O zbekiston Respublikasi Oliy va o rta maxsus ta lim vazirligi. Sh.Q. Farmonov, R.M. Тurgunbayev, L.D. Sharipova, N.Т. Parpiyeva

Transcript

1 O zbeisto Respubliasi Oliy va o rta maxsus ta lim vazirligi Sh.Q. Farmoov, R.M. Тurgubayev, L.D. Sharipova, N.Т. Parpiyeva EHТIMOLLIKLAR NAZARIYASI VA MAТEMAТIK SТAТISТIKA Matematia va iformatia Matematia Тoshet utubxoasi

2 Ehtimollilar azariyasi va matemati statistia. Pedagogia oliy ta lim muassasalari talabalari uchu darsli. Sh.Q. Farmoov, R.M.Тurgubayev, L.D. Sharipova, N.Т. Parpiyeva., Тoshet, 007 Darsli pedagogia oliy ta lim muassasalari Matematia va iformatia baalavriat ta lim yo alishi o quv rejasidagi Ehtimollilar azariyasi va matemati statistia faiig amaldagi dasturi asosida yozilga. Uda fa bo limlari bo yicha azariy ma lumot va ularga doir misollar yechib o rsatilga. Bob oxirida o z-o zii teshirish uchu savollar berilga, hamda azariy ma lumotlari o zlashtirish uchu test topshiriqlari berilga. Mazur darslida matematia va iformatia, meхaia, fizia va astroomiya hamda iqtisodiyot yo alishlariig talabalari, shuigde, ehtimollilar azariyasi va matemati statistiai mustaqil o rgauvchilar ham foydalaishi mumi. Учебник написан на основе действующей программы по теории вероятностей и математической статистике для студентов-бакалавров педагогических вузов. В нем рассмотрены теоретические вопросы по основным разделам программы и приведены соответствующие примеры с решениями. В конце каждой главы даны вопросы для самопроверки, примеры и задачи, а также тестовые задания. Данный учебник может быть использован студентами других вузов, а также для самостоятельного изучения теории вероятностей и математической статистики. The text-boo is writte o the base of the actig programm o probability theory ad mathematical statistics for bachelor studets of higher pedagogical istitutios. I the text-boo, theoretical questios o the basic sectios of the programm are cosidered ad correspodig examples are give with solutios. At the ed of each sectio, questios for self-examiatio, examples ad problems, ad also test tass are give. This text-boo ca be used for studets of others higher istitutios ad for idepedet studyig of probability theory ad mathematical statistics. Taqrizchilar: O.Sh. Sharipov fizia-matematia falari dotori M.M. Хushvatov fizia-matematia falari omzodi, dotset utubxoasi

3 Aademi Sa di Хasaovich Sirojiddiovig uutilmas yorqi хotirasiga bag ishlaadi S O Z B O S H I Ushbu qo llama hozirgi zamo Ehtimollilar azariyasi va matemati statistia ursiig Respubliamiz uiversitetlari va pedagogia istitutlari matematia, tadbiqiy matematia, iformatia mutaхasislilari bo yicha qabul qiliga o quv dasturlari asosida yozilga. Buda tashqari qo llamada mazur urs bo yicha qo shimcha mashg ulotlar, talabalar bila mustaqil ta lim dasrlarii o tazishda foydalaish mumi. Shu maqsadda itobda eltirilga hamma teoremalar matematia uqtai azarida qa tiy isbotlari bila ta milaga. Ular bila taishish o quvchiga hozirgi zamo ehtimollilar azariyasida qo llailadiga metodlar haqida to la ma lumot beradi. Aytilga firig ahamiyatliligi shudai, ehtimolli azariyasi matemati fa sifatida bevosita tabiiy va ijtimoiy jarayolarig modellarii o rgaadi. O z avbatida esa, bu modellar asosiy tushucha sifatida qabul qiliga Elemetar hodisalar tushuchasi orqali ifodalaadi. Qo llamada eltirilga ma lumotlari tushuish uchu o quvchida ombiatoriaga tegishli dastlabi tushuchalar va birichi, iichi urslarda o qitiladiga matemati aaliz elemetlari bila taish bo lish talab etiladi. Ushbu darsli mualliflarig o p yillar davomida Mirzo Ulug be omidagi O zbeisto Milliy Uiversiteti, Nizomiy omidagi Тoshet Davlat Pedagogia Uiversitetida o qiga ma ruzalari asosida yozilga. Ushbu itobig yozilishida Nizomiy omidagi Тoshet Davlat Pedagogia Uiversitetiig «Matemati aaliz» afedrasiig o qituvchilariig maslahatlarida foydalaildi. Mualliflar mazur afedra a zolariga, shuigde, fizia-matematia falari dotori O.Sh.Sharipovga, fizia-matematia falari 3 utubxoasi

4 omzodi J.B.Azimovga va teхi хodimlar N.I.Aromova va N.Sh.Mamaovalarga chuqur miatdorchili izhor qiladilar. Albatta har qaday yozilga itob mualliflarig talaga predmetga bo lga shaхsiy muosabatlarii o proq as ettiradi. Shuig uchu ham talif qiliayotga darsli amchililarda хolis deb bo lmaydi. Biz mutaхassislar va oddiy o qituvchilar tomoida darsliga bildiriladiga taqidiy firlari utib qolamiz. Mazil: Тoshet sh. Yusuf Хos Hojib o chasi 03 uy. Nizomiy omidagi Тoshet Davlat Pedagogia Uiversiteti, fizia-matematia faulteti, Matemati aaliz afedrasi. Mualliflar 4 utubxoasi

5 KIRISH Ehtimollilar azariyasi matemati fa sifatida ro y berishi yoi ro y bermagaligi oaiq bo lga voqealarig modellarii (voqealarig o zii emas) o rgaadi. Boshqacha qilib aytgada, ehtimollilar azariyasida shuday tajribalar modellarii o rgailadii, bu tajribalarig atijalarii oldida aiqlab bo lmaydi. Masala, taga tashlagada ui gerb yoi raqam tomoi bila tushishi, ob-havoi oldida aytib berish, ishlab turga agregatig yaa qacha ishlashi, ommaviy ishlab chiqarilga mahsulotig osozli qismi, eletr sigallarii uzatishda halaqit beruvchi vaziyatlar yuzaga elishi-bularig hammasii ehtimollilar azariyasiig qo llailishi mumi bo lga predmetlar deb qaralishi mumi. Ehtimollilar azariyasiig qo llash yoi qo llash mumimasligi, o rgailayotga tajriba uchu stoхasti turg uli хossasi o rili bo lishiga bog liq. Oхirgi tushucha esa, o z avbatida, o rgailayotga tajribaig bir хil sharoitda o p marta uzatish (o tazish) imoiyati bila bog liq (saab o tilga misollarga e tibor berig) uzatish qiyi bo lga tajribalari esa ehtimollilar azariyasi yordamida deyarli o rgaib bo lmaydi. Lei, aytib o tilga firlari stoхasti turg uli ig ta rifi sifatida qabul qilib bo lmaydi. Aslida esa, bu tushuchaga ehtimollilar azariyasi fudametal atijalarida biri-atta solar qoui orqali elish mumi. Buig uchu quyidagi tushuchalari eltirish bila chegaralaib qolamiz. Bizig ogimizda biror hodisaig ehtimolligi ( ro y berishli darajasi ) bir хil tipdagi tajribalari bir хil sharoitda o p marta tarorlagada bu hodisaig ro y berish chastotasiga bog liq. Bui o p marta foydalailadiga taga tashlash misolida amoyo etamiz. Aytayli, taga marta tashlasi, m gerb ro y berishiig isbiy chastotasi bo lsi, ya i g deb taga marta tashlagada ui gerb tomoi bila tushga soi belgilasa, m g =. 5 utubxoasi

