مدلسازی برخورد قطره به فیلم سیال با کاربرد در پدیده یخ زدگی بدنه هواپیما

Transcript

1

2 مدلسازی برخورد قطره به فیلم سیال با کاربرد در پدیده یخ زدگی بدنه هواپیما شیما 2 1 ملک زاده احسان روحی گروه مهندسی مکانیک دانشکده مهندسی دانشگاه فردوسی مشهد قطره چکیده- هدف از کار تحقیقاتی حاضر مدلسازی برخورد قطره به سطح فیلم سیال با استفاده از نرم افزار اپنفم میباشد. انگیزهی اصلی در انجام این تحقیق بررسی میزان پدیدهی یخ زنی بر روی بدنهی هواپیما است. سعی براین است که نقش پاشش در شکلگیری یخ بر روی بال هواپیما مورد بررسی قرار گیرد بهخصوص برای قطرات بزرگ بسیار سرد که تاثیر بسزایی بر این پدیده دارند. پارامترهای موثر در مقدار پاشش سایز عمق فیلم سیال واثرات هوای اطراف میباشد. از آنجاییکه انجام مطالعات آزمایشگاهی و درنظر گرفتن تمام پارامترهای موثر بر پخششوندگی قطره در برخورد به فیلم سیال بسیار مشکل میباشد در نتیجه تمایل به انجام حلعددی که بتواند میزان پخششوندگی سیال را بطور کامل و دقیق مدلسازی کند افزایش مییابد. در این تحقیق حل عددی جریان غیرقابل تراکم دو فاز آب-هوا در برخورد قطره روی الیهای از سیال بررسی شده است. در این نوشتار تاثیر هوا و همچنین الیههای یخزدهی قبلی سیال لحاظ نشده است. لزجت سیال ثابت درنظر گرفته میشود. کلید واژه اپنفم برخورد قطره پاشش فیلمسیال یخزدگی مقدمه 1- برخورد یک قطره با سرعت باال بر روی الیهای از سیال در صنایع هوافضا اسپری مستقیم سوخت در موتورهای احتراق داخلی صنایع شکالتسازی پوشش رنگ توسط اسپری و غیره کاربرد دارد که از جمله مهمترین آنها پدیدهی یخ زدن بدنهی هواپیما است. به یخهایی که در اثر کاهش طبیعی دما روی سازه تشکیل شده و به قسمت بیرونی هواپیما میچسبد یخهای سازهای گویند. در سطوح پروازی یخ در قسمت لبهحمله تشکیل میشود که شکل آیرودینامیکی بال را تغییر میدهد. یخ ایجاد شده روی هواپیما جریان هوای روی بال را منحرف کرده ماکزیمم نیروی برآی بالها و زاویه حمله را کاهش میدهد همچنین سبب افزایش نیروی پسا میشود. این امر سبب تشکیل حباب در زیر یخ تولیدشده میشود. اندازهی این حبابها بستگی به سایز و نوع یخ تشکیلشده دارد که باعث کاهش میزان کنترل هواپیما و پایداری آن میشود. در این شرایط یخ در زیر بالها و تقریبا کل سطح جلویی بدنه شامل ورودیهای هوا پیشرانه سپرهایباد آنتنها و پوستهجلوی هواپیما انباشته میشود که در نتیجهی آن گرما به درستی انتقال نمییابد و آنتنها به قدری با سرعت شروع به لرزش میکنند که امکان شکستن آنها وجود دارد. این موضوع میتواند در ناوبری و ارتباطات هواپیما مشکل ایجاد کند. با اینکه مقدار افزایش وزن ناشی از یخ ها در مقایسه با اختالالتی که در جریان هوا ایجاد میکنند بسیار ناچیز است اما برای جبران این پسای اضافی یا باید از حداکثر توان موتور برای غلبه بر نیروی پسا استفاده نمود ویا میتواند نیروی پیشران هواپیما را با اضافه کردن تجهیزات دیگر یا باال بردن دماغه هواپیما افزایش داد. در حالیکه با افزایش زاویه حمله میزان یخ روی بالها و بدنه به طور ناخوشایندی افزایش مییابد ]1[. از برخورد قطرات بزرگ بر روی فیلم سیال و پخششدن آنها اینگونه تلقی میشود که بر میزان یخ تولیدی و شکل آنها بسیار موثر است. هدف از تحقیق حاضر این است که با توجه به قابلیت اوجگیری