Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Στοχαστικές Ανελίξεις. Ασκήσεις Κεφαλαίου 2. Κοκολάκης Γεώργιος

Transcript

1 Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Στοχαστικές Ανελίξεις Ασκήσεις Κεφαλαίου 2 Κοκολάκης Γεώργιος

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναγράφεται ρητώς.

3 Με εφαρµογή του 1 ου Λήµµατος Borel-Cantelli να αποδείξετε ότι στον απλό τυχαίο περίπατο p q το ενδεχόµενο limsup A n = n= 1 A m m= n µε Α n = {X n = 0} (n = 1, 2, ) έχει πιθανότητα µηδέν. (Να ερµηνευτεί το αποτέλεσµα αυτό) Να αποδειχθεί ότι στον απλό τυχαίο περίπατο η σ.α. {X n /n : n = 1, 2, } συγκλίνει µε πιθανότητα τη µονάδα στο p q Να αποδείξετε ότι στον απλό τυχαίο περίπατο για κάθε αριθµό a έχουµε: # 1, P[X n > a ] "! 0, p > q p < q για n.

4 Στον απλό τυχαίο περίπατο µε Χ 0 = 0 έστω α η πιθανότητα να φθάσει το σωµατίδιο κάποια στιγµή στη θέση s = 1. Με αναφορά στο αποτέλεσµα του 1 ου βήµατος να δείξετε ότι ισχύουν τα παρακάτω: (α) α = p + (1 p)α 2. (β) α = # 1, "! p/q, για για p p < 1/2 1/ (Συνέχεια προηγούµενης). Να απαντηθούν τα παρακάτω: (α) (β) Ποια η πιθανότητα να φθάσει κάποια στιγµή στη κατάσταση m; (m>0). Για p < ½ και µε δεδοµένο ότι κάποια στιγµή φθάνει την κατάσταση m (m>0) να υπολογιστεί η δεσµευµένη πιθανότητα να περάσει από την κατάσταση k στην κατάσταση k +1 µε k < m.

5 Αν Τ είναι ο χρόνος (ο αριθµός των βηµάτων) στον απλό τ.π. µέχρι να φθάσει το σωµατίδιο για πρώτη φορά στην κατάσταση 1, να δείξετε ότι ισχύουν τα παρακάτω: (α) # 1/(2p-1), Ε[Τ] = "!, (β) Για p > ½, για p > 1/2 για p 1/2. 4p(1 p) Var[T] =. 3 (2p 1) 2.7. Με βάση τα αποτελέσµατα της προηγούµενης άσκησης να προσδιορίσετε τα παρακάτω. (α) (β) Τη µέση τιµή του χρόνου µέχρι να φθάσει το σωµατίδιο στη κατάσταση m (m>0). Τη διασπορά του χρόνου µέχρι να φθάσει το σωµατίδιο στη κατάσταση m (m>0) Στον απλό τ.π. να υπολογιστεί ο µέσος αριθµός επισκέψεων στην κατάσταση k.

6 Παίκτης κερδίζει ή χάνει 1 µονάδα µε ίσες πιθανότητες. Αν ξεκίνησε µε ποσό I να δειχθεί ότι ο αναµενόµενος χρόνος µέχρι τη στιγµή που τα χρήµατά του γίνονται Κ ή 0 είναι I(Κ - I), I = 0, 1,, Κ Να δείξετε ότι στον τ.π. {Χ n : n = 1, 2, } µε Χ 0 = 0, µ = Ε[Χ n+1 X n ] 0 και φράγµατα -a, (a, > 0) η τ.µ. έχει πεπερασµένη µέση τιµή. Ν = min{n: X n -a ή X n } Σωµατίδιο ανά µονάδα χρόνου κινείται ένα βήµα δεξιά ή αριστερά µε πιθανότητες p και q αντίστοιχα, ή παραµένει στην ίδια θέση µε πιθανότητα r = 1 p q. Να προσδιοριστούν τα παρακάτω: (α) Η γεννήτρια πιθανοτήτων G n (s) της θέσης X n. (β) Η µέση τιµή και η διασπορά της θέσης X n. (γ) Η γεννήτρια συνάρτηση G(s,t) = n 0G (s) t. n

7 Στον τυχαίο περίπατο της προηγούµενης άσκησης να προσδιοριστεί η κατανοµή της πλέον ακραίας προς τα αριστερά θέσης M n = min{x n : n = 0, 1, 2, ) µε X 0 = Θεωρείστε συµµετρικό τυχαίο περίπατο πάνω στο S = {0, 1,, a} µε την κατάσταση 0 απορροφητική και την κατάσταση a ανακλαστική µε πιθανότητα θ. Έχουµε δηλαδή P[X n = i + 1 X n-1 = i] = 0.5 = 1 - P[X n = i - 1 X n-1 = i] (i 0, a), P[X n = 0 X n-1 = 0] = 1 και P[X n = a - 1 X n-1 = a] = θ = 1 - P[X n = a X n-1 = a] (n = 1, 2, ). Να δειχθεί ότι η απορρόφηση στη θέση 0 είναι βεβαία. Να ευρεθεί η κατανοµή του χρόνου απορρόφησης Έστω {Χ n : n = 0, 1, 2, } µια Μαρκοβιανή ανέλιξη µε χώρο καταστάσεων S = {0, 1, 2, } για την οποία ισχύει η σχέση Ε[X n+1 X n = i] = Ai+B, i S (n = 0, 1, 2, ) µε Α 0. Να δειχθεί ότι ισχύει η σχέση: E[X n+1 ] = Β(1-Α) -1 +Α n {E[X 0 ] B(1-A) -1 } (n = 0, 1, 2, ).

8 Έστω Χ, Υ ανεξάρτητες τ.µ. και Ζ = Χ Υ. Εάν οι τ.µ. Χ, Υ ακολουθούν την Εκθετική κατανοµή µε παραµέτρους α και β αντίστοιχα να προσδιοριστεί η ροπογεννήτρια g(s) της τ.µ. Ζ καθώς και οι ρίζες των εξισώσεων g(s) = 1 και g (s) = Εφαρµόζοντας την αποδεικτική διαδικασία της να προσδιοριστεί η γεννήτρια πιθανοτήτων του χρόνου Ν µέχρι την απορρόφηση στον απλό τ.π. µε απορροφητικά φράγµατα στα σηµεία -a και Να αποδειχθεί ότι στον απλό τ.π. µε απορροφητικά φράγµατα στα σηµεία -a και οι ροπές της X N όπου Ν ο χρόνος απορρόφησης είναι: E[X k N k a a $ p (p q ) + ( a)! a+ ] = p q # k k! a + ( a),!" a + k a+ q a (p q ), p q p = q.

9 (Συνέχεια προηγουµένης) Να αποδειχθεί ότι για τον χρόνο απορρόφησης Τ = min{n : X n (-a, )} ισχύει: k a a k a $ p (p q ) + ( a) q (p! E[ Τ ] = a+ a+ # (p q)(p q )! " a, q ), p p = q q.

10 Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα Ε.Μ.Π.» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο την αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους.