مقاطع مخروطي 1. تعريف مقاطع مخروطي 2. دايره الف. تعريف و انواع معادله دايره ب. وضعيت خط و دايره پ. وضعيت دو دايره ت. وتر مشترك دو دايره

Transcript

1 مقاطع مخروطي فصل در اين فصل ميخوانيم:. تعريف مقاطع مخروطي. دايره الف. تعريف و انواع معادله دايره ب. وضعيت خط و دايره پ. وضعيت دو دايره ت. وتر مشترك دو دايره ث. طول مماس و طول وتر مينيمم ج. دورترين و نزديكترين فاصله يك نقطه نسبت به يك دايره. بيضي الف. تعريف و اجزاي بيضي ب. معادالت بيضي 4. سهمي الف. تعريف و اجزاي سهمي ب. معادالت سهمي. هذلولي الف. تعريف و اجزاي هذلولي ب. معادالت هذلولي 6. دوران محورهاي مختصات الف. دوران محورهاي مختصات به زاويه θ ب. طرز تشخيص مقاطع مخروطي

2 چهارم( )سال پيشدانشگاهي خطي جبر و تحليلي هندسه مخروطي مقاطع تعريف. هستند: زير بهشرح و ميگوييم مخروطات آنها به که ميآيد بهوجود اشکالي مخروط يک و صفحه يک برخورد از (. )شکل ميشود دايره يک مخروط و صفحه مشترک فصل کند قطع را مخروط آن مخروط محور بر عمود صفحهاي اگر (. )شکل ميشود بيضي يک مخروط و صفحه مشترک فصل کند قطع را مخروط آن مخروط محور بر عمود نه و موازي نه صفحهاي اگر (. )شکل ميشود سهمي يک مخروط و صفحه مشترک فصل کند قطع را مخروط آن مخروط يک مولد موازي صفحهاي اگر مخروطها با صفحه آن مشترک فصل کند قطع را مخروط دو آن هستند مشترک رأس در که مخروط دو محور موازي صفحهاي اگر 4(. )شکل ميشود هذلولي دايره معادله انواع و تعريف الف. دايره. فاصلهاند. يک به مرکز بهنام دايره داخل نقطهاي از که است نقاطي هندسي مکان دايره تعريف: دايره معادله باشد R آن شعاع و )'O αβ, ) نقطه مرکزش که دايرهاي معادله دايره: استاندارد معادله ( α) + ( y β) R از: است عبارت ( α) + ( y β) + ( z γ) R از: است عبارت R شعاع و )O αβγ,, ) بهمرکز کره معادله تذکر: مختصات () I گسترده معادله در که + y + c () I از: است عبارت دايره گسترده معادله دايره: گسترده معادله از: عبارتاند شعاع و مرکز و O'(, b ) b R + c اگر و ميشود نقطه يک معادله () I تساوي 4c حالت در و 4c که است دايره معادله وقتي () I تساوي تذکر: است. تهي معادله <4c باشد. دايره معادله است ممکن باشند برابر y و ضريب که معادلهاي در تذکر: 66

3 مخروطي مقاطع سوم: فصل مثال: باشد. دايره معادله که کنيد پيدا چنان را m و n مقادير m + y + y+ n+ تساوي در برابر y و ضريب m + y + y+ n+ + 4 y+ n + حل: دايره شرط n n n b + 4c n+ n 4 θ < 6 که α+ Rcos θ y β+ Rsin θ از: است عبارت R شعاع و )O αβ, ) مرکز به دايره پارامتري معادله دايره: پارامتري معادله مثال: cost چيست M نقطه مکان انحناي شعاع + sint ميکند. حرکت R شعاع و )O (, مرکز به دايرهاي روي M نقطه حل: دايره و خط وضعيت ب. داريم:. )مماس(. ميکنند قطع نقطه يک در را همديگر دايره و خط نميکند.. قطع را دايره خط. دارند: حالت سه بههم نسبت دايره و خط دهيم نشان R با را دايره شعاع و OH با را خط تا دايره مرکز فاصله اگر حالتها از کدام هر در ميکنند. قطع نقطه دو در را همديگر دايره و خط مثال: کند. جدا AB 8 بهطول وتري d: y خط از و باشد )O, ) مرکزش که بنويسيد را دايرهاي معادله y+ c () () OH () + ( ) C:( α) + ( y β) R ( ) + ( y ) و R AH + OH حل: 8 67

