1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )"

Ἰοκάστη Κρεστενίτης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y <.2.3 לכל A G מתקיים כל שני משתנים המקיימים זאת שווים כמעט תמיד, וכל אחד מהם נקרא גרסה של התוחלת המותנה. נסמן E (X W ) = E (X σ (W )) תרגיל אם תכונה 3 מתקיימת עבור מאורעות A שמהווים מערכת π היוצרת את G אז היא מתקיימת לכל.A G תכונות נניח כי X אינטגרבילי, G. F.1 (תוחלת שלמה) G)).E (X) = E (E (X.2 אם X מדיד ביחס לאותה,G אזי E (X G) = X כמעט תמיד..3 (לינאריות) יהיו X 1, X 2 אינטגרביליים,.a 1, a 2 R אזי E (a 1 X 1 + a 2 X 2 G) = a 1 E (X 1 G) + a 2 E (X 2 G) כמעט תמיד. 1

2 .4 (חיוביות) אם 0 X אזי 0 G) E (X כמעט תמיד. בפרט, אם X 1 X 2 אינטגרביליים, אזי G) E (X 1 G) E (X 2 כמעט תמיד. הוכחה: אם לא מתקיים 0 (G E X) כמעט תמיד, אז קיים שלם עבורו ( P E (X G) < 1 ) > 0 זאת כיוון שהמאורע {0 < (G E} X) הוא האיחוד הבא: { E (X G) < 1 } וזהו איחוד עולה. מכאן, 0 > 1 ( P E (X G) < 1 ) ( ) > E E (X G) 1 {E(X G)< 1 = } ( ) = E X1 {E(X G)< 1 0 } וקיבלנו סתירה..5 (התכנסות מונוטונית) אם < X X 0 כמעט תמיד עם <,E X E (X G) כמעט תמיד. הוכחה: E (X G) E (X G) אזי,E X < זו סדרה עולה, מהתכונה הקודמת. נגדיר G).Y = lim sup E (X ברור שגם Y מדיד לפי G, וכן 0 Y כמעט תמיד. כעת, לכל A, G מהתכנסות מונוטונית רגילה מתקיים E (Y 1 A ) = E (lim sup E (X G) 1 A ) = lim E (E (X G) 1 A ) = = lim E (X 1 A ) = E (lim (X ) 1 A ) = E (X1 A ) על ידי הצבת A = Ω נקבל את התכונה השנייה בהגדרה, וסיימנו. 6. (פאטו מותנה) אם 0 X אינטגרביליים, אזי E (lim if (X ) G) lim if E (X G) כמעט תמיד..7 (התכנסות נשלטת מותנה) אם X Y עם Y אינטגרבילי, X X כמעט תמיד. אזי G) E (X G) E (X כמעט תמיד..8 (אי שוויון ינסן מותנה) אם C : R R קמורה, עם < (X) E C אזי E (C (X) G) C (E (X G)) 2

3 כמעט תמיד (אפשר לנסח גם עבור C : I R קמורה, I קטע). הוכחה: ניתן למצוא סדרת מספרים a, b כך שמתקיים C (x) = sup (a x + b ) לכל.x בפרט, לכל מתקיים C (x) a x + b ולכן גם E (C (X) G) a E (X G) + b כמעט תמיד. יש רק כמות בת מניה של ערכי, ולכן E (C (X) G) sup (a E (X G) + b ) כמעט תמיד. נקבל: E (C (X) G) sup (a E (X G) + b ) = C (E (X G)) E (X G) p X p מסקנה 1.2 לכל > 1 p מתקיים 9. (נוסחת התוחלת השלמה/תכונת המגדל) נאמר כי H G F סיגמא אלגבראות. אזי E (X G H) := E (E (X G) H) = E (X H) כמעט תמיד. 10. (אפשר להוציא מהתוחלת את מה שידוע) נניח כי X אינטגרבילי, וכן Z משתנה מקרי מדיד ביחס לסיגמא אלגברה G. נניח כי ZX אינטגרבילי. אזי E (ZX G) = ZE (X G) כמעט תמיד. הוכחה: התכונה הראשונה של תוחלת מותנה ברורה. נתחיל לבדוק את השלישית. ראשית נוכיח את הטענה עבור Z, = 1 B עבור B. G אזי E (E (1 B X G) 1 A ) = E (1 B X1 A ) = E (E (X G) 1 B 1 A ) לכן G) 1 B E (X גרסה של G).E (X מלינאריות, הטענה נובעת עבור פונקציות פשוטות, ומהתכנסות מונוטונית נקבל לכל משתנה מקרי אי שלילי. שוב מלינאריות, נקבל את הטענה למשתנה כללי. 3

