10 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων

Transcript

1 0 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων

2 Περιεχόμενα η Άσκηση η Άσκηση η Άσκηση... 5 Χρηματοδότηση... 8 Σημείωμα Αναφοράς... 9 Σημείωμα Αδειοδότησης

3 Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 0 ης Διάλεξης η Άσκηση Οι λαχνοί για μια λοταρία κοστίζουν. Υπάρχουν δύο δυνατά έπαθλα: Ένα έπαθλο 0 με πιθανότητα /50 Ένα έπαθλο με πιθανότητα / Ποια είναι η αναμενόμενη αξία ενός λαχνού της λοταρίας; Πότε είναι λογικό να αγοράσουμε λαχνούς; Παρουσιάστε μια εξίσωση που να περιλαμβάνει χρησιμότητες για να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Θεωρείστε ότι η τρέχουσα περιουσία του πιθανού αγοραστή ενός λαχνού είναι k και ότι U(S k ) = 0. Επίσης, θεωρείστε ότι U(S k+0 )=0 x U(S k+ ), αλλά δεν μπορείτε να κάνετε την ίδια υπόθεση για το U(S k ). Ενδεικτική λύση Η αναμενόμενη αξία ενός λαχνού ισούται με: ,70. Αν και 0,70 < δεν είναι απαραίτητα παράλογο να αγοράσουμε λαχνό. Με βάση την εκφώνηση η χρησιμότητα των χρημάτων είναι γραμμική για μικρές τιμές χρημάτων, δηλαδή U(S k+n )=n U(S k+ ) για 0 n 0. Αυτό που θα πρέπει να δείξουμε είναι υπό ποιες συνθήκες η χρησιμότητα της λοταρίας U(L) είναι μεγαλύτερη από τη χρησιμότητα U(S k+ ), δηλαδή τη χρησιμότητα να κρατήσουμε το και να μην παίξουμε Επομένως πρέπει να ισχύει: Επομένως, για να παίξουμε θα πρέπει το να κερδίσουμε το ποσό του να έχει ωφελιμότητα για εμάς μεγαλύτερη ίση από

4 2 η Άσκηση Ένας αγοραστής μεταχειρισμένων μοτοσικλετών μπορεί να κάνει διάφορους ελέγχους, με διαφορετικό κόστος ο καθένας, και μετά, ανάλογα με το αποτέλεσμα των ελέγχων, να αποφασίσει ποια μοτοσικλέτα θα αγοράσει. Ας υποθέσουμε ότι ο αγοραστής αποφασίζει το εάν θα αγοράσει τελικά τη μοτοσικλέτα μ, το ότι έχει χρόνο να κάνει μόνο έναν έλεγχο και το ότι ο έλεγχος για την μ είναι ο ε και έχει κόστος 200. Μια μοτοσικλέτα μπορεί να είναι σε καλή κατάσταση (ποιότητα κ + ) ή σε κακή κατάσταση (ποιότητα κ ). Οι έλεγχοι μπορούν να βοηθήσουν στην αναγνώριση της κατάστασης μιας μοτοσικλέτας. Η μοτοσικλέτα μ έχει κόστος αγοράς 300 ενώ η εμπορική της αξία είναι 2200, εάν είναι σε καλή κατάσταση. Διαφορετικά, αν είναι σε κακή κατάσταση απαιτούνται 000 για να επανέλθει σε καλή κατάσταση. Η εκτίμηση του αγοραστή είναι ότι η μοτοσικλέτα μ έχει 65% πιθανότητα να είναι σε καλή κατάσταση.. Υπολογίστε το αναμενόμενο καθαρό κέρδος από την αγορά της μ, χωρίς κανένα έλεγχο. 2. Οι έλεγχοι μπορούν να περιγραφούν από την πιθανότητα ότι η μοτοσικλέτα θα επιτύχει ή θα αποτύχει στον έλεγχο, με δεδομένο το ότι βρίσκεται σε καλή ή σε κακή κατάσταση. Έχουμε τις παρακάτω πληροφορίες: P(επιτυχής_έλεγχος(μ, ε )/κ + (μ )) = 0.85 P(επιτυχής_έλεγχος(μ, ε )/κ (μ )) = 0.25 Υπολογίσετε την πιθανότητα ότι η μοτοσικλέτα θα επιτύχει (ή θα αποτύχει) στον έλεγχο. 3. Χρησιμοποιήστε το Θεώρημα Απόφασης του Bayes για να υπολογίσετε τις εκ των υστέρων πιθανότητες ότι η μοτοσικλέτα είναι σε καλή κατάσταση, με δεδομένο κάθε δυνατό αποτέλεσμα ελέγχου (θετικό αρνητικό). 4. Ποιο θα είναι το αναμενόμενο καθαρό κέρδος από την αγορά της μοτοσυκλέτας υπό την προϋπόθεση ότι δε θα περάσει τον έλεγχο ε ; Ενδεικτική λύση α) Το αναμενόμενο κέρδος σε ισούται με: P(κ + ) ( ) + P(κ ) ( ) = ( 00 ) = 550. β) Η πιθανότητα να περάσει η μοτοσυκλέτα τον έλεγχο ισούται με: P(επιτυχής_έλεγχος(μ,ε ))= P(επιτυχής_έλεγχος(μ,ε )/κ + (μ )) P(κ + ) + P(επιτυχής_έλεγχος(μ, ε )/κ (μ )) P(κ ) = = = 0.64 Επομένως, η πιθανότητα να μην περάσει η μοτοσυκλέτα των έλεγχο ισούται με: 4

