6 Γεωμετρικές κατασκευές
|
|
- Μάρκος Διαμαντόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά προβλήματα μπορούν σε πολλές περιπτώσεις να αντιμετωπιστούν απλούστερα και συντομότερα μόνο με τη χρήση οργάνων όπως ο χάρακας (π.χ. ταυ), το υποδεκάμετρο και τα τρίγωνα. Με τη χρήση του διαβήτη και του χάρακα όμως, και με τη βοήθεια των γεωμετρικών κατασκευών, πετυχαίνουμε τη μεγαλύτερη δυνατή σχεδιαστική ακρίβεια Ανάλογα, λοιπόν, με τις ανάγκες του σχεδίου σε κάθε περίσταση επιλέγουμε τη μία ή την άλλη μέθοδο, δηλαδή με χάρακα και τρίγωνο ή με διαβήτη και εφαρμογή κάποιας γεωμετρικής κατασκευής. Δε θα πρέπει να ξεχνάμε ότι η ακρίβεια είναι σημαντικό στοιχείο στην υλοποίηση των γεωμετρικών κατασκευών γι'αυτό η μύτη του μολυβιού και του διαβήτη πρέπει να είναι πάντα λεπτή με σκληρότητα που να κυμαίνεται από 2Η έως 4Η. Οι γραμμές πρέπει να είναι λεπτές και απαλές, ώστε να μη διακρίνονται αν κοιτάζουμε το σχέδιο από απόσταση μεγαλύτερη των 50 εκατοστών. Στη συνέχεια θα αναφερθούμε σε γεωμετρικές κατασκευές οι οποίες επιλύουν προβλήματα που συναντώνται συχνότερα στη σχεδίαση και οι οποίες είναι απλές στην εφαρμογή τους. 6.2 Ευθείες γραμμές Συχνά στο σχέδιο έχουμε ανάγκη από κάποια γεωμετρική κατασκευή, προκειμένου να χαράξουμε συγκεκριμένες ευθείες γραμμές (καθέτους, παραλλήλους κτλ.).
2 6.2.1 Διχοτόμηση ή χάραξη μεσοκαθέτου ευθύγραμμου τμήματος I. Με χαρακα και τρίγωνο (εικ. 6.1) α. Δίδεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. β. Με το τρίγωνο φέρω από τα Α και Β, αντίστοιχα, τις ευθείες ΑΓ και ΓΒ με την ίδια κλίση 45 ή 60. γ. Η ευθεία ΓΔ είναι μεσοκάθετη του ΑΒ, είναι δηλαδή κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και περνά από το μέσον του Δ. (α) (β) (Υ) II. Με διαβήτη (εικ. 6.2) α. Δίδεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. β. Με κέντρα Α και Β, αντίστοιχα, χαράσσω τόξα με ακτίνα R μεγαλύτερη από το μισό του ΑΒ. γ. Η ευθεία ΓΔ είναι μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. εικ. 6.2 (α) Χάραξη ευθείας κάθετης σε δεδομένο σημείο άλλης ευθείας I. Με χάρακα και τρίγωνο (εικ. 6.3) α. Δίδεται ευθεία (ε) και σημείο Γ πάνω σ'αυτήν. β. Τοποθετώ το τρίγωνο με τη μία πλευρά να εφάπτεται στην (ε) και το χάρακα να εφάπτεται με την υποτείνουσα του τριγώνου. Χωρίς να μετακινήσω το χάρακα, σύρω το τρίγωνο πάνω του έως ότου η άλλη κάθετη πλευρά του περάσει από το Γ. Η (ε') είναι κάθετη στην (ε) και περνά από το Γ. εικ. 6.3 (α)
