Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 7: Βάσεις Groebner I

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 7: Βάσεις Groebner I Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών

Κεφάλαιο 7 Βάσεις Groebner Ι Τετάρτη 21 Μαϊου 2014 7.1 Ιδεώδη μονονύμων Εχουμε ήδη δει οτι για ένα σύστημα μ εξισώσεων με ν μεταβλητές όπως το (Σ) f 1 (x 1,,..., x ν ) = 0 f 2 (x 1,,..., x ν ) = 0. f µ (x 1,,..., x ν ) = 0, f i F[x 1,,..., x ν ], F σώμα το σύνολο των λύσεών του εξαρτάται από το ιδεώδες I = f 1, f 2,..., f µ F [x 1,..., x ν ]. Υπενθύμιση 1. Κάθε ιδεώδες I του F [x] είναι της μορφής I = {f(x) g(x) g(x) F [x]}, δηλαδή I =< f(x) >. Ορισμός 7.1.1. Εστω F [x 1,,..., x ν ] ο δακτύλιος των πολυωνύμων ν μεταβλητών, με συντελεστές από το σώμα F. Τότε θα καλούμε ιδεώδες μονονύμων του F [x 1,,..., x ν ], ένα ιδεώδες που παράγεται από μονώνυμα, δηλαδή Σχόλια I =< x 1 α 1 α2 x ν α ν, x 1 β 1 β2 x ν β ν,... >. (α) Τα μονώνυμα που παράγουν το I ενδέχεται να είναι άπειρα. 49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΒΑΣΕΙΣ GROEBNER Ι (β) Τα ιδεώδη μονονύμων στον δακτύλιο των πολυωνύμων μιας μεταβλητής είναι της μορφής < x λ >, λ Z 0, Το παραπάνω αποδεικνύεται ως εξής: Αν Ι={0}, τότε ο ισχυρισμός είναι προφανής. Εστω τώρα Ι {0}. Επειδή έχουμε μια μόνο μεταβλητή, δηλαδή ν=1, τότε I = x ξ 1, x ξ 2,..., x ξ i,.... Θεωρούμε το σύνολο Ξ = {ξ 1, ξ 2, ξ 3,...} {0, 1, 2,...}. Άρα στο Ξ υπάρχει ελάχιστο στοιχείο, έστω ξ. Θα αποδείξουμε οτι I = x ξ. Θεωρούμε το ιδεώδες A = x ξ. Τότε x ξ I και έτσι A = x ξ I. Εστω x λ I. Εκτελούμε τη διαίρεση του λ δια του ξ και έχουμε ότι λ = πξ + υ. Αν υ 0, τότε x υ = x λ x πξ I και οδηγούμαστε σε άτοπο, διότι το ξ είναι ο ελάχιστος θετικός ακέραιος με x ξ I. Άρα υ = 0 και τελικά x λ I και I A άρα A = I. (γ) Αν f είναι ένα στοιχείο του I, τότε το f είναι πολυώνυμο με ν μεταβλητές x 1,,..., x ν και ισχύει ότι f(x 1,..., x ν ) = f 1 (x 1,..., x ν )h 1 (x 1,..., x ν ) + + f κ (x 1,..., x ν )h κ (x 1,..., x ν ), όπου τα f i F [x 1,,..., x ν ] και τα h i αποτελούν μονώνυμα του I. (δ) Το ιδεώδες I = + x + 1 δεν είναι ιδεώδες μονωνύμων, διότι αν ήταν θα έπρεπε I = x λ, το οποίο είναι άτοπο αφού δεν υπάρχει πολυώνυμο h(x), τέτοιο ώστε + x + 1 = x λ h(x). Θεώρημα 7.1.2. Εστω I ένα ιδεώδες μονωνύμων του F [x 1,,..., x ν ]. Τότε υπάρχουν πεπερασμένα μονώνυμα του I έτσι ώστε I = x 1 ξ 1,1 ξ 1,2 x ν ξ 1,ν, x 1 ξ 2,1 ξ 2,2 x ν ξ 2,ν,..., x 1 ξ λ,1x2 ξ λ,2 xν ξ λ,ν. Απόδειξη Συμβατικά θα γράφουμε x 1 ξ i,1 ξ i,2 x ν ξ i,ν ως x α i, όπου α i = (ξ i,1, ξ i,2,..., ξ i,ν ). Άρα I = x α i, α i A, i K, με K σύνολο δεικτών. Επαγωγή στο πλήθος ν των μεταβλητών. Για ν=1 ισχύει (έχει αποδειχθεί προηγουμένως) Εστω ότι ισχύει για ν-1. Θα αποδείξουμε οτι ισχύει για ν. Γράφουμε x ν = y. Και έτσι κάθε μονώνυμο είναι της μορφής x 1 ξ i,1 ξ i,2 x ν 1 ξ i,ν 1 y m i. Θεωρούμε το ιδεώδες J των μονωνύμων του F [x 1,,..., x ν 1 ], που παράγεται από όλα τα μονώνυμα της μορφής x 1 ξ i,1 ξ i,2 x ν 1 ξ i,ν 1 και x 1 ξ i,1 ξ i,2 x ν 1 ξ i,ν 1 y m i I για κάποιο m i {0, 1, 2,...}. Από την υπόθεση της επαγωγής έχουμε ότι J = x α 1, x α 2,..., x α λ,

7.1. ΙΔΕΩΔΗ ΜΟΝΟΝΥΜΩΝ 51 όπου με x α i δηλώσαμε ότι συμβολίζουμε το x 1 ξ i,1 ξ i,2 x ν ξ i,ν 1 ως x α i. Θα έχουμε λοιπόν x α 1 J x α1 y m 1 I για κάποιο m 1 {0, 1, 2,...} x α 2 J x α2 y m 2 I για κάποιο m 2 {0, 1, 2,...}. x α λ J x α λ y m λ I για κάποιο mλ {0, 1, 2,...} Εστω m = max{m 1, m 2,..., m λ }. Για m = 0 θεωρούμε τα μονώνυμα Για m = 1 θεωρούμε τα μονώνυμα Για m 1 θεωρούμε τα μονώνυμα x α 0,1, x α 0,2,..., x α 0,λ I x α 1,1 y, x α 1,2 y,..., x α 1,λ y I. x α m 1,1 y m 1, x α m 1,2 y m 1,..., x α m 1,λ y m 1 I Για m θεωρούμε τα μονώνυμα x α m,1 y m, x α m,2 y m,..., x α m,λ y m I Τότε θα έχουμε για ένα μονώνυμο του I, το οποίο θα έχει την μορφή x α y σ. Αν σ m, τότε το μονώνυμο παράγεται από το I = x α m,1 y m, x α m,2 y m,..., x α m,λ y m. Αν όμως σ m σ = {0, 1,..., m 1}, τότε το μονώνυμο παράγεται από μονώνυμα των υπολοίπων προηγούμενων κατηγοριών. Ορισμός 7.1.3. Σε κάθε πολυώνυμο f(x 1,,..., x ν ) F [x 1,,..., x ν ] έχουμε ένα μεγιστοβάθμιο όρο (σύμφωνα με τη λεξικογραφική διάταξη που εφαρμόζουμε) και τον συμβολίζουμε MO(f). Παράδειγμα 7.1.4. Εστω το πολυώνυμο f(x, y) = 3x 5 y 4 +4x 3 y 5 +6xy 7 +7y+8. Σύμφωνα με τη διάταξη x > y, έχουμε ότι MO(f) = 3x 5 y 4. Ορισμός 7.1.5. Εστω I ιδεώδες του F [x 1,,..., x ν ] (όχι κατ ανάγκη ιδεώδες μονωνύμων). Από το I φτιάχνουμε το ιδεώδες μονωνύμων J = MO(f) f I = ρ 1 x α (1), ρ2 x α (2),..., ρλ x α (λ). Άρα μπορούμε να βρούμε πεπερασμένο πλήθος πολυωνύμων f 1, f 2,..., f λ I έτσι ώστε J = MO(f 1 ), MO(f 2 ),...MO(f λ ). Το σύνολο {f 1, f 2,..., f λ } λέγεται βάση Groebner του ιδεώδους I. Επανάληψη Εστω f 1 (x 1,,..., x ν ), f 2 (x 1,,..., x ν ),..., f µ (x 1,,..., x ν ) F [x 1,,..., x ν ] δηλαδή f 1, f 2,..., f λ πολυώνυμα με συντελεστές από το σώμα F. Τότε υπάρχει μια διαδικασία (αλγόριθμος) διαίρεσης έτσι ώστε:

