ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Transcript

1 ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟΜΟΣ ος ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ 7

2 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

3 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ου Τόμου Περιεχόμενα Κεφάλαιο Ι 5 Στοιχεώδεις Πιθανότητες Απαριθμητοί Δειγματοχώροι Ι. Βασικοί Ορισμοί και Τύποι 5 Ι..Α. Δειγματοχώρος και Ενδεχόμενα 5 Ι..Β. Ένωση, Τομή, Συμπλήρωμα και Διαφορά Ενδεχομένων. Νόμοι De Morgan 7 Ι..Γ. Ορισμός Πιθανότητας κατά Laplace. Πρώτες Βασικές Ιδιότητες. Προσθετικό Θεώρημα. 9 Ι..Δ. Δεσμευμένες Πιθανότητες και Πολλαπλασιαστικός Τύπος Πιθανοτήτων. Ανεξάρτητα Ενδεχόμενα Ι..Ε. Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας και Τύπος του Bayes 7 Ι.. Συνδυαστική 44 Ι..Α. Παραγοντικό, Διωνυμικός Συντελεστής, Τρίγωνο του ascal. Βασικά Στοιχειώδη Αποτελέσματα 44 Κεφάλαιο II I..Β. Συνδυασμοί, Διατάξεις και Πολυωνυμικοί Συντελεστές 47 Ι..Γ. Το Πρόβλημα της Τοποθέτησης S Σφαιριδίων σε N Κελλιά: Επαναληπτικές 5 Διατάξεις και Επαναληπτικοί Συνδυασμοί των S ανά N I..Δ. Δειγματοληψίες Άνευ και Μετ Επαναθέσεως. Αναφορά στην Υπεργεωμετρική Κατανομή 55 Ι..Ε. Η Πολλαπλασιαστική Αρχή 6 Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών 66 ΙΙ.. Τυχαίες Μεταβλητές. Συνάρτηση Κατανομής 66 Σελ. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

4 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ ΙΙ..Α. Βασικοί Ορισμοί: Διακριτές και Συνεχείς Μεταβλητές. Συνάρτηση 66 Πιθανότητας και Πυκνότητα Πιθανότητας ΙΙ..Β. Κατανομή Πιθανότητας: Ορισμός και Πρώτα Γενικά Αποτελέσματα 75 II.. Οι Κυριότερες Διακριτές Κατανομές 8 ΙΙ..Α. Η Υπεργεωμετρική Κατανομή 8 II..Β. Η Διωνυμική Κατανομή 8 II..Γ. Η Γεωμετρική Κατανομή II..Δ. Η Κατανομή ascal 4 II..Ε. Η Kατανομή osson 7 II.. Οι Κυριότερες Συνεχείς Κατανομές 8 ΙΙ..Α. Η Κανονική Κατανομή 8 ΙΙ..Β. Η Εκθετική Κατανομή 49 ΙΙ..Γ. Γενίκευση: η Κατανομή γ n 59 II..Δ. Η Κατανομή χ 6 ΙΙ..Ε. Η Λογαριθμικο Κανονική Κατανομή 7 ΙΙ..ΣΤ. Η Ομοιόμορφη Κατανομή 7 ΙΙ..Ζ. Η Κατανομή Βήτα 7 ΙΙ..Η. Η Κατανομή Cauchy 7 II..Θ. Η Κατανομή Student 7 ΙΙ..Ι. Η Κατανομή Snedecor 7 II.4. Αξιοπιστία της Προσαρμογής Θεωρητικών Μοντέλων Κατανομών στα Δεδομένα Παρατηρήσεων ΙΙΙ.4.Α. Ορισμός και Κατανομή Πιθανότητας για την Απόσταση μεταξύ Παρατηρηθείσας Κατανομής και της Αντίστοιχης Θεωρητικής Κατανομής 7 75 ΙΙΙ.4.Β. Ο Έλεγχος χ 8 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

5 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Κεφάλαιο Στοιχειώδεις Πιθανότητες, Απαριθμητοί Δειγματοχώροι Αφού δώσουμε βασικούς ορισμούς και θεμελιώδεις τύπους της κλασσικής Θεωρίας Πιθανοτήτων, συνοδευόμενους από κάποια ενδεικτικά Παραδείγματα, θα παρουσιάσουμε στοιχειώδη αποτελέσματα της Συνδυαστικής Θεωρίας που θα χρησιμεύσουν στη συνέχεια. Ι.. Βασικοί Ορισμοί και Τύποι Α. ΔΕΙΓΜΑΤΟΧΩΡΟΣ ΚΑΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων μίας φάσης ενός πειράματος (ή φαινομένου) τύχης καλείται δειγματοχώρος και συνήθως εδώ θα συμβολίζεται με το κεφαλαίο γράμμα Ω. Τα ατομικά (αδιαίρετα) αποτελέσματα καλούνται στοιχειώδη ή απλά ενδεχόμενα (ή ακόμη σημεία ή περιπτώσεις). Όταν το Ω είναι αριθμήσιμο σύνολο σημείων, ο δειγματοχώρος λέγεται απαριθμητός. Ενδεχόμενα (ή τυχαία γεγονότα) ονομάζονται τα υποσύνολα του Ω. Πραγματοποίηση ενδεχομένου A σημαίνει την εμφάνιση ενός από τα σημεία του A. Ι... Παράδειγμα. Έστω ο δειγματοχώρος Ω που ορίζεται από τις εύστοχες και άστοχες ρίψεις τριών βολών. Εάν το γράμμα ε αναπαριστά κάθε εύστοχη ρίψη βολής, ενώ το γράμμα α κάθε άστοχη ρίψη βολής, τότε τα σημεία του Ω (: στοιχειώδη ή απλά ενδεχόμενα) μπορούν να αποδοθούν ως εξής: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ ( 5

