39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam Theoretical Problem No. 2. Λύση. Εικόνα 1

Transcript

1 39th Internatinal Physics Olympiad - Hani - Vietnam Theretical Prblem N. Λύση. D θ E A C B D Εικόνα Ας θεωρήσουμε ένα επίπεδο το οποίο εμπεριέχει την τροχιά του σωματιδίου. Τη χρονική στιγμή t = 0, η θέση του σωματιδίου είναι στο σημείο A. Φτάνει στο σημείο B τη χρονική στιγμή t = t. Σύμφωνα με την αρχή του Huygens, από 0 < t < t, η ακτινοβολία που εκπέμπεται από το A φτάνει σε κύκλο με ακτίνα AD και εκείνη που εκπέμπεται από το C φτάνει σε κύκλο ακτίνας CE. Οι ακτίνες των σφαιρών είναι ανάλογες με την απόσταση από το Β: ( ) / v ( ) CE ct t n = = = cnst CB t t β n Οι σφαίρες συνεπώς μετασχηματίζονται η μια στην άλλη με ομοθεσία της κορυφής Β και της περιβάλλουσάς τους η οποία είναι κώνος με κορυφή B και γωνία ημίσεως ανοίγματος π ϕ = Arcsin = θ, όπου θ είναι η γωνία που σχηματίζεται από τη β n φωτεινή ακτίνα CE με την τροχιά του σωματιδίου... Η διασταύρωση των κυμάτων με το επίπεδο είναι δύο ευθείες γραμμές, BD και BD'.

2 39th Internatinal Physics Olympiad - Hani - Vietnam Theretical Prblem N... Αυτές σχηματίζουν μια γωνία ϕ = Arcsin με την τροχιά του σωματιδίου. β n. Υιοθετούμε τους συμβολισμούς: S το σημείο στο οποίο η δέσμη συναντά τον σφαιρικό καθρέπτη F η εστία του σφαιρικού καθρέπτη C το κέντρο του σφαιρικού καθρέπτη IS η ευθύγραμμη τροχιά του φορτισμένου σωματιδίου που σχηματίζει μια μικρή γωνία α με τον οπτικό άξονα του καθρέπτη. P θ A I S N M F O C θ α Q Εικόνα CF = FS = f CO//IS CM//AP CN//AQ FCO = α FO = f α MCO = OCN = θ MO = f θ

3 39th Internatinal Physics Olympiad - Hani - Vietnam Theretical Prblem N. Σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή παράλληλη στην IS η οποία περνά από το κέντρο C. Η γραμμή τέμνει το εστιακό επίπεδο στο O. Έχουμε FO f α. Αρχίζοντας από το C, σχεδιάζουμε δύο γραμμές σε αμφότερες τις πλευρές της CO η οποίες σχηματίζουν μ αυτήν γωνία θ. Αυτές οι δύο γραμμές τέμνουν το εστιακό επίπεδο στα M και N, αντίστοιχα. Όλες οι ακτίνες της ακτινοβολίας Cherenkv στο επίπεδο του σχήματος, μετά την ανάκλασή τους στον καθρέπτη, τέμνονται στα M ή N. Στην τρισδιάστατη περίπτωση, η ακτινοβολία Cherenkv δίνει ένα δακτύλιο στο εστιακό επίπεδο με κέντρο στο O (FO f α) και με ακτίνα MO f θ. Στην κατασκευή, όλες οι γραμμές είναι στο επίπεδο του σχεδίου. Ο δακτύλιος φαίνεται στο σχήμα με διακεκομμένη γραμμή Για το φαινόμενο Cherenkv effect πρέπει c c n >, δηλαδή n min =. v v Θέτοντας 4 ζ= n =, 7 0 P, έχουμε ζ min 4 c Pmin = 7, 0 = = v β. () Επειδή Mc Mc Mc β = = = = K pc p Mv β β () τότε K = 0,094 ; 0,05 ; 0,04 για πρωτόνιο, καόνιο και πιόνιο, αντίστοιχα. Από τη () μπορούμε να εκφράσουμε το β με τη βοήθεια του K ως β = + K (3) Όπου K << και για τα τρία είδη σωματιδίων μπορούμε να αγνοήσουμε τους όρους τάξεως μεγαλύτερης του στο K. Έχουμε β = K + K = Mc p (3a) 3