3 II. Με διαβήτη (εικ. 6.4) α. Δίδεται ευθεία (ε) και σημείο Γ πάνω σ'αυτήν. β. Με κέντρο το Γ και τυχαία ακτίνα φέρω τόξο που τέμνει την (ε) στα σημεία Α και Γ. γ. Με κέντρα τα Α και Β και ακτίνα μεγαλύτερη από το μισό του ΑΒ φέρω τόξα που τέμνονται στα σημεία Δ και Ε. Η ΔΕ είναι μεσοκάθετη του ΑΒ και άρα κάθετη στην (ε) στο σημείο Γ. εικ. 6.4 (α) (β) Αν δεν μπορούμε να προεκτείνουμε την (ε) πέρα από το Γ, τότε με κέντρο τυχόν σημείο Ο χαράζουμε κύκλο ακτίνας R = ΟΓ, που τέμνει την (ε) στο Α. Φέρουμε τη διάμετρο ΑΟΕ. Η ΕΓ είναι κάθετη στην (ε) (εικ. 6.5). εικ Χάραξη ευθείας κάθετης σε άλλη από δεδομένο σημείο εκτός αυτής I. Με διαβήτη (εικ. 6.6) α. Δίδεται ευθεία (ε) και το σημείο Γ εκτός αυτής. β. Με κέντρο το Γ και ακτίνα μεγαλύτερη από την απόσταση του Γ με την (ε) φέρω τόξο που τέμνει την (ε) στα Α και Β. γ. Βρίσκω τη μεσοκάθετη ΓΔ του ΑΒ, η οποία είναι και κάθετη στην (ε) από το Γ. εικ. 6.6 (α) (β) II. Με χάρακα και τρίγωνα επιλύεται ακριβώς όπως και στην περίπτωση
4 6.2.4 Χάραξη ευθείας που περνά από σημείο Γ και είναι παράλληλη σε άλλη I. Με χάρακα και τρίγωνο (εικ. 6.7) α. Δίδεται ευθεία (ε) και σημείο Γ. β. Τοποθετώ την υποτείνουσα του τριγώνου παράλληλα με την (ε) και το χάρακα να εφάπτεται στην άλλη πλευρά του τριγώνου. Χωρίς να μετακινήσω το χάρακα, σύρω το τρίγωνο πάνω του μέχρι η υποτείνουσα να περάσει από το σημείο Γ. Η (ε') είναι παράλληλη στην (ε). II. Με διαβήτη (εικ. 6.8) α. Δίδεται η ευθεία (ε) και το σημείο Γ. β. Με τυχαία ακτίνα R και με κέντρο το Γ γράφω τόξο (χ), που τέμνει την (ε) στο Α. Με το ίδιο άνοιγμα διαβήτη R ορίζω τμήμα ΑΒ πάνω στην (ε), έτσι ώστε ΑΒ = ΑΓ = R. γ. Με ακτίνα r = ΓΒ και κέντρο το Α γράφω τόξο (χ'), που τέμνει το (χ) στο σημείο Δ. Η ΓΔ είναι παράλληλη στην (ε). εικ Διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σε ίσα ή ανάλογα μέρη (εικ 6 9) α. Δίδεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Έστω ότι θέλω να το διαιρέσω σε ανάλογα μέρη με σχέση 1, 3, 5. β. Τοποθετώ το μηδέν του υποδεκάμετρου στο Α και φέρω, με τυχαία κλίση, ευθύγραμμο τμήμα, που πάνω του έχω μετρήσει τμήματα ΑΔ, ΔΕ, ΕΓ με τη ζητούμενη σχέση 1,3,5. γ. Φέρω την ΒΓ και τις παράλληλες προς αυτήν ευθείες, που περνούν από τα σημεία Δ και Ε και χωρίζουν την ΑΒ σε αντίστοιχα ανάλογα τμήματα.
5 Μια παραλλαγή της ίδιας μεθόδου είναι να χαράξω πρώτα κατακόρυφη ευθεία (ε) και κατόπιν να προσαρμόσω το υποδεκάμετρο, ώστε η ΑΓ, που τέμνει την (ε), να μου δίνει ζητούμενες ισότητες ή αναλογίες. Στη συνέχεια φέρω και πάλι παράλληλες προς την ΒΓ από τα αντίστοιχα σημεία της ΑΓ. Η μέθοδος αυτή διευκολύνει στο να χαραχτούν πιο εύκολα οι παράλληλες με χρήση ταυ ή παραλληλογράφου και ενός τριγώνου (εικ. 6.10). εικ Γωνίες Αλλο σχεδιαστικό - γεωμετρικό στοιχείο είναι η γωνία. Οι γωνίες χαράζονται με το μοιρογνωμόνιο. Στα σχέδια συνήθως χρησιμοποιούνται γωνίες ή συνδυασμοί τους π.χ. 75 ( ), που κατασκευάζονται απλούστερα με τη βοήθεια των αντίστοιχων τριγώνων Διχοτόμηση γωνίας (εικ. 6 11) α. Δίδεται η γωνία ΒΑΓ. β. Με κέντρο το Α και τυχαία ακτίνα R γράφω τόξο. γ. Με κέντρα τα Κ και Λ και ακτίνα r λίγο μεγαλύτερη από το μισό του ΚΑ γράφω τόξα που τέμνονται στο Δ. Η ΑΔ χωρίζει την ΒΑΓ σε δύο ίσες γωνίες.
