استفاده قرار گرفته است ]17-20[.

Transcript

1 نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر دوره 49 شماره 3 سال 1396 صفحات 595 تا 604 DOI: /mej شبیهسازی جریان جابجایی طبیعی نانوسیال در یک محفظه شیبدار تحت میدان مغناطیسی به روش شبکه بولتزمن احمدرضا رحمتی * امین نجارنظامی دانشکده مهندسی مکانیک دانشگاه کاشان کاشان ایران چکیده: در این تحقیق از مدل توابع توزیع دوتایی با ضریب تخفیف چندتایی روش شبکه بولتزمن برای شبیهسازی جریان جابجایی طبیعی نانوسیال در یک محفظه شیبدار تحت میدان مغناطیسی استفاده شده است. محفظه موردنظر دوبعدی بوده و حاوی نانوسیال آب-اکسید تیتانیوم میباشد. محفظه دارای زاویه ϕ نسبت به سطح افقی بوده و تحت یک میدان مغناطیسی یکنواخت قرار گرفته است. روش عددی ارائه شده به ترتیب میدان جریان و میدان دما را با استفاده از مدل DQ9 و DQ5 که از مدلهای رایج در روش شبکه بولتزمن هستند شبیهسازی مینماید. هدف اصلی این تحقیق شبیهسازی جریان جابجایی طبیعی نانوسیال در عدد رایلی 10 5 و بررسی اثر کمیتهای مختلف مانند عدد هارتمن < 60 Ha )aaaaaaaaaaa( >0 کسر حجمی نانوذرات < 5% φ )aaaaaaaaaa( 0% < و زاویه شیب محفظه )aaaaaaaaaa( 0 o < ϕ < 90 o بر میدان جریان میدان دما و نرخ انتقال حرارت در محفظه است. نتایج به دست آمده نشان میدهد که افزایش قدرت میدان مغناطیسی باعث تضعیف جریان جابجایی طبیعی در محفظه شده و تغییرات شیب محفظه و کسر حجمی نانوذرات نیز تاثیرات متفاوتی بر میدان جریان میدان دما و نرخ انتقال حرارت در محفظه دارد. تاریخچه داوری: دریافت: 19 مهر 1394 بازنگری: 4 بهمن 1394 پذیرش: 9 اسفند 1394 ارائه آنالین: 3 مرداد 1395 کلمات کليدي: جابجایی طبیعی میدان مغناطیسی توابع توزیع دوتایی ضریب تخفیف چندتایی روش شبکه بولتزمن 1-1 مقدمه مسأله جابجایی طبیعی سیاالت هادی الکتریسیته در حضور یک میدان مغناطیسی یکی از موضوعات جذاب تحقیقاتی به دلیل کاربرد گسترده آن در زمینه مسائل مهندسی است برای مثال جابجایی طبیعی نقش مهمی را در رشد کریستالها در جریان مذاب ایفا میکند و باعث ایجاد یک ساختار غیرهمگن در ساختار قطعات ریختهگری میشود. ایجاد این ساختارهای ناهمگن و غیرقابل اجتناب در کریستالها را میتوان به کمک یک میدان مغناطیسی خارجی کاهش داد ] و 1 [. جریان جابجایی طبیعی هیدرودینامیک مغناطیسی توسط بسیاری از محققین و با استفاده از روشهای آزمایشگاهی تحلیلی و عددی مورد مطالعه قرار گرفته است. اوکادا و اوزو ]3[ آزمایشهایی را بر روی گالیم مذاب با عدد پرانتل 0/04 درون یک محفظه مکعب شکل که یک دیواره آن سرد یک دیواره آن گرم و دیوارههای دیگر آن عایق بوده و محفظه تحت تاثیر یک میدان مغناطیسی بود انجام دادند و دریافتند که تاثیر میدان مغناطیسی بر جریان سیال در حالتی که در این میدان در جهت عمودی اعمال شود بیشتر از حالتی است که در جهت افقی اعمال میشود. گاراندت و همکاران ]4[ روشی تحلیلی را برای مطالعه تاثیر میدان مغناطیسی بر جابجایی طبیعی درون یک محفظه دوبعدی ارائه دادند. رودرایاه و همکاران ]5[ تاثیر اعمال نویسنده عهدهدار مکاتبات: ar_rahmati@kashanu.ac.ir میدان مغناطیسی بر جریان جابجایی طبیعی درون یک محفظه مربعی شکل با دیوارههای عمودی دما-ثابت و دیوارههای افقی عایق برای سیالی با عدد پرانتل 0/733 را به طور عددی بررسی کرده و دریافتند که با افزایش قدرت میدان مغناطیسی جریان جابجایی طبیعی تضعیف شده و نرخ انتقال حرارت کاهش مییابد. جانی و همکاران ]6[ به بررسی انتقال حرارت جابجایی طبیعی جریان هیدرودینامیک مغناطیسی سیال در یک محفظه مربعی به روش عددی حجم محدود پرداختند. محفظه مورد نظر آنها دارای دیواره پایین گرم بوده و سایر دیوارههای آن سرد میباشند. بر اساس نتایج آنها افزایش عدد هارتمن موجب تضعیف جابجایی طبیعی و کاهش سرعت سیال شده و میزان انتقال حرارت را کاهش میدهد. همچنین براساس یافتههای آنها برای اعداد رایلی زیاد یک میدان مغناطیسی قوی برای کاهش انتقال حرارت جابجایی طبیعی نیاز است. پیرمحمدی و قاسمی ]7[ به بررسی اثر میدان مغناطیسی بر جابجایی طبیعی سیال در یک محفظه مربعی شیبدار با استفاده از روش عددی حجم محدود پرداختند. نتایج آنها نشان داد که تغییرات عدد ناسلت با شیب محفظه به عدد هارتمن وابسته است. در اغلب مطالعات انجامشده در زمینه بررسی تاثیر میدان مغناطیسی بر جابجایی طبیعی در محفظهها از سیاالت خالص استفاده شده است که بیشتر آنها دارای ضریب هدایت گرمایی پایین هستند. این مسأله میزان انتقال حرارت در محفظه را به خصوص در حضور یک میدان مغناطیسی کاهش 595

