Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Transcript

1 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου

2 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις της και ίση με το ημιάθροισμα της. Μονάδες 15. ράψτε τα κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο παραλληλόγραμμο. Μονάδες 10 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) με = 30. ν, Ζ είναι τα μέσα των και να αποδείξετε ότι Ζ = Μονάδες 5 Να αποδείξετε ότι τα μέσα των ίσων πλευρών ισοσκελούς τριγώνου ισαπέχουν: i. πό τη βάση του Μονάδες 1 ii. πό τις ίσες πλευρές του Μονάδες 13 ίνεται το τραπέζιο ( // ) με =. και το σημείο τομής των και. Να αποδείξετε ότι: i. = Μονάδες 8 ii. ν το σημείο Μ είναι το μέσο της, οι Μ, διχοτομούνται Μονάδες 8 iii. Οι διαγώνιες του τραπεζίου τέμνονται πάνω στη Μ. Μονάδες 9

3 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 63. Να δείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα των γωνιών του είναι ίσο με δύο ορθές. Μονάδες 13. Να γράψετε τα τρία κριτήρια ισότητας δύο τυχαίων τριγώνων Μονάδες 6 C. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις: Το μέτρο μιάς εγγεγραμμένης γωνίας είναι ίσο με το του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι.. Κάθε επίκεντρη γωνία είναι.από την εγγεγραμμένη που βαίνει στο ίδιο τόξο Μονάδες 6 Στο τρίγωνο,οι Ι και Ι είναι διχοτόμοι των γωνιών και.κόμη είναι: Ι Ι// και Ι//.Να δείξετε ότι: a. Ι =90 + Μονάδες 1 b. = Ι + + Ι Μονάδες 13 Το τρίγωνο είναι ισοσκελές ( = ), με Μ = Ν και, οι προβολές των και πάνω στις Μ και Ν αντίστοιχα. Ν Να δείξετε ότι: 1. Μ = Ν Μονάδες 1. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές Μονάδες 13 Στο τρίγωνο είναι >. ν είναι το Μ μέσο της και η είναι κάθετη στη διχοτόμο Η της γωνίας του τριγώνου. Να δείξετε ότι: 1. = Μονάδες 13. o Μ = 90 + Η Μ Μονάδες 1

4 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 64. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. Μονάδες 13. ράψτε τα τέσσερα κριτήρια ώστε ένα τετράπλευρο να είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 1. Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε τη γωνία ˆφ. φ M 4cm Μονάδες 1,5 4cm. Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε τα χ και y. Ψ M 30 χ Μονάδες 1,5 5cm Σε ισοσκελές τρίγωνο ( = ), οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών και τέμνονται στο Η. Στις πλευρές και παίρνουμε σημεία και αντίστοιχα, ώστε = 1 3 και = 1 3. Να αποδειχθεί ότι: i. Η = Η Μονάδες 1 ii. Το τρίγωνο Η είναι ισοσκελές. Μονάδες 13 ίνεται τρίγωνο με <. Φέρουμε τη διχοτόμο Ζ. Η κάθετη από το στην Ζ τέμνει την Ζ στο και την στο. Να αποδειχθεί ότι: i. = - Μονάδες 8 ii. Μ =, όπου Μ το μέσο της. Μονάδες 8 iii. ˆ Μ = 90 + Μονάδες 9

5 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 65. Να αποδείξετε ότι: ένα τετράπλευρο να είναι παραλληλόγραμμο αν ισχύει μια από τις επόμενες προτάσεις: a. Οι απέναντι πλευρές του είναι ανά δύο ίσες. Μονάδες 8 b. Οι απέναντι γωνίες του είναι ανά δύο ίσες. Μονάδες 8. Να γράψετε στο τετράδιο σας τις προτάσεις συμπληρωμένες σωστά: a. Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας... και αντίστροφα.. b. Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος ανήκει στη... και αντίστροφα. c. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο οι... στη βάση γωνίες είναι... d. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι... και... Μονάδες ( ,5 + 1,5) ίνεται τρίγωνο με <. Η διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας της τέμνει την προέκταση της στο σημείο και η παράλληλη από το προς την τέμνει την στο. Να αποδείξετε ότι: a. = Μονάδες 1 b. = 90 + Μονάδες 13 Στο διπλανό σχήμα η ευθεία ε είναι εφαπτομένη του κύκλου (Ο, R). Να βρείτε τις γωνίες χ, ψ καθώς και το μέτρο του τόξου δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας χ Ο ε ψ Μονάδες 5 Στο τρίγωνο φέρνουμε το ύψος Η και τη διάμεσο Μ. Στις ημιευθείες Η και Μ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία, έτσι ώστε να είναι Η = Η και Μ = Μ. Να αποδειχθεί ότι: a. Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο b. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές c. Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο d. Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες ( )

6 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 66 a. Να αποδείξετε ότι: Η διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμα τους b. ίνεται το τραπέζιο με Μονάδες 1,5 = = 90 και = 60. ν = χ και = 8χ να υπολογίσετε την διάμεσο Ζ του τραπεζίου. Μονάδες 1,5 ίνεται ισοσκελές τρίγωνο με =. Προεκτείνουμε τη προς το μέρος του και παίρνουμε τυχαίο σημείο και προς το μέρος και παίρνουμε σημείο τέτοιο ώστε =. Φέρνουμε τα τμήματα Η και Ζ. Να αποδείξετε ότι: a. Τα τρίγωνα Ζ και Η είναι ίσα. b. Ζ = Η. Μονάδες 5 ίνεται παραλληλόγραμμο με =. Θεωρούμε Μ, Ν τα μέσα των πλευρών, αντίστοιχα και το τμήμα. Να δείξετε ότι: a. Το τετράπλευρο ΜΝ είναι ρόμβος. b. Το τρίγωνο ΜΝ είναι ισοσκελές Μονάδες 5 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) με = 30. Παίρνουμε τα σημεία,, Ζ μέσα αντίστοιχα των,, και στην προέκταση της Ζ τμήμα ΖΗ = Ζ. Να αποδειχθεί ότι: a. Το τετράπλευρο ΛΗ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο b. Το τετράπλευρο Ζ είναι ισοσκελές τραπέζιο Μονάδες 5

7 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 67. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. 13 Μονάδες. Χαρακτηρίστε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) μεταφέροντας την απάντηση στην κόλλα απαντήσεων. a. ν σε παραλληλόγραμμο δύο απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές, τότε αυτό είναι ορθογώνιο Σ Λ b. ν σε τραπέζιο δύο απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές, τότε αυτό είναι ισοσκελές Σ Λ a. Το τετράπλευρο που έχει ίσες διαγώνιους είναι ορθογώνιο Σ Λ Μονάδες 3 4 = 1 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) με = 60 και Μ η διάμεσος προς την υποτείνουσα. Φέρνουμε τις Μχ // και ψ //Μ και οι οποίες τέμνονται στο Ν. Να αποδείξετε ότι: a. Το τετράπλευρο ΝΜ είναι ρόμβος. Μονάδες 9 ψ Μ Ν b. MN = Μονάδες 8 χ c. Ν =90. Μονάδες 8 60 ίνεται το ισοσκελές τραπέζιο ( // ) με = α και = 3α. ν Μ και Ν είναι τα μέσα των διαγωνίων και αντίστοιχα., να αποδείξετε ότι: a. ΜΝ = α Μονάδες 10 3α Μ Ν α b. Το ΝΜ είναι ορθογώνιο. Μονάδες 15 ίνεται παραλληλόγραμμο ( > ) με = 45. πό το μέσο Μ της φέρνουμε κάθετη πάνω στη που τέμνει τις και (ή τις προεκτάσεις τους) στα σημεία και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: a. Το Ζ είναι τετράγωνο. Μονάδες 13 b. ν Η το σημείο τομής της με την, τότε το Ζ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες 1