6 6.3.2 Τριχοτόμηση ορθής γωνίας (εικ 6.12) α. Δίδεται η ορθή γωνία ΒΑΓ. β. Με κέντρο το Α και τυχαία ακτίνα R φέρω τόξο, που τέμνει τη γωνία στα σημεία Κ και Λ. γ. Με κέντρα τα Κ και Λ και με την ίδια ακτίνα R φέρω δύο νέα τόξα, που τέμνουν το ΚΛ στα σημεία Δ και Ε. Οι ΑΔ και ΑΕ τριχοτομούν την ορθή γωνία. εικ Μεταφορά γωνίας σε άλλη θέση (εικ. 6 13) α. Δίδεται γωνία ΒΑΓ και ζητείται να μεταφερθεί σε νέα θέση Δ, ώστε η πλευρά ΑΓ να συμπέσει με την ευθεία (ε) και το Α με το Δ. β. Με κέντρα τα σημεία Α και Δ και ακτίνα R ίση με ΑΓ χαράζω τόξα (χ) και (χ'). Το (χ') τέμνει την (ε) στο Ε. γ. Με κέντρα τα Γ και Ε φέρω τόξα ακτίνας r ίσης με ΓΒ, που τέμνουν τα (χ) και (χ') στα σημεία Β και Ζ αντίστοιχα. Η γωνία ΖΔΕ είναι ίση με τη ΒΑΓ. εικ. 6.13
7 6.4 Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα (εικ. 6.14). εικ Όταν όλες οι πλευρές και οι εσωτερικές γωνίες του πολύγωνου είναι ίσες, τότε λέγεται κανονικό πολύγωνο (εικ. 6.15). Κάθε κανονικό πολύγωνο μπορεί να εγγραφεί ή να περιγραφεί σε κύκλο. εικ Κανονικά πολύγωνα με πολλαπλάσιο αριθμό πλευρών από αυτά που θα εξετάσουμε προκύπτουν, αν διχοτομήσουμε τις εσωτερικές γωνίες τους. Επειδή οι διχοτόμοι των γωνιών έχουν την ιδιότητα να διχοτομούν και τα αντίστοιχα τόξα, ο κύκλος χωρίζεται σε διπλάσιο αριθμό ίσων τμημάτων. Για παράδειγμα, από το τετράγωνο μπορεί να προκύψει οκτάγωνο, δεκαεξάγωνο, τριανταδυάγωνο κ.ο.κ. (εικ. 6.16). εικ. 6.16
8 6.4.1 Κατασκευή ισόπλευρου τριγώνου όταν είναι γνωστή η πλευρά του (εικ. 6.17) α. Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ίσο με την πλευρά του ζητούμενου τριγώνου, β. Με κέντρα τα Α και Β και ακτίνα R ίση με ΑΒ γράφω τόξα που τέμνονται στο Γ. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. Πρακτικά, η κατασκευή του ισόπλευρου τριγώνου γίνεται με τη χρήση του τριγώνου 60, όπως φαίνεται στο σχήμα, (εικ. 6.18). εικ Για την κατασκευή οποιουδήποτε τριγώνου. όταν είναι γνωστές οι πλευρές του (α, β, γ), ορίζω ευθύγραμμο τμήμα ίσο με τη μία πλευρά, και με κέντρα τα άκρα του και αντίστοιχες ακτίνες ίσες με τις δύο άλλες πλευρές γράφω τόξα που τέμνονται στο σημείο Γ. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούμενο (εικ. 6.19). εικ Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με την κατασκευή των πιο απλών πολυγώνων όταν γνωρίζουμε τον κύκλο μέσα στον οποίο εγγράφονται. Οι μέθοδοι που προτείνονται βασίζονται σε απλές γεωμετρικές κατασκευές. Αν ανακαλέσουμε γνώσεις από τη Γεωμετρία, θα διαπιστώσουμε ότι υπάρχουν και άλλοι τρόποι επίλυσης. Επίσης δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι όπου αυτό είναι δυνατό (π.χ. τετράγωνο, εξάγωνο, οκτάγωνο), απλούστερη αλλά όχι τόσο ακριβής κατασκευή γίνεται με τη χρήση χάρακα και τριγώνου Κατασκευή τετραγώνου (εικ. 6.20) α. Δίδεται κύκλος με ακτίνα R. β. Φέρω δύο διαμέτρους ΑΓ και ΒΔ κάθετες μεταξύ τους. Τα σημεία τομής με τον κύκλο είναι και κορυφές του τετραγώνου.
