Contents. 1.1 Quantum Spin Liquids Sachdev-Ye model Out-of-time-ordered correlator... 28

Transcript

1 Μοντέλο SYK και Κβαντικό Χάος Σταύρος Ευθυμίου AM: Τομέας Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων Επιβλέπων Καθηγητής: Άρης Μουστάκας Τομέας Ηλεκτρονικής - Υπολογιστών - Τηλεπικοινωνιών - Αυτοματισμού Αθήνα, 2017

2

3 Abstract Στην παρακάτω εργασία μελετάμε αρχικά το μοντέλο κβαντικού μαγνητισμού Sachdev-Ye και κατόπιν κάνουμε μία εισαγωγή σε μία σύγχρονη επέκτασή του, η οποία προτάθηκε από τον Kitaev και έχει σκοπό να το συνδέσει με βαρυτικά προβλήματα. Η εισαγωγή αυτή εστιάζει στα χαοτικά χαρακτηριστικά του μοντέλου SYK. Αρχικά παρουσιάζουμε αναλυτικά τον τρόπο επίλυσης του μοντέλου Sachdev-Ye και σε κατάλληλα όρια, χαμηλές συχνότητες και μηδενική θερμοκρασία βρίσκουμε αναλυτικά τις συναρτήσεις Green. Το βασικό αποτέλεσμα από πλευράς Φυσικής είναι η μαγνητική επιδεκτικότητα η οποία αποκλίνει ως χ ln T δηλαδή πιο αργά από τον κλασσικό νόμο Curie. Αυτό είναι χαρακτηριστικό της εξωτικής συμπεριφοράς της spin liquid φάσης την οποία επιδιώκει να περιγράψει το μοντέλο και η οποία οφείλεται στις ισχυρές κβαντικές (κι όχι θερμικές) διακυμάνσεις. Η spin liquid φάση υπάρχει τόσο στην φερμιονική όσο και στην μποζονική αναπαράσταση των spin, υπό κατάλληλες συνθήκες. Ωστόσο υπάρχουν σημαντικές διαφορές, καθώς στην περίπτωση των μποζονίων παρατηρείται αλλαγή φάσης στην spin glass φάση ακόμα και σε μηδενική θερμοκρασία. Τέλος, αξιοποιώντας συμμετρίες των εξισώσεων μπορούμε να επεκτείνουμε τις συναρτήσεις Green σε πεπερασμένη θερμοκρασία. Στα επόμενα κεφάλαια ασχολούμαστε με την σύγχρονη επέκταση του μοντέλου και κυρίως με τα χαοτικά χαρακτηριστικά του, τα οποία είναι καίρια για την συσχέτιση του μοντέλου με τα βαρυτικά προβλήματα. Τα χαρακτηριστικά αυτά προκύπτουν μαθηματικά από την μελέτη του out-of-time-ordered correlator. Στο κεφάλαιο 3 επιδιώκουμε να δώσουμε διαισθητικά την σημασία αυτού του αντικειμένου σε αναλογία με το κλασσικό χάος και πώς μπορεί αυτό να χρησιμοποιηθεί για να οριστεί το κβαντικό φαινόμενο της πεταλούδας. Ακόμα μέσω ενός παραδείγματος απλού συστήματος με qubits δείχνουμε πώς παρουσιάζεται scrambling της πληροφορίας στα χαοτικά συστήματα. Τέλος, στο κεφάλαιο 4 παρουσιάζουμε αναλυτικά των υπολογισμό του out-of-time-ordered correlator για το μιγαδικό μοντέλο SYK, χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα της ανάλυσής μας στο Sachdev-Ye. Η βασική επιδίωξη είναι ο υπολογισμός του εκθέτη Lyapunov, χαρακτηριστικού του χάους. Ο υπολογισμός γίνεται αναλυτικά, αλλά επιβεβαιώνεται κι αριθμητικά. Η προκύπτουσα τιμή λ L = 2πk B T/ είναι η μέγιστη δυνατή για ένα κβαντικό σύστημα πολλών σωμάτων κι αυτό αποτελεί ένδειξη ότι το μοντέλο μπορεί να συσχετιστεί με την περιγραφή της βαρύτητας κοντά σε μελανές οπές.

4 Η παρακάτω διπλωματική εργασία εκπονήθηκε το διδακτικό έτος στο Τμήμα Φυσικής του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών. Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον υπεύθυνο καθηγητή κ. Α. Μουστάκα για την πρόταση ενός πολύ ενδιαφέροντος κι ενεργού ερευνητικά θέματος, το οποίο δεν γνώριζα πρωτού αρχίσω να δουλεύω για την συγκεκριμένη εργασία. Επίσης, οι συζητήσεις μας με βοήθησαν να μάθω πολλές νέες έννοιες από την φυσική συμπυκνωμένης ύλης, ακόμα κι έξω από την σκοπιά του θέματος που πραγματεύομαι εδώ. Επιπλέον θα ήθελα να σημειώσω ότι δεν υπάρχουν νέες ιδέες στην παρούσα εργασία, καθώς ολόκληρη η παρακάτω ανάλυση βασίζεται σε παλαιότερες εργασίες. Το κεφάλαιο 2 βασίζεται κυρίως στην δουλειά των S. Sachdev και J. Ye στο [2] ενώ το μοντέλο SYK προτάθηκε στα [7][8] από τον A. Kitaev και μελετήθηκε αναλυτικά στο [9] από τους D. Stanford και J. Maldacena. Μεγάλο μέρος των τεχνικών υπολογισμών αναπτύσσεται αναλυτικά στο [10] από τους S. Banerjee και E. Altman κι αυτό ήταν αρκετά βοηθητικό στην κατανόηση. Χρησιμοποιήθηκαν κι άλλες εργασίες οι οποίες αναφέρονται στα αντίστοιχα σημεία. Βασική επιδίωξη μου είναι να συγκεντρώσω πληροφορίες από διάφορες σχετικές εργασίες και να παρουσιάσω ένα σύγχρονο θεωρητικό θέμα με σχετικά απλό τρόπο, ώστε να μπορεί να γίνει κατανοητό από προπτυχιακούς φοιτητές. Ταυτόχρονα είχα την ευκαιρία να έρθω σε επαφή με έννοιες οι οποίες αποτελούν αντικείμενο σημερινής έρευνας. Ελπίζω στο μέλλον να έχω την ευκαιρία να δουλέψω περισσότερο σε αυτά τα ζητήματα. iv

5 Contents Abstract iii 1 Εισαγωγή Quantum Spin Liquids Sachdev-Ye model Η πρόταση του Kitaev Δομή της εργασίας Μοντέλο Sachdev-Ye για κβαντικό μαγνητισμό Ολοκλήρωμα διαδρομών σε coherent states Ορια για το ολικό spin Εξισώσεις Schwinger-Dyson Συναρτήσεις Green σε χαμηλές συχνότητες και T = Μαγνητική επιδεκτικότητα σε χαμηλές συχνότητες και T = Φερμιονική αναπαράσταση Αριθμητικές λύσεις Σχόλιο στις συνθήκες της φασματικής συνάρτησης Μη μηδενική θερμοκρασία Σχετικά με την συμμετρία βαθμίδας Χάος και Out-of-time-ordered Correlators Χάος σε κλασσικά συστήματα Out-of-time-ordered correlator Scrambling της πληροφορίας Φράγμα στο χάος Χάος στο μιγαδικό SYK Σχέση μεταξύ SY και SYK Four point correlators Out-of-time-ordered correlators Υπολογισμός του kernel Επίλυση των κινητικών εξισώσεων Σύνοψη των αποτελεσμάτων v

