2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών
|
|
- Σάββας Χρηστόπουλος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε µία πιθανότητα που αφορά συγχρόνως δύο ή περισσότερες τµ που προέρχονται από το ίδιο στοχαστικό πείραµα µε δχ Ω Για την καλύτερη αντιµετώπιση τέτοιων προβληµάτων γενικεύουµε την έννοια της κατανοµής µιας τµ και ορίζουµε την από κοινού συνάρτηση κατανοµής δύο τµ ως εξής: F R Χ Υ {ω Ω: Χω και Υω } Η κατανοµή της τµ Χ µπορεί να εξαχθεί από την από κοινού κατανοµή των Χ Υ ως εξής: F lm lm F F και αντίστοιχα F F R R ιακριτές διδιάστατες κατανοµές Στην περίπτωση που οι τµ ΧΥ είναι διακριτές A B τότε µπορούµε να ορίσουµε την από κοινού συνάρτηση πιθανότητας των ΧΥ ως εξής: A B Αν πχ Α Β { } τότε F {} Η συνάρτηση πιθανότητας της τµ Χ µπορεί να εξαχθεί από την από κοινού συνάρτηση πιθανότητας των ΧΥ από την σχέση: B B B και όµοια A Συνεχείς διδιάστατες κατανοµές Θα λέµε ότι η από κοινού κατανοµή δύο τµ ΧΥ είναι συνεχής αν υπάρχει συνάρτηση ΧΥ έτσι ώστε F u v dv du Η συνάρτηση ΧΥ θα καλείται από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των ΧΥ Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Χ προκύπτει από την από κοινού σππ ως εξής: d d d F F u v dv du v dv d d d d ισχύει γενικά ότι g u du g και όµοια u du d Boutskas M 3 Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης Πανεπιστήµιο Πειραιώς 4
2 Μέση τιµή συνάρτησης δύο ή περισσότερων τµ Αν ΧΥ είναι δύο τµ και Ζ g τότε αποδεικνύεται ότι η µέση τιµή της Ζ δίνεται από την σχέση Z g g αν ΧΥ είναι διακριτές τµ A B A B Z g g d d αν ΧΥ είναι συνεχείς τµ Ιδιαίτερα αν g ΧΥ τότε για συνεχείς τµ ισχύει ότι Z d d d d d d d d d d d d και το ίδιο ισχύει και για διακριτές τµ Άρα γενικότερα χρησιµοποιώντας και την γνωστή ιδιότητα a a θα ισχύει ότι για διακριτές και συνεχείς τµ a b a b a b R Από κοινού κατανοµές µπορούν γενικότερα να ορισθούν για τµ Οι τεχνικές λεπτοµέρειες είναι ανάλογες µε αυτές που είδαµε παραπάνω για Ιδιαίτερα η παραπάνω σχέση µπορεί να γενικευτεί για τµ Συγκεκριµένα αν Χ Χ Χ είναι τµ τότε αποδεικνύεται ότι a a a a για οποιεσδήποτε σταθερές α α α a a a a Παράδειγµα Ας θεωρήσουµε το τυχαίο πείραµα της ρίψης δύο κύβων Αν Χ είναι το αποτέλεσµα της πρώτης ρίψης και Χ το αποτέλεσµα της δεύτερης ρίψης τότε η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας των Χ Χ θα είναι 3 Αν πχ τώρα Ζ Χ Χ είναι το άθροισµα των δύο ρίψεων τότε Z Επίσης η από κοινού σπ των Χ Ζ θα είναι Z z Z z z z για z και Z z διαφορετικά 3 Boutskas M 3 Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης Πανεπιστήµιο Πειραιώς 5
3 Παράδειγµα Έστω Χ ο αριθµός των επιτυχιών σε ανεξάρτητες δοκιµές η κάθε µία από τις οποίες είναι «επιτυχία» µε πιθανότητα και «αποτυχία» µε πιθανότητα q Είναι γνωστό ότι η τµ Χ ακολουθεί διωνυµική κατανοµή µε µέση τιµή Ας δούµε πως µπορούµε εναλλακτικά να βρούµε την µέση τιµή της Χ χωρίς να χρειαστεί να υπολογίσουµε την κατανοµή της Έστω Χ Χ Χ οι τυχαίες µεταβλητές οι οποίες αντιπροσωπεύουν τα αποτελέσµατα των πειραµάτων Ειδικότερα θα είναι ή ανάλογα µε το αν το -πείραµα είναι επιτυχία ή όχι Προφανώς θα ισχύει ότι και εποµένως επειδή q θα είναι όπως ήταν αναµενόµενο Άσκηση Μία γραµµατέας τοποθετεί στην τύχη