ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ"

Transcript

1 ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟΜΟΣ ος ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ 7

2 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

3 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ου Τόμου Περιεχόμενα Κεφάλαιο Ι 5 Στοιχεώδεις Πιθανότητες Απαριθμητοί Δειγματοχώροι Ι. Βασικοί Ορισμοί και Τύποι 5 Ι..Α. Δειγματοχώρος και Ενδεχόμενα 5 Ι..Β. Ένωση, Τομή, Συμπλήρωμα και Διαφορά Ενδεχομένων. Νόμοι De Morgan 7 Ι..Γ. Ορισμός Πιθανότητας κατά Laplace. Πρώτες Βασικές Ιδιότητες. Προσθετικό Θεώρημα. 9 Ι..Δ. Δεσμευμένες Πιθανότητες και Πολλαπλασιαστικός Τύπος Πιθανοτήτων. Ανεξάρτητα Ενδεχόμενα Ι..Ε. Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας και Τύπος του Bayes 7 Ι.. Συνδυαστική 44 Ι..Α. Παραγοντικό, Διωνυμικός Συντελεστής, Τρίγωνο του ascal. Βασικά Στοιχειώδη Αποτελέσματα 44 Κεφάλαιο II I..Β. Συνδυασμοί, Διατάξεις και Πολυωνυμικοί Συντελεστές 47 Ι..Γ. Το Πρόβλημα της Τοποθέτησης S Σφαιριδίων σε N Κελλιά: Επαναληπτικές 5 Διατάξεις και Επαναληπτικοί Συνδυασμοί των S ανά N I..Δ. Δειγματοληψίες Άνευ και Μετ Επαναθέσεως. Αναφορά στην Υπεργεωμετρική Κατανομή 55 Ι..Ε. Η Πολλαπλασιαστική Αρχή 6 Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών 66 ΙΙ.. Τυχαίες Μεταβλητές. Συνάρτηση Κατανομής 66 Σελ. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

4 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ ΙΙ..Α. Βασικοί Ορισμοί: Διακριτές και Συνεχείς Μεταβλητές. Συνάρτηση 66 Πιθανότητας και Πυκνότητα Πιθανότητας ΙΙ..Β. Κατανομή Πιθανότητας: Ορισμός και Πρώτα Γενικά Αποτελέσματα 75 II.. Οι Κυριότερες Διακριτές Κατανομές 8 ΙΙ..Α. Η Υπεργεωμετρική Κατανομή 8 II..Β. Η Διωνυμική Κατανομή 8 II..Γ. Η Γεωμετρική Κατανομή II..Δ. Η Κατανομή ascal 4 II..Ε. Η Kατανομή osson 7 II.. Οι Κυριότερες Συνεχείς Κατανομές 8 ΙΙ..Α. Η Κανονική Κατανομή 8 ΙΙ..Β. Η Εκθετική Κατανομή 49 ΙΙ..Γ. Γενίκευση: η Κατανομή γ n 59 II..Δ. Η Κατανομή χ 6 ΙΙ..Ε. Η Λογαριθμικο Κανονική Κατανομή 7 ΙΙ..ΣΤ. Η Ομοιόμορφη Κατανομή 7 ΙΙ..Ζ. Η Κατανομή Βήτα 7 ΙΙ..Η. Η Κατανομή Cauchy 7 II..Θ. Η Κατανομή Student 7 ΙΙ..Ι. Η Κατανομή Snedecor 7 II.4. Αξιοπιστία της Προσαρμογής Θεωρητικών Μοντέλων Κατανομών στα Δεδομένα Παρατηρήσεων ΙΙΙ.4.Α. Ορισμός και Κατανομή Πιθανότητας για την Απόσταση μεταξύ Παρατηρηθείσας Κατανομής και της Αντίστοιχης Θεωρητικής Κατανομής 7 75 ΙΙΙ.4.Β. Ο Έλεγχος χ 8 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

5 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Κεφάλαιο Στοιχειώδεις Πιθανότητες, Απαριθμητοί Δειγματοχώροι Αφού δώσουμε βασικούς ορισμούς και θεμελιώδεις τύπους της κλασσικής Θεωρίας Πιθανοτήτων, συνοδευόμενους από κάποια ενδεικτικά Παραδείγματα, θα παρουσιάσουμε στοιχειώδη αποτελέσματα της Συνδυαστικής Θεωρίας που θα χρησιμεύσουν στη συνέχεια. Ι.. Βασικοί Ορισμοί και Τύποι Α. ΔΕΙΓΜΑΤΟΧΩΡΟΣ ΚΑΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων μίας φάσης ενός πειράματος (ή φαινομένου) τύχης καλείται δειγματοχώρος και συνήθως εδώ θα συμβολίζεται με το κεφαλαίο γράμμα Ω. Τα ατομικά (αδιαίρετα) αποτελέσματα καλούνται στοιχειώδη ή απλά ενδεχόμενα (ή ακόμη σημεία ή περιπτώσεις). Όταν το Ω είναι αριθμήσιμο σύνολο σημείων, ο δειγματοχώρος λέγεται απαριθμητός. Ενδεχόμενα (ή τυχαία γεγονότα) ονομάζονται τα υποσύνολα του Ω. Πραγματοποίηση ενδεχομένου A σημαίνει την εμφάνιση ενός από τα σημεία του A. Ι... Παράδειγμα. Έστω ο δειγματοχώρος Ω που ορίζεται από τις εύστοχες και άστοχες ρίψεις τριών βολών. Εάν το γράμμα ε αναπαριστά κάθε εύστοχη ρίψη βολής, ενώ το γράμμα α κάθε άστοχη ρίψη βολής, τότε τα σημεία του Ω (: στοιχειώδη ή απλά ενδεχόμενα) μπορούν να αποδοθούν ως εξής: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ ( 5

6 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ εεε, εεα, εαε, αεε, ααα, ααε, αεα, εαα. Προφανώς, ο συγκεκριμένος δειγματοχώρος είναι απαριθμητός. Το ενδεχόμενο Α κατά το οποίο ρίπτονται α κ ρ ι β ώ ς δύο άστοχες βολές είναι το σύνολο Α { ααε, αεα, εαα}, ενώ το ενδεχόμενο Β κατά το οποίο ρίπτονται τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν δύο άστοχες βολές είναι το σύνολο Β { ααα, ααε, αεα, εαα}. Ακόμη, το ενδεχόμενο Γ κατά το οποίο ρίπτεται άστοχη βολή όταν προηγουμένως έχει ριφθεί τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν μία εύστοχη βολή είναι το σύνολο Γ { εαα, εαε, εεα}. Τέλος, το ενδεχόμενο Δ κατά το οποίο η πρώτη βολή είναι άστοχη δίνεται από το σύνολο Δ { ααα, αεα, ααε, αεε}, ενώ το ενδεχόμενο Ε κατά το οποίο η πρώτη και η δεύτερη βολή δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα είναι το σύνολο Ε { ααα, ααε, εεε, εεα}. Ι... Παράδειγμα. Τα δρομολόγια για τον ανεφοδιασμό τριών (πολεμικών) μονάδων πρόκειται να καθορισθούν έτσι ώστε κάθε μία από τις μονάδες αυτές να ανεφοδιάζεται δύο φορές ημερησίως. Να καθορισθεί το ενδεχόμενο κατά το οποίο η πρώτη και η τελευταία επίσκεψη θα γίνουν στην ίδια μονάδα. Απάντηση. Εάν α,α και α αναπαριστούν τις πράξεις του ανεφοδιασμού της πρώτης, δεύτερης και τρίτης μονάδας αντιστοίχως, τότε το ζητούμενο ενδεχόμενο καθορίζεται από το σύνολο 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