2 نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر دوره 49 شماره 3 سال 1396 صفحه 595 تا 604 میدهد. این مشکالت زمینه ورود نانوسیاالت به تحقیقات را فراهم آورد. نانوسیاالت دارای خواص حرارتی بهتری نسبت به سیاالت خالص هستند که این امر موجب بهبود انتقال حرارت در بسیاری از کاربردهای صنعتی میشود. شیخ االسالمی و همکاران ]8[ به بررسی تأثیر میدان مغناطیسی بر جابجایی طبیعی نانوسیال داخل یک محفظه دارای دیواره سینوسی به کمک روش عددی حجم محدود پرداختند. آنها برای افزایش دقت کار خود تأثیر حرکت براونی در ضریب هدایت گرمایی را به وسیله مدلهای ارائهشده لحاظ کردند. آنها به بررسی تاثیر کسر حجمی نانوذرات عدد رایلی عدد هارتمن و دامنه دیواره سینوسی بر جریان نانوسیال پرداخته و به این نتیجه رسیدند که با افزایش دامنه دیواره سینوسی افزایش عدد رایلی افزایش کسر حجمی نانوذرات و کاهش عدد هارتمن عدد ناسلت متوسط افزایش مییابد. روش شبکه بولتزمن یک روش عددی قدرتمند برای شبیهسازی جریان سیاالت و نانوسیاالت بوده و مبتی بر تئوری جنبشی میباشد ]9-11[. ساده بودن برنامهنویسی سهولت اعمال شرایط مرزي متفاوت و قابلیت موازيشدن برنامهنویسی این روش را به عنوان روشی جذاب براي شبیهسازي جریان سیاالت با هندسه پیچیده معرفی کرده است. عاشوری نژاد و همکاران ]1[ تأثیر یک میدان مغناطیسی بر جابجایی طبیعی نانوسیال آب - نقره در فضای بین دو محفظه دایروی هم محور را به صورت عددی بررسی کردند. براساس نتایج آنها عدد ناسلت متوسط با افزایش کسر حجمی نانوذرات و افزایش عدد رایلی افزایش یافته ولی با افزایش عدد هارتمن کاهش مییابد. محمودی و همکاران ]13[ به بررسی جریان جابجایی طبیعی نانوسیال در یک محفظه بسته تحت میدان مغناطیسی به روش شبکه بولتزمن پرداختند. آنها با بررسی تاثیر تغییرات عدد رایلی عدد هارتمن زاویه میدان مغناطیسی و کسر حجمی نانوذرات بر جریان نانوسیال مشاهده کردند که نرخ انتقال حرارت با افزایش عدد رایلی افزایش و با افزایش عدد هارتمن کاهش پیدا میکند. همچنین برای اعداد رایلی بزرگ میزان انتقال حرارت وابستگی شدیدی به جهت میدان مغناطیسی دارد و عالوه بر این جهت میدان مغناطیسی روی تأثیر کسر حجمی نانوذرات بر میزان انتقال حرارت نیز موثر است. در حال حاضر سه مدل حرارتی شبکه بولتزمن ارائه شده است: روش چندسرعته 1 روش نردهای منفعل و روش توابع توزیع دوتایی. 3 اغلب تحقیقاتی که به روش توابع توزیع دوتایی برای شبیهسازی جریانهای 4 جابجایی انجام شدهاند از روش شبکه بولتزمن بیهاتانگر- گروس- کروک استفاده کردهاند که با یک ضریب تخفیف تکی 5 تقریب زده میشود. به دلیل سادگی فراوان این روش بسیار مورد استفاده قرار میگیرد. اما این روش ممکن است به ناپایداری عددی ]14[ و ایجاد خطا در اعمال شرایط مرزی ]15[ منجر شود. این معایب میتوانند با بکارگیری مدل توابع توزیع دوتایی با ضریب تخفیف چندتایی 6 که توسط دهومیرز 7 مطرح شد برطرف شوند ]16[. به دلیل مزیتهای فراوان روش توابع توزیع دوتایی با ضریب تخفیف چندتایی این روش در بسیاری از مسائل جریانهای همدما و غیرهمدما مورد استفاده قرار گرفته است ]17-0[. با توجه به مزیتهای روش عددی شبکه بولتزمن و همچنین مدل توابع توزیع دوتایی با ضریب تخفیف چندتایی هدف تحقیق حاضر شبیهسازی جریان جابجایی طبیعی نانوسیال آب - اکسید تیتانیوم در یک محفظه مربعی شیبدار تحت میدان مغناطیسی به کمک مدل توابع توزیع دوتایی با ضریب تخفیف چندتایی روش شبکه بولتزمن است. برای حل میدان جریان از مدل شبکه DQ9 و