9 6.4.3 Κατασκευή κανονικού πενταγώνου (εικ 6.21) α Δίδεται κύκλος με ακτίνα R. β. Φέρω τη διάμετρο ΑΒ και την κάθετη σ'αυτήν ΓΟ. γ. Βρίσκω το μέσον Μ της ΟΒ και με κέντρο αυτό και ακτίνα r1, ίση με ΜΓ, γράφω τόξο, που τέμνει την ΑΒ στο Ν. Η ΓΝ είναι ίση με την πλευρά του πενταγώνου, δ. Με κέντρο το Γ και ακτίνα r2 ίση με ΓΝ γράφω τόξο, που τέμνει τον κύκλο στα Δ και Ε. ε. Χωρίζω τον κύκλο σε 5 τόξα, που το καθένα αντιστοιχεί σε χορδή ίση με ΓΔ=ΓΕ, ίση με την πλευρά α5 του πενταγώνου. Τα σημεία τομής με τον κύκλο είναι και κορυφές του κανονικού πενταγώνου. εικ Κατασκευή κανονικού εξαγώνου (εικ 6.22) α. Δίδεται κύκλος με ακτίνα R. β. Ξεκινώντας από σημείο Α του κύκλου και με άνοιγμα διαβήτη ίσο με την ακτίνα R χαράζω 6 διαδοχικά ίσα τόξα. Εκεί όπου τέμνουν τον κύκλο βρίσκονται οι κορυφές του κανονικού εξαγώνου. εικ Κατασκευή οποιουδήποτε κανονικού πολυγώνου όταν γνωρίζω τον αριθμό των πλευρών του Παράδειγμα: Έστω ότι ζητώ να χαράξω κανονικό επτάγωνο (εικ. 6.23). εικ α Δίδεται κύκλος με ακτίνα R. β. Φέρω διάμετρο ΑΒ και τη διαιρώ σε επτά ίσα τμήματα.
10 γ. Με ακτίνα r ίση με τη διάμετρο και με κέντρα τα σημεία Α και Β γράφω τόξα, που τέμνονται στο Γ. Στη συνέχεια, φέρω ευθεία, που περνά από το Γ και από το δεύτερο σημείο διαίρεσης της διαμέτρου ΑΒ, μέχρι να τμήσει τον κύκλο στο σημείο Δ. δ. Η ΑΔ είναι η πλευρά α7 του ζητούμενου κανονικού επταγώνου. Με άνοιγμα διαβήτη ίσο με α7 χωρίζω τον κύκλο σε επτά διαδοχικά τόξα. Τα σημεία τομής τους με τον κύκλο είναι οι κορυφές του επταγώνου. ε/κ Με τον ίδιο τρόπο, μπορώ να κατασκευάσω οποιοδήποτε άλλο κανονικό πολύγωνο. 6.5 Κύκλοι και τόξα Ας υπενθυμίσουμε τα στοιχεία εκείνα του κύκλου που είναι χρήσιμα για τις γεωμετρικές κατασκευές (εικ. 6.24). Κατ'αρχήν κύκλος είναι όλα τα σημεία ενός επιπέδου, που ισαπέχουν από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό αυτό σημείο λέγεται κέντρο του κύκλου. Το εσωτερικό του κύκλου λέγεται κυκλικός δίσκος. Χορδή του κύκλου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του. Η χορδή του κύκλου που περνάει από το κέντρο του, λέγεται διάμετρος του κύκλου. Τόξο είναι κάθε τμήμα του κύκλου (κυκλικό τόξο) ή άλλης καμπύλης γραμμής. Τέλος, εφαπτομένη είναι η ευθεία που περνά από ένα συγκεκριμένο σημείο του κύκλου και είναι κάθετη στην ακτίνα του κύκλου που περνά από το σημείο αυτό. ε/κ. 6.24