8 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 68. Να δείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. Μονάδες 10. Να διατυπώσετε τον ορισμό και τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου. Μονάδες 5 C. Να συμπληρώσετε με λέξεις ή προτάσεις τα παρακάτω κενά: a. Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι ίση Μονάδες b. Το παραλληλόγραμμο που έχει μια γωνία ορθή λέγεται Μονάδες c. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι Μονάδες D. Να χαρακτηρίσετε σαν σωστό ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) ότι: a. Σε κάθε τραπέζιο, τα μέσα των διαγωνίων και τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών είναι συνευθειακά. Μονάδες b. Οι διαδοχικές γωνίες ενός παραλληλόγραμμου είναι παραπληρωματικές. Μονάδες Παραλληλόγραμμου τα σημεία και Η είναι οι προβολές των κορυφών και στην διαγώνιο. Να δείξετε ότι: a. Τα τρίγωνα και Η είναι ίσα. Μονάδες 10 b. Το τετράπλευρο Η είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 15 Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών και ισοσκελούς τριγώνου παίρνουμε τα ίσα τμήματα και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: a. = και = Μονάδες 6 b. = και = Μονάδες 6 c. ν το Ο είναι σημείο τομής των και, τα τρίγωνα Οκαι Ο είναι ισοσκελή. Μονάδες 8 d. Η διχοτόμος της γωνίας διέρχεται από το Ο. Μονάδες 5 ίνεται ορθό τραπέζιο ( o = = 90 ) με = και = 3.Φέρνουμε που τέμνει την στο σημείο Κ και την που τέμνει την στο Λ. Να δείξετε ότι: a. o = 45 Μονάδες 8 b. = Μονάδες 10 c. ΚΛ = 4 Μονάδες 7

9 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 69. Να αποδείξετε ότι η διχοτόμος μιας γωνίας τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά εσωτερικά σε λόγο ίσο με το λόγο των προσκείμενων πλευρών. Μονάδες 11. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή ή Λάθος κάθε μια από τις επόμενες προτάσεις : 3. Το άθροισμα των γωνιών ενός πενταγώνου είναι 6 ορθές. 4. Οι διαγώνιες ενός παραλληλογράμμου διχοτομούν τις γωνίες του. 5. αρύκεντρο είναι το σημείο τομής των υψών. 6. Ένα τετράγωνο είναι ρόμβος. Μονάδες 14 Στις προεκτάσεις των πλευρών και τριγώνου παίρνουμε αντίστοιχα τα τμήματα: = και =. Να αποδείξετε ότι //. Μονάδες 5 ν η διχοτόμος τριγώνου τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο σημείο.να αποδείξετε ότι: = Μονάδες 5 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με =90 ο και έστω, τα μέσα των πλευρών του και αντίστοιχα. πό το μέσο Ζ του τμήματος φέρουμε παράλληλη στην που τέμνει τη στο σημείο Η. ν ισχύει 3 = 8ΖΗ τότε να αποδείξετε ότι: ) // = Μονάδες 5 ) ΖΗ = 3 4 Μονάδες 8 ) = 30 Μονάδες 1

10 b. = Μονάδες 1,5 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 70. Να αποδείξετε ότι: Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρνουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας ισούται με το μισό της υποτείνουσας. Μονάδες 13. Στα παρακάτω σχήματα να υπολογίσετε τα τμήματα χ, y και τις γωνίες ω, φ. ω Ψ M M φ χ ω 60 4cm Μονάδες 1 ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ). Στις προεκτάσεις των και παίρνουμε αντίστοιχα τα ίσα τμήματα και Να αποδείξετε ότι: a. =. Μονάδες 1,5 ν και Ζ είναι αντίστοιχα τα μέσα των πλευρών, παραλληλογράμμου να αποδείξετε ότι οι και Ζ τριχοτομούν τη διαγώνιο : Μονάδες 5 ίνεται τρίγωνο και το ύψος του Η. ν,, Ζ είναι αντίστοιχα τα μέσα των πλευρών,, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΖΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες 5

11 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 71. Τι ονομάζεται διάμεσος και τι διχοτόμος ενός τριγώνου; Μονάδες 7. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ορθές. Μονάδες 10. Να γράψετε με τι ισούται το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών και με τι ισούται το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού ν - γώνου. Μονάδες 8. Σε ένα τρίγωνο, το είναι το μέσο της πλευράς και το είναι το μέσο της πλευράς. ν = +, να βρείτε το μήκος του. Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε 1, ε, ε 3 και ε 4 είναι παράλληλες Να βρείτε τα χ, ψ. ε 1 e ε 3 ε 4 ψ Μονάδες 5 χ 6 3. Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε 1, ε και ε 3 είναι παράλληλες Να βρείτε τα χ, ψ. Μονάδες 10. ν οι και είναι διάμετροι του ίδιου κύκλου, να αποδείξετε ότι =. Μονάδες 10. Ισοσκελές τρίγωνο ( = ) με = 40 είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R). ν η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο τέμνει την προέκταση στο σημείο, να βρείτε τις γωνίες, Ο και. Μονάδες 15. Υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών 4cm, 5cm και 6cm; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. Μονάδες 10. Θεωρούμε την ευθεία ε και τα σημεία, από το ίδιο μέρος της ε. ν είναι το συμμετρικό του ως προς την ε, Μ είναι το σημείο τομής της με την ε και το Ν είναι ένα άλλο σημείο της ε, να δείξετε ότι: a. Μ = Μ b. Ν = Ν c. Μ + Μ < Ν + Ν Μονάδες 15 ε 1 ε ε 3 4 χ 1,5 ψ 3 4

12 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 7. i) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ορθές. Μονάδες 9 ii) Στα παρακάτω σχήματα οι ευθείες ε και ζ είναι παράλληλες. Σε κάθε στοιχείο της γραμμής (γωνία) να αντιστοιχήσετε το αντίστοιχο της γραμμής (μέτρο της) Μονάδες 3 = 6 ε ζ ραμμή ω η 110 ζ η ε φ 1. ω. φ 3. χ + ψ ραμμή α. 155 β. 3 γ. 80 δ. 10 ε. 45 ζ. 14 η. 54 θ. 70. i) ν σε τρίγωνο η εξωτερική γωνία της και οι εσωτερικές γωνίες της και έχουν άθροισμα 180 τότε το τρίγωνο είναι: α. αμβλυγώνιο με o > 90, β. οξυγώνιο, γ. ορθογώνιο στο, δ. ορθογώνιο στο, ε. ορθογώνιο στο Μονάδες 5 ii) ν το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου είναι 1800 τότε το πλήθος των πλευρών του είναι: α. 8, β. 1, γ. 0, δ. 16, ε. 40 Μονάδες 5 Με τη βοήθεια του σχήματος που ακολουθεί στο οποίο είναι Μ = Μ, Μ = Μ και = να αποδείξετε ότι: α ) Τα τρίγωνα Μ και Μ είναι ίσα και να γράψετε τις γωνίες τους που είναι αντίστοιχα ίσες. Μονάδες 5 β) Το τρίγωνο Ο είναι ισοσκελές. Μονάδες 3 γ) Μ = Μ Μονάδες 5 Ο δ) Τα τρίγωνα ΚΜ και ΜΛ είναι ίσα. Μονάδες 5 Κ Λ ε) Το τρίγωνο ΚΟΛ είναι ισοσκελές. Μονάδες 7 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( o = 90 ) είναι = και Μ διάμεσος. Μ α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. Μονάδες 4 β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο Μ είναι ισόπλευρο. Μονάδες 4 γ) ν η κάθετη από την κορυφή προς την διχοτόμο της εξωτερικής γωνίας της τέμνει την πλευρά στο σημείο, τότε: Μ i) Να δικαιολογήσετε γιατί το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Μονάδες 7 ii) Να υπολογίσετε την γωνία. Μονάδες 7 iii) Να αποδείξετε ότι =. Μονάδες 3 Σο τρίγωνο με ( o o =90 ) είναι =30. Έστω το μέσο της, μέσο της, Ζ μέσο της και Ι μέσο της. Προεκτείνουμε την Ζ κατά τμήμα ΖΗ = Ζ. Να δείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο Η είναι ορθογώνιο παρ/μο, β) Το τετράπλευρο Ζ είναι ισοσκελές τραπέζιο, Ι 30 γ) Τα τμήματα Η, διχοτομούνται στο σημείο Θ, Θ δ) Το τετράπλευρο ΖΙ είναι ρόμβος με κέντρο το Θ. Ζ Μονάδες = 5 ε ζ ψ η χ + 5 Η

