Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής

Transcript

1 Κεφάαιο Αξιοπιτία μονάδων - υτημάτων το χρόνο Κατανομές χρόνων ζωής Στο προηγούμενο κεφάαιο εξετάαμε την αξιοπιτία μονάδων ή υτημάτων τατικά δηαδή υποθέταμε ότι η μεέτη γίνονταν πάντα ε κάποια υγκεκριμένη χρονική τιγμή Μεγαύτερο ίως ενδιαφέρον παρουιάζει η μεέτη της υμπεριφοράς μίας μονάδας ή ενός υτήματος τη διάρκεια του χρόνου Στο κεφάαιο αυτό οιπόν θα εξετάουμε την δυναμική υμπεριφορά μιας μονάδας ή ενός υτήματος Αξιοπιτία υτημάτων το χρόνο Θεωρούμε ότι κάθε μονάδα ή ύτημα έχει έναν χρόνο ζωής Τ ο οποίος δεν μπορεί να είναι γνωτός εκ των προτέρων και για αυτό θεωρείται τυχαία μεταβητή με τιμές το [ Θεωρούμε οιπόν ότι μία μονάδα ξεκινά να ειτουργεί το χρόνο και παραμένει την κατάταη ειτουργίας μέχρι και την τυχαίο χρόνο Τ Μετά από τη τιγμή αυτή θα θεωρούμε ότι η μονάδα παραμένει ε κατάταη αποτυχίας ε αυτή την περίπτωη έγεται ότι έχουμε μη ανανεώιμες μονάδες: διάτημα ειτουργίας Αν εξετάουμε την μονάδα αυτή ε υγκεκριμένο χρόνο όπως το Κεφάαιο τότε είτε αυτή θα ειτουργεί αν Τ είτε θα έχει αποτύχει αν Τ < Επομένως η αξιοπιτία της μονάδας αυτής το χρόνο θα πρέπει να είναι να ειτουργεί το χρόνο Είναι φανερό ότι ως χρόνο ζωής Τ μιας μονάδας θα πρέπει να θεωρήουμε μια μη-αρνητική τυχαία μεταβητή διακριτή ή υνηθέτερα υνεχή Όταν ο χρόνος ζωής της μονάδας είναι υνεχής δηαδή η Τ είναι μία υνεχής τμ τότε είναι γνωτό ότι για κάθε Ε- πειδή το εξής θα επικεντρωθούμε ε υνεχείς τμ για ευκοία θα θεωρούμε ότι Ανάογα ορίζεται και η αναξιοπιτία μιας μονάδας να μην ειτουργεί το χρόνο δηαδή η αναξιοπιτία της μονάδας ε χρόνο θα είναι ίη με την υνάρτηη κατανομής του χρόνου ζωής της το χρόνο Η αξιοπιτία μερικές φορές υμβοίζεται και με Άς θεωρήουμε τώρα ένα ύτημα μονάδων και έτω Τ ο χρόνος ζωής της μονάδας με κ και Τ ο χρόνος ζωής του υτήματος με κ Οι αξιοπιτίες των μονάδων το χρόνο θα είναι Οι αξιοπιτίες των μονάδων μερικές φορές θα υμβοίζονται και με p Αντίτοιχα η αξιοπιτία του υτήματος θα είναι Όπως και το πρώτο κεφάαιο οι μονάδες του υτήματος θεωρούνται ανεξάρτητες και επομένως οι χρόνοι ζωής τους Τ Τ Τ θα θεωρούνται τοχατικά ανεξάρτητες τμ Αν οι τμ Τ Τ Τ ακοουθούν την ίδια κατανομή και επομένως τότε ανάογα και Bouss MV -8 Σημειώεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιτίας» Τμ Στατιτικής και Αφ Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 4

2 με το Κεφάαιο το ύτημα θα καείται d Σύμφωνα με τα όα έχουμε αναπτύξει το προηγούμενο κεφάαιο η αξιοπιτία ενός υτήματος είναι υνάρτηη των αξιοπιτιών p p p των μονάδων από τις οποίες αποτεείται Δηαδή p p p και η υνάρτηη αυτή καθορίζεται από τη δομή του υτήματος Αν τώρα το ύτημα μεετάται το χρόνο τότε p p και επομένως η αξιοπιτία του το χρόνο αυτό θα δίνεται από τον τύπο p p p ή Παραδείγματα α Σειριακό ύτημα νωρίζουμε ότι η αξιοπιτία ενός ειριακού υτήματος μονάδων είναι ίη με p p p L p p p και επομένως υμπεριαμβάνοντας και το χρόνο αυτή θα είναι L όπου και L Προφανώς δηαδή η αξιοπιτία είναι μικρότερη ή ίη από την αξιοπιτία οποιαδήποτε από τις μονάδες του Επίης παρατηρούμε ότι όο περιότερες μονάδες βρίκονται υνδεδεμένες ε ειρά τόο μικρότερη είναι και η αξιοπιτία του υτήματος Στην d περίπτωη θα είναι [ ] και [ ] Είναι ενδιαφέρουα η παρατήρηη ότι ο χρόνος ζωής ενός ειριακού υτήματος είναι ίος με τον μικρότερο από τους χρόνους ζωής των μονάδων του το ύτημα ξεκινά με μονάδες ε ειτουργία και αποτυγχάνει μόις αποτύχει η πρώτη από τις μονάδες Επομένως { } { } από όπου μπορεί και πάι να προκύψει ο τύπος που βρήκαμε παραπάνω για την αξιοπιτία του υτήματος το χρόνο { } L { } β Παράηο ύτημα Όμοια με το α η αξιοπιτία ενός παράηου υτήματος μονάδων είναι p p p και υνεπώς L όπου και L Προφανώς δηαδή η αξιοπιτία είναι μεγαύτερη ή ίη από την αξιοπιτία οποιαδήποτε από τις μονάδες του Επίης παρατηρούμε ότι όο περιότερες μονάδες βρίκονται υνδεδεμένες παράηα τόο μεγαύτερη είναι και η αξιοπιτία του υτήματος Στην d περίπτωη θα είναι [ ] και [ ] Bouss MV -8 Σημειώεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιτίας» Τμ Στατιτικής και Αφ Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 5