4 چهارم( )سال پيشدانشگاهي خطي جبر و تحليلي هندسه مثال: نکند. قطع را 4y+ دايره d: 4y+ m خط که کنيد پيدا چنان را m حدود O(, b b ) (, ) و R + c + 4 حل: y+ c () 4 () + m OH () + ( 4) m m OH > R > m > m > يا m < m > يا m < m يا m اگر و ميکند قطع نقطه دو در را دايره خط باشد > m < اگر مثال اين در تذکر: شد. خواهد مماس دايره بر خط باشد دايره دو وضعيت پ. خارج دايره دو دوم حالت )متخارج(. نميکنند قطع را همديگر و هستند هم خارج دايره دو اول حالت دارند. حالت شش هم به نسبت دايره دو حالت )متقاطع(. ميکنند قطع نقطه دو در را همديگر دايره دو سوم حالت خارج(. )مماس ميکنند قطع نقطه يک در را همديگر و هستند هم است ديگري داخل يکي دايره دو پنجم حالت داخل(. )مماس ميکنند قطع نقطه يک در را همديگر و است ديگري داخل يکي دايره دو چهارم و d با را دايره دو خطالمرکزين طول اگر )هممرکز(. هستند مرکز يک داراي دايره دو ششم حالت )متداخل(. نميکنند قطع را همديگر و داريم: دهيم نشان R ' و R با را دايره دو شعاعهاي 68

5 فصل سوم: مقاطع مخروطي C: 4 6y مماس باشد. C ( که مرکزش ), 7 O( و بر دايره 4 + ) مثال: معادله دايرهاي را بنويسيد به نام C: y y O(, b b حل: c R + و ) (, ) d OO ( ) + ( 7 ) 9+ 6 d R + R R + R ' C :( ) + ( y 7) 4 d R R R R 8 C :( ) + ( y 7) 64 ت. وتر مشترک دو دايره اگر دو دايره همديگر را در دو نقطه A و B قطع کنند به پارهخط AB وتر مشترک دو دايره ميگوييم و براي بهدست آوردن معادله وتر مشترک کافي است معادله دو دايره را از هم کم کنيم )زيرا مختصات A و B در معادله دو دايره صدق ميکنند پس در تفاضل آنها هم صدق ميکنند(. نکته: اگر هر نقطهاي در امتداد وتر مشترک دو دايره اختيار کنيم و از آن نقطه دو مماس بر دو دايره ) MT MT MT پس ' MT رسم نماييم مماسها باهم برابرند. )زيرا MA. MB مثال: C را بنويسيد. ' : معادله وتر مشترک دو دايره C: و 4y+ + C C ' y 4y 4y : + حل: 69

6 چهارم( )سال پيشدانشگاهي خطي جبر و تحليلي هندسه مينيمم وتر طول و مماس طول ث. نقطه ميشود معلوم شود مثبت حاصل عدد و دهيم قرار را M مختصات دايره معادله در و y بهجاي اگر مفروضاند ( C ) دايره و M نقطه منفي حاصل عدد اگر ولي ميشوند رسم دايره بر M نقطه از که هستند مماسهايي طول حاصل عدد جذر حالت اين در و است دايره خارج M عمود M از گذرنده قطر بر و ميگذرد M از که )وتري M نقطه مينيمم وتر طول حالت اين در است دايره داخل M نقطه ميشود معلوم شود حاصل عدد قدرمطلق AB 4 ميآيد: به دست زير دستور از است( مثال: را دايره بر M از مرسوم مماسهاي طول و است :C + y دايره خارج M(, ) نقطه کنيد ثابت. C: + y C:() + ( ) + () ( ) > است دايره خارج M MT MT ' 9 مماسها طول حل: کنيد. حساب را M نقطه مينيمم وتر طول سپس و است C: + 4y دايره داخل M(, ) نقطه کنيد ثابت. بنويسيد. C: + 4y حل: C:( ) + () + ( ) 4 () + 9 9< است دايره داخل M AB AB حاصل عدد قدرمطلق 9 AB 6 AB 6 Min وتر طول دايره يک به نسبت نقطه يک فاصله نزديکترين و دورترين ج. آنگاه: کند قطع B و A نقاط در را دايره تا دهيم امتداد و کنيم وصل دايره مرکز به M از اگر است مفروض ( C ) دايره خارج M نقطه MA OM R دايره تا M فاصله نزديکترين MB OM + R دايره تا M فاصله دورترين MA R OM فاصله نزديکترين باشد: دايره داخل M اگر و MB R+ OM فاصله دورترين 7

7 مخروطي مقاطع سوم: فصل مثال: بيابيد. دايره از را M نقطه دورترين و نزديکترين فاصله است مفروض C: + دايره خارج M(, ) نقطه C: y O(, b b + + ) (, ) و R + C + + حل: OM ( + ) + ( ) 4+ 4 MA OM R فاصله نزديکترين MB OM + R + فاصله دورترين است کافي A مانند مفروضي نقطه از دايره بر قائم معادله نوشتن براي پس ميگذرد. دايره مرکز از که است خطي دايره بر قائم توجه: باشند. معلوم A مختصات و دايره مرکز مختصات MA K MB بهطوريکه M مانند نقاطي هندسي مکان هستند. معلوم K > عدد و B و A نقاط است. دايره يک باشد K اگر و است AB عمودمنصف باشد K اگر باشد امتحاني سؤاالت کنيد. رسم را آن و بيابيد را + + y+ 4 دايره شعاع و مرکز. کنيد. رسم را آن سپس و باشد مماس + 4y 4 معادله به خط بر و بوده,)O ) مرکزش که بنويسيد را دايرهاي معادله. ماه اسفند جبراني هماهنگ ماه خرداد 4 م شريف بگذرد. )C (, و )B, ( و )A (, نقطه سه از که بنويسيد را دايرهاي معادله. باشد. )B, ) نقطه از آن ها فاصله برابر )A 4, ) نقطه از آن ها فاصله که کنيد پيدا را My (, ) مانند نقاطي هندسي 4 مکان. 4 ماه ارديبهشت کشوري هماهنگ ماه دي م منتظري باشد. مماس چهارم ناحيه در مختصات محورهاي بر و باشد y خط 8 روي مرکزش که بنويسيد را دايرهاي معادله. )B (, و )A (, نقطه دو از آن ها از کدام هر فاصلههاي مربعات مجموع که کنيد تعيين را صفحه از نقاطي هندسي مکان نوع و 6 معادله 6. باشد. 4 برابر ماه دي کشوري هماهنگ ماه اسفند کشوري هماهنگ باشند. دايره از قطري سر دو )B, ) و )A, ( نقاط که بنويسيد را دايرهاي 7 معادله 7. ماه دي کشوري هماهنگ باشد. مماس طولها محور بر طول به نقطهاي در و بوده +y خط روي آن مرکز که بنويسيد را دايرهاي 8 معادله 8. ماه تير جبراني هماهنگ باشد. مماس دايره بر )A 4, ) نقطه در که بنويسيد را خطي 9 معادله 9. بيابيد. را B و A مختصات باشند B و A تماس نقاط اگر است شده رسم دايره بر مماس دو )M (, نقطه از ماه دي م بهايي شيخ و دايره دو تالقي محل مختصات سپس و بنويسيد را C : y و C: + دايره دو مشترک وتر معادله بيابيد. را مشترک وتر طول ماه خرداد م تدبير 7