برای حل میدان دما نیز از مدل شبکه DQ5 استفاده شده است. نتایج حاصل از این روش با مطالعات عددی گذشته اعتبارسنجی شده و تاثیر کمیتهای مختلف )کسر حجمی نانوذرات عدد هارتمن و زاویه شیب محفظه( بر میدان جریان و میدان دما مورد مطالعه قرار گرفته است. - هندسه مسئله هندسه مساله حاضر در شکل 1 نشان داده شده است. این محفظه T h و دیواره سمت دوبعدی و مربعیشکل بوده دیواره سمت چپ آن در دمای T c قرار دارد. دیوارههای باال و پایین نیز عایق هستند. راست آن در دمای با توجه به نحوه قرارگیری دیوارهها انتقال حرارت در راستای z نسبت به راستای x و y ناچیز بوده و فرض جریان دوبعدی صادق است. محفظه حاوی نانوسیال آب - اکسید تیتانیوم در دمای متوسط 300 K است. جریان در ناحیه آرام قرار دارد و یک میدان مغناطیسی یکنواخت با قدرت B در راستای x بر محفظه اعمال میشود. شتاب جاذبه نیز در راستای عمودی میباشد. محفظه دارای پهنا و ارتفاع L میباشد و زاویه آن با افق برابر ϕ است. خواص ترموفیزیکی نانوسیال در جدول 1 ارائه شده است. Fig. 1. Geometry of problem شکل 1: هندسه مسئله 6 Multi relaxation time (MRT) 7 D'Humieres 1 Multispeed approach (MS) Passive scalar approach 3 Double population distribution function approach (DDF) 4 Bhatnagar-Gross-Krook (BGK) 5 Single relaxation time (SRT) 596

3 604 تا 595 صفحه 1396 سال 3 شماره 49 دوره امیرکبیر مکانیک مهندسی نشریه M = , حاکم 3-3 معادالت برای DQ5 و جریان میدان شبیهسازی برای DQ9 شبکه مدل دما میدان شبیهسازی عددی شبیهسازی در که شود اشاره موضوع این به است الزم ابتدا در توابع مدل برای است. شده استفاده چگالی برای 1 بوزینسک تقریب از چگالی توزیع توابع از مجموعهای چندتایی تخفیف ضریب با دوتایی توزیع فضای در برخورد مرحله میشود. تعریف x شبکه گره درهر f{ i (x,t({ میشود. انجام V سرعت فضای در جریان مرحله و M مومنت ]1[: میشود استفاده زیر معادله از جریان میدان حل برای f( x+ c tt, + t) f(,) x t = 1 i eq M S[ m (,) x t m (,)] x t + F (,), x t و منت مو ای ره ا برد m eq (x,t( و m(x,t( که عبارت است. ترانهاده بردار T باالنویس میباشد. m =(m 0,m 1, m,...,m 8 )T میشود: تعریف زیر صورت به و است خارجی نیروی )1( معادله در نیرو F= F i+ F j, x y F = 3ωρ gβ sin φ( T T ), x i m ( ) F = 3 ωρ ( gβ cos φ( T T ) Av y i m Ha υ A = n میآید: دست به زیر معادله از A که نیروی میشود. محاسبه Ha=LB σ /μ معادله از نیز هارتمن عدد و است. جاذبه و مغناطیسی میدان نیروی از حاصل برآیند واقع در خارجی میدان از ناشی نیروی ][ مغناطیسی میدان اعمال جهت به توجه با میشود. وارد y جهت در تنها مغناطیسی میشود بیان زیر معادله با مومنت فضای و سرعت فضای بین رابطه :]1[ m = M f f = M m 1,. استفاده ( شکل با )مطابق DQ9 مدل از حاضر کار در اینکه به توجه با بود: خواهند قابلمحاسبه زیر معادله از c( i ( مشخصه سرعتهای است شده c i (0,0), i = 0 = (cos[( i 1) π / ],sin[( i 1) π / ]) c, i = 1 4, (cos[(i 9) π / 4],sin[(i 9) π / 4]) c, i = 5 8 مقدار است )Δx=Δt=1( اینکه به توجه با و بوده c=δx/δt آن در که بود. خواهد واحد برابر c ]1[: میشود تعریف زیر صورت به DQ9 مدل برای M ماتریس بوده قطری ماتریسی M M T است متعامد M ماتریس اینکه به توجه با آمد: خواهد دست به زیر معادله از M 1- بنابراین و 1 T T 1 M = M ( MM ). ]1[: میآیند دست به زیر معادله از نیز DQ9 مدل مومنتهای T m = ( ρ, e, ε, j, q, j, q, p, p ), x x y y xx yy مربع جمله m = ε انرژی جمله m 1 = e سیال چگالی m 0 = ρ که m 4,6 = q x,y و j = (j x,j y ) = (ρu,ρv( مومنتوم مولفههای m 3,5 = j x,y انرژی هستند. کرنش نرخ تانسور مولفههای m 7,8 = p xx,,xy و انرژی شار مولفههای ]1[: میشوند بیان زیر معادالت با DQ9 مدل تعادلی مومنتهای eq eq m1 = e = ρ + 3( jx + jy), eq eq m = ε = ρ 3( jx + jy), m = q = j eq 4 eq x DQ9 مدل DQ5 مدل Fig.. DQ5 and DQ9 models DQ9 و DQ5 مدل : شکل eq eq m6 = qy = jy, eq m7 = p = j j eq eq m8 = pxy = jx jy. _ x eq xx ( x y ),, c s 3 /1= شبکه صوت سرعت باال تعادلی مومنتهای از استفاده با ]1[: میآید دست به زیر معادله از نیز S قطری ماتریس بود. خواهد S = diag (1.0,1.4,1.4, s 3,1., s 5,1., s 7, s 8), 1 Boussinesq Moment 597