هواپیما و یخ زدگی بدنه آن جهتکاهش این پدیده با بکاربردن مواد ضدیخ در بدنه هواپیما بتوان نسبت قطرقطره به ارتفاع سیال را بهگونهای تنظیم کرد که کمترین میزان یخزدگی برروی جداره اتفاق بیافتد. برخالف این اهمیت مهم فیزیکی کارهای اندکی در این زمینه انجام شده است. اولین تحقیقات بر روی پدیدهی پخششوندگی و مسائل مربوط به آن توسط ورتینگتون (Worthington) ]2[ انجام گرفت که کتاب او شامل تصاویر بسیاری از پخششوندگی بعد از برخورد قطره و همچنین برخورد کرهای جامد بر روی فیلمسیال است. به شیوه حل تحلیلی نیز مطالعاتی صورت گرفته و از جمله میتوان به مطالعات کروپکین (Korobkin) و همکاران] 0 [ و همچنین هویسن (Howison) ]4[ که به برخورد قطره با سرعت باال روی الیهی کمعمقی از آب با تاکید بر گامزمانی پرداختند اشارهکرد. آنها حل را برای زمانهای کوچک بعد از برخورد بررسی کردند که معموال در این برخوردها قطره بهعنوان جسم جامد تلقی شدهاست. مطالعات عددی توسط ویز (Weiss) وهمکاران] 5 [ با دیدگاه الگرانژی تحقیق دربارهی برخورد قطرهی غیرلزج به فیلمسیال بود. در آن مطالعه به بررسی اثرات جاذبه و کشش سطحی پرداختند اما اثرات لزجت و تراکمپذیری را موردبررسی قرار ندادند. همچنین سرعت جت بهوجود آمده از ناحیهی برخورد را در اعداد وبر کوچک و سرعتهای کم محاسبه کردند. در نهایت با نتایج آزمایشگاهی ترودسن (Thoroddsen) تطابق قابل قبولی داشت. جسراند (Josserand) و همکاران] 3 [ توانستند روش سهبعدی قدرتمندی را برای بررسی برخورد قطره 1- دانشجوی کارشناسی ارشد مهندسی مکانیک 2 -استادیار دانشگاه فردوسی مشهد e.roohi@um.ac.ir

3 -2 ابداع کنند اما در این روش تنها اعداد رینولدزی کاربرد داشت که دو یا سه مرتبه کمتر از اعداد رینولدز مناسب برای پدیدهی یخزدگی است. از فعالیتهای عددی گزارش شده در تحلیل توانمندی نرم افزار اپنفوم در شبیهسازی رفتار دینامیکی قطره مقاله بربرویک (Berberovic) و همکاران] 7 [ میباشد. در یک مطالعهی عددی نظری وآزمایشگاهی به بررسی برخورد قطره به فیلم محدود سیال پرداختهاند. در این مطالعه دینامیک برخورد قطره و شکل حفرهی ایجاد شده بر روی فیلمسیال موردبررسی قرار گرفت. تشکیل و انتشار موجهای کاپیالری و نیز ضخامت فیلمسیال روی دیواره شبیهسازی شد. با استفاده از تصویربرداری با سرعت باال تاثیر برخی از پارامترها مانند ضخامت فیلمسیال و سرعت قطره مورد مطالعه قرارگرفت. همچنین ویژگیهای فیزیکی دو فاز همچون لزجت و تنشسطحی بر روی تغییر شکل دهانهی حفره بررسی شد. برای شبیهسازی در این مطالعه از مدل تعقیب سطح حجم سیال موجود در نرمافزار اپنفوم استفاده شده است. شبکهبندی شرایط مرزی و شرایط محاسباتی از آن پس نتایج حاکی از استقالل شبکه خواهند بود. شعاع حفره ناشی از برخورد بر حسب متر جدول 1: نتایج حاصل از استقالل شبکه تعداد شبکه داخل قطره شماره /333 3 /333 3 / / / / / /33033 شکل 1 نمونهای ازنمای عمومی مرزهای میدان و شرایط مرزی است. شبکهی 3- مورد استفاده در تحلیلها شبکه سازمانیافته با المانهای دو بعدیکه در اپنفم تعریف شده است میباشد. مقادیر اولیه برای مشخص نمودن موقعیت مکانی قطره فیلمسیال و سرعت قطره در فایل تنظیم میدان در پوشه سیستم نرمافزار تعریف و مقداردهی شده است. ابعاد شبکه و ابعاد میدان حل به گونهای انتخاب شدهاند که