6 Περιεχόμενα vi A Διαγραμματική Θεωρία Διαταραχών 51 B Φασματική Συνάρτηση 59 C Αριθμητική επίλυση εξισώσεων SD 63 D Αριθμητικός υπολογισμός των ιδιοτιμών 67 Bibliography 69

7 Chapter 1 Εισαγωγή 1.1 Quantum Spin Liquids Τα περισσότερα μεταλλικά στερεά περιγράφονται από την Fermi liquid θεωρία που προτάθηκε από τον L. Landau. Το μοντέλο αυτό, σε αντίθεση με το γνωστό αέριο Fermi, περιγράφει αλληλεπιδρόντα φερμιόνια. Ωστόσο θεωρεί ότι οι αλληλεπιδράσεις ενεργοποιούνται αργά (αδιαβατικά) και περιγράφονται μεταβάλλοντας τις παραμέτρους των φερμιονίων (πχ. η μάζα αντιστοιχείται σε κάποια νέα ενεργή μάζα). Ως αποτέλεσμα η περιγραφή είναι κοντά σε αυτή του αερίου Fermi. Παρόλο που η θεωρία αυτή περιγράφει ικανοποιητικά τα περισσότερα μέταλλα ακόμα και σε χαμηλές θερμοκρασίες, αποτυγχάνει να περιγράψει κάποιες εξωτικές καταστάσεις της ύλης όπως η υπεραγωγιμότητα ή υπερρευστότητα. Για την περιγραφή τέτοιων φαινομένων απαιτείται η μελέτη ισχυρά αλληλεπιδρόντων φερμιονίων (strongly correlated). Ενα παράδειγμα τέτοιας κατάστασης, η οποία παρατηρείται στο μοντέλο SY που αναλύουμε παρακάτω, είναι τα spin liquids. Η κύρια ιδέα είναι η καταστροφή της μαγνητικής τάξης λόγω των κβαντικών διακυμάνσεων. Προκειμένου να κατανοήσουμε τον όρο είναι καλύτερο να ξεκινήσουμε με το γνωστό μοντέλο Heisenberg για την αλληλεπίδραση spins, το οποίο περιγράφεται με την Χαμιλτονιανή: Ĥ = J Ŝ i Ŝj (1.1) ij 1

8 Εισαγωγή 2 Εδώ τα Ŝi είναι τελεστές spin που ακολουθούν την άλγεβρα SU(2), σε αντίθεση με το κλασσικό μοντέλο Ising. Το ij υποδηλώνει άθροιση σε πλησιέστερους γείτονες και το πλέγμα μπορεί να είναι οποιοδήποτε και οποιασδήποτε διάστασης. Σημειώνουμε ακόμα ότι στο μοντέλο 1.1 τα σωματίδια (πχ. ηλεκτρόνια) θεωρούνται παγωμένα σε συγκεκριμένες θέσεις του πλέγματος και η μόνη αλληλεπίδραση μεταξύ τους είναι λόγω του spin τους, δεν υπάρχει για παράδειγμα Coulomb αλληλεπίδραση. Η απλοποίηση αυτή γίνεται γιατί θέλουμε να εστιάσουμε στην μαγνητική αλληλεπίδραση των σωματιδίων αλλά μπορεί να ισχύσει και σε κάποιο πραγματικό σύστημα όπου τα ηλεκτρόνια είναι εντοπισμένα γύρω από τις συγκεκριμένες θέσεις των μορίων. Οπως είναι γνωστό από την Στατιστική Φυσική, η συμπεριφορά των συστημάτων πολλών σωμάτων σε ισορροπία περιγράφεται από την κανονική κατανομή (Boltzmann) όπου η πιθανότητα για μία μικροκατάσταση ενέργειας E είναι P e βe. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι προτιμούνται καταστάσεις μικρότερης ενέργειας, ή καλύτερα το σύστημα έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να βρεθεί σε μία κατάσταση μικρότερης ενέργειας. Εφαρμόζοντας αυτή την παρατήρηση στην 1.1 βλέπουμε ότι για J < 0 θα προτιμούνται καταστάσεις στις οποίες οι πλησιέστεροι γείτονες έχουν ευθυγραμμισμένα spins. Στην κατάσταση αυτή υπάρχει τάξη με την έννοια ότι υπάρχει καθορισμένη κατεύθυνση για την θερμική μέση τιμή Ŝi. Πειραματικά η τάξη αυτή εκφράζεται από την σιδηρομαγνητική (ferromagnetic) συμπεριφορά του υλικού. Η περίπτωση J > 0 αποδεικνύεται περισσότερο περίπλοκη. Η ελαχιστοποίηση της ενέργειας τότε πετυχαίνεται όταν τα spin σε γειτονικά σημεία έχουν αντίθετες κατευθύνσεις. Η ασυμφωνία αυτή φαίνεται να δημιουργεί εξάρτηση από την γεωμετρία του πλέγματος. Για παράδειγμα σε ένα τετραγωνικό πλέγμα η ελαχιστοποίηση μπορεί να επιτευχθεί τοποθετώντας εναλλάξ up και down spins. Με τον τρόπο αυτό κάθε δεσμός συνεισφέρει κατά J που είναι και η ελάχιστη συνεισφορά που μπορεί να δώσει. Η δυσκολία εμφανίζεται στο παράδειγμα που προτάθηκε από τον P. Anderson [11] όπου το πλέγμα είναι τριγωνικό. Είναι φανερό ότι είναι αδύνατο και οι δύο δεσμοί να συνεισφέρουν με την ελάχιστη ενέργεια στο σύστημα. Λέγεται ότι υπάρχει frustration στο σύστημα επειδή δεν μπορούν να ικανοποιηθούν ταυτόχρονα οι ανταγωνιστικές αλληλεπιδράσεις. Δημιουργούνται έτσι πολλές διαφορετικές μικροκαταστάσεις ίδιας ενέργειας (για παράδειγμα έξι σε ένα τρίγωνο), δηλαδή ίδια πιθανότητα εμφάνισης. Οι διαφορετικές αυτές εναλλακτικές αυξάνουν τις διακυμάνσεις: Μπορούμε να φανταστούμε δύο πανομοιότητα συστήματα, τα οποία παρά τις ομοιότητές τους λόγω του frustration καταλήγουν να ισορροπούν σε διαφορετικές

