ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ"

Μυρρίνη Πυλαρινός
8 χρόνια πριν
Προβολές:

2 ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Δυο κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες A Α Έστω σημείο Α στο επίπεδο Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονες A, A 0 A Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από ζεύγος τιμών,.

3 ΠΟΛΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Για να προσδιορίσουμε τη θέση του σημείου Α πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα ζεύγος τιμών. Α Την απόσταση από την αρχή των αξόνων ρ Τη γωνία φ που μετριέται από το θετικό ημιάξονα αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού 0 ρ φ 0 0 Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από ζεύγος τιμών ρ, φ.

4 ΠΟΛΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Σχέση μεταξύ Πολικών και Καρτεσιανών συντεταγμένων Γεωμετρικά εύκολα βρίσκουμε ότι cs Α sin ρ Συμβολισμοί που θα χρησιμοποιούμε συν cs ημ sin εφ tan σφ ct 0 φ

5 ΠΟΛΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Τα μοναδιαία διανύσματα ορίζονται ως εξής: 1. Για σημείο Μ φέρουμε την ΟΜ που ορίζει το. r r rr Μ r Το μοναδιαίο διάνυσμα r ορίζεται κατά μήκος του r και φορά από το Ο προς το Μ.. Το μοναδιαίο διάνυσμα που αντιστοιχεί στη γωνία φ, το, είναι κάθετο στο και δείχνει τη φορά μέτρησης του φ. r Ο х ΑΠΟ ΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΕΙΝΑΙ ΣΑΦΕΣ, ΠΩΣ ΤΑ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΞΑΡΤΩΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΜΕ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟ ΠΟΥ ΚΙΝΕΙΤΑΙ, ΘΑ ΕΧΟΥΜΕ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΟΝΑΔΙΑΙΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

6 ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΕ ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Εξετάζουμε και πάλι το σημείο M, το οποίο περιγράφει τη θέση του σωματιδίου μια τυχαία χρονική στιγμή. Ας εκφράσουμε το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου στις πολικές συντεταγμένες r=rr Τότε, σύμφωνα με τα γνωστά για την ταχύτητα θα έχουμε dr d( rr ) = Κατά την παραγώγιση πρέπει να πάρουμε υπόψη μας ότι και το r και το r είναι μεταβλητά dr drr ( ) dr dr = r r Ο r dr r / M r х

7 ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΕ ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Σχεδιάζουμε τα μοναδιαία i διανύσματα και του καρτεσιανού συστήματος στο ίδιο σχήμα j j Ο i r M r х Σχεδιάζουμε και τα 4 μοναδιαία διανύσματα στους, άξονες με κοινή κορυφή το Ο j Ο r i х

8 Φέρνουμε τις προβολές του στους άξονες και. r Τότε, από το σχήμα βλέπουμε ότι ισχύει: r csi sin j (1) ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΕ ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Φέρνουμε τις προβολές του στους άξονες και. Θα ισχύει: sin i cs j () dr / Για να υπολογίσουμε την πρέπει να παραγωγίσουμε την (1) ως προς το χρόνο dr d d d sin i cs j( sini cs j) Από τη () παίρνουμε: dr d j Ο r i х

9 ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΕ ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ dr drr ( ) dr dr = r r ( 3) (4) Από τις σχέσεις (3), (4) προκύπτει η έκφραση τις ταχύτητας σε πολικές συντεταγμένες. dr d dr dr d r r rr r Πολικές συντεταγμένες της ταχύτητας dr d, r r r r

10 ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Με παραγώγιση της ταχύτητας προκύπτει η επιτάχυνση d d a ( rr ) r rr rr r r r dr d Γνωρίζοντας ότι: r d d r a ( r r ) r ( r r ) Πολικές συντεταγμένες της επιτάχυνσης a r r a r r r,

11 ΦΥΣΙΚΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΙΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ Ταχύτητα dr () ds r dr dsdr lim t 0 (1) t ds (1),() dr ds Επιτάχυνση d d ds d s ds d d s ds d a (3) ds d d (3),(4),(5) a n R d n R (4) ds 1 R d ds (5) Επιτρόχια Επιτάχυνση a d d s s Κεντρομόλος Επιτάχυνση a R

12 ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ταχύτητα rr r () 1 dr d r c, r0,, () Ο a r φ n (ε) d (),( 1 ) r r r r r Επιτάχυνση a ( r r ) r ( r r ) ( 3) ( ),( ) 3 a r r r r n r, a r a r r

13 ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Υλικό σημείο Μ εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας r. Οι προβολές του Μ, Μ 1 και Μ στους άξονες Ο και O αντίστοιχα κάνουν αρμονική κίνηση. Ο Μ r Φ=ωt Μ 1 M (ε) Θέση Ταχύτητα Επιτάχυνση των Μ 1 και Μ. d rcst rsin t a r cst d rsint rcs t a r sint d d Περίοδος Τ, κυκλική συχνότητα ω. T

14 ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Η Θέση, η Ταχύτητα και η Επιτάχυνση των Μ 1 και Μ παίρνουν τις ίδιες τιμές μετά από κάθε περίοδο T Ο Μ r Φ=ωt Μ 1 M (ε) Βασική εξίσωση αρμονικής κίνησης των Μ 1 και Μ d a 0 0 d a 0 0 dr r Γενική εξίσωση αρμονικής κίνησης 0