6 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ εεε, εεα, εαε, αεε, ααα, ααε, αεα, εαα. Προφανώς, ο συγκεκριμένος δειγματοχώρος είναι απαριθμητός. Το ενδεχόμενο Α κατά το οποίο ρίπτονται α κ ρ ι β ώ ς δύο άστοχες βολές είναι το σύνολο Α { ααε, αεα, εαα}, ενώ το ενδεχόμενο Β κατά το οποίο ρίπτονται τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν δύο άστοχες βολές είναι το σύνολο Β { ααα, ααε, αεα, εαα}. Ακόμη, το ενδεχόμενο Γ κατά το οποίο ρίπτεται άστοχη βολή όταν προηγουμένως έχει ριφθεί τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν μία εύστοχη βολή είναι το σύνολο Γ { εαα, εαε, εεα}. Τέλος, το ενδεχόμενο Δ κατά το οποίο η πρώτη βολή είναι άστοχη δίνεται από το σύνολο Δ { ααα, αεα, ααε, αεε}, ενώ το ενδεχόμενο Ε κατά το οποίο η πρώτη και η δεύτερη βολή δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα είναι το σύνολο Ε { ααα, ααε, εεε, εεα}. Ι... Παράδειγμα. Τα δρομολόγια για τον ανεφοδιασμό τριών (πολεμικών) μονάδων πρόκειται να καθορισθούν έτσι ώστε κάθε μία από τις μονάδες αυτές να ανεφοδιάζεται δύο φορές ημερησίως. Να καθορισθεί το ενδεχόμενο κατά το οποίο η πρώτη και η τελευταία επίσκεψη θα γίνουν στην ίδια μονάδα. Απάντηση. Εάν α,α και α αναπαριστούν τις πράξεις του ανεφοδιασμού της πρώτης, δεύτερης και τρίτης μονάδας αντιστοίχως, τότε το ζητούμενο ενδεχόμενο καθορίζεται από το σύνολο 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

7 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ { αα α α α α, αα α α α α, α α αα αα, α α α α α α, α α α α α α, α α α α α α }. Β. ΕΝΩΣΗ, ΤΟΜΗ, ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΩΝ. ΝΟΜΟΙ DE MORGAN Ένωση των ενδεχομένων Α, Α,..., Α, συμβολιζόμενη με ν ν U Α Α Α L Α καλείται η εμφάνιση (: πραγματοποίηση) τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν ν ενός από τα ενδεχόμενα Α, Α,..., Α ν. Τομή (ή γινόμενο) των ενδεχομένων Α, Α,..., Αν, συμβολιζόμενη με ν I Α Α Α LΑ ν (ή Α Α... Αν ) καλείται η ταυτόχρονη πραγματοποίηση τούτων. Συμπλήρωμα (ή αντίθετο) του ενδεχομένου Α, συμβολιζόμενο με c Α (ή είναι το ενδεχόμενο μη εμφάνισης του Α. Η διαφορά δύο ενδεχομένων Α και Β ορίζεται ως ' Α ) c Α Β ΑΒ (: το ενδεχόμενο της πραγματοποίησης του Α και ταυτόχρονης μη πραγματοποίησης του Β). Έτσι, Α c Ω A. Βέβαιο γεγονός λέγεται ο δειγματοχώρος Ω, ενώ αδύνατο γεγονός λέγεται το c συμπλήρωμα του Ω, δηλαδή το κενό σύνολο Ø Ω. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ ( 7

8 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Ι... Παρατήρηση. Οι ανωτέρω έννοιες μπορούν να περιγραφούν σχηματικά από τα γνωστά διαγράμματα Venn. Ι..4. Παράδειγμα. Έστω Ω το σύνολο των σπουδαστών της Στρατιωτικής Σχολής Ευελπίδων, και έστωσαν Ε, Ε, Ε και Ε 4 τα σύνολα των πρωτοετών, δευτεροετών, τριτοετών και τεταρτοετών Ευελπίδων, αντιστοίχως. Επί πλέον, έστω Θ το σύνολο των σπουδαστριών και Α το σύνολο των αλλοδαπών σπουδαστών. Εκφράστε με λόγια τι ακριβώς αναπαριστούν τα ακόλουθα σύνολα Απάντηση. Έχουμε ' ( Ε Ε ) Θ ' ' ' ' ( Ε Ε ) Θ ΘΑ, Ε Θ Α, Ε ΘΑ, ( Ε Ε )., ΑΘ το σύνολο όλων των Γ ετών και Δ ετών σπουδαστριών, ΘΑ ' το σύνολο των μη αλλοδαπών σπουδαστριών όλων των ετών, Ε Θ ' Α το σύνολο των Α ετών αρρένων αλλοδαπών σπουδαστών, ' ΕΘΑ το σύνολο των Γ ετών μη αλλοδαπών σπουδαστριών και ( Ε ) ΑΘ Ε το σύνολο των Α ετών και Β ετών αλλοδαπών σπουδαστριών. Ι..5. Παρατήρηση.). Για οιαδήποτε ενδεχόμενα α). β ). Α, Β και Γ δειγματοχώρου Ω, ισχύουν οι σχέσεις ( ) ( ΑΒ) ( ΑΓ), ( ΒΓ) ( Α Β)( Α Γ). Α Β Γ Α ). Επίσης, ισχύουν οι Νόμοι του De Morgan: 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

9 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ γ ). δ ). ε ). στ ). ' ' ' ( Α Β) Α Β (:ος Ν ό μ ο ς ) ' ' ' ( ΑΒ) Α Β (: ος Ν ό μο ς ) ν ' ν ' ( U Α ) (: ος ό μ ο ς ) Α Ν I ν ' ν ' ( Α ) Α (: 4ος Ν ό μο ς ). I U Γ. ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑ LALACE. ΠΡΩΤΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ. ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ι..6. Ορισμός. Η πιθανότητα ( ή συνάρτηση πιθανότητας) είναι μία συνάρτηση ωρισμένη επί του δυναμοσυνόλου (: δηλαδή, του συνόλου των υποσυνόλων) ( Ω ) του δειγματοχώρου Ω : ( ) η οποία πληροί τα Αξιώματα του Kolmogorov: ). ( Ω), Ω R: Α a ( Α), ). για κάθε ενδεχόμενο (: υποσύνολο του Ω ) Α, ισχύει ( Α), ). για κάθε ακολουθία ξένων (: ασυμβιβάστων) ανά δύο ενδεχομένων Α, Α,..., Α,... ν (δηλαδή ενδεχομένων τα οποία είναι τέτοια ώστε Α Α j Ø, για κάθε j ), ισχύει το Αξίωμα της Πλήρους (ή σ ) Προσθετικότητας των πιθανοτήτων: ( Α Α Α...) ( Α ) + ( Α ) ( Α ) ν ν + ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ ( 9