9 3 Εισαγωγή καταστάσεις. Το αποτέλεσμα είναι η καταστροφή της μαγνητικής τάξης που παρατηρείται πχ. στα σιδηρομαγνητικά υλικά. Τέλος, σημειώνεται ότι το frustration που προκύπτει από το παράδειγμα του τριγωνικού πλέγματος δεν είναι μόνο θεωρητικό, αλλά υπάρχουν και πραγματικά υλικά με αυτή την δομή στα οποία παρατηρούνται οι ιδιότητες των spin liquids. Ενα σύνηθες πλέγμα το οποίο έχει την τριγωνική μορφή είναι το Kagome (Trihexagonal). Μάλιστα έχει βρεθεί και το φυσικό ορυκτό Herbertsmithite το οποίο δείχνει να παρουσιάζει αυτές τις ιδιότητες. [12] 1.2 Sachdev-Ye model Το μοντέλο που θα αναλύσουμε μαθηματικά στο κύριο μέρος της εργασίας και κυρίως στο Κεφάλαιο 2 είναι αυτό που προτάθηκε από τους S. Sachdev και J. Ye στο [2]. Η Χαμιλτονιανή που περιγράφει το σύστημα είναι: H = 1 J ij Ŝ i NM Ŝj (1.2) Αρχικά πρέπει να επισημάνουμε ότι παρόλο που η 1.2 μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευση του γνωστού από παλαιότερα μοντέλου Heisenberg της 1.1, έχει σημαντικές διαφορές οι οποίες οδηγούν και σε σημαντικά διαφορετική συμπεριφορά του συστήματος. Οι τελεστές των spin στο μοντέλο SY ακολουθούν την γενικότερη άλγεβρα SU(M) και μάλιστα το πρόβλημα λύνεται αναλυτικά μόνο στο όριο M +. Δεν έχουμε βρει κάποια αναλυτική λύση του προβλήματος για την φυσική περίπτωση M = 2. Ακόμα, μία κύρια διαφορά που απλοποιεί το μοντέλο είναι ότι το άθροισμα εκτείνεται σε όλα τα sites, ενώ στο κλασσικό Heisenberg είχαμε αλληλεπιδράσεις μόνο μεταξύ γειτονικών σωματιδίων. Η προσέγγιση αυτή γίνεται επίσης για να μπορεί το πρόβλημα να λυθεί αναλυτικά, όμως η ιδέα βασίζεται στην θεωρία μέσου πεδίου (mean field). Τέλος, οι συντελεστές J ij i>j που εκφράζουν την ισχύ των αλληλεπιδράσεων είναι τυχαίοι αριθμοί που ακολουθούν κανονική κατανομή με μηδενική μέση τιμή και διασπορά J 2. Εδώ να σημειώσουμε ότι η τυχαιότητα των J ij σε συνδυασμό με το μέσο πεδίο, ίσως κάνει το μοντέλο λίγο αφύσικο υπό την εξής έννοια: Μπορεί δύο sites που είναι χωρικά κοντά να αλληλεπιδρούν ασθενώς, ενώ δύο άλλα που είναι πολύ απομακρυσμένα να αλληλεπιδρούν ισχυρά. Μία διόρθωση του φαινομένου αυτού προκύπτει αν σκεφτούμε ότι αυτό που τελικά

10 Εισαγωγή 4 έχει σημασία στις θεωρίες μέσου πεδίου είναι η συνολική δύναμη που ασκείται σε ένα σωμάτιο από όλα τα άλλα μαζί κι όχι οι μεμονωμένες αλληλεπιδράσεις. Οπως καταλαβαίνουμε το μέσο πεδίο καταστρέφει την σημασία της γεωμετρίας. Δηλαδή εφόσον το άθροισμα δεν περιορίζεται σε πρώτους γείτονες, δεν περιμένουμε να έχουμε frustration για τους λόγους που είχαμε στο τριγωνικό πλέγμα. Ο στόχος των Sachdev και Ye ήταν να βρουν ένα infinite-range μοντέλο που λύνεται και έχει spin liquid κατάσταση στην οποία έχουμε ισχυρές κβαντικές διακυμάνσεις (quantum fluctuations). Αυτό φαίνεται τελικά να πετυχαίνεται μέσω της τυχαιότητας στα J ij. Δεν είναι η πρώτη φορά που χρησιμοποιούνται τυχαία J ij σε τέτοιου είδους προβλήματα. Η τεχνική αυτή έχει ήδη εφαρμοστεί σε κλασσικά προβλήματα spin glasses (η ονομασία λόγω της αναλογίας στο disorder που υπάρχει στις θέσεις των μορίων στα κοινά γυαλιά). Μάλιστα η SY Χαμιλτονιανή θα μπορούσε ίσως να θεωρηθεί σαν η κβαντική γενίκευση του Sherrington-Kirkpatrick [13] μοντέλου για κλασσικά spin glasses το οποίο είναι επίσης μέσου πεδίου. Μάλιστα όπως σημειώνεται και στην αρχική δημοσίευση [2] αλλά μελετάται περαιτέρω αργότερα από τους A. Georges και O. Parcollet στα [3] και [4], το SY για συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων παρουσιάζει θεμελιώδη κατάσταση που είναι spin glass. Σε κάθε περίπτωση υπάρχουν και φυσικοί λόγοι για την τυχαιότητα των αλληλεπιδράσεων, όπως για παράδειγμα οι ατέλειες που υπάρχουν σε όλα τα υλικά και δεν γνωρίζουμε ακριβώς τις κατανομές τους. Περιμένουμε τέτοια φαινόμενα να είναι σημαντικά σε χαμηλές θερμοκρασίες όπου η θερμική τυχαιότητα είναι πιο ασθενής. Αυτό που μας ενδιαφέρει περισσότερο εδώ δεν είναι η spin glass κατάσταση αλλά η spin liquid. Η κύρια διαφορά είναι ότι το disorder στην δεύτερη οφείλεται αμιγώς σε κβαντικούς παράγοντες. Δεν είναι ξεκάθαρο αν η spin liquid κατάσταση που παρατηρείται στο SY τελικά οφείλεται στην τυχαιότητα των J ij ή στο αφύσικο όριο M +. Στο [5] λύνεται υπολογιστικά με χρήση quantum Monte Carlo το πρόβλημα για την φυσική περίπτωση M = 2 και παρόλο που τα αποτελέσματα που αφορούν την spin glass φάση μεταφέρονται στην M + προσέγγιση, δεν φαίνεται να συμβαίνει το ίδιο με την spin liquid φάση. Μία πιθανή εξήγηση είναι ότι με το όριο M + δημιουργείται μεγάλος εκφυλλισμός στην θεμελιώδη κατάσταση κι αυτό μπορεί πράγματι να αποτελέσει πηγή ισχυρών κβαντικών διακυμάνσεων [4].

11 5 Εισαγωγή 1.3 Η πρόταση του Kitaev Αρκετό καιρό μετά την αρχική πρόταση του μοντέλου SY για τους quantum magnets ο A. Kitaev [7][8] πρότεινε την Χαμιλτονιανή (SYK): H = 1 J jklm χ j χ k χ l χ m (1.3) 4! jklm Οι συντελεστές J jklm είναι κι εδώ τυχαίοι αριθμοί, όμως οι τελεστές είναι Majorana φερμιόνια, τα οποία είναι ερμιτιανοί. Αυτό είναι σε αντίθεση με το SY μοντέλο στο οποίο συνήθως τα spin αναπαριστώνται στους συνήθεις μιγαδικούς φερμιονικούς τελεστές (Κεφάλαιο 2). Ο στόχος του μοντέλου αυτού δεν είναι η περιγραφή κάποιας κατάστασης της ύλης, όπως το spin liquid στο SY, αλλά προτάθηκε σαν ένα απλό μοντέλο ολογραφίας. Ο όρος χρησιμοποιείται σε θεωρίες κβαντικής βαρύτητας όπου θεωρούμε ότι περιγραφή κάποιου συστήματος μπορεί να γίνει σε λιγότερες διαστάσεις από την πραγματική (κατ αναλογία με τα κοινά ολογράμματα τα οποία είναι τρισδιάστατα σχήματα σε δισδιάστατο χώρο). Για τον σκοπό αυτό πρέπει να χρησιμοποιηθεί η spin liquid φάση του SY γιατί θέλουμε αμιγώς κβαντική κατάσταση. Οι κβαντικές διακυμάνσεις είναι δευτερεύουσας σημασίας στο spin glass και δεν πετυχαίνεται η ολογραφία. Στο μοντέλο του Kitaev η spin glass φάση καταστρέφεται ευκολότερα παίρνοντας μόνο το όριο N +. Αντίθετα στο παλιό SY πρέπει να πάμε στην φερμιονική και να πάρουμε δύο όρια N, M +. [6] Πιο συγκεκριμένα, η αναλογία που πετυχαίνει το SYK είναι στο πλαίσιο της AdS 2 /CFT 1 correspondence. Γενικότερα με AdS/CFT [14] εννοούνται αναλογίες μεταξύ του χώρου Anti-de Sitter που χρησιμοποιείται σε θεωρίες κβαντικής βαρύτητας και κάποιας σύμμορφης θεωρίας πεδίου (conformal field theory). Τέτοιες αναλογίες αποτελούν την ισχυρότερη επιβεβαίωση της αρχής της ολογραφίας (holographic principle) καθώς ο AdS χώρος αντιστοιχείται σε CFT με διάσταση μικρότερη κατά ένα. Το SYK της 1.3 είναι μία CFT σε μία διάσταση, η οποία είναι ο χρόνος που δρα η αλληλεπίδραση που ορίζει η Χαμιλτονιανή. Το γεγονός ότι είναι σύμμορφη θεωρία προκύπτει από την συμμετρία (conformal symmetry) που εμφανίζεται στις εξισώσεις Schwinger-Dyson σε χαμηλές συχνότητες. Η συμμετρία αυτή, όπως θα δούμε στο δεύτερο κεφάλαιο, εμφανίζεται και στο SY και ίσως είναι ο λόγος που ο Kitaev πρότεινε το μοντέλο αυτό για την ολογραφία. Πιο σημαντικά, η συμμετρία αυτή σπάει σε μεγαλύτερες συχνότητες και ο μηχανισμός αυτός θυμίζει την βαρύτητα σε extremal black holes στις οποίες ο χώρος είναι AdS 2 (δισδιάστατος). [9]

