Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων

Transcript

1 Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Ενότητα 9: Παθητικότητα Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

2 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 2

3 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 3

4 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης creative commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκεινται σε άλλου τύπου άδειες χρήσης, άδεια αναφέρεται ρητώς. 4

5 Euler-Lagrange εξίσωση: με E d E E + E + D = G dt g g g g = V Q i i i i i g M g g t, με DQ = g D g g EQ = g D g gd 0 E P g V EV = P( g), όπου ορίζουμε = = g g g g t t Ein = G 0 ig i dτ = G gd 0 τ τ 5

6 Με τις παραπάνω συνθήκες, Euler-Lagrange καταλήγει: M g g + C g, g g + D g g + g g = G με Μ(g) > 0 τετράγωνος και θετικά ορισμένος πίνακας D(g) 0 C(g, g ) τέτοιος ώστε ο πίνακας M να είναι αντισυμμετρικός. 2C 6

7 Στο χώρο κατάστασης, αν ορίσουμε η εξίσωση: M g g + C g, g g + D g g + g g = G μετασχηματίζεται x = x 1 2 x, x = gg, 1 2 x = M x C x, x x M x D x x y = M x g x + M x u x

8 Έστω μη γραμμικό σύστημα της μορφής x = f x + b x u, x 0 = x y = h x, h 0 = 0, f 0 = 0 όπου u η είσοδος του συστήματος, b(x) είναι ένας nxm πίνακας και y η έξοδος. Έστω ο ρυθμός εισόδου της ενέργειας στο σύστημα, w(y,u) : t 0 w s ds < 0 n ( 9.1) 8

9 Για το σύστημα (9.1) ισχύουν τα ακόλουθα: Απωλεσιμότητα Ένα σύστημα της μορφής (9.1) είναι σύστημα με απώλειες (σε αναφορά προς την ισχύ εισόδου w(u,y) ) αν και μόνο αν υπάρχει συνάρτηση αποθήκευσης H(x(t)) 0 τέτοια ώστε: H x H x 0 w u t,y t dt ( ) + ( ) για όλα τα u και όλα τα Τ 0 και x(0)ϵr n. 0 9

10 Για το σύστημα (9.1) ισχύουν τα ακόλουθα: Παθητικότητα Ένα σύστημα είναι παθητικό αν είναι σύστημα με απώλειες ( ιδιότητα απωλεσιμότητας ) με ισχύ εισόδου ίση με: wuy, = uy 10

11 Ένα E-L σύστημα, σύμφωνα με τους ορισμούς είναι σύστημα με απώλειες όταν υπάρχει συνάρτηση: H x t 0 τέτοια ώστε: H x( t) H x( 0) wdτ Επιπλέον το σύστημα είναι παθητικό όταν ισχύει: t 0 w yu, = yu 11

12 Η συνάρτηση H[x(t)] ονομάζεται συνάρτηση αποθήκευσης και αντιστοιχεί στη συνολική ενέργεια που αποθηκεύει το σύστημα, δηλαδή στην προκειμένη περίπτωση: Για να αποδείξουμε ότι ένα σύστημα είναι παθητικό, αρκεί να δείξουμε ότι: t ή, για H[x(0)] σταθερό: H x t = E + E V ( 0) H x t H x u ydτ H x t u y 0 12

13 Έστω λοιπόν ότι: Τότε: 1 H x t = E + EV = g M g g + P g dm g H = 2g M g g + g g + P( g) g 2 2 dt g 1 H = g M g g + g M g g + g g g 2 13

14 Έστω λοιπόν ότι: 1 H = g M ( g) g + g M ( g) g + g g ( g) 2 M ( g) g + C( g, g ) g + D( g) g + g ( g) = G 1 H = g C( g, g ) g D( g) g g ( g) + G + g M ( g) g + g g 2 1 H = g M ( g) 2 C( gg, ) g gdg g+ gg 2 14

15 Ωστόσο, λόγω αντισσυμετρικότητας έχουμε: g M g 2 C gg, g = 0 Οπότε: Στο χώρο κατάστασης έχουμε: H= gdg g+ gg H = x2 D x1 x2 + yu 0 t H y u H x t H x u ydτ ( 0) 0 15

16 Εφόσον t H x t H x u ydτ ( 0) 0 αποδεικνύει ότι τα E-L συστήματα με συνάρτηση αποθήκευσης H[x(t)] = E + E V είναι παθητικά. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι η ενέργεια που δίνεται στο σύστημα είναι μεγαλύτερη από αυτήν που αποθηκεύει. 16

17 Τέλος Ενότητας

18 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 18

19 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Αλεξανδρίδης Αντώνιος Αλεξανδρίδης Αντώνιος. «Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων. Παθητικότητα». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 19

20 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Όλα τα σχήματα, οι εικόνες και τα γραφήματα που παρουσιάστηκαν σε αυτήν την ενότητα είναι από το βιβλίο << Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων >>, Αντώνης Θ. Αλεξανδρίδης, εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών. 20