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΒΑΣΕΙΣ GROEBNER Ι 1. f(x 1,,..., x ν ) = α 1 (x 1,,..., x ν ) f(x 1,,..., x ν )+...+a κ f κ +υ(x 1,,..., x ν ) 2. Ειτε υ(x 1,,..., x ν ) = 0 ειτε υ 0 κ υ(x 1,,..., x ν ) = λ 1 x ξ 11 x ξ 12...x ξ 1ν +... + λ ρ x ξ ρ1 x ξ ρ2...x ξρν το οποιο αποτελεί γραμμικό συνδυασμό μονωνύμων με λ i F. Επίσης ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ μονώνυμο του υπολοίπου που να διαιρείται από κάποιο ΜΟ ενός f i, i = 1,..., k. 3. Για κάθε i = 1, 2,..., k, είτε α i f i = 0 ή α i f i 0 και ισχύει ότι deg(f) deg(α i f i ). Σημείωση 1. Υποθέτουμε ότι έχουμε σταθεροποιήσει μια διάταξη των μεταβλητών (π.χ. x 1 > >... > x n ) η οποία επάγει μια διάταξη στα μονώνυμα. Εστω F [x 1,..., x ν ] ο δακτύλιος των πολυωνύμων. Ιδεώδες μονωνύμων είναι ένα ιδεώδες του F [x 1,..., x ν ] που παράγεται από μονώνυμα. Θεώρημα 7.1.6. Εστω I =< x α i1 1 x α i2 2 x α iν ν, (α i1, α i2,..., α iν ) A > ένα ι- δεώδες μονονύμων. Τότε το I είναι πεπερασμένα παραγόμενο, δηλαδή υπάρχουν 2 x a kν, που παρά- πεπερασμένο πλήθος μονωνύμων : x α 11 1 x α 12 γουν το I. Εστω I =< x a i1 1 x a i2 x β ρ1 1 x β ρ2 2 x βρν ν 2 x α 1ν ν,..., x a k1 1 x a k2 2 x a iν ν, (α i1,..., αi1) A > ένα ιδεώδες μονωνύμων και I. Τότε το x β ρ1 1 x β ρ2 2 x βρν ν διαιρείται από κάποιο x a i1 1 x a i2 2 x a iν ν. Απόδειξη Το I είναι διανυσματικός χώρος (άπειρης διάστασης) επί του F (Τα μονώνυμα του I είναι γραμμικά ανεξάρτητα). Επειδή το x γ ρ1 1 x γ ρ2 2 x γρν ν I, τότε αυτό είναι γραμμικός συνδυασμός μονωνύμων της μορφής x a i1 1 x a i2 2...x a iν Εστω I F [x 1,..., x ν ] όπου το I δεν είναι κατ ανάγκη ιδεώδες μονωνύμων, τότε έχουμε τα εξής : 1. ΜΟ(I) = {λ x a1 1 x a2 2...x aν ν υπάρχει f(x 1,...x ν ) I του οποίου ο μεγιστοβάθμιος όρος είναι το λ x a1 1 x a2 2...x aν ν }. Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι το σύνολο MO(I) είναι άπειρο εάν I < { } >. ν. 2. Το ιδεώδες < MO(I) > είναι ιδεώδες μονωνύμων. 3. Εχουμε αποδείξει ότι το < M O(I) > παράγεται από πεπεράσμενα μονώνυμα του συνόλου MO(I). Δηλαδή < MO(I) >=< x a 11 1 x a 12 2 x a 1ν,..., x a k2 1 x a k2 1 x a kν ν >. Το x a i1 1 x a i2 2 x a iν ν είναι ένα μονώνυμο του < MO(I) >. Χωρίς λάθος μπορούμε να υποθέσουμε ότι λ x a 11 1 x a 12 2 x a 1ν ν ανήκει στο σύνολο που παράγει το < MO(I) >. Άρα υπάρχουν πολυώνυμα g 1 (x 1,..., x ν ) I με MO(g 1 ) = λ 1 x a 11 1 x a 12 2 x a 1ν ν, g 2 (x 1,..., x ν ) I με MO(g 2 ) = λ 2 x a 11 1 x a 12 2 x a 1ν ν,..., g κ (x 1,..., x ν ) I με MO(g κ ) = λ 1 x a 11 1 x a 12 2 x a 1ν ν ν ν.