4 39th Internatinal Physics Olympiad - Hani - Vietnam Theretical Prblem N. K K β = + = Mc p (3b). Θέτοντας την (3b) στην (), παίρνουμε P = K. (4) 70,. min. 4 Παίρνουμε τις παρακάτω αριθμητικές τιμές για την ελάχιστη πίεση P min = 6 atm για πρωτόνια, P min = 4.6 atm για καόνια, P min = 0.36 atm για πιόνια. 3.. Για θ π = θ k έχουμε csθ = cs θ = cs θ π k k (5) Υποδηλώνουμε ε = β = K + K (6) Από την (5) παίρνουμε = (7) β n β π Αντικαθιστώντας παίρνουμε κ n β = ε και = + ζ n στην (7), κατά προσέγγιση ζ P ( K K ) 4εκ επ = = 4 κ π = 4.( 0. 05) ( 0. 04) 3 6 6, = ζ = 6atm. 4 70,. Η αντίστοιχη τιμή του δείκτη διάθλασης είναι n =.006. Παίρνουμε 4

5 39th Internatinal Physics Olympiad - Hani - Vietnam Theretical Prblem N. θ =.6, θ = θ = 3.. κ π κ Δεν παρατηρούμε δακτύλιο αφού P = 6atm < 6atm = P min για πρωτόνια. 4. έχουμε 4.. Παραγωγίζοντας στα δύο μέλη της csθ = βn sin θ. Δθ csθ Δ = β β (8) Παραγωγίζοντας την (3a) έχουμε Δβ = β p (9) Συνδυάζοντας την (8) και την (9), λαμβάνοντας υπόψιν την (3b) και θέτοντας περίπου tanθ = θ, παίρνουμε Δθ β K = = θ pβ θ p (0) Οπότε -για τα καόνια K κ = 005., π θ κ = 6. = 6. rad, και έτσι, 80 Δθ κ = 05., GeV / c -για τα πιόνια K π = 0. 04, θ π = 3., και Δθ π = 00. GeV / c. Τελικά, Δ θκ +Δθπ Δ θ = ( ) = GeV / c GeV / c 5

6 39th Internatinal Physics Olympiad - Hani - Vietnam Theretical Prblem N. 4.. Η συνθήκη για να είναι οι δύο δακτύλιοι διακρίσιμοι είναι: Δ θ < 0.( θ θ ) = 06. π κ. 6. Ακόλουθα Δ p < = 03GeV. / c Η κατώτερη τιμή του β που οδηγεί σε φαινόμενο Cherenkv είναι β = 3 n = 4. () Η κινητική ενέργεια ενός σωματιδίου που έχει μάζα ηρεμίας M και ενέργεια E δίνεται από την έκφραση Mc T = E Mc = Mc = Mc. () β β Αντικαθιστώντας την οριακή τιμή () του β στην (), παίρνουμε την ελάχιστη κινητική ενέργεια του σωματιδίου ώστε να προκύπτει φαινόμενο Cherenkv T = Mc = 05. Mc 9 6 (3). Για τα σωμάτια α Για τα ηλεκτρόνια T = GeV. = 94GeV., T = MeV = 0. 6 MeV. Αφού η κινητική ενέργεια των σωματίων που εκπέμπονται από ραδιενεργή πηγή δεν ξεπερνούν τα μερικά MeV, αυτά είναι ηλεκτρόνια που δίνουν ακτινοβολία Cherenkv στο πείραμα που μελετάμε. 6. Για δέσμη σωματίων που έχουν ορισμένη ορμή η εξάρτηση από τη γωνίαθ του δείκτη διάθλασης n του μέσου, δίνεται από την έκφραση csθ = (4) nβ 6.. Έστω δθ η διαφορά των θ μεταξύ δύο δακτυλίων που αντιστοιχούν σε δύο 6

7 39th Internatinal Physics Olympiad - Hani - Vietnam Theretical Prblem N. μήκη κύματος στο ορατό, π.χ. 0.4 µm και 0.8 µm, αντίστοιχα. Η διαφορά στο δείκτη διάθλασης γι αυτά τα μήκη κύματος είναι n n δ n. ( n ) v r = = 00. Με λογαριθμική παραγώγιση και στα δύο μέλη της (4) έχουμε sin θ. δθ δ n = (5) csθ n Αντίστοιχα για την πίεση του ακτινοβολητή P = 6 atm έχουμε από 4. τις τιμές θ π = 3,, n =.006. Θέτοντας προσεγγιστικά tanθ = θ και n =, έχουμε δ n δθ = = θ Η διεύρυνση λόγω διασκεδασμού είναι (6.) δθ = Η διεύρυνση λόγω αχρωματικού χαρακτήρα είναι, από 4.., GeV/c GeV/c =., τρεις φορές μικρότερη από την παραπάνω Το χρώμα αλλάζει από κόκκινο σε λευκό και μετά σε μπλε από το εσωτερικό προς το εξωτερικό. 7

8 39th Internatinal Physics Olympiad - Hani - Vietnam Theretical Prblem N. 8