3 Bouss MV -8 Σημειώεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιτίας» Τμ Στατιτικής και Αφ Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 6 Είναι και εδώ ενδιαφέρουα η παρατήρηη ότι ο χρόνος ζωής ενός παράηου υτήματος είναι ίος με τον μεγαύτερο από τους χρόνους ζωής των μονάδων του το ύτημα ξεκινά με μονάδες ε ειτουργία και αποτυγχάνει μόις αποτύχει η τεευταία από τις μονάδες Επομένως } { } { από προκύπτει και πάι ο τύπος που βρήκαμε παραπάνω για την } { } { L γ Σύτημα υνεχόμενο -από-τα-4: o ύτημα αυτό αποτυγχάνει όταν αποτύχουν υνεχόμενες μονάδες από τις και επομένως έχει εδ τα C {} C {} C {4} Στο πρώτο κεφάαιο βρήκαμε ότι η αξιοπιτία του υγκεκριμένου υτήματος είναι q p 4 4 q q q q q q q q q q q q και άρα 4 4 όπου Στην d περίπτωη θα είναι ] [ ] [ Παρατηρούμε ότι το ύτημα αυτό αποτυγχάνει το μικρότερο από τους ακόουθους χρόνους: - το χρόνο που θα έχουν αποτύχει και οι δύο μονάδες δηαδή το { } ή - το χρόνο που θα έχουν αποτύχει και οι δύο μονάδες δηαδή το { } ή - το χρόνο που θα έχουν αποτύχει και οι δύο μονάδες 4 δηαδή το { 4 } Επομένως το ύτημα αποτυγχάνει το χρόνο }} {{ }} }{ }{ {{ 4 C δ Τέος ας εξετάουμε και το ύτημα των τριών μονάδων που παρουιάτηκε το παράδειγμα α Το ύτημα αυτό έχει ε τα {} {} και είχαμε διαπιτώει ότι p p p p p p p και άρα Στην d περίπτωη θα είναι Παρατηρούμε τέος ότι το ύτημα αυτό ειτουργεί όο ειτουργούν όες οι μονάδες κάποιου από τα ε και επομένως το ύτημα αποτυγχάνει μόις χαάει τουάχιτον μία μονάδα ε καθένα από τα ε Ο χρόνος που θα χαάει μία τουάχιτον μονάδα το ο ε θα είναι { } ενώ αντίτοιχα ο χρόνος που θα χαάει τουάχιτον μονάδα το ο ε θα είναι { } Άρα τεικά η τιγμή που για πρώτη φορά θα χαάει τουάχιτον μία μονάδα ε καθένα από τα ε δηαδή ο χρόνος ζωής του υτήματος θα είναι }} {{ }} }{ {{

4 ενικεύοντας τις παρατηρήεις για τον χρόνο ζωής του υτήματος τα γ δ παραπάνω θα έχουμε την επόμενη πρόταη Πρόταη Έτω ένα ύτημα μονάδων με εδ και ε τα C C C N και τα Μ αντίτοιχα Αν Τ Τ Τ είναι οι χρόνοι ζωής των μονάδων τότε ο χρόνος ζωής του υτήματος θα είναι: {{ }} {{ }} N C M Απόδειξη Η απόδειξη είναι παρόμοια με την αντίτοιχη δικαιοόγηη τις Παρατηρήεις γ δ ια την πρώτη χέη παρατηρούμε ότι το ύτημα αποτυγχάνει μόις αποτύχουν όες οι μονάδες κάποιου από τα εδ C C C N Όες οι μονάδες του εδ C χαάνε για πρώτη φορά το χρόνο { C } Επομένως το ύτημα αποτυγχάνει το μικρότερο από τους χρόνους { C } { C Ν } ια την δεύτερη χέη παρατηρούμε ότι το ύτημα ειτουργεί όο ειτουργούν όες οι μονάδες κάποιου από τα ε M Επομένως αποτυγχάνει μόις αποτύχει τουάχιτον μία μονάδα ε κάθε ένα από τα M Ο χρόνος που θα χαάει μία τουάχιτον μονάδα το θα είναι { } Επομένως το ύτημα αποτυγχάνει τον μεγαύτερο από τους χρόνους { } { M } Ο παραπάνω γενικός τύπος εκφράζει το χρόνο της ζωής ενός μονότονου υτήματος υναρτήει των χρόνων ζωής των μονάδων του Μία ειδική αά αρκετά ημαντική περίπτωη που αξίζει να εξετάουμε περαιτέρω είναι το -από-τα-:g ύτημα Η αξιοπιτία του υτήματος αυτού υνδέεται και με την κατανομή διατεταγμένων τμ Παρατήρηη -από-τα-:g ύτημα - διατεταγμένες παρατηρήεις Έτω ότι οι υνεχείς τμ Τ Τ Τ εκφράζουν τους χρόνους ζωής των μονάδων ενός -από-τα-:g υτήματος Συμβοίζουμε με Τ Τ Τ τους αντίτοιχους διατεταγμένους χρόνους δηαδή Τ : μικρότερος από τους Τ Τ Τ Τ : δεύτερος μικρότερος από τους Τ Τ Τ Τ : μεγαύτερος από τους Τ Τ Τ Οι τμ Τ Τ Τ είναι υνεχείς και έτι δεν παρατηρούνται «ιοπαίες» δηαδή Τ για κάποια με πιθανότητα Υπενθυμίζεται ότι το ύτημα αυτό αποτεείται από μονάδες και ειτουργεί όο ειτουργούν τουάχιτον μονάδες του Ιοδύναμα αποτυγχάνει μόις α- ποτύχουν τουάχιτον από τις μονάδες του Στο χρόνο Τ έχει αποτύχει μία μονάδα το χρόνο Τ έχουν αποτύχει μονάδες κοκ το χρόνο Τ έχουν αποτύχει όες οι μονάδες Επομένως ο χρόνος ζωής Τ του -από-τα-:g υτήματος πού απά θα είναι ο νωρίζουμε ότι την d περίπτωη η αξιοπιτία του υτήματος θα είναι β τ [ ] [ ] από όπου προκύπτει και ένας τύπος για την κατανομή της -διατεταγμένης τμ Τ - Άρα η κατανομή της Τ θα είναι θέτουμε τον παραπάνω τύπο [ ] [ ] ενικότερα η κατανομή της -διατεταγμένης παρατήρηης από τμ μπορεί να βρεθεί και απευθείας χωρίς τη χρήη της αξιοπιτίας του -από-τα-:g υτήματος Συγκεκριμένα έτω Υ Υ Υ ανεξάρτητες και ιόνομες υντ d υνεχείς τμ με κοινή κ την G και Υ Υ Υ οι αντίτοιχες διατεταγμένες τμ Η υνάρτηη κατανομής της -διατεταγμένης τμ Υ θα είναι G Y τουάχιτον από τις Υ Υ Υ είναι Bouss MV -8 Σημειώεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιτίας» Τμ Στατιτικής και Αφ Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 7