7.1. ΙΔΕΩΔΗ ΜΟΝΟΝΥΜΩΝ 53 Ορισμός 7.1.7. Το σύνολο των πολυωνύμων {g 1, g 2,.., g κ } λέγεται βάση Groebner του ιδεώδους Ι. Εχουμε δηλαδή μέχρι στιγμής την ακολουθία καταστάσεων Σύστημα πολυωνύμων ή σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων Ιδεώδες Ι το οποίο παράγεται από τα πολυώνυμα Ιδεώδες μονωνύμων των μεγιστοβαθμίων όρων των πολυωνύμων του I { Βάση Groebner } Παράδειγμα 7.1.8. Εστω τα πολυώνυμα f 1 (x, y) = x 3 y 2 y 2 +x και f 2 (x, y) = 3x 4 y και το ιδεώδες I = f 1, f 2. Τότε η βάση Groebner που προκύπτει είναι η εξής {252x 624y 7 + 493y 4 3y, 6y 4 49y 7 + 48y 10 9y}. Θεώρημα 7.1.9. (Βάσης του Hilbert) Κάθε ιδεώδες I του F [x 1,..., x ν ] είναι πεπερασμένο παραγόμενο. Δηλαδή υπάρχουν g 1 (x 1,,..., x ν ), g 2 (x 1,,..., x ν ),..., g κ (x 1,,..., x ν ) με I = g 1, g 2,..., g κ Απόδειξη Εάν I = {0},τότε είναι προφανές. Εάν I {0}, τότε το I έχει μια βάση Groebner {g 1, g 2,..., g κ }. Εστω g I. Εκτελούμε τη διαίρεση του g διά τα g 1, g 2,..., g κ. Τότε g = α 1 g 1 + α 2 g 2 + + α κ g κ + υ. Θα έχουμε Εάν υ = 0 g I. Εάν υ 0 καταλήγουμε στα εξής υ I Το υ είναι άθροισμα μονωνύμων, κανένα εκ των οποίων ΔΕΝ διαιρείται με MO(g i ), i = 1, 2,..., κ. Ετσι έχουμε ότι το υ I, άρα MO(υ) MO(I) MO(I) = MO(g 1 ), MO(g 2 ),..., MO(g κ ). Άρα ο MO(υ) διαιρείται με κάποιο MO(g i ), με i = 1, 2,..., κ. ΑΤΟ- ΠΟ. Συμπεράσματα Εστω I ιδεώδες του F [x 1,..., x ν ]. Τότε θα ισχύουν 1. MO(I) = MO(g 1 ), MO(g 2 ),..., MO(g κ ), (g 1, g 2,..., g κ : βάση Groebner).