6 Ituitiv ravishda tushuarli (tajribalar esa bui isbotlaydi), agar tagai oldigi tashlagalarig atijalariga bog liq qilmasda tashlasa, atta lar uchu m chastota / ga yaqi bo ladi, ya i da m (*) muosabat o rili bo ladi. Masala XVIII asrda yashaga mashхur tabiatshuos Byuffo tagai 4040 marta tashlab, uda gerb tomoi 048 marta tushgaii g uzatga. Bu holda m = 0,508. Mashhur igliz statist olimi K.Pirso tagai 4000 marta tashlab, gerb tomoi 0 marta uzatilgaligii aiqlaga. Bu holda m 0,5005 (bu ma lumotlar B.V.Gedeoig Kurs teorii veroyatostey (Mosva,969) itobida olidi). Aytilgalarda elib chiqadii, taga tashlagada ui gerb tomoi bila tushish ehtimolligii / soi bila teglashtirish mumi. Lei bu mulohazalarda quyidagi prisipial qiyichililar yuzaga eladi: eltirilga firlari odatdagi matemati tushuchalar orqali asoslab bo lmaydi, chui, birichida tajribalarig bog liqsizligii qat iy ta rifii berish qiyi. Iichida, m oddiy ma odagi miqdor bo lmasda, u har хil tajribalar seriyalarida har хil qiymatlari qabul qiladi (хattoi har qaday uchu m = bo lishligii ya i tagatashlagada doimo ui gerb tomoi bila tushishii ior etib bo lmaydi). Dema, (*) muosabati soli etma-etlilarig limiti tushuchasi doirasida asoslab bo lmaydi, chui m oddiy ma odagi miqdor emas, u tasodifiy miqdor bo ladi. Bularda tashqari, aslida biz chesiz { m, } etma-etlia ega bo lmasda, bu etma-etliig cheli sodagi chastotalari elemetlari bila ish o rishimizga to g ri eladi. Eslatib o tilga qiyichililari bartaraf etish uchu hozirgi zamo matematiasida qabul qiligaide, tasodifiy hodisalar va ularig ehtimollilari uchu asiomati modellar tuzish era bo ladi. Bu muammolar XX asrig mashhur matematigi A.N.Kolmogorov tomoida talif qiliga ehtimollilar azariyasi asiomalari sistemasii iritilishi bila hal etildi. 6 utubxoasi

7 Mazur darsliig oхirida hozirgi zamo Ehtimolilar azariyasi va matemati statistia ig matemati fa sifatida shallaish tariхida lavhalar va bu fa bo yicha O zbeistoda duyoga mashхur matab yaratilgaligi haqidagi ma lumotlar berilga. 7 utubxoasi

8 I-BOB. EHТIMOLLIKLAR FAZOSI.-. Elemetar hodisalar fazosi. Hodisalar va ular ustida amallar Elemetar hodisalar fazosi ehtimollilar azariyasi uchu asosiy tushucha bo lib, uga ta rif berilmaydi. Formal uqtai azarda bu iхtiyoriy to plam hisoblaib, uig elemetlari o rgailayotga tajribaig bo limaydiga va bir vaqtda ro y bermaydiga atijalairda iborat bo ladi. Elemetar hodisalar fazosi Ω harfi bila belgilaib, uig elemetlarii (elemetar hodisalari) ω harfi bila ifodalaymiz. aiq bo lmaga hodisa tasodifiy hodisa deyiladi. Тajriba atijasida ro y berishi oldida Тasodifiy hodisalari, odatda, loti alfavitiig bosh harflari A, B, C, lar bila belgilaadi. Misollar. ) Тaga tashlash tajribasi uchu { ω, ω } Ω = iita elemetar hodisada iborat va bu yerda ω tagaig gerb tomoi tushish hodisasi, ω tagaig raqam tomoi tushish hodisasi (taga qirra tomoi bila tushadi dega hodisa mumi bo lmaga hodisa hisoblaadi). Bu hol uchu Ω to plamig elemetlari soi Ω =. ) Shoshqoltosh (yoqlari birda oltigacha raqamlaga bir jisli o yi ubigi) tashlash tajribasi uchu Ω = { ω, ω, ω, ω, ω, ω } va bu yerda ω i ubiig i raqam bila belgilaga tomoi bila tushish hodisasi. Bu misol uchu Ω= 6. 3) Тagai ii marta tashlash (yoi iita tagai birdaiga tashlash) tajribasi uchu { ω, ω, ω, ω } { GG, GR, RG, RR} Ω= =. 3 4 Bu yerda GG tagai ii marta ham gerb tomoi bila tushish hodisasi, RG birichi marta raqam tomoi, iichi marta esa gerb tomoi 8 utubxoasi

9 bila tushish hodisasi va qolga GR, RR hodisalar shularga o хshash hodisalar bo ladi. Bu holda Ω= 4 va GR, RG hodisalar bir-birida farq qiladi. 4) Тajriba -chi misoldagi o yi ubigii marta tashlashda iborat bo lsi. Bu holda elemetar hodisalar ushbu o riishga ega: ( ) ω ij = i, j, i, j =,,...,6. Buda ω ij hodisa ubii birichi tashlashda i raqamli yoq, iichi tashlashda j raqamli yoq tushgaligii bildiradi. Bu tajribada elemetar hodisalar fazosi Ω: Ω = { ω ij, i, j =,,...,6}. Elemetar hodisalar soi Ω = 6 = 36. 5) Тajriba biror A hodisai marta uzatishda iborat bo lsi (yoi A hodisa ustida marta tajriba o tazilsi). Har bir o tazilga tajribaig atijasi A hodisaig ro y berishi yoi ro y bermasligida iborat bo lsi. Agar tajriba atijasida A hodisa uzatilsa, ui yutuq deb, ro y bermasa yutqiziq (yutuq emas) deb hisoblaymiz. Masala, tagai bir echa marta tashlashda iborat tajribai o rsa, ui gerb tomoi bila tushishii yutuq deb, raqam tomoi bila tushishii esa yutqiziq deb tushuish mumi. Agar shartli ravishda yutuq i, yutqiziq i 0 deb olsa, o rgailayotga tajriba uchu har bir elemetar hodisa ω = ωω... ω bo lib, u ta va 0 larda iborat etma-etli bo ladi. Masala, = 4 bo lgada ω = 00 elemetar hodisa birichi va to rtichi tajribalarda yutuq bo lgaii, iichi va uchichi tajribalarda yutqiziq bo lgaii bildiradi. Bu holda hamma elemetar hodisalar soi Ω =, chui har bir ω i iili saoq sistemasidagi -qiymatli so deb tushuish mumi. 6) Тajriba uqtai [0;] segmetga tasodifiy ravishda tashlashda iborat bo lsi. 9 utubxoasi

10 Bu holda elemetar hodisa ω sifatida [0;] segmetig iхtiyoriy uqtasii olish mumi. Bu tajribada Ω elemetar hodisalar fazosi [0;] to plamda iborat. Aytib o tgalarimizi yaulab, buday хulosa qilishimiz mumi: har qaday tajriba ro y berishi mumi bo lga elemetar hodisalar to plami bila bog liq va bu hodisalar to plami cheli, saoqli va хatto otiuum quvvatga ega bo lishi mumi. Elemetar hodisalar fazosi Ω ig iхtiyoriy A qism to plami ( А Ω) tasodifiy hodisa deyiladi va A hodisa ro y berdi degada shu A to plamga irga biror elemetar hodisaig ro y berishi tushiiladi. Тajriba atijasida har gal ro y beradiga hodisa muqarrar hodisa (Ω) deyiladi, chui hamma elemetar hodisalar Ω i tashil qiladi. Birorta ham elemetar hodisai o z ichiga olmaga hodisa mumi bo lmaga hodisa deyiladi va bila belgilaadi. Shuday qilib har qaday A tasodifiy hodisa elemetar hodisalar to plamida tashil topga bo ladi va A ga iradiga ω larig birortasi ro y bersa ( ω А ), A hodisa ro y beradi. Agar shu elemetar hodisalarda birortasi ham ro y bermasa, A hodisa ro y bermaydi va u holda A hodisaga tesari hodisa (ui A orqali belgilaymiz) ro y berga deb hisoblaadi. A va A o zaro qarama-qarshi hodisalar deyiladi. Misollar.. A hodisa 3-chi misoldagi tajribada gerb va raqam tushishda iborat bo lsi. Bu holda A = { ω, ω3}. Bu hodisaga qarama-qarshi hodisa: A = { ω, ω }.. B hodisa 3-chi misoldagi tajribada hech bo lmagada bir marta gerb tushishda iborat bo lsi. Bu holda 4 B = { ω, ω, ω }. 3 Bu hodisaga qarama-qarshi hodisa: B = { ω4}. 0 utubxoasi

11 Edi tasodifiy hodisalar ustida amallari o rib chiqayli.. Agar A hodisai tashil etga elemetar hodisalar B hodisaga ham tegishli bo lsa, A hodisa B hodisai ergashtiradi deyiladi va A B abi belgilaadi (-rasm). -rasm. Agar A B va B A, ya i A hodisa B i ergashtirsa, va asicha, B hodisa A i ergashtirsa, A va B hodisalar teg deyiladi va A belgilaadi. = B abi 3. A va B tasodifiy hodisalarig yig idisi deb, shuday C hodisaga aytiladii, bu hodisa A va B hodisalarig amida bittasi ro y bergada ro y beradi va C = A B (yoi C = A+ B) abi belgilaadi (-rasm). -rasm. 4. A va B tasodifiy hodisalari o paytmasi deb, shuday C hodisaga aytiladii, bu hodisa A va B hodisalarig bir paytda ro y bergada ro y beradi va C = A B ( ёки C = A B) abi belgilaadi (3-rasm). utubxoasi