4 11. (תוחלת מותנה ואי תלות) כאשר X אינטגרבילי,,G H F זוג סיגמא אלגבראות, G) σ (σ (X), בלתי תלויה באותה,H מתקיים E (X σ (G, H)) = E (X G) כמעט תמיד. מקרה פרטי אם X בלתי תלוי בסיגמא אלגברה G אזי = (G E X) (X) E כמעט תמיד. הוכחה: התכונות הראשונה והשנייה של תוחלת מותנה ברורות. יש להראות את השלישית, כלומר עבור (H A σ,g) מתקיים E (E (X σ (G, H)) 1 A ) = E (E (X G) 1 A ) מהתרגיל שנתנו קודם, מספיק לקחת,A = B C כאשר.C H,B G כעת, E (E (X σ (G, H)) 1 B 1 C ) = E (X1 B 1 C ) = E (X1 B ) P (C) המעבר האחרון נכון בגלל ההנחה שלנו לגבי אי תלות של (G H. σ, σ) (X), כעת, מהצד השני, E (E (X G) 1 B 1 C ) = E (E (X G) 1 B ) P (C) = E (X1 B ) P (C) וקיבלנו שוויון. דוגמא נאמר כי X, Y ממשיים, וההתפלגות של X, Y בעלת צפיפות ) [0, 2.f X,Y : R נרצה להתנות במשתנה X. אז יש עבור Y צפיפות מותנה: f Y X : R 2 [0, ) f X,Y (x, y) f Y X (y x) = f X,Y (x, y) dy המקיימת כעת, עבור h : R R עם ) (Y h אינטגרבילי מתקיים ˆ E (h (Y ) X) = h (Y ) f Y X (y X) dy גם כאשר אין צפיפויות, אולי נרצה לדבר על התפלגות מותנה, כלומר, לכל ערך של המשתנה המתנה X, נרצה מידת הסתברות חדשה (X P ) על מרחב ההסתברות Ω. באופן פומרלי, רוצים פונקציה P : Ω F [0, 1] עם: 4

5 1. לכל ω, Ω שנחשוב עליו בתוך הנקודה שנותנים עבור P,ω) ( X, היא מידת התסברות על Ω..2 לכל.P (, A) = E (1 A X),A F לפעמים מסמנים תוחלת של אינדיקטור כהסתברות: X).P (, A) = P (A דוגמא יהיו,X Y משתנים מקריים בלתי תלויים (לאו דווקא ממשיים: : Y X : Ω,S.(Ω T תהי h : S T R עם < ) Y.E h (X, נגדיר, תוך שימוש בפוביני, פונקציה α : S R על ידי α (x) = E (h (x, Y )) E (h (X, Y ) X) = α (X) אזי מתקים ההוכחה תהיה בתרגיל הבית. 2 מרטינגלים כעת, נוסיף להנחות המקדימות שלנו פילטרציה, כלומר סדרה עולה של סיגמא אלגבראות =0,(F ) כלומר.F F +1 F נחשוב על F בתור המידע שידוע לנו לאחר צעדים של תהליך. הגדרה 2.1 מרחב מסונן space) (ltered הוא רביעיה )),(Ω, F, P, (F כאשר P) (Ω, F, מרחב הסתברות, ) F) פילטרציה שלו. =0.(X ) התהליך הוא מותאם הגדרה 2.2 תהליך סטוכסטי הוא סדרת משתנים מקריים. לכל F מדיד לפי X אם (F ) לפילטרציה (adapted) הגדרה 2.3 (מרטינגל) תהליך סטוכסטי אם: 0= X) ) הוא מרטינגל (ביחס למרחב מסונך מסויים).1 התהליך ) (X מותאם לפילטרציה ).(F.2 לכל מתקיים <.E X.3 לכל 1 מתקיים כמעט תמיד 1.E (X F 1 ) = X אינטואיציה נחשוב על X כמייצג את כמות הכסף שיש בידינו לאחר משחקי הימורים, כאשר ההחלטה כמה להמר בכל משחק עשויה להיות תלויה בתוצאות המשחקים הקודמים. התנאי השלישי מבטיח שהמשחקים הוגנים. 5