عدموابستگی نتایج به شبکه و ابعاد آن را تضمین میکند. کلیهی شبیهسازیهای عددی برای قطره آب خالص و با سرعت( V ) برابر با 133 متر بر ثانیه در نظر گرفته شده است. مشخصات هندسه طراحی شده و ویژگیهای فیزیکی جریان با استفاده از الگوی مربوط به فرایند طراحی درمرجع ]3[ مشخصات هندسه طراحی شده به این صورت است که مساحت محدوده حل( A ) مترمربع میباشد و ارتفاع فیلم سیال( H ) در تمام مراحل ثابت و برابربا متراست. قطر قطرهها (D) از تا 3034 مترافزایش مییابد. همچنین نسبت قطر قطره به ارتفاع فیلم سیال (D/H) از 3025 تا 3 در شکلهای 0 تا 3 افزایش مییابد. ارتفاعی که قطره رها میشود در هر مرحله برابر با شعاع هر قطره در همان مرحله است. زاویه برخورد قطره با فیلم سیال 33 درجه میباشد. جهت آمادهسازی طرح از سیاالتی با مشخصات فیزیکی جریان که در جدول 2 گزارش شدهاست استفاده میشود. جدول 2 : ویژگیهای فیزیکی جریان / /37 شکل 1 -هندسه دو بعدی و شرایط مرزی چگالی آب چگالی هوا لزجت سینماتیکی آب لزجت سینماتیکی هوا تنش سطحی -4 معادالت ریاضی معادالتحاکم بر جریانسیال بهطور کلی عبارت از معادالتبقای ناویراستوکس و پیوستگی میباشند. درروش حجم سیال برای جریانهای دوفازی تراکم ناپذیر یک معادلهی انتقال )معادلهی 5 ( که در بر دارندهی نسبت حجمی فازها است به طور همزمان به همراه معادالت پیوستگی )معادالت 2 و 0( حل میگردد. )معادله 1 ( و ممنتم )1( یکی از مسائل اصلی در حلعددی معادالت با مشتقات جزئی ایجاد یک شبکه بندی مناسب میباشد. با ایجاد یک شبکهبندی مناسب میتوان حل یک سیستم معادالت دیفرانسیل را تا حد زیادی ساده نمود و بالعکس انتخاب نامناسب محل نقاط شبکه میتواند باعث ناپایداری یا عدم همگرایی در محاسبات گردد. اهمیت مساله در شکلگیری قطره و فیلم سیال بعد از برخورد میباشد که به صورت دوبعدی شبیهسازی شده است. بههمین دلیل جهت بررسی استقالل نتایج از شبکه تعداد شبکه در داخل قطرهای Radius) (Cell Per Dish به شعاع 3032 متر در جدول 1 گزارش میشود. مشاهده میشود که با افزایش تعداد شبکه در داخل قطره زمانیکه بیشتر از شود شعاع حفرهی ایجاد شده ناشی از برخورد ثابت باقی میماند و 2

4 -6 روش حل عددی )2( )0( -5 روش نسبت حجمی سیال )VOF( روش نسبت حجمی نخستین بار توسط هارت ونیکولز در سال 1331 ارائه شد. این روش برای مدلسازی دو یا چند فاز که از سیالهای غیرقابل حلشونده در میگیرد. این قرار استفاده مورد باشد شده تشکیل یکدیگر زمانی روش استفاده میشود که یافتن مرز بین فازها مد نظر باشد. مانند دیگر روشهای شبیهسازی چند فاز مشکل اساسی در این است که در نظر گرفتن الیهای به نازکی آنچه در طبیعت بین فازها وجود دارد در عمل امکانپذیر نیست. نفوذ مصنوعی و عددی ایجاد شده باعث میشود که مرزهای غیر دقیقی به وجود بیایند. سادهترین از است. تفاضلی روش برای ترمیم این مشکل استفاده از روشهای مخصوص روش حجمسیال برای شبیهسازی فاز چند پدیدههای مختلفی از جمله جریانهای دارای سطح آزاد شبیه سازی جتها و نیز شبیهسازی جریان میکروفلوئیدها استفاده میگردد. این دارای روش کاربردهایی همچون پیشبینی برگشت جت بررسی حرکت حبابهای بزرگ داخل مایع و بررسی رفتار مایع پس از دریچه سد و در نهایت بررسی مرز مشترک بین ترکیبهای مایع گاز است. از آنجا که متغیرγ بوسیله جریان سیال جابجا میشود