Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Transcript

1 Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 4: Το γενικευμένο πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου για συστήματα συνεχούς Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

2 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 2

3 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 3

4 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης creative commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκεινται σε άλλου τύπου άδειες χρήσης, άδεια αναφέρεται ρητώς. 4

5 Συστήματα συνεχούς

6 Θεωρούμε το δυναμικό σύστημα που περιγράφεται στο χώρο κατάστασης σύμφωνα με τη σχέση: x = F xut,, ( ) και το ακόλουθο γενικευμένο κριτήριο κόστους που περιέχει τον ξεχωριστό όρο Φ[x(t f ), t f ]για την τελική χρονική τιμή t f. t f J = L x, u, t dt +Φ x t f, t f t ( ) ( ) με δεδομένα τα t, x(t ) στο αρχικό όριο και γνωστά στο τελικό όριο ένα από τα t f ή το x(t f ). 6

7 Θεωρούμε τη Φ διαφορίσιμη συνάρτηση ορίζουμε: t f J* = { L( x, u, t) +Φ x( t), t } dt t Τότε η ελαχιστοποίηση του κριτηρίου J είναι ισοδύναμη με αυτή του J*, όπως προκύπτει από τις παρακάτω σχέσεις: 7

8 Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων συνεχούς t f min J* = min { L( x, u, t) +Φ x( t), t } dt = u u t tf tf = min L( x, u, t) dt + Φ ( ), u x t t dt = t t tf tf = min L( x, u, t) dt + dφ x( t), t u = t t t f = min L( x, u, t) dt x( t ), ( ) f t +Φ f Φ x t, t u = t { J Φ x( t ) } t = min, u 8

9 Επειδή όμως η Φ[x(t ),t ] έχει κάποια σταθερή τιμή στο όριο t, έπεται ότι: min J = min J* u Ταυτόχρονα αναλύοντας την παράγωγο της Φ χρησιμοποιώντας κατά σειρά μερικές παραγωγίσεις, παίρνουμε: n dφ Φ dx i Φ dx Φ= = + = dt i= 1 xi dt t dt = n i= 1 u Φ Φ Φ Φ xi + = x + xi t x t 9

10 Έτσι τελικά, με αντικατάσταση του το κριτήριο κόστους J* μπορεί να γραφτεί στη μορφή: t f Φ Φ J* = L( x, u, t) + x + dt x t t Φ 1

11 Αν σχηματίσουμε τη Lagrangian, θεωρώντας ως περιορισμούς το σύνολο των καταστατικών εξισώσεων του συστήματος, καταλήγουμε στο ακόλουθο ισοδύναμο κριτήριο: t f Φ Φ J** = L( xut,, ) + x + + λ F( xut,, ) x dt= x t t t f όπου Lagrange. ( λ ) = K x, x, u,, t dt t [ ] λ = λ1 λ n το διάνυσμα των παραγόντων 11

12 Τότε η ελαχιστοποίηση της J** θα δίνεται από τις εξισώσεις Euler Lagrange ως προς όλες τις εμφανιζόμενες μεταβλητές x,u,λ. Έτσι, ως προς το διάνυσμα x θα πρέπει: K d K = x dt x, με K { L F} Φ Φ = + λ + x + x x x x t K Φ Φ λ x x x x = x + x = λ 12

13 Οπότε: Θεωρώντας τη Hamiltonian d K d Φ = λ dt x dt x Έχουμε τελικά K d K = x dt x H = L+ λ F H Φ Φ d Φ + λ + x + = x x x t dt x 13

14 Επειδή όμως d Φ Φ Φ dt = x + = dt x x x t x dt = Έχω τελικά για την εξίσωση των συμπληρωματικών καταστάσεων: Φ Φ x + x x t H λ = x 14

15 Από τις υπόλοιπες εξισώσεις Euler Lagrange ως προς u και ως προς λ, καταλήγουμε αντίστοιχα στη συνθήκη βελτιστοποίησης: H u = από την οποία προκύπτει και ο βέλτιστος νόμος ελέγχου, και στην αρχική εξίσωση των δυναμικών του συστήματος: x H = = λ F xut,, ( ) 15

16 Η λύση στο γενικευμένο πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου για συστήματα συνεχούς δίνεται συνεπώς από την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων των δυναμικών του συστήματος, μαζί με την εξίσωση των συμπληρωματικών καταστάσεων. Ο τελικός νόμος ελέγχου εφαρμόζεται μέσω της συνθήκης βελτιστοποίησης. H u = 16

17 Για να επιλυθούν όμως οι διαφορικές εξισώσεις της δυναμικής του συστήματος και των συμπληρωματικών καταστάσεων χρειάζονται κάποιες αρχικές ή τελικές τιμές των μεταβλητών τους. Α πό αυτές έχουμε πάντοτε μόνο την αρχική συνθήκη x(t ) στο t δεδομένο. Χρειαζόμαστε όμως άλλη μια οριακή συνθήκη. Αυτή θα τη βρούμε στο τελικό όριο t f, για το οποίο διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: 17

18 a) Περίπτωση δεδομένης της τελικής κατάστασης x(t f ) και ελεύθερης της τελικής χρονικής στιγμής t f. Τότε ισχύει: K K x = x η οποία μετά τις αντικαταστάσεις δίνει t f Φ Φ + + λ λ = x t x F H x x x t f 18

19 a) Περίπτωση δεδομένης της τελικής κατάστασης x(t f ) και ελεύθερης της τελικής χρονικής στιγμής t f. Τότε ισχύει: K K x = x η οποία μετά τις αντικαταστάσεις δίνει F Φ Φ H + x + λ x x λ = x t x t f t f Φ H + = t t f 19

20 b) Περίπτωση δεδομένου του τελικού t f και ελεύθερης της τελικής κατάστασης x(t f ). Τότε αντίστοιχα ισχύει: K x t f = που μετά τις αντικαταστάσεις δίνει λ ( t ) f Φ = x t f 2

21 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 21

22 Τέλος Ενότητας

23 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Αλεξανδρίδης Αντώνιος 215. Αλεξανδρίδης Αντώνιος. «Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων. Το γενικευμένο πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου για συστήματα συνεχούς». Έκδοση: 1.. Πάτρα 215. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 23

24 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Όλα τα σχήματα, οι εικόνες και τα γραφήματα που παρουσιάστηκαν σε αυτήν την ενότητα είναι από το βιβλίο << Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων >>, Αντώνης Θ. Αλεξανδρίδης, εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών. 24