7 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ { αα α α α α, αα α α α α, α α αα αα, α α α α α α, α α α α α α, α α α α α α }. Β. ΕΝΩΣΗ, ΤΟΜΗ, ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΩΝ. ΝΟΜΟΙ DE MORGAN Ένωση των ενδεχομένων Α, Α,..., Α, συμβολιζόμενη με ν ν U Α Α Α L Α καλείται η εμφάνιση (: πραγματοποίηση) τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν ν ενός από τα ενδεχόμενα Α, Α,..., Α ν. Τομή (ή γινόμενο) των ενδεχομένων Α, Α,..., Αν, συμβολιζόμενη με ν I Α Α Α LΑ ν (ή Α Α... Αν ) καλείται η ταυτόχρονη πραγματοποίηση τούτων. Συμπλήρωμα (ή αντίθετο) του ενδεχομένου Α, συμβολιζόμενο με c Α (ή είναι το ενδεχόμενο μη εμφάνισης του Α. Η διαφορά δύο ενδεχομένων Α και Β ορίζεται ως ' Α ) c Α Β ΑΒ (: το ενδεχόμενο της πραγματοποίησης του Α και ταυτόχρονης μη πραγματοποίησης του Β). Έτσι, Α c Ω A. Βέβαιο γεγονός λέγεται ο δειγματοχώρος Ω, ενώ αδύνατο γεγονός λέγεται το c συμπλήρωμα του Ω, δηλαδή το κενό σύνολο Ø Ω. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ ( 7

8 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Ι... Παρατήρηση. Οι ανωτέρω έννοιες μπορούν να περιγραφούν σχηματικά από τα γνωστά διαγράμματα Venn. Ι..4. Παράδειγμα. Έστω Ω το σύνολο των σπουδαστών της Στρατιωτικής Σχολής Ευελπίδων, και έστωσαν Ε, Ε, Ε και Ε 4 τα σύνολα των πρωτοετών, δευτεροετών, τριτοετών και τεταρτοετών Ευελπίδων, αντιστοίχως. Επί πλέον, έστω Θ το σύνολο των σπουδαστριών και Α το σύνολο των αλλοδαπών σπουδαστών. Εκφράστε με λόγια τι ακριβώς αναπαριστούν τα ακόλουθα σύνολα Απάντηση. Έχουμε ' ( Ε Ε ) Θ ' ' ' ' ( Ε Ε ) Θ ΘΑ, Ε Θ Α, Ε ΘΑ, ( Ε Ε )., ΑΘ το σύνολο όλων των Γ ετών και Δ ετών σπουδαστριών, ΘΑ ' το σύνολο των μη αλλοδαπών σπουδαστριών όλων των ετών, Ε Θ ' Α το σύνολο των Α ετών αρρένων αλλοδαπών σπουδαστών, ' ΕΘΑ το σύνολο των Γ ετών μη αλλοδαπών σπουδαστριών και ( Ε ) ΑΘ Ε το σύνολο των Α ετών και Β ετών αλλοδαπών σπουδαστριών. Ι..5. Παρατήρηση.). Για οιαδήποτε ενδεχόμενα α). β ). Α, Β και Γ δειγματοχώρου Ω, ισχύουν οι σχέσεις ( ) ( ΑΒ) ( ΑΓ), ( ΒΓ) ( Α Β)( Α Γ). Α Β Γ Α ). Επίσης, ισχύουν οι Νόμοι του De Morgan: 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

9 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ γ ). δ ). ε ). στ ). ' ' ' ( Α Β) Α Β (:ος Ν ό μ ο ς ) ' ' ' ( ΑΒ) Α Β (: ος Ν ό μο ς ) ν ' ν ' ( U Α ) (: ος ό μ ο ς ) Α Ν I ν ' ν ' ( Α ) Α (: 4ος Ν ό μο ς ). I U Γ. ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑ LALACE. ΠΡΩΤΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ. ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ι..6. Ορισμός. Η πιθανότητα ( ή συνάρτηση πιθανότητας) είναι μία συνάρτηση ωρισμένη επί του δυναμοσυνόλου (: δηλαδή, του συνόλου των υποσυνόλων) ( Ω ) του δειγματοχώρου Ω : ( ) η οποία πληροί τα Αξιώματα του Kolmogorov: ). ( Ω), Ω R: Α a ( Α), ). για κάθε ενδεχόμενο (: υποσύνολο του Ω ) Α, ισχύει ( Α), ). για κάθε ακολουθία ξένων (: ασυμβιβάστων) ανά δύο ενδεχομένων Α, Α,..., Α,... ν (δηλαδή ενδεχομένων τα οποία είναι τέτοια ώστε Α Α j Ø, για κάθε j ), ισχύει το Αξίωμα της Πλήρους (ή σ ) Προσθετικότητας των πιθανοτήτων: ( Α Α Α...) ( Α ) + ( Α ) ( Α ) ν ν + ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ ( 9

10 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση των ισοπίθανων ενδεχομένων, κατά την οποία ο δειγματοχώρος Ω είναι πεπερασμένος: και ισχύει η σχέση: Τότε, τα Ω { ω ω,..., }, ω N ( ω ), για κάθε,,..., N. N ω καλούνται ισοπίθανα σημεία (ή ισοπίθανες περιπτώσεις), και έχουμε τον ακόλουθο ορισμό πιθανότητας κατά Laplace του ενδεχομένου Α Ω { ω,..., ω }: N ( Α) α ριθ μός ση με ίων του συν ολικ ός α ριθ μός ση με ίων του Α Ω ( N ) α ριθ μός ευνο ϊκ ών π ε ριπτ ώσ εων για το Α. συν ολικ ός α ριθ μός π ε ριπτ ώσ εων Οι πιθανότητες που υπολογίζονται κατ αυτόν τον τρόπο ονομάζονται κλασσικές πιθανότητες. Επισημαίνουμε τις παρακάτω τρείς θεμελιώδεις Ιδιότητες: Εάν Α και Β είναι ενδεχόμενα σε κοινό δειγματοχώρο Ω, τότε η Ιδιότητα. ( Α' ) ( Α) η Ιδιότητα. ( Α Β) ( Β) ( ΑΒ) η Ιδιότητα (Προσθετικό Θεώρημα). ( Α Β) ( Α) + ( Β) ( ΑΒ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