12 Εισαγωγή 6 Εκτός από το επιχείρημα της conformal symmetry, ένα άλλο γεγονός που συνδέει το SYK με προβλήματα βαρύτητας είναι η ένδειξη του χάους που εμφανίζεται στους OTO correlators. Αυτό είναι και το αντικείμενο και των επόμενων κεφαλαίων της παρούσας εργασίας. Συνοπτικά, στο [15] δίνεται ένας τρόπος να οριστεί ο εκθέτης Lyapunov για ένα κβαντικό σύστημα μέσω correlator. Η εικασία είναι ότι η κβαντική μηχανική θέτει ένα άνω όριο για τον αριθμό αυτό και τα συστήματα που φτάνουν το όριο αυτό έχουν αναλογία με θεωρία βαρύτητας (gravity dual). Το SYK ικανοποιεί την συνθήκη αυτή, δηλαδή είναι μέγιστα χαοτικό. Οι ενδείξεις αυτές ήταν αρκετές ώστε το μοντέλο να αποκτήσει ενδιαφέρον και να υπάρξει αρκετή σχετική μελέτη τα τελευταία δύο χρόνια. Το γεγονός ότι αποτελεί ένα από τα λίγα μοντέλα που μπορεί να λυθεί αναλυτικά (στο όριο N + ισχύει η non-crossing approximation και μπορούμε να αθροίσουμε τα διαγράμματα) είναι αρκετό για να κινήσει το ενδιαφέρον. Ακόμα το γεγονός ότι μπορεί να λυθεί γίνεται ακόμα πιο εντυπωσιακό αν σκεφτούμε ότι μάλλον πρόκειται για χαοτικό (και μάλιστα maximally chaotic) σύστημα! [16] Ακόμα και στην κλασσική μηχανική, τα χαοτικά συστήματα είναι αυτά τα οποία εκλείπουν ντετερμινιστικής λύσης. 1.4 Δομή της εργασίας Στο δεύτερο κεφάλαιο της εργασίας θα ασχοληθούμε με το αρχικό μοντέλο των Sachdev-Ye. Συγκεκριμένα θα ακολουθήσουμε τα βήματα του [2] δίνοντας πιο αναλυτικά κάποιους υπολογισμούς. Το κύριο αποτέλεσμα από την πειραματική πλευρά είναι σχετίζεται με την μαγνητική επιδεκτικότητα η οποία αποδεικνύεται να αποκλίνει λογαριθμικά σε χαμηλές θερμοκρασίες. Επιπρόσθετα θα χρησιμοποιηθούν οι conformal και gauge συμμετρίες για να επεκτείνουμε τις συναρτήσεις Green σε μη μηδενική θερμοκρασία. Οι συμμετρίες αυτές δεν αναφέρονται στο [2] αλλά παρατηρήθηκαν αργότερα [4][8] και τα αποτελέσματα είναι σημαντικά για την συνέχεια στο τέταρτο κεφάλαιο. Στο τρίτο κεφάλαιο θα προσπαθήσουμε να αποδώσουμε την έννοια των out-of-time-order correlators σαν μέτρο του κβαντικού χάους, ή καλύτερα του scrambling της πληροφορίας. Πολλά ζητήματα σχετικά με το θέμα αυτό ίσως δεν είναι τόσο σαφή καθώς προς το παρόν φαίνεται ακόμα να αποτελεί ενεργό πεδίο έρευνας. Για τον λόγο αυτό η παρουσίαση σε ορισμένα σημεία είναι περισσότερο διαισθητική παρά αυστηρή μαθηματικά. Εν γένει η προσέγγιση του χάους με OTO correlators φαίνεται να διαφέρει από άλλες θεωρήσεις χάους (πχ. σε συστήματα με κλασσικό ανάλογο [17]), αλλά χρησιμεύει περισσότερο στην σύνδεση

13 7 Μοντέλο Sachdev-Ye για κβαντικό μαγνητισμό με τα βαρυτικά προβλήματα, καθώς κι εκεί υπολογίζονται αντίστοιχες ποσότητες. Αυτό ενισχύεται αν δεχτούμε την παρατήρηση του [15] στο οποίο δίνεται ένα άνω όριο για τον εκθέτη Lyapunov και εικάζεται ότι οι CFT θεωρίες που το φτάνουν έχουν gravity dual. Στο τέταρτο κεφάλαιο θα επανέλθουμε στο μοντέλο Sachdev-Ye κι ένα παρεμφερές το οποίο προκύπτει από την μιγαδική γενίκευση του SYK. Πρακτικά αυτό που θα κάνουμε είναι να υπολογίσουμε τους OTO correlators που ορίσαμε παραπάνω στα αποτελέσματα του κεφαλαίου 2. Το κύριο αποτέλεσμα είναι ότι ο εκθέτης Lyapunov είναι ίσος με το κβαντικό άνω φράγμα που προτείνεται στο [15]. Ισως φαίνεται ότι τα θέματα που πραγματεύονται τα τρία αυτά κεφάλαια δεν σχετίζονται ιδιαίτερα μεταξύ τους. Γενικά αυτό είναι αλήθεια, αφού από την μία εξετάζουμε την συμπεριφορά ενός κβαντικού συστήματος πολλών σωμάτων και μάλιστα εστιάζοντας στις μαγνητικές ιδιότητες κι από την άλλη προσπαθούμε να το συσχετίσουμε με την βαρύτητα κοντά σε μαύρες τρύπες ορίζοντας αφηρημένες έννοιες για το χάος. Πιστεύουμε όμως ότι το ενδιαφέρον στο πρόβλημα βρίσκεται ακριβώς στο ότι συνδέει αυτά τα φαινομενικά ασυσχέτιστα φαινόμενα. Η σύνδεση είναι χρήσιμη για δύο λόγους: Από την πλευρά της θεωρητικής φυσικής, η μαθηματική σύνδεση δύο θεωριών μας επιτρέπει να μεταφέρουμε έννοιες από την μία στην άλλη και να χρησιμοποιούμε από κοινού τα εργαλία για την επίλυση προβλημάτων. Μέχρι τώρα η AdS/CFT correspondence χρησιμοποιούταν για την επίλυση δύσκολων CFT προβλημάτων μέσω θεωριών βαρύτητας, όμως το SYK δείχνει ότι και το αντίθετο είναι δυνατό [18]. Υ- πάρχουν οφέλη κι από την μεριά της πειραματικής φυσικής, καθώς ένα σύστημα στο οποίο δεν έχουμε πρόσβαση, όπως οι μαύρες τρύπες, συνδέεονται με συστήματα από την φυσική συμπυκνωμένης ύλης, στα οποία μπορούν εύκολα να γίνουν πειράματα. [19]

