1 είναι κλειστός και έχουμε Το ρεύμα για t = 4 είναι ( ) = = 4 A, R eq = 4 6 = 10 Ω, τ = L R eq = 0.5 s (t) = ( ) [(0) ( )]e t/τ = 4 (0 4)e 2t = 4(1 e 2t ) A (4 ) = 4(1 e 8 ) = A και εφόσον δεν μπορεί να αλλάξει ακαριαία σε ένα πηνίο, έχουμε (4) = (4 ) = (4 ) = A Για t 4 κλείνει και ο δεύτερος διακόπτης. Αν μετασχηματίσουμε τις πηγές τάσης σε ρεύματος έρχονται όλα τα στοιχεία παράλληλα με κοινή τάση V. Επομένως ( ) = /6 = A. Η ισοδύναμη αντίσταση που βλέπει το πηνίο είναι R eq = (4 2) 6 = 7.33 Ω άρα η σταθερά χρόνου είναι τ = L/R eq = 5/7.33 = s. Επομένως: (t) = ( ) [(4) ( )]e (t 4)/τ = ( )e (t 4)/0.682 = e 1.466(t 4) A Συγκεντρωτικά: και 0 A, t 0 (t) = 4(1 e 2t ) A, 0 t e 1.466(t 4) A, t 4 (2) = 4(1 e 2 2 ) = A, (5) = e 1.466(5 4) = A 9