12 3-rasm 5. A va B tasodifiy hodisalari ayirmasi deb, shuday C hodisaga aytiladii, A hodisa ro y berib, B hodisa ro y bermagada ro y beradi va C = A\ B ( ёки C = A B) abi belgilaadi (4-rasm). 6. Agar A B deyiladi (5-rasm). 4-rasm = bo lsa, A va B hodisalar birgalida bo lmaga hodisalar 5-rasm utubxoasi

13 7. Agar AiA j = ( i j) ва A+ A A =Ω bo lsa, u holda A, A,, A lar hodisalar to la guruхii tashil etadi deyiladi..-. Disret elemetar hodisalar fazosi. Ehtimolliig lassi ta rifi Disret elemetar hodisalar fazosi bu cheli yoi saoqli elemetar hodisalarda iborat to plam, ya i Ω= { ω ω ω }, {,,...,,...},,..., ω ω ω Ω =. Oldigi paragrafda o rib o tilga -5 misollarda elemetar hodisalar fazosi Ω cheli bo lib,, 6, 4, 36 va elemetda iborat edi. Edi tajriba atijasida ro y beradiga elemetar hodisalar soi saoqli bo lga hol uchu misollari o ramiz. ) Тajriba telefo stasiyasiga tushga chaqiriqlari o rgaishda iborat bo lsi. Bu yerda telefo stasiyasi, chaqiriq so zlarii eg ma oda tushuish mumi. Masala, aboeti telefo stasiyaga ulash, savdo magaziiga xaridorlar murojaati, eletro hisoblash mashiasiig biror bloi orqali o tadiga iformatsio sigallar, registratsiya qiliga osmi zarrachalar va haozolar. Agar bir vaqt birligi (seud, miut, soat, yil) davomida tushadiga chaqiriqlar soi bila qiziqsa, bu tajriba uchu elemetar hodisalar fazosi Ω = {,,...,,...} ω ω ω bo lib, bu yerda ω i i ta chaqiriq tushish elemetar hodisasii bildiradi. Umumiy chaqiriqlar soi hohlagacha bo lishii hisobga olib, bu tajribai modellashtirishda Ω i saoqli to plam va Ω = deb hisoblash maqsadga muvofiq bo ladi. ) Тajriba tagai birichi bor raqam tushgucha tashlashda iborat bo lsi. ω = { R} birichi tashlashdayoq raqam tushish hodisasi. ω = { GR} birichi tashlashda gerb, iichi tashlashda raqam tushish hodisasi. 3 utubxoasi

14 ω 3 = { GGR} birichi va iichi tashlashda gerb, uchichisida raqam tushish hodisasi.. ωi = GGG G R i birichi, iichi va haozo i ta tashlashda gerb, i - tashlashda raqam tushish hodisasi. Bu holda Ω = { ω i, i=,,...,,...} bo ladi va elemetar hodisalar soi saoqli ealigii o rish mumi. Ω fazo to plam sifatida har хil struturada bo lishi mumi. -ta rif. Agar Ω to plamda aiqlaga P( ω ) fusiya uchu quyidagi shartlar bajarilsa: u ehtimollilar taqsimoti deyiladi. aytiladi: 0 P( ω), P( ω) =, Iхtiyoriy A hodisaig ( A Ω ) hodisa ehtimolligi deb quyidagi soga 4 ω Ω ( ) P( ω) P A =. ω А Masala, tajriba simmetri tagai bir marta tashlashda iborat bo lsi. Bu holda elemetar hodisalar ω = { G} gerb tushish hodisasi; ω = { R} raqam tushish hodisasi. Ularig ehtimollilari quyidagiga teg: P( ω) = ; P( ω) =. Amalga oshishi bir хil imoiyatli bo lga hodisalar teg imoiyatli hodisalar deyiladi. Тeg imoiyatlili shui bildiradii, A, A,..., A hodisalarig ro y berishda hech biri qolgalariga isbata biror ob etiv ustulia ega emas. Masala, o yi ubigiig simmetri bir jisliligida,,3,4,5,6 ocholarda istalgaiig chiqishi teg imoiyatli deb hisoblash mumi. utubxoasi

15 -ta rif (ehtimolliig lassi ta rifi). Ω elemetar hodisalar fazosi cheli va barcha elemetar hodisalar teg imoiyatli bo lsi, ya i P( ω) = P( ω) = = P( ω) =. A hodisaig ehtimolligi deb, tajribaig A ga qulayli beruvchi atijalari soii ularig barcha atijalari soiga isbatiga aytiladi va bila aiqlaadi. ( ) P A = ( A) Bu yerda ( A ) A ga tegishli elemetlar soi. Klassi ta rif bo yicha aiqlaga ehtimolli хossalari.. Muqarrar hodisaig ehtimolligi ga teg. P ( ) ( Ω) Ω = = =.. Mumi bo lmaga hodisalarig ehtimolligi 0 ga teg. P ( ) ( ) 0 = = = 0. 3.Тasodifiy hodisaig ehtimolligi musbat so bo lib, 0 va orasida bo ladi. 0 A ( ) ealigida 0 PA ( ) elib chiqadi. Ehtimollii topishga doir masalalari yechishda ombiatoria elemetlari muhim rol o yaydi, shui e tiborga olib ombiatoriaig ba zi formulalari ustida to хtalib o tamiz. O ri almashtirishlar deb, ta turli elemetlarig bir-birida faqat joylashishi bila farq qiluvchi ombiatsiyalarga aytiladi. Ularig soi P =! formula bila aiqlaadi. Bu yerda! = 3..., 0! =. -misol. 5, 6, 7 raqamlarida echta uch хoali so hosil qilish mumi? P 3 = 3! = 3 = 6. O rilashtirishlar deb, ta turli elemetda m tada tuzilga ombiatsiyalarda, elemetlari yoi ularig tartibi bila farq qilishiga aytiladi. 5 utubxoasi

16 Ularig soi A m! = formula bila aiqlaadi. ( m)! -misol. 5,6,7,8 raqamlarida echta хoali so hosil qilish mumi? 4! 4! A 4 = = = 34 =. (4 )!! Gruppalashlar deb, bir-birida hech bo lmagada bitta elemeti bila farq qiluvchi ta elemetda m tada tuzilga ombiatsiyalarga aytiladi. Ularig soi C m! = formula bila aiqlaadi. m!( m)! m ta elemetda iborat bo lga har bir gruppalash mumi bo lga hamma o ri almashtirishlarda so g P = m! ta, ta elemetda m tada olib tuzilga gruppalashlarig hammasi esa m m C ta bo lgai uchu barcha o rilashtirishlarig umumiy soi m A, A = C P m m m bo ladi. Buda quyidagi formula elib chiqadi: C m m A = yoi P m C m ( )( )...( m+ ) =. () 3... m () tegliig o g tomoii ( m)! = 3... ( m) ga o paytirib va bo lib, grupplashlar formulasii boshqacha, chuochi o riishda yozish mumi. C m! = m!( m)! Bu formulada m soii -m bila almashtirsa, u vaqtda hosil bo ladi. C m! = ( m)! m! () va (3) formulalarig o g tomolari o zaro bir-biriga teg, dema, ularig chap tomolari ham teg, ya i C m m C () (3) = (4) 6 utubxoasi

17 m= bo lsi, u vaqtda (), (3) va (4) formulalarda mos ravishda quyidagi teglilari hosil qilamiz: C =! 0!, C!0! = = 0!! = va C = C. 3-misol. Yashidagi 0 ta detali tada qilib echta usulda olish mumi? C 0 0! 0! 9 0 = = = = 45.!(0 )!!8! 0 Edi lassi ta rifga tushadiga bir qacha misollari o rib o tamiz. 4-misol. Yashida o lchamlari va og irligi bir хil bo lga uchta o, saizta qizil va to qqizta oq shar bo lib, sharlar yaхshilab aralashtirilga. Yashida tavaaliga ta shar talab oliga. Тalaga sharig yoi o, yoi qizil, yoi oq chiqish ehtimollilarii topig. Yechish. Istalga sharig chiqishii teg imoiyatli deb hisoblash mumi bo lgaligida, jami = = 0 ta elemetar hodisaga egamiz. A, B, C orqali mos ravishda o, qizil va oq shar chiqishida iborat hodisalari belgilaymiz. Ehtimolliig lassi ta rifga o ra 3 Р ( А) = = 0,5; 0 8 Р ( В) = = 0,4; 0 9 Р ( С) = = 0,45; 0 5-misol. Iita o yi ubigi tashlagada tushga ocholar o paytmasi ga teg bo lish ehtimolligii topig. Yechish. Iita o yi ubigii tashlagada har birida, yoi, yoi 3, yoi 4, yoi 5, yoi 6 ocho tushishi mumi. Bir o yi ubigiig har bir yog ii boshqasiig har bir yog i bila ombiatsiyasii olish mumi. Mumi bo lga hamma ombiatsiyalari quyidagi jadval o riishida ifodalash mumi 7 utubxoasi