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΒΑΣΕΙΣ GROEBNER Ι 2. {g 1, g 2,..., g κ } είναι μια βάση Groebner 3. Κάθε ιδεώδες I του F [x 1,..., x ν ] έχει μια βάση Groebner. 4. Προφανώς I = g 1, g 2,..., g κ. Παράδειγμα 7.1.10. Εστω g 1, g 2 = I R[x, y] με g 1 (x, y) = x 3 2xy, g 2 (x, y) = y 2y 2 + x = y + x 2y 2. Ισχυρισμός Το σύνολο {g 1, g 2 } ΔΕΝ είναι βάση Groebner του I. Για x > y έχουμε MO(g 1 ) = x 3, MO(g 2 ) = y MO(g 1 ), MO(g 2 ) = x 3, y. Εχουμε ότι x g 2 y g 1 = x ( y 2y 2 + x) y (x 3 2xy) =, δηλαδή MO(I). Για να είναι βάση Groebner, θα πρέπει = α(x, y) + β(x, y) ( y). ΑΤΟΠΟ. Άρα δεν είναι βάση Groebner. Παράδειγμα 7.1.11. Εστω τα πολυώνυμα g 1 (x, y, z) = x + z R[x, y, z] και g 2 (x, y, z) = y z R[x, y, z]. Τότε {g 1, g 2 } είναι μια βάση Groebner του I = g 1, g 2. Εστω το τυχαίο πολυώνυμο f I, όπου I το παραπάνω ιδεώδες. Τότε δεν είναι απαραίτητο ότι θα ισχύει MO(f) = max{mo(g 1 ), MO(g 2 )} Διαίρεση στο δακτύλιο F (x 1,..., x ν ). Αν f(x 1,..., x ν ) F (x 1,..., x ν ), όπου F σώμα και (f 1, f 2,..., f ν ) μια διατεταγμένη κ-άδα στοιχείων του F (x 1,..., x ν ). Τότε ο αλγόριθμος της διαίρεσης δίνει f(x 1,..., x ν ) = α 1 (x 1,..., x ν )f 1 (x 1,..., x ν ) + + α ν (x 1,..., x ν )f ν (x 1,..., x ν ) + υ(x 1,..., x ν ). Κάθε ιδεώδες μονωνύμων είναι πεπερασμένα παραγόμενο. Θεώρημα 7.1.12. (βάσης του Hilbert) Κάθε ιδεώδες I F (x 1,,..., x ν ) είναι πεπερασμένα παραγόμενο. Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους I F (x 1,..., x ν ). Τα βήματα τα οποία πρέπει να ακολουθήσουμε για να βρούμε μια βάση Groebner έιναι τα εξής : Βρίσκουμε το σύνολο {Μ.Ο.(f),f I}. Θεωρούμε το ιδεώδες M.O.(f), f I. Το {Μ.Ο.(f),f I} είναι πεπερασμένα παραγόμενο διότι είναι ιδεώδες μονωνύμων, άρα M.O.(f), f I = M.O.(g 1 ), M.O.(g 2 ),..., M.O.(g κ ), όπου g 1, g 2,..., g κ I. Το σύνολο G = {g 1, g 2,..., g κ } λέγεται βάση Groebner του I. (Υποτίθεται οτι ακόμα δε γνωρίζουμε αλγόριθμο εύρεσης μιας βάσης Groebner, αλλά γνωρίζουμε οτι υπάρχει.)

7.1. ΙΔΕΩΔΗ ΜΟΝΟΝΥΜΩΝ 55 Για ένα τυχαίο f I, η διαίρεσή του με δύο διαφορετικά πολυώνυμα g 1 και g 2 δίνει διαφορετικό υπόλοιπο από εκείνο της διαίρεσης με τα ίδια πολυώνυμα, αλλά με αντίστροφη σειρά, δηλαδή g 2 και g 1. Εστω G = {g 1, g 2,..., g κ } μια βάση Groebner ενός ιδεώδους I F (x 1,..., x ν ), f F (x 1,..., x ν ) και υ 1 (x 1,,..., x ν ), υ 2 (x 1,,..., x ν ) τα υπόλοιπα της διαίρεσης του f με το {g 1, g 2,..., g κ }, ενδεχομένως αλλάζοντας τη διάταξη, π.