Тақырыбы: Кері функция. Функцияның нүктедегі шегі. Шектің негізгі қасиеттері

Transcript

1 Лекция 9 Тақырыбы: Кері функция. Функцияның нүктедегі шегі. Шектің негізгі қасиеттері ЛЕКЦИЯ ЖОСПАРЫ: 1. Кері функция анықтамасы. Функцияның нүктедегі шегі. Шектің негізгі қасиеттері 1. КЕРІ ФУНКЦИЯ Анықтама 1. егер y f () функциясы өзара бірмәнді сәйкестік орнататын болса, онда функцияны анықтайтын барлық y f ( ), D( f ), y R( f ), сандар жұптары жиынында әрбір х элементіне жалғыз у элементі және керісінше, әрбір у жалғыз х элементі сәйкес қойылады. Осыдан D( f ), y f ( ) R( f ) шартын қанағаттандыратындай барлық (ух) сандар жұптары жиынымен анықталатын g сәйкестігін қарастырайық D( g) R9 f ), R( g) D( f )) Бұл өзара бірмәнді сәйкестік болғандықтан, функцияны анықтайды.осылайша анықталған g( y), y D( g) R( f ) функциясын берілген f функциясына кері функция деп 1 атайды. Оны f арқылы белгілейді ЕСТЕ ҰСТА: Кері функциялардың графигі тура функцияның графигіне симметрия орналасады, бас нүкте арқылы өтетін биссектриса симметрия өсі болып есептеледі.. ФУНКЦИЯНЫҢ НҮКТЕДЕГІ ШЕГІ функцияның нүктедегі шегіне анықтама берер алдында бірнеше мысалдар қарастырайық, 1-мысал,ƒ(х)=х функциясы берілсын Бұл функция бүкілсан осінде анықталған.мәселен, х= нүктесінде анықталған. Егерх айнымалысының мәндері -ке жақындай түссе, онда

2 ƒ(х)=х функциясының сәикес мәндері 9-ға жақындайды.мысалы, оны мына кестеден байқауға болады х,9,95,98,,5,1 Х 8,41 8,75 8, ,14 9,5 9,61 Жалпы, ε> қаншалықты аз сан болса да, х -9 <ε тенсіздік орындалатындай х-тін мәндерін табуға болады.ол үшін х айнымалысының мәндері -ке мейлінше «жақын» болуы жеткілікті.сондықтаң х айнымалысының мәндері -ке ұмтылатындай болып өзгерсе, онда ƒ(х)=х функциясының сәйкес мәндері 9-ға жақындайды.бұлжағдайда 9санын ƒ(х)=х функциясының х аргументі -ке ұмтылғандағы шегі деп айтады. Оны былай жазады: х =9. -мысал ƒ(х)= функциясын қарастырайық.бұл функцияның анықталу облысы D(ƒ)=(- )U (+ ) жиыны, яғыни х= нүктесіндегі анықталмаған. Егер х-тің -ден сәл ғана өзгешілігі болса, онда бөлшегінің бөлімі нөлге тең болмайды, оның мағынасы бар.сондықтан бұл функцияның х болғандағы аргументтің кез келген мәндеріндегі өзгеру тәртібін қарастыруға болады.енді х-тін мәндері -ге жақындаған сайын берілген фукцияның сәйкес мәндері қалай өзгеретінін қарастырайық: х 1,97 1,98 1,99,1,, х 4,97,98,99 Функция анықталмаған 4,1 4, 4, Осы кестеден х -ге (оң жағынаң да, сол жағынан да ) жақындаған сайын функцияның сәйкес мәндері 4-ке жақындайтының байқау қиын емес. Енді осы деректі математиқалық жолмен көрсетейік.басқаша айтқанда, х-ті -нің мейлінше аз аймағынан алу арқылы -4 айырмасын кез келген ε> санынан кіші етуге болатынын көрсетеиік.шнында да, х, онда -4=х+-4=х- болғандықтан, 4 <ε (1) тенсіздігін х- <ε () түрінде жазуға болады.. Сонда () тенсіздіктен (1) тенсіздік орындалатындай х= нүктесінің аймағын аламыз(бұл аймаққа х= нүктесі енбейді).сонымен х-тің мәндері -ге шексіз жақындаған