14

15 Chapter 2 Μοντέλο Sachdev-Ye για κβαντικό μαγνητισμό We will first analyze the Sachdev-Ye model introduced in [2]. As we stated in the introduction the main purpose for this proposal was to present a solvable model that has a spin liquid phase in its ground state. The Hamiltonian is: H = 1 NM N i,j=1 J ij Ŝ i Ŝj (2.1) where Ŝi are operators that obey the SU(2) algebra and N is the total number of sites. The problem becomes analytically solvable in the limits N, M +. In the original model, the coefficients J ij are independent random variables that follow a normal distribution with zero average and variance J 2 ij = J 2. According to [7] the exact distribution does not really affects the system s behavior. The reason is that, since we have a mean-field-like model, the total force that each site feels comes from a superposition of all possible interactions. Therefore, we can think of this total interaction as a sum of many (infinitely when N + ) random variables and invoke the central limit theorem to argue that the effective distribution will be normal, independently of the starting distributions. In any case, J ij must be independent and identically distributed random variables. We will present the results of the original work [2] with more detailed calculations. The main result is the local susceptibility at low temperatures which diverges logarithmically, 9

16 Μοντέλο Sachdev-Ye για κβαντικό μαγνητισμό 10 much slower than the typical 1/T of Curie law [4]. This result is characteristic of the disorder that is caused by quantum fluctuations in the spin liquid state. Moreover, the work of this chapter is essential to the calculation of the chaos exponent in the last chapter. Specifically the low frequency Green s functions that were originally calculated in [2]) at zero temperature can be extended, using the symmetries of Schwinger- Dyson equations, to non-zero temperature. These functions constitute the kernel in the OTO correlator integral equation in the chaos region. 2.1 Ολοκλήρωμα διαδρομών σε coherent states The SY model of Eq 2.1 can only be solved in the limit N. In this limit we can establish a mean-field theory, by expressing the partition function as a coherent state path integral and applying the replica method. The advantage of this method is that the interaction between different spins is transformed into interaction between replicas of a single spin. We start by using the canonical fermion operators c iα which obey the anticommutation relations: and the Hamiltonian 2.1 takes the following form: {c iα, c jβ } = 0, {c iα, c jβ } = δ ijδ αβ (2.2) H = 1 NM with the fermion number constraint: N M i,j=1 α,β=1 J ij c iα c iβc jβ c jα (2.3) M c iα c iα = MQ (2.4) α=1 on every site i. This form of the Hamiltonian is given in [6]. The SYK model is a simpler realization of this form where the fermions are substituted by Majorana fermions and a single limit N is required. In order to write 2.3 as a path integral we make use of the coherent states ψ of the fermionic operators, for which: c iα ψ = ψ iα ψ (2.5)

17 11 Μοντέλο Sachdev-Ye για κβαντικό μαγνητισμό These states satisfy the completeness relation: ( exp ) ψ iα ψ iα ψ ψ d( ψ, ψ) = I (2.6) ia Thus the partition function can be written as: = Z = exp ( ia ψ iα ψ iα ) ψ e βh ψ d( ψ, ψ) = [ β ( exp ψ(τ) ( τ µ) ψ(τ) + H( ψ, ψ) ) ] dτ D( ψ, ψ) 0 where we used the completeness relation 2.6 to partition the imaginary time interval [0, β]. The chemical potential µ was introduced because of the constraint 2.4. The important part of the integral is the one that corresponds to the Hamiltonian H, so we will focus out attention on this. Using 2.5 and its Hermitian conjugate we find: H( ψ, ψ) ψ H ψ = 1 NM N M i,j=1 α,β=1 J ij ψiα ψ iβ ψjβ ψ jα Hence, the partition function can be expressed as the path integral: Z = exp [ 1 NM N i,j=1 ] β J ij S i (τ) S j (τ)dτ DS (2.7) where the measure DS is a product of the measures for all sites: DS = DS 1...DS N. The next step is to introduce n replicas of the system and average over the J ij distribution, following [20]: 0 Z n = DS n N a=1 i,j=1 [ djijp a (Jij) a exp 1 β ] Jij a S a i (τ) S a j (τ)dτ NM 0 where P (J ij ) = 1 2πJ e J 2 ij /(2J 2 ) (2.8) The J a ij integral is Gaussian and its evaluation is straightforward: Z n = [ J 2 exp 2NM n N a,b=1 i,j=1 β β 0 0 [ S a i (τ) S a j (τ) ] [ S b i(τ ) S b j(τ ) ] dτdτ ] DS (2.9)

18 Μοντέλο Sachdev-Ye για κβαντικό μαγνητισμό 12 In order to decouple the spins of different sites we apply a Hubbard-Stratonovich transformation. This can be thought as applying a generalization of the formula e ax2 +bx = e b2 /(4a) for path integrals to express the exponential of 2.9 as a path integral of another function Q. Using the summation convention (repeated indeces are summed) the partition function is: Z n = e NF[Q] DQ (2.10) where and F[Q] = MJ 2 β 4 L[S] = J 2 β 2M 0 ( Q ab µν(τ, τ ) ) 2 dτdτ ln 0 e L[S] DS (2.11) Q ab µν(τ, τ )S a iµ(τ)s b iν(τ )dτdτ (2.12) In the limit N we can use the saddle point method to evaluate the integral in The saddle point of the functional F can be found by eliminating the first order of δq in the difference δf = F[Q + δq] F[Q]. This gives: e L δlds = MJ 2 2 δl = J 2 β 2M 0 β e L DS 0 δq ab µνs a iµs b iνdτdτ Q ab µν δq ab µνdτdτ which reduces to: β 0 [ δq ab µν Siµ(τ)S a iν(τ b )e L DS M 2 Q ab µν ] e L DS = 0 where the symbol is defined as: Q ab µν(τ, τ ) = 1 M 2 S a iµ (τ)s b iν(τ ) (2.13) = e L DS el DS (2.14) Equation 2.13 gives the saddle point of the functional F which we can use in 2.10 to evaluate the partition function of a single-site: Z n e F[Q] = e L[S] DS (2.15) where L is given by The symbol is used in 2.15 because we may have neglected

19 13 Μοντέλο Sachdev-Ye για κβαντικό μαγνητισμό some multiplicative constants. We argue that these constants do not have physical significance in the N limit. We note that using the replica method we decoupled the sites and as a result the total partition function is a product of the single-sites of Moreover, due to this expression of the partition function, the symbol we defined in 2.14 is actually the thermal average over different configurations of spins. The partition function of 2.15 is linked with measurable quantities and must be invariant under rotations of the reference frame. Consequently, it is reasonable to assume that the same is valid for the saddle point of 2.13, meaning that we can eliminate the indices µ, ν which are related with the different spatial components 1 of spin. To be more specific, the average vanishes for µ ν and for the case µ = ν we can write an inner product: At a similar manner 2.12 gives: Q ab (τ τ ) = 1 M 2 S a (τ) S b (τ ) (2.16) L[S] = J 2 2M β β 0 0 Q ab (τ τ )S a (τ) S b (τ )dτdτ (2.17) Another remark can be made on the replica indices. As the average of 2.16 can be interpreted as a correlation between different replicas it could be expected to vanish for a b. However, this is not valid in the spin-glass phase which exists because of the randomness of the interactions (the J ij in the Hamiltonian 2.1). On the other hand, in the spin-fluid phase, the quantum fluctuations are the dominant reason for the disorder and all the correlations are replica diagonal. If we consider the replica diagonal terms of 2.16 we get a correlation between spins of a single site at different times. This relates Q with a experimentally measurable quantity, the magnetic susceptibility χ(τ) = Q aa (τ). The main goal of [2] and a large part of this chapter is to find an analytic expression for this quantity. This is done by treating the interaction defined by 2.17 as a perturbation to the free-particle Lagrangian. 1 If we recall how we proceeded from 2.9 to 2.12, we will see that the µ, ν indeces were used to write the inner product S i S j = S iµ S jµ

20 Μοντέλο Sachdev-Ye για κβαντικό μαγνητισμό Ορια για το ολικό spin The limit N helped us to express the problem in the mean-field approximation. In order to make the problem analytically solvable, even in this approximation, we also have to take specific limits for the spin order M or the maximum spin S. The limit N can easily be explained, as it corresponds to a system with a great number of sites. After all, this is always the case in statistical physics. On the other hand, the real spin systems are SU(2), that is M = 2, and for electrons S = 1/2, so it is not straightforward how this is consistent with the limits M, S. By taking these limits we expect to find results that are approximately valid in the physical case, rather than solving the problem exactly. The limit S with M fixed is the easiest to understand. The quantum properties of spins stem from the non-commutativity of the corresponding operators: [Ŝi, Ŝj] = iɛ ijk Ŝ k. In the limit S we can write: [Sˆσ i, Sˆσ j ] = iɛ ijk Sˆσ k [ˆσ i, ˆσ j ] = iɛ ijk ˆσ k S 0 which can be thought as if the spins lose their quantum property of non-commutativity and act like classical quantities. Consequently, in the limit S the systems behaves semi-classicaly and its ground state is a classical spin-glass. We do not expect to find the quantum spin-fluid phase in this limit. The second possibility is the limit M with S fixed. This cannot be explained intuitivelly as in the previous case. We examine this limit using the fermionic representation for the spins, S µν = c µc ν with the constraint µ f µf µ = Mq 0, with 0 q 0 1, as in 2.4. We find that the quantum fluctuations are very strong in this limit, resulting in a ground state that is always a spin-liquid. Finally, the interesting case is the limit M, S, with their ratio κ = 2S/M fixed. This limit is achieved by the Schwinger s boson representation: S µν = b µb ν with µ b µb µ = 2S. In this case both the spin-fluid and the spin-glass ground states exist, depending on the value of κ. Note that small κ roughly means small spin and strong quantum fluctuations, characteristic of the spin-liquid. As κ increases we expect a transition to the spin-glass phase.

21 15 Μοντέλο Sachdev-Ye για κβαντικό μαγνητισμό 2.3 Εξισώσεις Schwinger-Dyson The properties of the system in each phase can be understood quantitatively by computing the Green s functions. The functions that are interesting to our problems are related to each of the two representations which we presented in the previous section: G ab B (τ) = 1 T b a M µ (τ)b b µ (0), G ab F (τ) = 1 T f a M µ (τ)fµ b (0) (2.18) where thermal averages are taken in respect to the full Hamiltonian, that is the free particle and the interaction expressed by the functional The time ordering symbol T means that the operators are ordered according to history: T A(τ)B(τ ) = Θ(τ τ )A(τ)B(τ ) ± Θ(τ τ )A(τ)B(τ ) (2.19) where Θ denotes Heaviside s step function. The middle sign is + for bosons and for fermions and it is a result of the commutation (anticommutation) relations of the bosonic (fermionic) operators. Generally b and f in 2.18 can be thought as operators. However when calculating the thermal average we often use the coherent states to write the expression as a path integral, as in the first section with the partition function. In this case b and f become simple functions of (τ) (that is for each τ, b(τ) is just a number, not an operator). When writing the path integral we impose certain boundary conditions on these functions (as described in [1]). As a result the corresponding functions can be thought as periodic, with period β. Hence, it is possible to express them in Fourier series: b(τ) = 1 b(iω n )e iωnτ β n where ω n are known as Matsubara frequencies. The boundary conditions are periodic for bosons, so the bosonic Matsubara frequencies are ω = 2nπ/β and antiperiodic for fermions, for which ω n = (2n + 1)π/β, with n Z both cases. Using this series in 2.18 we find the real time Green s function. Inversing we find the Matsubara frequency Green s function: G(τ) = 1 G(iω n )e iωnτ, G(iω n ) = β n β 0 G(τ)e iωnτ dτ (2.20)

22 Μοντέλο Sachdev-Ye για κβαντικό μαγνητισμό 16 In Appendix B, we define the real time/frequency analogue of this equation and we find their relationship with this imaginary time formalism. This relationship is crucial for the calculation of some quantities. The importance of the functions defined in 2.18 lies mainly in the fact that measurable quantities can be expressed through them. An example is the local spin susceptibility which was the quantity of interest in [2]. The usual procedure to calculate Green s functions is to treat the mean-field like interaction as a perturbation to the free particle Hamiltonian. The problem is analytically solvable because in the limit M + the non-vanishing terms in the perturbation expansion can be summed. This procedure is described in detail in Appendix A, where we find the equations for Green s function, usually known as Schwinger-Dyson equations. We summarize the results of this appendix: (G 1 B )ab (iω n ) = (iω n + λ)δ ab Σ ab B (iω n ) (BOS1) for bosons, and: Σ ab B (τ) = J 2 [ G ab B (τ) ] 2 G ba B ( τ) G aa B (τ = 0 ) = κ (G 1 F )ab (iω n ) = (iω n + λ)δ ab Σ ab F (iω n ) Σ ab F (τ) = J 2 [ G ab F (τ) ] 2 G ba F ( τ) G aa F (τ = 0 ) = q 0 (BOS2) (BOS3) (FER1) (FER2) (FER3) for fermions. Note that ω n are different in each case. The equations at τ = 0 come from the constraints we mentioned in the previous section. 2.4 Συναρτήσεις Green σε χαμηλές συχνότητες και T = 0 We will first focus on the spin-fluid phase. As mentioned in the end of section 2.1, in this case the dominant reason for the disorder are the quantum fluctuations and we expect the correlations to be replica diagonal.

23 17 Μοντέλο Sachdev-Ye για κβαντικό μαγνητισμό In the limit T 0 +, both bosonic and fermionic Matsubara frequencies become continuous and 1 + dν β n 2π where we used ν for Matsubara frequencies, as we will use ω for real frequencies. Hence, the Fourier transform 2.20 becomes: G(τ) = + iντ dν G(iν)e 2π, G(iν) = + Using these relations we write BOS2 in Matsubara frequencies: Σ(iν) = J G(τ)e iντ dτ (2.21) G(iν 1 )G(iν 2 )G(iν 1 + iν 2 iν) dν 1dν 2 4π 2 (2.22) The problem with using the functions in Matsubara frequencies is that after continuing to the entire complex plane, they have singularities on either side of the real axis. For this reason it is preferred to use the retarded Green s function defined in Appendix B. This function has singularities only bellow the real axis and it is analytic in the upper complex plane. Similarly, the advanced Green s function is analytic bellow the real axis. Functions of Matsubara frequencies (as in 2.22) come from the time-ordered Green s function, which is a combination of both the retarded (for τ > 0) and the advanced (for τ < 0) functions and thus non-analytic on either sides of the real axis. In order to write 2.22 in terms of the retarded functions of real frequencies we use B.14: Σ(iν) = J 2 4π i=1 [ ] + dωi 2π ρ(ω dν 1 dν 2 i) (iν 1 ω 1 )(iν 2 ω 2 )(iν 1 + iν 2 iν ω) where ρ(ω) = 2 Im G R (ω) is the spectral function defined in B.10. The integrals in ν 1 and ν 2 can be calculated by closing the loop of integration in the upper half plane: Σ(iν) = J i=1 [ ] dωi 2π ρ(ω [Θ(ω3 ) Θ(ω 1 )] [Θ(ω 3 ω 1 ) Θ(ω 2 )] i) ω 1 + ω 2 ω 3 iν The step functions appeared because the sign of the real frequencies determines whether the corresponding pole is in above the real axis (and thus contributes) or below (where there is no contribution). Since there are no integrals in Matsubara frequencies, we can

24 Μοντέλο Sachdev-Ye για κβαντικό μαγνητισμό 18 safely continue iν ω + i0 + and use Dirac s identity to get: Im Σ R (ω) = J 2 8π 2 + ρ(ω 1 )ρ(ω 2 )ρ(ω 1 + ω 2 ω) [Θ(ω 1 + ω 2 ω) Θ(ω 1 )] [Θ(ω 2 ω) Θ(ω 2 )] dω 1 dω 2 The step functions determine the integration region and taking different cases about the frequencies signs we find: Im Σ R (ω) = J 2 8π 2 (ω) ρ(ω 1 )ρ(ω 2 )ρ(ω 1 + ω 2 ω)dω 1 dω 2 (2.23) where (ω) = { ω1, ω 2 > 0, ω 1 + ω 2 < ω, for ω > 0 ω 1, ω 2 < 0, ω 1 + ω 2 > ω, for ω < 0 (2.24) Moreover, we can continue BOS1 in real frequencies (replica diagonal): [ G R (ω) ] 1 = ω + λ Σ R (ω) (2.25) As in [2], assuming that in low frequencies G R (ω) ω µ, we find from 2.23 Im Σ R (ω) ω 3µ+2. Using this in 2.25: ω µ ω + λ Σ(0) ω 3µ+2 which can be true only if we neglect ω (for small frequencies), λ = Σ R (0) and µ = 3µ + 2 µ = 1/2. Hence, in small frequencies we expect G R (ω) ω. Since we need the spectral function ρ(ω) = 2 Im G R (ω) to have the same sign with frequency we write: G R (ω) = iλe iθ ω (2.26) where Λ > 0 and 0 < θ < π/2. We note that for ω < 0 it is ω = i ω and the positivity conditions are satisfied. We will give the physical interpretation of the parameters Λ and θ in a moment. The corresponding spectral function is: ρ(ω) = 2Λ { cos θ/ ω, ω > 0 sin θ/ ω, ω < 0 (2.27) Plugging 2.27 in 2.23 we have for ω > 0: Im Σ R (ω) = J 2 Λ 3 π 2 ω ω ω1 cos 2 θ sin θ 0 0 dω 2 dω 1 ω1 ω 2 (ω ω 1 ω 2 )

25 19 Μοντέλο Sachdev-Ye για κβαντικό μαγνητισμό We can calculate the integrals and using a 2 0 dx x(a2 x) = πsgn(a) and follow the same procedure for ω < 0. Finally we find: Im Σ R (ω) = J 2 Λ 3 π sin 2θ { cos θ ω, ω > 0 sin θ ω, ω < 0 (2.28) The paramater Λ can be evaluated by plugging this form and 2.26 in For example, for ω > 0: ( ) ω Im = J 2 Λ 3 ( iλe iθ π sin 2θ cos θ π ) 1/4 ω Λ = (2.29) J 2 sin 2θ Therefore, the only free paramater in the low frequency bosonic Green function 2.27 is θ. We have used all Schwinger-Dyson equations so this parameter cannot be calculated. In fact, we expect to have a free parameter because of the introduction of the chemical potential λ for the constraint BOS3. This means that the parameter θ is related to the ratio κ. We recall that κ = 2S/M with both M, S, so κ can be thought as a measure for the (maximum) spin. The relation of θ and spin can be understood more clearly by calculating the local susceptibility in the low frequency limit. 2.5 Μαγνητική επιδεκτικότητα σε χαμηλές συχνότητες και T = 0 It is χ S i (τ) S i (0) and recalling 2.16 we can write χ(τ) = Q aa (τ) = G(τ)G( τ). These imaginary time Green s functions can be calculated by transforming 2.27 using B.12. For T 0 + it is [ e βω 1 ] 1 Θ(ω), so: G(τ) = + The same can be done for negative imaginary time argument: 0 ωτ dω ρ(ω)e 2π = Λ cos θ (2.30) πτ 0 ωτ dω G( τ) = ρ(ω)e 2π = Λ sin θ (2.31) πτ

26 Μοντέλο Sachdev-Ye για κβαντικό μαγνητισμό 20 From which we can find the local susceptibility: χ(τ) = Λ2 sin 2θ 2π τ = 1 sin 2θ 2J τ π (2.32) Susceptibility is the first measurable quantity that we calculated here. If our model corresponded to a real system, we could apply an external magnetic field and measure it. The magnetic field causes a magnetization to the material and susceptibility measures the response: χ = M/ B. In normal paramagnetic materials we usually assume M B and χ reduces to the proportionality constant. Clearly M is dependent on the ability of spins to align and we expect it to be larger when we have order. High temperatures generally destroy order through thermal fluctuations, so χ reduces in respect to T. Curie-Weiss is a common law for this, according to which 2 χ T 1. This sometimes is generalized to χ T γ where γ > 0 is the critical exponent. According to 2.32 the corresponding law for our model is χ β χ(τ)dτ ln T which 0 diverges slower than T γ for any γ > 0 [4]. This is characteristic of the spin liquid disorder which is maintained even at T 0 + as it caused by quantum, not thermal, fluctuations. We also expect the susceptibility to increase in respect to the total spin S. From 2.32 we can see that χ is an increasing function of θ for 0 < θ < π/4. This means that we expect θ to be an increasing function of spin in this region. However, this changes for π/4 < θ < π/2 where the susceptibility becomes a decreasing function of θ. According to [2] this signals a phase transition from the phase transition, meaning that only 0 < θ < π/4 corresponds to the spin liquid phase for the bosonic model. This was further explained in more recent publications, specifically in [4], where an equation between κ and θ was derived: κ = 1 4 θ π + cos 2θ 4 (2.33) Such equations are usually called Luttinger relations and they are derived by imposing the constraints like BOS3. We did not include the derivation in this section because it is given in detail in an appendix of [4] and we usually include the calculations that are ommited in the papers. If we plot the RHS of 2.33 for 0 θ π 2 we find that it is positive 2 There are ferromagnetic materials for which there is a critical temperature T c below which they maintain their magnetic order. We do not expect such behavior at least in the strongly disordered spin liquid phase and we assumed T c = 0.

27 21 Μοντέλο Sachdev-Ye για κβαντικό μαγνητισμό for θ < π and negative θ > π. This is another way of identifying the phase change, as the 4 4 equation is not solvable for θ > π because κ = 2S/M is always positive Φερμιονική αναπαράσταση The work of the two previous sections can be repeated for the fermionic representation. In fact, because of the similarity of the Schwinger-Dyson equations BOS1-BOS3 with FER1- FER3 we expect almost the same results. However there is a major difference, as the fermionic case does not exhibit the spin-glass phase - the quantum fluctuations are very strong and we stay at the disordered spin fluid phase for all values of q 0. Mathmatically the difference comes from the spectral function positivity conditions, as in the fermionic case we have ρ(ω) > 0 for all ω R. We write: G R (ω) = A ω e i(π/4+θ) (2.34) from which: ρ(ω) = { 2A ( sin π + θ), ω > 0 4 ω cos ( π + θ), ω < 0 4 (2.35) which satisfies the positivity conditions for A > 0 and θ π/4. The self energy can be found using an equation like 2.23, noting the minus sign that exists in FER2. Apart from that and the differences in the trigonometric factors, the calculation is identical to the bosons and we find: { Im Σ R (ω) = J ( 2 A 3 sin π + θ), ω > 0 ω cos 2θ 4 π cos ( π + θ), ω < 0 4 (2.36) and from FER1: The Green s function (as in 2.30) is: ( π ) 1/4 A = (2.37) J 2 cos 2θ G(τ) = { ( A sin π + θ), τ > 0 4 πj τ cos ( π + θ), τ < 0 4 (2.38) Finally the susceptibility is: χ(τ) = 1 cos 2θ 2J τ π (2.39)