4 604 تا 595 صفحه 1396 سال 3 شماره 49 دوره امیرکبیر مکانیک مهندسی نشریه پایداری تحلیل یک کمک به میتوانند s i مقادیر است. s i )0,) که گرفته درنظر واحد برابر و بوده دلخواه s 5, s 3 مقادیر ]14[. آیند دست به خطی میآیند: دست به زیر معادالت از نیز s 8, s 7 میشوند. s7 = s8 = / (1+ 6 υ), است. سیال سینماتیکی لزجت υ باال معادله در s 1 = s = s 4 = s 6 = s 7 = دادن قرار با که کرد اشاره میتوان اینجا در یافت. دست بولتزمن شبکه روش تکی توزیع توابع مدل به میتوان s 8 = 1/τ ]1[: میشود استفاده زیر معادله از نیز دما میدان حل برای g ( x+ c t) g (,) x t = i eq Ω g (,) t g (,) t x x, زیر معادله از c( i ( مشخصه سرعتهای ( )شکل DQ5 مدل برای بود: خواهند قابلمحاسبه c i (0,0), i = 0 =, (cos[( i 1) π / ],sin[( i 1) π / ]) c, i = 0 4 از نیز M انتقال ماتریس و است. Ω=M 1- SM و بوده برخورد عملگر Ω ]3[: میآید دست به زیر معادله M = , دست به زیر معادله از T دمای میباشد. متعامد ماتریسی M ماتریس ]4[: میآید T 4 = g i = 0 i. ]4[: میآیند دست به زیر معادالت از نیز m eq تعادلی مومنتهای m = T, m = ut, m = vt, m = at, m = 0, eq eq eq eq eq تعریف زیر صورت به نیز S قطری ماتریس است. ثابت مقداری a که میشود: S = diag (1, s1, s, s 3, s 4), بحث مورد ]4[ مرجع در مفصل صورت به s i مقادیر انتخاب جزئیات میآیند: دست به زیر معادالت از ها s i کارحاضر در است. گرفته قرار = =, s s = =, s s α = 3(4 + a), 60 شد: خواهد ایجاد زیر قید باال انتخابهای با کوچتر باید a مقدار DQ5 مدل در ناپایداری از جلوگیری دلیل به که صورت به نیز دما میدان برای تعادلی توزیع توابع 4[. و ]3 باشد یک از میشوند: تعریف زیر eq gi = ωit (1+ 3 c i.u), است. ω 1-4 =1/4 و ω 0 0= مقادیر DQ5 مدل برای که مرزی شرایط میدان در کمانهکردن مرزی شرط از محفظه جامد دیوارههای برای نامیده نیز لغزش عدم مرزی شرط همان شرط این است. شده استفاده جریان حل دامنه به و کرده کمانه دیواره به برخورد از پس ذره شرط این در میشود. : شکل به توجه با و بنابراین ]5[. برمیگردد شمالی: دیواره برای f جنوبی: دیواره برای f شرقی: دیواره برای f غربی: دیواره برای f آدیاباتیک مرزی شرط از جنوبی و شمالی دیوارههای برای دما میدان در شمالی: دیواره برای بنابراین است. شده استفاده gi, n= gi, n 1, i = 0,..., 4. جنوبی: دیواره برای gi,0 = gi,1, i = 0,...,4. است شده استفاده زیر مرزی شرط نیز غربی و شرقی دیوارههای برای :]3[ g. 3 1 g1 = g3 + 3 αt h. دما میدان و جریان میدان برای ناویر-استوکس معادالت را دما میدان و جریان میدان برای تراکمناپذیر ناویر-استوکس معادالت در بیشتر جزئیات آورد. دست به 1 انزکوک - چاپمن بسط از استفاده با میتوان معادالت بسط این کمک به بنابراین است. گرفته قرار بحث مورد ]17[ مرجع هیدرودینامیک طبیعی جابجایی جریان برای انرژی و مومنتوم پیوستگی میشود: نوشته زیر صورت به مغناطیسی 1 Chapmann-Enzkog 598

5 604 تا 595 صفحه 1396 سال 3 شماره 49 دوره امیرکبیر مکانیک مهندسی نشریه µ µ = 1 ϕ f.5 u v + = 0. x y k Nu = k f ks + kf + ϕ( kf ks) ks + kf ϕ( kf ks) ρ µ x y x x y u u p u u u + v = F. x ρ µ x y y x y v v p v v u + v = F. y T + v T = T T +. u α x y x y صورت به و بوده y و x جهت در نیروها برآیند ترتیب به F y و F x که میشوند: محاسبه زیر F = ( ρβ ) g sin φ( T T ), x c Ha µ Fy = ( ρβ) g cos φ( T Tc ) v. L T u = v = 0, = 0 y T u = v = 0, = 0 y u = v = 0, T = Tc u = v = 0, T = Th میباشند: زیر صورت به مرزی شرایط و شمالی: دیواره برای جنوبی: دیواره برای شرقی: دیواره برای غربی: دیواره برای نانوسیال معادالت میشوند: محاسبه زیر روابط کمک به نانوسیال ترموفیزیکی خواص میشوند: محاسبه زیر معادالت از نیز متوسط و محلی ناسلت عدد k L T 1 L y =, Nuavg = Nu y dy kf T x L 0 در است. سرد و گرم های دیواره بین دما اختالف ΔT باال معادالت در شده درنظرگرفته زیر صورت به نیز محاسباتی برنامه همگرایی شرط نهایت است: n+ 1 n 8 Error = Max T T 10 طبیعی جابجایی حل روش جریان نزدیکی در محاسباتی برنامه اینکه از اطمینان حصول برای در باید U( 0 = gβ f (T h -T c )L( مشخصه سرعت شود همگرا تراکمناپذیر 0/1 مشخصه سرعت حاضر کار در باشد. کوچک صوت سرعت با مقایسه عدد رایلی عدد ثابتبودن با بنابراین است. شده درنظرگرفته صوت سرعت میآیند: دست به زیر معادالت از نفوذ ضریب و لزجت ماخ عدد و پرانتل υ = f υf α f = Pr Ma n Prc s Ra _ تعریف زیر صورت به نیز رایلی عدد همچنین است. c s 3 /1= که میشود: gβ L Pr( T T ) Ra = 3 f h c υf به دما میدان و جریان میدان برای تخفیف ضرایب مقادیر نهایت در میآیند. دست به نفوذ ضریب و لزجت از ترتیب ρ = 1) (ϕ ρ + ϕρ f s ]6[ کلوین( 300 دمای )در آب و نانوذرات ترموفیزیکی خواص 1: جدول Table 1. Thermophysical properties of water and nanoparticles β = (1 ϕ) β + ϕβ f s ( ρc ) = (1 ϕ)( ρc ) + ϕ( ρc ) p p f p s k α = ( ρc ) p و ]6[ برینکمن مدل از نانوسیال دینامیکی لزجت مدلکردن برای ماکسول-گارنتز مدل از نیز نانوسیال حرارتی هدایت ضریب مدلکردن برای ]6[: میشود استفاده تیتانیوم اکسید آب - 6/ Pr /1 ρ (kg/m 3 ) 686/ 4179 C p (J/kgK) 8/9538 0/613 k (W/mK) 0/ β (K -1 ) - 0/ μ (Ns/m ) 599

6 نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر دوره 49 شماره 3 سال 1396 صفحه 595 تا بررسی وابستگی حل به شبکه و اعتبارسنجی حل عددی برای بررسی وابستگی حل به اندازه شبکه عدد ناسلت محلی روی دیواره گرم برای شش اندازه شبکه مختلف مورد محاسبه قرار گرفته و در شکل 3 نشان داده شده است. همانطور که از این شکل مشاهده میشود شبکه برای حل عددی مناسب خواهد بود. برای اعتبارسنجی حل عددی عدد ناسلت متوسط حاصل از برنامه محاسباتی این تحقیق با نتایج کار قاسمی و همکاران ] 7 [ که در شبیهسازی خود از روش عددی حجم محدود و الگوریتم سیمپل پاتنکار ]8[ و نیز ابعاد شبکه استفاده کردهاند در جدول مقایسه شده است. همانطور که مشاهده میشود نتایج به دستآمده با مطالعه قاسمی و همکاران ]7[ تطابق خوبی دارند. 5-5 نتایج و بحث شکل 4 تأثیر تغییرات شیب محفظه و عدد هارتمن را بر خطوط جریان برای عدد رایلی 10 5 و کسر حجمی 3% نشان میدهد. همانطور که در این شکل مشاهده میشود در Ha=0 با افزایش زاویه شیب محفظه به 60 درجه خطوط جریان از حالت مستطیلی شکل به دوایر هممرکز در سراسر محفظه تبدیل میشوند که علت آن قویشدن مولفه افقی نیروی شناوری است. در Ha=30 جریان نانوسیال کمی تضعیف شده و خطوط جریان به طور تقریبی به شکل دوایر هممرکز در میآیند و افزایش زاویه شیب محفظه تا 60 درجه تأثیری بر الگوی خطوط جریان ندارد. در Ha=60 نیروی لورنتز قویتر شده و در جهت عکس سرعتهای عمودی نانوسیال وارد میشود. بنابراین خطوط جریان شکل عمودی به خود میگیرند و افزایش زاویه شیب محفظه به 60 درجه تأثیر چندانی بر الگوی خطوط جریان ندارد. در واقع در این حالت قدرت نیروی بازدارنده لورنتز خیلی بیشتر از نیروی شناوری است. در زاویه 90 درجه با توجه به نحوه قرارگیری دیواره گرم و سرد برای به وجود آمدن یک جریان جابجایی قوی نیاز به نیروی شناوری بیشتر میباشد. در عدد رایلی 10 5 جریان به وجودآمده قادر نیست کل محفظه را پوشش دهد و به دو گردابه تقسیم میشود. با افزایش عدد هارتمن جریان بیشتر تضعیف میشود و گردابهها شکل متقارن به خود میگیرند. Nu y y/l Fig. 3. Local Nusselt number on the hot wall for different grid sizes شکل 3: عدد ناسلت محلی روی دیواره گرم برای اندازههای شبکه مختلف جدول : مقایسه عدد ناسلت متوسط کار حاضر با نتایج قاسمی و همکاران ]7[ در 0=ϕ Ha = 30 و اعداد رایلی مختلف Table. Comparison of the average Nusselt number of the present work with results of Ghasemi et al. [9] at ϕ=0, Ha=30, and