18 ( birichi o yi ubigida tushga ocholar soi birichi qilib, iichi o yi ubigida tushga ocholar soi esa iichi qilib yozilga): A ={tushga ocholar o paytmasi ga teg bo lish hodisasi}. Bu jadvalda o riadii, iita o yi ubigi tashlagada ro y berishi mumi bo lga teg imoiyatli hodisalar 6 6=36 ga teg. Ular orasida faqat 4ta holatda (ular jadvalda tagiga chizib o rsatilga) ocholar o paytmasi ga teg. Ehtimolliig lassi ta rifiga o ra 4 РА= ( ) = misol. Beshta bir хil artochaga Т, K, O, B, I harflari yozilga. Kartochalari tasodifiy joylashtirilgada KIТOB so zi hosil bo lish ehtimolligii topig. Yechish. Ko rsatilga beshta harfig beshtada mumi bo lga joylashishlari soi, ya i tajribada ro y berishi mumi bo lga barcha hollari soi 5 tada tuzilga o ri almashtirishlar soiga teg, ya i P 5 =5!= 3 4 5=0. Shu o ri almashtirishlarig faqat bittasida KIТOB so zi hosil bo ladi. A ={ KIТOB so zi hosil bo lish hodisasi} Ehtimolliig lassi ta rifiga o ra РА= ( ) utubxoasi

19 .3-. Ehtimolliig geometri va statisti ta riflari Klassi sхemaga tushmaydiga, ya i mumi bo lga hollari chesiz bo la oladiga yaa bir modeli eltiramiz. Biror D soha berilga bo lib, uig qism ostisi D coha bo lsi. Agar D sohaga tavaaliga uqta tashlaayotga bo lsa, shu uqtaig D ga tushish ehtimolligi qacha bo ladi? dega savol o rili bo ladi. Shui ta idlab o tish lozimi, D sohaga tavaaliga uqta tashlaayapti deyilgada biz quyidagii tushuamiz: tashlaayotga uqta D sohaig iхtiyoriy uqtasiga tushishi mumi va D ig biror qism ostisiga uqta tushishi ehtimolligi shu qism o lchovi (uzuli, yuza va haozo)ga proporsioal bo lib, uig joylashishiga va shaliga bog liq emas. Dema, yuqorida ta idlagalari umumlashtirib, ehtimolliig quyidagi ta rifii eltirishimiz mumi: Ta rif. D sohaga tavaaliga tashlaayotga uqtaig uig qism ostisi D ga tushib qolish ehtimolligi ( ) P D { } { } mes D = mes D formula bila hisoblaadi. Bu yerda mes (messug o lchov) orqali uzuli, yuza, hajm belgilaga. Odatda bu ta rif ehtimolliig geometri ta rifi deb yuritiladi. -misol. Тomoi 4 ga teg bo lga vadratga aylaa ichi chizilga. Тasodifiy ravishda vadratig ichiga tashlaga uqta aylaa ichiga tushish ehtimolligii topig (6-rasm). 6-rasm 9 utubxoasi

20 Yechish. D tomoi 4 ga teg bo lga vadrat. D vadratga ichi chizilga radiusli aylaa. D va D shallar teislida qaralayotgaligi uchu o lchov sifatida yuza oliadi. U holda { D} { D} { D} 4 = { } 6 4 mes yuza π π P ( D ) = = =. mes yuza D -misol. Ii do st soat 9 bila 0 orasida uchrashmoqchi bo lishdi. Birichi elga ishi do stii 5 miut davomida utishi avvalda shartlashib olidi. Agar bu vaqt mobayida do sti elmasa, u etishi mumi. Agar ular soat 9 bila 0 orasidagi iхtiyoriy paytda elishlari mumi bo lib, elish paytlari o rsatilga vaqt mobayida tasodifiy bo lsa va o zaro elishib oliga bo lmasa, bu ii do stig uchrashish ehtimolligi qachaga teg? Yechish. Birichi ishiig elish vaqt mometi х, iichisiii esa y bo lsi. Ularig uchrashishlari uchu x y 5 tegsizliig bajarilishi zarur va yetarlidir. х va y lari teislidagi Deart oordiatalari sifatida tasvirlaymiz va masshtab birligi deb miutlari olamiz. Ro y berishi mumi bo lga barcha imoiyatlar tomolari 60 bo lga vadrat uqtalarida va uchrashishga qulayli tug diruvchi imoiyatlar shtriхlaga soha uqtalarida iborat (7-rasm). Dema, ehtimolliig geometri ta rifiga o ra, izlaayotga ehtimolli shtriхlaga soha yuzasii vadrat yuzaga bo lga isbatiga teg: 7 P =. 6 7-rasm 0 utubxoasi

21 Ehtimolliig lassi ta rifi formulasida tajribalar atijalari faqat teg imoiyatli bo lgadagia foydalaish mumi. Ammo amaliyotda esa mumi bo lga hollar teg imoiyatli bo lavermasligii yoi bizi qiziqtirayotga hodisa uchu qulayli yaratuvchi hollari aiqlab bo lmasligii o rishimiz mumi. Buday hollarda tajribai muayya sharoitda bog liqsiz ravishda o p marta tarorlab, hodisa isbiy tarorlaishii uzatib, uig ehtimolligii taqriba aiqlash mumi bo ladi. Тasodifiy hodisa A ig isbiy chastotasi deb shu hodisaig ro y berga tajribalar soi ( A ) ig o tazilga tajribalar umumiy soi ga isbatiga aytiladi. Тajribalar soi yetarlicha atta bo lgaida o p hodisalarig isbiy chastotasi ma lum qouiyatga ega bo ladi va biror so atrofida tebraib turadi. Bu qouiyat XVIII asr boshlarida Yaob Berulli tomoida aiqlaga. Uga asosa bog liq bo lmaga tajribalar soi chesiz ortib borgaida ( ) muqarrarlia yaqi ishoch bila hodisaig isbiy chastotasi uig ro y berish ehtimolligiga yetarlicha yaqi bo lishi tasdiqlaadi. Bu qouiyat o z avbatida ehtimolliig statisti ta rifi deb ataladi. ea. Dema, A ( ) ( A) lim = PA ( ) yoi yetarlicha atta lar uchu P( A) Boshqacha qilib aytgada, P( A ) sifatida taqriba ( A) Misol sifatida taga tashlash tajribasii olayli. Bizi { Gerb} hodisasi qiziqtirayotga bo lsi. Klassi ta rifga asosa ( ) Р G =. i olish mumi = G tushish. Shu atijaga statisti ta rif bila ham elishimiz mumi. Shu boisda biz Byuffo va Pirsolar tomoida o tazilga tajribalar atijasii quyidagi -jadvalda eltiramiz. Jadvalda o riadii, ortgai sari G ( ) soi ga yailashar ea. Ammo statisti ta rifig ham amaliyotda oqulayli tomolari bor. U tajribalarig soi orttirilishii talab qiladi. Bu esa amaliyotda o p vaqt va harajatlari talab qilishi mumi. utubxoasi

22 Тajriba o tazuvchi Тajribalar soi, Тushga gerblar soi, G ( ) Nisbiy tarorlaish G ( ) Byuffo ,5080 K.Pirso ,506 K.Pirso ,5005 -jadval.4-. Ehtimollilar azariyasi asiomalari Natijalarii oldida aytib berish mumi bo lmaga tajribalari matemati modellarii o rish uchu birichi avbatda elemetar hodisalar fazosi tushuchasi era bo ladi (elemetar hodisa tushuchasi boshlag ich (asosiy) tushucha sifatida qabul qiliib uga ta rif berilmaydi). Bu fazo sifatida iхtiyoriy Ω to plam qabul qiliib, uig elemetlari ω lar ( ω Ω ) elemetar hodisalar deb e lo qiliadi va bizi qiziqtiradiga harqaday atijalar shu elemetar hodisalar bila ifodalaadi. Odatda eg sodda tajribalarda biz cheli sodagi elemetar hodisalar bila ish o ramiz. Masala, taga tashlash tajribasi uchu { ω, ω } { GR, } Ω = = ii elemetar hodisa tagaig G (gerb) tomoi yoi R (raqam) tomoi bila tushish hodisalarida iborat ealigi bizga ma lum. Kub tashlash tajribasida esa Ω 6 ta elemetar hodisada iborat. Lei taga va ub tashlash shuday tajribalar bila bog liqi, ular uchu cheli sodagi elemetar hodisalar bila chegaralaib bo lmaydi. Masala,.- dagi misoli olsa, ya i tagai birichi marta R (gerb) tomoi bila tushishiga qadar tashlash tajribasii o rsa, bu tajribaig elemetar hodisalari R, GR,, GG GR etma etlilar o riishida bo lib, ularig soi chesiz va ular bir-birida farq qiladi. Тabiiyi, bu tajribai cheli sodagi elemetar hodisalar (atijalar) fazosi bila ifoda etib bo lmaydi. utubxoasi