11 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Η η Ιδιότητα έπεται από το Αξίωμα και το Αξίωμα της Πλήρους Προσθετικότητας των πιθανοτήτων του Ορισμού Ι..6, καθώς και από το γεγονός ότι τα ενδεχόμενα Α και Α ' είναι ξένα μεταξύ τους (: ΑΑ ' Ø): Η η ( Ω) ( Α Α' ) ( Α) + ( Α' ) ( Α' ) ( ). Α Ιδιότητα έπεται και πάλι από το Αξίωμα της Πλήρους Προσθετικότητας των πιθανοτήτων του Ορισμού Ι..6, καθώς και από την παρατήρηση ότι Α ( Α Β) ( Α Β) με τα ενδεχόμενα ( Α Β) και ( Α Β) να είναι ξένα μεταξύ τους: ( Α) ( [ Α Β] [ Α Β] ) ( Α Β) + ( Α Β) ( Α Β) ( Α) ( ΑΒ). Τέλος, η η Ιδιότητα αποτελεί γενίκευση του Αξιώματος της Πλήρους Προσθετικότητας των πιθανοτήτων του Ορισμού Ι..6 στην περίπτωση που τα ενδεχόμενα Α και Β δ ε ν είναι ξένα μεταξύ τους. Η απόδειξη της Ιδιότητας αυτής έπεται από την παρατήρηση ότι η ένωση Α Β των (όχι απαραιτήτως ξένων μεταξύ τους) ενδεχομένων Α και Β ισούται με την ένωση των ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων Α και Β Α, και ακολούθως από τη διαδοχική εφαρμογή του Αξιώματος της Πλήρους Προσθετικότητας των πιθανοτήτων του Ορισμού Ι..6 και της ης ως άνω Ιδιότητας: ( Α Β) ( Α [ Β Α] ) ( Α) + ( Β Α) ( Α) + ( Β) ( ΑΒ). Ας δώσουμε κάποια ενδεικτικά Παραδείγματα εφαρμογής των όσων προηγήθηκαν. Ι..7. Παράδειγμα. Με δεδομένο ότι να προσδιορισθούν οι πιθανότητες 4 6 ( Α), ( Β) και ( ΑΒ), ( Α' ), ( Α' Β), ( Α Β' ), ( Α' Β' ) και ( Α' Β' ). ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

12 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Απάντηση. α. ( Α' ) ( Α). (από την η Ιδιότητα) β. ( Α ' Β) ( Α' ) + ( Β) ( Α' Β) ( Α) + ( Β) [ ( Β) ( ΑΒ) ] (από την η Ιδιότητα) (από την η Ιδιότητα ( Α) + ( ΑΒ) καθώς και την παρατήρηση ότι, λόγω της ης Ιδιότητας, ισχύει. ( Α Β) ( Β Α) ( Β) ( ΑΒ) ' ) γ. Ομοίως δ. ( Α Β' ) ( Α) + ( Β' ) ( ΑΒ' ) ( Α) + ( Β) [ ( Α) ( ΑΒ) ] ( Β) + ( ΑΒ) 4 + ( Α' Β' ) ( [ Α Β] ') ( Α Β) 6. (από τον ο Νόμο De Morgan) (από την η Ιδιότητα) ( Α) ( Β) + ( ΑΒ) (από την η Ιδιότητα) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

13 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ε. Ομοίως, ( Α' Β' ) ( [ ΑΒ] ') ( ΑΒ) (από τον ο Νόμο De Morgan) (από την η Ιδιότητα) Ι..8. Παράδειγμα. Με δεδομένο ότι ( Α) ( 4) και ( Β) ( 8) Α Β 4 ). ( ), ΑΒ 8 8 ). ( ). Απόδειξη. Προφανώς, ισχύουν οι σχέσεις ( Α) ( Α Β) και ( Β) ( Α Β), δηλαδή, να δειχθεί ότι Α Α Β και Β Α Β ( Α Β) max ( Α), ( Β) { }., και επομένως Εν προκειμένω, καθώς ( Α) ( 4) > ( Β) ( 8), έχουμε max { ( Α), ( Β) } ( 4) άρα η ανισότητα έπεται. Ομοίως, από τις σχέσεις ( ΑΒ) ( Β), δηλαδή Α ΑΒ και ΑΒ Β, συνάγεται ότι ( ΑΒ) ( Α) ( ΑΒ) mn ( Α), ( Β) { }., και και Εν προκειμένω, καθώς ( Α) ( 4) > ( Β) ( 8), έχουμε mn { ( Α), ( Β) } ( 8) άρα η δεξιά ανισότητα ( ΑΒ) ( 8) από τις ανισότητες έπεται., και ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

14 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Εξ άλλου, σύμφωνα με το Προσθετικό Θεώρημα (: η Ιδιότητα), έχουμε ( ΑΒ) + ( Α Β) ( Α) + ( Β), και επειδή ( Α Β) ( ΑΒ) ( Α) + ( Β). Όμως, καθ όσον ( ΑΒ), συμπεραίνουμε ότι ( ΑΒ) max, ( Α) + ( Β) { }., λαμβάνουμε Εν προκειμένω, καθώς ( Α) ( 4) > ( Β) ( 8), έχουμε max {, ( Α) + ( Β) } ( 8) και άρα η αριστερή ανισότητα ( ΑΒ) ( 8) από τις ανισότητες έπεται. Στην περίπτωση κατά την οποία ( Α) ( ) και ( Β) ( 4),, έχουμε { ( Α), ( Β) } ( ), mn { ( Α), ( Β) } ( 4), max {, ( Α) + ( Β) }, max και, ως εκ τούτου, από τις ανωτέρω πλαισιωμένες σχέσεις προκύπτουν οι ακόλουθες ανάλογες ανισότητες των και : 4 ( Α Β), και ( ΑΒ). Ι..9. Παράδειγμα. Για οιαδήποτε ενδεχόμενα Α και Β, δείξτε ότι ( ΑΒ) ( Α) ( Β) ( Α' ) ( Β) ( Α' Β) ( Α) ( Β' ) ( ΑΒ' ). Απόδειξη. Έχουμε, αφενός ( ΑΒ) ( Α) ( Β) ( ΑΒ) [ ( Α' )] ( Β) (από την η Ιδιότητα) ( Α ) ( Β) [ ( Β) ( ΑΒ) ] ' ( Α' ) ( Β) ( Α Β) (επειδή ( Α' Β) ( Β Α) ' 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

15 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ και, από την η Ιδιότητα, ( Β Α) ( Β) ( ΑΒ)) και αφετέρου ( ΑΒ) ( Α) ( Β) ( ΑΒ) ( Α) [ ( Β' )] ( Α) ( Β ) [ ( Α) ( ΑΒ) ] ' (από την η Ιδιότητα) ( Α) ( Β' ) ( ΑΒ' ) (επειδή ( ΑΒ' ) ( Α Β) Από τις δύο αυτές σχέσεις προκύπτει η ζητούμενη. και, από την η Ιδιότητα, ( Α Β) ( Α) ( ΑΒ) ). Ι... Παράδειγμα. (Ανισότητα Bonferon) Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α,......,, ισχύει η ανισότητα:, Α Αν ν ν ν ' ( Α Α... Α ) ( Α ) ( n ) ( Α ). Απόδειξη. Για να αποδείξουμε την ανισότητα, θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της Μαθηματικής Επαγωγής επί του v. Για v, η ζητούμενη ανισότητα εκφυλλίζεται στην προφανή ισότητα ' ( Α ) ( Α ) ( ). Α ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ ( 5