διαφορετικά γράµµατα σε φακέλους µε διαφορετικές διευθύνσεις Κάθε γράµµα ταιριάζει µόνο σε έναν φάκελο Ποιο είναι το αναµενό- µενο µέσο πλήθος των γραµµάτων που θα πάνε στο σωστό παραλήπτη; Λύση Θεωρούµε τις τµ Χ Χ Χ έτσι ώστε Χ ή ανάλογα µε το αν το -γράµµα τοποθετηθεί στο σωστό φάκελο ή όχι Το πλήθος των γραµµάτων που θα πάνε στο σωστό παραλήπτη θα είναι ίσο µε Παρατηρούµε ότι η πιθανότητα το -γράµµα να τοποθετηθεί στο σωστό φάκελο να διαλέξει στην τύχη η γραµµατέας το σωστό φάκελο για το -γράµµα είναι ίση µε / γιατί µόνο ένας φάκελος από τους ταιριάζει στο -γράµµα ο κάθε φάκελος έχει την ίδια πιθανότητα επιλογής Εποµένως και άρα τελικά Εποµένως όσα και αν είναι τα γράµµατα κατά µέσο όρο θα τοποθετηθεί σε σωστό φάκελο Ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές Υπενθυµίζεται ότι δύο ενδεχόµενα A Α καλούνται ανεξάρτητα αν ισχύει ότι A I A A A Θα λέµε ότι δύο τµ είναι στοχαστικά ανεξάρτητες όταν µπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχονται από ανεξάρτητα µεταξύ τους πειράµατα Αυστηρότερα δύο τµ Χ Υ : Ω R θα καλούνται στοχαστικά ανεξάρτητες όταν τα ενδεχόµενα [Χ Β ] και [Υ Β ] είναι ανεξάρτητα για κάθε δύο υ- ποσύνολα Β Β του R ηλαδή ισχύει ότι Boutskas M 3 Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης Πανεπιστήµιο Πειραιώς
4 Αποδεικνύεται ότι αρκεί να ισχύει B B B για κάθε Β Β B για κάθε δηλαδή F F F για κάθε Αν οι ΧΥ είναι διακριτές τότε είναι ανεξάρτητες αν και µόνο αν για κάθε Το ίδιο ισχύει και για συνεχείς τµ αυτή τη φορά θεωρώντας συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας αντί για συναρτήσεις πιθανότητας Παρατηρούµε ότι αν Χ Υ είναι ανεξάρτητες τότε B B B B B B B για κάθε Β Β B B Σύµφωνα µε την παραπάνω σχέση η πιθανότητα να ισχύει Χ Β δεν αλλάζει εάν γνωρίζουµε ότι Υ Β και αντίστροφα Εποµένως διαισθητικά µπορούµε να πούµε ότι δύο τµ είναι ανεξάρτητες εάν οποιαδήποτε γνώση για την τιµή της µίας τµ δεν αλλάζει την κατανοµή της άλλης τµ δηλ την πιθανότητα της άλλης να πάρει κάποια συγκεκριµένη τιµή Άσκηση Ας θεωρήσουµε το τυχαίο πείραµα της ρίψης δύο κύβων Αν Χ Χ είναι τα αποτελέσµατα των δύο ρίψεων να εξετάσετε αν οι Χ Χ είναι ανεξάρτητες Αν Ζ Χ Χ είναι το ά- θροισµα των δύο ρίψεων είναι οι τµ Χ Ζ ανεξάρτητες; Λύση Από παραπάνω παράδειγµα γνωρίζουµε ότι η από κοινού συνάρτηση κατανοµής των Χ Χ θα είναι Και επειδή 3 και επαληθεύουµε ότι για κάθε και άρα οι Χ Χ είναι ανεξάρτητες Αντίθετα οι τµ Ζ Χ δεν είναι ανεξάρτητες διότι πχ και Z Z και Z Z µε συνέπεια να ισχύει ότι Z Z 3 3 Παραδείγµατα ανεξάρτητων τµ: - το ύψος δύο φοιτητών που εκλέγονται τυχαία από την αίθουσα - ο χρόνος ζωής δύο διαφορετικών λαµπτήρων κα - οι τιµές ενός προϊόντος σε δύο διαφορετικά εµπορικά καταστήµατα κοκ Παραδείγµατα εξαρτηµένων τµ: - Το ύψος Χ και το βάρος Υ ενός τυχαία επιλεγµένου ανθρώπου Boutskas M 3 Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης Πανεπιστήµιο Πειραιώς 7