6 הגדרה 2.4 אם במקום התנאי השלישי נדרוש 1,E (X F 1 ) X התהליך נקרא תת מרטינגל. אם נדרוש 1 E (X F 1 ) X נקרא על מרטינגל. הערה 2.5 כמה תכונות בסיסיות: 1. תהליך שהוא על מרטינגל וגם תת מרטינגל הוא מרטינגל..2 אם,X 0 L 1 אז ) (X הוא תת מרטינגל אם ורק אם ) 0 (X X תת מרטינגל..3 אם ) (X תת מרטינגל אזי ) ( X הוא על מרטינגל..4 אם ) (X תת מרטינגל, 0 m, > אזי.E (X F m ) = X m דוגמאות ושאלות: 1. סכום של משתנים מקריים בלתי תלויים: יהיו..., 2 Z 1, Z בלתי תלויים, עם F =,F 0 = {, Ω} נגדיר.X = Z 1 + +Z, X 0 נגדיר = 0.E (Z ) = 0 ).σ (Z 1,..., Z נוכיח שהתהליך ) (X הוא מרטינגל. יש למעשה להראות רק את התכונה השלישית: E (X F 1 ) = E (Z Z F 1 ) = E Z Z 1 F 1 + E Z F 1 = }{{}}{{} measurable idepedet = Z Z 1 + E (Z ) = X 1 שאלה האם X מתכנס כמעט תמיד? לאן? 2. מכפלה של משתנים מקריים בלתי תלויים ואי שליליים: תהי..., 2 Z 1, Z סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים ואי שליליים. נניח כי = 1 ) E Z) לכל. נגדיר = 1 0.X = Y 1 Y, X נגדיר Ω}.F = σ (Z 1,..., Z ), F 0 = {, נוכיח שהתהליך ) X) הוא מרטינגל. שוב יש להראות רק את התכונה האחרונה: E (X F 1 ) = E (Z 1 Z F 1 ) = Z 1 Z E (Z F 1 ) = X 1 שאלה האם X מתכנס כמעט תמיד? כן. האם התוחלת של הגבול היא 1? לא תמיד. 3. צבירת מידע: יהי Z משתנה מקרי אינטגרבילי, ותהי ) F) פילטרציה. נגדיר ).X = E (Z F אזי ) (X הוא מרטינגל. כרגיל, שתי התכונות הראשונות ברורות, ועבור השלישית, E (X F 1 ) = E (E (Z F ) F 1 ) = E (Z F 1 ) = X 1 בעתיד נוכיח כי ) F,X E (Z כאשר ).F = σ ( F נרצה לשאול האם זה שווה למשתנה Z, כלומר האם Z מדיד ביחס לאותה F. 6

Σχετικά έγγραφα

c ארזים 15 במרץ 2017

הסתברות למתמטיקאים c ארזים 15 במרץ 2017 הקורס הוא המשך של מבוא להסתברות שם דיברנו על מרחבים לכל היותר בני מניה. למשל, סדרת הטלות מטבע בלתי תלויות היא דבר שאי אפשר לממש במרחב בן מניה נסמן את התוצאה של ההטלה