ΘΕΜΑ 1. Λύση. V = V x. H θ y O V 1 H/2. (α) Ακίνητος παρατηρητής (Ο) (1) 6 = = (3) 6 (4)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΜΑ 1. Λύση. V = V x. H θ y O V 1 H/2. (α) Ακίνητος παρατηρητής (Ο) (1) 6 = = (3) 6 (4)"

Ἐπαφρᾶς Ζάππας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΕΜΑ Ένα αεροπλάνο πετάει οριζόντια σε ύψος h=km µε σταθερή ταχύτητα V=6km/h, ως προς ακίνητο παρατηρητή στο έδαφος. Ο πιλότος αφήνει µια βόµβα να πέσει ελεύθερα: (α) Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης (δηλαδή τις σχέσεις που εκφράζουν τις συντεταγµένες της θέσης και της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου) της βόµβας ως προς τον πιλότο και ως προς κάποιο ακίνητο παρατηρητή στο έδαφος. (β) Όταν η βόµβα βρεθεί σε ύψος h/, εκρήγνυται και σπάει σε 3 ίσα κοµµάτια, τα οποία κινούνται µε ταχύτητες ίσου µέτρου ως προς παρατηρητή που κινείται µαζί µε τη βόµβα. Βρείτε τις γωνίες µεταξύ των θραυσµάτων ως προς τον ίδιο παρατηρητή και το διάνυσµα της ταχύτητας της βόµβας, αµέσως πριν την έκρηξη, ως προς ακίνητο παρατηρητή στο έδαφος.. (γ) Υπολογίστε το χρόνο που µεσολάβησε µεταξύ της ρίψης της βόµβας και της χρονικής στιγµής κατά την οποία το κέντρο µάζας των τριών κοµµατιών συναντά το έδαφος. (Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι σταθερή και ίση µε g=m/s και η αντίσταση του αέρα θεωρείται αµελητέα) H θ V y y O x H/ V x V (α) πιλότος Ακίνητος παρατηρητής (Ο) x = Vt = t, m () x = 6 y = gt = 5t,m y = H gt = 5t, m () V = gt =, m s t V x () t =,m s (3) 6 ( t) gt t,m s V y = = (4) (β) Η ταχύτητα της βόµβας, V, ως προς ακίνητο παρατηρητή, πριν την έκρηξη την χρονική στιγµή t και σε ύψος y = h/: V = V x + V (5) y

2 H H ( ) = H gt t = t = s g Άρα V y = gt V y = m s και µέσω της (5) παίρνουµε Vy V ~ 43 m s και tanθ = ~. 85 V x Σε κάθε θέση της βόµβας, ο παρατηρητής που κινείται µαζί της, βλέπει την βόµβα ακίνητη. Κατά την διάρκεια της έκρηξης, για τον κινούµενο παρατηρητή έχουµε: Pαρχ = Pτελ = P + P + P3 r V r V + V + V3 = (6) Για να ισχύει η σχέση (6) πρέπει οι ταχύτητες V, V V, ίσου, 3 V r V r 3 µέτρου, να σχηµατίζουν ανά δύο γωνία. (γ) Η ταχύτητα του κέντρου µάζας των θραυσµάτων παραµένει αµετάβλητη τόσο πριν όσο και µετά την έκρηξη και είναι ίση µε V r, όπως υπολογίστηκε στο ερώτηµα (α). Άρα ο ζητούµενος χρόνος είναι ίσος µε τον χρόνο που απαιτείται, ώστε η βόµβα να φτάσει στο έδαφος. Έτσι, από την σχέση () έχουµε = H gt H tολ = tολ = s g