5 - Αν Χ είναι η τιµή ενός προϊόντος µία συγκεκριµένη ηµέρα και Υ η τιµή του ίδιου προϊόντος στο ίδιο κατάστηµα µία ηµέρα του επόµενου µήνα τότε οι τµ Χ Υ µπορούν να θεωρηθούν ε- ξαρτηµένες ιότι αν πχ γνωρίζουµε ότι η Χ είναι αρκετά υψηλή τότε συνήθως αυξάνεται και η πιθανότητα να είναι και η Υ υψηλή - Σε ένα δοχείο έχουµε αριθµηµένες σφαίρες από έως και εκλέγουµε στην τύχη δύο σφαίρες χωρίς επανάθεση Αν Χ Υ είναι οι αριθµοί των δύο αυτών σφαιρών τότε πχ και άρα οι Χ Υ είναι εξαρτηµένες κοκ / Για ανεξάρτητες τµ ισχύει η επόµενη χρήσιµη πρόταση Πρόταση Αν Χ Υ είναι ανεξάρτητες τµ τότε για κάθε συναρτήσεις h g ισχύει ότι h g g h Απόδειξη Θα το αποδείξουµε για την περίπτωση που οι Χ Υ είναι συνεχείς Θα είναι h g h g d d h g g d h d g h d d Η απόδειξη για διακριτές τµ είναι παρόµοια χρησιµοποιώντας αθροίσµατα αντί ολοκληρώµατα Η έννοια της ανεξαρτησίας µπορεί να γενικευτεί και για περισσότερες από δύο τµ Συγκεκριµένα οι τµ Χ Χ Χ θα καλούνται ανεξάρτητες αν προέρχονται από ανεξάρτητα πειράµατα Πιο αυστηρά θα καλούνται ανεξάρτητες αν ισχύει ότι B B B B B B για κάθε Β Β Β Αν τµ είναι ανεξάρτητες τότε είναι και ανά δύο ανεξάρτητες το αντίστροφο δεν ισχύει Συνδιακύµανση τυχαίων µεταβλητών Ως συνδιακύµανση Covarace δύο τµ Χ Υ ορίζουµε την ποσότητα Cov [ ] Παρατηρούµε ότι Cov Είναι ενδιαφέρον το γεγονός ότι Cov Επίσης για αb R ισχύει ότι Cov a b ab a b abcov Από την Πρόταση προκύπτει ότι αν ΧΥ είναι ανεξάρτητες τότε Cov Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα δηλαδή αν Cov δεν έπεται πάντα ότι οι ΧΥ είναι ανεξάρτητες τµ Για παράδειγµα ας εξετάσουµε την ειδική περίπτωση που οι τµ ΧΥ παίρνουν τις Τότε Cov Boutskas M 3 Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης Πανεπιστήµιο Πειραιώς 8
6 Από αυτήν την σχέση µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι αν Υ > Cov > > > ηλαδή η συνδιακύµανση αυτών των τµ είναι θετική αν η πραγµατοποίηση του ενδεχοµένου Υ κάνει πιο πιθανή την πραγµατοποίηση του ενδεχοµένου Χ Γενικότερα για οποιεσδήποτε τµ Χ Υ µπορεί να δειχθεί ότι µία θετική τιµή της Cov αποτελεί ένδειξη για το ότι οι τµ Χ Υ παρουσιάζουν «παρόµοια συµπεριφορά» Με άλλα λόγια - Αν Cov > : Γνωρίζοντας ότι η τµ Υ πήρε µια «µεγάλη» τιµή τότε συνήθως αυξάνεται η πιθανότητα να πάρει και η Χ «µεγάλη» τιµή και αντίστροφα Ενώ γνωρίζοντας η τµ Υ πήρε µια «µικρή» τιµή τότε συνήθως αυξάνεται η πιθανότητα να πάρει και η Χ «µικρή» τιµή και αντίστροφα Όταν Cov > λέµε ότι η Χ και η Υ είναι θετικά συσχετισµένες Στην αντίθετη περίπτωση µία αρνητική τιµή της Cov αποτελεί ένδειξη για το ότι οι τµ Χ Υ παρουσιάζουν «αντίθετη συµπεριφορά» Με άλλα λόγια - Αν Cov < : Γνωρίζοντας ότι η τµ Υ πήρε µια «µεγάλη» τιµή τότε συνήθως αυξάνεται η πιθανότητα να πάρει η Χ µια «µικρή» τιµή και αντίστροφα Ενώ γνωρίζοντας η τµ Υ πήρε µια «µικρή» τιµή τότε συνήθως αυξάνεται η πιθανότητα να πάρει η Χ µια «µεγάλη» τιµή και αντίστροφα Όταν Cov < λέµε ότι η Χ και η Υ είναι αρνητικά συσχετισµένες Για παράδειγµα αν Χ είναι η τιµή ενός προϊόντος τον ένα µήνα και Υ η τιµή του τον επόµενο µήνα τότε περιµένουµε ότι Cov > Αντίθετα αν Χ Υ είναι οι αριθµοί των δύο σφαιρών που επιλέγουµε χωρίς επανάθεση τότε CovΧΥ < βλ παραδείγµατα εξαρτηµένων τµ παραπάνω Μία πολύ χρήσιµη έκφραση για την διασπορά ενός αθροίσµατος τµ ΧΥ µπορεί να εξαχθεί χρησιµοποιώντας τη συνδιακύµανση των Χ Υ Συγκεκριµένα θα είναι: Cov Εποµένως αν Χ Υ είναι ανεξάρτητες τότε Σε αυτό το σηµείο µπορούµε να παρατηρήσουµε ότι η διακύµανση του αθροίσµατος δύο θετικά