different Rayleigh numbers ϕ = 4% ϕ = % ϕ = 0% Ra Fig. 4. Streamlines at various inclination angles, Ra=10 5, ϕ=3% and Ha=0, 30, and 60 شکل 4: خطوط جریان در زوایای مختلف محفظه عدد رایلی 10 5 اعداد هارتمن 30 0 و 60 و کسر حجمی 3% شکل 5 تأثیر تغییرات زاویه شیب محفظه و عدد هارتمن را بر خطوط همدما در عدد رایلی 10 5 و کسر حجمی 3% نشان میدهد. همانطور که در این شکل مشاهده میشود در Ha=0 با توجه به اینکه قدرت میدان 1/11 1/079 1/00 قاسمی و همکاران ]9[ 1/131 1/079 1/08 نتایج کار حاضر 3/14 3/138 3/150 قاسمی و همکاران ]9[ 3/304 3/54 3/183 نتایج کار حاضر 17/449 17/197 16/99 قاسمی و همکاران ]9[ 17/151 16/443 16/58 نتایج کار حاضر

7 604 تا 595 صفحه 1396 سال 3 شماره 49 دوره امیرکبیر مکانیک مهندسی نشریه جابجایی صورت به حرارت انتقال غالب کار و ساز است صفر برابر مغناطیسی خطوط هارتمن عدد این در محفظه شیب زاویه افزایش با میباشد. طبیعی عدد افزایش با میشود. قارچیشکل صورت به و داده شکل تغییر همدما بر لورنتز بازدارنده نیروی قدرت غالبشدن به باتوجه 60 و 30 به هارتمن 60 تا محفظه شیب زاویه افزایش با همدما خطوط الگوی شناوری نیروی و 30 هارتمن اعداد و درجه 90 شیب زاویه در نمیکند. چندانی تغییر درجه به قارچیشکل صورت جریان خطوط و شده تضعیف طبیعی جابجایی 60 به جریان خطوط و شده بیشتر تضعیف این 60 هارتمن عدد در میگیرند. خود حرارت انتقال غالب کار و ساز حالت این در میروند. پیش موازیشدن حالت است. هدایت صورت به کمترین و درجه 30 شیب زاویه در دستآمده به متوسط ناسلت عدد مقدار عدد یک و شیب زاویه یک در میباشد. درجه صفر شیب زاویه در آن مقدار افزایش موجب درصد 3 تا نانوذرات حجمی کسر افزایش معین هارتمن میشود. متوسط ناسلت عدد کاهش موجب آن از بعد و متوسط ناسلت عدد خاص نانوذره حجمی کسر یک در 7 و 6 شکل دو مقایسه با همچنین واقع در میشود. متوسط ناسلت عدد در کاهش موجب هارتمن عدد افزایش بازدارنده نیروی از کمتر خیلی شناوری نیروی قدرت زیاد هارتمن اعداد در است. لورنتز Fig. 6. Average Nusselt number for different ϕ and inclination angle at Ha=30 and Ra=10 5 شیب مختلف زوایای برای آمده دست به متوسط ناسلت عدد 6: شکل Ra = 10 5 و Ha = 30 در مختلف حجمی کسر و محفظه Fig. 5. Isotherms at various inclination angles, Ra=10 5, ϕ=3% and Ha=0, 30, and 60 اعداد 10 5 رایلی عدد محفظه مختلف زوایای در همدما خطوط 5: شکل 3% حجمی کسر و 60 و 30 0 هارتمن Fig. 7. Average Nusselt number for different ϕ and inclination angle at Ha=60 and Ra=10 5 شیب مختلف زوایای برای آمده دست به متوسط ناسلت عدد 7: شکل Ra = 10 5 و Ha = 60 در مختلف حجمی کسر و محفظه زوایای در را دستآمده به متوسط ناسلت عدد تغییرات 7 و 6 شکلهای و Ha=30 در ترتیب به مختلف حجمی کسر و محفظه شیب مختلف مشاهده شکل این در که همانطور میدهد. نشان Ra=10 5 و Ha=60 متوسط ناسلت عدد درجه 30 به 0 از محفظه شیب زاویه افزایش با میشود متوسط ناسلت عدد محفظه شیب زاویه بیشتر افزایش با و مییابد افزایش لورنتز نیروی به هم متوسط ناسلت عدد اینکه به توجه با میکند. پیدا کاهش 30 تا محفظه شیب زاویه افزایش میباشد وابسته شناوری نیروی به هم و را متوسط ناسلت و شده لورنتز نیروی بر شناوری نیروی غلبه باعث درجه به قادر شناوری نیروی محفظه شیب بیشتر افزایش با اما میدهد افزایش بیشترین میکند. پیدا کاهش متوسط ناسلت و نبوده لورنتز نیروی بر غلبه 601