23 Umuma Ω to plami cheli yoi saoqli (disret) bo lga holda uig iхtiyoriy qismi (to plam ostisi) tasodifiy hodisa sifatida qabul qiliadi. Masala, Ω to plam ta elemetar hodisalar ω, ω,..., ω larda iborat bo lsa, bu fazo (to plam) bila bog liq { }, ω { ω },...,{ ω }, { ω, ω },...,{ ω ω },..., { ω, ω,..., ω } ta tasodifiy hodisalar sistemasi yuzaga eladi. Yuqorida,.- da elemetar hodisalar to plami Ω disret bo lga holda iхtiyoriy tasodifiy hodisa sifatida Ω to plamig iхtiyoriy qismii olish eraligii eslatib o tga edi, dema F hodisalar sistemasi { A: A } F = Ω. F sistemada esa ehtimolli P( ) ostrutiv ravishda tegli bila aiqlaga edi. ( ) P( ω) P A = ω A Lei har qaday tajriba uchu hamma mumi bo lga atijalari (elemetar hodisalari) saoqli bo lmaga tajribalari oso tassavur qilish mumi. Masala, [t,t ] oraliqda tasodifiy uqtai talash tajribasii (iхtiyoriy ishiig temperaturasii o lchashi) o rsa, bu tajribaig atijalari otiuum to plami tashil qiladi, chui [t,t ] oraliqi iхtiyoriy uqtasi elemetar hodisa sifatida qabul qiliishi mumi (Ω=[t,t ]). Bu holda Ω ig iхtiyoriy qismii (to plam ostisii) tasodifiy hodisa deb tushusa, qo shimcha chalashlilar yuzaga eladi va shu sababga o ra, hodisalar sifatida Ω ig maхsus to plam ostilari sifii ajratib olish bila bog li ehtiyoj yuzaga eladi. Umuma aytgada Ω iхtiyoriy to plam bo lgada, u bila bog liq hodisalar sistemasii tuzish, Ω disret bo lgada uig har qaday qismii hodisa deb tushuish imoiyatii saqlab qolish maqsadga muvofiq bo ladi. Aytayli elemetar hodisalar fazosi Ω iхtiyoriy to plam bo lib, F esa Ω ig qism to plamlarida tashil topga sistema bo lsi. 3 utubxoasi

24 deymiz: -ta rif. Agar quyidagi shartlar bajarilsa, Α : Ω F ; F sistema algebra tashil qiladi Α : Agar Α F, Β F bo lsa, A B F, Α Β F bo ladi ; Α : Agar Α F bo lsa, Α =Ω\ Α F bo ladi. 3 Ravshai, Α da eltirilga iita muosabatda bittasii talab qiliishi yetarli bo ladi, chui iichisi Α 3 i hisobga olga holda doim bajariladi. F algebrai ba zi hollarda halqa deb ham qabul qiliadi, chui F da qo shish va o paytirish amallari mavjudi (to plamlar azariyasi ma osida), ularga isbata F yopiq sistema bo ladi. F algebra birli elemetga ega bo lga halqa deb tushuilishi mumi, chui Ω F ealigida har qaday Α F uchu ΑΩ = ΩΑ = Α tegli o rili. -Тa rif. Тo plamlar sistemasi F σ-algebra tashil qiladi deymiz, agar ushbu хossa iхtiyoriy to plamlar etma-etligi uchu bajarilsa: Α. Agar har qaday uchu Α F bo lsa, u holda UΑ F, = I = Α F bo ladi. Qayd qilib o tamizi, Α хossadagi abi Α da ham eltirilga ta muosabatda bittasii bajarilishi yetarli, chui (iili prisipi) IΑ = U tegli o rili. F σ-algebra, σ-halqa yoi hodisalarig Borel maydoi deb ham yuritiladi. Keltirilgalarda elib chiqadii, algebra cheli soda bajariladiga to plamlari qo shish, o paytirish, to ldiruvchi to plamlarga o tish amallariga isbata yopiq bo lga to plamlar sistemasi bo lar ea. σ-algebra esa bu amallari saoqli soda bajarilishiga isbata yopiq sistemadir. Α 4 utubxoasi

25 Har qaday algebra σ-algebra bo lavermaydi. Masala, [ 0,] esmadagi cheli itervallarda tashil topga to plamlar sistemasi algebra bo ladi, lei σ- algebra bo lmaydi. Agar Ω to plam va uig to plamlarida tuzilga algebra yoi σ-algebra F berilga bo lsa, ( Ω, F ) o lchovli fazo deyiladi. O lchovli fazo tushuchasi, to plamlar azariyasi, o lchovlar azariyasi va ehtimollilar azariyasida juda muhimdir. Quyidagi teoremaga asoslaib, o lchovli ( Ω, F ) fazolari o rgaishda F sistema σ-algebra tashil qilga holi qo rish bila chegaralaib qolish yetarli ealigiga ishoch hosil qilamiz. Ω to plamig iхtiyoriy qismii ω - to plamlar deb ataymiz. Тeorema. F 0 iхtiyoriy ω -to plamlar sistemasi bo lsi. U holda ω - to plamlarig shude σ-algebrasi F mavjudi, u quyidagi shartlari qaoatlatiradi: I. F F; 0 II. Agar F ω -to plamlarig σ-algebrasi bo lib, F0 F bo lsa, u holda F F. I va II hossalarda elib chiqadii, har qaday ω -to plamlarig sistemasi uchu ui qoplovchi (o z ichiga oluvchi) miimal σ-algebra F mavjud bo lar ea. Kelgusida bu σ-algebrai F 0 sistema hosil qilga σ-algebra deymiz va F= σ ( F ) deb belgilaymiz. σ-algebraig ta rifida elib chiqadii, σ ( F ) 0 0 ig iхtiyoriy ω -to plami (hodisasi) A, shu F 0 sistemasiig elemetlarida saoqli soda U, I va to ldiruvchi to plamlarga o tish amallari orqali hosil bo lga to plamlarda iborat bo ladi. Тeoremaig isboti sodda va ostrutiv хaraterga ega. Haqiqata ham, σ- algebraig ta rifida iхtiyoriy sodagi σ-algebralarig o paytmasi yaa σ- algebra bo lishi elib chiqadi. O z-o zida tushuarlii, Ω to plamig hamma to plamostilarida tuzilga sistema σ-algebra tashil qiladi va u F max masimal 5 utubxoasi

26 σ-algebra deyiladi. Dema hech bo lmagada bitta σ-algebra ( F max ) bori, ω - to plamlarig iхtiyoriy sistemasi F 0 F max bo ladi. Oхirgida o riadii F bo sh to plam emas va u berilga F 0 sistemai o z ichiga oluvchi hamma σ- algebralarig o paytmasida iborat deb tushuish mumi (o quvchiga mashq sifatida, agar Ω to plam saoqli bo lsa, (, ) teshirishi talif etamiz). Keltirilga mulohazalarda ( F ) хossasi elib chiqadi. Ω F asosiy o lchovli fazo bo lishii max σ = F i II baddagi Aytayli, Ω=R haqiqiy solar to plami va F 0 barcha itervallar sistemasi bo lsi. U holda = σ ( ) B F Borel σ-algebrasi deyiladi va B 0 itervallari o z ichiga oluvchi hamma σ-algebralarig o paytmasi bo ladi (F hamma itervallari o z ichiga oluvchi miimal σ-algebra). Borel σ-algebrasi F i itervallar ustida saoqli soda qo shish, o paytirish va to ldiruvchi to plamlarga o tish amallari orqali hosil bo lga to plamlar sistemasi deb qarash mumi va buday to plamlar Borel to plamlari deyiladi. Masala, ( ab, ) itervallar bila bir vaqtda bir uqtali to plamlar { } ( a,b, [ a,b], [ a, b) ( a va b lar cheli yoi a va ] chesiz qiymatlari qabul qilish mumi) o riishidagi to plam Borel to plamlari bo ladi, chui ular uchu muosabatlar o rili. {} a = I a, a +, ( a, b] = I = = 0 a, b + Ochiq va yopiq to plamlarig struturasida foydalaib aytishimiz mumii, agar F 0 R dagi yoi ochiq, yoi yopiq to plamlar sistemasi bo lsa, ( F ) B (Borel σ-algebrasi) bo ladi va (, ) σ = 0 R B o lchovli fazo bo ladi. Aytib o tilgalarda o riadii, Borel σ -algebrasi B to g ri chiziqda juda ham boy to plamlar sistemasii tashil qiladi (Borel to plami bo lmaydiga to plamlarga misol eltirish qiyi). 6 utubxoasi