συσχετισµένων τµ είναι Cov > δηλαδή µεγαλύτερη από την διασπορά του αθροίσµατος των Χ Υ στην περίπτωση που αυτές ήταν ανεξάρτητες Αυτό συνάδει µε τις παρατηρήσεις που έγιναν παραπάνω αναφορικά µε την θετική εξάρτηση τµ Πράγµατι αν CovΧ Υ > τότε οι Χ Υ θα έχουν «παρόµοια συµπεριφορά» και εποµένως το ά- θροισµά τους ΧΥ θα λαµβάνει πιο ακραίες τιµές περισσότερο αποµακρυσµένες από την ΕΧΥ σε σχέση µε την περίπτωση που οι Χ Υ ήταν ανεξάρτητες αυτό συµβαίνει διότι στην περίπτωση που CovΧ Υ > οι δύο τµ συνήθως λαµβάνουν «µεγάλες» και «µικρές» τιµές ταυτόχρονα Παρόµοια σχόλια µπορούν να γίνουν και για την περίπτωση αρνητικά συσχετισµένων τµ Γενικότερα για τµ µπορεί να αποδειχθεί ότι Cov ενώ αν Χ Χ Χ είναι ανεξάρτητες τµ Υπογραµµίζεται ότι παρόµοια σχέση ισχύει και για την µέση τιµή η µέση τιµή αθροίσµατος είναι Boutskas M 3 Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης Πανεπιστήµιο Πειραιώς 9
7 ίση µε το άθροισµα των µέσων τιµών Για την µέση τιµή όµως το αποτέλεσµα αυτό ισχύει πάντοτε είτε είναι εξαρτηµένες οι Χ είτε όχι Αρκετά χρήσιµη είναι η επόµενη πρόταση που αφορά ανεξάρτητες τµ που ακολουθούν κανονική κατανοµή Πρόταση Αν ΧΥ είναι ανεξάρτητες τµ που ακολουθούν κανονική κατανοµή τότε και η τµ ΧΥ ακολουθεί κανονική κατανοµή Γενικότερα αν Χ Χ Χ είναι ανεξάρτητες τµ που ακολουθούν κανονική κατανοµή τότε η τµ Χ Χ Χ ακολουθεί και αυτή κανονική κατανοµή Αποµένει τώρα να βρούµε τις παραµέτρους της κανονικής τµ ΧΥ γνωρίζοντας τις παραµέτρους των Χ Υ Έστω λοιπόν ότι Χ ~ Nµ σ Υ ~ Nµ σ τότε µ µ Boutskas M 3 Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης Πανεπιστήµιο Πειραιώς σ σ η δεύτερη ισότητα ισχύει διότι οι ΧΥ είναι ανεξάρτητες και εποµένως Cov Άρα ~ Nµ µ σ σ Γενικότερα ισχύει η επόµενη πρόταση η οποία αποτελεί απλή συνέπεια των Προτάσεων και Πρόταση 3 Αν Χ~Nµ σ Υ~Nµ σ ανεξάρτητες τµ και α b R τότε a b~ N αµ bµ a σ b σ Γενικότερα αν Χ Χ Χ ανεξάρτητες κανονικές τµ ~ Nµ σ τότε a ~ N a µ Απόδειξη Σύµφωνα µε την Πρόταση οι τµ αχ και bυ αb R ακολουθούν και αυτές κανονική κατανοµή Συνεπώς από την Πρόταση η τµ Ζ αχbυ ακολουθεί κανονική κατανοµή µε a σ a b a b aµ bµ Επίσης εφόσον οι ΧΥ είναι ανεξάρτητες το ίδιο θα ισχύει και για τις αχ b και εποµένως a b a b a σ b a σ b από όπου προκύπτει το πρώτο αποτέλεσµα για δύο τµ Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται και το δεύτερο γενικότερο αποτέλεσµα που αφορά τυχαίες µεταβλητές Άσκηση 3 Το µέγιστο ασφαλές βάρος που µπορεί να µεταφέρει ένας ανελκυστήρας προσωπικού είναι kgr Αν το βάρος των ατόµων που τον χρησιµοποιούν ακολουθεί κανονική κατανοµή N8449 α να βρεθεί η πιθανότητα ώστε το συνολικό βάρος 5 τυχαία επιλεγµένων α- τόµων που χρησιµοποιούν ταυτόχρονα τον ανελκυστήρα να είναι µικρότερο από το µέγιστο α- σφαλές βάρος β Να βρεθεί το πλήθος των ατόµων που επιτρέπεται να τον χρησιµοποιούν ταυτόχρονα ώστε η πιθανότητα το συνολικό βάρος τους να είναι µικρότερο από το µέγιστο ασφαλές βάρος να είναι τουλάχιστο 99% Λύση Έστω Χ Χ Χ 5 το βάρος των 5 ατόµων Από την εκφώνηση είναι γνωστό ότι ~ N8449 ενώ οι Χ Χ Χ 5 είναι µεταξύ τους ανεξάρτητες τµ Εποµένως αν W 5 είναι το συνολικό βάρος των 5 ατόµων τότε σύµφωνα µε την Πρόταση 3 η W ακολουθεί κανονική κατανοµή µε