15 ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΩΧΥΖ (S) ακίνητο σύστημα αναφοράς. ΟΧ Υ Ζ (S ) κινούμενο σύστημα αναφοράς στο χώρο. Μ κινούμενο υλικό σημείο στο χώρο. ΔιανύσματαθέσηςτουΜωςπροςτα S και S, Rr, αντίστοιχα. Διάνυσμα θέσης του S ως προς S, R Μοναδιαία διανύσματα των αξόνων των συστημάτων ΩΧΥΖ και ΟΧ Υ Ζ Διανύσματα θέσης i, j, k u, v, w Rijzk R i j zk αντίστοιχα. r u v zw

16 Σχέση Διανυσμάτων θέσης R R r Ταχύτητα του Μ ως προς το ΩΧΥΖ ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ dr dr dr dr d d dz d d dz i j k i j k d d dz du dv dw u v w z u u v v w w

17 ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ταχύτητα του Μ ως προς το ΩΧΥΖ d d dz RR u v w (u v zw) Επιτάχυνση του Μ ως προς το ΩΧΥΖ d d dz RR u v w d d dz ( u v w) ( r) ( r)

18 ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΙ Ταχύτητα και επιτάχυνση του S ως προς το S. d d dz i j k d d dz a i j k Απόλυτη ταχύτητα και επιτάχυνση του Μ ως προς το S. d d dz i j k d d dz a i j k Σχετική ταχύτητα και επιτάχυνση του Μ ως προς το S. d d dz. u v w d d dz a. u v w

19 ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΙ Μετοχική ταχύτητα και επιτάχυνση του Μ r Κοριόλειος επιτάχυνση του Μ a c Φυγόκεντρη επιτάχυνση του Μ a ( r) Γενικές εξισώσεις a a ( r) ( r) a a a c a

20 ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ Το S κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα a a Το S κινείται ευθύγραμμα με μεταβαλλόμενη ταχύτητα a a a ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Τα S και S έχουν κοινή αρχή και το δεύτερο περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. r a a a c ( r)

21 ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Τα S και S κινούνται με παραλλήλους τους άξονες τους και χωρίς περιστροφή (Γαλιλαικοί Μετασχηματισμοί) t d d d d d d d d z z dz dz d z d z

22 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ στις ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Καρτεσιανό Σύστημα (δεξιόστροφο) Τρεις κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες Έστω σημείο Α στο χώρο Η θέση του προσδιορίζεται αν φέρουμε την προβολή του Α στο επίπεδο και βρούμε τις Α, Α και την προβολή του z Α στον z άξονα. A z z A 0 Α Α z A Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από τρία μεγέθη,, z.

23 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ στις ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Κυλινδρικό Σύστημα Ουσιαστικά πρόκειται για Το πολικό σύστημα στο Επίπεδο (π.χ. το,) Με την προσθήκη ενός άξονα (π.χ.) του z) Έστω σημείο Α στο χώρο Η θέση του προσδιορίζεται αν φέρουμε την προβολή του Α στο επίπεδο και βρούμε τις ρ Α, φ Α και την προβολή του z Α στον z άξονα. 0 0 z Α Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από τρία μεγέθη ρ, φ, z. 0 z z A φ Α ρ Α Α

24 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ στις ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Σχέση συντεταγμένων Κυλινδρικού και Καρτεσιανού Συστήματος z z Από το σχήμα, αλλά και από τις σχέσεις τις οποίες βρήκαμε γιατοπολικόσύστημαστο επίπεδο έχουμε: Α cs sin z z 0 φ ρ Α

25 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ στις ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Γιατί λέγεται το σύστημα Κυλινδρικό; Εάν διατηρήσουμε σταθερό το ρ, ενώ θα μεταβάλλουμε το φ και το z σχηματίζεται κύλινδρος Το σύστημα χρησιμοποιείται σε προβλήματα με κυλινδρική συμμετρία, π.χ. μαγνητικό πεδίο ρευματοφόρου αγωγού. z z 0 Α

26 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ στις ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Σφαιρικό Σύστημα Η θέση του Α προσδιορίζεται από τα εξής μεγέθη: Την απόσταση r Α από την αρχή Την γωνία φ Α που ορίζεται όπως και η πολική. Την γωνία θ Α που μετριέται πάντα από το θετικό ημιάξονα z z 0 θ Α φ Α r Α 0 r 0 0 Α Α Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από τρία μεγέθη r, θ, φ.

27 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ στις ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Σχέση μεταξύ Σφαιρικών και Καρτεσιανών συντεταγμένων Από το σχήμα εύκολα παίρνουμε: ( )cs ( )sin z Ρ ( ) r sin z (OP) rcs θ r Α Τελικά: rsin cs rsin sin z rcs 0 φ θ Α

28 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ στις ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Γιατί λέγεται το σύστημα Σφαιρικό; z Εάν διατηρήσουμε σταθερό το r, ενώθαμεταβάλλουμετοφ και το θ σχηματίζεται σφαίρα Το σύστημα χρησιμοποιείται σε προβλήματα με σφαιρική συμμετρία, π.χ. βαρυντικό πεδίο Της Γης. 0 r

Σχετικά έγγραφα

Σύντομη μαθηματική εισαγωγή

Σύντομη μαθηματική εισαγωγή (ή πώς να γίνουν ομοιογενείς 250 φοιτητές από 130 διαφορετικά Σχολεία δύο διαφορετικούς δασκάλους ο καθένας) με δύο http://www.cc.uoa.gr/~ctrikali http://eclass.uoa.gr Α. Καραμπαρμπούνης,