ΦΥΣ 111 Γενική Φυσική Ι 6 η Εργασία Επιστροφή: 26.10.18 1. Μάζα είναι δεµένη στο ένα άκρο ενός νήµατος αµελητέας µάζας. Το άλλο άκρο του νήµατος είναι δεµένο σε ένα πολύ λεπτό, λείο κατακόρυφο στύλο. Το νήµα είναι αρχικά τελείως περιτυλιγµένο γύρω από τον στύλο σε έναν µεγάλο αριθµό µικρών οριζόντιων κύκλων, µε τη µάζα να ακουµπά στον στύλο. Κατόπιν η µάζα ελευθερώνεται και το νήµα αρχίζει να ξετυλίγεται σιγά σιγά. Να βρείτε τη γωνία που θα σχηµατίζει το νήµα µε τον στύλο όταν έχει ξετυλιχθεί τελείως.
2. Θεωρήστε το µοντέλο του αεροπλάνου του διπλανού σχήµατος. Το αεροπλάνο πετά µε ταχύτητα 22m/s σε οριζόντια κυκλική τροχιά ακτίνας R = 16m. Η µάζα του αεροπλάνου είναι m = 0.90kg. Το άτοµο που κρατά το σχοινί στο οποίο είναι δεµένο το αεροπλάνο, ελαττώνει την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς στα 14m. Το αεροπλάνο αυξάνει ταχύτητα και η τάση στο σχοινί γίνεται 4 φορές µεγαλύτερη. Ποιό το έργο το οποίο δαπανάται στο αεροπλάνο;
3. Ένα µυρµήγκι περπατά σε µία επίπεδη κυκλική διαδροµή ξεκινώντας από το σηµείο µε συντεταγµένες (0,0,0) σε ένα άλλο σηµείο µε συντεταγµένες (1.0m, 5.0m, 0.0m). Εξαιτίας ( ). Αγνοώντας µόνιµου σταθερού αέρα δέχεται µία δύναµη! F = 0.002N,0.001N, 0.0005N τριβές, πόσο έργο δαπάνησε ο αέρας στο µυρµήγκι για τη διαδροµή αυτή;
4. Ένα εκκρεµές µήκους L κρατιέται αρχικά σε οριζόντια θέση και µετά αφήνεται ελεύθερο. Το νήµα του εκκρεµούς χτυπά κατά τη διαδροµή του σε ένα καρφί που βρίσκεται σε απόσταση d κάτω από το σηµείο στήριξης του εκκρεµούς. Ποια είναι η µικρότερη τιµή της απόστασης d ώστε το νήµα να παραµένει πάντοτε τεντωµένο;
5. Ένας σκιέρ ξεκινά από την ηρεµία από την κορυφή ενός λόφου. Ο σκιέρ γλυστρά στο χαµηλότερο σηµείο µίας πλαγιάς και ξανά ανεβαίνει στην κορυφή ενός δεύτερου λόφου όπως φαίνεται στο σχήµα. Ο δεύτερος λόφος έχει κυκλικό σχήµα ακτίνας r = 36m. Αγνοήστε αντίσταση του αέρα και τριβές. Ποιά θα πρέπει να είναι το ύψος h του πρώτου λόφου ώστε ο σκιέρ µόλις και να χάσει επαφή µε το χιόνι στο ψηλότερο σηµείο του δεύτερου λόφου;
6. Ένα παιδί µάζας 61kg κάνει skateboard ξεκινώντας µε ταχύτητα 5.4m/s από το αριστερό µέρος της πίστας που φαίνεται στο διπλανό σχήµα και κινείται προς το χαµηλότερο σηµείο. Η πίστα έχει κυκλικό σχήµα ακτίνας r = 2.70m. Αγνοήστε αρχικά τριβές και την αντίσταση του αέρα. (α) Βρείτε το µέγιστο ύψος, h, στο οποίο θα φθάσει το παιδί στο δεξί µέρος της πίστας. (β) Υποθέστε ότι το παιδί φθάνει σε µέγιστο ύψος h=1.8m, και εκτελεί µισή περιστροφή και αρχίζει να κινείται και πάλι προς το χαµηλότερο σηµείο της πίστας όπου φθάνει έχοντας ταχύτητα 6.8m/s. Ποιά είναι η µέση τιµή του µέτρου της δύναµης της τριβής που ασκούν τα τοιχώµατα της πίστας στο skateboard;
7. Ένα κιβώτιο µάζας 30.0kg βρίσκεται ακίνητο σε οριζόντια επιφάνεια. Πάνω στο κιβώτιο αυτό βρίσκεται ένα µικρότερο κιβώτιο µάζας m = 15.0kg στο οποίο είναι συνδεδεµένο το άκρο ενός ελατηρίου όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι k = 325N/m. Ο συντελεστής στατικής τριβής µεταξύ των δύο κιβωτίων είναι 0.900 ενώ ο συντελεστής κινητικής τριβής µεταξύ του µεγαλύτερου κιβωτίου και της οριζόντιας επιφάνειας είναι 0.600. Μία δύναµη! F ασκείται στο χαµηλότερο κιβώτιο όπως δείχνει το σχήµα. Η δύναµη αυτή αυξάνει µε τέτοιο τρόπο ώστε τα κιβώτια να κινούνται µε σταθερή ταχύτητα. Τη στιγµή που το πάνω κιβώτιο είναι έτοιµο να γλυστρήσει από το χαµηλότερο κιβώτιο, υπολογίστε (α) τη συσπείρωση του ελατηρίου και (β) το µέτρο της δύναµης! F.