13 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 73. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Σε κάθε περίπτωση να κάνετε σχήματα και να σημειώσετε τα ίσα στοιχεία.. Στο τρίγωνο, να επιλέξετε την σωστή απάντηση. i. ν ˆ = ˆ + ˆ, τότε το τρίγωνο είναι: α) Οξυγώνιο, β) Ορθογώνιο στο, γ) Ισοσκελές, δ) Ορθογώνιο στο ii. ν ˆ = χ και ˆ = χ 90 τότε η γωνία ˆ είναι ίση με: α) 160 ο χ, β) 180 ο χ, γ) 00 ο 3χ, δ) 180 ο + 3χ iii. ν είναι ισοσκελές με ˆ > 90 ο α) ˆ = 45 ο β) 45 ο < ˆ < 90 ο γ) ˆ > 90 ο δ) ˆ < 45 ίνεται τρίγωνο. Φέρτε τα ύψη και. ν Ζ το μέσον της να αποδείξετε ότι το τρίγωνο Ζ είναι ισοσκελές. ίνεται ορθογώνιο. ν οι κάθετες από τα και στην, την τέμνουν στα σημεία και Ζ αντίστοιχα, να δείξετε ότι :. = Ζ. Το Ζ είναι παραλληλόγραμμο. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με ˆ = 90 ο. Φέρνουμε την διχοτόμο της γωνίας ˆ η οποία τέμνει την στο. πό το φέρνουμε κάθετη στην που τέμνει την στο. είξτε ότι:. Το είναι εγγράψιμο. =

14 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 74. Να κυκλώσετε το (Σ) ή το (Λ) αν συμφωνείτε ή διαφωνείτε με τις παρακάτω προτάσεις αντίστοιχα. i. H διάμεσος ενός τραπεζίου ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων του. Σ Λ ii. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. Σ Λ iii. Οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα και είναι ίσες. Σ Λ iv. ν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και μία γωνία του ενός είναι ίση με την αντίστοιχη του άλλου τότε είναι ίσα Σ Λ v. Σε ίσα τόξα του ίδιου κύκλου αντιστοιχούν ίσες χορδές. Σ Λ. Να αποδειχθεί ότι:ν σε ορθογώνιο τρίγωνο μία γωνία του ισούται με 30 ο τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας. Να αποδείξετε ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του είναι ίσα. Σ ένα εγγράψιμο τετράπλευρο είναι o =10 και o εξ = 80.Να υπολογίσετε τις γωνίες,, του τετραπλεύρου. ίνεται τρίγωνο και το ύψος του Η. ν, και Ζ είναι τα μέσα των, και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΖΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

15 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 75. Να δείξετε ότι, αν σ ένα ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30, η απέναντι πλευρά του είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Μονάδες 13 C. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ) κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις. vi. ωνίες με πλευρές παράλληλες είναι ίσες. vii. ν μια διάμεσος τριγώνου είναι και ύψος του το τρίγωνο είναι ισοσκελές. viii. ν ένα τετράπλευρο έχει δύο απέναντι πλευρές του παράλληλες είναι παραλληλόγραμμο. ix. ν ή διάμεσος τριγώνου ισούται με το μισό της αντίστοιχης πλευράς της, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο Μονάδες 1. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση: i. Ίσες διαγώνιες έχει: α: Το τραπέζιο, β: Ο ρόμβος, γ: Το παραλληλόγραμμο δ: Το ορθογώνιο ii. ν σε τρίγωνο η Μ είναι διάμεσος και το Κ βαρύκεντρο, τότε: α: K = KM, β: K = KM, γ: M = 3K δ:3κμ =Μ iii. ν είναι = = και 1 = 40 τότε η είναι: 1 α: 30, β: 35, γ: 40 δ: 45 iv. ν είναι ε 1 // ε και 1 = χ +10, 1 = χ 10, ε 1 1 τότε η είναι: α: 130, β: 10, γ: 110 δ: 15 ε 1 Μονάδες 1. Σε ισοσκελές τραπέζιο με // είναι: = 5α, = 3α και = 60. Να γίνει το σχήμα και να υπολογίσετε την περίμετρο του. Μονάδες 13. Στο διπλανό παραλληλόγραμμο, να υπολογίσετε τα χ και ω. χ + 7 Μονάδες 1. Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) είναι: ω Η διχοτόμος της η // και η μεγαλύτερη κατά 0 από την. Να υπολογίσετε τις γωνίες ω και φ. Μονάδες 13 Στο παραλληλόγραμμο είναι = 10 και η διχοτόμος της τέμνει την στο μέσο της σημείο. να αποδείξετε ότι: i. = Μονάδες 5 3χ + 5 ii. = Ζ όπου Ζ ή απόσταση του από την.. Μονάδες 10 iii. = 90 Μονάδες 10 ω ω φ

16 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 76. Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα. Μονάδες 15. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη «Σωστό» αν η πρόταση είναι σωστή και «Λάθος» αν η πρόταση είναι λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. a. Οι διαγώνιες ενός οποιουδήποτε παραλληλογράμμου διχοτομούν τις γωνίες του. Μονάδες 0 b. Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι παραπληρωματικές. Μονάδες 0 c. Ένα τετράπλευρο που έχει μια γωνία ορθή είναι ορθογώνιο. Μονάδες 0 d. Ένα παραλληλόγραμμο που οι διαγώνιοί του είναι ίσες και κάθετες είναι τετράγωνο. Μονάδες 0 e. ύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες αλλά η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία είναι παραπληρωματικές. Μονάδες 0 ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ). Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών και προς το μέρος των και αντίστοιχα, θεωρούμε τα ίσα τμήματα και. ν η Μ είναι διάμεσος του τριγώνου, να δείξετε ότι το τρίγωνο Μ είναι ισοσκελές. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Μονάδες 5 o ˆ = 90.ν είναι το ύψος προς την υποτείνουσα, η διχοτόμος της γωνίας και Ζ το σημείο τομής των, να αποδείξετε ότι : a. E = o ˆ 90 Μονάδες 10 b. Το τρίγωνο Ζ είναι ισοσκελές. Μονάδες 15 Στο τρίγωνο με < το σημείο Μ είναι μέσο της και η διχοτόμος. Φέρνουμε την κάθετη από το στην, που τέμνει την στο σημείο και την στο Ζ. Να αποδείξετε ότι : a. Το τρίγωνο Ζ είναι ισοσκελές. Μονάδες 06 b. Μ // και Μ = Μονάδες 15 c. EM = ˆ Μονάδες 04

17 b. = Μονάδες 1 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 77. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ορθές.. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις: iv. Οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες. v. Η διάμεσος ενός ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της υποτείνουσας. vi. Η διάμεσος τραπεζίου ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων του. vii. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το διπλάσιο της αντίστοιχης της επίκεντρης ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ). Να αποδείξετε ότι οι διάμεσοι του και είναι ίσες. Σε τυχαίο τρίγωνο φέρνουμε την εσωτερική του διχοτόμο και από την κορυφή φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς την που τέμνει την προέκταση της πλευράς στο σημείο. Να αποδείξετε ότι: a. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές Μονάδες 13 b. = + Μονάδες 1 ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και τα ύψη του και. Να δείξετε ότι: a. Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Μονάδες 13

18 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 78 a. Να. δώσετε τον ορισμό του ορθογωνίου. b. Να αποδείξετε ότι οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες Στο διπλανό σχήμα είναι = και =. a. Να συγκρίνετε τα ζευγάρια των τριγώνων Η και Κ, Η και Μ b. Να δείξετε ότι Κ = Μ ίνεται το παραλληλόγραμμο και το ύψος του. ν Κ, Λ είναι τα μέσα των και αντίστοιχα να δείξετε: a. Το ΚΛ είναι τραπέζιο. b. Το ΚΛ είναι ισοσκελές. Μονάδες 7 Μονάδες = 18 Μονάδες 17 Μονάδες 8 Μονάδες 10 Μονάδες 15 Στο τρίγωνο με < η είναι διχοτόμος και το σημείο είναι η προβολή του σημείου στην. ν το σημείο Μ είναι το μέσο της να δείξετε: a. Μ // Μονάδες = 15 b. Μ = Μονάδες = 10