میتوان معادله جابجایی زیر را برای آن نوشت. ( ) )4( کسر حجمی γنیز معموال بصورت زیر بیان میشود. { )5( )3( فاز بخار در سطح مشترک فاز مایع و با انتگرلگیری بر روی یک حجم کوچک از معادلهی فوق داریم: در این جا یک مخلوط دوفازی همگن داریم که خواص آن بصورت میانگین وزنی از نسبت حجمی بصورت زیر بدست میآید و بنابراین در نواحی تکفازی این خواص مشابه خواص همان فاز موردنظر میباشند و در نواحی سطح مشترک دو فاز این خواص بصورت میانگین وزنی از نسبت حجمی که در معادالت )7( و )3( آورده شده است تغییر میکند ]3[. برای محاسبه سطح مشترک بین دو فاز از روش حجم سیال) VOF ( در نرم افزار اپنفم استفاده شدهاست. جریان نیوتنی فرض شده که با روش گسستهسازی حجممحدود و از طریق الگوریتم پیزو حل میشود. نسخه نرمافزار اپنفم مورد استفاده در این تحقیق نسخهی) ( میباشد که در مدلسازی جریانهای دوفاز نسبت به نسخههای پیشین قدرتمندتر و کارآمدتر شده است. این نرمافزار با استفاده از حلگر اینترفم (InterFoam) برای مدلسازی جریان دوفاز از روش عددی حجممحدود سیال جهت مدلسازی سطح مشترک بین دوفاز همراه با بازآرایی متغیرها برای حلکردن معادالت گذاری انتقال در هر مش دلخواه غیرساختار یافته در فضای سهبعدی استفاده میکند. روش حجممحدود سیال یکی از رایجترین شیوههای تعقیب سطح است که تقریبا در همهی نرم افزارهای تجاری و رایگان برای پیگیری سطح پیادهسازی شده است. شرایط مرزی بکار گرفتهشده در نرمافزار اپنفم در فایل صفر تعریف میشوند که جهت شبیهسازی مطالعه حاضر فایلهای سرعت و فشار با مقادیر مذکور اعمال شدهاند. از جمله دیگر شرایط الزم برای بررسی جریان دوفاز اعمال شرطمرزی آلفا میباشد که تعیین آن از شرایط الزم جهت بررسی جریانهای چندفاز است. اطالعات مربوط به شبکه در قسمت دیگری از نرمافزار بهعنوان پوشه ثوابت( Constant ) اعمال گردیده است و همچنین خواص سیاالت مورد بررسی خواص جریان نیروی جاذبه درخور مدلهای مختلف در این قسمت اعمال گردیدهاند. با توجه به اهمیت توزیع فازهای مختلف سیال در لحظه اولیه جهت تعیین شکل و نوع قطره و همچنین فیلم سیال باید این مهم در نرمافزار لحاظ گردد بههمین منظور با اعمال تنظیمات میدان( SetFieldsDict ) در پوشهی سیستم میتوان شرایط اولیه الزم جهت مدلسازی فازها را مشخص نمود. طرحزمانی( Scheme ) مورد استفاده اولر( Euler ) میباشد. طرحهای گرادیان از نوع گوسخطی( linear (Gauss بوده و طرحهای دیورژآنس مورد استفاده برای مقادیر سرعت از اسکیم باالدست مرتبهدوم( Upwind ) و برای مقادیر آلفا از نوع گوس محدودشونده( vanleer (Gauss میباشد. اپن فوم از روش تجزیهی دامنهی حل برای کدهای موازی استفاده میکند. از آنجایی که دامنهی حل عددی به تعدادی از زیر دامنهها تقسیم میشود و هر کدام از آنها را یک پردازشگر حل میکند. ارتباط داخلی بین پردازشگرها بسته به این که مقدار برداری یا تانسور باشد در سطوح مختلف اجرا میشود. بدان وسیله کدهای نوشتهشده به کاربر اجازه میدهد تا معادالت جزئی انتقال را به صورت اتومات موازی حلکند. به علت توانایی باالی نرم افزار اپنفم در پردازش موازی و افزایش سرعت حل از گسستهسازی محدوده حل به 4 قسمت و بهره بردن از 4 پردازشگر موازی استفاده شده است. قابل ذکر است که این گسستهسازی توسط الگوریتم سیمپل( coeffs (Simple صورت