3 ΘΕΜΑ Τρία ίδια σώµατα, το καθένα µε µάζα m, είναι συνδεδεµένα όπως δείχνει το διπλανό Σχήµα µε νήµατα µη εκτατά και αβαρή. Η δύναµη ασκείται κατακόρυφα προς τα πάνω, στο επάνω σώµα. (α) είξτε ότι όλο το σύστηµα των τριών σωµάτων κινείται µε την ίδια σταθερή επιτάχυνση α. Βρείτε τις τάσεις των νηµάτων. (β) Κάποια χρονική στιγµή η δύναµη παύει να δρα στο σύστηµα και τα σώµατα, µετά από λίγο χρονικό διάστηµα, πέφτουν ελεύθερα (µε επιτάχυνση g). είξτε ότι κατά την πτώση οι τάσεις των νηµάτων έχουν µηδενικό µέτρο και ότι τα σώµατα διατηρούν σταθερές τις σχετικές τους αποστάσεις. (γ) Γιατί είναι πιο εύκολο να ισορροπεί κανείς πάνω σε ένα ποδήλατο που κινείται παρά σε ένα ποδήλατο που είναι ακίνητο; (α) Αφού τα νήµατα είναι µη εκτατά, σε χρόνο όλα τα σώµατα µετατοπίζονται κατά dx. Άρα θα κινούνται µε την ίδια T B T d x επιτάχυνση α =. Σύστηµα σωµάτων: r = m ολα r 3B = 3mα α = 3B 3m () B Για κάθε σώµα: : B T = mα () T = 3 3 T B : T T B = mα 3: T B = mα T = 3 (β) κατά την πτώση α = g. Αφού πέφτουν µε την ίδια επιτάχυνση διατηρούν σταθερές και τις σχετικές τους θέσεις. Σώµα 3: T B = mα T B = mg T = Οµοίως και Τ =. (γ) Θεωρία Τόµος ΙΙ σελ. 395 και

4 ΘΕΜΑ 3 ύο σώµατα µε µάζες M=3kg και m=kg, αντίστοιχα, µπορούν να ολισθαίνουν πάνω στο ίδιο κεκλιµένο επίπεδο. Ο συντελεστής ολίσθησης µεταξύ του βαρύτερου σώµατος και του κεκλιµένου επιπέδου είναι, και µεταξύ του άλλου σώµατος και του κεκλιµένου επιπέδου είναι,4. (α) Τα σώµατα αφήνονται να ολισθήσουν συγχρόνως, από τις αρχικές θέσεις που δείχνει το Σχήµα (α). είξτε ότι τα δύο σώµατα θα συναντηθούν. (β) Τα σώµατα βρίσκονται σε επαφή (βλέπε Σχήµα (β)) όταν αφήνονται ελεύθερα να ολισθήσουν. είξετε ότι θα συνεχίσουν να ευρίσκονται σε επαφή καθ όλο το διάστηµα που ολισθαίνουν. Υπολογίστε την κοινή τους επιτάχυνση και το µέτρο της δύναµης που ασκεί το ένα σώµα στο άλλο. (γ) Υπολογίστε το συνολικό έργο όλων των δυνάµεων που δρουν στο σύστηµα των σωµάτων της ερώτησης (β), εάν τα σώµατα έχουν ολισθήσει διάστηµα,5m κατά µήκος του κεκλιµένου επιπέδου. (Η κλίση του κεκλιµένου επιπέδου είναι 3 ο και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=m/s ) (α) (β) 3kg 3kg kg kg (α) Ν r y = N = mg cos3 T = 3 3 N Τ Τ Ν T = µν r x = ma r x = Bx T B x = mg sin 3 T = 4 3 a a N ~ m s 3.3 / και ~ m s.5 / Β Β Αφού κάτω. a > a το πάνω σώµα θα συναντήσει το (β) Την στιγµή που αφήνονται ελεύθερα τα σώµατα ισχύει η σχέση σώµατα θα εξακολουθήσουν να βρίσκονται σε επαφή. Σύστηµα σωµάτων: ( M m) x = + a x = B x + Bx T T B x = και Mg sin 3 B x = µg sin 3 a ~.6 m / s Τ Β a > a Ν Τ Β. Άρα τα Ν

5 Για κάθε σώµα: B x T = Ma B x T = ma + = ~. N (γ) W N = W + W = W B = Mg sin 3 S W B = mg sin 3 S W T = T S W T = T S Όπου S η µετατόπιση των σωµάτων. W ολ ~ 6.4 Joule

ΘΕΜΑ 4 (α) ύο σώµατα, ίδιας µάζας, κινούνται σε διαφορετικές διευθύνσεις, µε ταχύτητες ίδιου µέτρου υ και συγκρούονται πλαστικά. Μετά τη σύγκρουση η ταχύτητα του συσσωµατώµατος έχει µέτρο υ/.