5 Bouss MV -8 Σημειώεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιτίας» Τμ Στατιτικής και Αφ Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 8 ακριβώς από τις Υ Υ Υ είναι G G ] [ ] [ Ο τύπος αυτός είναι ιοδύναμος με τον τύπο που προέκυψε για την Τ από την διότι G G G G G Y ] [ ] [ ] [ ] [ Βαθμίδα αποτυχίας μονάδος ή υτήματος Παραπάνω υποθέαμε ότι μια μονάδα ξεκινά να ειτουργεί το χρόνο και κάποια τυχαία χρονική τιγμή αποτυγχάνει ια να είναι απούτερη η μεέτη μας αυτό που καταγράφουμε από την μονάδα είναι μόνο η κατάταή της αν ειτουργεί η όχι Όπως όμως είναι φυικό υπάρχουν και ποά άα χαρακτηριτικά που μπορεί να έχει μία μονάδα ή το περιβάον το οποίο ειτουργεί και τα οποία είναι δυνατόν να επηρεάζουν την κατάταη της μονάδας ια παράδειγμα μπορεί όο περνά ο χρόνος τα χαρακτηριτικά αυτά να αοιώνονται και η μονάδα να «γερνά» δη να φθείρεται με αποτέεμα να γίνεται πιθανότερη η αποτυχία της δεδομένου ότι ειτουργεί ή και το αντίθετο Είναι οιπόν ενδιαφέρον να εξετάουμε πως μπορούμε να εκφράουμε ποοτικά την «γήρανη» αυτή Αφετηρία για την μεέτη αυτή δίνεται από την παραπάνω παρατήρηη ότι η γήρανη μπορεί να οδηγήει ε «πιθανότερη αποτυχία της μονάδας δεδομένου ότι ειτουργεί» Ξεκινάμε οιπόν εξετάζοντας την πιθανότητα μία μονάδα που ειτουργεί το χρόνο να αποτύχει το αμέως επόμενο απειροτό χρονικό διάτημα δηαδή το d Αν η υνεχής τμ Τ με κ εκφράζει το χρόνο ζωής της μονάδας η πιθανότητα αυτή θα είναι d d d d < < d d d d Επομένως βέπουμε ότι ο δεμευμένος ρυθμός αποτυχίας της μονάδας το χρόνο είναι / Στον επόμενο οριμό δίνεται μία ιδιαίτερη ονομαία την ποότητα αυτή Οριμός 4 Έτω μία μη-αρνητική υνεχής τυχαία μεταβητή Τ με κ και ππ Η ποότητα για ώτε καείται τιγμιαία βαθμίδα αποτυχίας ή ένταη αποτυχίας ή ένταη θνηιμότητας lu sy o lus hzd oc o oly Η ππ του χρόνου ζωής μιας μονάδας καείται και υνάρτηη θνηιμότητας Επειδή θα ιχύει ότι l και οοκηρώνοντας κατά μέη από έως b < b θα ιχύει ότι

6 b b b d l d l b l l b s ds από όπου προκύπτει ότι b και επομένως αν είναι γνωτή η βαθμίδα αποτυχίας τότε μπορούμε να βρούμε και την υνάρτηη αξιοπιτίας μιας μονάδας από τον τύπο s ds διότι Το οοκήρωμα που εμφανίζεται τον παραπάνω εκθέτη υμβοίζεται με Λ και καείται υνάρτηη κινδύνου hzd uco δηαδή Λ s ds Η παράγωγος της υνάρτηης κινδύνου θα είναι Λ Επομένως η κατανομή του χρόνου ζωής Τ μιας μονάδας χαρακτηρίζεται από τις ποότητες υνάρτηη κατανομής ή αναξιοπιτία αξιοπιτία ή υνάρτηη επιβίωης υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας ή υνάρτηη θνηιμότητας βαθμίδα αποτυχίας Λ υνάρτηη κινδύνου Είναι εύκοο να διαπιτώουμε ότι αν κάποια από αυτές είναι γνωτή τότε είναι και οι υπόοιπες γνωτές Μάιτα οι χέεις που υνδέουν τις ποότητες αυτές ανά δύο δίνονται τον παρακάτω πίνακα: Λ s ds s ds l Λ l l s ds s ds s ds Λ Λ Λ s ds Λ Λ s ds l s ds Είναι προφανές ότι όα παραπάνω αναφέρονται ε μία μονάδα βαθμίδα αποτυχία μονάδας κοκ μπορούν να αφορούν και ένα οόκηρο ύτημα εξάου μία μονάδα μπορεί ε οριμένες περιπτώεις να αποτεεί και αυτή ένα μικρότερο ύτημα Η έννοια της βαθμίδας αποτυχίας ειήχθη για την μεέτη της «γήρανης» μιας μονάδας ή ενός υτήματος με χρόνο ζωής Τ Αν είναι η βαθμίδα αποτυχίας που αντιτοιχεί την κατανομή του χρόνου ζωής Τ η ποότητα h είναι ίη με την πιθανότητα να αποτύχει η μονάδα το διάτημα h δεδομένου ότι ειτουργεί το χρόνο για h μικρό Επομένως είναι φανερό ότι όταν το αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου τότε και η πιθανότητα αυτή αυξάνεται Πιο περιγραφικά μπορούμε να πούμε ότι όταν η είναι αύξουα η μονάδα «γερνά» φθείρεται με την πάροδο του χρόνου διότι όο περνά ο χρόνος αυξάνεται η πιθανότητα να αποτύχει όγω πχ αοίωης των χαρακτηριτικών της δεδομένου ότι ειτουργεί Το αντίθετο υμβαίνει όταν η είναι φθίνουα Σε αυτή την δεύτερη περίπτωη η δεμευμένη πιθανότητα αποτυχίας της μειώνεται και επομένως η μονάδα κατά κάποιο τρόπο ειτουργεί ομαότερα όο περνά ο χρόνος Επομένως διακρίνουμε τις εξής περιπτώεις: - Όταν η είναι αύξουα δη η μονάδα γερνά φθείρεται με την πάροδο του χρόνου θα έγεται ότι ο χρόνος ζωής Τ έχει την ιδιότητα I Icsg lu υμβ I Bouss MV -8 Σημειώεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιτίας» Τμ Στατιτικής και Αφ Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 9

