, α µα.., asotirakis@aegean.gr, 2241025931 α α α, α µα.., kmath@otenet.gr, 2241065194 ΠΕΡΙΛΗΨΗ α α α α µα α 04. α α α α α α α α α α «α µα µα» µ µ α µα α α α α µ α α µ «α α µα» α µα α α µ α µ α α α α α α. α, α α α α µα α α µα α α µ µα α α α µ α α α α µα α α α µ α µ. Tasos Sotirakis, Mathematician of Secondary Ed., 1 st Gym. of Rhodes Kostas Malliakas, Mathematician of Secondary Ed., 1 st Lyc. of Rhodes Abstract This paper concerns the thematic unit 04. The aim of this study is to illustrate the teaching value of the Mathematic figure with a wider meaning and to suggest teaching activities for the Teacher of Mathematics which will help the student to focus on the points which cause difficulties and to overcome those so as to achieve the concept understanding. Based on Cognitive Psychology, History and Didactic of Mathematics and some research questionnaires, we will support our suggestions hoping for the implementation of these activities by more Maths Teachers in order to prove and reinforce the validity of our conclusions. ΕΙΣΑΓΩΓΗ α µα α α, α µ µ α α α α α α µ α α α
α α µ α µ µα α. µ α α µα α α µ. µ α α α α, α α α, α α, α α, α α α, µµα, α - α α α α. α α µ α α α α µ α α µ α µ α, α α µ α. α µ α αµ α α α α µ α µ α α α α α α α µ. µα α : α α µ α α α α µ α α α µα µ α α ; α α µα α µα α α µ α α α. µ µ α α α α µ α µ α α α α α µ µ α α, α α α α α α α µ, α α α α µ α α α α α, α α α µ α ( α, α). µ α α µ α α α α µ µ α α µ α α α α α α α µ. µ α µ α α µ α α µα α µ. µ µ α α α µ α µ α α, α µ µ α α α µ α α, α α α α α α α α. α α µ α α α µα µ α µ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ α α α µα α α. «Το ότι οι Μαθηµατικές έννοιες, δεν προσεγγίζονται µέσω των αισθήσεων γεγονός που διαφοροποιεί τα Μαθηµατικά από τις άλλες Θετικές Επιστήµες είναι µια αδιαµφισβήτητη θέση. Το σηµαντικό είναι ότι στα Μαθηµατικά µπορεί κάποιος να χειρίζεται έννοιες µέσω των αναπαραστάσεων τους και να αναφέρεται σε ιδιότητες τους, χωρίς να χρειάζεται µα πάρει θέση στο φιλοσοφικό ερώτηµα της ύπαρξης ή µη των Μαθηµατικών αντικειµένων» ( α, 2003). α α α α α α α µα µ µ α µ α µ α α α µα. α α α α α α α α α α α α µ µ α α α α
µ α α α. µ α µα µ, α α α α α α α α α. α α µ µ α µ µ α α α α µ α α µ α α α α α α α 1+3+5+7+ +[2( -1)+1] = 2 ( α, 1985). α µα. α α α α α α α α µ, α α α µ µ α µ, µ α α α α α α α µα α α µ α α ; α α α α α α α α α α α α α α µα µα ; µ α α α α α α α α α α α µ α µα α µ, α α α α α α α α α α α µ α α µ. «Η εξέλιξη της επιστηµονικής σκέψης δεν νοείται ανεξάρτητα από την εξέλιξη ιδιαίτερων συµβολισµών για την αναπαράσταση αντικειµένων και των µεταξύ τους σχέσεων. Η ιστορία δείχνει ότι η εξέλιξη των µαθηµατικών συνδέεται µε την εξέλιξη διαφόρων σηµειωτικών συστηµάτων που είχαν ως απαρχή τα δυο βασικά αντιληπτικά συστήµατα: Γλώσσα και Εικόνα (Μιλάω και Βλέπω) Οι αναπαραστάσεις των Μαθηµατικών αντικειµένων είναι κυρίως σηµειωτικές αναπαραστάσεις. Σηµειωτικές αναπαραστάσεις είναι οι αναπαραστάσεις που εκφέρονται µε τη χρήση σηµείων (signes), (εκφωνήσεις στη φυσική γλώσσα, αλγεβρικοί τύποι, γραφικές παραστάσεις, γεωµετρικά σχήµατα) και αποτελούν το µέσο που διαθέτει το άτοµο για να εξωτερικεύσει τις νοητικές του αναπαραστάσεις. Είναι, εποµένως, εξαρτώµενες από τις νοητικές αναπαραστάσεις και δεν εξυπηρετούν παρά την ανάγκη επικοινωνίας». ( α, 2003) α µ α α α α αµ µ α µ α α α α α α. µ α α α µ µ α α α α µ α α αµ α µα µ α, α α α α α α α α µ. α α µα α µ α α µ, α α α µ α α, µ α-α - α. α α µα α α