8 چهارم( )سال پيشدانشگاهي خطي جبر و تحليلي هندسه باشد. y خط روي مرکزش و باشد مماس + y و موازي خط دو بر که بنويسيد را دايرهاي معادله ماه خرداد م )ع( رضا امام ماه خرداد م دانش محبوبه بيابيد. ميشود رسم + y 4 دايره بر )A, ( نقطه از که را مماسي طول ماه خرداد م مطهري بيابيد. ميگذرد )A 4, ) نقطه از که را + 4y دايره بر قائم خط معادله 44 ماه دي 6 م شاهد کنيد. تعيين را :'C 8 y + 6 و C: + 4 y دايره دو وضعيت ماه دي 4 م شهداء آوريد. به دست را آن بر واقع مثبت عرض به و طول به نقطهاي در + y دايره بر مماس معادله 66 ماه دي 8 م علي امام آوريد. به دست را ميآيد وجود به + y دايره روي + 4y 4 خط بهوسيله که وتري 77 طول ماه دي م احمد آل باشد. مماس دوم ربع در مختصات محورهاي بر و گذشته )A, ) نقطه از که بنويسيد را دايرهاي 88 معادله ماه خرداد 6 م خرداد باشد. مماس سوم ناحيه در مختصات محورهاي بر و بوده + +y خط روي مرکزش که بنويسيد را دايرهاي معادله 99 ماه دي 4 م شريف باشد. y خط روي مرکزش و بگذرد )B (, و )A, ( نقطه دو از که بنويسيد را دايرهاي معادله ماه دي م دانش محبوبه ماه خرداد م روزبه بيابيد. را دايره معادله ميگذرد )A, ) نقطه از دايره و است m + +y m 4 دايره يک قطرهاي عمومي معادله باشند. )B (, نقطه از آن ها فاصله نصف )A, ) نقطه از آن ها فاصله که کنيد پيدا را My (, ) مانند نقاطي هندسي مکان ماه خرداد 4 م شريف بنويسيد. را M sin t cos t y cost bsint نقطه هندسي مکان معادله ماه خرداد 6 م عميد دکتر کند. جدا 6 طول به وتري +y 8 خط از و باشد )O, ( آن مرکز که بنويسيد را دايرهاي 44 معادله ماه دي 8 م )ع( علي امام است. شده رسم دايره بر مماس دو )M,6 (8 نقطه از کنيد. پيدا را مماسها طول الف. کنيد. حساب را مماس دو بين زاويه ب. کنيد. پيدا ميکند وصل هم به را تماس نقطه دو که پارهخطي طول پ. امتحاني سؤاالت پاسخ + 4y 4 مماس خط O(, ) مرکز ( + ) + ( y + y) + 4 by c OH + + ( ) + 4( ) 4 ( ) + () 4 OH R ( α) + ( y β) R ( ) + ( y + ) 9 ( + 6) 6+ ( y+ ) + 4 ( + 6) + ( y+ ) 6 O ( 6, ) R 6 4 7

9 مخروطي مقاطع سوم: فصل است. R شعاع و )O (, مرکز به دايرهاي M مکان 7 + y + c A ( ) + ( ) + ( ) ( ) + c + c B ( ) + ( ) + ( ) ( ) + c b+ c A(, ) B(, ) A + B + AB وسط O y + O A B + c 4 C ( ) + ( ) + ( ) ( ) + c + c 4 + c 4 + c c 4 R OA ( ) + ( + ) ( ) + ( y ) α y+ O R+ R O β R 8 + c c + b + y + c M y A 4 B 4 ( α) + ( y β) R ( ) + ( y ) 9 MA MB ( ) + ( y 4) ( ) + ( y ) توان به y+ 6 ( + ) + ( y 4y+ 4) O(,) A( 4, ) :)( راهحل y y m A O OA A O 4 4 مماس m 4 4 y ya m ( A) y ( 4) y است. شعاع و )O (, مرکز به دايرهاي M مکان R O R, y 8 R ( R) 8 8 4R R O(, ) ( α) + ( y β) R ( ) + ( y + ) 4 4+ y )(: راهحل f y A(,) 4 m fy مماس y y 4 4 y ( 4) 4+ y M y مکان از نقطه يک A B MA + MB 4 ( + ) + ( y ) y + ( ) + ( ) 4 6 7