19 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 79 a. Τι γνωρίζετε για το άθροισμα γωνιών τριγώνου; ποδείξτε το σχετικό θεώρημα. b. Τι ισχύει για το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών κυρτού ν- γώνου και τι για το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών του; Μονάδες ν στο παρακάτω σχήμα είναι ε 1 //ε //ε 3, να βρείτε τα x και y ε ε 1 ε ,5 χ ψ Μονάδες 5 ίνεται τετράγωνο. Στις πλευρές,,, παίρνουμε σημεία Κ, Λ, Μ, Ν, αντίστοιχα τέτοια ώστε Κ = Λ = Μ = Ν. Να αποδείξετε ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο. Μονάδες 5 πό εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου κέντρου Ο, φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα Ρ και Ρ,. ν Μ είναι ένα εσωτερικό σημείο του ευθυγράμμου τμήματος ΟΡ να αποδείξετε ότι ΜΡ = ΜΡ Μονάδες 5

20 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 80. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ορθές Μονάδες 1, 5. Σε τρίγωνο τα μέτρα των γωνιών και είναι φ και φ αντίστοιχα, ενώ η εξωτερική γωνία της είναι 16. Τότε η φ ισούται με: Μονάδες 1, 5 Έστω ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και τα ύψη του,. Να αποδείξετε ότι: 1) Tα τρίγωνα και είναι ίσα Μονάδες 9 ) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο Μονάδες 7 3) Τα τμήματα και είναι ίσα. Μονάδες 9 ίνεται κύκλος κέντρου Κ, η εφαπτομένη (ε) σε ένα σημείο του και ένα σημείο Ρ της (ε). πό το Ρ φέρνουμε μια ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία και. ν η διχοτόμος της γωνίας τέμνει τη χορδή στο, να αποδείξετε ότι: Ρ = Ρ. Μονάδες 5 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( =90 ) με τη γωνία του να είναι ίση με 30. Έστω μέσο της, μέσο της, Ζ μέσο της και Ι μέσο της. ν προεκτείνουμε την Ζ κατά τμήμα ΖΗ = Ζ, τότε να δείξετε ότι: 1) Το τετράπλευρο Η είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Μονάδες 6, 5 ) Το τετράπλευρο Ζ είναι ισοσκελές τραπέζιο Μονάδες 6, 5 3) Τα τμήματα Η και διχοτομούνται Μονάδες 6, 5 4) Το τετράπλευρο ΖΙ είναι ρόμβος Μονάδες 6, 5

21 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη Συμπληρώστε το θεώρημα. Η διάμεσος τραπεζίου είναι προς τις βάσεις του και ίση με το...τους. Μονάδες 4. Να αναφέρετε τις ιδιότητες του ισοσκελούς τραπεζίου. Μονάδες 5 1. Να δείξετε ότι η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Μονάδες 7. Στο ορθογώνιο τρίγωνο (= 90 ) το σημείο είναι μέσο της το σημείο μέσο της και η γωνία ίση με 30.ν είναι ακόμη = 1 και Κ το μέσο του. Να υπολογίσετε τα ευθύγραμμα τμήματα,, Κ (ιτιολόγηση). Μονάδες 9 Στο παρακάτω σχήμα το είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, ρ). ν είναι = 60 = 80 0 και ευθεία ε εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο. Να υπολογίσετε αιτιολογώντας τις γωνίες. ε Μονάδες 7 Ο χ ε Μονάδες 8 χ Μονάδες 10 ίνεται τρίγωνο και το ύψος του. ν είναι η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου, να δείξετε ότι παράλληλο στο. Μονάδες 5 Σε τετράγωνο προεκτείνουμε την κατα τμήμα και την κατα τμήμα Ζ =. Να δείξετε οτι: i. Ζ = Μονάδες 10 ii. Ζ Μονάδες 15

22 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 8. Να υπολογισθούν τα χ,ψ.ω των παρακάτω σχημάτων. a. Ένας ρόμβος με όλες τις γωνίες ίσες είναι τετράγωνο. Σ ή Λ. b. Ένα παραλληλόγραμμο με κάθετες διαγώνιες είναι ρόμβος. Σ ή Λ. c. Ένα τραπέζιο με ίσες διαγώνιες είναι ρόμβος. Σ ή Λ. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα και ύψος. ν κάθετη στην να αποδειχθεί ότι = Προεκτείνουμε τις διάμεσους και τρίγωνου αντίστοιχα κατά τμήματα Μ = και Ν =. Να αποδείξετε ότι το Μ είναι παραλληλόγραμμο, το μέσο του ΝΜ και τα σημεία Ν,, Μ συνευθειακά Στις πλευρές τρίγωνου έχουμε τα τετράγωνα και ΖΗ. ν Ρ το σημείο τομής των Η και Η να αποδειχθεί ότι: a. τα τρίγωνα Η και είναι ίσα, b. το τετράπλευρο Ρ είναι εγγράψιμο Ρ Ζ c. και τα τμήματα Η και είναι κάθετα μεταξύ τους.

23 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 83. ποδείξτε πως η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Μονάδες 16. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα που αναφέρεται στους κύκλους (Κ, R), (Λ, ρ) με R > ρ και στη διάκεντρο ΚΛ = δ αφού τον αντιγράψετε στην κόλλα σας. Σχέση αθροίσματος ακτίνων Σχετική θέση των κύκλων και διακέντρου R ρ < δ < R + ρ R + ρ = δ φάπτονται εσωτερικά Μονάδες 3 3 = 9 Σε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε τη σωστή απάντηση 1) Τρεις ίσοι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά. Το τρίγωνο που έχει ως κορυφές τα κέντρα των κύκλων και πλευρές τις διακέντρους είναι: ) Ορθογώνιο, ) Ισοσκελές, ) μβλυγώνιο, ) Ισόπλευρο, ) Κανένα από τα προηγούμενα Μονάδες 6 40 ) ν στο διπλανό σχήμα είναι: η εφαπτομένη του κύκλου, ˆ = 40 και =60 60, τότε: ι) Ισχύει ότι η γωνία =10 Ο Σωστό Λάθος Μονάδες 3 ιι) Η γωνία είναι ίση με: ) 40, ) 50, ) 60, ) 70, ) Κανένα από τα προηγούμενα. Μονάδες 4 3) Στο παρακάτω σχήμα οι ημιευθείες χ, ψ και χ ζ είναι παράλληλες και ακόμη ψ = 3α +15, ζ ω ψ = α. 45 3α+15 α Τότε η γωνία ω είναι ίση με : ζ ) 110 ) 1 ) 111 ) 100 ) Κανένα από τα προηγούμενα Μονάδες 6 4) ν σε ορθογώνιο ισχύει ότι = 8, =60, = x και = x +, η περίμετρος του είναι: ) 18, ) 0, ) 4, ) 30, ) Κανένα από τα προηγούμενα Μονάδες 6 Έστω κύκλος (Ο, R) και οι ακτίνες του Ο και Ο. Φέρνουμε τη διχοτόμο Οχ της γωνίας Ο και μια χορδή ΜΝ Οχ η οποία τέμνει τις Ο, Ο και Οχ στα, και Κ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι : ι) Ο = Ο Μονάδες 9 ιι) = Μονάδες 6 ιιι) Μ = Ν Μονάδες 10 Στο τραπέζιο με o = = 90 τα, Ζ είναι μέσα των πλευρών και και ισχύει = =. Να δείξετε ότι: ι) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο. ιι) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. ιιι) Η γωνία είναι ιν) Ζ ν) Το τετράπλευρο Ζ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες = 5 Z

24 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 84. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 ο. Μονάδες 13. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλα σας " Σωστό " ή " Λάθος " δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Κάθε τετράγωνο είναι και ρόμβος. β. Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο η διάμεσος είναι παράλληλη προς τις βάσεις του τραπεζίου και ίση με την διαφορά των βάσεων. γ. ν στο ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ο ) του σχήματος, είναι = 30 ο τότε =. Μονάδες Τι ονομάζουμε α. βαρύκεντρο τριγώνου β. περίκεντρο τριγώνου. ν στο διπλανό σχήμα είναι =, = 40 και x εφαπτομένη του κύκλου στο, να υπολογίσετε την γωνία χ και το μέτρο του τόξου Μ.. ν στο διπλανό σχήμα είναι =, η x διχοτόμος της γωνίας και η γωνιά χ = 55 ο, να υπολογίσετε την γωνία του τριγώνου. Σε τρίγωνο με =3 η μεσοκάθετος της τέμνει την στο. α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Μονάδες 7 β. Να υπολογίσετε τη γωνία συναρτήσει της γωνίας του τριγώνου. Μονάδες 9 γ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Μονάδες 9 x 40 Ο Μ Μονάδες 6 Μονάδες 13 Μονάδες 1 Σε τρίγωνο ( < ) προεκτείνουμε το ύψος Η κατά τμήμα Η και την διάμεσο Μ κατά τμήμα ΜΝ έτσι ώστε Η = Η και Μ = ΜΝ. α. Να συγκρίνετε τα τμήματα και Ν. Μονάδες 7 β. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Μονάδες 8 γ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο Ν είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες x Η Μ Μ Ν

25 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 85 a. Να αποδείξετε ότι: ν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή. b. Να αναφέρετε τα κριτήρια για να είναι ένα τραπέζιο ισοσκελές. ίνεται τρίγωνο και το ύψος του Η. ν,, Ζ είναι τα μέσα των,, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΖΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Σε τρίγωνο προεκτείνουμε τη διάμεσο Μ κατά ίσο τμήμα Μ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα. ίνεται παραλληλόγραμμο. Έστω Μ το μέσο της και Ν το μέσο της. Τα τμήματα Ν και Μ τέμνονται στο Ρ και τα τμήματα Μ και Ν τέμνονται στο Σ. Να αποδείξετε ότι το ΜΡΝΣ είναι παραλληλόγραμμο.

26 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 86 a. Να αποδείξετε ότι: η διάμεσος του τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμα τους. b. ράψτε τα τρία κριτήρια ισότητας των τριγώνων Μονάδες 13 Μονάδες 1 a. Συμπληρώστε τα μέτρα των γωνιών χ, ψ στους κύκλους (Κ, ρ 1 ) και (Λ, ρ ): χ = χ = ψ = ω ψ = ω = ψ o Κ 48 o χ ω = 3 ω Λ ψ Μονάδες 6,5 Μονάδες 6,5 χ b. i. ν το είναι παραλληλόγραμμο και 1 = 15 η γωνία ω έχει μέτρο: o 50 o 30 ω 1 ii. Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο και τα τόξα = 80 και = 60. Μονάδες 6,5 o 80 χ Η γωνία χ ισούται με o Μονάδες 6,5 Θεωρούμε τρίγωνο. Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει τη μεσοκάθετο της στο σημείο. Έστω και Ζ οι προβολές του στις πλευρές και αντίστοιχα. Να δείξετε ότι = Ζ Θέμα 4 Στο παραλληλόγραμμο είναι = 10 και η διχοτόμος της τέμνει την στο μέσο της. Να αποδείξετε ότι i. = Μονάδες 5 ii. = Ζ όπου Ζ η απόσταση του από την Μονάδες 10 iii. = 90 Μονάδες 10

27 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 87. ν ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές να αποδείξετε ότι: i. Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση του είναι ίσες. Μονάδες 6 ii. Οι διαγώνιοι του είναι ίσες. Μονάδες 6. Σε ισοσκελές τραπέζιο με // είναι: = 5α = 3α και = 60. Να υπολογίσετε την περίμετρο του. Μονάδες 13. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) κάθε μια από τις επόμενες προτάσεις i. ωνίες με πλευρές παράλληλες είναι πάντα ίσες ii. ν η διάμεσος τριγώνου είναι και ύψος το τρίγωνο είναι ισοσκελές iii. ν η διάμεσος τριγώνου ισούται με το μισό της αντίστοιχης πλευράς το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. iv. Κάθε τετράπλευρο με δύο απέναντι πλευρές παράλληλες είναι παραλληλόγραμμο.. ν σε τρίγωνο είναι = και η μεγαλύτερη της κατά 0 τότε η ισούται α. 30, β. 31, γ. 3, δ. Κανένα από τα προηγούμενα Μονάδες 4 x 3 = 1 ικαιολογήστε την :πάντηση σας. Μονάδες 13 ίνεται τρίγωνο και τα ύψη του,. ν Μ το μέσο της και Ν το μέσο της να δείξετε ότι: i. Το Τρίγωνο Μ είναι ισοσκελές Μονάδες 16 ii. ΜΝ Μονάδες 9 Θεωρούμε τραπέζιο με = = 90, και =. Φέρνουμε το ύψος. Να δείξετε ότι: a. Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο b. Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο c. ν Η, Θ είναι τα σημεία τομής των και, και αντίστοιχα να δείξετε ότι ΗΘ = // 4. Μονάδες

28 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 88. είξτε ότι η διάμεσος του τραπεζίου είναι παράλληλα προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμα τους Μονάδες 13. ίνεται το τραπέζιο ( // ) με =3α και = α. ν και Ζ είναι τα μέσα των και και Μ το μέσο της Ζ δείξτε ότι το τετράπλευρο Μ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 1 Σημειώστε στο γραπτό σας την σωστή απάντηση.. Σε κάθε τρίγωνο το σημείο που ισαπέχει από τις κορυφές του είναι: α. Το σημείο τομής των υψών. β. Το σημείο τομής των μεσοκαθέτων γ. Το σημείο τομής των διχοτόμων δ. Κανένα από αυτά τα σημεία. Μονάδες 5. ν ε 1 // ε, 1 = χ + 10 και 1 = χ 10 τότε η είναι: α. 130 β. 10 γ. 110 δ ν είναι = = και 1 = 40 τότε η είναι: α. 30 β. 35 γ. 40 δ ε ε Μονάδες 5. ν είναι = 90, Μ = Μ, = ω και = ω τότε η φ είναι: Μονάδες 5 φ α. 50 β. 40 γ. 35 δ ν το ( // ) είναι ισοσκελές τραπέζιο με = 4χ, = χ και = 45 τότε το ύψος του τραπεζίου είναι: α. 4χ β. 3χ γ. χ δ. χ 3. 0,5χ τρίγωνο Να δείξετε ότι αν τα τρίγωνα και έχουν =, υ α = υ α και υβ = υ β ω Μ Μονάδες 5 x 4x Μονάδες 5 είναι ίσα. Μονάδες 5 Στο τρίγωνο ( > ) η είναι διχοτόμος της. Φέρνουμε το ω 45 ο που τέμνει την στο Ζ. ν Μ το μέσο της να δείξετε ότι: ) Το Z είναι ισοσκελές, ) Μ =, ) Μ = Μονάδες

29 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη Να δώσετε τον ορισμό του παραλληλογράμμου, Μονάδες. Να αποδείξετε ότι οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες. Μονάδες 8. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση για κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις: 1. Ίσες διαγώνιους έχει:. το τραπέζιο,. ο ρόμβος,. το παραλληλόγραμμο,. το ορθογώνιο.. ίνεται τρίγωνο, η διάμεσός του Μ και το βαρύκεντρό του Κ. Τότε ισχύει:. K = KM,. K=KM,. M=3K. 3KM=M Η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο έχει μέτρο: Μονάδες 15 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ). ν ύψος και διχοτόμος της γωνίας Να αποδείξετε ότι: α) = 45 + β) το τρίγωνο Ζ είναι ισοσκελές. Ζ Μονάδες 10 Μονάδες 15 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) στο οποίο είναι = 30. Η ευθεία ΜΝ είναι μεσοκάθετος στην πλευρά. Νά δείξετε ότι Ν = Ν Ν Μ Μονάδες 5 ίνεται τραπέζιο με = = 90 και, Ζ μέσα των πλευρών και αντίστοιχα. ν είναι = = να δείξετε ότι: a. Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο. b. Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Ζ c. Η γωνία είναι 60 d. Ζ e. Το τετράπλευρο Ζ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες 5 x 5 = 5