8 604 تا 595 صفحه 1396 سال 3 شماره 49 دوره امیرکبیر مکانیک مهندسی نشریه 6-6 نتیجهگیری چندتایی تخفیف ضریب با دوتایی توزیع توابع مدل از تحقیق این در نانوسیال طبیعی جابجایی جریان عددی شبیهسازی برای بولتزمن شبکه روش شد. استفاده مغناطیسی میدان یک اثر تحت شیبدار مربعی محفظه یک در میشوند: بیان زیر در عددی شبیهسازی از حاصل نتایج خالصه صورت به شبیهسازی از حاصل نتایج ارائهشده مدل اعتبارسنجی منظور به - مشاهده و گردید مقایسه انجامشده عددی کارهای با حاضر تحقیق عددی تخفیف ضریب با دوتایی توزیع توابع مدل از استفاده از حاصل نتایج که شد دارد. انجامشده کارهای با خوبی تطابق چندتایی به محفظه شیب زاویه افزایش با 3%=φ و Ha=0 و Ra=10 5 در - حالت از جریان خطوط و شده قویتر شناوری نیروی افقی مولفه درجه 60 میشود. تبدیل هممرکز دوایر به مستطیلی شیب زاویه و 3% حجمی کسر 60 و 30 هارتمن اعداد Ra=10 5 در - به و دهد پوشش را محفظه کل نیست قادر وجودآمده به جریان درجه 90 میشود. تقسیم گردابه دو لورنتز بازدارنده نیروی قدرت 3%=φ و Ha=30 و 60 و Ra=10 5 در - درجه 60 تا محفظه شیب زاویه افزایش و شده غالب شناوری نیروی بر داشت. نخواهد همدما خطوط الگوی بر تأثیری خطوط 60 و 30 هارتمن اعداد و Ra=10 5 درجه 90 شیب زاویه در - میشود. قارچیشکل صورت به همدما 30 به 0 از محفظه شیب زاویه افزایش با Ra=10 5 و Ha=30 در - شیب زاویه بیشتر افزایش با و مییابد افزایش متوسط ناسلت عدد درجه میکند. پیدا کاهش متوسط ناسلت عدد محفظه عدد افزایش خاص نانوذره حجمی کسر یک در و رایلی عدد یک در - میشود. متوسط ناسلت عدد در کاهش موجب هارتمن عالئم فهرست B c i C p F f i T مغناطیسی میدان بزرگی i جهت در مشخصه سرعت Jkg 1- K 1- ثابت فشار در ویژه گرمایی ظرفیت N خارجی نیروی چگالی توزیع تابع m/s جاذبه شتاب g g i Ha k L n دما توزیع تابع هارتمن عدد W/m.K حرارتی رسانایی ضریب m محفظه عرض و طول y یا x راستای در شبکه نقاط تعداد انتقال ماتریس M مومنت m ماخ عدد Ma ناسلت عدد Nu Pa فشار p پرانتل عدد Pr رایلی عدد Ra K دما T s زمان t m/s x, y جهت در سرعت مولفههای u, v کارتزین مختصات,x y یونانی عالئم m s -1 حرارتی نفوذ ضریب α K 1- حرارتی انبساط ضریب β s زمانی گام Δt m مکانی گام Δx Nsm - دینامیکی لزجت µ برخورد عملگر Ω نانوذرات حجمی کسر φ محفظه شیب زاویه ϕ A s 3 /m.kg الکتریکی رسانایی ضریب σ kgm -3 چگالی ρ s زمانی تخفیف ضریب τ ω i v شبکه وزنی ضریب m s -1 سینماتیکی لزجت باالنویسها و زیرنویسها متوسط avg سرد c تعادلی eq سیال f گرم h شبکه مدل لینک شماره i نانوسیال نانوذرات s 60

9 نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر دوره 49 شماره 3 سال 1396 صفحه 595 تا 604 Boltzmann simulation of MHD natural convection in a nanofluid-filled cavity with linear temperature distribution, Powder Technol., 56(Supplement C) (014) [14] P. Lallemand, L.-S. Luo, Theory of the Lattice Boltzmann Method: Dispersion, Dissipation, Isotropy, Galilean Invariance, and Stability, Phys Rev E, 61 (000) [15] I. Ginzburg, D. d'humières, Multi-reflection boundary conditions for lattice Boltzmann models, Phys Rev E, 68 (003) [16] D. d'humières, Generalized Lattice-Boltzmann Equations, in: Rarefied Gas Dynamics: Theory and Simulations, B.D. Shizgal, D.P. Weaver (Eds.), Progress in Astronautics and Aeronautics, AIAA, Washington, DC, 199, pp [17] R. Du, B. Shi, X. Chen, Multi-relaxation-time lattice Boltzmann model for incompressible flow, Phys. Lett. A, 359(6) (006) [18] X.D. Niu, C. Shu, Y.T. Chew, Y. Peng, A momentum exchange-based immersed boundary-lattice Boltzmann method for simulating incompressible viscous flows, Phys. Lett. A, 354(3) (006) [19] L. Zheng, B. Shi, Z. Guo, Multiple-relaxation-time model for the correct thermo hydrodynamic equations, Phys Rev E, 78 (008) [0] A. Rahmati, M. Ashrafizadeh, E. Shirani, Novel Hybrid Finite-Difference Thermal Lattice Boltzmann Models for Convective Flows, Heat Transf. Res., 40 (009) [1] A.A. Mohamad, Lattice Boltzmann Method: Fundamentals and Engineering Applications with Computer Codes, Springer London, 011. [] P.A. Davidson, An Introduction to Magnetohydrodynamics, Cambridge University Press, 001. [3] J. Wang, D. Wang, P. Lallemand, L.