گرفتهاست. الگوریتم حل بکار رفته از نوع پیمپل( Pimple ) میباشد که تلفیقی از الگوریتمهای حل سیمپل (Simple) و پیزو (Piso) است. در شکل 2 مراحل حل این الگوریتم آورده شده است. توانایی این الگوریتم وارد کردن ضرایب مناسبی در حل است که امکان انجام محاسبات را در اعداد کورانت بیشتر از یک محیا میسازد. شرایط همگرایی برابر 13^-5 درنظر گرفته شدهاست. جهت به دست آوردن پاسخهایی با دقت و سرعت باال برای حل ماتریسهای فشار سرعت و آلفا به ترتیب از حلگرهای گرادیان مزدوج پیششرط( PCG ) دو مزدوجگرادیان ρ ρ ( )ρ ( ) )7( )3( 0

5 پیششرط ( PBICG )و از حلگر هموارکننده solver) (Smooth استفاده شده است. کوپلکردن معادالت با یک الگوی مجزا به وسیلهی فرمولهکردن و حلکردن معادالت برای هر متغیر به صورت تفکیک شده انجام میشود. حل معادالت به اندازهای تکرار میشود تا به همگرایی مطلوب برسند. بدان وسیله کدهای نوشته شده به کاربر اجازه می دهد تا معادالت جزئی انتقال را به صورت اتومات موازی حل کند ]13[. همانطور که مشاهده میشود مقدار سیالی که پاشیده میشود با افزایش سایز قطر قطره افزایش مییابد. از بررسی نتایج مشخص است که با بزرگ شدن مقدارD/H محدوده پخششوندگی قطره بزرگتر شده و احتمال یخزدگی افزایش مییابد ]11[. تونلهای باد و تستهای پروازی نشان دادهاند که برف و یخ دانههای روی لبه حمله یا سطوح باالیی میتوانند نیروی برآ را تا 03 درصد کاهش داده و باعث افزایش 43 درصدی نیروی پسا شوند. دانههای بزرگتر باعث کاهش بیشتر نیروی برآ و افزایش نیروی پسا تا 33 درصد ویا حتی بیشتر میشوند ]1[. بنابراین برای نسبت (D/H>0) مقدار پاشش قابل توجه است پس قطرات بزرگ دارای اهمیت بیشتری میباشند و تاٴثیر بسزایی در توسعه محدوده یخزدگی دارند. همانطور که در شکل 7 مالحظه میشود میزان پخششوندگی جت آزاد( h ) برای (D/H<0.5) بسیارکم است اما بعد از افزایش و ثابت ماندن در یک مقدار خاص تغییرات محسوس از مقادیر (D/H=1.5) شروع میشود. این شکل نشاندهندهی ماکزیموم ارتفاع بدست آمده ناشی از پاشش است. نتایج حاکی از آن است که تغییر قابل توجه اندازهی قطر قطره تاثیر بسزایی در میزان پاشش دارد. میزان پاشش در قطرههایی که قطرشان کوچکتر از عمق فیلم سیالی است که به آن برخورد میکنند بسیار کمتر از قطرههایی است که قطرشان برابر یا بزرگتر از عمق فیلم سیال است. در شکل 3 مالحظه میشود که با افزایش نسبت (D/H) قطر حفرهی ناشی از برخورد( d ) افزایش مییابد و سیالی که از مرکز برخورد قطره به فیلمسیال به سمت خارج از محور پخش میشود دیگر قابلیت بازگشت نخواهد داشت. با افزایش کشش سطحی در زمانهای طوالنیتر تاج به سمت فیلم سیال متمایل شده و اجازهی پخششدن به آن نمیدهد. سایر پارامترها از جمله جریان هوا ممکن است باعث تغییر مکان یخزدگی شود اما در مدل فعلی به آن توجهی نشدهاست ]7[. شکل 2 : الگوریتم پیمپل -7 نتیجهگیری شکلهای 0 تا 3 نشان میدهند که بعد از برخورد اولیه متعاقبا یک جت آزاد سیال تاج مانند با سرعت باال شکل گرفته و به سمت باالی محل برخورد خارجشده و ناحیهی فرورفتگی را به وجود میآورد. هندسهی جتآزاد که شامل عرض و ارتفاع آن میباشد بستگی به سرعت قطرهی برخورد کننده خواص سیال و ضخامت فیلمسیالی که قطره به آن برخورد میکند دارد. قطرهی برخوردکننده به درون فیلمسیال نفوذ پیدا کرده و باعث