8 και 5 5 W W Άρα W ~ N5 N35 και συνεπώς η τµ W ~ N 35 Ζητείται η πιθανότητα W W < < Φ Φ 85 Φ β Έστω ότι το ζητούµενο πλήθος των ατόµων είναι ίσο µε Θα πρέπει το συνολικό βάρος τους < Kg 99% ή ισοδύναµα < 99 Όµοια µε το α θα ισχύει ότι και συνεπώς η τµ ~ N 84 Z ~ N 7 Εποµένως το να είναι τέτοιο ώστε να ισχύει ότι N < 99 < Φ Φ Θέτοντας τελικά θα πρέπει και συνεπώς το θα πρέπει να βρίσκεται µεταξύ των ριζών του παραπάνω πολυωνύµου 3± ± και επειδή > θα πρέπει να είναι < 4 78 ή ισοδύναµα < 84 Άρα τελικά θα πρέπει Άσκηση 4 συνέχεια του παραδείγµατος Έστω και πάλι ο αριθµός Χ των επιτυχιών σε ανεξάρτητες δοκιµές η κάθε µία από τις οποίες είναι «επιτυχία» µε πιθανότητα και «αποτυχία» µε πιθανότητα q Η τµ Χ ακολουθεί διωνυµική κατανοµή µε µέση τιµή και διασπορά Όµοια µε το παράδειγµα ας δούµε πως µπορούµε εναλλακτικά να βρούµε τη διασπορά της Χ χωρίς να χρειαστεί να υπολογίσουµε την κατανοµή της Έστω και πάλι οι τµ Χ Boutskas M 3 Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης Πανεπιστήµιο Πειραιώς
9 Boutskas M 3 Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Χ Χ έτσι ώστε ή ανάλογα µε το αν το -πείραµα είναι επιτυχία ή όχι Προφανώς θα ι- σχύει ότι και Οι τµ Χ Χ Χ είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους αφού προέρχονται από ανεξάρτητα πειράµατα Συνεπώς όπως ήταν αναµενόµενο Παρατηρούµε ότι κάτι ανάλογο δεν µπορεί εύκολα να εφαρµοστεί και στην περίπτωση της Άσκησης εν µπορούµε δηλαδή εκεί άµεσα να υπολογίσουµε την διασπορά της Χ από τις διασπορές των Χ διότι οι Χ που απαρτίζουν το άθροισµα δεν είναι ανεξάρτητες Σε αυτή την περίπτωση χρειάζεται να υπολογίσουµε και τις συνδιακυµάνσεις µεταξύ των Χ Αλλά ας δούµε α- ναλυτικότερα το πρόβληµα Άσκηση 5 Μία γραµµατέας τοποθετεί στην τύχη διαφορετικά γράµµατα σε φακέλους µε διαφορετικές διευθύνσεις Κάθε γράµµα ταιριάζει µόνο σε έναν φάκελο Αν Χ εκφράζει πλήθος των γραµµάτων που θα πάνε στο σωστό παραλήπτη ποια η διασπορά της τµ Χ; Λύση Θεωρούµε και πάλι τις τµ Χ Χ Χ έτσι ώστε Χ ή ανάλογα µε το αν το -γράµµα τοποθετηθεί στο σωστό φάκελο ή όχι Θα είναι Η διασπορά της τµ µπορεί να υπολογιστεί από την σχέση Cov και εποµένως θα πρέπει να υπολογίσουµε τα Cov Γνωρίζουµε από την λύση της άσκησης ότι ΕΧ / Επίσης Χρησιµοποιώντας τον τύπο g g Z B A θα έχουµε ότι Άρα Cov και τελικά Cov Εποµένως όσα και αν είναι τα γράµµατα η διασπορά του πλήθους των σωστά τοποθετηµένων φακέλων θα είναι
3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)
3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ
Διαβάστε περισσότεραMEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)
MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα
Διαβάστε περισσότεραΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότερα1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.
.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης
Διαβάστε περισσότερα2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.
2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,
Διαβάστε περισσότεραcov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις στις σειρές
. ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Όπως έχει αποδειχθεί (βλέπε π.χ. Ε. Ξεκαλάκη και Ι. Πανάρετο 993) οι αναµενόµενες τιµές E( ) και E( m ) παρέχουν σηµαντικές πληροφορίες σχετικά µε την κατανοµή µιας πραγµατικής