8. Ένα ελατήριο βρίσκεται σε ηρεµία πάνω σε οριζόντια επιφάνεια. Ένα µικρό κουτί αφήνεται να πέσει πάνω στο ελατήριο και το συσπειρώνει. Υποθέστε ότι το ελατήριο έχει σταθερά k=450ν/m και το κουτί έχει µάζα m = 1.5kg. Η ταχύτητα του κουτιού ακριβώς πριν έρθει σε επαφή µε το ελατήριο είναι 0.49m/s. (α) Υπολογίστε τη συσπείρωση του ελατηρίου σε κάποια χρονική στιγµή που η επιτάχυνση του κουτιού είναι 0. (β) Ποιά είναι η µετατόπιση του ελατηρίου όταν το ελατήριο είναι πλήρως συσπειρωµένο;
9. Μία πέτρα µάζας 15.0kg γλυστρά προς τη βάση ενός λόφου σκεπασµένου µε χιόνι όπως στο διπλανό σχήµα. Η πέτρα ξεκινά από το σηµείο Α µε ταχύτητα 10m/s. Δεν υπάρχει τριβή µεταξύ της επιφάνειας του λόφου και της πέτρας καθώς αυτή κινείται από το σηµείο Α στο σηµείο Β, αλλά υπάρχει τριβή κατά µήκος της διαδροµής από το Β στον τοίχο. Καθώς η πέτρα εισέρχεται στο οριζόντιο τµήµα από το σηµείο Β στον τοίχο, διανύει µία απόσταση 100m και κατόπιν πέφτει πάνω σε ένα µακρύ, ελαφρύ (αµελητέας µάζας) ελατήριο σταθεράς k = 2.0N/m. O συντελεστής κινητικής και στατικής τριβής µεταξύ της πέτρας και της οριζόντιας επιφάνειας είναι 0.20 και 0.80 αντίστοιχα. (α) Ποιά είναι η ταχύτητα της πέτρας όταν έρχεται σε επαφή µε το ελατήριο. (β) Ποιά η µέγιστη συσπείρωση που προκαλεί η πέτρα στο ελατήριο; (γ) Εξετάστε αν η πέτρα θα κινηθεί και πάλι αφού έχει προκαλέσει τη µέγιστη συσπείρωση στο ελατήριο.
10. Ένα κιβώτιο µάζας 3.0kg είναι συνδεδεµένο µε δύο ιδανικά ελατήρια αµελητέας µάζας µε σταθερές k 1 = 25.0N/cm και k 2 = 20.0N/cm, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Το σύστηµα είναι αρχικά σε ισορροπία πάνω σε λεία οριζόντια επιφάνεια. Το κιβώτιο µετακινείται τώρα κατά 15.0cm προς τα δεξιά και αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί µε µηδενική αρχική ταχύτητα. (α) Ποιά είναι η µέγιστη ταχύτητα του κιβωτίου; Σε ποιά θέση της κίνησής του το κιβώτιο αποκτά τη µέγιστη ταχύτητα; (β) Ποιά είναι η µέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου 1;