10 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση των ισοπίθανων ενδεχομένων, κατά την οποία ο δειγματοχώρος Ω είναι πεπερασμένος: και ισχύει η σχέση: Τότε, τα Ω { ω ω,..., }, ω N ( ω ), για κάθε,,..., N. N ω καλούνται ισοπίθανα σημεία (ή ισοπίθανες περιπτώσεις), και έχουμε τον ακόλουθο ορισμό πιθανότητας κατά Laplace του ενδεχομένου Α Ω { ω,..., ω }: N ( Α) α ριθ μός ση με ίων του συν ολικ ός α ριθ μός ση με ίων του Α Ω ( N ) α ριθ μός ευνο ϊκ ών π ε ριπτ ώσ εων για το Α. συν ολικ ός α ριθ μός π ε ριπτ ώσ εων Οι πιθανότητες που υπολογίζονται κατ αυτόν τον τρόπο ονομάζονται κλασσικές πιθανότητες. Επισημαίνουμε τις παρακάτω τρείς θεμελιώδεις Ιδιότητες: Εάν Α και Β είναι ενδεχόμενα σε κοινό δειγματοχώρο Ω, τότε η Ιδιότητα. ( Α' ) ( Α) η Ιδιότητα. ( Α Β) ( Β) ( ΑΒ) η Ιδιότητα (Προσθετικό Θεώρημα). ( Α Β) ( Α) + ( Β) ( ΑΒ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

11 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Η η Ιδιότητα έπεται από το Αξίωμα και το Αξίωμα της Πλήρους Προσθετικότητας των πιθανοτήτων του Ορισμού Ι..6, καθώς και από το γεγονός ότι τα ενδεχόμενα Α και Α ' είναι ξένα μεταξύ τους (: ΑΑ ' Ø): Η η ( Ω) ( Α Α' ) ( Α) + ( Α' ) ( Α' ) ( ). Α Ιδιότητα έπεται και πάλι από το Αξίωμα της Πλήρους Προσθετικότητας των πιθανοτήτων του Ορισμού Ι..6, καθώς και από την παρατήρηση ότι Α ( Α Β) ( Α Β) με τα ενδεχόμενα ( Α Β) και ( Α Β) να είναι ξένα μεταξύ τους: ( Α) ( [ Α Β] [ Α Β] ) ( Α Β) + ( Α Β) ( Α Β) ( Α) ( ΑΒ). Τέλος, η η Ιδιότητα αποτελεί γενίκευση του Αξιώματος της Πλήρους Προσθετικότητας των πιθανοτήτων του Ορισμού Ι..6 στην περίπτωση που τα ενδεχόμενα Α και Β δ ε ν είναι ξένα μεταξύ τους. Η απόδειξη της Ιδιότητας αυτής έπεται από την παρατήρηση ότι η ένωση Α Β των (όχι απαραιτήτως ξένων μεταξύ τους) ενδεχομένων Α και Β ισούται με την ένωση των ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων Α και Β Α, και ακολούθως από τη διαδοχική εφαρμογή του Αξιώματος της Πλήρους Προσθετικότητας των πιθανοτήτων του Ορισμού Ι..6 και της ης ως άνω Ιδιότητας: ( Α Β) ( Α [ Β Α] ) ( Α) + ( Β Α) ( Α) + ( Β) ( ΑΒ). Ας δώσουμε κάποια ενδεικτικά Παραδείγματα εφαρμογής των όσων προηγήθηκαν. Ι..7. Παράδειγμα. Με δεδομένο ότι να προσδιορισθούν οι πιθανότητες 4 6 ( Α), ( Β) και ( ΑΒ), ( Α' ), ( Α' Β), ( Α Β' ), ( Α' Β' ) και ( Α' Β' ). ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

12 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Απάντηση. α. ( Α' ) ( Α). (από την η Ιδιότητα) β. ( Α ' Β) ( Α' ) + ( Β) ( Α' Β) ( Α) + ( Β) [ ( Β) ( ΑΒ) ] (από την η Ιδιότητα) (από την η Ιδιότητα ( Α) + ( ΑΒ) καθώς και την παρατήρηση ότι, λόγω της ης Ιδιότητας, ισχύει. ( Α Β) ( Β Α) ( Β) ( ΑΒ) ' ) γ. Ομοίως δ. ( Α Β' ) ( Α) + ( Β' ) ( ΑΒ' ) ( Α) + ( Β) [ ( Α) ( ΑΒ) ] ( Β) + ( ΑΒ) 4 + ( Α' Β' ) ( [ Α Β] ') ( Α Β) 6. (από τον ο Νόμο De Morgan) (από την η Ιδιότητα) ( Α) ( Β) + ( ΑΒ) (από την η Ιδιότητα) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

13 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ε. Ομοίως, ( Α' Β' ) ( [ ΑΒ] ') ( ΑΒ) (από τον ο Νόμο De Morgan) (από την η Ιδιότητα) Ι..8. Παράδειγμα. Με δεδομένο ότι ( Α) ( 4) και ( Β) ( 8) Α Β 4 ). ( ), ΑΒ 8 8 ). ( ). Απόδειξη. Προφανώς, ισχύουν οι σχέσεις ( Α) ( Α Β) και ( Β) ( Α Β), δηλαδή, να δειχθεί ότι Α Α Β και Β Α Β ( Α Β) max ( Α), ( Β) { }., και επομένως Εν προκειμένω, καθώς ( Α) ( 4) > ( Β) ( 8), έχουμε max { ( Α), ( Β) } ( 4) άρα η ανισότητα έπεται. Ομοίως, από τις σχέσεις ( ΑΒ) ( Β), δηλαδή Α ΑΒ και ΑΒ Β, συνάγεται ότι ( ΑΒ) ( Α) ( ΑΒ) mn ( Α), ( Β) { }., και και Εν προκειμένω, καθώς ( Α) ( 4) > ( Β) ( 8), έχουμε mn { ( Α), ( Β) } ( 8) άρα η δεξιά ανισότητα ( ΑΒ) ( 8) από τις ανισότητες έπεται., και ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