16 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Για v, κατ αρχάς παρατηρούμε ότι, σύμφωνα με το Προσθετικό Θεώρημα (: η Ιδιότητα), ισχύει Είναι όμως ( Α Α ) ( Α Α ) ( Α ) + ( Α ) ( Α ). Α, και έτσι ( Α Α ) ( Α ) ( Α ) ( ), δηλαδή, για v ισχύει η ζητούμενη ανισότητα. Ας υποθέσουμε τώρα ότι η ζητούμενη ανισότητα ισχύει για v κ : Αρκεί να δειχθεί ότι αυτή ισχύει για v κ + : κ ( Α Α... Α ) ( Α ) ( ). κ κ ( Α... Α ) ( Α ) [ + ] Α + ( ). κ + κ Προς τούτο, παρατηρούμε ότι έχουμε ( Α Α Α ) ( [ Α Α Α ] )... κ +... κ Ακ + ( Α Α Α ) + ( Α ) +... κ κ (κατόπιν εφαρμογής της ήδη αποδειχθείσας ανισότητας για v ) κ κ + ( Α ) ( κ ) + ( Α ) (κατόπιν εφαρμογής της επαγωγικής υπόθεσης για v κ ) 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

17 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ κ + κ + ( Α ) ( κ + ) ( Α ) (( κ + ) ), δηλαδή, για v κ + ισχύει η ζητούμενη ανισότητα, και η Απόδειξη είναι πλήρης. Ι... Παράδειγμα. Για οιαδήποτε τρία ενδεχόμενα Α, Β και Γ, ν αποδειχθεί ότι ( Α Β Γ) ( Α) + ( Β) + ( Γ) ( ΑΒ) ( ΑΓ) ( ΒΓ) + ( ΑΒΓ). Απόδειξη. Είναι ( Α Β Γ) ( Α [ Β Γ] ) ( Α) + ( Β Γ) ( Α[ Β Γ] ) (σύμφωνα με το Προσθετι ( Α) + ( Β) + ( Γ) ( ΒΓ) ([ ΑΒ] [ ΑΓ] ) κό Θεώρημα: η Ιδιότητα) (σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα: [ Β Γ] [ ΑΒ] [ ΑΓ] Όμως, και πάλι σύμφωνα με το Προσθετικό Θεώρημα (: η Ιδιότητα) ([ ΑΒ] [ ΑΓ] ) ( ΑΒ) + ( ΑΓ) ( ΑΒΓ). Έτσι, συνδυάζοντας τις δύο προκύψασες σχέσεις, λαμβάνουμε: Α ). ( Α Β Γ) ( Α) + ( Β) + ( Γ) ( ΑΒ) ( ΑΓ) ( ΒΓ) + ( ΑΒΓ), και η Απόδειξη ολοκληρώθηκε. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ ( 7

18 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Ι... Εφαρμογή. Τα ποσοστά των σπουδαστών της Στρατιωτικής Σχολής Ευελπίδων οι οποίοι επέρασαν επιτυχώς τρία Μαθήματα Μ,Μ και Μ μετά την πρώτη τους εξέταση είναι τα ακόλουθα: Μ Μ : 5%, Μ και Μ και Μ Μ : 4%, : 5%, Μ και Μ Μ : % και Μ : 5%, Μ και Μ : % ( δηλαδ ή και τα τρ ία Mαθ ήματα) :5%. Ποιο είναι το ποσοστό των σπουδαστών οι οποίοι επέρασαν επιτυχώς τουλάχιστον ένα από τα τρία Μαθήματα; Απάντηση. Σύμφωνα με τον Τύπο που αποδείχθηκε στο προηγούμενο Παράδειγμα Ι.., έχουμε ( τουλάχιστον ένα Mάθημα ) ( Μ Μ Μ ) ( Μ ) + ( Μ ) + ( Μ ) ( ΜΜ ) ( Μ Μ ) ( Μ Μ ) + ( Μ Μ Μ ) Ι... Παράδειγμα. Ένας Στόχος έχει δεχθεί N Βλήματα. Ta Βλήματα αυτά ερρίφθησαν σε N αριθμημένες και διάφορες μεταξύ τους χρονικές στιγμές κατά την διάρκεια μίας ώρας. Ανασύρουμε, εκ των υστέρων, τυχαίως ένα από τα Βλήματα αυτά.. Ποια είναι η πιθανότητα να ανασύρουμε Βλήμα το οποίο ερρίφθηκε σε αριθμημένη χρονική στιγμή η οποία διαιρείται δια του ή του 4 ;. Εξετάστε την περίπτωση κατά την οποία N. 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

19 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Ποιο είναι το όριο της ανωτέρω πιθανότητας όταν N ; Απάντηση.. Λόγω του Προσθετικού Θεωρήματος (: η ισούται με όπου ( 4) N N ( 4) p ( ) + p ( 4) p ( 4) p, N N Ιδιότητα), η ζητούμενη πιθανότητα p αναπαριστά την πιθανότητα κατά την οποία ο ακέραιος N διαιρείται διά του ή του 4, ( 4) p αναπαριστά την πιθανότητα κατά την οποία ο ακέραιος N διαιρείται N και διά του και διά του 4 (δηλαδή, διά του ), και p N ( ) είναι η πιθανότητα κατά την οποία ο ακέραιος N διαιρείται δια του ακεραίου. Επειδή ισχύει η σχέση p N N N ( ), όπου [ x ] αναπαριστά το ακέραιο μέρος του x, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι p N N N N N 4 ( 4) +.. Εφόσον στην ανωτέρω σχέση θέσουμε N, θα λάβουμε p N 4 ( 4) +. N Ομοίως, εφόσον στην ίδια ως άνω σχέση θεωρήσουμε ότι ο ακέραιος N αυξάνεται απεριορίστως, προκύπτει ότι το όριο της ανωτέρω πιθανότητας όταν p 4 ( 4) +. N είναι ίσο με ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ ( 9

