Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες."

Άκανθα Σωφρονία Ταμτάκος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη στο μέσο του ευθύγραμμου τμήματος. Χαρακτηριστική ιδιότητα της μεσοκαθέτου. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθ. τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του, και αντίστροφα αν ένα σημείο ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθ. τμήματος, τότε το σημείο αυτό ανήκει στην μεσοκάθετο του ευθ. τμήματος 2. Δύο γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές, όταν έχουν άθροισμα 180 ο Δύο γωνίες ονομάζονται συμπληρωματικές όταν έχουν άθροισμα 90 ο. Δύο γωνίες ονομάζονται κατακορυφή, όταν έχουν κοινή κορυφή και οι πλευρές της μιας γωνίας είναι αντικείμενες ημιευθείες των πλευρών της άλλης γωνίας. Οι κατακορυφή γωνίες είναι ίσες. 3. Αν δύο παράλληλες ευθείες (ε 1 ) και (ε 2 ) τέμνονται από μια τρίτη ευθεία (η) σε δύο σημεία Α και Β σχηματίζονται τα παρακάτω είδη γωνιών: Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι παραπληρωματικές. 4. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών του είναι 2 ορθές. Δηλαδή Α Β Γ =180 ο 5. Τραπέζιο ονομάζεται το τετράπλευρο που έχει δύο απέναντι πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες αυτές πλευρές ονομάζονται βάσεις του τραπεζίου και η απόσταση των δύο αυτών βάσεων ονομάζεται ύψος του τραπεζίου. Ισοσκελές τραπέζιο ονομάζεται το τραπέζιο που οι μη παράλληλες πλευρές του είναι ίσες. 6. Ένα τετράπλευρο ονομάζεται παραλληλόγραμμο, όταν έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες Οι ιδιότητες του παραλληλογράμμου είναι: 1 Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. 2 Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. 3 Οι διαγώνιοι του διχοτομούνται. 4 Κάθε διαγώνιος το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα.

7. Ένα τετράπλευρο ονομάζεται ορθογώνιο όταν είναι παραλληλόγραμμο και έχει όλες τις γωνίες του ορθές. Ένα τετράπλευρο ονομάζεται ρόμβος όταν είναι παραλληλόγραμμο και έχει όλες τις πλευρές του ίσες.

2 7. Ένα τετράπλευρο ονομάζεται ορθογώνιο όταν είναι παραλληλόγραμμο και έχει όλες τις γωνίες του ορθές. Ένα τετράπλευρο ονομάζεται ρόμβος όταν είναι παραλληλόγραμμο και έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Ένα τετράπλευρο ονομάζεται τετράγωνο όταν έχει όλες τις γωνίες του ορθές και όλες τις πλευρές του ίσες. 8. Το εμβαδό ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου της βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος. Δηλαδή Ε= 2 1 β.υ Το εμβαδό ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου των καθέτων πλευρών του. Δηλαδή Ε= 2 1 β.γ 9. Το εμβαδό Ε του παραλληλογράμμου είναι Ε=β.υ όπου β είναι η βάση του και υ το ύψος του παραλληλογράμμου. 10. Το εμβαδό του τραπεζίου είναι: Ε= 2 όπου Β και β είναι η μεγάλη και η μικρή του βάση και υ το ύψος του τραπεζίου. 11. TO ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών του. Δηλαδή α 2 =β 2 +γ 2 Το αντίστροφο του πυθαγορείου θεωρήματος Όταν σ ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από την μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή. Δηλαδή αν α > β, α > γ και α 2 =β 2 +γ 2 τότε Α=90 ο 12. Μια γωνία ονομάζεται επίκεντρη,όταν η κορυφή της είναι στο κέντρο του κύκλου και οι πλευρές της είναι ακτίνες του κύκλου. Στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους ισχύουν οι ιδιότητες Ισες επίκεντρες γωνίες έχουν ίσα και τα αντίστοιχα τόξα τους. Ισα τόξα έχουν ίσες και τις αντίστοιχες επίκεντρες χορδές τους. 13. Μια γωνία ονομάζεται εγγεγραμμένη όταν η κορυφή της είναι πάνω σ ένα κύκλο και οι πλευρές της είναι χορδές του κύκλου. Η εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το μισό της επίκεντρης γωνίας που έχει το ίδιο αντίστοιχο τόξο. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. Εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα είναι ίσες Δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα όταν οι αντίστοιχες εγγεγραμμένες γωνίες τους είναι ίσες.

3 14. Ένα πολύγωνο ονομάζεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του και όλες τις γωνίες του ίσες. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ: ρ η ακτίνα του κύκλου μέσα στο οποίο συνήθως σχεδιάζουμε κανονικό πολύγωνο δ η διάμετρος του προηγούμενου κύκλου. ν ο αριθμός των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου λ η πλευρά ενός κανονικού πολυγώνου α το απόστημα (η κάθετη από το κέντρο του κύκλου στο μέσο της πλευράς) ενός κανονικού πολυγώνου. ω η κεντρική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου φ η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου Ε το εμβαδό ενός κανονικού πολυγώνου Τ η περίμετρος ενός κανονικού πολυγώνου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ 360 ω = φ = 180 ο -ω δ = 2ρ α = ρσυν 2 Ε = 2 1 νλα λ = 2ρημ 2 ή λ = δημ 2 Τα = νλ ή Τα = ν2ρημ 2 ή Τα = νδημ ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ-ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Γ = 2πρ και Γ = πδ S = και S = αρ 180 όπου Γ το μήκος ή η περίμετρος του κύκλου με ακτίνα ρ S το μήκος ενός τόξου μ ο ή α rad σε κύκλο με ακτίνα ρ 16. ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ - ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ Ε=πρ Ε τ = Ε τ = Sρ ΙΣΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΞΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ Όταν τρεις ή περισσότερες παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που δεν είναι παράλληλη προς αυτές. 18. Το ευθύγραμμο τμήμα που έχει άκρα τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο με την τρίτη πλευρά και ισούται με το μισό της. Δηλαδή αν Δ μέσο της ΑΒ και Ε μέσο της ΑΓ τότε ΔΕ = // B Η ευθεία που διέρχεται από το μέσο μιας πλευράς τριγώνου και είναι παράλληλη προς μια πλευρά του, διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. Δηλαδή αν Δ μέσο της ΑΒ και ΔΕ // ΒΓ τότε Ε μέσο της ΑΓ.