30 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 90. ν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του είναι 30 ο τότε η απέναντι πλευρά είναι το μισό της υποτείνουσας. Μονάδες 7. Να χαρακτηρίσετε ως σωστό ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) τις επόμενες προτάσεις: i. Οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες. ii. ύο γωνίες λέγονται συμπληρωματικές όταν έχουν άθροισμα μία ευθεία γωνία iii. Μια γωνία λέγεται επίκεντρη όταν οι πλευρές της είναι χορδές του κύκλου.. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις: Μονάδες 9 i. Μία χορδή που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου λέγεται... ii. ύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα αν και μόνο αν οι... που βαίνουν σ αυτά είναι ίσες. iii. Η διάμεσος τραπεζίου ισούται με το... των βάσεων του. Μονάδες 9 Στο διπλανό σχήμα δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) και η διχοτόμος της. ν είναι // και η μεγα- ω φ λύτερη κατά 0 από την να υπολογίσετε τις γωνίες ω και φ. Μονάδες 5 Προεκτείνουμε τις πλευρές και τριγώνου προς το μέρος του και στις προεκτάσεις παίρνουμε αντίστοιχα τμήματα = και =. i. Να συγκρίνετε τα τμήματα και Μονάδες 10 ii. ν η προέκταση του ύψους Η τέμνει τη στο Ζ, να δείξετε ότι το τμήμα Ζ είναι ύψος του τριγώνου. Μονάδες 10 iii. ίναι η προέκταση της διχοτόμου Ν του τριγώνου διχοτόμος του τριγώνου ; Προεκτείνουμε την πλευρά παραλληλογράμμου κατά τμήμα =. Φέρνουμε την ευθεία που τέμνει Ο Μονάδες 5 Η την ευθεία στο Ζ. ν το Ο είναι το κέντρο του παραλλη- λογράμμου και η Ο τέμνει την στο Η να δείξετε ότι: i. = Ζ Ζ ii. Η = 1 Η Μονάδες

31 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 91 a. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων. b. Να δείξετε ότι, η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που Μονάδες 3 x 5 =15 αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της. a. ν οι ευθείες ε 1, ε του σχήματος είναι παράλληλες να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας φ. ε 1 ε Η 100 Μονάδες φ b. Στις ίσες πλευρές, ισοσκελούς τριγώνου Μονάδες 10 παίρνουμε τα σημεία,, έτσι ώστε να είναι =. ν 1 και 1 κάθετα στη να δείξετε ότι 1 = 1 Έστω διάμετρος κύκλου (Κ, ρ) και οι εφαπτομένες ε 1 και ε του κύκλου στα σημεία και αντίστοιχα. Μια άλλη εφαπτομένη σε τυχαίο σημείο Μ του κύκλου τέμνει τις ε 1 και ε στα σημεία και αντίστοιχα. 1. Τι σχέση έχουν: 1 1 ε ε 1 Κ Μ Μονάδες 15 ε a. Οι ε 1 και ε b. Οι γωνίες Μ και Μ c. Τα ευθύγραμμα τμήματα Μ και (Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας) Μονάδες =13. Να αποδείξετε ότι Κ = 90 ίνεται τρίγωνο με > και η διχοτόμος του. Να δείξετε ότι: a. = b. = 90 c. = Μονάδες 1 Μονάδες =5

32 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 9 a. ώστε τον ορισμό του ορθογωνίου. Μονάδες 8 b. ν ένα παραλληλόγραμμο έχει ίσες διαγώνιους να δείξετε ότι είναι ορθογώνιο Μονάδες 17 ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) Στην προέκταση της βάσης του θεωρούμε τα σημεία και προς το μέρος των και αντίστοιχα έτσι ώστε =. Να δείξετε ότι: a. =. b. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές a. ν, Μ, είναι μέσα των,,, να δείξετε ότι = Μ Μ Μονάδες 7 Μονάδες 18 b. Να υπολογίσετε την διάμεσο του τραπεζίου χ Μονάδες 8 8χ c. Να υπολογίσετε τη γωνία 60 Μονάδες 1 4 ίνεται παραλληλόγραμμο. Θεωρούμε το συμμετρικό της κορυφής ως προς τη διαγώνιο. Να δείξετε ότι: a. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές b. Το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία,,, είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες 5 Μονάδες 8 Μονάδες 17

33 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 93. Να αποδείξετε ότι οι τρεις μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο το οποίο είναι κέντρο κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου. Μονάδες 15 Να χαρακτηρίσετε ως σωστό ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) τις επόμενες προτάσεις. i. ν δύο τρίγωνα έχουν τρεις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα. ii. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου. iii. ν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες παραπληρωματικές. iv. Ένα παραλληλόγραμμο με ίσες διαγώνιες είναι ορθογώνιο. v. Το σημείο τομής των διχοτόμων ενός τριγώνου λέγεται βαρύκεντρο. Μονάδες 5 =10 ίνεται ισοσκελές τρίγωνο. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών και θεωρούμε αντίστοιχα τα ίσα τμήματα και. ν η Μ είναι διάμεσος του τριγώνου, να δείξετε ότι το τρίγωνο Μ είναι ισοσκελές. Μονάδες 5 πό το έγκεντρο Ι τριγώνου φέρνουμε ευθεία παράλληλη της πλευράς που τέμνει τις και στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι = +. Μονάδες 5 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) με = 60. Φέρνουμε τη διχοτόμο χ της και την χ. Να δείξετε ότι: i. = ii. ν Ο το σημείο τομής των και χ, το τρίγωνο Ο είναι ισοσκελές. iii. Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες 8 Μονάδες 8 Μονάδες 9

34 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 94. Να αποδειχθεί ότι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το μισό της. Μονάδες 15. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης ένα μόνο στοιχείο της στήλης. Στήλη - Τετράπλευρα Στήλη - Ιδιότητες a. Ορθογώνιο Παραλληλόγραμμο i. ύο απέναντι πλευρές είναι παράλληλες και άνισες b. Τραπέζιο ii. ίναι παραλληλόγραμμο με όλες τις πλευρές του ίσες c. Ρόμβος iii. Το άθροισμα των γωνιών του είναι 400 ο d. Τετράγωνο iv. Οι διαγώνιοι του είναι ίσες.. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση 1. Στο διπλανό σχήμα η γωνία χ είναι ίση με ν είναι ε 1 //ε και α = χ, β = 5χ τότε. α = 60 β = 15,. α = 60 β = 150, ε 1 ε 10 χ 68. α = 30 β = 150,. α = 60 β = 10 Μονάδες 5 3. Στο τρίγωνο του διπλανού σχήματος είναι. α = 7. α = 1. 1< α < 7 α β 3 4. α > 7. 0< α < 1 Μονάδες 5 α Μονάδες 10 Μονάδες 5 Έστω τρίγωνο και η διάμεσος. Να δείξετε ότι τα, ισαπέχουν από την. Μονάδες 10 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) με > φέρνουμε τη διάμεσο Μ και το ύψος. Ποιες γωνίες είναι ίσες με την και γιατί;. Να δείξετε ότι Μ = ν = 15 τότε = 4 Μονάδες 7,5 + 7,5 +10 Τριγώνου προεκτείνουμε το ύψος και την διάμεσο κατά τμήματα Λ = και Κ =. Να δείξετε ότι:. //ΛΚ Μονάδες 7,5. Το τετράπλευρο Κ είναι παραλληλόγραμμο Μονάδες 7,5. Το τετράπλευρο ΛΚ είναι ισοσκελές τραπέζιο Μονάδες 10

35 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 95 Χαρακτηρίστε ως σωστή ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) κάθε μια από τις επόμενες προτάσεις: Σ - Λ i. Η εξ τριγώνου είναι μεγαλύτερη από τη... ii. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κυρτού ν γώνου είναι 4... iii. ίναι δυνατόν δύο τρίγωνα να έχουν δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία και μια γωνία ίση χωρίς να είναι ίσα.... Το διπλανό σχήμα είναι παραλληλό- 3χ +5 γραμμο να υπολογίσετε τα χ και ω ω χ+7 ω Οι γωνίες,, τριγώνου έχουν αντίστοιχα μέτρα θ, θ, 3θ και η πλευρά του είναι 4. Να βρείτε το μήκος της πλευράς. Σ ένα τετράγωνο το σημείο είναι συμμετρικό του ως προς το. ν Ζ μέσο της και Η ή τομή των και, να δειχθεί ότι: i. Η = ii. Η = Ζ iii. Ζ