20 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Ι..4. Παράδειγμα. Για κάθε,,,, να εκφράσετε τις ακόλουθες πιθανότητες, συναρτήσει των ( Α), ( Β), ( Γ), ( ΑΒ), ( ΑΓ) και ( ΑΒΓ) : ). την πιθανότητα κατά την οποία συμβαίνουν ακριβώς από τα ενδεχόμενα ). την πιθανότητα κατά την οποία συμβαίνουν τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ, Χρησιμοποιήστε τα εξαγόμενα για να υπολογίσετε τα ποσοστά των σπουδαστών της Εφαρμογής Ι.., οι οποίοι πέρασαν επιτυχώς μόνον ένα Μάθημα, μόνον δύο Μαθήματα. Απάντηση.. Έστω p,,,. Τότε, ισχύουν τα παρακάτω p ( Α' Β' ') δηλαδή Γ ( να συμβο ύν ακριβώς απ ότα ενδεχόμενα Α, Β και Γ) ([ Α Β Γ ]') (από τον ο Νόμο De Morgan) ( Α Β Γ) (από την η Ιδιότητα) ( Α) ( Β) ( Γ) + ( ΑΒ) + ( ΑΓ) + ( ΒΓ) ( ΑΒΓ) (από Α, Β και Γ. τον Τύπο του Παραδείγματος Ι..), ( Α) ( Β) ( Γ) + ( ΑΒ) + ( ΑΓ) + ( ΒΓ) ( ). p ΑΒΓ p ( ΑΒ' Γ' Α' ΒΓ' Α' Β' Γ) ( Α[ Β Γ] ' Β[ Α Γ] ' Γ[ Α Β] ') (από τον ο Νόμο De Morgan) ( Α[ Β Γ] ') + ( Β[ Α Γ] ') + ( Γ[ Α Β] ') (από το Αξίωμα της Πλήρους Προσθετικότητας των Πιθανοτήτων, επειδή τα [ Β Γ] ', Β[ Α Γ]' Α και Γ [ Α Β]' ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

21 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ δηλαδή ( Α [ Β Γ] ) + ( Β [ Α Γ] ) + ( Γ [ Α Β] ) ( Α) ( Α[ Β Γ] ) + ( Β) ( Β[ Α Γ] ) είναι ξένα μεταξύ τους ενδεχόμενα) ( Γ) ( Γ[ Α Β] ) + ( Α) ( ΑΒ ΑΓ) + ( Β) ( ΒΑ ΒΓ) ( Α) ( ΑΒ) ( ΑΓ) + ( ΑΒΓ) ( Γ) ( ΓΑ ΓΒ) (από την η Ιδιότητα) + (από την Παρατήρηση Ι..5..α ) ( Β) ( ΑΒ) ( ΑΓ) + ( ΑΒΓ) + ( Γ) ( ΑΓ) ( ΒΓ) + ( ΑΒΓ) + [ ( ΑΒ) + ( ΑΓ) + ( ΒΓ) ] ( ). p ΑΒΓ (από το Προσθετικό Θεώρημα: η Ιδιότητα), p ( ΑΒΓ' ΑΒ' Γ Α' ΒΓ) ( ΑΒΓ' ) + ( ΑΒ' Γ) + ( Α ΒΓ) ' ( από το Αξίωμα της Πλήρους Προσθετικότητας των Πιθανοτήτων, επειδή τα ΑΒΓ ', ΑΒ' Γ' και Α' ΒΓ ( ΑΒ Γ) + ( ΑΓ Β) + ( ΒΓ Α) είναι ξένα μεταξύ τους ενδεχόμενα) ( ΑΒ) ( ΑΒΓ) + ( ΑΓ) ( ΑΒΓ) δηλαδή ( ΒΓ) ( ΒΓΑ) + (από την η Ιδιότητα), ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

22 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ [ ( ΑΒ) + ( ΑΓ) + ( ΒΓ) ] ( ). p ΑΒΓ p ( ΑΒΓ).. Είναι σαφές ότι ( να συμβο ύν τουλ άχιστον απ ότα ενδεχ όμενα Α, Β, Γ). για κάθε,,,. Εφαρμόζοντας τους ανωτέρω Τύπους στα δεδομένα της Εφαρμογής Ι.. για τον υπολογισμό της πιθανότητας κατά την οποία ένας σπουδαστής περνά επιτυχώς μόνον (:ακριβώς) ένα Μάθημα (ποσοστό σπουδαστών οι οποίοι πέρασαν επιτυχώς μόνον ένα Μάθημα), καθώς και για τον υπολογισμό της πιθανότητας κατά την οποία ένας σπουδαστής περνά επιτυχώς μόνον (:ακριβώς) δύο Μαθήματα (ποσοστό σπουδαστών οι οποίοι πέρασαν επιτυχώς μόνον δύο Μαθήματα), λαμβάνουμε και ( ένας σπουδαστ ής περν ά επιτυχ ώς μ όνον ένα Μάθ ημα) p [ ( Μ) + ( Μ ) + ( Μ) ] [ ( ΜΜ ) + ( ΜΜ ) + ( ΜΜ) ] + ( ΜΜ Μ) [ ] [ ] + [.5].5 ( ένας σπουδαστ ής περν ά επιτυχ ώς μ όνον δ ύο Μαθ ήματα) p.5. [ ( ΜΜ ) + ( ΜΜ ) + ( ΜΜ) ] ( ΜΜ Μ) [ ] [.5] p ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

23 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Δ. ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Μία πολύ σημαντική έννοια για όλη την συνέχεια είναι η έννοια της δεσμευμένης πιθανότητας: Ι..5. Ορισμός. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β σε κοινό δειγματοχώρο, η δεσμευμένη (υπό συνθήκη) πιθανότητα του Β δοθέντος του Α ορίζεται από την σχέση: ( ΑΒ) ( Α) ( Β / Α) ( ( Α) > ). Aπό τον Ορισμό αυτόν έπεται αμέσως η Γενικότερα, 4 η Ιδιότητα (Πολλαπλασιαστικός Τύπος των Πιθανοτήτων) ( ΑΒ) ( Α) ( Β / Α) ( Β) ( Α / Β). ( Α Α Α ) ( Α ) ( Α / Α ) ( Α / Α Α ) ( Α / Α Α... Α ).... L ν ν ν Είναι λογικό τώρα να αναρωτηθούμε για το πότε δύο ενδεχόμενα Α και Β μπορούν να αλληλοεπηρεάζονται, υπό την έννοια ότι: Προφανώς, εάν ( Β / Α) ( Β) ε ί τ ε ( Α Β) ( Α) /. ( Β / Α) ( Β) κ α ι ( Α Β) ( Α) /, τότε η πιθανότητα εμφάνισης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα δεν επηρεάζεται καθόλου από προαπαιτούμενη εμφάνιση του άλλου. Έτσι, στην περίπτωση αυτή τα ενδεχόμενα Α και Β είναι, και ονομάζονται, ανεξάρτητα μεταξύ τους. Δίνουμε συναφώς τους ακόλουθους γενικότερους Ορισμούς περί την έννοια της (πιθανοθεωρητικής) ανεξαρτησίας: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