χ. {g 2, g 1,..., g κ }. Τότε υ 1 = υ 2. Απόδειξη Εστω υ 1 υ 2 = 0, τότε ισχύει το ζητούμενο. Εαν όμως θεωρήσουμε ότι υ 1 υ 2 0, τότε η διαφορα υ 1 υ 2 αποτελεί συνδυασμό των {g 2, g 1,..., g κ } και άρα έχουμε υ 1 υ 2 g 2, g 1,..., g κ. Αλλα το σύνολο {g 2, g 1,..., g κ } είναι μια βάση Groebner του I. Ετσι ο μεγιστοβάθμιος όρος του υ 1 υ 2 (αν υ 1 υ 2 0) διαιρείται από τουλάχιστον ένα μέγιστο όρο από τα g 2, g 1,..., g κ. ΑΤΟΠΟ από τον ορισμό της βάσης Groebner. Υπάρχει αλγόριθμος ο οποίος αποφαίνεται εάν το f F (x 1,..., x ν ) ανήκει ή όχι στο ιδεώδες I F (x 1,..., x ν ), ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα : (α) Ο αλγόριθμος βρίσκει μια βάση Groebner (β) Διαιρούμε το f δια {g 2, g 1,..., g κ } (γ) f I το υπόλοιπο της διαίρεσης του f δια {g 2, g 1,..., g κ } είναι 0. (Στα (β) και (γ) δεν μας ενδιαφέρει η σειρά των g 2, g 1,..., g κ.) Συμβολισμός Το υπόλοιπο του f F [x 1,..., x ν ] δια του διατεταγμένου συνόλου A = {f 1 (x), f 2 (x),..., f µ (x)}, το συμβολίζουμε F A. Ιδιαίτερα αν A = G = {g 2, g 1,..., g κ }, τότε το συμβολίζουμε με F G και το G δε χρειάζεται να είναι διατεταγμένο. Σημείωση 2. Εστω το ιδεώδες I F (x 1,..., x ν ). Τότε ορίζεται καλά ο δακτύλιος πηλίκο F [x 1,..., x ν ]I. Θεώρημα 7.1.13. Εστω f 1 (x 1,,..., x ν ) = 0, f 2 (x 1,,..., x ν ) = 0,..., f µ (x 1,,..., x ν ) = 0 ένα σύστημα μ πολυωνυμικών εξισώσεων με ν μεταβλητες και I = f 1, f 2,..., f µ F [x 1,..., x ν ]. Το σύστημα έχει πεπερασμένες λύσεις dim F [x 1,..., x ν ]I <. Κάθε στοιχείο του δακτυλίου πηλίκου F (x 1,..., x ν )I είναι σε 1-1 και επί αντιστοιχία με τα υπόλοιπα F G, όπου G μια βάση Groebner.

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΒΑΣΕΙΣ GROEBNER Ι Απόδειξη Κάθε στοιχείο του F (x 1,..., x ν )I είναι της μορφής f +I. Ορίζουμε f +I F G. Η αντιστοίχια είναι 1-1 και επί. Εστω f(x) F (x) μη σταθερό πολυώνυμο νιοστού βαθμού και I = f. Τότε F [x]i είναι το σύνολο των πολυωνύμων βαθμού ν 1. Τα μονώνυμα 1, x,, x 3,..., x ν 1 είναι γραμμικά ανεξάρτητα, άρα dim F F [x]i = ν. Λήμμα 7.1.14. Εστω F [x 1,..., x ν ] ο δακτύλιος των πολυωνύμων με ν μεταβητές, I ιδεώδες και G = {g 1, g 2,..., g κ } μια βάση Groebner του I. Επίσης M.O.(g 1 ) M.O.(g 2 ),..., M.O.(g κ ). Τότε το σύνολο {g 2,..., g κ } αποτελεί μια βάση Groebner του I. Απόδειξη Εχουμε ότι M.O.(g 2 ),..., M.O.(g κ ) = M.O.(g 1 ), M.O.(g 2 ),..., M.O.(g κ ). Επιπλέον I = g 2,..., g κ. Πράγματι έστω g 1 = α 2 g 2 + + α κ g κ + υ, τότε υ I και δε διαιρείται ο M.O.(υ) από κανένα από τα M.O.(g 2,..., g κ ), άρα υ = 0 από τον αλγοριθμο της διαίρεσης. 7.2 Ασκήσεις 1. Να χρησιμοποιήσετε όποιο υπολογιστικό πακέτο θέλετε και να βρείτε μία βάση Groebner του ιδεώδους < f(x, y) = + (α + 1)xy + x, g(x, y) = (β + 1) x, h(x, y) = y x > 2. Βρείτε μία βάση Groebner του ιδεώδους < (α + β + 1)x 5 x, 3x + 2 >. Είναι αναμενόμενο αυτό που βρήκατε; 3. Βρείτε μία βάση Groebner του ιδεώδους < (α + 1)x + 2y + 3z, (β + 1)x + 5y + 6z, (γ + 1)x + 8y + 9z > 4. Να σχολιάσετε τα ευρήματά σας στα ερωτήματα 1) 2) και 3)

Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Ράπτης Ευάγγελος, 2014. Ράπτης Ευάγγελος. «Υπολογιστική άλγεβρα. Ενότητα 7: Βάσεις Groebner I». Έκδοση: 1.0. Αθήνα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://opencourses.uoa.gr/courses/math14/. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.