14 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Εξ άλλου, σύμφωνα με το Προσθετικό Θεώρημα (: η Ιδιότητα), έχουμε ( ΑΒ) + ( Α Β) ( Α) + ( Β), και επειδή ( Α Β) ( ΑΒ) ( Α) + ( Β). Όμως, καθ όσον ( ΑΒ), συμπεραίνουμε ότι ( ΑΒ) max, ( Α) + ( Β) { }., λαμβάνουμε Εν προκειμένω, καθώς ( Α) ( 4) > ( Β) ( 8), έχουμε max {, ( Α) + ( Β) } ( 8) και άρα η αριστερή ανισότητα ( ΑΒ) ( 8) από τις ανισότητες έπεται. Στην περίπτωση κατά την οποία ( Α) ( ) και ( Β) ( 4),, έχουμε { ( Α), ( Β) } ( ), mn { ( Α), ( Β) } ( 4), max {, ( Α) + ( Β) }, max και, ως εκ τούτου, από τις ανωτέρω πλαισιωμένες σχέσεις προκύπτουν οι ακόλουθες ανάλογες ανισότητες των και : 4 ( Α Β), και ( ΑΒ). Ι..9. Παράδειγμα. Για οιαδήποτε ενδεχόμενα Α και Β, δείξτε ότι ( ΑΒ) ( Α) ( Β) ( Α' ) ( Β) ( Α' Β) ( Α) ( Β' ) ( ΑΒ' ). Απόδειξη. Έχουμε, αφενός ( ΑΒ) ( Α) ( Β) ( ΑΒ) [ ( Α' )] ( Β) (από την η Ιδιότητα) ( Α ) ( Β) [ ( Β) ( ΑΒ) ] ' ( Α' ) ( Β) ( Α Β) (επειδή ( Α' Β) ( Β Α) ' 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

15 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ και, από την η Ιδιότητα, ( Β Α) ( Β) ( ΑΒ)) και αφετέρου ( ΑΒ) ( Α) ( Β) ( ΑΒ) ( Α) [ ( Β' )] ( Α) ( Β ) [ ( Α) ( ΑΒ) ] ' (από την η Ιδιότητα) ( Α) ( Β' ) ( ΑΒ' ) (επειδή ( ΑΒ' ) ( Α Β) Από τις δύο αυτές σχέσεις προκύπτει η ζητούμενη. και, από την η Ιδιότητα, ( Α Β) ( Α) ( ΑΒ) ). Ι... Παράδειγμα. (Ανισότητα Bonferon) Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α,......,, ισχύει η ανισότητα:, Α Αν ν ν ν ' ( Α Α... Α ) ( Α ) ( n ) ( Α ). Απόδειξη. Για να αποδείξουμε την ανισότητα, θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της Μαθηματικής Επαγωγής επί του v. Για v, η ζητούμενη ανισότητα εκφυλλίζεται στην προφανή ισότητα ' ( Α ) ( Α ) ( ). Α ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ ( 5

16 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Για v, κατ αρχάς παρατηρούμε ότι, σύμφωνα με το Προσθετικό Θεώρημα (: η Ιδιότητα), ισχύει Είναι όμως ( Α Α ) ( Α Α ) ( Α ) + ( Α ) ( Α ). Α, και έτσι ( Α Α ) ( Α ) ( Α ) ( ), δηλαδή, για v ισχύει η ζητούμενη ανισότητα. Ας υποθέσουμε τώρα ότι η ζητούμενη ανισότητα ισχύει για v κ : Αρκεί να δειχθεί ότι αυτή ισχύει για v κ + : κ ( Α Α... Α ) ( Α ) ( ). κ κ ( Α... Α ) ( Α ) [ + ] Α + ( ). κ + κ Προς τούτο, παρατηρούμε ότι έχουμε ( Α Α Α ) ( [ Α Α Α ] )... κ +... κ Ακ + ( Α Α Α ) + ( Α ) +... κ κ (κατόπιν εφαρμογής της ήδη αποδειχθείσας ανισότητας για v ) κ κ + ( Α ) ( κ ) + ( Α ) (κατόπιν εφαρμογής της επαγωγικής υπόθεσης για v κ ) 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

17 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ κ + κ + ( Α ) ( κ + ) ( Α ) (( κ + ) ), δηλαδή, για v κ + ισχύει η ζητούμενη ανισότητα, και η Απόδειξη είναι πλήρης. Ι... Παράδειγμα. Για οιαδήποτε τρία ενδεχόμενα Α, Β και Γ, ν αποδειχθεί ότι ( Α Β Γ) ( Α) + ( Β) + ( Γ) ( ΑΒ) ( ΑΓ) ( ΒΓ) + ( ΑΒΓ). Απόδειξη. Είναι ( Α Β Γ) ( Α [ Β Γ] ) ( Α) + ( Β Γ) ( Α[ Β Γ] ) (σύμφωνα με το Προσθετι ( Α) + ( Β) + ( Γ) ( ΒΓ) ([ ΑΒ] [ ΑΓ] ) κό Θεώρημα: η Ιδιότητα) (σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα: [ Β Γ] [ ΑΒ] [ ΑΓ] Όμως, και πάλι σύμφωνα με το Προσθετικό Θεώρημα (: η Ιδιότητα) ([ ΑΒ] [ ΑΓ] ) ( ΑΒ) + ( ΑΓ) ( ΑΒΓ). Έτσι, συνδυάζοντας τις δύο προκύψασες σχέσεις, λαμβάνουμε: Α ). ( Α Β Γ) ( Α) + ( Β) + ( Γ) ( ΑΒ) ( ΑΓ) ( ΒΓ) + ( ΑΒΓ), και η Απόδειξη ολοκληρώθηκε. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ ( 7