α µ α α, α - µ αα. α α α α α α α α α α α α α α α α µ α α α α α o. «µ α α» α µ ( µ ) α α α α α ( ) α α µα α. α µα α α µ µ α «α» µ α α µ. α α µ α α α µ. ( &, 2010) µ α µ α Wittgenstein, µ α α «µα α», α α µ α α. «. α. α µ µα µ α µ α : «α µ α» α α α α µ. α α µα α ; α α α. µ α α µ α» (Wittgenstein, 1977) µ α µ α α α µ α µ, α µ µ µ α α α α α α α α «µ α α».( α.,..) µ α µ α α α α α α µα, α α α, α µ α α, µ µα α α µ α α α. α µ α, α α α, µ µ α µ α µ α µ µα α µ α α α µα µ α α α α α α α α α α α α α α α α α. Wittgenstein (1977) α α α : «πρέπει να παρατηρήσω πως στην εξέταση αυτή, δεν λογαριάζω ως µέρος του διαβάζω την κατανόηση του νοήµατος αυτού που διαβάζουµε. Εδώ διάβασµα είναι η ενέργεια της µετατροπής σε ήχο αυτών που είναι γραµµένα να λειτουργήσει σαν απλή µηχανή διαβάσµατος: εννοώ, να διαβάζει φωναχτά και σωστά, χωρίς να προσέχει αυτό που διαβάζει έτσι που αν τον ρωτήσουµε, αµέσως µετά, να µην είναι σε θέση να µας πει τι διάβασε»
µ µ µ α µ α µα µ α α µα α µ α α α α α µ. µ α α µα α α α α α α α µ α α. α α α α µ µ α α µ α α α α α µα α µ α α α. µ α α α α µ α α α α α α α Wittgenstein. «Ο αρχάριος διαβάζει τις λέξεις συλλαβίζοντάς και µε δυσκολία. Μερικές λέξεις όµως τις µαντεύει από τα συµφραζόµενα. ή, ίσως ξέρει το κοµµάτι, ως ένα βαθµό απ έξω Όταν εµείς σκεφτόµαστε αυτό το διάβασµα και αναρωτιόµαστε σε τι συνίσταται το διάβασµα, θα τείνουµε να πούµε: αυτό είναι µια ειδική συνειδητή ενέργεια του νου». α µ α α α µ α α α α - α : «α α µ» α α µ µµα α (, 2002)., µ α µα µα α «2x.3 =15+» µ α α α α α α µ, α µα α α α µ α α -µα. α α α µα α α α µ µ µα µ α α µ α α α α α α ( α α &, 2008), α α α «Οι µαθητές που χαρακτηρίζονται επιµελείς ξεπέρασαν τις δυσκολίες αυτές πολύ γρήγορα, ενώ οι µαθητές που δεν είναι επιµελείς δεν κατόρθωσαν να αφοµοιώσουν τις νέες έννοιες σε τέτοιο βαθµό ώστε να µπορούν να τις εκφράζουν προφορικά ή γραπτά. Αρκετοί από αυτούς όµως έφτασαν στο σηµείο να τις αντιλαµβάνονται είναι φανερό ότι ο µαθητής αντιλαµβάνεται την έννοια χωρίς όµως να µπορεί να την εκφράσει µε µαθηµατική πειθαρχία». α α µ µα α µ α, α µ α, α µ α α µα α µ α µ. α α µ µ α, α α µ α. µα α α µ αµµ α α µ α
. α µ α µ µα α α α α α α α. α α µ α α α α α α. µ α µ α α, µ µµ µ α µ α α α µ µ α (,..). α α α α α α α ( ) µ α µ α α µ α α α α µ µ α µ α µ α α µ α α α α, µµ α, α α (Kebeck, 1997) α α α µ ( α α µ µα α α α α ) α µ µ µ α α α ( µα ), µ α ( µα α µ α α ), α α (α µ α α α), µµ α α µ α α α α α. α α α α α µ α α α α α α µ α α α α (Goldstein, 1999). α α µα α α µα 3 α α α α α α α α α. 3 12 3 14 µ α α µα µ α α α α α α α α α α α µ µα µα αµµα. α α α α µ. α α µ α «µα» α µ α µµα α. µ α µ µ «µα µα µα» α α α α µα µ α α α ( µ ), α α α µµα α α,,, a, b,, α α 0, 1, 2,, α µ α +, -,, :, α ( ),,, α µµα α α e, α µ α, <>,,,,,,,,,,,,,,,//,,,... α α µ µα α ( µ, α, µ α, µ µα).