11 6.5.1 Κατασκευή κύκλου που περνά από τρία δοσμένα σημεία. Εύρεση του κέντρου ενός κύκλου. (εικ. 6.25) α. Δίδονται τρία σημεία Α, Β και Γ β. Φέρω τις μεσοκαθέτους των ευθύγραμμων τμημάτων ΑΒ και ΑΓ που τέμνονται στο Ο. Με κέντρο το Ο και ακτίνα ίση με OA ή ΟΒ γράφω το ζητούμενο κύκλο. Αν δίνεται ο κύκλος και ζητώ το κέντρο του, αφού πάρω τρία τυχαία σημεία Α, Β, Γ πάνω στον κύκλο, εφαρμόζω την παραπάνω μέθοδο Κατασκευή εφαπτομένης ευθείας σε κύκλο ή σε τόξο που περνά από σημείο Α I. Όταν το σημείο Α βρίσκεται πάνω στον κύκλο (εικ. 6.26), αρκεί να φέρω την αντίστοιχη ακτίνα του κύκλου που περνά από το Α και στη συνέχεια να χαράξω κάθετη στην ακτίνα αυτή στο σημείο Α. εικ II. Όταν το σημείο Α βρίσκεται έξω από τον κύκλο (εικ. 6.27) α. Δίδεται κύκλος και σημείο Α εκτός αυτού. β. Ενώνω το σημείο Α με το κέντρο Ο του κύκλου και φέρω την μεσοκάθετη του OA, που περνά από το σημείο Μ. γ. Με κέντρο το Μ και ακτίνα r ίση με ΟΜ κατασκευάζω κύκλο, που τέμνει τη δοσμένη στα σημεία Γ και Β. Οι ευθείες ΑΓ και ΑΒ εφάπτονται στον κύκλο. εικ. 6.27
12 Και οι δύο αυτές κατασκευές μπορούν να γίνουν απλούστερα με τη χρήση χάρακα και τριγώνου (εικ. 6.28). εικ Κατασκευή κυκλικού τόξου (ή κύκλου). I. Κατασκευή κυκλικού τόξου ή κύκλου που εφάπτεται σε συγκεκριμένο σημείο δοσμένης ευθείας (εικ. 6.29) α. Δίδεται η ευθεία (ε), σημείο Α πάνω σ'αυτήν και η ακτίνα R του ζητούμενου τόξου, β. Φέρω κάθετη στην (ε) στο σημείο Α και παίρνω πάνω της τμήμα AO ίσο με την ακτίνα R. Με κέντρο το Ο και ακτίνα R γράφω κύκλο ή τόξο. εικ II. Κατασκευή κυκλικού τόξου ή κύκλου που εφάπτεται σε ευθεία και περνά από σημείο εκτός αυτής (εικ. 6.30) α. Δίδεται το σημείο Α, η ευθεία (ε) και η ακτίνα R του ζητούμενου τόξου, β. Με κέντρο το Α και ακτίνα R γράφω τόξο (χ). γ. Φέρω ευθεία (ε') παράλληλη στην (ε) σε απόσταση R, η οποία τέμνει το τόξο (χ) στο σημείο Ο. Με κέντρο το Ο και ακτίνα R γράφω το ζητούμενο τόξο.