6 ΘΕΜΑ 4 (α) ύο σώµατα, ίδιας µάζας, κινούνται σε διαφορετικές διευθύνσεις, µε ταχύτητες ίδιου µέτρου υ και συγκρούονται πλαστικά. Μετά τη σύγκρουση η ταχύτητα του συσσωµατώµατος έχει µέτρο υ/. Βρείτε τη γωνία µεταξύ των αρχικών ταχυτήτων των δύο σωµάτων. (β) Το βαγόνι του σχήµατος αρχίζει να κινείται από την ηρεµία από το υψηλότερο σηµείο του κεκλιµένου επιπέδου (3,m υψηλότερα του εδάφους) και σταµατά συγκρουόµενο µε το ελατήριο στο τέλος της σιδηροτροχιάς. Εάν η σταθερά του ελατηρίου είναι 5,x 6 N/m και η µάζα του οχήµατος είναι 54 kg, να υπολογιστεί η συµπίεση του ελατηρίου. (Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=m/s και οι τριβές θεωρούνται αµελητέες) 3,m (γ) Ένας συµπαγής και ένας κοίλος κύλινδρος, ιδίων διαστάσεων και µαζών, τοποθετούνται πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο και αρχικά ηρεµούν. Τα δύο αντικείµενα αφήνονται ελεύθερα να διανύσουν απόσταση S κατά µήκος του κεκλιµένου επιπέδου. Να βρεθεί ποίο από τα δύο αντικείµενα χρειάστηκε το λιγότερο χρόνο, εάν ι) οι κύλινδροι ολισθαίνουν χωρίς τριβές και ιι) εάν κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. (α) P r P r P r P r P + P = P (η σχέση παριστάνεται γραφικά στο διπλανό σχήµα). P r Αφού τα διανύσµατα P, P, P είναι ίσου µέτρου, το γραµµοσκιασµένο τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Άρα η γωνία µεταξύ των P r, P r είναι. (β) h (Α) Από την αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας (Τριβές αµελητέες) έχουµε: Εµηχ(Α) = Εµηχ(Β) (Β) x Mgh = Kx x ~. 8 m

7 (γ) (ι) ίδια επιτάχυνση α = gsinφ (ιι) Η ροπή αδράνειας και η επιτάχυνση του κέντρου µάζας κάθε σώµατος δίνεται από τις σχέσεις I = λmr και a = g cm sinφ αντίστοιχα [ΘΕΩΡΙΑ Τόµος ΙΙ σελ. λ ]. Είναι όµως λ κοίλου > λ συµπαγούς άρα α κοίλου < α συµπαγούς. Εποµένως πιο γρήγορα θα φθάσει ο συµπαγής κύλινδρος.