36 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 96. Να δείξετε ότι, αν σ ένα ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας. Μονάδες 15. ν (Κ, R) και (Λ, ρ) είναι δύο κύκλοι με διαφορετικά κέντρα και R > ρ, ΚΛ = δ να αντιστοιχίσετε κάθε φράση της πρώτης στήλης στη δεύτερη στήλη. Στήλη Στήλη 1. δ > R + ρ a. Ο κύκλος (Λ, ρ) είναι εσωτερικός του κύκλου (Κ, R). δ = R + ρ b. Ο κύκλος (Λ, ρ) εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου (Κ, R) 3. δ = R ρ c. Οι κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) τέμνονται 4. δ < R ρ 5. δ = R ρ d. Οι κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) εφάπτονται εξωτερικά 6. ρ < δ < R e. Κάθε κύκλος είναι εξωτερικός του άλλου 7. δ = Rρ 8. R ρ < δ < Μονάδες R + ρ 10 a. ν είναι ε 1 //ε τότε η γωνία φ έχει μέτρο 50 δ 45 φ δ 1 ε 1 ε Μονάδες 5 b. Στο τρίγωνο του σχήματος είναι = 6 = 10, = 8. ν,, Ζ είναι τα μέσα των πλευρών,, αντίστοιχα τότε η περίμετρος του τριγώνου είναι: Μονάδες 5 44 Κ χ ψ Ζ c. Στο επόμενο σχήμα οι γωνίες χ και ψ είναι:.... χ = 44 χ = 88 χ = 88 ψ = 66 ψ = 136 ψ = 46. Να δείξετε ότι τα μέσα των πλευρών ισοσκελούς τριγώνου ισαπέχουν από τη βάση Έστω τραπέζιο με == 90, = και = 3 Φέρνουμε τη, που τέμνει την στο σημείο Κ και την που τέμνει την στο σημείο Λ. Να δείξετε ότι: α) = 45, β) =, γ) ΚΛ = 4 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) με = 30 η κάθετη στο μέσο Μ της υποτείνουσας τέμνει την στο Ν. i )Νά δείξετε ότι Ν = ΝΜ ii ) Να υπολογίσετε την Ν. iii) Νά δείξετε ότι N = Ν και iv) MN= 3 χ = 44 ψ = 88 Λ Ν 30 Μονάδες 5 Μονάδες 10 Μονάδες Μ μονάδες Κ

37 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 97 a. ναφέρετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Μονάδες 3 b. είξτε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου, είναι δύο ορθές. Μονάδες 7 c. ύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι πάντα ίσες ; Σ Λ Μονάδες d. ναφέρετε προτάσεις για να είναι ένα τετράπλευρο παραλληλόγραμμο. Μονάδες 4 e. είξτε ότι η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας, είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Μονάδες 9 ίνεται τραπέζιο με γωνίες == 90 και = 10. ν = α και = α, να υπολογίσετε τη διάμεσο Ζ του τραπεζίου ως συνάρτηση του α. Μονάδες 5 ν και Ζ τα μέσα των πλευρών και παραλληλογράμμου αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι οι και Ζ τριχοτομούν τη διαγώνιο. Μονάδες 5 Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και Ι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών και. Να αποδείξετε ότι : a. Το τρίγωνο Ι είναι ισοσκελές. Μονάδες 1 b. Η Ι είναι διχοτόμος της γωνίας Μονάδες 13

38 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 98 a. (πιλέξτε τη σωστή από τις παρακάτω απαντήσεις) ια να είναι ένα τετράπλευρο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, πρέπει: i. Να έχει δυο γωνίες ορθές ii. Να έχει τις απέναντι γωνίες του ίσες iii. Να είναι παραλληλόγραμμο με μια γωνία ορθή. iv. Οι διαγώνιοί του να διχοτομούνται v. Να έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες b. Να αποδειχθεί το Θεώρημα: Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. c. Να χαρακτηρίσετε με Σ (σωστή) ή Λ (λάθος) κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις i. Οι γωνίες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες ii. ν δυο κύκλοι δεν έχουν κοινά σημεία τότε ο ένας είναι εξωτερικός του άλλου iii. Ένα τρίγωνο με δύο πλευρές ίσες είναι ισόπλευρο iv. ν δυο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες τότε και τα αποστήματά τους θα είναι ίσα v. Η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής d. ίνονται οι κύκλοι (Κ, ρ) και (Λ, ρ). ν είναι ρ = α, R = 3α και ΚΛ = α τότε: i. Οι κύκλοι τέμνονται ii. Οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά iii. Οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά iv. Ο ένας κύκλος είναι εξωτερικός του άλλου ω a. Να υπολογίσετε τη γωνία ω στο διπλανό σχήμα b. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και Κ, Λ τα μέσα των πλευρών του και αντίστοιχα. Στο Κ υψώνουμε κάθετη στην που τέμνει την στο και στο Λ υψώνουμε κάθετη στην που τέμνει την στο. είξτε ότι: i. Κ = Λ ii. = iii. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές ίνεται τρίγωνο με <. Φέρνουμε το ύψος Η και το προεκτείνουμε κατά ίσο τμήμα Η = Η. Φέρνουμε και τη διάμεσο Μ και την προεκτείνουμε κατά ίσο τμήμα Μ = Μ. a. Να δικαιολογήσετε ότι: i. = ii. = // b. Να αποδείξετε ότι το είναι ισοσκελές τραπέζιο ίνεται παραλληλόγραμμο και η διαγώνιός του. ν, είναι οι προβολές των και αντίστοιχα στην και τα, δεν ταυτίζονται, να δείξετε ότι: a. Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. b. Το μέσο Ο του είναι και μέσο του.

39 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 99 a. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: i. ν φ είναι η εγγεγραμμένη γωνία και ω η επίκεντρη που βαίνουν στο ίδιο τόξο ενός κύκλου, τότε:. φ = ω. φ = ω. ω = φ. φ = 90º + ω ii. ν είναι τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο, τότε:. + = 108º. =. =. + = 90º iii. Να υπολογισθούν τα χ, ψ και οι γωνίες και ψ χ 3χ Ο χ Τριγώνου τα ύψη του και Ζ τέμνονται στο Η. Να αποδειχθεί ότι: i. τα τρίγωνα ΗΖ και Η είναι όμοια Ζ Η ii. Η Η = Η ΗΖ. Σε τυχαίο τετράπλευρο δείξτε ότι: i. < ii. + < Ο iii. + < + ν ύψος και, Ζ, Η τα μέσα των πλευρών Η Ζ,, αντίστοιχα ενός τριγώνου, να αποδειχθεί ότι το ΖΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

40 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 100 a. Να δείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δυο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. (Μον. 0) b. Στο διπλανό σχήμα να υπολογιστούν τα χ και ψ αν είναι // 4 ψ,5 χ (Μον. 5) a. Σε καθένα από τα διπλανά σχήματα να βρείτε τα χ και ψ. ( Η ευθεία ε είναι εφαπτομένη στον κύκλο) ο χ ψ 40 Ο ψ? χ (Μον. 5) (Μον. 5) b. Να αποδειχθεί ότι κάθε ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο (Μον. 15) ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο (Â = 90 ) και η διχοτόμος του. πό το φέρνουμε, που τέμνει την στο Ζ. Να δείξετε ότι Ζ =. (Μον. 5) ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο (Â = 90 ) και το ύψος του. a. ν, Ζ είναι τα μέσα των και, να αποδείξετε ότι Ζ = Â = 90 (Μον. 15) b. ν Μ είναι το μέσο της Ζ, να αποδείξετε ότι Μ = 4 (Μον. 10)

41 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 101. Να αποδειχθεί ότι, κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της. Μονάδες 13. α. Ποιο τετράπλευρο ονομάζεται εγγράψιμο σε κύκλο ; Μονάδες 3 β. ράψτε τα κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο εγγράψιμο σε κύκλο. Μονάδες 9 Το τρίγωνο είναι ισοσκελές και η βάση Μονάδες 5 έχει προεκταθεί κατά ίσα τμήματα =. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Το τραπέζιο είναι ισοσκελές με = 10cm και = 30cm. ν τα σημεία, Ζ είναι αντίστοιχα τα μέσα των και, τότε: 10cm Ζ a. Να υπολογίσετε το μήκος της Ζ Μονάδες 1 b. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο Ζ είναι ορθογώνιο Μονάδες 13 30cm Στο ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) Μ με = 60, η Μ είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στη και η Μ διχοτόμος της γωνίας Μ. Να αποδείξετε ότι : a. Το τρίγωνο Μ είναι ισόπλευρο. Μονάδες 7 b. Μ//. Μονάδες 9 c. Μ = 4. Μονάδες 9