24 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Ι..6. Ορισμός. ). Δύο ενδεχόμενα Α και Β σε κοινό δειγματοχώρο καλούνται ανεξάρτητα (ή στοχαστικώς ανεξάρτητα), εάν ). Γενικότερα, τα ν ενδεχόμενα ανεξάρτητα), εάν ( ΑΒ) ( Α) ( Β). Α, Α,..., Α καλούνται ανεξάρτητα (ή στοχαστικώς ( Α Α Α ) ( Α ) ( Α ) L( Α )... ν r r για κάθε < <... < r ν και κάθε r ν. ). Έστωσαν Π, Π,..., Π κ πειράματα τύχης και Ω, Ω,..., Ωκ οι αντίστοιχοι δειγματοχώροι. Τα Π καλούνται στοχαστικώς (ή στατιστικώς) ανεξάρτητα, όταν για κάθε Α Ω,,,...,κ ισχύει η σχέση: ( Α Α Α ) ( Α ) ( Α ) L( )... κ Α κ. Ας δώσουμε κάποια ενδεικτικά Παραδείγματα διαχείρισης των εννοιών αυτών. Ι..7. Παράδειγμα. Εάν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα, τότε ). τα ενδεχόμενα Α και Β ' είναι ανεξάρτητα, ). τα ενδεχόμενα Α ' και Β είναι ανεξάρτητα, ). τα ενδεχόμενα Α ' και Β ' είναι ανεξάρτητα. Απόδειξη. Επειδή τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα, ισχύει η σχέση:. Είναι ( ΑΒ) ( Α) ( Β). ( ΑΒ ) ( Α Β) ( Α) ( ΑΒ) ( Α) ( Α) ( Β) (από την σχέση ( ΑΒ) ( Α) ( Β) ( Α) [ ( Β) ] ( Α) ( Β' ) (από την η Ιδιότητα), ' (από την η Ιδιότητα) ) 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

25 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ δηλαδή τα ενδεχόμενα Α και. Ομοίως, Β ' είναι ανεξάρτητα. ( ΑΒ) ( Α Β) ( Α) ( ΑΒ) (από την η Ιδιότητα) ( Β) ( Α) ( Β) (από την σχέση ( ΒΑ) ( Α) ( Β) ( Β) [ ( Α) ] ( Β) ( Α' ) (από την η Ιδιότητα), δηλαδή τα ενδεχόμενα. Τέλος, Α ' και Β είναι ανεξάρτητα. ) ( Α' Β' ) ( [ Α Β] ') (από τον ο Νόμο De Morgan) ( Α Β) (από την η Ιδιότητα) ( Α) ( Β) + ( ΑΒ) ( Α' ) ( Β) + ( ΑΒ) (από την η Ιδιότητα) ( Α' ) ( Β) + ( Α) ( Β) (από την σχέση ( ΑΒ) ( Α) ( Β) ( Α' ) ( Β) [ ( Α) ] ( Α' ) ( Β) ( Α' ) (από την η Ιδιότητα) ( Α' )[ ( Β) ] ( Α' ) ( Β' ) (από την η Ιδιότητα), και άρα τα ενδεχόμενα (από το Προσθετικό Θεώρημα: η Ιδιότητα) Α ' και Β ' είναι ανεξάρτητα. ) Ι..8. Παράδειγμα. Εάν τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ είναι τελείως ανεξάρτητα, τότε ). τα ενδεχόμενα Α και ΒΓ είναι ανεξάρτητα, ). τα ενδεχόμενα Β και ΑΓ είναι ανεξάρτητα, ). τα ενδεχόμενα Γ και ΑΒ είναι ανεξάρτητα. Απόδειξη. Εφόσον τα Α, Β και Γ είναι τελείως ανεξάρτητα, ισχύουν, εξ ορισμού, οι ακόλουθες σχέσεις: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ ( 5

26 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ και ( ΑΒΓ) ( Α) ( Β) ( Γ) ( ΑΒ) ( Α) ( Β), ( ΒΓ) ( Β) ( Γ), ( ΓΑ) ( Γ) ( Α). Από την πρώτη και τρίτη κατά σειρά από αυτές τις σχέσεις, λαμβάνουμε ( Α[ ΒΓ] ) ( ΑΒΓ) ( Α) [ ( Β) ( Γ) ] ( Α) ( ΒΓ), Δηλαδή αποδεικνύουμε ότι τα ενδεχόμενα Α και ΒΓ είναι ανεξάρτητα. Ομοίως αποδεικνύονται και οι άλλοι δύο ισχυρισμοί του Παραδείγματος., Ι..9. Παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι για τα ανεξάρτητα ενδεχόμενα Εάν ( Α ) α, ( Α' Β' Γ' ) β και ( Α' Β' Γ' ) γ. ( Α ' Β' Γ) x, τότε να δειχθεί ότι η πιθανότητα x ικανοποιεί την εξίσωση α x Απόδειξη. Έχουμε και άρα [ αβ ( α )( α + γ ) ] x + β ( α )( ). + γ ( Α' Β' Γ) ( [ Α Β] Γ) ( Γ [ Α Β] ) ( Γ) ([ Α Β] Γ) ( Γ) ( ΑΓ ΒΓ) ( Γ) ( ΑΓ) ( ΒΓ) + ( ΑΒΓ) x ' (από τον ο Νόμο De Morgan) (από την η Ιδιότητα) (από την Παρατήρηση Ι..5..α) Α, Β και Γ, έχουμε (από το Προσθετικό Θεώρημα: η ( Γ) ( Α) ( Γ) ( Β) ( Γ) + ( Α) ( Β) ( Γ) (από την ανεξαρτησία των ενδεχομένων ( Γ)( ) ( Β) ( Γ)( α ) ( α )[ ( Β) ] ( Γ). x α () Ιδιότητα) Α, Β και Γ ), 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

27 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Επίσης β ( Α' Β' Γ' ) ( Α' ) ( Β' ) ( Γ' ) (επειδή από την ανεξαρτησία των Α, Β και Γ έπεται η ανεξαρτησία των Α ', Β' και Γ ', ακριβώς αναλόγως όπως αποδείχθηκε στο Παράδειγμα Ι..8..) [ ( Α) ][ ( Β) ][ ( Γ) ] (από την η Ιδιότητα), δηλαδή β ( α )[ ( Β) ][ ( Γ) ]. () Τέλος, ( Α' Β' Γ' ) ([ ΑΒΓ] ') ( ΑΒΓ) ( Α) ( Β) ( Γ) γ (από την η Ιδιότητα) (από τον 4 ο Νόμο De Morgan) (από την ανεξαρτησία των Α,Β, Γ :Ορισμός Ι..7.) και επομένως ( Β) ( ). γ α Γ () Έτσι, συνδυασμός των () και () δίνει ( Γ) ( Γ) x x x x β x ( Γ). (4) x + β Επι πλέον, από τις () και (4), λαμβάνουμε γ α x x + β ( Γ) β ( Γ) ( x + β ) ( Γ) ( Β) ( x + β ) γ x + β α x ( Β) ( ) α x ( γ )( x + β ). ( Β) ( γ )( x + β ) Β (5) α x ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ ( 7