3 сайын ƒ(х)= фукциясының сәйкес мәндері 4-ке шексіз жақыедайды береді.бұл жағдайда функция х= нүктесінде анықталмағанымен, онынң х-ге ұмтылғандағы шегі бар деп есептеуге керек: =4.Бұл айтылған деректі геометриялық жолмен кескіндеп,көрсетуге болады.. ƒ(х)= функциясының графигі беинеленген, осы суреттен х-тың -ге жақын (брақ -ге тең емес) мәндеріндеріңде ƒ(х) функциясының сәйкес мәндері 4-ке жақын болатынын көреміз. Енді функцияның нүктедегі шегінің жалпы анықтамасын қараструға болады. Анықтама.. Егер кез келген ε> саны үшін х=a нүктесінің аймағы табылып, осы аймағы әрбір х( a) үшін ƒ(х) -А <ε тенсіздігі орындалса, онда Асанын ƒ(х) функциясының х=a нүктесіндегі шегі деп аталады.. Оны былай жазады А-ға тең»деп оқиды. Сонымен, егер ƒ(х) = А және оны «хa-ға үмтылғандағы ƒ(х) функциясының шегі a ƒ(х)=а болса, онда ƒ(х) функциясы х=a нүктесінде анықталуы a міндетті емес(-мысал).жалпы, егер ƒ(a) мәніанықталған болса да, А саны мен ƒ(a) бірбірінебайланысты емес.кейбір жағдайларда А=ƒ(a), яғыни ƒ(х)=ƒ(a) тендігі орындалу мүмкін (1мысал).Ал кейбіржағдайларда ƒ(х) ƒ(a) тенсіздігі орындалу да мүмкін.енді a осы айтқанымызды мысалымен келтірейік. -мысал a, 1 f ( ) 1, 1 4, 1 функциясының х=1нүктесіндегі шегі қарастырайық.бұл функцияның графигі суретте бейнеленген. Осы графиг х аргументі 1-ге ұмтылғанда (оң жағынан болса да)

4 функцияның сәйкес мәндері -ке жақындайтынын көреміз. Яғыни ƒ(1)=1.сонымен, ƒ(х) ƒ(1). 1. ШЕКТІҢ НЕГІЗГІ ҚАСИЕТТЕРІ c c a b. a b a b a b. a b ƒ(х)=.ал 1 a b m 1 1 m : теңдігін дәлелдеңдер,m-натурал сандар. si 7. =1: теңдігін дәлелдеңдер. 7. Төмендегі функциялардың барлық сипаттамаларын анықтаңдар және графигін схема түрде салыңдар y= y= y= y= 4.y= y= = 1, егерх 1 1, егерх 1 1егерх 1.g()= 1егер 1 Функцияларының х 1 нүктесіндегі бір жақты шектерін табыңыздар және оны (1)мәнімен салыстырыңдар. 75. у= х) функциясының х а нүктесінде шегі бар болуы үшін (a-)= (a+) теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті болатынын дәлелдеңдер. Мұнда х функциясы [cа (ab ] жиынында анықталған. 76. Шекті табыңдар. 1. si. a tg. 4. sim a tg si sim a a 77. Шекті табыңдар. 1. cos 1. 1 cos 1 1 si 1 si 4. п 1 si 1 cos 1 БАҚЫЛАУ СҰРАҚТАРЫ: 1. Кері функцияның графигі тура функцияның графигінен қандай айырмашылығы бар?

5 . Тура функция графигін біліп, кері функция графигін қалай сызасыз?. Шектердің негізгі қасиетін атаңыз. ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР Ә.Н. Шыныбеков 1 сынып 6 ж. Алгебра және анализ бастамалары