Διαβάστε περισσότερα200, δηλαδή : 1 p Y (y) = 0, αλλού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 05 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 6 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση. Η εταιρεία
Διαβάστε περισσότερα3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2017 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 07 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 4 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές ( Ι ) Επιµέλεια : Στιβακτάκης Ραδάµανθυς Ασκηση.
Διαβάστε περισσότερα1 1 c c c c c c = 1 c = 1 28 P (Y < X) = P ((1, 2)) + P ((4, 1)) + P ((4, 3)) = 2 1/ / /28 = 18/28
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες -Χειµερινό Εξάµηνο 01 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις : Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 14/11/01 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 8/11/01
Διαβάστε περισσότεραΕπισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΠερίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων
Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα
Διαβάστε περισσότερα0. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων
. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Α. Τυχαίες µεταβητές Τυχαία µεταβητή καείται µια µεταβητή η τιµή της οποίας καθορίζεται από το αποτέεσµα κάποιου στοχαστικού πειράµατος. Αν Ω ο δειγµατικός χώρος
Διαβάστε περισσότερα1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας
Διαβάστε περισσότεραρ. Ευστρατία Μούρτου
ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 19/04/2016 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραµα Πείραµα: Οποιαδήποτε διαδικασία που µπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθµό παρατηρήσιµων
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 2018 Σειρά Α Θέματα 3 ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 8 Σειρά Α Θέματα ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις ΘΕΜΑ : Το δοχείο Δ περιέχει 6 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες ενώ το δοχείο Δ περιέχει 5 άσπρες και μαύρες μπάλες.
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 εσµευµένη Πιθανότητα Πολλαπλασιαστικός Νόµος Ανεξάρτητα Γεγονότα Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας Κανόνας Bayes
Διαβάστε περισσότερα(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 21//2016 Ηµεροµηνία Παράδοσης :
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... ΑΜ:. Ημερομηνία: Σ Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω τετράγωνα Μέρος
Διαβάστε περισσότεραΜέρος IV. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ15 ( 1 )
Μέρος IV Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( ) Πολυδιάστατες μεταβλητές Πολλά ποσοτικά χαρακτηριστικά που σχετίζονται με
Διαβάστε περισσότεραΕπισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 08-09 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 4 Ασκηση Το πείραµά µας συνίσταται στη ϱίψη 3 τίµιων κερµάτων. Συµβολίζουµε
Διαβάστε περισσότεραεξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ.
Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα µεγέους από την κατανοµή µε σππ 3 p (,, >, > 0 α είξτε ότι η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : Χ ( m είναι επαρκής για την παράµετρο και πλήρης κ β Βρείτε ΑΕΕ του α Το στήριγµα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)
Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-27: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 205- ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση. (αʹ) Σύµφωνα µε το αξίωµα της κανονικοποίησης,
Διαβάστε περισσότεραP (A) = 1/2, P (B) = 1/2, P (C) = 1/9
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-1: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 011 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις εύτερης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /11/011 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 1/11/011
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. Η έννοια της τυχαίας µεταβλητής Συχνά αυτό το οποίο παρατηρούµε σε ένα πείραµα τύχης δεν είναι το όποιο αποτέλεσµα ω Ω αλλά µια µαθηµατική ποσότητα Χ εξαρτώµενη από το αποτέλεσµα ω Ω. Ας εξετάσουµε
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 26 Οκτωβρίου 2009 Η διερεύνηση, σε γενικές γραµµές, της δεσµευµένης πιθανότητας και η σύγκρισή της µε την απόλυτη πιθανότητα αποκαλύπτει
Διαβάστε περισσότεραΛύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση
Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:
Διαβάστε περισσότεραxp X (x) = k 3 10 = k 3 10 = 8 3
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 07 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές ( ΙΙ ) Ασκηση. Ρίχνουµε ένα αµερόληπτο εξάεδρο
Διαβάστε περισσότερα11 Το ολοκλήρωµα Riemann
Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την
Διαβάστε περισσότερα3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών
3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών Βασικά χαρακτηριστικά τυχαίας μεταβλητής: Μέση Τιμή (Me Vlue) Διακύμανση (Vrice) Γενικά χαρακτηριστικά: Ροπές μεταβλητών / Ροπογεννήτριες Χαρακτηριστικές συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς ΙΙ Πειραιάς 2007 1 2 Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Μία διδιάστατη συνεχής τυχαία μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραΛύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι
Διαβάστε περισσότεραν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.
Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Πράξεις Γεγονότων Σχεδιάγραµµα της Υλης Βασικές Εννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων
Διαβάστε περισσότεραΒασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων
Βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων Ορισµός πιθανότητας Έστω Ω το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειράµατος Συµβολίζουµε µε ω τα στοιχεία του Ω Ονοµάζουµε ενδεχόµενο (evet ένα υποσύνολο του Ω Για
Διαβάστε περισσότεραΣχολικός Σύµβουλος ΠΕ03
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ω Ν ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ0 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηµατικών µε πολλά
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006
Διαβάστε περισσότεραP (Ηρ) = 0.4 P (Αρ) = 0.32 P (Απ) = 0.2
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2014 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Πρώτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 25/09/2014 Ηµεροµηνία Παράδοσης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8
1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας
Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Τυχαίες Μεταβλητές Συνάρτηση Κατανοµής ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Παράµετροι τ.µ. Συνεχείς Τυχαίες
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 εκεµβρίου 2009 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισµός (α) Εστω (X, Y) διακριτή διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε
Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f
Διαβάστε περισσότερα14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων
14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότερα4 Συνέχεια συνάρτησης
4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR
KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το
Διαβάστε περισσότεραΚατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )
Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής =() Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)
Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαία Μεταβλητή (τ.µ.) : συνάρτηση Χ (.) µε πεδίο ορισµού τον δειγµατικό χώρο Ω και πεδίο τιµών ένα σύνολο πραγµατικών αριθµών. X (.) : Ω D ιακριτές τ.µ. Συνεχείς τ.µ. Η πιθανοτική
Διαβάστε περισσότεραp(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 206-207 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Από κοινού συναρτήσεις Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση
Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε
Διαβάστε περισσότεραΚανόνες παραγώγισης ( )
66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n
Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 12 Οκτωβρίου 2009 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Ενωση ενδεχοµένων Η ένωση δύο ενδεχοµένων A και B (ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω), συµβολιζόµενη
Διαβάστε περισσότεραThanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ
thanasisenos@yahoo.gr Thanasis Xenos )Αν µια συνάρτηση f είναι, τότε είναι γνησίως µονότονη; Η πρόταση δεν αληθεύει, διότι για παράδειγµα η συνάρτηση, f ( ) = είναι - και δεν είναι γνησίως µονότονη., >
Διαβάστε περισσότερα3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
Διαβάστε περισσότεραν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.
Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραόπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.
3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. Ζυγοβίστι Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ αʹ Το συνολικό πλήθος των τερμάτων που θα σημειωθούν είναι X + Y, και η μέση
Διαβάστε περισσότεραP (A) + P (B), [Α,Β: ξένα µεταξύ τους] P (C A B) [P (A) + P (B)] P (C A) P (A) P (B) 3 4 ( ) 1 7 = 3 7 =
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-217 - Θεωρία Πιθανοτήτων ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Προόδου- 22 Νοεµβρίου 2014 Θέµα 1 - (15 µονάδες) Εχουµε ότι : P (C A B) P (C (A B)) P (CA CB)
Διαβάστε περισσότερα. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)
Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω
Διαβάστε περισσότεραροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών
ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου
Διαβάστε περισσότεραX:S X(S) Έστω ότι στρίβουµε ένα αµερόληπτο νόµισµα δύο φορές και ενδιαφερόµαστε για τον αριθµό των Κ που θα εµφανιστούν.
Στατιστική Ι: Ακαδηµαϊκό Έτος 6-7 Τυχαίες Μεταβλητές Έστω ότι εκτελούµε ένα πείραµα τύχης και ότι είµαστε σε θέση να µετρήσουµε όλα τα δυνατά αποτελέσµατα και να αντιστοιχούµε ένα πραγµατικό αριθµό σε
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Ο ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Στο εργαστήριο αυτό θα ασχοληθούµε µε την προσοµοίωση της ρίψεως ενός δίκαιου νοµίσµατος. Το µοντέλο το οποίο θα πρέπει να πραγµατοποιήσουµε θα πρέπει να
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.
Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα
Διαβάστε περισσότερα2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ
.5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότεραΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών
54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις στη Θεωρία Πιθανοτήτων
Σηµειώσεις στη Θεωρία Πιθανοτήτων Μέρος Α. Τι είναι οι Πιθανότητες. Είναι συνηθισµένο να ορίζουµε λοιπόν µαθηµατικές διαδικασίες, τις οποίες ονοµάζουµε µοντέλα ή πρότυπα, ώστε να περιγράψουν φαινόµενα
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα
Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης
Διαβάστε περισσότερα----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------
----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Σ. ΖΗΜΕΡΑΣ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών- Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Σάμος
ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σ. ΖΗΜΕΡΑΣ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών- Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Σάμος Εισαγωγή Αριθμητικά δεδομένα αντιστοιχούν σε πραγματοποιήσεις τυχαίων
Διαβάστε περισσότεραΣυστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson
Ιαν. 009 Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Έστω y, y,, yn παρατηρήσεις µιας m -διάστατης τυχαίας µεταβλητής µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p( y; θ) η οποία περιγράφεται από ένα
Διαβάστε περισσότερα1. Η κανονική κατανοµή
. Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτές Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Διακριτές Κατανομές. τεχνικές. 42 άλυτες ασκήσεις.
Διακριτές Κατανομές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Διακριτές Κατανομές τεχνικές 4 άλυτες ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglyos.gr 3 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις
Διαβάστε περισσότερα< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.kouras@fm.aga.gr Τηλ: 7035468 Κίνηση
Διαβάστε περισσότερα5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ
5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΟΦΑΕΙΑΣ 5. Η συνάρτηση μέγιστης πιθανοφάνειας Έστω µία τυχαία µεταβλητή η οποία αντιπροσωπεύει την µέτρηση κάποιας συγκεκριµένης ποσότητας µε πραγµατική αλλά άγνωστη τιµή θ σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΕπιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ
Επιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ Έστω ότι έχουµε δοχεία αριθµηµένα από το ως και σφαίρες αριθµηµένες από ως. Οι σφαίρες τοποθετούνται τυχαία στα δοχεία ανά µία. Εάν µία σφαίρα και το δοχείο
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές Ι
Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές Ι Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές Η Χρήση των Θεωρητικών
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας
Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα
Διαβάστε περισσότερα4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων
5. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο R. 6. Η συνάρτηση sin είναι συνεχής στο R. 7. Η συνάρτηση cos είναι συνεχής στο R. 8. Η συνάρτηση tan είναι συνεχής σε κάθε R µε k π + π/2, k Z. 9. Η συνάρτηση cotan είναι
Διαβάστε περισσότερα