42 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 10. Σε ορθογώνιο τρίγωνο έστω Μ το μέσο της υποτείνουσας και Μ η κάθετη από το Μ στην. Να αποδείξετε ότι: i. Το σημείο είναι μέσο της ii.το τρίγωνο Μ είναι ισοσκελές. iii. Μ= Μονάδες 1. α. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο και η διάμεσος του τριγώνου. 3 Να βρείτε την και τις γωνίες και. Μονάδες 6 β. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο είναι 3 ορθογώνιο στο. Το είναι ύψος του τριγώνου, η γωνία = 30 και η = 8. Να υπολογίσετε την. Μονάδες 7 Σε τρίγωνο είναι ο εξ = Να αποδείξετε ότι =. Μονάδες 5 ίνεται τραπέζιο (//) με = α και = α.τα σημεία Μ και Ν είναι τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα. ν η ΜΝ τέμνει τις διαγώνιες και στα σημεία και Ζ αντίστοιχα, να δείξετε ότι: Μ = ΖΝ = Ζ = α Μονάδες 5 ίνεται παραλληλόγραμμο με = και Μ το μέσο της πλευράς. ν η Μ τέμνει την προέκταση της στο σημείο, να αποδείξετε ότι: α. Μ = Μ Μονάδες 7 β. Μ Μονάδες 6 γ. Το είναι ρόμβος Μονάδες 6 δ. Το σημείο είναι μέσο του Μονάδες 6

43 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 103. Να αποδείξετε ότι: Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Μονάδες 1. Να γράψετε τον ορισμό του ισοσκελούς τραπεζίου. Μονάδες 5. Να γράψετε τα κριτήρια για να είναι ένα τραπέζιο ισοσκελές. Μονάδες 8. ν = 70 και // να υπολογισθούν οι γωνίες φ =... ω =... ω θ φ+80 φ θ =... Μονάδες 1. Οι διχοτόμοι των γωνιών και τριγώνου, τέμνονται στο Θ. Φέρνουμε Θ // και Θ //. Να αποδείξετε ότι: Θ + + Θ = Μονάδες 13 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) φέρνουμε το ύψος, την κάθετη στην και την κάθετη Ζ στην. ν η διάμεσος Μ τέμνει τη Ζ στο Η. Να αποδείξετε ότι: a. = Μονάδες 6 b. Τα τρίγωνα ΗΖ και είναι ίσα. Μονάδες 6 c. Το τετράπλευρο ΖΗ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 7 d. = Η. Μονάδες 6 Σε τρίγωνο είναι = ν η είναι η διχοτόμος, το ύψος και το τμήμα Ζ. Να αποδείξετε ότι. Ζ a. + = 30 Μονάδες 8 b. = 15 Μονάδες 9 c. Ζ = 1 4 d. Μονάδες 8

44 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 104. a. Να αποδείξετε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα μεταξύ τους. Μονάδες 10 b. Τι λέγεται διάκεντρος και τι κοινή χορδή δύο κύκλων που τέμνονται. Μονάδες 3. Να συμπληρώσετε τις προτάσεις a. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το... b. Η διάμεσος τραπεζίου είναι ίση με... c. Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας... και αντίστροφα... d. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος... και αντίστροφα... Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) με = φέρνουμε τη διχοτόμο της γωνίας και παίρνουμε το σημείο Μ μέσο της υποτείνουσας. a. Να αποδείξετε ότι: Μ = Μονάδες 15 b. Να υπολογίσετε τη γωνία Μ Μονάδες 10 ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ( // ) με = 3. ν τα σημεία Κ, Λ είναι τα μέσα των διαγωνίων του και αντίστοιχα να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΛ είναι ορθογώνιο. ίνεται τετράγωνο και το σημείο Μ μέσο της πλευράς του. a. ν η Μ τέμνει τη στο σημείο Κ να αποδείξετε ότι: Κ = Μονάδες 1 3 b. ν μέσο της να αποδείξετε ότι είναι Μ και = Μ Μονάδες 13

45 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 105 είξτε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της Μονάδες 5 ύο τρίγωνα και Ζ έχουν: = και τα ύψη τους υβ = υ ε και υ γ = υ ζ Να αποδείξτε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. Μονάδες 5 ίδεται ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ). Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την στο Ζ και την κάθετη στη στο σημείο, στο Η. Να αποδείξετε ότι Ζ= Η Μονάδες 5 ίνεται τρίγωνο με <, η διχοτόμος του και το σημείο Μ μέσο της. Φέρνουμε το τμήμα που τέμνει την στο Ζ. Να αποδείξετε ότι:. Μ//. Μονάδες 9. Μ = Μονάδες 8. Μ = Μονάδες 8

46 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 106. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με 180. Μονάδες 13. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο απαντήσεων τη λέξη Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. a. Η διάμεσος ενός τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του τραπεζίου και ίση με την ημιδιαφορά αυτών. b. ύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, μία προς μία, είναι ίσες ή παραπληρωματικές. c. ν δύο τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. d. Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου είναι ίσες. Μονάδες 1 Στο εσωτερικό γωνίας χοψ παίρνουμε σημείο και φέρνουμε τις Οχ και Οψ. ν Μ το μέσο της Ο και Ν το μέσο της, να αποδείξετε ότι: ΜΝ. Σε τρίγωνο είναι δ α = γ, και δ γ = α. a. Να αποδείξετε ότι, και + = Μονάδες 5 = +. Μονάδες 8 b. Να αποδείξετε ότι, α = γ. Μονάδες 8 c. Να βρείτε το μέτρο των γωνιών,,. Μονάδες 10 Σε τραπέζιο με βάσεις και ισχύει = +. ν οι προεκτάσεις των Μ και Μ τέμνουν αντίστοιχα τις στο και στο Ζ, να αποδείξετε ότι: a. Μ = Μ Μονάδες 8 b. Ζ = Μονάδες 8 c. το τετράπλευρο Ζ είναι ρόμβος. Μονάδες 9

47 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 107 Να δείξετε ότι η διάμεσος του τραπεζίου είναι ίση με το ημιάθροισμα των βάσεων του. Μονάδες 5 Σε τρίγωνο το σημείο είναι το μέσο της διαμέσου Μ. ν η τέμνει την πλευρά στο, να δείξετε ότι =. Μονάδες 5 Να αποδείξετε ότι τα ύψη,, Ζ ενός τριγώνου διχοτομούν τις γωνίες του τριγώνου Ζ Μονάδες 5 Η διχοτόμος τριγώνου τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο. Να αποδείξετε ότι, =. Μονάδες 5

48 ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 108 a. Να αποδείξετε ότι: Η διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμα τους. Μονάδες 13 b. Σε τραπέζιο είναι = = 90 και = 60. ν = χ και = 8χ η διάμεσος του τραπεζίου είναι: α. 3χ β. 4χ γ. 5χ δ. 6χ ε. 7χ c. ν σε ισοσκελές τραπέζιο είναι = 5χ, = 3χ και = 60, η περίμετρος του τραπεζίου είναι: α. 10χ β. 11χ γ. 1χ δ. 13χ ε. 14χ x Ζ 60 8x Μονάδες 6 Μονάδες 6 ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και το σημείο μέσο της βάσης του. πό το σημείο φέρνουμε και Ζ. Να αποδείξετε ότι: a. Ζ = Μονάδες 10 b. Ζ = Μονάδες 10 c. Ζ = Μονάδες 5 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) με = 30 και τα σημεία, μέσα των και αντίστοιχα. Προεκτείνουμε την κατά τμήμα Ζ =. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο Ζ είναι ρόμβος. Μονάδες 5 ίνεται ισοσκελές τραπέζιο (//) με =3. Η διάμεσος ΜΝ του τραπεζίου τέμνει τις διαγώνιες και στα σημεία Κ, Λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: a. ΚΛ = Μονάδες 10 b. Το τετράπλευρο ΚΛ είναι ορθογώνιο. Μονάδες 10 c. ΜΝ = 3 Μονάδες 5 3x 60 5x