13 III. Κατασκευή κυκλικού τόξου ή κύκλου που εφάπτεται σε κύκλο και περνά από συγκεκριμένο σημείο εκτός αυτού (εικ. 6.31) α. Δίδεται κύκλος Ο με ακτίνα r, το σημείο Α και η ακτίνα R του ζητούμενου τόξου, β. Γράφω τόξο (x) με κέντρο το Α και ακτίνα R. γ. Γράφω τόξο (x') στο σημείο Ο'. δ. Με κέντρο το Ο' και ακτίνα R κατασκευάζω το ζητούμενο τόξο. εικ ΕΦΑΡΜΟΓΗ πώμα IV. Κατασκευή κυκλικού τόξου ή κύκλου που εφάπτεται σε δύο κύκλους (εικ. 6.32) α. Δίδεται ο κύκλος 01 με ακτίνα r1, ο κύκλος 02 με ακτίνα r2 και η ακτίνα R του ζητούμενου τόξου. β. Με κέντρο το 01 και ακτίνα r1 + R γράφω τόξο (x1) και με κέντρο το 02 και ακτίνα r2 + R γράφω τόξο (x2), που τέμνει το x1 στο Ο. γ. Με κέντρο το Ο και ακτίνα R κατασκευάζω το ζητούμενο τόξο.
14 V. Κατασκευή κυκλικού τόξου ή κύκλου που εφάπτεται σε κύκλο και σε ευθύγραμμο τμήμα (εικ. 6.33) α. Δίδεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, κύκλος Ο, με ακτίνα r και η ακτίνα R του ζητούμενου τόξου. β. Φέρω την ευθεία (ε) παράλληλη στην ΑΒ. σε απόσταση R από αυτήν, γ. Γράφω τόξο (χ), με κέντρο το 01 και ακτίνα r4- R, που τέμνει την (ε) στο Ο. Με κέντρο το Ο και ακτίνα R κατασκευάζω το ζητούμενο τόξο. VI. Κατασκευή κυκλικού τόξου ή κύκλου που εφάπτεται σε δύο παράλληλες ευθείες (εικ. 6.34) α. Δίδονται οι ευθείες (ε) και (ε') παράλληλες μεταξύ τους. β. Φέρω παράλληλη ευθεία (χ) προς τις (ε) και (ε'), που ισαπέχει από αυτές. Το κέντρο του ζητούμενου τόξου βρίσκεται πάνω στην (χ). ευθείες (εικ. 6.35) α. Δίδονται οι ευθείες (ε) και (ε') και η ακτίνα R του ζητούμενου τόξου, β. Φέρω τις ευθείες (x) και (x') παράλληλες αντίστοιχα προς τις (ε) και (ε'), σε απόσταση R από αυτές. Το σημείο τομής τους Ο είναι και το κέντρο του ζητούμενου τόξου.
15 ε/κ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ποτήρι Κατασκευή τόξου εγγεγραμμένου σε ορθή γωνία (εικ. 6.36) εικ Έλλειψη Η έλλειψη είναι η ορθή προβολή (βλ. κεφ. 9) του κύκλου όταν το επίπεδο του δεν είναι παράλληλο (εικ. 6.37α) ή κάθετο (εικ. 6.37β) με το επίπεδο προβολής. Πιο απλά, έλλειψη (εικ. 6.37γ) βλέπουμε, αν κοιτάξουμε υπό κλίση έναν κύκλο. ε/κ Η έλλειψη είναι μια καμπύλη γραμμή που προκύπτει από την τομή ορθού κυκλικού κώνου και επιπέδου το οποίο σχηματίζει οξεία γωνία με τον κύριο άξονά του και δεν τέμνει τη βάση του (εικ. 6.38).
16 ε/κ Η έλλειψη έχει δύο άξονες συμμετρίας, ε/κ κάθετους μεταξύ τους το μεγάλο που λέγεται κύριος άξονας και το μικρό που λέγεται δευτερεύων. Έχει επίσης δύο εστίες (εικ. 6.39). Μπορούμε να κατασκευάσουμε μία έλλειψη, αν γνωρίζουμε κάποια στοιχεία της συνήθως τους δύο άξονές της. Υπάρχουν πολλοί τρόποι κατασκευής, σ'αυτό το βιβλίο όμως θα περιοριστούμε στον απλούστερο. Χάραξη έλλειψης όταν δίδονται οι άξονες της (εικ. 6.40) α. Δίδονται οι άξονες ΑΒ και ΓΔ. β. Κατασκευάζω ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΕΘΗΖ με διαμέσους τις ΑΒ και ΓΔ. γ. Χωρίζω την AO και την ΑΕ σε ίδιο αριθμό ίσων τμημάτων. δ. Φέρω την Δ1 έως ότου τμήσει την Γ1', την ΔΖ έως ότου τμήσει την Γ2' κ.ο.κ. Τα σημεία τομής των ευθειών αποτελούν και σημεία της έλλειψης την οποία χαράσσω με τη βοήθεια καμπυλόγραμμου. ε/κ Υπάρχουν όργανα που κατασκευάζουν ελλείψεις, όπως είναι ο ελλειψογράφος, ή άλλα που δίνουν συγκεκριμένες ελλείψεις, όπως είναι το καμπυλόγραμμο (εικ. 6.41). ε/κ. 6.41
17 6.7 Ασκήσεις Στα παρακάτω αντικείμενα, μοτίβα, μέλη, θέματα α) να αναγνωριστούν οι γεωμετρικές κατασκευές και β) να αναφερθούν τα βήματα σχεδίασης. Στα παραδείγματα που θα επιλεγούν για σχεδίαση οι διαστάσεις και χαρακτηριστικά σημεία ή ευθείες - όπως κέντρα κύκλων ή τόξων, σημεία συναρμογής, άξονες κτλ. - θα προσδιοριστούν γραφικά ή κατ' εκτίμηση.