4 20. Αν η ΑΜ είναι διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, τότε B ΑΒ= ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Όταν παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που ορίζονται στην μια είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα της άλλης. AB δηλαδή ισχύει: A Κάθε ευθεία που είναι παράλληλη προς μια πλευρά τριγώνου χωρίζει τις άλλες πλευρές του, σε μέρη ανάλογα. δηλαδή ισχύει: αν ΚΛ//ΒΓ τότε Κάθε ευθεία που χωρίζει δύο πλευρές ενός τριγώνου σε μέρη ανάλογα, είναι παράλληλη προς την Τρίτη πλευρά του. δηλαδή ισχύει: αν τότε ΚΛ//ΒΓ 22. ΟΜΟΙΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Δύο πολύγωνα είναι όμοια, όταν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Το λόγο των αντίστοιχων πλευρών δύο όμοιων πολυγώνων τον λέμε λόγο ομοιότητας. Δύο ίσα σχήματα είναι και όμοια, ενώ δύο όμοια σχήματα δεν είναι κατ ανάγκη ίσα. Δύο ίσα σχήματα έχουν λόγο ομοιότητας 1. Δύο κανονικά πολύγωνα, που έχουν τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια. Ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με τον λόγο της ομοιότητάς τους. 23. ΟΜΟΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Δύο τρίγωνα είναι όμοια, όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες; και τις πλευρές τους ανάλογες. 24. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία. Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες. Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν δύο πλευρές του ενός τριγώνου είναι ανάλογες προς δύο πλευρές του άλλου και οι περιεχόμενες γωνίες τους είναι ίσες. Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων σχημάτων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας.

5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Στο διπλανό τεταρτοκύκλιο να υπολογίσετε την ακτίνα του μικρού ημικυκλίου με κέντρο Ο 2, αν είναι γνωστό ότι το ημικύκλιο με κέντρο Ο 1 έχει διάμετρο 2 Βρείτε την απόσταση του Ο από την ευθεία που ορίζουν τα Ο1 και Ο2. Υπολογίστε κατά προσέγγιση το εμβαδό του χωρίου με γκρι χρώμα. Δίνεται: εφ53 = 1,33 Στο ορθογώνιο τρίγωνο εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και έχουμε: και οπότε έχουμε: Για να βρούμε το γκρι εμβαδόν, θα αφαιρέσουμε το εμβαδόν των τομέων από το τρίγωνο. Παρατηρούμε πως και άρα το εμβαδόν του γκρι χωρίου είναι άρα

2. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABΓ (ΑΒ = ΑΓ) και γωνία Α = 20 ο. Πάνω στην πλευρά ΑΓ θεωρούμε σημείο Δ, τέτοιο ώστε ΔΒΓ = 60 ο και πάνω στην πλευρά ΑΒ θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο ώστε ΕΓΒ = 50 ο.

6 2. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABΓ (ΑΒ = ΑΓ) και γωνία Α = 20 ο. Πάνω στην πλευρά ΑΓ θεωρούμε σημείο Δ, τέτοιο ώστε ΔΒΓ = 60 ο και πάνω στην πλευρά ΑΒ θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο ώστε ΕΓΒ = 50 ο. Να βρεθεί η γωνία ΕΔΒ 3. Να υπολογίσετε το άθροισμα των γωνιών από 1 έως 12 στο παρακάτω σχήμα. Από αμερικάνικο διαγωνισμό =180 A = 180 B = 180 C = 180 D = 180 E = 180 F Αν ονομάσουμε S το ζητούμενο άθροισμα των γωνιών τότε: S = ( A + B + C + D + E + F) = ( 180 P +180 Q R) = [ (P +Q +R)] = ( ) = 720

7 4. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ και Β = 2Γ. Να αποδείξετε ότι: β 2 = γ(γ + α) από γερμανικό διαγωνισμό Αν ΒΔ η διχοτόμος της γωνίας Β, τότε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΒΓ είναι όμοια. Οπότε: Επειδή ΒΔ = ΓΔ, έχουμε: άρα 5. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ, το μέσο Μ του ΑΒ, η προβολή Δ του Μ στην ΑΓ και το μέσο Ν του ΜΔ. Να αποδειχθεί ότι οι ΒΔ, ΓΝ τέμνονται κάθετα! 6. Να υπολογίσετε τις πλευρές τριγώνου ΑΒΓ, για το οποίο είναι γωνία Α = 105 ο, γωνία Β = 45 ο και η περίμετρός του είναι Φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Η ΑΔ είναι το μισό της β, αφού Γ =30. Το ΑΒΔ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Από Πυθ. Θεώρημα στα ΑΓΔ και ΑΒΔ, εκφράζουμε όλες τις πλευρές συναρτήσει του β, οπότε: άρα β =6

Σχετικά έγγραφα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε