4 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων

Transcript

1 4 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1

2 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση η Άσκηση η Άσκηση η Άσκηση η Άσκηση η Άσκηση... 7 Χρηματοδότηση... 8 Σημείωμα Αναφοράς... 9 Σημείωμα Αδειοδότησης

3 Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 4 ης Διάλεξης 1 η Άσκηση Γιατί η διατύπωση του προβλήματος πρέπει να γίνεται μετά από τη διατύπωση του στόχου; Όταν διατυπώνουμε το στόχο, αυτό που ουσιαστικά κάνουμε είναι να αποφασίσουμε ποια στοιχεία του «κόσμου» μας ενδιαφέρουν και ποια στοιχεία μπορούν να αγνοηθούν. Στη συνέχεια, διατυπώνοντας το πρόβλημα, αυτό που ουσιαστικά κάνουμε είναι να αποφασίσουμε πως πρέπει να εκμεταλλευτούμε / χρησιμοποιήσουμε τα στοιχεία του κόσμου που μας ενδιαφέρουν για να φτάσουμε στον επιθυμητό στόχο. 2 η Άσκηση Βρείτε την αρχική κατάσταση, τον έλεγχο στόχου, τη συνάρτηση διαδόχων και τη συνάρτηση κόστους για το παρακάτω πρόβλημα: Πρέπει να χρωματίσετε έναν επίπεδο χάρτη χρησιμοποιώντας μόνο τέσσερα χρώματα, με τέτοιο τρόπο ώστε δύο γειτονικές περιοχές να μην έχουν ποτέ το ίδιο χρώμα. Αρχική κατάσταση Ο χάρτης χωρίς χρωματισμένες περιοχές. Έλεγχος στόχου Χρωματίστηκε όλος ο χάρτης με τέτοιο τρόπο ώστε σε κάθε ζεύγος γειτονικών περιοχών να μην υπάρχει το ίδιο χρώμα; Συνάρτηση διαδόχων Χρωματισμός μίας περιοχής έτσι ώστε να μην έχει το ίδιο χρώμα με κάποια γειτονική της. Συνάρτηση κόστους Προσθέτουμε ένα, για κάθε χρωματισμό περιοχής. 3

4 3 η Άσκηση Βρείτε την αρχική κατάσταση, τον έλεγχο στόχου, τη συνάρτηση διαδόχων και τη συνάρτηση κόστους για το παρακάτω πρόβλημα: Έχετε τρία δοχεία που χωρούν 12 λίτρα, 8 λίτρα και 3 λίτρα νερό, και μία βρύση. Μπορείτε να γεμίζετε τα δοχεία ή να τα αδειάζετε από το ένα στο άλλο ή στο έδαφος. Πρέπει να μετρήσετε ακριβώς ένα λίτρο. Αρχική κατάσταση Τα τρία δοχεία είναι άδεια Έλεγχος στόχου Μετρήθηκε ακριβώς ένα λίτρο νερό; Έχουμε δηλαδή μέσα σε κάποιο δοχείο ένα λίτρο νερό; o [1, y, z] o [x, 1, z] o [x, y, 1] Συνάρτηση διαδόχων Υπάρχουν τρεις κατηγορίες o Γέμισμα από βρύση [12, y, z] [x, 8, z] [x, y, 3] o Άδειασμα στο έδαφος [0, y, z] [x, 0, z] [x, y, 0] o Άδειασμα σε άλλο δοχείο Θα παρουσιάσουμε τι θα ισχύει αν αδειάσουμε το περιεχόμενο του δοχείου y στο δοχείο x. Αντίστοιχα, μπορεί να γίνει η ανάλυση και για οποιαδήποτε άλλο ζεύγος δοχείων. Άδειασμα του y στο x: Tο περιεχόμενο του x είναι ίσο με το ελάχιστο των x+y και της χωρητικότητας του x, δηλαδή του min[x+y, 12]. Το περιεχόμενο του y είναι ίσο με y μείον την ποσότητα κατά την οποία αυξήθηκε το x, δηλαδή y (min[x+y, 12] x). Επομένως, μετά το άδειασμα του y στο x έχουμε: [min[x+y, 12], y (min[x+y, 12] x), z] Συνάρτηση κόστους Προσθέτουμε ένα, για κάθε ενέργεια 4

5 4 η Άσκηση Έστω ένας χώρος καταστάσεων όπου η αρχική κατάσταση είναι ο αριθμός 1 και η συνάρτηση διαδόχων για την κατάσταση n επιστρέφει δύο καταστάσεις, τους αριθμούς 2n και 2n+1 1. Σχεδιάστε το τμήμα του χώρου καταστάσεων για τις καταστάσεις 1 μέχρι Ας υποθέσουμε ότι η κατάσταση στόχου είναι η 11. Βρείτε τη σειρά με την οποία θα επισκεφτεί τους κόμβους (μέχρι να βρει τη λύση): μια αναζήτηση πρώτα σε πλάτος, μια αναζήτηση περιορισμένου βάθους με όριο 2 μια αναζήτηση επαναληπτικής εκβάθυνσης 3. Θα ήταν κατάλληλη η αμφίδρομη αναζήτηση γι αυτό το πρόβλημα; Αν ναι, περιγράψτε αναλυτικά πως θα λειτουργούσε 4. Ποιος είναι ο παράγοντας διακλάδωσης προς την κάθε κατεύθυνση στην αμφίδρομη αναζήτηση; 5. Μήπως η απάντηση στο ερώτημα 3 υποδεικνύει μια επαναδιατύπωση του προβλήματος που επιτρέπει τη μετάβαση από τον κόμβο 1 σε μια δεδομένη κατάσταση στόχου σχεδόν χωρίς αναζήτηση; Αναζήτηση πρώτα κατά πλάτος Αναζήτηση περιορισμένου βάθους με όριο Αναζήτηση επαναληπτικής εκβάθυνσης 1; 1 2 3; ; Η αμφίδρομη αναζήτηση θα ήταν κατάλληλη διότι ο πρόγονος κάθε κόμβου n είναι ίσος με ακέραιο μέρος του n/2 ( ). 5

6 4. Ο παράγοντας διακλάδωσης προς τα κάτω ισούται με 2, ενώ προς τα πάνω ισούται με Ναι. Ξεκινάμε από τη λύση και προχωράμε προς τα πίσω, χρησιμοποιώντας το μέχρι να φτάσουμε στην κορυφή. 5 η Άσκηση Έστω ο παρακάτω γράφος: Δ Β Ε Α Γ Ζ Θ Η Μ Κ Λ Ι Ν 1. Με ποια σειρά θα πρωτοεπισκεφτεί τους κόμβους του παραπάνω γράφου ο αλγόριθμος αναζήτησης πρώτα κατά πλάτος (Breadth First Search); 2. Με ποια σειρά θα πρωτοεπισκεφτεί τους κόμβους του παραπάνω γράφου ο αλγόριθμος αναζήτησης πρώτα κατά βάθος (Depth First Search); 1. Breadth First Search: Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν 2. Depth First Search: Α Β Δ Ε Ζ Η Θ Κ Μ Ν Λ Ι Γ 6

7 6 η Άσκηση Έστω ο «γνωστός» κόσμος της σκούπας που αποτελείται από 8 διαφορετικές καταστάσεις. Η σκούπα βρίσκεται είτε στην αριστερή είτε στη δεξιά αίθουσα. Κάθε αίθουσα μπορεί να είναι είτε καθαρή είτε με σκόνη. 1. Θεωρώντας ως αρχική κατάσταση την κατάσταση (1) του κόσμου της σκούπας (σκόνη και στις δύο αίθουσες η σκούπα στην αριστερή αίθουσα), βρείτε την πρώτη διαδρομή που επιστρέφει ο αλγόριθμος depth first search από την κατάσταση 1 προς κάποια κατάσταση της οποίας το δεξιό δωμάτιο είναι καθαρό, δηλαδή προς την κατάσταση (3), (4), (7) ή (8). 2. Θεωρώντας ως αρχική κατάσταση την κατάσταση (1) του κόσμου της σκούπας (σκόνη και στις δύο αίθουσες η σκούπα στην αριστερή αίθουσα), βρείτε την πρώτη διαδρομή που επιστρέφει ο αλγόριθμος breadth first search από την κατάσταση 1 προς κάποια κατάσταση της οποίας το δεξιό δωμάτιο είναι καθαρό, δηλαδή προς την κατάσταση (3), (4), (7) ή (8). Δώστε προτεραιότητα στις ενέργειες με την εξής σειρά: Σκούπισμα (S), Αριστερή μετακίνηση (L), Δεξιά μετακίνηση (R). 1. (1) ύ (5) ά (6) ύ (8) Λύση 2. (1) ύ (5) ά (6) και (1) ά (2) ύ (4) Λύση 7

8 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 8

9 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Γρηγόριος Μπεληγιάννης. «Θεωρία Λήψης Αποφάσεων. 4 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 9

10 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] nc sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 10