7 - Όταν η είναι φθίνουα δη η μονάδα ειτουργεί ομαότερα όο περνά ο χρόνος θα έγεται ότι ο χρόνος ζωής Τ έχει την ιδιότητα D Dcsg lu υμβ D Υπάρχουν φυικά περιπτώεις όπου η βαθμίδα αποτυχίας δεν είναι ούτε αύξουα ούτε φθίνουα ε όο το πεδίο τιμών της τμ Τ Μία αρκετά υνήθης τέτοια περίπτωη είναι η να έχει την μορφή: I Βρεφική περίοδος II Χρήιμη περίοδος III Περίοδος φθοράς I : Η πρώτη περίοδος καείται βρεφική περίοδος ly l pod Σε αυτή την χρονική περίοδο η μονάδα ξεκινά με μεγάη βαθμίδα αποτυχίας η οποία μειώνεται όο περνά ο χρόνος η μονάδα ειτουργεί ομαότερα Η αρχικά αυξημένη βαθμίδα αποτυχίας εδώ μπορεί να οφείεται ε αδυναμίες χεδίαης ή κατακευής των μονάδων ΙΙ : Αν η μονάδα έχει καταφέρει να επιζήει την επίφοβη βρεφική περίοδο την υνέχεια ακοουθεί η εγόμενη χρήιμη περίοδος usul pod ζωής Σε αυτή την χρονική περίοδο η βαθμίδα αποτυχίας παραμένει περίπου ταθερή και χετικά χαμηή η κατάταη της μονάδας παραμένει ταθερή Εάν η μονάδα αποτύχει ε αυτή την περίοδο έγεται ότι υπέτη μία τυχαία ή κατατροφική αποτυχία ΙΙΙ : Εάν περάει τις δύο προηγούμενες περιόδους η μονάδα ειέρχεται την εγόμενη περίοδο φθοράς w-ou pod Η βαθμίδα αποτυχίας εδώ αυξάνεται υνεχώς όο περνά ο χρόνος Οι αποτυχίες ε αυτό το διάτημα υμβαίνουν όγω φθοράς γήρανης της μονάδας Η παραπάνω μορφή της βαθμίδας αποτυχίας καείται Bhub cuv «εκανοειδής» καμπύη Η μορφή αυτή εμφανίζεται αρκετά υχνά κατά την μεέτη χρόνων ζωής μονάδων Μάιτα μπορεί να θεωρηθεί ότι περιαμβάνει και την περίπτωη όπου η τμ Τ εκφράζει το χρόνο ζωής ενός ανθρώπου ή γενικότερα ενός έμβιου όντος Μία απή αά ημαντική περίπτωη αποτεεί η ταθερή βαθμίδα αποτυχίας το [ δηαδή Όταν υμβαίνει αυτό ο χρόνος ζωής μπορεί τετριμμένα να θεωρηθεί I και D ταυτόχρονα διότι η ταθερή υνάρτηη μπορεί να θεωρηθεί και αύξουα και φθίνουα Σε αυτή την περίπτωη μπορούμε να πούμε ότι η μονάδα παραμένει «αγέρατη» άφθαρτη διότι όο και αν περνά ο χρόνος η πιθανότητα να αποτύχει δεδομένου ότι ειτουργεί παραμένει ταθερή Αυτό βέβαια δεν ημαίνει καθόου ότι η μονάδα είναι «αθάνατη» αυτό θα υνέβαινε μόνο την ιδιάζουα περίπτωη που Πχ το να παραμένει κάποιος για πάντα «νέος» δεν ημαίνει ότι είναι και αθάνατος Αξίζει οιπόν να δούμε ποια είναι η κατανομή του χρόνου ζωής Τ που έχει ταθερή βαθμίδα αποτυχίας Αν η αξιοπιτία της μονάδας θα είναι ίη με s ds ds και επομένως η τμ Τ θα έχει κ Με άα όγια ο χρόνος ζωής Τ ακοουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο Υπενθυμίζεται ότι η αντίτοιχη ππ θα είναι Άρα δείξαμε την παρακάτω πρόταη Bouss MV -8 Σημειώεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιτίας» Τμ Στατιτικής και Αφ Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 4

8 Πρόταη 5 Ο χρόνος ζωής μιας «αγέρατης» μονάδας με ακοουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο Αντίτροφα αν μία μονάδα έχει χρόνο ζωής που ακοουθεί εκθετική κατανομή τότε η μονάδα αυτή μπορεί να θεωρηθεί «αγέρατη» δηαδή η πιθανότητα αποτυχίας της δεδομένου ότι ειτουργεί παραμένει ταθερή όος χρόνος και αν έχει περάει από την έναρξη ειτουργίας της Η εκθετική κατανομή τετριμμένα είναι I και D ταυτόχρονα ακριβέτερα ένας χρόνος ζωής Τ που ακοουθεί την εκθετική κατανομή είναι και I και D Παράδειγμα 6 η κατανομή Wbull Είδαμε οιπόν ότι αν ένας χρόνος ζωής Τ έχει ταθερή βαθμίδα αποτυχίας θα ακοουθεί την εκθετική κατανομή Είναι ενδιαφέρον να εξετάουμε την κατανομή του χρόνου ζωής Τ όταν η βαθμίδα αποτυχίας είναι της γενικότερης μορφής c b Αν υπάρχει μονάδα με τέτοια βαθμίδα αποτυχίας θα έχει αξιοπιτία της μορφής b c p b s ds p p cs ds b και υνάρτηη κατανομής της μορφής b c p b Η υνάρτηη αυτή μπορεί πράγματι να θεωρηθεί υνάρτηη κατανομής χρόνου ζωής όταν είναι c και b ώτε : αύξουα με Η υγκεκριμένη κατανομή η οποία είναι γνωτή ως κατανομή Wbull είναι αρκετά ημαντική την θεωρία αξιοπιτίας διότι αντιτοιχεί ε βαθμίδα αποτυχίας με πού απή και γενική μορφή που εμφανίζεται αρκετές φορές την πράξη Αξίζει να παρατηρήουμε ότι όταν b τότε η Τ I ενώ όταν < b < τότε Τ D Αν b τότε προκύπτει και πάι η εκθετική κατανομή η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως υποπερίπτωη της κατανομής Wbull Θα αχοηθούμε περιότερο με αυτή την κατανομή ε επόμενο κεφάαιο όταν εξετάουμε αναυτικά αρκετές κατανομές χρόνων ζωής Συνήθως ως Wbull ορίζεται η κατανομή με κ η οποία προφανώς είναι η ίδια με την παραπάνω αν θέουμε b [c /b] /b Παράδειγμα 7 α Σειριακό ύτημα Έτω και οι βαθμίδες αποτυχίας των μονάδων και του υτήματος αντίτοιχα το χρόνο Η αξιοπιτία ενός ειριακού υτήματος μονάδων το χρόνο θα είναι L όπου είναι η αξιοπιτία της -μονάδας Επομένως l l l l L δηαδή η βαθμίδα αποτυχίας ενός ειριακού υτήματος είναι ίη με το άθροιμα των βαθμίδων αποτυχίας των μονάδων του Είναι προφανές ότι αν όες οι μονάδες έχουν I χρόνους ζωής Τ I τότε και το ύτημα έχει I χρόνο ζωής Τ I αν αύξουες τότε και Σ αύξουα Ανάογα αν οι όες μονάδες έχουν D χρόνους ζωής τότε και το ύτημα έχει D χρόνο ζωής Στην d περίπτωη θα είναι ενώ η υνάρτηη θνηιμότητας του υτήματος θα είναι είναι η κοινή υνάρτηη θνηιμότητας των μονάδων Bouss MV -8 Σημειώεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιτίας» Τμ Στατιτικής και Αφ Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 4

9 Bouss MV -8 Σημειώεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιτίας» Τμ Στατιτικής και Αφ Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 4 Τέος αν οι μονάδες είναι «αγέρατες» δηαδή η βαθμίδα αποτυχίας του υτήματος είναι και επομένως και το ύτημα θα έχει την ιδιότητα του «αγέρατου» με πού μεγαύτερη όμως βαθμίδα αποτυχίας από τις μονάδες Ο χρόνος ζωής του ειριακού υτήματος θα ακοουθεί και αυτός όπως και οι μονάδες εκθετική κατανομή με παράμετρο το άθροιμα των β Παράηο ύτημα ια ευκοία ας εξετάουμε ένα παράηο ύτημα μονάδων Η αξιοπιτία και η υνάρτηη θνηιμότητας του υτήματος αυτού θα είναι είναι η αξιοπιτία της - μονάδας και αντίτοιχα Επομένως το ύτημα θα έχει βαθμίδα αποτυχίας Αν πχ οι μονάδες είναι «αγέρατες» δηαδή και τότε οι αξιοπιτίες και υναρτήεις θνηιμότητας των μονάδων θα είναι από όπου προκύπτει ότι Aν πχ τότε το γράφημα της παραπάνω υνάρτηης θα έχει τη μορφή: η οποία δεν είναι ούτε I ούτε D Επομένως έχουμε μια περίπτωη υτήματος με I μονάδες το οποίο δεν έχει την ιδιότητα I Τέος ας εξετάουμε ένα παράηο ύτημα με d μονάδες Η αξιοπιτία ενός τέτοιου υτήματος είναι και επομένως θα έχει υνάρτηη θνηιμότητας Η βαθμίδα αποτυχίας του υτήματος θα είναι