8 ΘΕΜΑ 5 (α) Ένας οµογενής και συµπαγής τροχός έχει ακτίνα,5m, µάζα kg και αµελητέο πάχος. Περιστρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα εκτελώντας 5 στροφές/min. Ο τροχός σταµατά σε 6 s όταν κάποιος πιέσει ένα βρεγµένο πανί στην περίµετρο του, ασκώντας έτσι µία ακτινική δύναµη r µε φορά προς το κέντρο του δίσκου, µέτρου 7Ν. Βρείτε τον συντελεστή τριβής ολίσθησης µεταξύ του βρεµένου πανιού και της περιφέρειας του τροχού. ω r (β) Το διάνυσµα θέσης ενός υλικού σηµείου δίνεται ως: r r r r r(t) = α cos(ωt) i + α sin(ωt) j + β t k. Όπου ο χρόνος (t) µετρείται σε δευτερόλεπτα, το µέτρο του διανύσµατος θέσης σε µέτρα και τα µοναδιαία διανύσµατα i, j και k αντιστοιχούν στους άξονες Χ, Υ και Ζ. i) Σε τι µονάδες µετρούνται οι ποσότητες α, β και ω; ii) Βρείτε τα διανύσµατα της στιγµιαίας ταχύτητας και επιτάχυνσης. iii) είξετε ότι το υλικό σηµείο εκτελεί συγχρόνως, οµαλή κυκλική κίνηση στο επίπεδο ΧΥ και ευθύγραµµη οµαλή κίνηση κατά τον άξονα Ζ. (γ) Προτείνετε ένα πείραµα που µπορεί να εκτελέσει ένας επιβάτης: i) ενός κλειστού οχήµατος που κινείται ευθύγραµµα και οµαλά ως προς ακίνητο αδρανειακό παρατηρητή ώστε να βεβαιωθεί ότι κινείται ii) ενός κλειστού οχήµατος που κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση ως προς ακίνητο αδρανειακό παρατηρητή ώστε να βεβαιωθεί ότι επιταχύνεται. T (α) Από το διπλανό σχήµα προκύπτει ότι: T = µ () όπου Τ είναι η τριβή ολίσθησης µεταξύ πανιού και της περιφέρειας του τροχού και µ ο αντίστοιχος συντελεστής τριβής ολίσθησης. Για την ροπή της τριβής ως προς τον άξονα περιστροφής του τροχού έχουµε: TR = ai () όπου παίρνουµε: MR I = [Θεωρία, ΤΟΜΟΣ Ι, σελ ]. Έτσι από τις σχέσεις () και () amr T = (3) εδοµένου ότι ο τροχός επιβραδύνεται µε σταθερή γωνιακή επιβράδυνση α και σε χρόνο t = 6 s σταµατά έχουµε: ω = ω at = ω a t

9 a = ω t Συνδυάζοντας τις σχέσεις (), (3) και (4) παίρνουµε ω MR µ = µ =.3 t (4). (β) Θέτω όπου X = a cosω t, Y = asinω t και Z = β t. (ι) ω s -, a m, β m/s (ιι) dx dy dz = aω sinω t, = aω cosω t και = β d X d Y d Z = aω cosω t, = aω sinω t και = (ιιι) Θα βρούµε το διάνυσµα θέσης σώµατος που εκτελεί κυκλική κίνηση µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, σε κυκλική τροχιά ακτίνας a στο επίπεδο ΧΥ (βλ. ιπλανό σχήµα): Υ φ = ωt Χ Έχουµε X = asinω t και Y = a cosω t. Άρα t = X i + Y ( ) j Στον άξονα Ζ η ταχύτητα είναι σταθερή αφού dz = β. (γ) (ι) ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΜΟΣ Ι, σελ. 55 (ιι) Στην περίπτωση αυτή ο κινούµενος παρατηρητής µπορεί να εκτοξεύσει ένα σώµα κατακόρυφα προς τα πάνω. Αφού επιταχύνεται θα δει το σώµα να πέφτει στο δάπεδο, αλλά πίσω του.

Σχετικά έγγραφα

4 η Εργασία F 2. 90 o 60 o F 1. 2) ύο δυνάµεις F1

4 η Εργασία F 2. 90 o 60 o F 1. 2) ύο δυνάµεις F1 4 η Εργασία 1) ύο δυνάµεις F 1 και F 2 ασκούνται σε σώµα µάζας 5kg. Εάν F 1 =20N και F 2 =15N βρείτε την επιτάχυνση του σώµατος στα σχήµατα (α) και (β). [ 2 µονάδες] F 2 F 2 90 o 60 o (α) F 1 (β) F 1 2)