18 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Ι... Εφαρμογή. Τα ποσοστά των σπουδαστών της Στρατιωτικής Σχολής Ευελπίδων οι οποίοι επέρασαν επιτυχώς τρία Μαθήματα Μ,Μ και Μ μετά την πρώτη τους εξέταση είναι τα ακόλουθα: Μ Μ : 5%, Μ και Μ και Μ Μ : 4%, : 5%, Μ και Μ Μ : % και Μ : 5%, Μ και Μ : % ( δηλαδ ή και τα τρ ία Mαθ ήματα) :5%. Ποιο είναι το ποσοστό των σπουδαστών οι οποίοι επέρασαν επιτυχώς τουλάχιστον ένα από τα τρία Μαθήματα; Απάντηση. Σύμφωνα με τον Τύπο που αποδείχθηκε στο προηγούμενο Παράδειγμα Ι.., έχουμε ( τουλάχιστον ένα Mάθημα ) ( Μ Μ Μ ) ( Μ ) + ( Μ ) + ( Μ ) ( ΜΜ ) ( Μ Μ ) ( Μ Μ ) + ( Μ Μ Μ ) Ι... Παράδειγμα. Ένας Στόχος έχει δεχθεί N Βλήματα. Ta Βλήματα αυτά ερρίφθησαν σε N αριθμημένες και διάφορες μεταξύ τους χρονικές στιγμές κατά την διάρκεια μίας ώρας. Ανασύρουμε, εκ των υστέρων, τυχαίως ένα από τα Βλήματα αυτά.. Ποια είναι η πιθανότητα να ανασύρουμε Βλήμα το οποίο ερρίφθηκε σε αριθμημένη χρονική στιγμή η οποία διαιρείται δια του ή του 4 ;. Εξετάστε την περίπτωση κατά την οποία N. 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

19 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Ποιο είναι το όριο της ανωτέρω πιθανότητας όταν N ; Απάντηση.. Λόγω του Προσθετικού Θεωρήματος (: η ισούται με όπου ( 4) N N ( 4) p ( ) + p ( 4) p ( 4) p, N N Ιδιότητα), η ζητούμενη πιθανότητα p αναπαριστά την πιθανότητα κατά την οποία ο ακέραιος N διαιρείται διά του ή του 4, ( 4) p αναπαριστά την πιθανότητα κατά την οποία ο ακέραιος N διαιρείται N και διά του και διά του 4 (δηλαδή, διά του ), και p N ( ) είναι η πιθανότητα κατά την οποία ο ακέραιος N διαιρείται δια του ακεραίου. Επειδή ισχύει η σχέση p N N N ( ), όπου [ x ] αναπαριστά το ακέραιο μέρος του x, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι p N N N N N 4 ( 4) +.. Εφόσον στην ανωτέρω σχέση θέσουμε N, θα λάβουμε p N 4 ( 4) +. N Ομοίως, εφόσον στην ίδια ως άνω σχέση θεωρήσουμε ότι ο ακέραιος N αυξάνεται απεριορίστως, προκύπτει ότι το όριο της ανωτέρω πιθανότητας όταν p 4 ( 4) +. N είναι ίσο με ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ ( 9

20 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Ι..4. Παράδειγμα. Για κάθε,,,, να εκφράσετε τις ακόλουθες πιθανότητες, συναρτήσει των ( Α), ( Β), ( Γ), ( ΑΒ), ( ΑΓ) και ( ΑΒΓ) : ). την πιθανότητα κατά την οποία συμβαίνουν ακριβώς από τα ενδεχόμενα ). την πιθανότητα κατά την οποία συμβαίνουν τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ, Χρησιμοποιήστε τα εξαγόμενα για να υπολογίσετε τα ποσοστά των σπουδαστών της Εφαρμογής Ι.., οι οποίοι πέρασαν επιτυχώς μόνον ένα Μάθημα, μόνον δύο Μαθήματα. Απάντηση.. Έστω p,,,. Τότε, ισχύουν τα παρακάτω p ( Α' Β' ') δηλαδή Γ ( να συμβο ύν ακριβώς απ ότα ενδεχόμενα Α, Β και Γ) ([ Α Β Γ ]') (από τον ο Νόμο De Morgan) ( Α Β Γ) (από την η Ιδιότητα) ( Α) ( Β) ( Γ) + ( ΑΒ) + ( ΑΓ) + ( ΒΓ) ( ΑΒΓ) (από Α, Β και Γ. τον Τύπο του Παραδείγματος Ι..), ( Α) ( Β) ( Γ) + ( ΑΒ) + ( ΑΓ) + ( ΒΓ) ( ). p ΑΒΓ p ( ΑΒ' Γ' Α' ΒΓ' Α' Β' Γ) ( Α[ Β Γ] ' Β[ Α Γ] ' Γ[ Α Β] ') (από τον ο Νόμο De Morgan) ( Α[ Β Γ] ') + ( Β[ Α Γ] ') + ( Γ[ Α Β] ') (από το Αξίωμα της Πλήρους Προσθετικότητας των Πιθανοτήτων, επειδή τα [ Β Γ] ', Β[ Α Γ]' Α και Γ [ Α Β]' ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

21 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ δηλαδή ( Α [ Β Γ] ) + ( Β [ Α Γ] ) + ( Γ [ Α Β] ) ( Α) ( Α[ Β Γ] ) + ( Β) ( Β[ Α Γ] ) είναι ξένα μεταξύ τους ενδεχόμενα) ( Γ) ( Γ[ Α Β] ) + ( Α) ( ΑΒ ΑΓ) + ( Β) ( ΒΑ ΒΓ) ( Α) ( ΑΒ) ( ΑΓ) + ( ΑΒΓ) ( Γ) ( ΓΑ ΓΒ) (από την η Ιδιότητα) + (από την Παρατήρηση Ι..5..α ) ( Β) ( ΑΒ) ( ΑΓ) + ( ΑΒΓ) + ( Γ) ( ΑΓ) ( ΒΓ) + ( ΑΒΓ) + [ ( ΑΒ) + ( ΑΓ) + ( ΒΓ) ] ( ). p ΑΒΓ (από το Προσθετικό Θεώρημα: η Ιδιότητα), p ( ΑΒΓ' ΑΒ' Γ Α' ΒΓ) ( ΑΒΓ' ) + ( ΑΒ' Γ) + ( Α ΒΓ) ' ( από το Αξίωμα της Πλήρους Προσθετικότητας των Πιθανοτήτων, επειδή τα ΑΒΓ ', ΑΒ' Γ' και Α' ΒΓ ( ΑΒ Γ) + ( ΑΓ Β) + ( ΒΓ Α) είναι ξένα μεταξύ τους ενδεχόμενα) ( ΑΒ) ( ΑΒΓ) + ( ΑΓ) ( ΑΒΓ) δηλαδή ( ΒΓ) ( ΒΓΑ) + (από την η Ιδιότητα), ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

22 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ [ ( ΑΒ) + ( ΑΓ) + ( ΒΓ) ] ( ). p ΑΒΓ p ( ΑΒΓ).. Είναι σαφές ότι ( να συμβο ύν τουλ άχιστον απ ότα ενδεχ όμενα Α, Β, Γ). για κάθε,,,. Εφαρμόζοντας τους ανωτέρω Τύπους στα δεδομένα της Εφαρμογής Ι.. για τον υπολογισμό της πιθανότητας κατά την οποία ένας σπουδαστής περνά επιτυχώς μόνον (:ακριβώς) ένα Μάθημα (ποσοστό σπουδαστών οι οποίοι πέρασαν επιτυχώς μόνον ένα Μάθημα), καθώς και για τον υπολογισμό της πιθανότητας κατά την οποία ένας σπουδαστής περνά επιτυχώς μόνον (:ακριβώς) δύο Μαθήματα (ποσοστό σπουδαστών οι οποίοι πέρασαν επιτυχώς μόνον δύο Μαθήματα), λαμβάνουμε και ( ένας σπουδαστ ής περν ά επιτυχ ώς μ όνον ένα Μάθ ημα) p [ ( Μ) + ( Μ ) + ( Μ) ] [ ( ΜΜ ) + ( ΜΜ ) + ( ΜΜ) ] + ( ΜΜ Μ) [ ] [ ] + [.5].5 ( ένας σπουδαστ ής περν ά επιτυχ ώς μ όνον δ ύο Μαθ ήματα) p.5. [ ( ΜΜ ) + ( ΜΜ ) + ( ΜΜ) ] ( ΜΜ Μ) [ ] [.5] p ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

23 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Δ. ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Μία πολύ σημαντική έννοια για όλη την συνέχεια είναι η έννοια της δεσμευμένης πιθανότητας: Ι..5. Ορισμός. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β σε κοινό δειγματοχώρο, η δεσμευμένη (υπό συνθήκη) πιθανότητα του Β δοθέντος του Α ορίζεται από την σχέση: ( ΑΒ) ( Α) ( Β / Α) ( ( Α) > ). Aπό τον Ορισμό αυτόν έπεται αμέσως η Γενικότερα, 4 η Ιδιότητα (Πολλαπλασιαστικός Τύπος των Πιθανοτήτων) ( ΑΒ) ( Α) ( Β / Α) ( Β) ( Α / Β). ( Α Α Α ) ( Α ) ( Α / Α ) ( Α / Α Α ) ( Α / Α Α... Α ).... L ν ν ν Είναι λογικό τώρα να αναρωτηθούμε για το πότε δύο ενδεχόμενα Α και Β μπορούν να αλληλοεπηρεάζονται, υπό την έννοια ότι: Προφανώς, εάν ( Β / Α) ( Β) ε ί τ ε ( Α Β) ( Α) /. ( Β / Α) ( Β) κ α ι ( Α Β) ( Α) /, τότε η πιθανότητα εμφάνισης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα δεν επηρεάζεται καθόλου από προαπαιτούμενη εμφάνιση του άλλου. Έτσι, στην περίπτωση αυτή τα ενδεχόμενα Α και Β είναι, και ονομάζονται, ανεξάρτητα μεταξύ τους. Δίνουμε συναφώς τους ακόλουθους γενικότερους Ορισμούς περί την έννοια της (πιθανοθεωρητικής) ανεξαρτησίας: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

24 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Ι..6. Ορισμός. ). Δύο ενδεχόμενα Α και Β σε κοινό δειγματοχώρο καλούνται ανεξάρτητα (ή στοχαστικώς ανεξάρτητα), εάν ). Γενικότερα, τα ν ενδεχόμενα ανεξάρτητα), εάν ( ΑΒ) ( Α) ( Β). Α, Α,..., Α καλούνται ανεξάρτητα (ή στοχαστικώς ( Α Α Α ) ( Α ) ( Α ) L( Α )... ν r r για κάθε < <... < r ν και κάθε r ν. ). Έστωσαν Π, Π,..., Π κ πειράματα τύχης και Ω, Ω,..., Ωκ οι αντίστοιχοι δειγματοχώροι. Τα Π καλούνται στοχαστικώς (ή στατιστικώς) ανεξάρτητα, όταν για κάθε Α Ω,,,...,κ ισχύει η σχέση: ( Α Α Α ) ( Α ) ( Α ) L( )... κ Α κ. Ας δώσουμε κάποια ενδεικτικά Παραδείγματα διαχείρισης των εννοιών αυτών. Ι..7. Παράδειγμα. Εάν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα, τότε ). τα ενδεχόμενα Α και Β ' είναι ανεξάρτητα, ). τα ενδεχόμενα Α ' και Β είναι ανεξάρτητα, ). τα ενδεχόμενα Α ' και Β ' είναι ανεξάρτητα. Απόδειξη. Επειδή τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα, ισχύει η σχέση:. Είναι ( ΑΒ) ( Α) ( Β). ( ΑΒ ) ( Α Β) ( Α) ( ΑΒ) ( Α) ( Α) ( Β) (από την σχέση ( ΑΒ) ( Α) ( Β) ( Α) [ ( Β) ] ( Α) ( Β' ) (από την η Ιδιότητα), ' (από την η Ιδιότητα) ) 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