28 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ δηλαδή ή Αντικαθιστώντας τώρα τις εκφράσεις (4) και (5) μέσα στην (), συμπεραίνουμε ότι x ( α ) ( γ )( x β ) + α x x x + β ( α ) ( γ )( x β ) α x + α ( x + β ) ( α ) α x ( α )( γ )( x β ), α x + ( α ) α x ( α )( γ ) ( α )( γ ) β, α x + α β x x που οδηγεί στην ζητούμενη εξισωτική σχέση [ αβ ( α )( α + γ ) ] x + β ( α )( )., x + β α x + γ Να σημειωθεί ότι, επειδή το x αναπαριστά πιθανότητα, πρέπει αμφότερες οι ρίζες αυτής της εξίσωσης να είναι θετικές, συνεπώς και το άθροισμά τους, ήτοι δηλαδή πρέπει να ισχύει Η Απόδειξη είναι πλήρης. ( α )( α + γ ) γ > α β αβ > α + γ > α α β γ > + α ( α ) + α β. α ( α ) Ι... Παράδειγμα.(Πρόβλημα του Huyghens) Δύο (αντίπαλα ή μη) Πολεμικά Αεροσκάφη ρίπτουν α λ λ η λ ο δ ι α δ ό χ ω ς βόμβες εναντίον διαδοχικών διαφορετικών Στόχων έκαστος των οποίων απαρτίζεται από διακριτά σημεία. Τα σημεία αυτά έχουν χωρισθεί και διαβαθμισθεί από το <<>> έως το << 6 >> αναλόγως της σπουδαιότητάς τους, έτσι ώστε να υπάρχουν συνολικά ακριβώς δύο σημεία σπουδαιότητας ίσης με <<>>, ακριβώς δύο σημεία σπουδαιότητας ίσης με << >>, κ. ο.κ. 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

29 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Το ο Αεροσκάφος θεωρείται ότι επιτυγχάνει στην αποστολή του, εάν σε μία ρίψη καταφέρει να προσβάλλει διακριτά σημεία ενός Στόχου του με άθροισμα πόντων σπουδαιότητας των προσβληθέντων σημείων ίσο με << 6 >> π ρ ο τ ο ύ το ο Αεροσκάφος καταφέρει να προσβάλλει διακριτά σημεία ενός Στόχου του με άθροισμα πόντων σπουδαιότητας των προσβληθέντων σημείων ίσο με << 7 >> περίπτωση κατά την οποία θεωρείται ότι το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του. Εάν το ο Αεροσκάφος αρχίζει πρώτο τις ρίψεις του, ποια είναι η πιθανότητα να επιτύχει στην αποστολή του; Απάντηση. Προφανώς, η ζητούμενη πιθανότητα είναι (<<το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του>>) ν (<<το ο οστού Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη του ( ν +) Στόχου>>). Ακόμη, σύμφωνα με τον Πολλαπλασιαστικό Τύπο των Πιθανοτήτων (: 4 η Ιδιότητα), έχουμε (<<το ο οστού Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη του ( ν +) ( <<το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη βόμβας>> Στόχου>>) και <<τα δύο Αεροσκάφη δεν επιτυγχάνουν στις αποστολές τους καθ όλες τις προηγούμενες ν ρίψεις βομβών>>) (<< τα δύο Αεροσκάφη δεν επιτυγχάνουν στις αποστολές τους καθ όλες τις προηγούμενες ν ρίψεις βομβών>>) (<<το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη βόμβας>> / <<τα δύο Αεροσκάφη δεν επιτυγχάνουν στις αποστολές τους καθ όλες τις προηγούμενες ν ρίψεις βομβών>>) Όμως, λόγω της ανεξαρτησίας των ενδεχομένων, έχουμε (<< τα δύο Αεροσκάφη δεν επιτυγχάνουν στις αποστολές τους καθ όλες τις προηγούμενες ν ρίψεις βομβών>>) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ ( 9

30 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ (<< το ο Αεροσκάφος δεν επιτυγχάνει στην αποστολή του καθ όλες τις προηγούμενες ν ρίψεις βομβών>>) (<< το ο Αεροσκάφος δεν επιτυγχάνει στην αποστολή του καθ όλες τις προηγούμενες ν ρίψεις βομβών>>) q ν q ν και (<<το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη βόμβας>> / <<τα δύο Αεροσκάφη δεν επιτυγχάνουν στις αποστολές τους καθ όλες τις προηγούμενες ν ρίψεις βομβών>>) p, όπου p : (<<το οστό Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη και q : p (, ). Δεδομένου ότι, εξ υποθέσεως, έχουμε p 5 6 και p 6 6, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι (<<το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του>>) ν ν q q p ν p q q βόμβας>> ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

31 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ι... Παράδειγμα. Τρεις Σκοπευτές Σ,Σ και Σ βάλλουν έκαστος άπαξ, κατά την ανωτέρω σειρά, εναντίον αντιστοίχων Στόχων, με πιθανότητα επιτυχίας ίση με, μέχρις ότου ένας από τους Σκοπευτές πλήξει επιτυχώς τον αντίστοιχο Στόχο. Τότε θα θεωρείται ότι ο Σκοπευτής αυτός θα έχει ολοκληρώσει επιτυχώς την αποστολή του, ενώ οι άλλοι δύο ότι απέτυχαν. Με δεδομένο ότι ο Στόχος θα προσβληθεί οπωσδήποτε επιτυχώς από κάποιον Σκοπευτή, να υπολογισθεί η πιθανότητα εκάστου να ολοκληρώσει επιτυχώς την αποστολή του. Απάντηση. Έστωσαν και Επειδή Κ :<<το ενδεχόμενο κατά το οποίο ο Α ν :<<το ενδεχόμενο άστοχης βολής του μπορούμε να γράψουμε Έτσι, εάν θέσουμε ν Σ θα πλήξει επιτυχώς τον αντίστοιχο Σ >> ( ν, ). Κ Α και Κ ΑΑ, Κ και Κ Α Α. ΑΚ κ Κ ( Κ ) (,,), τότε, σύμφωνα με το Πολλαπλασιαστικό Θεώρημα (: 4 η Ιδιότητα), θα έχουμε κ ( Κ ) ( Α Κ ) ( Α ) ( Κ Α ), / κ καθότι, άπαξ και αστοχήσει ο Σ, ο Σ βάλλει πρώτος και επομένως ( Κ Α ) ( Κ ). / κ Στόχο >> (,, ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟΜΟΣ ος ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ -- ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Tα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί να θεωρηθεί ότι εντάσσονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τα προσδιοριστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 12 Οκτωβρίου 2009 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Ενωση ενδεχοµένων Η ένωση δύο ενδεχοµένων A και B (ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω), συµβολιζόµενη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016 Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 36 η Εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» 23 Φεβρουαρίου 2019 Θέματα και ενδεικτικές λύσεις μεγάλων τάξεων

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 36 η Εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» 23 Φεβρουαρίου 2019 Θέματα και ενδεικτικές λύσεις μεγάλων τάξεων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 036653 367784 Fax: 036405 e mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Paneistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (3η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 38 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ 3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα

Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (2η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 54 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

1.7 Διατάξεις 1. Στην ελληνική βιβλιογραφία επικρατεί ο συμβολισμός. Permutations