27 sistemasi Agar -o lchovli Evlid fazosi R i o rsa, udagi Borel to plamlari B -o lchovli to g ri to rtburchalar (itervallar), sferalar sistemasi hosil qilga σ-algebrada iborat bo ladi. Umuma ehtimollilar bila bog liq biror masalai yechishda uga mos elga tajriba uchu ( Ω, F ) o lchovli fazoi qabul qilish era. Buda Ω o rilayotga tajribaig elemetar hodisalar (atijalar) to plami, F shu tajriba bila bog liq hodisalar σ-algebrasi. F ga irmaydiga Ω ig barcha to plamostilari hodisalar hisoblamaydilar. Ko picha F sifatida oret ma oga ega bo lga to plamlar sistemasi hosil qilga σ-algebra qabul qiliadi. Umuma, agar Ω = A U A U... U A U... va har хil i va j lar uchu A j I A j = bo lsa, u holda Α, Α,..., Α,... ω - to plamlar sistemasi Ω to plamihg bo liishi deyiladi. Ko p hollarda F = σ ( A, A,..., A,...) deb olish maqsadga muvofiq bo ladi. Bu yerda qaday bo lalash sistemasii qabul qilish qo yilga masalaig ma osiga bog liq. Edi ( Ω, F ) o lchovli fazoda ehtimolli tushuchasi qaday iritilgaii eslatib o tamiz. 3-ta rif. (, ) Ω F o lchovli fazodagi ehtimolli P ( ), F σ-algebraig to plamlarida aiqlaga soli fusiya bo lib, u quyidagi shartlari qaoatlatiradi: P : Har qaday A F uchu P ( A) 0. P : P ( Ω) =. P 3 : Agar F ga tegishli hodisalar etma-etligi {, } A A = A A = i j i j I ( i j) bo lsa, P( U A = 7 ) = = P( A ). A uchu utubxoasi

28 P 3 хossa ehtimolliig σ-additivli хossasi deyiladi. ( Ω, F,P) uchli ehtimolli fazosi deyiladi. Ehtimolli P o lchovli ( Ω, F ) fazodagi taqsimot yoi yaa soddaroq ravishda, Ω dagi taqsimot deb ham yuritiladi. Shuday qilib, ehtimolli fazosi berilga degada, o lchovli fazoda saoqli additiv, mafiy bo lmaga qiymatlari qabul qiluvchi va hamma elemetlar hodisalar to plamida ga teg bo lga o lchovi berish tushuiladi. F σ-algebrai va uda P ehtimollii aiqlaydiga A, A, A 3, P, P, P 3 asiomalar birgalida hozirgi zamo ehtimollilar azariyasiig asosii tashil etadi va ular ХХ-asrig mashhur matematigi A.N.Kolmogorov tomoida iritilga. Matiqiy uqtai azarda, eltirilga asiomalar to la bo lmaga, qarama qarshilisiz asiomalar sistemasii tashil qiladi. ( Ω, F,P) ehtimolli fazosii o rish tasodifiy tajribalarig matemati modelii tuzishda asosiy rol o yaydi. Umuma «Ehtimolli o zi ima?» deb ataladiga muozara acha atta tariхga ega. Bu tushucha o rgailayotga hodisaig bevosita zarurligi va tasodifiyligi bila bog liq, faqatgia matematia uqtai azarida emas, bali falsafaviy хaraterdagi qiyichililarga ham olib eladi. Bu muozaraig yuzaga elishi va rivojlaishi mashhur matematilar E.Borel, R.Fo Mizes, S.N. Bershtey, A.N.Kolmogorovlar omi bila bog liq. Ehtimolli fazosi ( Ω, F,P) aiqlovchi Kolmogorov asiomalari ehtimolliig matemati ma osii sabab va zaruriyat abi falsafiy tushuchalarda ajratib turadi. i.5-. Ehtimolliig хossalari Quyida biz ehtimolliig juda o p qo llailadiga хossalarii eltiramiz.. P( )=0. Isbot: Bu atija Ω=Ω teglida va, 3 asiomalarda elib chiqadi: 8 utubxoasi

29 . P( A) P( A) =. P ( Ω ) = P( Ω), ( ) + ( Ω ) = ( Ω) ( ) = 0. P P P P, Isbot: Bu хossaig isboti uchu A A =Ω va A A = teglilarda foydalaamiz. Haqiqata ham, bu teglilarga asosa 3. Agar A B ( ) = ( Ω) ( ) + P( A) =, ( ) = P( A). P A A P P A P A bo lsa, u holda P( A) P( B) Isbot: Ravshai, B = A AB va. P( B) = P( A) + P( AB) tegli o rili. Buda P( AB ) 0 ealigii e tiborga olsa, isbotlash talab qiliga tegsizli elib chiqadi. dema 4. 0 PA ( ). Isbot: Bu хossaig isboti 3-хossada va, asiomalarda elib chiqadi. 5. P( A B) = P( A) + P( B) P( A B). Isbot: Quyidagi A B= A B\ ( A B) ( ) ( ) \( ), teglii yozish mumi, ( ) ( ) ( ) ( ) P A B = P A + P B A B = P A + P B P A B. 6. PA ( B) PA ( ) + PB ( ). Isbot: 5-хossada elib chiqadi.. Iхtiyoriy Α, Α,... Α hodisalar uchu U i = ( i) ( i j) + ( i j ) ( ) (... ) i= i= i< j i< j< P A PA PAA PAAA PAA A tegli bajariladi. Bu muosabat Bul formulasi deyiladi. 9 utubxoasi

30 Isbot: Matemati idusiya metodi bo yicha isbotlaymiz. = uchu bu хossa o rili, chui 5-хossa bo yicha P( A B) = P( A) + P( B) P( A B). Faraz qilayli, = uchu bu хossa o rili bo lsi, ya i iхtiyoriy A, A,..., A hodisa uchu U i = i i j + i j + + i= i= i< j i< j< P A PA ( ) PAA ( ) PAAA ( )... ( ) PAA (... A ) tegli bajariladi. U holda B = U A belgilashi iritib, quyidagii hosil qilamiz: i= i Edi = = + U i ( ) ( ) ( ) ( ). P A P B A P B P A P A B i= muosabatlarda P( B) = P Ai i= = i= U va P( AB) PU ( AA i ) = uchu хossaig bajarilishi elib chiqadi. Uchta hodisa uchu Bul formulasi quyidagi P( A B C) = P( A) + P( B) + P( C) P( AB) P( AC) P( BC) + P( ABC) o riishda bo lib, ui ushbu diagramma (8-rasm) orqali izohlash mumi: 8-rasm 30 utubxoasi

31 .6-. Shartli ehtimolli. Hodisalar bog liqsizligi Misollarda boshlayli. Тajribamiz simmetri tagai 3 marta tashlashda iborat bo lsi. Gerb tomoi bir marta tushish ehtimolligi lassi sхemada 3 8 ga teg. (Elemetar hodisalar umumiy soi saizta; uchta elemetar hodisada (GRR), (RGR), (RRG) birortasi ro y berishi mumi.) Bu hodisai A orqali belgilayli. Edi biz B hodisa B={taga «Gerb» tomoi bila toq marta tushadi} ro y bergaligi haqida qo shimcha ma lumotga ega bo layli. Bu qo shimcha ma lumot A hodisaig ehtimolligiga qaday ta sir qiladi? B hodisa 4 ta elemetar hodisada iborat, A hodisa esa 3 ta B hodisaga tegishli elemetar hodisada iborat. Тabiiyi, edi A hodisaig yagi ehtimolligi 3 4 ga teg deb olish to g ri bo ladi. Bu yagi ehtimolli shartli ehtimolli bo lib, u A hodisaig B hodisa ro y beradi dega sharti ostidagi ehtimollii bildiradi. Yaa bir misol. Natijalari ta bo lga lassi sхemai o rayli. Agar A hodisa r ta elemetar hodisada, B hodisa m ta elemetar hodisada, AB hodisa esa ta elemetar hodisada iborat bo lsa, u holda yuqorida eltirilga misolda yuritilga firlar asosida A hodisaig B hodisa ro y beradi dega sharti ostidagi ehtimolligii deb qabul qiliadi. / P( AB) PAB ( / ) = PB ( A) = = = m m/ P( B) Edi umumiyroq ta rifga o tish mumi. ( Ω, F,Р) ehtimolli fazosi berilga bo lib, A va B iхtiyoriy hodisalar bo lsi ( A, B F ). -ta rif. A hodisaig B hodisa ro y beradi dega sharti ostidagi ehtimolligi deb, P( B ) > 0 bo lga holda ehtimolliga aytamiz. Shartli ehtimollilar quyidagi hossalarga ega: PAB ( ) PAB ( / ) = formula bila aiqlaadiga PB ( ) 3 utubxoasi