25 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ δηλαδή τα ενδεχόμενα Α και. Ομοίως, Β ' είναι ανεξάρτητα. ( ΑΒ) ( Α Β) ( Α) ( ΑΒ) (από την η Ιδιότητα) ( Β) ( Α) ( Β) (από την σχέση ( ΒΑ) ( Α) ( Β) ( Β) [ ( Α) ] ( Β) ( Α' ) (από την η Ιδιότητα), δηλαδή τα ενδεχόμενα. Τέλος, Α ' και Β είναι ανεξάρτητα. ) ( Α' Β' ) ( [ Α Β] ') (από τον ο Νόμο De Morgan) ( Α Β) (από την η Ιδιότητα) ( Α) ( Β) + ( ΑΒ) ( Α' ) ( Β) + ( ΑΒ) (από την η Ιδιότητα) ( Α' ) ( Β) + ( Α) ( Β) (από την σχέση ( ΑΒ) ( Α) ( Β) ( Α' ) ( Β) [ ( Α) ] ( Α' ) ( Β) ( Α' ) (από την η Ιδιότητα) ( Α' )[ ( Β) ] ( Α' ) ( Β' ) (από την η Ιδιότητα), και άρα τα ενδεχόμενα (από το Προσθετικό Θεώρημα: η Ιδιότητα) Α ' και Β ' είναι ανεξάρτητα. ) Ι..8. Παράδειγμα. Εάν τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ είναι τελείως ανεξάρτητα, τότε ). τα ενδεχόμενα Α και ΒΓ είναι ανεξάρτητα, ). τα ενδεχόμενα Β και ΑΓ είναι ανεξάρτητα, ). τα ενδεχόμενα Γ και ΑΒ είναι ανεξάρτητα. Απόδειξη. Εφόσον τα Α, Β και Γ είναι τελείως ανεξάρτητα, ισχύουν, εξ ορισμού, οι ακόλουθες σχέσεις: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ ( 5

26 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ και ( ΑΒΓ) ( Α) ( Β) ( Γ) ( ΑΒ) ( Α) ( Β), ( ΒΓ) ( Β) ( Γ), ( ΓΑ) ( Γ) ( Α). Από την πρώτη και τρίτη κατά σειρά από αυτές τις σχέσεις, λαμβάνουμε ( Α[ ΒΓ] ) ( ΑΒΓ) ( Α) [ ( Β) ( Γ) ] ( Α) ( ΒΓ), Δηλαδή αποδεικνύουμε ότι τα ενδεχόμενα Α και ΒΓ είναι ανεξάρτητα. Ομοίως αποδεικνύονται και οι άλλοι δύο ισχυρισμοί του Παραδείγματος., Ι..9. Παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι για τα ανεξάρτητα ενδεχόμενα Εάν ( Α ) α, ( Α' Β' Γ' ) β και ( Α' Β' Γ' ) γ. ( Α ' Β' Γ) x, τότε να δειχθεί ότι η πιθανότητα x ικανοποιεί την εξίσωση α x Απόδειξη. Έχουμε και άρα [ αβ ( α )( α + γ ) ] x + β ( α )( ). + γ ( Α' Β' Γ) ( [ Α Β] Γ) ( Γ [ Α Β] ) ( Γ) ([ Α Β] Γ) ( Γ) ( ΑΓ ΒΓ) ( Γ) ( ΑΓ) ( ΒΓ) + ( ΑΒΓ) x ' (από τον ο Νόμο De Morgan) (από την η Ιδιότητα) (από την Παρατήρηση Ι..5..α) Α, Β και Γ, έχουμε (από το Προσθετικό Θεώρημα: η ( Γ) ( Α) ( Γ) ( Β) ( Γ) + ( Α) ( Β) ( Γ) (από την ανεξαρτησία των ενδεχομένων ( Γ)( ) ( Β) ( Γ)( α ) ( α )[ ( Β) ] ( Γ). x α () Ιδιότητα) Α, Β και Γ ), 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

27 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Επίσης β ( Α' Β' Γ' ) ( Α' ) ( Β' ) ( Γ' ) (επειδή από την ανεξαρτησία των Α, Β και Γ έπεται η ανεξαρτησία των Α ', Β' και Γ ', ακριβώς αναλόγως όπως αποδείχθηκε στο Παράδειγμα Ι..8..) [ ( Α) ][ ( Β) ][ ( Γ) ] (από την η Ιδιότητα), δηλαδή β ( α )[ ( Β) ][ ( Γ) ]. () Τέλος, ( Α' Β' Γ' ) ([ ΑΒΓ] ') ( ΑΒΓ) ( Α) ( Β) ( Γ) γ (από την η Ιδιότητα) (από τον 4 ο Νόμο De Morgan) (από την ανεξαρτησία των Α,Β, Γ :Ορισμός Ι..7.) και επομένως ( Β) ( ). γ α Γ () Έτσι, συνδυασμός των () και () δίνει ( Γ) ( Γ) x x x x β x ( Γ). (4) x + β Επι πλέον, από τις () και (4), λαμβάνουμε γ α x x + β ( Γ) β ( Γ) ( x + β ) ( Γ) ( Β) ( x + β ) γ x + β α x ( Β) ( ) α x ( γ )( x + β ). ( Β) ( γ )( x + β ) Β (5) α x ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ ( 7