10 Μέος χρόνος ζωής μονάδας ή υτήματος Αν Τ είναι ο χρόνος ζωής μιας μονάδας ή ενός υτήματος τότε ο μέος χρόνος ζωής ΕΤ του θα καείται μέος χρόνος μέχρι την αποτυχία της μονάδας και υμβοίζεται και με M M o lu ή o l Η επόμενη πρόταη είναι αρκετά χρήιμη για τον απευθείας υ- ποογιμό του μέου χρόνου ζωής ΕΤ από την αξιοπιτία Πρόταη 8 Έτω Τ μια μη αρνητική υνεχής τμ με ππ και υνάρτηη αξιοπιτίας Αν g είναι μία παραγωγίιμη υνάρτηη με g και υπάρχει η μέη τιμή Εg αυτή θα δίνεται από τον τύπο g g d g d Απόδειξη Είναι γνωτό ότι η μέη τιμή μιας υνάρτηης g της τμ που έχει ππ δίνεται από τον τύπο g g d Εφ όον τώρα η g είναι παραγωγίιμη θα ιχύει ότι g d g g g και επομένως [ g g d] d g dd g dd g d διότι d Από την παραπάνω πρόταη προκύπτει μία χέη που υνδέει τις ροπές μιας μη-αρνητικής τμ υνεχούς τμ με την υνάρτηη αξιοπιτίας της Συγκεκριμένα θα έχουμε το επόμενο πόριμα Πόριμα 9 Αν Τ είναι μια μη αρνητική υνεχής τμ με υνάρτηη αξιοπιτίας οι μηκεντρικές ροπές της θα είναι Ειδικότερα η μέη τιμή της Τ δίνεται από τον τύπο d d Απόδειξη Προκύπτει άμεα από την Πρόταη 6 θέτοντας g Από το παραπάνω είναι άμεο ότι η διαπορά της μη-αρνητικής Τ θα είναι d d V Παράδειγμα Ας δούμε πως θα μπορούαμε να χρηιμοποιήουμε τα παραπάνω την απή περίπτωη που θέαμε να υποογίουμε την μέη τιμή της εκθετικής κατανομής παραμέτρου η οποία ως γνωτό είναι / d p d Παράδειγμα Έτω ένα ειριακό ύτημα μονάδων με αξιοπιτίες μονάδων Ως γνωτό η αξιοπιτία του υτήματος είναι και υνεπώς ο μέος χρόνος ζωής του υτήματος θα υποογίζεται από τον γενικό τύπο Bouss MV -8 Σημειώεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιτίας» Τμ Στατιτικής και Αφ Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 4

11 Bouss MV -8 Σημειώεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιτίας» Τμ Στατιτικής και Αφ Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 44 d d L Αν πχ οι χρόνοι ζωής των μονάδων ακοουθούν την ομοιόμορφη κατανομή το [] τότε και υνεπώς d Ενώ αν οι χρόνοι ζωής των μονάδων ακοουθούν την εκθετική κατανομή με μέες τιμές / / / τότε και d Εξάου είδαμε παραπάνω ότι ε αυτή την περίπτωη ο χρόνος ζωής Τ ακοουθεί και αυτός εκθετική κατανομή με παράμετρο β Έτω ένα παράηο ύτημα μονάδων με αξιοπιτίες μονάδων Ως γνωτό η αξιοπιτία του υτήματος θα είναι και υνεπώς ο μέος χρόνος ζωής του υτήματος θα υποογίζεται από τον γενικό τύπο d d ] [ L Αν πχ οι χρόνοι ζωής των μονάδων ακοουθούν την ομοιόμορφη κατανομή το [] [] τότε d d Ενώ αν οι χρόνοι ζωής των μονάδων ακοουθούν την εκθετική κατανομή με κοινή μέη τιμή / τότε και d d ] [ Θέτοντας θα είναι l και d d και άρα d d d γ Ας εξετάουμε και πάι το ύτημα των τριών μονάδων που παρουιάτηκε το παράδειγμα α υποθέτοντας ότι οι μονάδες του έχουν αξιοπιτία Είχαμε διαπιτώει ότι το ύτημα αυτό έχει αξιοπιτία Ο μέος χρόνος ζωής του υγκεκριμένου υτήματος θα υποογίζεται από τον γενικό τύπο d d ] [ Αν πχ οι χρόνοι ζωής των μονάδων ακοουθούν την ομοιόμορφη κατανομή το [] τότε

12 Bouss MV -8 Σημειώεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιτίας» Τμ Στατιτικής και Αφ Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς ] [ 4 d d Ενώ αν οι χρόνοι ζωής των μονάδων ακοουθούν την εκθετική κατανομή μέες τιμές / / / τότε d d ] [ ] [ Όταν τότε δ Ας εξετάουμε ένα d -από-τα-:g ύτημα υποθέτοντας ότι οι μονάδες του έχουν αξιοπιτία Υπενθυμίζεται ότι η αξιοπιτία του υτήματος αυτού είναι και ο μέος χρόνος ζωής του θα υποογίζεται από τον γενικό τύπο d d Ας υποογίουμε την παραπάνω μέη τιμή όταν οι χρόνοι ζωής των μονάδων ακοουθούν την ο- μοιόμορφη το [] κατανομή Θα είναι d Είναι εύκοο τώρα να διαπιτώουμε ότι γενικά για d d d C C ενώ / C Επομένως αποδεικνύεται επαγωγικά ότι! C C C C L!!!! L Άρα επιτρέφοντας την ειδική περίπτωη όπου θα είναι!!!!!!!!! d Υπενθυμίζεται ότι ο χρόνος ζωής Τ του υγκεκριμένου υτήματος είναι ο διατεταγμένος χρόνος Τ - από τους Τ Τ Τ χρόνοι ζωής μονάδων Παρεμπιπτόντως οιπόν αποδείξαμε ότι αν Τ Τ Τ ~ Ομοιόμορφη το [] τότε ΕΤ - / ή ιοδύναμα αν Τ Τ Τ ~ Ομοιόμορφη το [] τότε