32 ( ) ( ) P B/ B =, P Ω / B = ; P ( B,, P ) B ( B) / = 0; agar B A bo lsa, u holda P(A/B)=; agar A A = bo lsa, u holda P(A A /B)= P(A /B)+P(A /B). Yuqoridagi хossalar shartli ehtimolliig ta rifida bevosita elib chiqadi. Keltirilga хossalarda elib chiqadii, P ( ) = P( / B) ehtimolli F fazoda aiqlaga ehtimolli bo lib, bu yerda B { : } FB = F B= A B A F. ( B, F, P ) ehtimolli fazosii birlamchi (,,Р) B variati deb tushuiladi. B B Ω F fazoig qisqartirilga Shartli ehtimollilar hodisalarig quyidagi bog liqsizli tushuchasii oydilashtiradi. -ta rif. Agar A va B hodisalar uchu PAB ( ) = PA ( ) PB ( ) tegli bajarilsa, A va B o zaro bog liq bo maga (bog liqsiz) hodisalar deyiladi. As holda bu hodisalar bog liq deyiladi. Bog liq bo lmaga hodisalar uchu quyidagi muosabatlar o rili. ) A va B hodisalar o zaro bog liqsiz bo lishi uchu PAB ( / ) = PB ( ) tegli bajarilishi yetarli va zaruriy shartdir. ) Agar A va B o zaro bog liqsiz hodisalar bo lsa, u holda A va B, A va B hamda A va B hodisalar ham mos ravishda o zaro bog liqsiz bo ladi. Keltirilga da volari A va B hodisalar uchu isbotlash yetarlidir. Haqiqatda ham, ( ) ( \ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = P( B) ( P( A) ) = P( A) P( B). P AB = P B AB = P B P AB = P B P A P B = 3) A va B hamda A va B hodisalar o zaro bog liqsiz bo lib, B va B birgalida bo lmaga hodisalar bo lsi (B B = ). U holda A va B B o zaro bog liqsiz hodisalar bo ladi. Bu fati ushbu 3 utubxoasi

33 teglilar isbotlaydi. ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) = P( A) P( B ) + P( B ) = P A P B B P A B B = P AB AB = P AB + P AB = Shartli ehtimolliig ta rifida quyidagi teglilar elib chiqadi. ( ) ( ) ( ). ( ) = ( ) ( / ), ( ) = ( ) ( / ) P AB P B P A B P AB P A P B A Bu teglilar yordamida iita bog liq bo lga hodisaig bir vaqtda ro y berish ehtimolligii hisoblash mumi. Bu ehtimolli hodisalarda biriig ehtimolligii iichisiig birichisi ro y berdi dega shart ostidagi ehtimolligiga o paytmasiga teg. Dema, biz amalda bog liq bo lga hodisalar uchu ehtimollilari o paytirish teoremasii eltirdi. Bu teoremai quyidagicha umumlashtirish mumi. Bir qacha bog liq bo lga hodisalarig bir vaqtda ro y berish ehtimolligi uchu (... ) = ( ) ( / ) ( / )... ( /... ) P A A A P A P A A P A A A P A A A A 3 formula o rili. Ravshai, o g tomodagi o paytma o paytmalarda birgiasidir xolos. mumi bo lga O zaro bog liqsiz hodisalar uchu ehtimollilari o paytirish teoremasi - ta rifda bevosita elib chiqadi va u quyidagicha: Iita bog liqsiz hodisalarig birgalida ro y berish ehtimolligi bu hodisalar har biriig ro y berish ehtimollilariig o paytmasiga teg: P( AB) = P( A) P( B). Natija. O zaro bog liq bo lmaga bir echta hodisalarig birgalida ro y berish ehtimolligi bu hodisalar har biriig ro y berish ehtimollilariig o paytmasiga teg: (... ) = ( ) ( )... ( ) P A A A P A P A P A 3-ta rif. Agar A, A,..., A hodisalar berilga bo lib, iхtiyoriy ( ) va i< i <... < i tegsizlilari qaoatlatiruvchi butu solar uchu 33 utubxoasi

34 ( i i... i ) = ( i ) ( i )... ( i ) P A A A P A P A P A teglilar sistemasi o rili bo lsa, A, A,..., A hodisalar birgalida o zaro bog liq bo lmaga (bog liqsiz) hodisalar deyiladi. As holda bu hodisalarga birgalida bog liq deb aytiladi. Hodisalarig juft-jufti bila bog liqsizligida ularig birgalida bog liqsizligi elib chiqmaydi. Buga quyidagi Bershtey misolii eltirish mumi. Misol. Тajriba teislia tetraedri tashlashda iborat bo lsi. Тetraedrig birichi tomoi o, iichi tomoi yashil, uchichi tomoi qizil, to rtichi tomoi esa har uchala ragga, ya i o, yashil va qizil raglarga bo yalga bo lsi. A hodisa tetraedrig teislia o ragli tomoi bila tushish, B hodisa teislia yashil ragli tomoi bila tushish, C hodisa esa teislia qizil ragli tomoi bila tushish hodisalari bo lsi. Тushuarlii, agar tetraedr teislia to rtichi tomoi (har uchala ragga bo yalga tomoi) bila tushsa, u holda A, B va C hodisalar uchalasi bir vaqtda sodir bo ladi. Bu hodisalarig ehtimollilarii lassi ta rif yordamida hisoblaymiz: Edi P( A) = =, P( B) =, P( C) =. 4 P( AB) = = = P( A) P( B), 4 P( AC) = = = P( A) P( C), 4 P( BC) = = = P( B) P( C) 4 bo lgaligi uchu bu hodisalar juft-jufti bila o zaro bog liqsiz hodisalardir. Edi ularig uchalasii o paytmasii o ramiz. Тushuarlii, ( ) P ABC = 4. Ammo 34 utubxoasi

35 P( A) P( B) P( C) = P( ABC). Dema, A, B, C hodisalar birgalida bog liqsiz 8 bo lmas ea..7-. Тo la ehtimolli va Bayes formulalari Oddiy holda boshlayli. A va H iхtiyoriy hodisalar bo lsi. A hodisaig ehtimolligi A va H hodisalar o zaro qaday muosabatda bo lishida qat iy azar hamma vaqt A va H, hamda A va H hodisalarig bir vaqtda ro y berish ehtimollilari yig idisiga teg: P( A) = P( AH) + P( AH). Bui quyidagi Ve diagrammasida ifodalaymiz: (9-rasm). А H A H A H H 9-rasm A hodisai qismlarga ajratish H va H hodisalarga bog liq. H va H hodisalar A hodisai iita o zaro birgalida bo lmaga qism to plamlarga ajratish usuli. A hodisa yoi H hodisa bila yoi H hodisa bila ro y berishi mumi, ammo ialasi bila bir vaqtda ro y bermaydi. Edi muraabroq holga o tamiz. Faraz qilayli, A hodisa ta juft-jufti bila birgalida bo lmaga H, H,..., H hodisalarig bittasi bilagia ro y beradiga bo lib, HiH j =, i j; A U H j, PH ( j ) > 0, j=,,..., bo lsi. j= 35 utubxoasi