28 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ δηλαδή ή Αντικαθιστώντας τώρα τις εκφράσεις (4) και (5) μέσα στην (), συμπεραίνουμε ότι x ( α ) ( γ )( x β ) + α x x x + β ( α ) ( γ )( x β ) α x + α ( x + β ) ( α ) α x ( α )( γ )( x β ), α x + ( α ) α x ( α )( γ ) ( α )( γ ) β, α x + α β x x που οδηγεί στην ζητούμενη εξισωτική σχέση [ αβ ( α )( α + γ ) ] x + β ( α )( )., x + β α x + γ Να σημειωθεί ότι, επειδή το x αναπαριστά πιθανότητα, πρέπει αμφότερες οι ρίζες αυτής της εξίσωσης να είναι θετικές, συνεπώς και το άθροισμά τους, ήτοι δηλαδή πρέπει να ισχύει Η Απόδειξη είναι πλήρης. ( α )( α + γ ) γ > α β αβ > α + γ > α α β γ > + α ( α ) + α β. α ( α ) Ι... Παράδειγμα.(Πρόβλημα του Huyghens) Δύο (αντίπαλα ή μη) Πολεμικά Αεροσκάφη ρίπτουν α λ λ η λ ο δ ι α δ ό χ ω ς βόμβες εναντίον διαδοχικών διαφορετικών Στόχων έκαστος των οποίων απαρτίζεται από διακριτά σημεία. Τα σημεία αυτά έχουν χωρισθεί και διαβαθμισθεί από το <<>> έως το << 6 >> αναλόγως της σπουδαιότητάς τους, έτσι ώστε να υπάρχουν συνολικά ακριβώς δύο σημεία σπουδαιότητας ίσης με <<>>, ακριβώς δύο σημεία σπουδαιότητας ίσης με << >>, κ. ο.κ. 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

29 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Το ο Αεροσκάφος θεωρείται ότι επιτυγχάνει στην αποστολή του, εάν σε μία ρίψη καταφέρει να προσβάλλει διακριτά σημεία ενός Στόχου του με άθροισμα πόντων σπουδαιότητας των προσβληθέντων σημείων ίσο με << 6 >> π ρ ο τ ο ύ το ο Αεροσκάφος καταφέρει να προσβάλλει διακριτά σημεία ενός Στόχου του με άθροισμα πόντων σπουδαιότητας των προσβληθέντων σημείων ίσο με << 7 >> περίπτωση κατά την οποία θεωρείται ότι το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του. Εάν το ο Αεροσκάφος αρχίζει πρώτο τις ρίψεις του, ποια είναι η πιθανότητα να επιτύχει στην αποστολή του; Απάντηση. Προφανώς, η ζητούμενη πιθανότητα είναι (<<το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του>>) ν (<<το ο οστού Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη του ( ν +) Στόχου>>). Ακόμη, σύμφωνα με τον Πολλαπλασιαστικό Τύπο των Πιθανοτήτων (: 4 η Ιδιότητα), έχουμε (<<το ο οστού Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη του ( ν +) ( <<το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη βόμβας>> Στόχου>>) και <<τα δύο Αεροσκάφη δεν επιτυγχάνουν στις αποστολές τους καθ όλες τις προηγούμενες ν ρίψεις βομβών>>) (<< τα δύο Αεροσκάφη δεν επιτυγχάνουν στις αποστολές τους καθ όλες τις προηγούμενες ν ρίψεις βομβών>>) (<<το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη βόμβας>> / <<τα δύο Αεροσκάφη δεν επιτυγχάνουν στις αποστολές τους καθ όλες τις προηγούμενες ν ρίψεις βομβών>>) Όμως, λόγω της ανεξαρτησίας των ενδεχομένων, έχουμε (<< τα δύο Αεροσκάφη δεν επιτυγχάνουν στις αποστολές τους καθ όλες τις προηγούμενες ν ρίψεις βομβών>>) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ ( 9

30 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ (<< το ο Αεροσκάφος δεν επιτυγχάνει στην αποστολή του καθ όλες τις προηγούμενες ν ρίψεις βομβών>>) (<< το ο Αεροσκάφος δεν επιτυγχάνει στην αποστολή του καθ όλες τις προηγούμενες ν ρίψεις βομβών>>) q ν q ν και (<<το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη βόμβας>> / <<τα δύο Αεροσκάφη δεν επιτυγχάνουν στις αποστολές τους καθ όλες τις προηγούμενες ν ρίψεις βομβών>>) p, όπου p : (<<το οστό Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη και q : p (, ). Δεδομένου ότι, εξ υποθέσεως, έχουμε p 5 6 και p 6 6, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι (<<το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του>>) ν ν q q p ν p q q βόμβας>> ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

31 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ι... Παράδειγμα. Τρεις Σκοπευτές Σ,Σ και Σ βάλλουν έκαστος άπαξ, κατά την ανωτέρω σειρά, εναντίον αντιστοίχων Στόχων, με πιθανότητα επιτυχίας ίση με, μέχρις ότου ένας από τους Σκοπευτές πλήξει επιτυχώς τον αντίστοιχο Στόχο. Τότε θα θεωρείται ότι ο Σκοπευτής αυτός θα έχει ολοκληρώσει επιτυχώς την αποστολή του, ενώ οι άλλοι δύο ότι απέτυχαν. Με δεδομένο ότι ο Στόχος θα προσβληθεί οπωσδήποτε επιτυχώς από κάποιον Σκοπευτή, να υπολογισθεί η πιθανότητα εκάστου να ολοκληρώσει επιτυχώς την αποστολή του. Απάντηση. Έστωσαν και Επειδή Κ :<<το ενδεχόμενο κατά το οποίο ο Α ν :<<το ενδεχόμενο άστοχης βολής του μπορούμε να γράψουμε Έτσι, εάν θέσουμε ν Σ θα πλήξει επιτυχώς τον αντίστοιχο Σ >> ( ν, ). Κ Α και Κ ΑΑ, Κ και Κ Α Α. ΑΚ κ Κ ( Κ ) (,,), τότε, σύμφωνα με το Πολλαπλασιαστικό Θεώρημα (: 4 η Ιδιότητα), θα έχουμε κ ( Κ ) ( Α Κ ) ( Α ) ( Κ Α ), / κ καθότι, άπαξ και αστοχήσει ο Σ, ο Σ βάλλει πρώτος και επομένως ( Κ Α ) ( Κ ). / κ Στόχο >> (,, ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (