Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Thales Workshop, 1-3 July 2015.

Transcript

1 Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Thles Worksho, 1-3 July 015 The isomorhism function from S3(L(,1)) to the free module Boštjn Gbrovšek

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε Άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναγράφεται ρητώς.

3 The isomorhism function from S 3 (L,1 ) to the free module Boštjn Gbrovšek (joint work with Mciej Mroczkowski) July 1, 015 July 1, / 16

4 The bsis of S 3 (T ) nd S 3 (L,1 ) Let B = {t i 1 k1...t is k s : s N, k 1 <.. < k s Z, i 1..i s N} { } be the bsis of S 3 (T ). k 1 k k s 1 k s Let B = {t i 1 k1...t is k s : s N, k 1 <.. < k s Z, < k 1 <.. < k s, i 1..i s N} { } July 1, 015 / 16

5 Min theorem Theorem Let D be the set of (rrow) digrms in T. There exists m tht induces n isomorhism H : D RB. H : S 3 (L,1 ) B July 1, / 16

6 Proerties of H The theorem will be roven if we show tht there exists m H such tht: 1 H is well-defined, H resects the HOMFLY-PT reltions, 3 H is invrint under Ω 1, Ω, Ω 3, Ω 4, nd Ω 5 4 H is invrint under Ω (). July 1, / 16

7 Constrution of H Let H T (L) the exression of L in S 3 (T ) exressed s liner combintion of digrms. Let H be liner m D if D is digrm of n element in B, H(D) = H(H T (Ω () (D))) if D is digrm of n element in B \ B, H(H T (D)) otherwise, where D D nd Ω () is erformed on the boslute mximl comonent (with reference to tke the "negtive" comonent). July 1, / 16

8 H resects the HOMFLY-PT reltions Let L +, L, nd L 0 be digrms, such tht v 1 L + vl zl 0 = 0. It holds: H(v 1 L + vl zl 0 ) = v 1 H(L + ) vh(l ) zh(l 0 ) = v 1 H(H T (L + )) vh(h T (L )) zh(h T (L 0 )) = H(H T (v 1 L + vl zl 0 ) = H(0) = 0 July 1, / 16

9 H is invrint under Ω 1, Ω, nd Ω 3 Agin this follows from the fct tht H T is invrint under these moves: H T (L) = H T (Ω 1 (L)) H(H T (L)) = H(H T (Ω 1 (L))) H(L) = H(Ω 1 (L)),. H T (L) = H T (Ω 5 (L)) H(H T (L)) = H(H T (Ω 5 (L))) H(L) = H(Ω 5 (L)), July 1, / 16

10 H is invrint under Ω () Proosition: H is invrint under Ω () if it is invrint under ll stndrd Ω () moves. A stndrd Ω () move involves mking n Ω () move on n element of B with n dded ovl. 3 = (v +v z ) + v z 3 = (v +v z ) + v z Remrks. In this rocess the number of rrows does not increse! We cnnot revert the freezed ovl. July 1, / 16

11 H is invrint under Ω () Let D be stndrd digrm. We wnt to show H(D) = H(Ω () (D)), where Ω () is erformed on the extr comonent e. k 1 k k s b e Ω () k 1 k k s b D Ω () (D) Proof by induction on n = mx ( k k s + b, k k s + b ) nd l = k k s. July 1, / 16

12 n = 0 : no such cse. l = 0 (n N) : ll comonentes excet e re trivil, so they m to elements in R, thus H(D) = H(Ω () D) holds by definition. Cse 1: D hs n rrows, Ω () (D) hs less thn n rrows (b > ). Let d be the comonent of D where H T mkes the slide move. If d = e, H(D) = H(Ω () D) holds by definition. if d e: d b e Ω () d b H(D) Ω () (D) July 1, / 16

13 b - b H D Ω () -b H(D) Ω (D) () Ω () Ω () - b = -b E E July 1, / 16

14 rrows b Ω 5 -b Ω -b Sme under H by induction Ω () b-1 rrows if odd b- rrows if even +1-b Ω 5 Ω () -b Ω (D) () b-1 rrows if odd b- rrows if even -1 rrows if odd rrows if even E July 1, / 16

15 The fct tht H(D) = H(E) cn be shown in the sme mnner, excet tht we exchnge roles of c nd d. On the left we ush ovls inside e, on the right we ush them outside e. July 1, / 16 Cse : D hs less thn n rrows, Ω () (D) hs n rrows (b < ). k 1... k s b Ω () k 1... k s -b D Ω (D) () Ω,4,5 Ω,4,5 b b-1 A1 k 1 k s... + A k 1 k s b -b+1 k 1 k s k 1 k s... A1 + A Ω () Cse 1 Ω () induction on l

16 Cse 3: Both D nd Ω () (D) hve n rrows. Ω () Ω 4 This occurs when is odd nd e hs rrows. Cse b =, > : We use similr construction s in Cse 1. Cse b = (bd rrows), ): Holds by definition. Cse b = (good rrows), ): We use similr construction s in Cse. July 1, / 16

17 - H D Ω () H(D) Ω (D) () Ω () Ω () - = E E July 1, / 16

18 Ω 5 Ω Sme under H by induction or Cse 1 Ω () / or less rrows -1 Ω 5 Ω () Ω (D) () + / - rrows E July 1, / 16

19 Χρηματοδότηση - Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. - Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. - Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικού πόρους.