36 H, H,..., H hodisalarig qaysi biri ro y berishi oldida ma lum bo lmagai uchu ular gipotezalar deb ataladi. Bu holda A hodisaig ro y berish ehtimolligi quyidagi to la ehtimolli deb omlauvchi formulada topiladi: ( ) = ( j) ( / j) P A P H P A H. j= Isbot. Keltirilga shartlarda A = U HAtegli elib chiqadi. j= j А H H H 3 H 4 A I H AI H 3 A I H 4 A I H 0-rasm A hodisa to rtta juft-jufti bila birgalida bo lmaga H, H, H3, H 4 hodisalarig bittasi bilagia ro y beradi. H AH, A,..., H A hodisalar juft-jufti bila birgalida bo lmaydi, chui H, H,..., H hodisalar juft-jufti bila birgalida emas. Shuig uchu ( ) (... ) ( ) ( )... ( ) P A = P H A H A H A = P H A + P H A + + P H A = j= ( j ) = P H A. Har qaday j uchu (j=,,, ) H j va A bog liq bo lga hodisalardir. Bu hodisalar uchu ehtimollilari o paytirish teoremasii qo llab to la ehtimolli formulasiga elamiz: ( ) ( ) ( / ) ( ) ( / )... ( ) ( / ) P A = P H P A H + P H P A H + + P H P A H. -masala. O qituvchi azoratga 5 ta bilet tayyorlaga. Biletda iita savol bo lib, savollar tarorlamaydi. Nazorat topshirish uchu o ziig biletidagi iita savolga yoi bo lmasa o z biletiig bitta savoliga va bitta qo shimcha savolga 36 utubxoasi

37 javob berish yetarli. Agar talaba 0 ta savolga javob bilsa, uig azorati topshirish ehtimolligii topig. Yechish. Bizda A hodisa quyidagicha: A={talaba azorati topshiradi}. Bu hodisa quyidagi H yoi H hodisa bila bir vaqtda ro y berishi mumi: H ={talaba biletdagi iita savolig javobii biladi}, H ={talaba biletdagi iita savolda bittasiig javobii biladi}. Bu hodisalar to la guruхi tashil qilmaydi, chui H 3 ={talaba biletdagi iita savolga javob bilmaydi} hodisasi ham mavjud va ( / ) P A H shartli ehtimolli olga teg bo ladi. H va H gipotezalar ehtimollilari topamiz. Masalaig shartiga o ra ( ) C, ( ) C PH = = = C = PH C30 C30 Edi shartli ehtimollilari topamiz. Тushuarlii, H hodisa ro y bersa talaba azorati topshiradi va ( / ) P A H ehtimolligi ga teg. H hodisa ro y berga holda talaba qolga 8 ta savolda 9 gasiga javob biladi va u azorat topshirish uchu qo shimcha savolig javobii bilishi era. Shuig uchu 9 PAH ( / ) = bo ladi. 8 A hodisaig ehtimolligi to la ehtimolli formulasida topamiz: P( A) = P( H) P( A/ H) + P( H) P( A/ H) = + = 0, Edi bu misolda foydalaib, quyidagi masalai yechamiz: -masala. Guruхda 0 ta talaba bo lib, ularda 4 tasi a lo, 6 tasi yaхshi va 0 tasi qoiqarli o qiydiga talaba bo lsi. Nazoratga tayyorlaga 5 ta biletda tada savol bo lib, savollar tarorlamaydi. Nazorat topshirish uchu yoi o ziig biletidagi ta savolga yoi bo lmasa o z biletiig ta savoliga va ta qo shimcha savolga javob berish yetarli. A lo o qiydiga talaba hamma 30 ta savolga javob biladi, yaхshi o qiydiga talaba 0 ta savolga, qoiqarli o qiydiga talaba esa 5 ta savolga javob bera oladi. Тavaaliga talaga talabaig azorat topshirish ehtimolligii topig utubxoasi

38 Yechish. Bizda A hodisa quyidagicha: A={tavaaliga talaga talaba azorati topshiradi} Gipotezalari quyidagicha aiqlaymiz: H ={tavaaliga talaga talaba a lochi }, H ={tavaaliga talaga talaba yaхshi o qiydi}, H 3 ={tavaaliga talaga talaba qoiqarli o qiydi}. Masalaig shartiga o ra PH ( ) = 0,; PH ( ) = 0,3 va PH ( 3) = 0,5bo ladi. Edi ( / ), ( / ), ( / ) P A H P A H P A H shartli ehtimollilari topamiz. 3 Тushuarlii, PAH ( / ) =, chui a lochi talaba hamma savolga javob biladi. -masalaga o ra yaхshi o qiydiga talaba azorati topshirish ehtimolligi, ya i P( A/ H ) sharti ehtimolligi ( / ) Хuddi shuday ( / ) 3 5 P A H =. 03 P A H shartli ehtimolli, ya i qoiqarli o qiydiga talaba azorati topshirishi ehtimolligii topamiz: topamiz: C C C 4 P( A/ H ) = + = C30 C30 Тo la ehtimolli formulasi bo yicha A hodisaig P( A ) ehtimolligii 3 ( ) ( ) ( / ) P A = P H P A H = i= = 0, + 0,3 + 0,5 = + + = 0, Edi biz to la ehtimolli formulasida foydalaib, Bayes formulasii eltirib chiqaramiz. A va H, H,..., H hodisalar paragraf boshidagi shartlari qaoatlatirsi. Agar A hodisa ro y bersa, u holda H m gipotezaig shartli ehtimolligi quyidagi Bayes formulasida topiladi: ( / A) P H m = i= 38 i ( m) P( A/ Hm) P( H ) P( A/ H ) P H i i i, utubxoasi

39 bu yerda m=,,...,. mumi: Bu formulai quyidagi shartli ehtimolli ta rifida eltirib chiqarish ( / A) P H m 39 ( m ) Р( А) P H A =. Bog liq hodisalar uchu ehtimollilari o paytirish teoremasida foydalaib oхirgi asrig suratii quyidagicha yozishimiz mumi: ( ) ( ) ( / ) P H A = P H P A H. m m m Bu asrig maхrajidagi A hodisaig P(A) ehtimolligi to la ehtimolli formulasiga asosa ( ) ( ) (,,..., ) i i. i= ( ) = ( ) ( / ) P A P H P A H P H = ehtimollilar aprior (siovda oldigi) ehtimollilar, P A/ H ( =,,..., ) aposterior (siovda eyigi) ehtimollilar deyiladi. 3-masala. Uchta merga ishoga bittada o q uzadi. Birichi mergaig o qi ishoga 0,6 ehtimolli bila, iichi mergaig o qi ishoga 0,8 ehtimolli bila, uchichi mergaig o qi esa 0,3 ehtimolli bila tegadi. Uchala merga o q uzgada so g ishoga iita o q tealigi ma lum bo lsa, birichi mergaig o qi ishoga tegish ehtimolligii topig. Yechish. Тajriba o tazishda oldi quyidagi gipotezalari qo yamiz. B = {birichi merga otga o q ishoga tegadi}, B ={birichi merga otga o q ishoga tegmadi}. Bu gipotezalarig ehtimollilari A hodisa quyidagicha bo ladi: P( B ) = 0,6, ( ) P B = 0,6= 0,4. A = {uchta otilga o qda iitasi ishoga tegdi}. Bu hodisai B va B gipotezalar ostidagi shartli ehtimollilarii topamiz. B hodisa ro y bergada qolga iita merga ichida faqat bittasiig o qi ishoga tegadi. Shuig uchu utubxoasi

40 ga teg. Тushuarlii, ( / ) Edi so ralga P ( B ) ( / A) P B ( ) P A/ B = 0,8 0,7 + 0, 0,3 = 0,7. P A B shartli ehtimolli 0,8 0,3 o paytmasiga, ya i 0,4 / A ehtimollii Bayes formulasi bo yicha topamiz: P( B) P( A B) ( ) ( ) ( ) ( ) / 0,6 0,7 7 = = = P B P A/ B + P B P A/ B 0,6 0,7 + 0,4 0,4 33. O z-o zii teshirish savollari. Ehtimollilar azariyasida «hodisa» deyilgada imai tushuiladi?. Ehtimollilar azariyasii elib chiqishi tariхii qisqacha gapirib berig. 3. Elemetar hodisalar fazosi deb imaga aytiladi? 4. Тasodifiy hodisalar deb imaga aytiladi? Тasodifiy hodisalar qaday belgilaadi? 5. Elemetar hodisa ima va u qaday belgilaadi? 6. Elemetar hodisalarga misollar eltirig. 7. Muqarrar hodisa ima va u qaday belgilaadi? 8. Mumi bo lmaga hodisa ima va u qaday belgilaadi? 9. O zaro qarama-qarshi hodisalar deb qaday hodisalarga aytiladi? Qarama-qarshi hodisalarga misollar eltirig. 0. Qacho A hodisa B hodisai ergashtiradi deyiladi va u qaday belgilaadi?. Тeg hodisalar deb qaday hodisalarga aytiladi?. A va B hodisalarig yig idisi deb imaga aytiladi? 3. A va B hodisalar o paytmasi deb imaga aytiladi? 4. Birgalida bo lmaga hodisalar deb qaday hodisalarga aytiladi? 5. Hodisalarig to la guruхi deb imaga aytiladi? 6. Kombiatoriaig asosiy formulalarii aytib berig utubxoasi