α µα α µ α. α α µ α. α α α α µ α α µ α µ α α α α α α α µ α α. α µ α µ α, α α µα «-» µ α α - : 2-5, -2, -(-2), 2-1, f -1, x -2, x 2 -. µ α α α. α «µα µα µα» α α µ µ µ α µ α µµ α, µ α α µ, α α α α µ α µ, α α α α α α α µ α µα α. α α µα, α µ α, α 1+1=2, x+1=2, α 2, α µ µα α. α α α α µα α α α µ α α µ. α α µα α α µ α µα µα. α, µα µα µ, α α α, α µ µ α, α α α α α α α α µ α α µ µ α α α α. ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ αµ 140 µα 1 µ α α µ µα α. µα α α µ : «α µ α µ α α α µ µ α α α µ α α α α µ µα». α µα α α α α α α. α α α µα α 15 α α µ. α α µα, α αµµ µ µα α µ α µ α, µ α α µ α,. α α µ α α µα µα. α α α µ α α α α α µα α µ α µ µα α. α α µ α µ α α α α µα.
ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ µ α µ µ α α (Dvora, Dreyfus, 2004) α α µ α α α, µ µα, µ α α α µ µα α µα α α α α α α µ α µ µα α µα α α α µα α α α. 2009-2010 α α µ µα 2 µ µα µ α α µα αµ α α α. αµ α µ α α µα α µ α µ αµ µ α α µ α α µ ( α ), ( α µ α α ) α α ( α α α α α α ) α αµ µα. αµ α µα α α α α α µ α α α α µ α. α µ α α α µ µ α α α α µα µα, α α α µ µ µ α α α α α α α µα µ µ α α α α α α (,..). α α α α µ ( µ, µ ) α µ α α. α α µ α α Bloom ( α α.,..) µα α α α α α α µα α α α ( ) α α α. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 α α α µ α α α α αµ α µα α, µ α, α α 30 0, µ µα, α µ α α, α α α µ α. µ α α α µ α α µ α µ α α α α α µ µα α α αµ αµµ. µα α α 24 µα. α α α µ α α α α (17 µα ), Β Ε Α K M Ζ 30 o Γ
(10), (10, α µ α ), α (6), µ (8, µ µα α α α µα α), α (3 α α α α αµµ, 7 α α 10 α µ α α α α µ α α µα α α αµ α α µ α α α α α µα α α α α α. µα αµ α α µ (3), α α α α, α α (2), (1). α µα µ α µα α α «α α α» (Goldstein,..). µ µ µα α µα 1, µ α α µ α α α α α µ α α α α α α µ µα α. α α α α α α α α «α α α» α α α α α α α. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 Β α µ α µ α α α µ 6 µα µ α, Μ Κ x 6 µ α, y = =6, α µ µ Α Ν Γ α µ αµ x, y α µ µα α, α α α µ αµ α α µ, α α α α α α x, y α α. α α α α µ µα α α. α α µ 22 µα µ α α αµ α 4 α α µ α α α α µ α. 1 µα α α α µ. µα α α α α µ 17 µα α α α α µ µ α 9 µα α α α α µ 4 α α µ α α α α α x, y., µα α α α α α α. α α α α α. µ α µ α -α. α α α α α α µα α α α α α α µ α µ µα α α µ α µ α α α (Goldstein,..), α α
α α (Kebeck,..). α «µ» µα α α α α α (,..) α α µ α α µ. α µ α α α µα α µ α 30 0. µ α µα µ α α µ α α α µα µα µα α α α α, α α α α α α α µ α α µ α α µ µ, µ α α µα µ α µα µα. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ α,. (1985). Εισαγωγή στην Φιλοσοφία των Μαθηµατικών. α:,. &,. (2010) Γλωσσική εκφραστική επάρκεια των µαθητών στα Μαθηµατικά. υνατότητα χρήσης της γλώσσας από τους µαθητές µε στόχο την απλή περιγραφή σχηµάτων και άλλων αναπαραστάσεων που εµπίπτουν στο Μαθηµατικό γλωσσικό πλαίσιο. 2 α α µ. Dreyfus T. &. Dvora T. (2004). Unjustified assumptions based on diagrams in Geometry, Proceedings of the 28 th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Goldstein, E. (1999). Sensation and Rerception. (5 th ed.) Pacific Grove CA: Brooks/ Cole Publishing Company. Kebeck, G. (1997). Wahrnehmung. Theorien, Methoden und Forschngsergebnisse der Wahrnehmungspsychologie. München: Javenta Verlag. α,., (2003). Νοητικές διεργασίες ανάπτυξης γεωµετρικών εννοιών. 2 α α α µα µ α α, α. α,., α,. & α,.,(1993). α, α α, Θέµατα ιδακτικής των Μαθηµατικών, ιδακτικοί στόχοι, Ταξινοµίες, ραστηριότητες. α:gutenberg.,. (2002). Γνωστική Ψυχολογία, Γνωστική Νευροεπιστήµη και Εκπαιδευτική Πράξη, Μοντέλο Επεξεργασίας Πληροφοριών. µ, α. α α.,.,(2008). Κατανόηση της έννοιας της µονοτονίας µιας συνάρτησης µε τη χρήση περιβαλλόντων δυναµικής γεωµετρίας. 25 α α µα α α,. Wittgenstein L.,(1977). Φιλοσοφικές Έρευνες. α - α - α, α, α: α α.