10 هندسه تحليلي و جبر خطي پيشدانشگاهي )سال چهارم( مرکز دايره روي خط y پس O α α است و فاصله دو خط y + قطر دايره ميشود. y + و موازي M A نقطه تماس y O(,) d c c + R () + () R by c OH + + ( α) + ( α) () + () 4 α α α OA A O y, MA A M y OA MA OA. MA ( ) + ( y)( y) () y y ± A, B α O(, ), R ( ) + ( y ) α O(, ), R ( ) + ( y ) + y 4 A(, ) () + ( ) + () ( ) 4 MT MT راهحل )(: O b b راهحل :)( c,), R + ( ), ( R OA ( + ) + ( ) 8 OAT AT OA OT : 8 6 AT AT C y : + + C': y C C + y + ( ) : + : y معادله وتر مشترک : y y C : + y y + ( ) ( ) y y A(,) + y B(, ) + 4y A(, 4) O(, b ) (, ) 4 AB ( ) + ( + ) + طول وتر مشترک AB OA y y y : 4 y y 4 y 4 74

11 فصل سوم: مقاطع مخروطي O R R, A(, ) ( α) + ( y β) R A ( + R) + ( y R) R ( + R) + ( R) R 8 y 4 y+ معادله خط قائم R+ R + 4 4R+ R R R 6R+ ( R )( R ) R, R R ( + ) + ( y ) R ( + ) + ( y ) C: + 4 y O(, b ) b O(, ), R + c 4+ + C : 8 y + 6 O ( 4, ), R d OO ( 4) + ( ) 6 6 دو دايره مماس خارجاند R d R+ R + O R R+ ( R) + R 9 + y, () + () y y y 6 R, O ( y )( y ) y > + y A ( α) + ( y β) R ( + ) + ( y + ) y f + + f y y A y + مماس m 4 y ya m ( A) y ( ) 4 4y + 6 α مرکز دايره روي خط y است پس: O α A, B OA OB ( α ) + ( α+ ) ( α ) + ( α) به توان α α+ + 4α + 8α+ 4 α 6α+ 9+ 4α 6α+ 6α+ 9 α 4 α O(, ) R OA ( ) + ( + ) ( α) + ( y β) R ( ) + ( y ) 68 9 معادله مماس 6 4y+ + y, + 4y 4 O b b (, ) (,), R + c + + by c OH + + ( ) + 4 ( ) 4 () + () 4 OAH: AH OA OH AH AB

12 چهارم( )سال پيشدانشگاهي خطي جبر و تحليلي هندسه R شعاع و )O (, مرکز به دايرهاي M مکان است. y+ 8 O(, ) AB 6 AH by c OH + + ( ) ( ) + 8 () + ( ) OH R AH + OH ( ) + ( y+ ) 8 O(,), R الف. M( 6, 8) () 6 + ( 8) MT MT 7 tnm OT MT M M 6 MTT مثلث پس MT ب. MT, M چون 6 پ. TT نتيجه: در است متساوياالضالع 4 m+ m 4 A(, ) m y 4 y y m O مرکز OA ( + ) + ( ) 7 R 7 ( α) + ( y β) R ( + ) + ( y ) 7 M y A B MA MB ( ) + ( y ) ( ) توان به y 4y 4 y ( ) y 6y y + y 6y+ 6 y+ شعاع و O(, b 8 ) (, ) مرکز به دايرهاي M مكان b 64 4 R + c ميباشد. M sint+ bcost y cost bsin t sin tcos t+ bsintcos t + y cos tsin t bsintcos t ( sin t cos t b cos t sin + ) + ( + t ) 76