توسعهی آن در جهت شعاعی میشود. در طول نوسان توسعه یافتن نیروهای داخلی بر لزجت غالب هستند و نیروهای مویینگی در زمانیکه اعداد رینولدز و وبر بزرگتر از واحد باشند وجود دارد. به وسیلهی حرکت گریز از مرکز نیروی مویینگی بیشینه در قطر دهانه بهوجود میآید. همانطور که مشاهده میشود در همان مراحل اولیهی برخورد در طول فرایند تغییرشکل حفره از حالت کروی به مخروطی تبدیل میشود. به نظر میرسد که روش نسبت حجمی سیال اپنفم توانسته است در گامهای زمانی کوچک نتایج مناسبی را ازبرخورد قطره نمایش دهد که با نتایج عددی پروس و همکاران [3] قابل مقایسه است. شکل 3 - سطح آزاددر 4 زمان مختلف برای نسبت D/H=0.25 )ستون راست نتایج مرجع] 8 [ و ستون چپ نتایج کار حاضر ) 4

6 شکل 4 -سطح آزاددر 4 زمان مختلف برای نسبت D/H=1 )ستون راست نتایج مرجع] 8 [ و ستون چپ نتایج کار حاضر ) شکل 6 - سطح آزاددر 4 زمان مختلف برای نسبت نتایج مرجع] 8 [ و ستون چپ نتایج کار حاضر ) D/H=8 )ستون راست h (m) D/H شکل 7 :حداکثر ارتفاع جت آزاد تشکیلشده از سیال خارج شده در باالی الیه اصلی در برابر نسبت قطر قطره به ارتفاع فیلمسیال درزمان بی بعد 5.4=t. شکل 5 - سطح آزاددر 4 زمان مختلف برای نسبت نتایج مرجع] 8 [ و ستون چپ نتایج کار حاضر ) D/H=2 )ستون راست 5

7 The Influence of Ambient, Journal of Physics, Vol. 66, No. 2, pp , d (m) D/H شکل 8: قطر حفره ایجاد شده( d ) ناشی از برخورد قطره به فیلمسیال در برابر نسبت قطر قطره به ارتفاع فیلمسیال در زمان بی بعد 5.4=t. مراجع [1] conditions [2] A. M. Worthington, A Study of Splashes, Longman's Green, and Co, Inc. London [3] A. A. Korobkin and V.V. Pukhnachov, Initial stage of water impact, Annual review of fluid mechanics, Vol.20, No.1, pp , [4] S. D. Howison and J. R. Ockendon, S. K. Wilson, Incompressible water-entry problems at small deadrise angles, J. Fluid Mech, Vol. 222, pp , [5] D. A. Weiss and A. L. Yarin, Single drop impact onto liquid films: neck distortion, jetting, tiny bubble entrainment, and crown formation Journal of Fluid Mechanics, Vol. 385, pp , [6] D. Fuster and G. Agbaglah and C. Josserand and S. Popinet and S. Zaleski, Numerical simulation of droplets, bubbles and waves, state of the art. Fluid dynamics research, Vol.41, No.6, , [7] E. Berberović, et al., Drop impact onto a liquid layer of finite thickness Dynamics of the cavity evolution, The American Physical Society, No. 79, pp , [8] R. Purvis and F. T. Smith, Large droplet impact on water layers, AIAA paper, Vol.414, [9] V. Cristini, Y. C. Tan, Theory and numerical simulation of droplet dynamics in complex flows a review, Lab on a Chip, Vol. 4, No. 4, pp , [10] Darmstadt and T. U. Strömungslehre and F.G. Aerodynamik, Investigation of Free-surface Flow Associated with Drop Impact, Numerical Simulations and Theoretical Modeling, Phd Thesis, August, pp , [11] T. Biobinsk and G. Sobieraj and k. Gumowski and J. Rokicki and M. Psarski and J. Marczak and G. Celichowski, Droplet Impact in Icing Conditions 3