18
4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα
4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα Όταν όλες οι πλευρές και οι εσωτερικές γωνίες του πολύγωνου είναι ίσες, τότε λέγεται κανονικό
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Γεωμετρικές έννοιες
Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η
Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει
Διαβάστε περισσότεραΒ.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες
Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση της ενότητας αυτής ο/η μαθητής/τρια πρέπει: 1. Να σχεδιάζει γεωμετρικές καμπύλες (ελλειψοειδή, ωοειδή, παραβολή, υπερβολή, έλικα, σπείρα) εφαρμόζοντας τους
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές
Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.
Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου
Διαβάστε περισσότεραΚΥΚΛΟ. κάθετη στη χορδή ΑΒ. τη χορδή. του κέντρου Κ από. (βλέπε σχήμα).
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 1. Να κατασκευάσετε έναν κύκλο και να πάρετε μια χορδή του ΑΒ. Από το κέντρο Κ του κύκλου να φέρετε κάθετη στη χορδή ΑΒ η οποία τέμνει τη χορδή στο σημείο Μ. Να διαπιστώσετε με μέτρηση
Διαβάστε περισσότερα2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ
1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας
Διαβάστε περισσότεραΟι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη
Διαβάστε περισσότεραΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος
Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι
Διαβάστε περισσότερα3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ
Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών
Διαβάστε περισσότεραΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ( Κανονικά πολύγωνα ) Δραστηριότητα 1 : Θεωρούμε ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ ( τυχαίο μήκος ) και πάνω σε σ αυτόν παίρνουμε 5 διαδοχικά ίσα τόξα τα: AB, B Γ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ. Στην συνέχεια
Διαβάστε περισσότεραΣε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ
ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε
Διαβάστε περισσότεραΣωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα
Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1ο Γνωριμία με το σχέδιο
Περιεχόμενα Πρόλογος Περιεχόμενα Εισαγωγή Κεφάλαιο 1ο Γνωριμία με το σχέδιο 1.1 Ορισμός σχεδίου 1.2 Ελεύθερη σχεδίαση 1.2.1 Γνωριμία με το ελεύθερο σχέδιο 1.2.2 Ιστορική αναδρομή ελεύθερης σχεδίασης 1.2.3
Διαβάστε περισσότεραΤάξη A Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων
ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Σελίδα 37 Στο παρακάτω σχήμα σχεδιάστε την διάμεσο ΑΜ, την διάμεσο ΒΛ και την διάμεσο ΓΝ. Τι παρατηρείτε; Να κατασκευάσετε
Διαβάστε περισσότεραΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών
Διαβάστε περισσότερα«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης
Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις
Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
Διαβάστε περισσότεραΑν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)
. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία
Διαβάστε περισσότεραΤρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)
Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
Διαβάστε περισσότεραΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.
ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.
Διαβάστε περισσότερα1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα;
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα; Πρέπει να σχεδιάσουμε ένα τρίγωνο που τα μήκη των πλευρών του έχουν άθροισμα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία
Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη
Διαβάστε περισσότεραΚύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.
ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου
Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν
Διαβάστε περισσότεραφιλόλογος ΓΛΩΣΣΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Λία Μπουσούνη, ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΧΗΜΑΤΩΝ: Βάσια Καυκαλά, αρχιτέκτων
γραμμικό σχέδιο ΓΛΩΣΣΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Λία Μπουσούνη, φιλόλογος ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΧΗΜΑΤΩΝ: Βάσια Καυκαλά, αρχιτέκτων ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ-ΣΕΛΙΔΟΠΟΙΗΣΗ ΣΩΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΕΞΩΦΥΛΛΟΥ: Ελένη Φινέ, γραφίστας ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑ: Στέλιος Ντελής,
Διαβάστε περισσότερα(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ)
(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Περίμετρος ενός τριγώνου λέγεται το άθροισμα των μηκών των πλευρών του). Μια περίπτωση είναι οι πλευρές του να έχουν μήκος
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις: 1. Να αναγνωρίσετε και να ονομάσετε γεωμετρικά σχήματα στα παραπάνω στερεά.
1. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ, ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ a. Αναγνώριση και ονομασία Δραστηριότητα 1 1. Ας κατασκευάσουμε όσο το δυνατόν περισσότερες γραμμές μπορούμε να σκεφτούμε. 2. Έχουμε ξανασυναντήσει
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της
Διαβάστε περισσότεραΦύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II
1 Φύλλο 1 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II Στις δύο παρακάτω γραμμές από το περιβάλλον του λογισμικού αυτού η πρώτη αφορά γενικές επεξεργασίες και δεύτερη με τα εικονίδια περιλαμβάνει τις στοιχειώδεις
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
Διαβάστε περισσότεραΑ Γυμνασίου, Μέρο Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία
Α Γυμνασίου, Μέρο Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία Περιοδική Έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρο Β - Κεφάλαιο 2, Β. 2.2. Άξονα συμμετρία σχήματο ονομάζεται η ευθεία που χωρίζει
Διαβάστε περισσότερα1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:
Διαβάστε περισσότερα24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί
Διαβάστε περισσότεραΤο εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.
Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και
Διαβάστε περισσότεραΑρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε
Μαθηματικά Ε Τεύχος 3οο ΑΡΒΑΝΙΤΙΔΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝΙΔΗΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΑΚΡΙΒΟΠΟΥΛΟΥΥ ΓΕΩΡΓΙΑ Μαθηματικά Ε Μαθηματικά Ε Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Μάθημα 34 ο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,
Διαβάστε περισσότερα3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και
Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις
Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Να μπορείτε να Δίνετε τον ορισμό της Εφαπτομένης Χαράσσετε ε φαπτομένη σημείο Α περιφέρειας κύκλου Χαράσσετε ε φαπτομένη σε κ
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Να μπορείτε να Δίνετε τον ορισμό της Εφαπτομένης Χαράσσετε εφαπτομένη σε σημείο Α περιφέρειας κύκλου Χαράσσετε εφαπτομένη σε κύκλο από οποιοδήποτε σημείο Α εκτός κύκλου Χαράσσετε εξωτερικές
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό
Διαβάστε περισσότερα3, ( 4), ( 3),( 2), 2017
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H
Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι
Διαβάστε περισσότεραΓενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α
ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς
Διαβάστε περισσότερα1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.
1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Διαβάστε περισσότερα1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή
Διαβάστε περισσότερα1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; 2. Ποια είναι τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου;
ΜΕΡΟΣ Β : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ -ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1.1 Ισότητα τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Κυρια στοιχεια του τριγωνου ειναι: οι πλευρες του ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ οι γωνιες του Α,Β,Γ.
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)
Διαβάστε περισσότερα4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο
Διαβάστε περισσότεραΚωνικές Τομές: Η Γεωμετρία των Σκιών. Κοινή εργασία με τους Σπύρο Στίγκα και Δημήτρη Θεοδωράκη
Κωνικές Τομές: Η Γεωμετρία των Σκιών Κοινή εργασία με τους Σπύρο Στίγκα και Δημήτρη Θεοδωράκη Ιστορικά Η μεταφορά αντικειμένων του Χώρου των τριών διαστάσεων στο επίπεδο έχει τις ρίζες της στην προϊστορική
Διαβάστε περισσότερα«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης
Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 0-0-06 ΘΕΜΑ α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν
Διαβάστε περισσότερα