Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

4 Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων (Συνέχεια από το προηγούμενο μάθημα) Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα, αφού έχουμε χωρίσει το κλάσμα σε άθροισμα δύο κλασμάτων: 5 0 d d 4 4 d ln 4 ln c 4

5 Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με χωρισμό σε άθροισμα κλασμάτων: d 5

6 Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με χωρισμό σε άθροισμα κλασμάτων: d Χωρίζουμε το κλάσμα σε άθροισμα κλασμάτων ως εξής: A B C 6

7 Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων 7 Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με χωρισμό σε άθροισμα κλασμάτων: d C B A

8 Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων 8 Χωρισμός σε άθροισμα κλασμάτων: C B A

9 Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων 9 Χωρισμός σε άθροισμα κλασμάτων:... C B A

10 Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Χωρισμός του παρακάτω κλάσματος σε άθροισμα κλασμάτων: 0

11 Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Χωρισμός του παρακάτω κλάσματος σε άθροισμα κλασμάτων: C B A

12 Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Χωρισμός του παρακάτω κλάσματος σε άθροισμα κλασμάτων: C B A C

13 Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Χωρισμός του παρακάτω κλάσματος σε άθροισμα κλασμάτων:

14 Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Χωρισμός του παρακάτω κλάσματος σε άθροισμα κλασμάτων: A B C D E 4

15 Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: 4 sin cos 5 d 5

16 Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: 4 sin cos 5 d sin 4 cos 5 d sin 4 cos 4 cos d u sin du cos d u 4 u du 6

17 Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: cos d 7

18 Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: cos d cos d cos d 8

19 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Λουκάς Βλάχος.. Έκδοση:.0. Θεσσαλονίκη 04. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

20 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. []

21 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Νικόλαος Τρυφωνίδης Θεσσαλονίκη, 05

22 ΣΗΜΕΙΏΜΑΤΑ

23 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.