-S. Luo, Lattice Boltzmann simulations of thermal convective flows in two dimensions, Comput. Math. Appl., 65() (013) [4] I. Ginzburg, D. Dhumieres, A. Kuzmin, Optimal Stability of Advection-Diffusion Lattice Boltzmann Models with Two Relaxation Times for Positive/Negative Equilibrium, J. Stat. Phys., 139 (010) [5] M.C. Sukop, D.T. Thorne, Lattice Boltzmann Modeling: An Introduction for Geoscientists and Engineers, Springer, 006. [6] K. Khanafer, K. Vafai, M. Lightstone, Buoyancydriven heat transfer enhancement in a two-dimensional enclosure utilizing nanofluids, Int. J. Heat Mass Transfer, منابع [1] C. Vives, C. Perry, Effects of magnetically damped convection during the controlled solidification of metals and alloys, Int. J. Heat Mass Transfer, 30(3) (1987) [] H. P. Utech, M. Flemings, Elimination of Solute Banding in Indium Antimonide Crystals by Growth in a Magnetic Field, J. Appl. Phys., 37 (1966) [3] K. Okada, H. Ozoe, Experimental Heat Transfer Rates of Natural Convection of Molten Gallium Suppressed Under an External Magnetic Field in Either the X, Y, or Z Direction, J. Heat Transfer, 114(1) (199) [4] J.P. Garandet, T. Alboussière, R. Moreau, Buoyancy Driven Convection in a Rectangular Enclosure with a Transverse Magnetic Field, Int. J. Heat Mass Transfer 35 (199) [5] N. Rudraiah, R.M. Barron, M. Venkatachalappa, C.K. Subbaraya, Effect of a magnetic field on free convection in a rectangular enclosure, Int. J. Eng. Sci., 33(8) (1995) [6] S. Jani, M. Mahmoodi, M. Amini., Magnetohydrodynamic Free Convection in a Square Cavity Heated from Below and Cooled from Other Walls, Int. J. Mech. Indu. Sci. Eng., 7(4) (013) [7] M. Pirmohammadi, M. Ghassemi, Effect of magnetic field on convection heat transfer inside a tilted square enclosure, Int. Commun. Heat Mass 36(7) (009) [8] M. Sheikholeslami, M. Gorji-Bandpy, D.D. Ganji, S. Soleimani, Natural convection heat transfer in a cavity with sinusoidal wall filled with CuO water nanofluid in presence of magnetic field, J Taiwan Inst Chem Eng 45(1) (014) [9] S. Succi, The Lattice Boltzmann Equation: For Fluid Dynamics and Beyond, Clarendon Press, 001. [10] D. Yu, R. Mei, L.-S. Luo, W. Shyy, Viscous flow computations with the method of lattice Boltzmann equation, Prog. Aerosp. Sci., 39(5) (003) [11] A. Karimipour, A. Hossein Nezhad, A. D Orazio, M. Hemmat Esfe, M.R. Safaei, E. Shirani, Simulation of copper water nanofluid in a microchannel in slip flow regime using the lattice Boltzmann method, Eur J Mech B Fluids, 49(Part A) (015) [1] H.R. Ashorynejad, A.A. Mohamad, M. Sheikholeslami, Magnetic field effects on natural convection flow of a nanofluid in a horizontal cylindrical annulus using Lattice Boltzmann method, Int. J. Therm. Sci., 64(Supplement C) (013) [13] A. Mahmoudi, I. Mejri, M.A. Abbassi, A. Omri, Lattice 603

10 نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر دوره 49 شماره 3 سال 1396 صفحه 595 تا [8] S.V. Patankar, Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere Publishing Corporation, Please cite this article using: 46(19) (003) [7] B. Ghasemi, S.M. Aminossadati, A. Raisi, Magnetic field effect on natural convection in a nanofluid-filled square enclosure, Int. J. Therm. Sci., 50(9) (011) براى ارجاع به این مقاله از عبارت زیر استفاده کنید: A.R. Rahmati and A. Najjarnezami, Simulation of Magneto-hydrodynamics Natural Convection of Nanofluid in a Tilted Cavity Using Lattice Boltzmann Method Amirkabir J. Mech. Eng., 49(3) (017) DOI: /mej