28 Μοντέλο Sachdev-Ye για κβαντικό μαγνητισμό 22 We recall that the limits now are θ π/4 and we observe that the susceptibility is an increasing function of θ on this whole range. This is in contrast with the bosonic case where we had a change at the susceptibility behavior as a function of θ. The monotonic χ corroborates the fact that we have only spin fluid phase in the fermionic representation. Moreover, the Luttinger relation for this case is (again from [4]): q 0 = 1 2 θ π cos 2θ 4 (2.40) For θ π/4 the right hand side is an one to one function to 0 q 0 1, which is exactly the allowed region for q 0. This indicates that we always have a unique solution which apparently is on the spin fluid phase. 2.7 Αριθμητικές λύσεις Figure 2.1: Spectral function obtained numerically for fermionic case. This diagram is qualitatively in agreement with the one included in [2]. In [2] the low frequency solutions which we found in the previous sections were extended numerically in higher frequencies. In Appendix C we analyze a way to do this and give the corresponding code. We applied this code for the fermionic case and we plotted the spectral function in Figure 2.1 rescaled to match the low frequency value of (π/2) 1/4 at

29 23 Μοντέλο Sachdev-Ye για κβαντικό μαγνητισμό ω = 0. The same figure is included in [2]. We note that this is the case where the spectral function is even, which means that θ = 0 (for fermions). 2.8 Σχόλιο στις συνθήκες της φασματικής συνάρτησης Comparing the results of the bosonic and fermionic case we concluded that the main difference is the existence of a spin glass phase in the former. We argued that this is apparent from the θ dependence of the local susceptibility. Of course this is not a proof of existence of the spin glass phase, but it indicates a change of behaviour of the bosonic model in large spin κ. Mathematically this result comes from the difference in the trigonometric functions which appear in equations 2.32 and We recall that these functions are a result of the different spectral function s positivity conditions, namely because we demanded ρ(ω) > 0 for fermions whereas ωρ(ω) > 0 for bosons. Therefore, the reason for the different behavior of the two models must be hidden in these conditions. These conditions are a straightforward result of the Lehmann representation B.11 for both the bosonic (p = 1) and the fermionic (p = 1) case. It is also instructive to write the average particle number for a general system as an integral of the spectral function. This equation can be found using the Lehmann representation: N = + ρ(ω) dω 0 e βω p 2π 1 ρ(ω) dω p 2π where we took the limit T 0 + and p = ±1 for bosons/fermions. The weight of ρ in the first integral is the known Bose-Einstein/Fermi-Dirac distributions. From this relation we observe that the physical condition N > 0 leads to ρ(ω) < 0 for bosons and ρ(ω) > 0 for fermions for ω < 0. We presented this argument in order to suggest that the positivity conditions somehow contain the informations from the corresponding bosonic and fermionic distributions. The physics of these distributions at T = 0 is that they allow condensation in the state with the lowest energy for bosons but not for fermions. In a way, the fermionic system behaves more quantum mechanically, as the Pauli principle, which is clearly a quantum mechanical property, restricts the distribution.

30 Μοντέλο Sachdev-Ye για κβαντικό μαγνητισμό 24 We recall that this property is the reason why in the particle in a box fermionic model we have non zero pressure even at T = 0. Despite there are no thermal fluctuations at zero temperature, the quantum fluctuations in fermions are strong enough to lead to finite pressure. In a similar essence, in our model these quantum fluctuations lead to the disordered spin fluid phase and suppress the spin glass phase for any value of q 0. The analogy we are trying to establish here might not be so clear for the SY model, as fermions and bosons are inserted artificially (mathematically) as representation of spins and they do not constitute the actual system. The difference in physics is observed because the fermionic representation is used in the limits M + and S constant, while the bosonic representation is for the limits M, S + with 2S/M = κ = const. In this sense, bosonic limits are more classical than fermionic because of the S + which approaches classical physics as it makes the commutator of spin to approach zero. 2.9 Μη μηδενική θερμοκρασία There is an interesting symmetry of the Schwinger-Dyson equations in the low frequency limit, which allows us to extent the zero temperature solutions to finite temperature. First of all, since we interchanged the initial condition G(τ = 0 ) = q 0 with the Luttinger relation 2.40 we may neglect the chemical potential. Moreover, in the low frequency limit we may neglect the iω n term. The equations then are: { } G(iω)Σ(iω) = 1 Σ(τ) = J 2 G 2 (τ)g( τ) and using the Fourier transforms 2.20 we can write one equation that contains only the Green function: + 0 G(τ 2 τ 1 )G 2 (τ 3 τ 2 )G(τ 2 τ 3 )dτ 2 = 1 J 2 δ(τ 1 τ 3 ) (2.41) This equation is symmetric under the transformation: τ f(τ), G(τ 2 τ 1 ) [f (τ 1 )f (τ 2 )] 1/4 G (f(τ 2 ) f(τ 1 )) (2.42) That is, its form does not change when doing the transformation. We can prove this by changing the variable τ 2 f(τ 2 ) in the integral and using a property of delta function in

31 25 Μοντέλο Sachdev-Ye για κβαντικό μαγνητισμό the right hand side: δ (f(τ 1 ) f(τ 3 )) = δ(τ 1 τ 3 ) f (τ 1 ) Here we treated τ 1 as a variable and τ 3 as a constant. Of course if we interchange them the result is the same as the existence of delta means that they are equal. Also, we asumed that f is a bijective function and thus the delta argument is zero only if τ 1 = τ 3. In case of finite temperature, equation 2.41 is still valid if we replace infinity with β. We can then do a transformation like the above with a proper choice of f, in order to recover the infinity without changing the equations form. The appropriate f must map (0, + ) to (0, β) and can be for example f(τ) = tan(πτ/β). Therefore the Green function in non zero temperature is: ( G β (τ) = [f (τ)f (0)] 1/4 G (f(τ))) = G tan πτ ) π β β cos(πτ/β) where G is the T = 0 function which is given by Hence: G β (τ) = { ( A sin π + θ), 0 < τ < β 4 βj sin(πτ/β) cos ( π + θ), β < τ < 0 4 (2.43) The problem with 2.43 is that it does not satisfy the antiperiodic fermionic boundary conditions G β (τ + β) = G β (τ) because of change in the branch. This is caused by θ, as the problem is absent when θ = 0 (q 0 = 1/2), therefore it must be related with the introduction of the chemical potential and the spectral asymmetry that this causes [4][10]. This problem can be fixed by using the gauge symmetry [6] that exists in the complex model (like SY - but does not exist on Majorana fermion SYK). This symmetry allows us to write another factor g in the transformation 2.42: G(τ 2 τ 1 ) [f (τ 1 )f (τ 2 )] 1/4 g(f(τ 1 )) g(f(τ 2 )) G (f(τ 2) f(τ 1 )) (2.44) This allows us to rewrite 2.43 as: G β (τ) = { ( Ag(τ) sin π + θ), 0 < τ < β 4 βj sin(πτ/β) cos ( π + θ), β < τ < 0 4 (2.45) Requiring F (τ + β) = F (τ) for β < τ < 0 we find: ( π ) ( π ) cos 4 + θ g(τ) = sin 4 + θ g(τ + β) g(τ) ( π ) g(τ + β) = tan 4 + θ β < τ < 0