13 Κείνοντας ας εξετάουμε και την περίπτωη όπου οι χρόνοι ζωής των μονάδων ακοουθούν εκθετική κατανομή με μέη τιμή / Σε αυτή την περίπτωη θα είναι d d και θέτοντας - το οοκήρωμα προκύπτει ότι d d/ d d!!! C ε Σύτημα αποθήκευης δεδομένων Τέος ας εξετάουμε και ένα ενδιαφέρον παράδειγμα υτήματος που προέρχεται από μια υγκεκριμένη πρακτική εφαρμογή που αφορά αποθήκευη δεδομένων Η/Υ Είναι γνωτό ότι τα δεδομένα που χειρίζεται ένας Η/Υ αποθηκεύονται μόνιμα ε ένα κηρό δίκο Hd Ds Η ταχύτητα όμως ανάγνωης/εγγραφής από/προς έναν κηρό δίκο είναι αρκετά μικρότερη από αυτήν που μπορεί να χειριτεί ο κεντρικός επεξεργατής του Η/Υ και επίης η αξιοπιτία ενός μόνο δίκου ποές φορές δεν είναι ικανοποιητική ια τους όγους αυτούς την πράξη εφαρμόζονται διάφορες ύεις που βαίζονται ε περιότερους από έναν κηρούς δίκους που ειτουργούν ταυτόχρονα/παράηα Η απούτερη μέθοδος για να επιταχύνουμε την ανάγνωη/εγγραφή είναι να χρηιμοποιήουμε δύο δίκους Χωρίζουμε τα δεδομένα που πρόκειται να αποθηκευτούν πχ δεδομένα Α Β ε δύο ία μέρη πχ το Α χωρίζεται τα Α Α το Β τα Β Β κοκ και εγγράφουμε τα Α Β τον ο δίκο ενώ τα Α Β τον ο δίκο Έτι επιτυγχάνεται υψηότερη ταχύτητα εγγραφής/ανάγνωης διότι πχ τα δεδομένα Α και Α εγγράφονται/διαβάζονται παράηα προς/από τους δίκους διότι ο επεξεργατής επεξεργάζεται δεδομένα πού ταχύτερα από ότι οι δίκοι και επομένως θεωρητικά μπορούμε να επιτύχουμε διπάια ταχύτητα Η διάταξη αυτή καείται sppg ή AID Το προφανές μειονέκτημα εκτός από το υψηότερο κότος αγοράς και χρήης δίκων είναι ότι το ύτημα αποτυγχάνει πιο υχνά ε χέη με την περίπτωη που θα είχαμε έναν μόνο δίκο Πράγματι τη διάταξη AID αρκεί να αποτύχει ένας από τους δίκους για να αποτύχει το ύτημα αφού αν πχ αποτύχει ο δίκος δεν θα μπορούν να αναγνωτούν τα δεδομένα Α Β και επομένως δεν θα μπορούν να αναυταθούν τα δεδομένα Α Β μόνο από τα Α Β Το ύτημα AID μπορεί υνεπώς να θεωρηθεί ως ένα ειριακό ύτημα μονάδων δίκων που αυξάνει την ταχύτητα και μειώνει την αξιοπιτία Η απούτερη τώρα μέθοδος για να αυξήουμε την αξιοπιτία του αποθηκευτικού υτήματος είναι να χρηιμοποιήουμε και πάι δύο δίκους αά αυτή τη φορά με διαφορετικό τρόπο Εγγράφουμε τα δεδομένα που πρόκειται να αποθηκευτούν πχ δεδομένα Α Β ε δύο δίκους ταυτόχρονα γράφονται τα ίδια δεδομένα και τους δύο δίκους Με αυτό τον τρόπο το ύτημα αποτυγχάνει μόνο αν αποτύχουν και οι δύο δίκοι πρόκειται για παράηο ύτημα δύο μονάδων Η διάταξη αυτή καείται og ή AID Αυτή η διάταξη αυξάνει την αξιοπιτία του υτήματος αά δεν αυξάνει την ταχύτητα Θα μπορούαμε όμως να υνδυάουμε τις δύο παραπάνω διατάξεις χρηιμοποιώντας 4 δίκους για να επιτύχουμε αύξηη της ταχύτητας χωρίς να μειώνεται η αξιοπιτία Ένας απός τρόπος για να γίνει αυτό είναι να χωρίουμε και πάι ε δύο μέρη τα δεδομένα που πρόκειται να αποθηκευτούν πχ το Α χωρίζεται τα Α Α το Β τα Β Β κοκ και να εγγράφουμε τα Α Β τον ο και ο δίκο ενώ τα Α Β τον ο και 4 ο δίκο Η διάταξη αυτή καείται AID Προφανώς μπορούμε να χρηιμοποιήουμε περιότερους από og δίκους για μεγα- Bouss MV -8 Σημειώεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιτίας» Τμ Στατιτικής και Αφ Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 46

14 ύτερη αξιοπιτία και περιότερους από sppg δίκους για μεγαύτερη ταχύτητα Στην πράξη χρηιμοποιούνται και ποές άες διατάξεις AID dud Ay o Idpd Dss που έχουν να κάνουν με τη χρήη εφεδρικών δίκων με διαφόρους τρόπους AID Είναι ενδιαφέρον τώρα να εξετάουμε ως παράδειγμα την αξιοπιτία μιας AID διάταξης ε χέη πχ με την αξιοπιτία ενός μόνο δίκου Αρχικά θα πρέπει να προδιορίουμε τα ε ή τα εδ του υτήματος των 4 μονάδων δίκων διάταξης AID Προφανώς το ύτημα θα αποτυγχάνει θα χάνονται δεδομένα αν αποτύχουν οι δίκοι και ή οι δίκοι και 4 Άρα τα εδ θα είναι τα {} και {4} Ιοδύναμα το ύτημα θα ειτουργεί αν ειτουργούν οι δίκοι ή οι 4 η οι ή οι 4 Άρα τα ε θα είναι τα {} {4} {} {4} Η υνάρτηη δομής του υτήματος από τα εδ θα είναι β Πρόταη 7 φ όπου για ευκοία θέτουμε 4 4 Η αξιοπιτία του θα είναι φ X X X X X q q q 4 q4 όπου q p είναι η αναξιοπιτία της -μονάδας Αν θεωρήουμε ότι οι δίκοι έχουν εκθετικούς χρόνους ζωής με την ίδια παράμετρο τότε η αξιοπιτία του υτήματος το χρόνο θα είναι διότι τότε q Ένα υγκριτικό γράφημα για της υνάρτηης αξιοπιτίας του υτήματος διάταξης AID και της υνάρτηης αξιοπιτίας ενός μόνο δίκου - είναι το ακόουθο 8 AID Παρατηρούμε ότι για μικρό το ύτημα AID με τους 4 δίκους είναι πιο αξιόπιτο από έναν δίκο Το αντίθετο υμβαίνει για μεγάο Η ππ και η βαθμίδα αποτυχία του χρόνου ζωής του υτήματος των 4 δίκων θα είναι αντίτοιχα d d Τα αντίτοιχα υγκριτικά γραφήματα της ππ και της βαθμίδας αποτυχίας μεταξύ του υτήματος διάταξης AID και του υτήματος ενός μόνο δίκου είναι για Bouss MV -8 Σημειώεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιτίας» Τμ Στατιτικής και Αφ Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 47

15 8 AID 5 AID Παρατηρούμε ότι το ύτημα των 4 δίκων με εκθετικούς χρόνους ζωής έχει αρχικά μηδενική βαθμίδα αποτυχίας που αυξάνεται γρήγορα και γίνεται χεδόν διπάια από την βαθμίδα αποτυχίας ενός μόνο δίκου Επομένως όπως διαφαίνεται και από τα άα γραφήματα το ύτημα με τους 4 δίκους είναι αρχικά πιο αξιόπιτο ε χέη με τον ένα δίκο αά τη υνέχεια γίνεται ιγότερο αξιόπιτο Τεικά μπορούμε να υγκρίνουμε το ύτημα των 4 δίκων με το ύτημα του ενός δίκου και με βάη τους μέους χρόνους ζωής τους Ο μέος χρόνος ζωής του υτήματος των 4 δίκων θα είναι d 4 4 d 4 d 4 d ενώ ένας δίκος έχει μέο χρόνο ζωής που είναι ίγο μεγαύτερος από τον / Αξίζει να ημειώουμε ότι παραπάνω δεν έχουμε υνυποογίει την πού χρήιμη δυνατότητα αντικατάταης που παρέχει το ύτημα των 4 μονάδων Αν πχ κάποιος δίκος αποτύχει τότε το ύτημα εξακοουθεί να ειτουργεί για ένα χρονικό διάτημα που χεδόν πάντοτε επαρκεί για την αντικατάταη του δίκου που έχει αποτύχει με καινούριο Η μεέτη αυτής της δυνατότητας του υτήματος εντάεται τη θεωρία των ανανεώιμων υτημάτων η οποία δεν εξετάζεται τις παρούες ημειώεις αά προφανώς έχει ποές πρακτικές εφαρμογές d 4 Ο υποοιπόμενος χρόνος ζωής μονάδας ή υτήματος Μέχρι τώρα εξετάαμε το υνοικό χρόνο ζωής Τ μιας μονάδας ή ενός υτήματος με αξιοπιτία και κ Ο χρόνος αυτός «μετρά» από τη τιγμή που ξεκινά να ειτουργεί μία «καινούρια» μονάδα μέχρι τη τιγμή που αποτυγχάνει Αρκετές όμως φορές γνωρίζουμε ότι η μονάδα ή το ύτημα έχει ήδη ειτουργήει χρόνο δη γνωρίζουμε ότι Τ και επιθυμούμε να εξετάουμε τον υπόοιπο χρόνο ζωής της μονάδας από τη τιγμή μέχρι τη τιγμή αποτυχίας της Ο χρόνος αυτός ο οποίος υμβοίζεται με έχει την δεμευμένη κατανομή και ονομάζεται υποοιπόμενος χρόνος ζωής της μονάδας ηικίας Η υνάρτηη αξιοπιτίας μιας μονάδας ηικίας θα είναι Bouss MV -8 Σημειώεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιτίας» Τμ Στατιτικής και Αφ Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 48

16 Bouss MV -8 Σημειώεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιτίας» Τμ Στατιτικής και Αφ Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 49 Ενώ η κ του υποοιπόμενου χρόνου ζωής θα είναι Είναι προφανές ότι Τ Τ Επίης η ππ του υποοιπόμενου χρόνου ζωής Τ θα είναι d d d d ενώ η αντίτοιχη βαθμίδα αποτυχίας του χρόνου ζωής Τ είναι Τέος από τις δύο τεευταίες χέεις παρατηρούμε ότι Όπως έχουμε ήδη αναφέρει ο όρος «μονάδα» είναι αρκετά γενικός και μπορεί να περιγράφει αρκετές φυικές οντότητες όπως πχ ένα εξάρτημα μιας μηχανής ή και έναν άνθρωπο Η ειδική περίπτωη που ο χρόνος Τ αφορά το χρόνο ζωής ενός ανθρώπου έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον τα αναογιτικά μαθηματικά Στην περίπτωη αυτή πχ μας ενδιαφέρει η μεέτη του υποοιπόμενου χρόνου ζωής ενός ανθρώπου ηικίας πχ : χρόνος που υνάπτει αφαιτικό υμβόαιο δηαδή ο χρόνος Τ Μάιτα τα αναογιτικά μαθηματικά μερικές φορές χρηιμοποιούνται ιδιαίτεροι υμβοιμοί που αφορούν τον υποοιπόμενο χρόνο όπως πιθανότητα άτομο ηικίας να ζήει ακόμη χρόνο ιγότερο από : q πιθανότητα άτομο ηικίας να ζήει ακόμη χρόνο περιότερο από : p πιθανότητα άτομο ηικίας να ζήει ακόμη χρόνο μεταξύ και u : u u q u < < u u u p q u Παρατήρηη Ας υποθέουμε ότι έχουμε μία μονάδα με χρόνο ζωής Τ που ακοουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο Αν γνωρίζουμε ότι η μονάδα αυτή έχει ειτουργήει ήδη χρόνο o υποοιπόμενος χρόνος ζωής της Τ θα έχει υνάρτηη αξιοπιτίας δηαδή ο υποοιπόμενος χρόνος ζωής μιας τέτοιας μονάδας «ηικίας» θα ακοουθεί και πάι την εκθετική κατανομή με παράμετρο ανεξαρτήτως του Με αά όγια αν Τ ~ εκθετική κατανομή ιχύει ότι

17 Επομένως δικαιοογημένα αποκαούμε μονάδες με χρόνο ζωής που ακοουθεί εκθετική κατανομή ως «αγέρατες» ή «άφθαρτες» διότι τέτοιες μονάδες υμπεριφέρονται ως «καινούριες» ανεξαρτήτως του χρόνου που έχουν ειτουργήει Η παραπάνω ιδιότητα της εκθετικής κατανομής καείται και «αμνήμονη ιδιότητα» Είναι προφανές ότι η αντικατάταη μιας τέτοιας μονάδας με καινούρια ενώ αυτή ειτουργεί δεν βετιώνει τίποτα Αντίτροφα τώρα γεννάται το εξής ερώτημα: αν ιχύει ότι δη η κατανομή της Τ έχει την αμνήμονη ιδιότητα τότε η Τ θα ακοουθεί οπωδήποτε εκθετική κατανομή ή υπάρχουν και άες κατανομές που έχουν την αμνήμονη ιδιότητα; Η απάντηη το ερώτημα αυτό δίνεται από την επόμενη πρόταη Αρχικά παρατηρούμε ότι μία μονάδα έχει την αμνήμονη ιδιότητα αν και μόνο αν για κάθε Πρόταη Αν για την υνάρτηη αξιοπιτίας μιας μη-αρνητικής μη εκφυιμένης τμ Τ ι- χύει ότι για κάθε τότε η ακοουθεί εκθετική κατανομή Απόδειξη Έτω c και { } Από το γεγονός ότι προκύπτει c c c c c c c c c * Όμοια c c / c / και άρα / c / c ** Αν τώρα τότε για κάθε οπότε η Τ είναι εκφυιμένη τμ : άτοπο Επίης αν τότε / / για κάθε και από την δεξιά υνέχεια της θα είναι l / από όπου προκύπτει ότι οπότε και πάι η Τ είναι εκφυιμένη τμ : άτοπο Άρα θα πρέπει < < Έτω οιπόν ότι - για κάποιο Από την * ** θα είναι / / / -/ Συνεπώς για κάθε ρητό αριθμό Επικαούμενοι και πάι την δεξιά υνέχεια της προκύπτει τεικά ότι για κάθε αν υπάρχει φθίνουα ακοουθία ρητών { } με και άρα l l Επομένως μία μονάδα που έχει ειτουργήει ήδη χρόνο υμπεριφέρεται ως καινούρια ανεξαρτήτως του αν και μόνο αν ο χρόνος ζωής της ακοουθεί την εκθετική κατανομή Έτω τώρα μία μονάδα με χρόνο ζωής Τ η οποία έχει ειτουργήει ήδη χρόνο Είδαμε ότι ο υποοιπόμενος χρόνος ζωής της από τη τιγμή και μετά είναι ο Τ Είδαμε επίης ότι την περίπτωη που Τ ~ εκθετική κατανομή οι χρόνοι ζωής Τ Τ έχουν την ίδια κατανομή ανεξαρτήτως του δηαδή Επομένως για κάθε y y δηαδή η υνάρτηη είναι ταθερή ως προς Είναι τώρα ενδιαφέρον να εξετάουμε πότε η υνάρτηη είναι φθίνουα ως προς δηαδή y για y εκφυιμένη καείται μία τμ Τ: για κάποιο ή για κάθε δη Bouss MV -8 Σημειώεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιτίας» Τμ Στατιτικής και Αφ Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 5

18 Bouss MV -8 Σημειώεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιτίας» Τμ Στατιτικής και Αφ Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 5 Σε αυτή την περίπτωη η πιθανότητα να επιζήει η μονάδα ακόμη χρόνο μειώνεται με την πάροδο του χρόνου Αυτό μπορεί να θεωρηθεί ότι υμβαίνει όταν τα ποιοτικά χαρακτηριτικά της μονάδας αοιώνονται όο περιότερο αυτή ειτουργεί η μονάδα «φθείρεται» Το ίδιο ενδιαφέρον παρουιάζει και η περίπτωη όπου ιχύει το αντίθετο δηαδή η υνάρτηη είναι αύξουα ως προς Οι παραπάνω δύο περιπτώεις αύξουα - φθίνουα ως προς είναι εύκοο να δειχθεί ότι είναι ιοδύναμες με τις περιπτώεις όπου ο χρόνος ζωής Τ είναι I και D αντίτοιχα Ειδικότερα έχουμε την επόμενη πρόταη Πρόταη 4 Έτω Τ μία υνεχής μη αρνητική τμ που εκφράζει το χρόνο ζωής μιας μονάδας ή ενός υτήματος Αν όπου είναι ο υποοιπόμενος χρόνος ζωής της μονάδας ηικίας τότε για κάθε η υνάρτηη είναι αύξουα ως προς αν και μόνο αν Τ D φθίνουα ως προς αν και μόνο αν Τ I ταθερή ως προς αν και μόνο αν Τ ~ εκθετική κατανομή Απόδειξη Είδαμε παραπάνω ότι Λ Λ Λ Λ όπου ds s Λ Παραγωγίζοντας και τα δύο μέη της παραπάνω χέης ως προς προκύπτει ότι Λ Λ d d d d Λ Λ Άρα η είναι αύξουα ως προς d d για κάθε για κάθε φθίνουα δηαδή D Όμοια αποδεικνύονται και οι άες περιπτώεις Ανάογα τώρα με το μέο χρόνο ζωής ΕΤ μιας μονάδας ή ενός υτήματος θα έχουμε και το μέο υποοιπόμενο χρόνο ζωής μιας μονάδας ΕΤ ηικίας Αυτός ο μέος χρόνος θα είναι και επειδή ο χρόνος ζωής Τ είναι μη αρνητική τμ θα ιχύει ότι β Πόριμα 7 ds s d d d Τέος για τη διακύμανη του υποοιπόμενου χρόνου ζωής έχουμε V όπου ds s s d d d

19 5 Οι κυριότερες κατανομές χρόνων ζωής Στη υνέχεια παρουιάζουμε οριμένες παραμετρικές οικογένειες κατανομών χρόνων ζωής που εμφανίζονται υχνά ε διάφορα μοντέα της θεωρίας αξιοπιτίας A Η εκθετική κατανομή Αρχικά ας εξετάουμε και πάι εν υντομία την απούτερη περίπτωη κατανομής χρόνου ζωής που είναι η εκθετική κατανομή Υπενθυμίζεται ότι αν μία τμ Τ ~ Εκθετική τότε θα έχει υνάρτηη κατανομής από όπου εύκοα προκύπτει ότι και V Είδαμε επίης παραπάνω ότι η εκθετική κατανομή είναι η μοναδική κατανομή με την αμνήμονη ιδιότητα Ειδικότερα μονάδες με χρόνους ζωής που ακοουθούν την εκθετική κατανομή υμπεριφέρονται ως καινούριες ανεξαρτήτως του χρόνου που έχουν ειτουργήει «αγέρατες μονάδες» δηαδή για κάθε και B Η κατανομή Wbull Η κατανομή Wbull μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευη της εκθετικής κατανομής και είδαμε παραπάνω ότι προκύπτει όταν η βαθμίδα αποτυχίας είναι της μορφής c b για κάποιες ταθερές c Υπάρχουν ποές ιοδύναμες εκφράεις για την υνάρτηη κατανομής της υγκεκριμένης κατανομής ανάογα με την μορφή των ταθερών c Μια υνήθης μορφή της υνάρτηης κατανομής της Wbull την οποία και θα θεωρούμε τη υνέχεια είναι η μία άη υνήθης μορφή είναι η ενώ η βαθμίδα αποτυχίας είναι Η αντίτοιχη ππ είναι Bouss MV -8 Σημειώεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιτίας» Τμ Στατιτικής και Αφ Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 5

20 Επομένως αν ~ Wbull τότε - αν τότε I - αν < τότε D αν προκύπτει η εκθετική κατανομή η οποία έχει την ιδιότητα I και D ταυτόχρονα Πχ για και για διάφορες τιμές του η βαθμίδα αποτυχίας θα έχει την ακόουθη μορφή: 5 / 5 5 / 4 ια τις ίδιες τιμές του με η ππ και η υνάρτηη αξιοπιτίας θα έχουν την ακόουθη μορφή: / / / / 4 4 Η παράμετρος καείται παράμετρος «μορφής» shp p Όταν το αυξάνεται η καμπύη της ππ γίνεται «τενότερη» Η παράμετρος καείται παράμετρος κίμακας scl p διότι η κατανομή της Wbull εξαρτάται από τo και το μόνο μέα από το Η κατανομή Wbull αποτεεί την πιο υνήθη παραμετρική οικογένεια κατανομών χρόνων ζωής Οι ροπές - τάξης της κατανομής αυτής είναι d d και αάζοντας μεταβητή οοκήρωης προκύπτει ότι d /- /d όπου / d d d είναι η γνωτή υνάρτηη γάμμα για την οποία ιχύει! N / π Bouss MV -8 Σημειώεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιτίας» Τμ Στατιτικής και Αφ Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 5