5 P(μη_επιτυχής_έλεγχος(μ, ε )) = 0.64 = 0.36 γ) P(κ + /επιτυχής_έλεγχος(μ, ε )) = P(επιτυχής_έλεγχος(μ, ε )/κ + (μ )) P(κ + ) / P(επιτυχής_έλεγχος(μ, ε )) = / 0.64 = P(κ /επιτυχής έλεγχος(μ, ε )) = = 0.37 P(κ + /μη_επιτυχής_έλεγχος(μ, ε )) = P(μη_επιτυχής_έλεγχος(μ, ε )/κ + (μ )) P(κ + ) / P(μη_επιτυχής_έλεγχος(μ, ε )) = / 0.36 = 0.27 P(κ /μη επιτυχής έλεγχος(μ, ε )) = 0.27 = δ) Αν η μοτοσυκλέτα δεν περάσει τον έλεγχο το αναμενόμενο καθαρό κέρδος σε θα ισούται με: P(κ + /μη_επιτυχής_έλεγχος(μ, ε )) ( ) + P(κ /μη_επιτυχής έλεγχος(μ, ε )) ( ) 200 = 0.27 * * ( 00 ) 200 = 243,9 72,9 200 = 29 3 η Άσκηση α) Ο Δρ. No έχει έναν ασθενή ο οποίος είναι βαριά άρρωστος. Χωρίς κάποια θεραπεία ο ασθενής έχει περίπου 3 μήνες ζωής. Η μόνη θεραπεία που μπορεί να του χορηγηθεί είναι μια εναλλακτική θεραπεία που εμπεριέχει μια επικίνδυνη για τη ζωή του εγχείριση. Ο ασθενής εκτιμάται ότι θα ζήσει περίπου 2 μήνες αν επιζήσει από την εγχείριση. Η πιθανότητα να επιζήσει από την εγχείριση είναι 0.7. Σχεδιάστε το δέντρο απόφασης για αυτό το πρόβλημα λήψης απλής απόφασης o Στους τελικούς κόμβους να βάλετε τις αντίστοιχες ωφελιμότητες Αν U(2)= και U(0)=0, με τι θα πρέπει να ισούται η ωφελιμότητα του να ζήσει για 3 μήνες, U(3), για να επιλέξει να κάνει την εγχείριση; β) Ο Δρ. No ανακαλύπτει ένα λιγότερο επικίνδυνο τεστ το οποίο θα του παρέχει πληροφορία (όχι 00% αξιόπιστη) για το εάν ο ασθενής θα επιβιώσει ή όχι μετά από την εγχείριση. Εάν το συγκεκριμένο τεστ είναι θετικό, η πιθανότητα ο ασθενής να επιβιώσει μετά από την εγχείριση αυξάνεται. Το τεστ έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Η πιθανότητα το τεστ να έχει βγει θετικό αν στη συνέχεια ο ασθενής επιβιώσει μετά από την εγχείριση είναι 0.9 Η πιθανότητα το τεστ να βγει αρνητικό αν στη συνέχεια ο ασθενής επιβιώσει μετά από την εγχείριση είναι 0. 5

6 Θεωρώντας ότι U(3)=0.8, απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις: Ποια είναι η πιθανότητα ο ασθενής να επιβιώσει μετά από την εγχείριση αν το τεστ είναι θετικό; Αν ο ασθενής πραγματοποιήσει το τεστ και αυτό βγει θετικό, θα πρέπει ο Δρ. No να πραγματοποιήσει την εγχείριση; γ) Αν το τεστ έχει τελικά κάποιες επιπλοκές οι οποίες μπορεί να οδηγήσουν στο θάνατο του ασθενή, τίθεται και το θέμα της πραγματοποίησης ή όχι του τεστ, πριν από την εγχείριση. Σχεδιάστε ένα δέντρο απόφασης που να παρουσιάζει όλες τις επιλογές (αποφάσεις) και τα αντίστοιχα αποτελέσματα του προβλήματος απόφασης του Δρ. No. Υπόδειξη: θα πρέπει να υπολογίσετε και την πιθανότητα ο ασθενής να επιβιώσει μετά από την εγχείριση αν το τεστ είναι αρνητικό. δ) Έστω ότι η πιθανότητα να καταλήξει ο ασθενής μετά από το τεστ είναι Πρέπει ο Δρ. No να συμβουλέψει τον ασθενή να πραγματοποιήσει το τεστ πριν να αποφασίσει για το εάν θα πραγματοποιήσει ή όχι την εγχείριση; Ενδεικτική λύση α) Tο δέντρο απόφασης για αυτό το πρόβλημα λήψης απλής απόφασης είναι το εξής: max(u(3), 0,7) Για να επιλέξει ο ασθενής να κάνει την εγχείριση θα πρέπει η ωφελιμότητα του να ζήσει 3 μήνες να είναι μικρότερη από 0,7, δηλαδή U(3)<0,7. β) ί/ό ό /ί ί ό ό /ί ί ό /ί ί ό / ί ί 0,7 U(3) 0,7 0,3 U(2) U(0),,,,,,, 0,9545., 0,9545 εγχείριση 0,9545 0,9545 0,0455 U(2)= U(0)=0 μη εγχείριση U(3)=0,8 6

7 Επειδή η αναμενόμενη χρησιμότητα της εγχείρισης, αν το τεστ βγει θετικό, είναι ίσο με 0,9545, το οποίο είναι μεγαλύτερο του U(3)=0,8, αν το τεστ βγει θετικό, θα πρέπει ο Δρ. No να πραγματοποιήσει την εγχείριση. γ) ί/ό ό /ί ί ό,,,,,,, 0,2059., κάνει το τεστ ζει θετικό τεστ (0,66) αρνητικό τεστ (0,34) εγχείριση μη εγχείριση εγχείριση U(3) 0,9545 0,0455 0,2059 0,794 U(2) U(0) U(2) U(0) πεθαίνει U(0) μη εγχείριση U(3) δεν κάνει το τεστ U(3) δ) κάνει το τεστ 0,896 ζει 0,995 0,896 πεθαίνει 0,005 θετικό τεστ (0,66) 0,9 0 αρνητικό τεστ (0,34) 0,95 0,8 εγχείριση μη εγχείριση εγχείριση μη εγχείριση 0,95 0,8 0,2 0,8 0,9545 0,0455 0,2059 0, δεν κάνει το τεστ 0,8 Ναι, πρέπει να τον συμβουλέψει να το πραγματοποιήσει, διότι η αναμενόμενη ωφελιμότητα του να κάνει το τεστ ισούται με 0,896, το οποίο είναι μεγαλύτερο από 0,8. 7

8 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 8

9 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Γρηγόριος Μπεληγιάννης. «Θεωρία Λήψης Αποφάσεων. 0 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων». Έκδοση:.0. Πάτρα 205. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 9

10 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] nc sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 0