1.7 Διατάξεις 1. Στην ελληνική βιβλιογραφία επικρατεί ο συμβολισμός. Permutations .7 Διατάξεις Είναι το σύνολο των συμπλεγμάτων που μπορεί να προκύψουν όταν επιλέγονται υποσύνολα που περιέχουν διακεκριμένα στοιχεία από ένα υπερσύνολο διακεκριμένων στοιχείων. Εδώ δεν ενδιαφέρουν οι θέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 ιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολουποθέσεωνκαιτουοποίουτο αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 15 Οκτωβρίου 2009 ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ De Moivre Ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας αφορά πεπερασµένους δειγµατικούς χώρους και

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Ανάλυση. Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα:

Συνδυαστική Ανάλυση. Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα: Συνδυαστική Ανάλυση Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα: P( A) N( A) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του Ω Χρειαζόμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Πράξεις Γεγονότων Σχεδιάγραµµα της Υλης Βασικές Εννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 17-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Την προηγούμενη φορά αναφέραμε (και αποδείξαμε στην περίπτωση n = 2) το θεώρημα που λέει ότι, αν n N, n 2, τότε για κάθε y 0 υπάρχει μοναδική μηαρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά

Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά Εισαγωγή Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά μοντέλα, είτε σε στοχαστικά ή αλλοιώς πιθανοτικά μοντέλα. προσδιοριστικά μοντέλα : επιτρέπουν προσδιορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τα πρώτα μαθήματα, σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, περιέχουν, ή θεωρούν γνωστές, εισαγωγικές έννοιες που αφορούν σύνολα, συναρτήσεις, σχέσεις ισοδυναμίας, αλγεβρικές δομές, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Διατάξεις Μεταθέσεις Συνδυασμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός της Πιθανότητας (Ι)

Ορισμός της Πιθανότητας (Ι) Ορισμός της Πιθανότητας (Ι) Κλασσικός Ορισμός Πιθανότητα ενδεχομένου Α ( ) N( ) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του ενδεχ. Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του δ.χ. Ω Περιορισμοί: - μόνο

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n! Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/2016 1 / 55 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 1: Στοιχεία Πιθανοθεωρίας Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ΑΡΧΗ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ΑΡΧΗ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΑΡΧΗ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ Εισαγωγή. Η αρχή του εγκλεισμού αποκλεισμού είναι ένα ισχυρό μέσο απαρίθμησης με το οποίο υπολογίζεται ο αριθμός των στοιχείων της ένωσης και της τομής των συμπληρωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας

Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας Α ΕΝΟΤΗΤΑ Πιθανότητες Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της πιθανότητας Α.1 Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα. Απαραίτητες γνώσεις

Διαβάστε περισσότερα

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B) Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 19 Οκτωβρίου 2009 ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Εστω Ω δειγµατικός χώρος στοχαστικού (τυχαίου) πειράµατος (ή ϕαινοµένου).

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος). 4 Τοπολογικοί χώροι. Στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας, δηλαδή αυτές του ανοικτού και κλειστού συνόλου, της κλειστότητας και του εσωτερικού

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G Λύσεις Θεμάτων Θεμελίων των Μαθηματικών 1. Εστω A, B, C τυχόντα σύνολα. Να δειχθεί ότι A (B C) (A B) (A C). Απόδειξη. Εστω x τυχαίο στοιχείο του A (B C). Εξ ορισμού, το x ανήκει σε ακριβώς ένα από τα A,

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017 Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 07 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις Μαθηματική Επαγωγή 13/3/2018

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις Μαθηματική Επαγωγή 13/3/2018 Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις Μαθηματική Επαγωγή 1//018 Σημείωση: Όλες οι παρακάτω αποδείξεις ακολουθούν την επαγωγική μέθοδο. Κάποια από τα παραδείγματα έχουν αποδειχθεί και με άλλες μεθόδους στο Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

F 5 = (F n, F n+1 ) = 1.

F 5 = (F n, F n+1 ) = 1. Λύσεις Θεμάτων Θεωρίας Αριθμών 1. (α) Να δειχθεί ότι ο πέμπτος αριθμός της μορφής Fermat, δηλαδή ο F 5 2 25 + 1 διαιρείται από το 641. (β) Εστω F n η ακολουθία των αριθμών Fermat, δηλαδή F n 2 2n + 1,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

3/10/2016. Στατιστική Ι. 1 η Διάλεξη

3/10/2016. Στατιστική Ι. 1 η Διάλεξη Στατιστική Ι 1 η Διάλεξη 1 2 Φαινόμενα Πειράματα Αιτιοκρατικά Προσδιοριστικά Τυχαία Στοχαστικά Ένα αιτιοκρατικό πείραμα, κάθε φορά που εκτελείται, έχει το ίδιο αποτέλεσμα το οποίο μπορεί να προβλεφθεί

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Εκτιμητική

Στατιστική. Εκτιμητική Στατιστική Εκτιμητική Χατζόπουλος Σταύρος 28/2/2018 και 01 /03/2018 Εισαγωγή Το αντικείμενο της Στατιστικής είναι η εξαγωγή συμπερασμάτων που αφορούν τον πληθυσμό ή το φαινόμενο που μελετάμε, με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 26 Οκτωβρίου 2009 Η διερεύνηση, σε γενικές γραµµές, της δεσµευµένης πιθανότητας και η σύγκρισή της µε την απόλυτη πιθανότητα αποκαλύπτει

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων)

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων) ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων) Μέρος Ι (μέγιστος αριθμός μονάδων=40) Δώστε την κατάλληλη απάντηση (ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ ) στις παρακάτω προτάσεις. Κάθε σωστή επιλογή παίρνει 5 μονάδες. Για κάθε λανθασμένη επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

f x 0 για κάθε x και f 1

f x 0 για κάθε x και f 1 06 4.2 Το Λήμμα του Uysoh το Λήμμα της εμφύτευσης και το θεώρημα μετρικοποίησης του Uysoh. Ο κύριος στόχος αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεμελιώδους αποτελέσματος γνωστού ως το Λήμμα του Uysoh.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι παρουσιάζει στο o Α τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε f () f( o ) για κάθε A ( o δ, o δ ), όπου Α το πεδίο ορισμού της f. Το o λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙ 1 / 15 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του φυλλαδίου ασκήσεων επανάληψης. P (B) P (A B) = 3/4.

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του φυλλαδίου ασκήσεων επανάληψης. P (B) P (A B) = 3/4. Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 207-8. Λύσεις του φυλλαδίου ασκήσεων επανάληψης.. Αν P (A) / και P (A B) /4, βρείτε την ελάχιστη δυνατή και την μέγιστη δυνατή τιμή της P (B). Το B καλύπτει οπωσδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2) Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ενότητα 1 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα, Ολική Πιθανότητα, Ανεξαρτησία. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ.

Στατιστική. Ενότητα 1 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα, Ολική Πιθανότητα, Ανεξαρτησία. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα, Ολική Πιθανότητα, Ανεξαρτησία Γεώργιος Ζιούτας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα