Lektsiya tekstleri (60 saat lektsiya)

U ZBEKSTAN RESPUBLIKASI JOQARI HA M ORTA ARNAWLI BILIMLENDIRIW MINISTIRLIGI BERDAQ ATINDAGI QARAQALPAQ MA MLEKETLIK UNIBERSINETI A meliy matematika ha m informatika kafedrasi A meliy matematika ka nigeligi 1- kurs studentleri ushin Pogrammalastiriw tiykarlari pa ninen Lektsiya tekstleri (60 saat lektsiya) Taiyarlagan : I. Narimbetov No kis -2006/07 1

Lektsiya 1 Pa nge kirisiw: EEM nin jaratılıw tariyxı, qollanıw tarawları Reja: 1. EHM ning yaratilish tarihi 2. EHM qullanish sohalari 3. EHM avlodlari Bundan sal kam 60 yil muqaddam paydo bulgan elektron hisoblash mashinalari(ehm) insoniyat tarihida bilim va imkoniyatlarning yangi sahifasini oshdiki, buning oqibatida minglab hisoblovshilar ishini osonlashtirdi, olimlarning mehnat samaradorligini misli kurilmagan darajada yuqori kutardi, murakkab jarayonlarni urganishga imkon yaratdi. Hozirda xalq- hujaligining biror sohasi yuqki EHM qullanilmasin, undan tashqari fan va tehnikaning shunday sohalari borki ular EHMsiz rivojlana olmaydi. Agarda EHMning nomiga qarasak u holda, uylash mumkinki, unda faqat hisoblash mumkin. Lekin bunday emas. EHM lar son kurinishidan farqli turli ma lumotlarni ham qayta ishlashi mumkin. EHM yordamida masalan, samolyotlarning ushish jadvalini tuzishi yoki samolyot shiptalarini sotishi mumkin. Ular katta kutubhonalarda qullanib, kerakli kitob yoki oynomani izlashda va nushasini olishda qullanilmoqda. Mahsus programmalar sizga shet tilini urganishga yordam berishi eki sizning kasalinizga tashhez quyishi mumkin. EHM yordamida musiqa yozish, multiplikatsiya filmlarini suratga olish mumkin yoki kompyuter siz bilan shohmot yoki boshqa uyinlarni uynashi mumkin. Hozirgi paytdagi hamma kompyuterlar elektronli hisoblanadi. Lekin eng birinshi kompyuter mehaniq tarzda bulgan. Mehaniq kompyuterning loyihasini 1644 yilda Angliyada ser Bebbij tomonidan yaratilgan, lekin u uz loyihasini amalga oshira olmay qashshoqlikda vafot etgan. Tarihan qisqa vaqt mobaynida EHMning turt avlodi yaratilib, beshinshi va oltinshi avlod mashinalari loyihalashtirilmoqda. EHMlarni avlodlarga ajratish ularni yaratishda nimalarga asoslanganligi, qanday tuzilganligi, tehnik tavsifnomalari, foydalanuvshilar ushun qulayligi va boshqa tomonlari bilan farqlanadi. Birinshi elektron kompyuter 1946 yilda AQSHning Pensilvan universitetida yaratilgan. Bu EHM ENIAS(Elestronis Numerisal Integrator And Salsulator) deb nomlangan. Bu kompyuter juda katta bulib, uni bir joydan ikkinshi joyga kushirish mumkin bulmagan. ENIAS(ENIAK)ning og irligi 30 tonna, 150 metr kvadrat honani egallagan va 18 ming dona elektron lampaga ega bulgan hamda sekundiga 5000 amalni bajargan. Elektron lampalarga asoslangan kompyuterlar EHMning birinshi avlod kompyuterlari deb nomlanadi. Ularga ENIAK, EDVAK, EDSAK, SEAK, BINAK, UNIVAK kompyuterlari, sobiq ittifoqda esa MESM, BESM-1, BESM-2, STRELA, MINSK, URAL va boshqalar kiradi. 1955 yildan boshlab EHMning ikkinshi avlod kompyuterlari yaratila boshlandi. Ularda elektron lampalar urniga yarim utkazgish-tranzistorlar qullanila boshlandi. Bu EHMlarning ulshami kishikroq bulib kam elektr energiya talab qilib tezligi esa sekundiga bir nesha un ming amal bajarar edi. usha paytlardan boshlab programmalashtirish tillari ishlatila boshlandi. 60 yillarning ohirlariga kelib tranzistorlar urniga integral shemalardan keng kulamda foydalanila boshlandi. Integral shema(is)- bu unshalik katta bulmagan yarim utkazgishli kristallardan iborat bulib, u bir nesha yuz, hattoki minglab tranzistorlardan tashkil topgan buladi. ISga asoslangan kompyuterlar - EHMning ushinshi avlod kompyuterlari deb nomlanadi. Bu kompyuterlar hotirasining kattaligi va hisoblash tezligining yuqoriligi bilan ajralib turadi. Hozirgi zamonaviy EHMlar, hususan shahsiy EHMlar, turtinshi avlod kompyuterlari hisoblanadi. Bu kompyuterlarning asosiy elementi mikroprotsessor va katta integral shema(kis). KISlar ham yarim utkazgishli kristal bulib, lekin ular bir nesha yuz ming tranzistorlarni uz ishiga oladi. Hozirgi kunda beshinshi avlod mashinalarini ishlab shiqish ustida katta ishlar qilinyapti. Ayniqsa, bu sohada YAponiyada professor Moto-Oka boshshiligidagi olimlar yaratgan beshinshi avlod mashinalarining loyihasi diqqatga sazovordir. Agarda bunday EHMlar yaratilsa, unga suzlar orqali masalani tushuntirish mumkin. EHM esa masalani eshish va programmasini tuzishni uzi bajaradi. Oltinshi avlod EHMlari inson miyasining ishlash printsiplarini modellashtirishning sun iy neyron g oyasiga asoslangan bulib, ularni neyrokompyuterlar deb atashadi. Hozirgi paytda bunday kompyuterlarning tajriba namunalari mavjuddir. Savol va topshiriqlar 1. Birinshi elektron kompyuter qashon va kaerda yaratilgan? 2. Birinshi avlod mashinalari qashon yaratilgan va ularga qanday EHM lar tegishli bulgan? 3. Ikkinshi va ushinshi avlod mashinalari qashon yaratilgan va ularga qanday EHM lar tegishli bulgan? 4. Katta integral shemalar qaysi EHM larda qullanilib boshlagan? 2

Ma ruza 2 Sanaq sistemalarы. Bir sanaq sistemasыnan basqasыna o tiw Esaplaw mashinalarыnыn du zilisi ha m olarda programmalastыrыw sanaq sistemalarы menen tыg ыz baylanыslы. Bar bolg an sanaq sistemalarыn sha rtli tu rde eki toparg a ajыratыw mu mkin: Orыnlы (pozitsiyalыq) ha m orыnsыz (pozitsiyalыq emes) sanaq sistemalarы. Orыnlы sanaq sistemasыnda tsifr o zinin sandag ы turg an ornыna qarap ha r-qыylы ma nisti an latsa, orыnsыz sanaq sistemasыnda tsifrdыn ma nisi onыn sandag ы tutqan ornыna baylanыslы emes. Ulыwma qa legen R sanaq sistemasыndag ы tsifrlar sanы R bolыp, olar 0 menen R-1 arasыnda boladы ha m R usы sanaq sistemasыnыn tiykarы dep ataladы. Barlыq orыnlы sanaq sistemalarыnda 0 ha m 1 tsifrы bar bolg anlыg ы ushыn bul sistemalardыn tiykarы sыpatыnda 10 sanы alыng an. Ulыwma, onlыq sanaq sistemasыnda berilgen qa legen H sanыn tsifrlar izbe-izligi ja rdeminde to mendegishe jazыw mu mkin: anan 1... a1a0, a 1a 2... a m; Bul to mendegi an latpanыn qыsqasha jazыlыwы: a n 10 n n 1 1 0 1 2 + an 110 +... + a110 + a010 + a 110 + a 210 +... + a Bunda 0 a i 9 boladы. Basqa sanaq sistemalarыnda da bul kag ыyda tiykar qыlыp alыng an bolыp, qa legen R sanaq sistemasыndag ы H sanыn: = to mendegishe jazыw mu mkin: X anan... a1a0, a 1a 2... a n n X = a P + a P ; 1 m 1 1 0 1 2 n n 1 +... + a1p + a0p + a 1P + a 2P +... + Bul jerde 0 a i P 1 boladы. a) Orыnlы R sanaq sistemasыnda H pu tin san berilgen bolsыn. Bul sandы tiykarы Q bolg an sanaq sistemasыna o tkeriw talap etilsin. H sanыnыn Q sanaq sistemasыndag ы ko rinisi to mendegishe bolsыn: X = qnqn 1... q1q0; Bul jerde 0 q i Q. Eger biz barlыq q i lerdi anыqlasaq, bul jag dayda H sanыnыn Q sanaq sistemasыndag ы ko rinisin tapqan bolamыz. q i tsifrlarыn tabыw protsessi bir sanaq sistemasыnan ekinshi sanaq sistemasыna o tiw dep ataladы. q lerdi tabыw ushыn H sanыn to mendegishe jazыp alamыz: i X = q n n 1 n Q + qn 1Q 1 + q 1 +... + q Q 0; H tы o tkeriletug ыn sanaq sistemasыnыn tiykarыna bo lemiz: X n 1 n 2 q0 = qn Q + qn 1Q +... + q1 + ; Q Q Bul jerde q 0 sanы H/Q dыn qaldыg ыnan ibarat bolыp, H sanыnыn en shetki on tsifrыn beredi. Tiyindinin pu tin bo legin H 1 menen belgileymiz. Endi H 1 di Q g a bo lsek, X 1 n 2 n 3 q1 = qn Q + qn 1Q +... + q2 + ; Q Q payda boladы. Bul sannыn qaldыg ы q 1 bolыp, ol izlenip atыrg an sannыn ekinshi tsifrыn beredi. Payda bolg an sannыn pu tin bo legin H 2 dep belgileymiz: n 2 n 3 X 2 = qn Q + qn 1Q +... + q2; Onы Q g a bo lip, H tыn gezektegi tsifrыn tabamыz. Bul protsessti izbe-iz dawam ettirip, barlыq izlenip atыrg an tsifrlardы anыqlaw mu mkin. Sanaq sistemalarы arasыnda to mendegi baylanыstы keltireyik: On 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B S D E R 10 altыlыq Onlыq 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Segizlik 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 Ekilik 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 m a m 10 P m m ; ; 3

1. Mыsal: X = 12510 sanыn 8 lik sanaq sistemasыna o tkeriw talap etilsin. Demek bul jag dayda R=10, Q=8. Joqarыda aytqanыmыzday, a meller onlыq sanaq sistemasыnda orыnlanadы. 1-adыm. 125 8-8 15 45-40 5 Demek, birinshi adыmda qaldыq q 0 =5 ha m tiyindinin pu tin bo legi H 1 =15. 2-adыm. 15 8-8 1 7 Bul jag dayda qaldыq q 1 =7 ha m tiyindi H 2 =1. 3-adыm. 1 8-0 0 1 Demek, q 2 =1 ha m X 3 =0. X = qnqn 1... q1q0 g a tiykarlanыp X = q2q1q0. Demek, H=175 8 eken. 2. Mыsal. H=0.15 10 sanыn 2 lik sanaq sistemasыna o tkeriw talap etilsin. Demek bul jag dayda R=10, Q=2. Joqarыda aytqanыmыzday, a meller onlыq sanaq sistemasыnda orыnlanadы 0 15 x 2 0 30 x 2 0 60 x 2 1 20 x 2 0 40 x 2 0 80 x 2 1 60 0,15 10 =X 2 =(0,001001 ) 2 TAPSЫRMALAR. Berilgen tapsыrmalardыn a) berilgen sanaq sistemasыndag ы sandы ko rsetilgen sanaq sistemasыna o tkerin. b) ko rsetilgen a mellerdi orыnlan. Ma ruza 3 Masalalarni EHMda echish bosqichlari EHM bilan bevosita ishlashdan oldin qanday bosqichlarni bajarish kerakligin kurib chiqamiz. Istalgan hayyotiy yoki matematik, fizik va hokazo masala shartlarni tasvirlashdan ifoda kilish dastlabki ma lumatlar va fikrlarni tasvirlashdan boshlanadi va ular qat iy ta riflangan matematik yoki fizik va hokazo tushunchalar tilida bayon qilinadi. Sungra echishning maqsadi, ya ni masalani echish natijasida ayni nimani yoki nimalarni aniqlash zarurligi kursatiladi. Masala shartning aniq ifodasi masalaning matematik (fizik va hakazo) quyilishi deb ham ataladi va istalgan masalani echish Eng avval uning quyilishidan boshlanadi. Masalaning quyilishida boshlang ich ma lumotlar yoki argumentlar hamda qiymatlari aniqlanishi kerak bwlgan kattaliklar, ya ni natijalar ajratiladi. Masalani quyish uni echishing birinshi bosqichi bwladi. 4

Bunga turli-tuman misollar keltirish mumkin : 1. Tomonlarining uzunligi ma lum bulgan tug ri turtburchakning юzi hisoblansin. 2. Bosib utilgan yul va ketgan vaqt ma lum bulgan bulsa, yulovchining tezligi aniqlansin. 3. Mashhur Pifagordan surashdi: Sizning maktabingizda nechta wquvchi qatnashadi va suhbatinizni tinglaydi? Pifagor javob berdi: Mening wquvchilarimning yarmi matematikani urganadi, choragi musikani urganadi, ettidan biri jimgina fikrlaydi, qolgani Esa 3 ta. Pifagor maktabida nechta wquvchi bwlgan? 4. SHahmat tahtasining kataklaridan bir katakka qayta юrmaslik sharti bilan, ot bilan юrib uting. 5. Wtloqdagi qwylarning sakkizdan birining kvadrati utlayotgan, qolgan 12 tasi yotgan bwlsa, hammasi bulib nechta quy bor? Modelni haqiqiy ob ektga moslik darajasi amaliyotda tajriba orqali tekshiriladi. Tajriyba qurilgan modelni boholash va lozim bulgan holda uni aniqlashtirish imkoni beradi. Bu boskich masalalarni EHMda echishning ikkinchi boskichini tashkil Etadi. SHuni ta kidlash lozimki, har doim ham quyilgan masalaning matematik modelini yaratib bulavermaydi. Юqorida keltirilgan masalalarning matematik modellarini tuzamiz Birinchi masala uchun matematik modelь S=a*b Kurinishdagi formuladan iborat. Bunda boshlang ich ma lumotlar tomonlar uzunligi a va b bulsa, natija tug ri turtburchakning юzi S dan iboratdir. Ikkinchi masala uchun bosib utilgan yulni s, ketgan vaqtni t dep belgilasak, yulovchining tezligi v fizika kursidan ma lum bulgan V=s/ t Matematik modelь bilan ifodalanadi. Bunda s va t boshlang ich ma lumot, V Esa natijadir. Uchinchi masalada h deb uquvchilar sonini belgilasak, u x/2+x/4+x/7+3=x eki 3h-84=0 Kurinishdagi chiziqli tenglamaga keladi. Bu erda 3 va 84 boshlanlang ich ma lumotlarni, h Esa natijani ifodolaydi. Turtinchi masala uchun oshkor kurinishidagi matematik modelь mavjud Emas, shuning uchun ham bu masalani echishda birinchi boskichdan keiyn, tug ridan-tug ri uchinchi boskichga utish mumkin. Beshinchi masalada h ni barcha quylarining soni deb belgilasak, uni topish x-(x/8) 2 =12 Kurinishdagi kvadrat tenglamani echishna keladi. Umuman bu kabi masalalar ah 2 +bh+s=0 Kvadrat tenglama shaklidagi matematik modelь bilan ifodalanadi. Bunda a,b,s lar boshlang ich ma lumot bulsa. x(x 1,x 2 ) natija buladi. Masalaning matematik modeli yaratilgandansung, uni echish usuli izlana boshlanadi. Ayrim hollarda masalaning quyilishidan keyin tug ridan-tug ri, masalani echish usuliga ham utish kerak buladi. Bunday masalalar oshkor kurinishdagi matematik modelь bilan ifodalanmasligi mumkin. Bu boskich masalalarni EHM da echishning uchinchi boskichini tashqil qiladi. Bunga misol qilib юqorida keltirilgan matematik modellarning echish usullarini keltirish mumkin. Ular (1,2.3.5.-masalalar) mbilan siz matematika kursidan tanыshsыz. 4-masala uchun echish usuli nima yoki qanday bulishi mumkin. SHahmatdan habardor har-bir kishiga ma lumki, shahmat tahtasining ihtiyoriy katagida turgan otni юqoridagi shart asosida har doim ham юrish mumkin Emas. Hamma kataklardan utishning yagona usuli mavjud va u quyidagidan iborat: Faraz qilaylik, ot shahmat tahtasining ihtieriy bir katagida turibdi.umuman olganda bu katakdan boshqa 8 ta katakka юrish mumkin. Юrilishi mumkin bulgan bu kataklarning har biridan ham yana nechadir kataklarga юrish mumkin. Mana shu mumkin bulgan юrishlarning Eng kemini tanlash kerak, agar ular bir qancha bulsa, ihtieriy bittasini tanlash mumkin. Demak, otni shunday bir kataklar sonieng kam bulsin. Faqat va faqat shu usul bilan quyilgan masalani hal qilish mumkin. Navbatdagi boskichda, ya ni turtinchi boskichda, masalani EHMdan foydalanib echish uchun uning echish algoritmi tuziladi. Algoritmni turli-tuman kurinishda ezish mumkin. Informatika kursining asosiy vazifalaridan biri ham algoritm tuzish usullarini urganishdan iboratdir. Bu jaraenda talabalarda, ukuvchilarda masalani echishning algoritmlik usuli, ya ni algoritmik fikrlash usuli vujudga keladi. Algoritmning EHMda bajarilishi uchun algoritm dasturlash tilida ezilgan bolishi lozim. Masalani echishing bu boskichi beshinchi bosqich bwlib, unda biror bir usulda yozilgan algoritm ma lum bir dasturlash tiliga kuchiriladi. Masalan, agar algoritm blok shema kurinishida tasvirlangan bulsa, uni dasturlash tiliga kuchirish uchun har bir blokni tilning mos buyriqlari bilan almashtrish etarli. 5

Oltinchi boskich- dastur kurinishida ezilgan algoritmni EHM erdamida bajarish. Bu boskich natija olish bilan tugallanadi. CHunki dastruni mashina hotirasiga kiritishda ayrim hatoliklarga yul quyish mumkin. SHuning uchun dasturni EHM hotirasiga kiritishda juda Ehtiet bulish kerak. Nihoyat, masalani echishning yakunlovchi ettinchi bosqichi olingan natijalarni tahlil qilishdir. Bu bosqich olingan natijalar qanchalik haqiykatga yaqinligi aniqlash maqsadida bajariladi. Natijalarni tahlil qilish, zarur bulgan hollarda algoritmni, echish usulini va modelni aniqlashtirishga erdam beradi. SHunday qilib, biz masalalarni EHM yordamida echish bosqichlari bilan tanishib wtdik. SHuni ta kidlash kerakki, har doim ham bu bosqichlar bir- biridan yaqqol ajralgan holda bulmagan, bir-biriga qushilib ketgan bulishi ham mumkin Ma ruza 4 Algoritm ha m onыn qa siyetleri beriliw usыllarы Sonday etip, EEMge tapsыrыq tayarlag anda esaplaw protsessin yamasa EEMde orыnlanatug ыn qa legen basqa a meller izbe- izligi anыq ha m tolыq harakterlew za ru rligi payda boladы. A ne usы harakter sheshiw algoritmi menen beriledi. Ma seleni sheshiw algoritmin izlew, islep shыg arыw ha m harakterlew algoritmlestiriw dep ataladы. Algoritm so zi ha m tu sinigi IX a sirde jasap o tken ullы alloma Muhammed al-horezmiy atы menen baylanыslы. Algoritm so zi Al-Horazmiy atыn Evropa alыmlarы ta repinen buzыb awdarma qыlыwdan ju zege kelgen. Al-Horazmiy birinshi bolыp onlыq sanaq sistemasыnыn printsiplerin ha m ondag ы to rt a meldi orыnlaw qag ыydalarыn tiykarlap bergen. Algoritm degande bazыbir maqsetke erisiwge yamasa berilgen tu rdegi qa legen ma selenin sheshiliwin ta miyinleytuqыn ko rsetpelerdin (buyrыqlardыn ) anыq, tu sinerli, shekli ha mde tolыq sistemasы tu siniledi. Algoritmnin bes tiykarg ы qa siyeti bar. 1. Diskretlilik. Bul qa siyettin ayыrmashыlыg ы algoritmlerdi ba rqulla shekli qa demlerden ibarat qыlыp bo leklew imkaniyatыnыn barlыg ыnda, yag nыy onы shekli sandag ы a piwayы ko rsetpeler izbeizligi formasыnda an latыladы. 2. Tu sinerlilik. Algoritm onы ijra qыlыwshыsыna (adam yamasa mashinag a) tu sinerli mazmunda bolыwы sha rt, keri jag dayda ijrashы a piwayы jag dayda a meldi de orыnlay almawы mu mkin. A dette ha r bir ijrashыnыn (tuwrыrag ы olardыn tu rlerinin ) orыnlawы mu mkin bolg an ko rsetpeler yamasa buyrыqlar toplamы bar, ol ijrashыnыn ko rsetpeler sistemasы dep ataladы. Demek, ijrashы ushыn berilip atыrg an ha r bir ko rsetpe ijrashыnыn ko rsetpeler sistemasыna tiyisli bolыwы kerek. 3. Anыqlыlыq. Ijrashыg a berilip atыrg an ko rsetpeler anыq mazmunda bolыwы za ru r. Sebebi ko rsetpedegi anыq emeslikler tiykarg ы maqsetke alыp kelmeydi. 4. G alabalыlыq. Usы qa siyetti berilgen algoritmnin baslang ыsh mag lыwmatlarыnыn ruhsat etilgen ыhtыyarыy ma nislerine jaraqlыlыg ыn an latadы. Basqasha aytqanda, algoritm bazыbir klasqa tiyisli ma selelerdi sheshiwge tiykarlang an bolыwы ha m baslang ыsh mag lыwmatlardы o zgertiw arqalы usы klassqa tiyisli tu rli ma selelerdi sheshiwi kerek. 5. Na tiyjelilik. Ha r bir algoritm shekli sandag ы adыmlardan son a lbette na iyje beriwi sha rt. Eger qaralыp atыrыlg an protsess sheksiz dawam etip na tiyje bermese, onы algoritm dep atay almaymыz. Ma ruza 5,6 Algoritmnin beriliw usыllarы. Blok shema tu sinig ha m onыn Elementleri Algoritmnin beriliw usыllarы ha r qыylы, biz bulardan en ko p ushыraytug ыnlarы menen tanыsamыz. 1.Algoritmnin so zler arqalы an latыlыwы. Bunda ijrashы ushыn beriletug ыn ha r bir ko rsetpe ta biyiy til jumlalarы arqalы buyrыq mazmunыnda beriledi. 2.Algoritmnin formulalar arqali beriliwi. Algoritm matematikalыq (esaplaw) formulalar sistemasы arqalы beriliwi mu mkin. A detde bul usыldan matematika, fizika, himiya sыyaqlы anыq pa nlerdi u yreniwde ko plep paydalanamыz. 3.Algoritmnin tablitsa ko rinisinde beriliwi. Ma selen, mektepte qollanыlatug ыn to rt hanalы matematikalыq tablitsalar yamasa lotereyalardыn utыslar tablitsalarы. 4.Algoritmnin programma formasыnda an latыlыwы. Algoritmnin programmma formasыnda an latыlыwы menen Ma ruzamыzdыn keyingi bo limlerinde tolыg ыraq tanыsamыz. 5.Algoritmnin arnawlы tilde su wretleniwi. Bunday tillerdi algoritmlik tiller deymiz ha m onda algoritmdi bir qыylы ko riniste ha m anыq an latыw, orыnlaw ushыn qollanыlatug ыn belgilew ha m qag ыydalar tiykarыnda jazыw mu mkin. 6

6.Algoritmlerdin grafikalыq formada su wretleniwi. Algoritmnin bul formasы bizge aldыnnan belgili, sonlыqtan matematika kursыnda sыzыlg an grafiklerdin ko pshiligi algoritmnin grafikalыq usыlda beriliwine mыsal boladы. A melde qollanыlatug ыn algoritmlik tillerdin ko pshiligi algoritmlerdi jazыwdыn formulasыz usыlыna ju da jaqыn. Bunda bir bo lim ko rsetpeler matematikalыq formulalar ja rdeminde basqa bo legi a piwayы so zler ja rdeminde beriledi. Ma selen, to mende berilgen eki natural m ha m n sanlarыnыn en u lken ulыwma bo liwshisin (EU UB) tabыwdыn algoritmi adыmlarы keltirilgen: 1. A=n, B=m. 2. Eger A=B bolsa, bul jag dayda 5- adыmg a o tilsin. 3. Eger A>B bolsa, bul jag dayda A=A-B, keri jag dayda B=B-A dep alыnsыn. 4. 2-adыmg a o tilsin. 5. EU UB=A ha m esaplaw toqtatыlsыn. Algoritm swzlar, matematik formulalar, algoritmlik tillar, geometrik shemalar, programmalash tillari va boshqalar yordamida tavsiflanadi. Algoritmning swzlar erdamida berilishiga, tavsiflanishiga misol tariqasida liftda kerakli qavatga kutarilish algoritmini keltirish mumkin. Bu quyidagicha ketma- ketlikda bajariladi: 1. Liftga kiring. 2. Kerakli kavat tartib soniga mos tugmachani bosing. 3. Liftni harakatga keltiring. 4. Lift tuhtashini kuting. 5. Lift Eshigi ochilgandan keyin undan chiqing. Algoritm matematik formulalar yordamida tavsiflanganda har bir qadam aniq formulalar erdamida eziladi. ah 2 +bh+s=0 (a nolьga teng Emas) Kvadrat tenglama echimlari h 1, h 2 ni aniqlash algoritmini kurib chiqaylik. 1. a,b,s koeffitsientlar qiymatlari berilsin. 2. D=b 2-4as diskriminant hisoblansin. 3. D<0 bulsa,tenglamaning haqiyqiy echimlari yuq. Faqat haqiyqiy ildizlar izlayonatgan bulsa, masala hal buldi. 4. D=0 bulsa, tenglama ikkita bir-biriga teng, ya ni karrali echimga Ega buladi va ular h 1 =h 2 =-b/2a 5. d>0,bulsa, tenglama ikkita haqiyqiy echimga Ega, ular x 1 =(-b- d)/2a, x 2 =(-b+ d)/2a Formulalar bilan hisoblanadi. YAna masala hal bwldi. SHunday qilib, kvadrat tenglama haqiyqiy echimlarini aniqlashda: 1. «Tenglamaning haqiyqiy echimlari yuq» matni; 2. «Tenglama karrali echimga Ega h 1 =h 2 =» matni va h 1, h 2 qiymatlari natiyjalar buladi. 3. «Tenglama ikkita echimga Ega» matni, h 1, h 2 q iymatlari natijalar buladi. Algoritmlik tillar algoritmni bir ma noli tavsisflash imkonini beradigan belgilar va qoidalar majmuidir. Har qanday tillardagidek ular ham wz alifbosi, sintaksisi semantikasi bilan aniqlanadi. Bizga urta maktabdan ma lum bulgan, akademik A.P.Ershov rahbarligida yaratilgan, EHMsiz algoritmlashga muljallangan algoritmlik tizim algoritmik tilning namunasidir. Algoritmik tilga misol sifatida yana algoritmlarni belgili operatorlar tizimi shaklida tavsiflashni ham kursatish mumkin. Bu tillar odattagi tilga yaqin bulib, EHMda bevosita bajarishga muljajallangan. Ulardan maqsad algoritmni oson qilib ezishldir. Algoritmlarni geometrik shemalar yordamida tavsiflash kurgazmali, shu sababli tushunarliroq bulgani uchun kup qullaniladi. Bunda har bir uziga hos operatsiya alohida geometrik shakl (blok) bilan tavsiflanadi va ularning bajarilish tartibi, ular orasidagi ma lumotlar uzatilishi va yulanishi bloklarni bir-biri bilan kursatkichli tug ri chiziqlar erdamida tutushtirib kursatiladi. Algoritmning geometrik shemasiga uning blok- shemasi deyiladi. Bloklarga mos geometrik shakllar, ularning ulchamlari va ular erdamida blok- shemalarni chizish qoidalari davlat standartlarida (GOST 19003-80, GOST 19002-80) berilgan. 2.1- jadvalda Eng kup ishlatiladigan bloklar shakli va ularning ma nosi keltirilgan. Bu davlat standartlariga kura bloklarni tutashturuvchi tug ri chiziqlar yozuv tekisligiga vertikalь eki gorizontal holatda bulishi kerak, ya ni ularni og ma chiziqlar bilan tutashtirish taqiqlanadi. Bloklarni bajarish tabiiy yozish tartibida bulsa, ya ni юqoridan pastga yoki chapdan ungga bwlsa, tutashtiruvchi chiziq kursatkichsiz bwlishi mumkin. Boshqa barcha hollarda ma lumot oqimi yunalishini kwrsatuvchi kwrsatkich quyilishi shart. Blokning tartib soni tutashtruvchi chiziqdan chapga, alohida ajratilgan bush joyga quyiladi. CHiziqlarning 7

birlashgan joyi yirikroq nuqta erdamida kwsatiladi. Blokda kwzda tutilgan operatsiya uning ichiga ezib quyiladi. Shemalar GOST 2.301-68 davlat standarti formatlarida bajariladi. Amalda echiladigan masalalar va demak, algoritmlar turlari ham juda kup bulishiga qaramastan ular asosan besh hil: chiziqli, tarmaqlonuvchi tsiklik, iteratsion va cheksiz takrorlanuvchi tuzilishlarda buladi deb aytish mumkin. Agar murakkab masalalar algoritmining blok-shemasini bir bino desak, bu tuzilishdagi algoritmlar uni tashkil qiluvchi rom, g isht, tusin, ustun va boshqalarini ifodolaydi deb aytish mumkin. Har qanday murakkab bino ana shu ashyolardan qurilganidek, murakkab algoritmlar ham юqoridagidek shemalardan tuziladi. Aslida ohirgi uchta tuzilishdagi algoritmlarni bitta nom bilan takrorlash algoritmlari deb atash mumkin. Ammo ularning har biri uziga hos bulganligi uchun alohida nomlanadi. Algoritmlerdi jazыwda blok-shema dep atalыwshы arnawlы grafikalыq sa wleleniwden paydalanыw mu mkin. Blok-shemada algoritmnin ha r bir adыmы arnawlы geometriyalыq figuralar menen belgilenedi ha m onыn ishine a piwayы a meller jazыladы. Algoritmnin orыnlanыw protsessi bag ыtlawshы sыzыqlar ja rdeminde belgilenedi. To mende biz blok-shemalardыn tiykarg ы Elementleri menen tanыsamыz. - aldыn, algoritmnin baslanыwы yamasa tamamlanыwыn belgileydi. - bag ыtlawshы sыzыq, blok-shemadag ы ha reket bag ыtыn ko rsetedi. to rtmu yeshlik, ma nis beriw yamasa tiyisli ko rsetpelerdin orыnlanыw protsessin belgileydi romb, sha rt tekseriwdi belgileydi, onыn bag ыtlawshыlarы bolыp tarmaqlar boyыnsha birewi "awa" (sha rt ornыlang anda), ekinshisi"yaq"(sha rt orыnlanbag anda) ha reket bag ыtlarыn beredi. -parallelogram, mag lыwmatlardы kiritiw yamasa shыg arыwdы belgileydi. qosыmsha sыzыqlы to rtmu yeshlik, ja rdemshi algoritmdi shaqыrыwdы belgileydi. Jeke u yreniw ushыn: Qosыndы ha m ko beymenin blok-shemalarыn du ziw. A debiyatlar 1,2,5. Ma ruza 7 CHiziqli tuzilishdagi algoritmlar CHiziqli tuzulishdagi algoritmlarda kursatmalar ezilish tartibida bajariladi. Ularning blokshemalari ishga tushirish, tuhtatish, kiritish-chiqarish jaraen va avvaldan ma lum jaraen bloklari erdamida tuzilib, bir chiziq buylab ketma-ket joylashgan buladi. CHiziqli tuzilishdagi algaritmni tuzish masalani echish uchun kerak buladigan boshlangich ma lumotlarni tashqil qiluvchi uzgaruvchilar nomi, ularning turi va uzgarishkulamini aniqlashdan boshlanadi.keyn oralik va yakuniy natijalar uzgaruvichlarining nomlori, turlari va mumkin bulsa 8

uzgarish qulamini aniqlash kerak. Endi algoritm mana shu boshlang ыch qanday qayta ishlab oraliq va yakuniy natijalarni olish kerakligini aniqlashdan iborat buladi. 1-misol. Tomonlari mos ravishda a,v,s bulgan AVS uchburchak юzini hisoblash algoritmini tuzaylik. Tomonlari ma lum bulganda AVS uchburchakning S юzi S= p(p-a)(p-b)(p-s) (2.1) Geron formulasi bilan hisoblanadi. Bunda R=(a+v+s)/2 (2.2) Uchburchak yarim perimetri. 1. boshlangich ma lumotlar: a, v, s uchburchak tomonlari. SHuning uchun a,b,s R va a>0, b>0, s>0, ya ni a,b,s- uzgaruvchilar nomi; ular haqiqiy son qiymatlar qabul qiladi. Aks holda kesma uzunligi bulmagan bulardi. YAna, bu uch son uchburchak tomonlarini ifoda qilishi uchun ularning istalgan biri qolgan ikkitasi yig indisidan katta bulmasligi, ya ni a<b+s, b<a+s, s<a+b (2.3) shartlar bajarilishi kerak. SHunday qilib, uzgarish kulami (2.3) munosobotlar bilan aniqlanar ekan. 2. Natijalar: (2.1) formula bilan uchburchak юzini hisoblash uchun yarim perimetrning qiymati kerak. Demak, R uzgariuvchining qiymati oraliq ma lumot buladi. Юkoridagi shartlarda R R va R>0. YAkuniy natija: S-uchburchak юzi. U S R va S>0 qiymatlar qabul qiladi. SHunday kilib, ihtieriy AVS uchburchak юzini EHMda hisoblash va bosmaga (eki Displey Ekraniga) chiqarish: 1) a,b,s qiymatlarini EHM hotirasiga kiritish: 2) P qiymatini (2.2) formula bilan hisoblash: 3) S qiymatini (2.1) formula bilan hisoblash; 4) R va S qiymatlari bosmoga chiqarish operatsilaridan iborat buladi (2.1-rasm). Бошлаш Бошлаш a,b,s ни киритиш v,d,ν,l, Э киритиш P=(a+b+s)/2 g=9,8 R e =vd/ν S= p( p a)( p b)( p c) λ=0,11( э /d+68/r e ) 0,25 h=λlv 2 /(2dg) P,S ни чиқариш R e,λ,h ни чиқариш Тамом Тамом 2.1- rasm 2.2-rasm Har qanday algoritm blok- shemasi ishga tushirish blokidan boshlanadi. Uni EHMni ishga tayerlash, boshlang ich ma lumotlarni aniqlash va tayerlash deb tushunish kerak. Hisoblashlarning tugaganligi ana shunday geometrik shakl bilan kursatiladi. SHuning uchun rasmdagi 1-va 6 bloklar ichiga mos kelgan operatsiyalar haqida ma lumot ezib quyilgan. Boshlang ich ma lumotlarni EHMga har hil qurilmalardan kiritish mumkin. Aniq bittasini tanlab olish ish sharoitiga bog liq. SHuning uchun umumiy kiritish- chiqarish bloklaridan foydolaniladi (2-va 5-bloklar). 9

Uchunchi blokda Esa bevosita hisoblash jaraeni, turtinchi blokda Esa kvadrat ildizdan chiqarish uchun tuzilgan kichik algoritm (erdamchi algoritm) dan foydalanish- avvaldan ma lum jaraen kuzda tutilgan. Algoritm kursatmalari ezilish tartibida ketma-ket bajariladi. Ma lumotlar blokdan- blokka юqoridan pastga uzatiladi. SHuning uchun ularni tutashturuvchi chiziqlarga kursatkichlar quyilmagan. Algoritmdan foydalanuvchi boshlang ich ma lumotlarni (2.3) shartlarni bajariladigan qilib olishi kerak. Aks holda algoritmni bajarib bulmaydi. U natiyjaviylik hosasiga Ega bulmaydi. 2-misol. Uzunligi L, diametri d bulgan trubaprovoddagi suюqlining turbolent harakatida yuqotiladigan bosim h=λlv 2 / (2dg) (2.4) formula bilan hisoblanadi. Bu erda λ=0,11[ E /d+ 68/R e ] 0,25 (2.5) ulchovsiz ishqalanishga qarshilik koeffitsienti; ν-suюqlik tezligi; g- Erkin tushish tezlanishi, E - Ekvivalent silliqmaslik (g adir- budirlik); R e =νd/v (2.6) Reynolьds soni; v- kinematik epishqoqlik. Bosim yuqotilinishi aniqlash algoritmining blokshemasini tuzamiz. 1. Boshlang ich ma lumotlar: ν,d,v,l,g, E uzgaruvchilar qiymatlari. Bular musbat haqiqiy son qiymatlar qabul qiladi. Bundan tashqarig- qiymati uzgarmasdir (g= 9,8m/s 2 ). 2. Natijalar: R e - Reynolьds soni, λ- ishqalanish qarshiligi-oraliq: h- bosimning yuqotilishiyakuniy natiyjalar buladi. 3. Hisoblash tartibi: avval (2.6) formula bilan R e qiymati, (2.5) formula bilan λ qiymati, sung (2.4) formula bilan h qiymati hisoblanadi (2.2-rasm). Ma ruza 8 SHartli ifodolarni hisoblash Kwp misol va masalalarning echilishi ma lum bir shartlarning bajarilishiga bog liq buladi. Masalan, biror shartning bajarilishiga qarab ma lum ifodolarni hisoblashni quyidagicha ezish mumkin: f1( x, a, b,...), агар ϕ1( c, d,...); f 2 ( x, a, b,...), агар ϕ 2 ( c, d,...); y = (2.2)... f n ( x, a, b,...), агар акс холда. Bu erda f 1,f 2,,f n - arifmetik ifodolar, φ 1, φ 2,..., φ n-1 - shartlar. Misollar keltiraylik. I. a, агар a > b; s = b, агар a b ( акс холда) Bu misolda shartlar a>b yoki a<=b dan, f 1,f 2 Esa mos ravishda f 1 =a, f 2 =b dan iborat. II. 2 x + 2a, агар x < a; y = sin( x + a), агар x > a; 2x, акс холда. III. " хаво совук", агар t < 0; s = " хаво уртача", агар t < 20; " хаво иссик", акс холда. Bu turdagi misollarning algoritmini tuzish uchun huddi oldingi paragrafgidek, berilgan misol eki masala qaysi parametrlarining qiymatiga bog likligini aniqlab olamiz va ularni mashina hotirasiga kiritamiz. (2.2) ifoda algoritmining blok-shemasi 2.16- rasmda keltirilgan. Bundan kurinib turibdiki, y ning qiymati hosil qilish uchun oldin berilgan shartni tekshirish kerak Ekan. Ifodaning qiymatini 10

hisoblashning ushbu algoritmini umumiy blok eki bir qancha bloklar orqali ezish mumkin. 2.16 rasmdagi blok- shemadan foydalanib юqorida keltirilgan blok-shemasini tuzamiz. I misol algoritmining blok- shemasi 2.17 rasmda, II misolniki 2.18- rasda va III misol algoritmining blok- shemasi 2.19- rasmda keltirilgan. Бошланиш x,a,b,s,d,... ywq ywq... ywq Φ 1 Φ 2 Φ n-1 y=f n (...) ha ha ha y=f 1 (...) y=f 2 (...) y=f n-1 (...) 2.16- rasm Бошланиш y Тамом a,b a > b ywq S=b S ha S=a Бошланиш 2.17- rasm Endi kvadrat tenglamani echish algoritmining blok-shemasini tuzamiz. Kvadrat tenglama umumiy ax 2 +bx+s=0 kwrinishda berilgan bulsin (a 0).Ma lumki, echim quyidagi formula bilan hisoblanadi: x 1,2 b ± = 2 b 4ac 2a Бошланиш a, x x<a ywq x>a ywq y=2-x y y=x 2 +2a y=sin(x+a) 11 Тамом

ha ha 2.18- rasm Бошланиш t ywq ywq t<0 t<20 S="ҳаво иssиқ " ha ha S="ҳаво sовуқ" S="ҳаво ўрташа" S Тамом 2.19- rasm va uning qiymati diskriminant d=v 4as ning ishorsiga bog lik. Demak, echim qiymati 2a, v 4as va boshqa ifodolar buyicha hisoblash hamda d ning ishorasini tekshirish shartiga bog lik Ekan. Bu misolni echish a,v va s parametrlarning qiymati berilgan taqdidagina amalga oshiriladi. Kvadrat tenglamani echish algoritmining blok- shemasi 2.20- rasmda tasvirlagan. Ayrim hollarda murakkab misollarning natijasi shartlarni bir necha bor tekshirish yuli bilan hosil qilinadi ichma-ich joylashgan shartlar). Masalan, berilgan ihtieriy uchta a,v va s sonining Eng katassini topishda (S=max(a,b,s)) shartlar ichma ich joylashadi (2.21-rasm). Bu turdagi misollarda yahshisi ikki marta shartli ifodani ketma- ket qullash maqsadga muvofiq, ya ni ichma-ichlikdan kura ketma-ket qullash masala algoritmmini soddalashtiriladi. Юqoridagi misolda u=max(a,b) deb belgilisak, u holda S=max(u,s) buladi. 2.17-rasmda keltirilgan algoritmni ketma-ket ikki marta qullasak, natijaga Erishamiz (2.22-rasm). Бошланиш d 0 ha X 1 =(-b+ X 2 =(-b- d )/R d )/R а,b,s ywq R=2a "Ечим йўқ" х 1,х 2 D=b 2-4as 12 Тамом

2.20-rasm Бошланиш а,b,s ha ha a>b a>s S=a S Тамом ywq ywq b>s ha ywq S=s S=b 2.21- rasm Бошланиш a, b, s a>b ha y=a y>s ha S=y S ywq ywq y=b S=s Тамом 2.22- rasm Ma ruza 9 Takrorlash algoritmlari. Yig indalarni hisoblash algoritmlari Faraz qilaylik, n ta ihtiyoriy sonning S = x n 1 + x2 i= 1 +... + x n = x i (2.3) yig indisi berilgan bulsin. (2.3) formula bilan berilgan yig indining umumiyligi shundaki, agar biz (2.3) da n ni 100 bilan, h i ni i, bilan almashtirsak, 100 S = 1+ 2 +... + 100 = i kurinishdagi, yig indi, eki x i ni i 2 bilan almashtirsak, S = 1 2 + 2 2 +... + n 2 i= 1 n = i i= 1 2 (2.4) (2.5) kurinishdagi, eki bulmasa, n ni m bilan, h i ni i/(i+1) bilan almashtirsak, 1 1 m m i S = + +... + = (2.6) 2 3 m + 1 i= 1 i + 1 kurinishdagi, eki h i ni (z i +y i ) 2, bilan almashtirsak, 13

2 2 2 S = ( z1 + y1) + ( z2 + y2 ) +... + ( z + y ) = ( z + y ) kurinishdagi yig indi hosil buladi va hokazo. n n n i= 1 i i 2 (2.7) Demak, (2.3) formula bilan berilgan yig indi umumiy kurinishda bulib, undagi n va h i larni uzgartirib turli yig indilarni hosil qilish mumkin Ekan. SHuningdek, agar biz (2.3) yiindining algoritmini tuzishni bilsak, u holda algoritmda tegishli almashtirilishlarnibajarib, ya ni n va h i larni berilgan misolning parametrlari bilan almashtirib, mos misol algoritmini hosil qilgan bulamiz. (2.3) formula kurinishda berilgan yig indi algoritmining blok- shemasini tuzamiz. Buning uchun huddi oldingi paragrafdagidek nimalarning qiymatini mashinaning hotirasiga kiritishimizni aniqlab olamiz. Berilgan yig indii hisoblash uchun bizga n va h i (i=1,2,3,...,n) larning qiymati berilgan bulishi kifoya. Demak, kiritish blokida (1 blok, 2.23-rasm) n va h i lar bulishi kerak. Бошланиш i=1 Тамом n,x 1,x 2,...,x n i n ywq S S=0 ha S=S+x i i=i+1 2.23- rasm Umuman bu blok berilgan aniq yig indilar uchun uzgarib turishi, ya ni ayrim misollarda n aniq son bulishi mumkin. Bu holda n ni kiritishga Ehtiej yuq eki misoldagi h i lar algoritmning uzida hosil qilinishi mumkin, bu holda ham h i lar kiritilmaydi. 2-blokda S uzgaruvchiga nolь qiymat junatilyapti, chunki yig indini hosil qilish jaraeni har doim oldingi yig indini oldingi yig indining urniga junatish yuli bilan hosil qilinadi. Birinchi halni qushishda har doim oldingi yig indini nolь deb tanlab olish tavsiya Etiladi, chunki yig iindiga nolь qushgan bilan yig indi uzgarmaydi. 3- blokda i parametrga boshlang ich qiymat berilyapti (i- tsiklning parametri ham deyiladi), ya ni 1 qiymat. Umuman i ning boshlang ich qiymati 1 bulishi shart Emas. Berilgan aniq misolda i qaysi qiymatdan boshlansa, shu qiymatni berish kifoya. Bu erda i hadlar sonini kursatuvchi parametr. 4- blokda i ning ayni shu va keyingi qiymatlari hadlar sonidan oshib ketmasligi tekshirilyapti. Agar i ning qiymatlari n dan kichik eki buna teng blsa, 5- blokda yig indi hosil qilinadi, ya ni oldingi yig indiga (S ga) keyingi h i had (i ning qiymatiga qarab) qushilib, hosil bulgan yig indi yana S ga junatiladi. Bu holda S ning Eski qiymati yuqolib, wrniga yan gisi eziladi. 6-blok 5-blokdek i ning keyingi qiymatlarini hosil qiladi, ya ni i ning oldingi qiymatlarini hosil bwlgan son yana shu i ning wziga jwnatiladi. Huddi oldingidek, bu holda ham i ning Eski qiymati ywqolib,wrniga yangi qiymati hosil bwladi. Bu algoritmda i ning qadami 1 olingan, umuman qadam ihtieriy bwlishi mumkin. Berilgan misolda qadam nechta bwlsa, shu sonni 6- blokdagi 1 wrniga yangi qiymati hosil bwladi. Bu algoritmda i ning wrniga ezish etarli. 6-blokdan swng yana 4- blok ishlay boshlaydi va i ning qiymatiga qarab 4-,5- va 6- bloklar guruhi har doim takrorlanadi. i ning qiymati n dan katta bwlishi 7- blokda S ning qiymati chiqariladi va hisoblash jaraeni tugaydi. Bu takrorlash jaraenning imashiada qanday kechishini tasavvur qilish uchun yana avvalgidek n ga h i larga mos ravishta aniq qiymatlar berib masalan, n =4, h 1 =2, h 2 =6, h 3 =10, h 4 =7), algoritm bwyicha ishlab chiqish kerak. U holda S va i makonlarda ketma-ket qanday sonlar hosil bwlinishi kwramiz. Kwpaytmalarni hisoblash algoritmlari Dasturlash jaraenlarida kwp uchraydigan misollardan biri kwpaytmalarni hisoblash algoritmlarini tuzishdir. Quyida kwpatmalar algoritmining blok- shemasini tuzishni kwrib chiqamiz. Faraz qilaylik, S = x n 1 x2 i= 1... x n = x i (2.8) Kwpaytma berilgan bwlsin. Huddi oldingi paragrafgidek n va h i larni tanlash ywli bilan turli kwrinishdagi kwpaytmalarni osil ilish mumkin. Masalan, n ni 10 va h i ni i deb, 14

Kwpaytmani, yoki h i ni sin(i+1) deb, 10 S = 1 2... 10 = i i= 1 (2.9) S = sin(2)sin(3)...sin( n + 1) = i 10 i= 1 (2.10) kwpaytmani va hokazolarni hosil qilish mumkin.agar biz (2.8) kwrinishdagi kwpaytma algoritmini tuza bilsak, unda aniq berilgan misol algoritmini hosil qilish mumkin Ekan. Buning uchun blok-shemada mos ravishda n va h i larni almashtirsaketarli. Buning uchun 2- blokda S ning qiymatini 1 bilan, 5- blokda qwshish amalini kwpaytirish amali bilan almashtirish etarli (2.27- rasm). Qolgan hamma mulohazalar yig indidek buladi. Kwpaytmaning boshlang ich qiymatini bir deb tanlashamiz tabiiydir, chunki biror sonni birga kwpaytirgandagina u wzgarmaydi. (2.9) kwrinishdagi kwpaytma algoritmining blok-shemasini hosil qilish uchun 2.27-rasmda keltirilgan algoritmda n ni 10,bilan, h i ni i bilan almashtirish etarli. n ning qiymati aniq berilganligi va h i ning qiymati algoritmda hosil qilinganligi uchun kiritish bloki ishtiroq Etmaydi (2.28-rasm). Бошланиш i 10 Йўқ S S=1 S=S*i Ҳа Тамом i=1 i=i+1 Ma ruza 10 Takrorlashlar soni noma lum bwlgan jarayonlarning algoritmlarini tuzish Amalda shunday tur misollar uchraydiki, unda takrorlashlar soni oldindan noma lum bwladi. Bu shart masala echimining qanday aniqlikda, masalan, i 0 1 2 S = q = q + q + q +... i=0 (2.13) Kwrinishdagi cheksiz yig indini hisoblashda ( q <1) jarayonini twhtatish uchun ( q i <ε) shartining berilishi etarli. Bu holda yig indi, ε ning berilishiga qarab, ε aniqlikda hisoblandi deyiladi. SHu turdagi misollar algoritmmining bolk- shemasidan osongina hosil qilinadi. Buning uchun 2.23- rasmdagi 1- blokka q va ε larni kiritish lozim. 3-blokda i parametrning boshlang ich qiymatini nolь bilan almashtirish etarli, 4-blokda i n shartni q i ε shart bilan almashtirish lozim, 5-blokda h i wrniga q i keladi (2.31-rasm). 2.31-rasmda keltirilgan algoritmni yana ham yahshilash (optimallashtirish) mumkin. Bu algoritmning kamchiligi shundaki, u ning juda kichik qiymatlari uchun mashinadan kwp vaqt talab qiladi, chunki wzgarmas son q ning i darajasi ikki marta hissoblanadi va har doim bu darajanim qaytadan hisoblashga twg ri keladi. 2.31-rasmda keltirilgan algoritmni yana ham yahshilash uchun (vaqt ma nosida) q ning i- darajasini hisoblashga rekurent formuladan foydalanish mumkin, ya ni q i =q i-1 *q Bu formulani biz T=T*q kwrinishda yozib, T ning boshlang ich qiymatini 1 deb tanlasak, u holda T da q ning i- darajalari hosil bwladi (2.32 rasm). 2.32 rasmda keltirilgan algoritmning 2.31- rasmdagi algoritmdan afzalligi shundaki, takrorlash jaraennining har bir qadamida arifmetik amallar soni wzgarmaydi. Vaholanki, 2.31- rasmdagi algoritmda q ni i- darajaga oshirish q ning wzini wziga i marta kwpaytirish orqali hosil qilinadi. I oshishi bilan kwpaytirishlar soni oshib boradi va bu hol ikki marta takrorlanadi.(1- va 2-bloklarda). 15

Huddi oldingi usul bilan cheksiz kwpaytmalarni ham hisoblash mumkin. Bu holda ham jarayonni yakunlash uchun biror shart berilgan bwladi. Бошланиш q i ε ha S=s+q i q, ε ywq S i=i+1 S=0, i=0 Тамом Бошланиш T ε ha S=S+T ywq q, ε S T=Tq S=0, T=1 Тамом Bu kabi misollarni echish algoritmining blok-shemasini hosil qilish uchun 2.31 eki 2.32- rasmdagi blok-shemalardan foydalanish mumkin. Buning uchun kwpaytmaning wrninga kwpaytma belgisini ezish etarli. Ma ruza 11 Iterativ jarayonlar Amalda shunday masallalar uchraydiki, ularning echimi iteratsiya (ketma-ket yaqinlashish) yuli bilan hosil qilinadi. Bunga sonlardan kvadrat eki kub ildiz chiqarish, юqori tartibli algerbraik va transtsendent tenglamalarining echimlarini topish misol bula oladi. Bu turdagi masalalarni echish algoritmini tuzishda ayrim qoidalarga rioya qilish kerak. Masalan, biror sondan kvadrat ildiz chiqarish algoritmining blok-shemasini ikki hil usulda tuzib kuramiz. y= h (h 0) funktsiyaning biror nuqtadagi qiymatini y n+1 =1/2[ y n +x/y n ], n=0,1,2 (2.14) Formula erdamida ihtiyoriy ε (ε- kichik son, masalan ε = 10-6 ) aniqlikda hisoblash mumkin. Hisoblash jarayonida y n+1 -y n ε shart bajarilganda y n+1 ni ildizning qiymati deb qabul qilish mumkin. Bu holda ildiz ε aniqlikda hisoblanadi deyiladi. (2.14) formula buyicha hisoblash uchun h, u 0 va ε larning berilgan bulishi etarli. U 0 sifatida ildizning ihtieriy bir taqribiy qiymatini olish mumkin. Masalan, h=11 bulsa, u 0 =3 eki h=1727 bulsa, u 0 =40 deb olish etarli. 2.33-rasmda keltirilgan algoritm sodda va tushunarli bulishiga qaramasdan, undan foydalanib tug ridan- tug ri dastur tuzish mumkin Emas. CHunki bolk-shemada y n va y n+1 kabi indeksli uzgaruvchilar ishtirok Etiyapti, bu Esa dasturda jadval kattalikning ( massivning ) qaysidir Elementini aniqlaydi vaholangki jadval kattalik uzining Elementlar soni bilan aniqlangan bulishi kerak Ammo bu algoritmda takrorlanishlar soni oldindan noma lum bulgani uchun uni tasvirlab bulmaydi. Bu kamchilik 2.33-rasmda keltirilgan algoritmni butunlay yaroqsiz qilib quyadimi? Hush, u holda nima qilish kerak? Agar biz 2.33-rasmdagi algoritmga E tibor bersak, n ning har bir qiymati uchun u massivining bir paytda ikkita Elementi, ya ni y n va y n+1 ishtiroq Etadi, qolgan Elementlari hisoblash jaraenida ishtiroq 16

etmaydi. Masalan, n=0 da u 0 va u 1, n=1 da u 1 va u 2, n=2 da u 2 va u 3 va hokazo. Huddi shu narsaning uzi bizga jadval kattalikldan kechib, uning urniga ikkita uzgarivchidag foydalanish mumkinligidan dalolat beradi. Buni amalga oshirish uchun u n+1 ni u 1 bilan, y n ni u 0 bilan almashtirish etarli. Бошланиш Y n+1 =1/2*(y n +x/y n ) Тамом. x, y 0, ε yn+ 1 yn ε Ҳа Y n+1 n=0 Йўқ n=n+1 U n+1 - U n ε shartni U 1 - U0 ε bilan almashtiramiz. Endi jarayon tug ri davom Etishi uchun, agar shart bajarilmasa u 1 ning qiymatini u 0 ga berish kifoya. y 1 Esa (u0+h/u0)/2 formula bilan qayta hisoblanadi. 2.33.- rasmdagi blok-shemada n ning qiymatlari massiv Elementlarining nomerini aniqlash uchun hizmat qilar Edi. YAngi algoritmda massiv bulmagani uchun n ning qiymatlarini hosil qilishga Ehtiyoj ywq. 2.34-rasmda юqorida keltirilgan algoritmning blok-shemasi berilgan. Bu Endi dasturga hech qanday qwshimcha chegara qwymaydi. Ma ruza 12 Maksimum va minimumni topish algoritmi Kup masalalarni echishda uning shunday bir qismi uchraydiki, unda berilgan (masalan, n ta) sonlardan Eng katta eki Eng kichigini topish talab qilinadi. Bu talabni matematik shaklda quyidagicha ezish mumkin: S=max{x 1, x 2, x n }=max{x i } (2.15) 1 i n S=min{x 1, x 2, x n }=min{x i } (2.16) 1 i n Demak, ihtiyoriy n ta sondan (x 1, x 2, x n ) Eng kattasini yoki Eng kichigini topish algoritmini tuzish talab Etiladi. Tuzilgan algoritm n va h i (i=1,2,..,n) lar mashina hotirasiga kiritiladi (1-blok, 2.35-rasm). Agar quralayotgan masala biror masalaning qismi bwlsa, u holda n va h i larni kiritishga Ehtiyoj ywq, chunki bu sonlar maksimum yoki minimumni topishga qadar biror usulda aniqlangan bwladi. Keyingi mulohazalar Eng katta sonni topish uchun юritiladi. Har doim birinchi Elementni Eng katta Element deb faraz qilish mumkin (2-blok, 2.35-rasm) (i-element nomerini aniqlovchi parametr). 3-blokda keyingi Elementning nomeri hosil qilinyapti. 4-blokda (2.35-rasm) i ning qiymatlari n dan oshib ketmasligi tekshirilyapti. Agar 5-blokda vaqtincha Eng katta Element (S ning qiymati bilan) keyingi Element solishtiriladi. Agar keyingi Element S dagi qiymatdan katta bulsa, u holda 6-blokda S ning oldingi qiymati urniga yangi h i qiymat beriladi va jarayon 3-blokdan takrorlanadi. Agar 5-blokda shart bajarilmasa, ya ni S ning qiymati h i dan kichik bulmasa, u holda tug ridan tug ri 3-blokdan jarayon davom Etadi. Qachonki, 4-blokda shart bajarilmasa, ya ni hamma Elementlar solishtirib chiqilsa, u holda S parametrda Eng katta Elementning qiymati hosil buladi va u 7-blokda bosishga chiqariladi. Ayrim hollarda Eng katta Elementining nomerini topish ham talab qilinadi. Uni 2.35-rasmdagi blokshemadan osongina hosil qilish mumkin. Buning uchun 2-blokda k=1 ni (k da Eng katta Elementining nomeri hosil buladi) kiritish kerak, chunki bu blokda birinchi Elementni biz vaqtincha Eng katta Element deb qabul qildik (ayrim hollarda birinchi Element Eng katta Element bulib qolishi ham mumkin). 6-blokda Esa k=i ni kiritish etarli, chunki 5-blokdagi shart bajarilsa h i Element vaqtincha Eng katta Element bulib qoladi. CHiqarish bloki 7 da S bilan birga k ni ham chiqarish lozim. 17

SHunday qilib, biz Eng katta Eelment va uning nomerini topish algoritmini qurdik. SHuningdek, Eng kichik Elementni topish algoritmini tuzish mumkin. Buning uchun 2.35-rasmdagi blok-shemada 5-blokdagi S<x i shartni teskariga, ya ni S>x i ga almashtirish etarli. Бошланиш i n ҳа S<n йўқ n,х 1,х 2,...,х n йўқ ҳа i=1, S=x 1 S S=x i i=i+1 Тамом 2.35-rasm 2.35-rasmda keltirilgan algoritmdan foydalanib, shunga uhshash turli masalalarning algoritmini tuzish mumkin. Masalan, S= max{ x i } (2.17) 1 i n yoki S= max{sin i} (2.18) 1 i n ni topish algoritmining blok-shemasini tuzish talab Etilsin. Agar (2.17) ni (2.15) bilan almashtirsak, (2.15) dagi h i lar urnida (2.17) da h i ning absolюt qiymatlari turibdi. SHuningdek, (2.15) uchun tuzilgan 2.35-rasmdagi blok-shemada x i larni x i lar bilan almashtirish etarli. (2.36-rasm). Бошланиш i n ҳа S<n йўқ n,х 1,х 2,...,х n йўқ ҳа i=1, S=x 1 S S=x i i=i+1 Тамом Agar (2.18) ni (2.15) bilan solishtirsak, h i lar urniga sini lar kelar Ekan. i ning qiymatlari algoritmning wzida hosil bwlgani va sini larni mashinaning wzi hisoblagani uchun wlar hotiraga kiritilmaydi. Demak, kiritish blokida faqat ularning soni n bwladi. 2.35-rasmda mos ravishda h i larni sini bilan almashtirsak, (2.18) uchun algoritm hosil qilgan bulamiz. Бошланиш i n ҳа S<n йўқ n,х 1,х 2,...,х n йўқ ҳа i=1, S=x 1 S S=x i i=i+1 18 Тамом

Ma ruza 14 Ichma-ich joylashgan takrorlanuvchi (tsiklik ) jaraenlar Dastur tuzish jarayonida shunday hollar юz beradiki, unda bir tsikl ichida boshqa bir tsiklni bajarishga tug ri keladi, ya ni tsiklning tanasini tashkil Etuvchi operatorlar guruhi ham wz navbatida tsikl operatori bwlishi mumkin. Ayniqsa ikki yoki kwp wlchovli massivlar bilan ishlanganda massiv Elementlari olish indeksning qiymatlarini wzgartirishga twg ri keladi. Bunday tsikllar ichma-ich joylashgan tsikllar deyiladi. Бошланиши i n йуқ S Тамом n ҳа S=0 i=1 Р ни хиsоблаш S=S+P i=i+1 2.38- rasm Ichma-ich joylashgan tsiklik jaraenlar algoritmini takrorlash jaraenlarining algoritmdan osongina hosil qilish mumkin. Masalan, = n n 2 (2.19) S ( i + j ) i = 1 j = 1 Kurinishdagi yig indi va kupaytmalar ishtiroq Etgan formula buyicha S ning qiymatini hisoblash algoritmining blok-shemasini tuzish talab etilsin. Buni biz юqorida tanishgan yig indini hisoblash algoritmi erdamida hisoblashimiz mumkin. Buning uchun i 2 (2.20) P = ( i + j ) j = 1 Deb belgilasak, u holda n (2.21) S = P i = 1 deb yozish mumkin. Bu biz bilgan yig indini hisoblashga keladi. (2.3) yig indining 2.23-rasmda keltirilgan blok-shemasi asosan h i ni P bilan almashtirib, (2.21) yig indi uchun blok-shema hosil qilamiz. Faqatgina kiritish blokida R lar kiritilmaydi, chunki masalaning shartiga kura biz ularni hisoblaymiz. 2.38-rasmda bu blok-shema tasvirlangan. 2.38-rasmda keltirilgan blok-shemadagi 3-blokka E tibor bering. Endi biz 3-blokni hosil qilish uchun kwpaytmani hisoblash algoritmidan foydalanamiz. 2.27-rasmda keltirilgan (2.8) ning blokshemasida mos almashtirishlar qilib, R ni hisoblash algoritmining blok-shemasini yozamiz. (2.39- rasm) ( 2.19) ni hisoblash algoritmining blok-shemasini ezish uchun 2.38-rasmdagi 3-blok urniga 2.39- rasmdagi blok-shemani kwchirib yozish etarli P=1 J=1 j i P=P(i+j) 2 j=j+1 19

йуқ 2.39- rasm Бошланиши i n S Тамом n P=1, J=1 S=0 i=1 j i P=P(i+j) 2 j=j+1 S=S+P, i=i+1 2.40- rasm Agar 2.40-rasmda keltirilgan algoritmga E tibor bersak, i parametrning har-bir qiymati uchun j parametr 1 dan to i gacha wzgarib turadi. Юqoridagi misol ichma-ich joylashgan takrorlash jarayoniga misol bwladi. Ichma-ich joylashishlar tsikllari soni uch va undan ortiq bwlganda ham юqoridagi usul bilan berilgan misolning algoritmini hosil qilish mumkin. Masalan, n m p 2 S = x i y i ( x i + y j + z k ) (2.22 ) i = 1 j = 1 k = 1 misolni hisoblash algoritmining blok- shemasini hosil qilish talab Etilsin. Юqaridagidek m p 2 T = yi ( xi + y j + z k ) (2.23) j = 1 k = 1 deb belgilasak, u holda S = n i= 1 x i T ( 2.24) hosil bwladi. (2.24) uchun kwpaytmani hisoblash algoritmini qwllasak, 2.41-rasmdagi algoritm hosil buladi. Бошланиши i n ха Тни хиsоблаш n,m,p x i (i=1,n) y j (j=1,m z k (k=1,p) S йук S=S*T*x i S=0 i=1 Тамом i=i+1 20

2.41- rasm T=0 j=1 ха j=j+1 j m i n Q ни ҳиsоблаш T=y j *Q+T йуқ 2.42 - rasm Endi T ni hosil qilish uchun p Q = ( xi + y j + zk ) 2 (2.25) k =1 belgilash kiritamiz, u holda (2.23) quyidagi kwrinishga keladi: m (2.26) T = y j ' Q j = 1 Yig indini hisoblash algoritmidan foydalanib (2.26) ning blok-shemasini hosil qilamiz (2.42- rasm) 2.42-rasmdagi algoritmda Q ni hisoblash blok-shemasini yozsak, (2.22) uchun algoritmni hosil qilgan bwlamiz. Buning uchun (2.25) ga kupaytmani hisoblash algoritmini qwllaymiz (2.43-rasm). Endi 2.43- rasmdagi algoritmni 2.42-rasmdagi Q ni hosil qilish bloki wrniga olib borib qwysak, berilgan misolni hisoblash algoritmining blok-shemasi hosil bwladi. Ayrim hollarda rekursiyadan (oldingisidan foydalanib keyingisini hosil qilish ) foydalanib, ichma-ich joylashgan tsiklik jarayondan qutilish mumkin. Masalan quyidagi S = n xi i = (2i + 1 1)! (2.27). Yig indini hosil qilish algoritmini tuzish talab Etilsin. Agar 2i + 1 (2.28) (2i + 1)! = j j = 1 Kurinishda yozib, (2.28) ni (2.27) ga quysak, S n = x i / j (2.29) i= 1 2 j + 1 j = 1 k p Q=1, k=1 Q=Q(xi+y j +z k ) k=k+1 ха 2 йук 21

2.43 -rasm hosil bwladi va bunga yig indi va kwpaytmani hisoblash algoritmini qwllab, (2.27) ni hisoblash algoritmini hosil qilish mumkin. Bu algoritm ichma-ich joylashgan tsiklik jarayon bwlib, n ning katta qiymatlari uchun hisoblash kwp vaqt talab Etadi. CHunki (2.28) da i ning har bir qiymati uchun ichki tsiklda arifmetik amallar soni oshib boradi. Bu kamchilikdan qutulish uchun rekursiyani qwllaymiz. (2i+ 1)! ga E tibor bersak, u i ning qiymatlarida: i=1 da 3!=1!*2*3 i=2 da 5!=3!*4*5 i=3 da 7!=5!*6*7 va h. k. Buladi. Demak, keyingi faktorial oldingi faktorialga ikkita sonni kwpaytirish bilan hosil bwlar Ekan. Bu sonlar ihtiyoriy i uchun (2i) (2*i+1) dan iboratdir. Boshlang ich qiymatini T=1!=1 deb olsak, u holda (2i+1)! ni hisoblash uchun T=T(2i)(2i+1) (2.30) Rekursiv formula hosil bwladi. Formulaning rekursivligi ham shundaki, unda T ni hisoblashda yana T ning wzi ishtirok Etadi. Odatda bunday formulalar rekursiv formulalar deyiladi. (2.30) dan foydalanib, (2.27) yoki (2.29) ni hisoblash algoritmining blok- shemasini yozamiz (2.44-rasm). Ayrim hollarda ihtiyoriy faktoriallar uchun (2.30) kwrinishidagi rekursiv formulani topish qiyin bwladi. Qwyida ihtiyoriy faktorial uchun rekursiv formulani hosil qilish ywlini kwrsatamiz. Faraz qilaylik, berilgan misolning ma lum joyida ( ki+l ) kwrinishidagi faktorial ishtirok Etsin (k- natural, l >=0 -butun son, i- tsiklning wzgarish parametri). (2.27) misolda k=2, l=1, (3i+2)! Uchun k=3, l=2, (4i)! Uchun k=4, l=0 va h.k. Rekursiv formulada T ning boshlang ich qiymati (1-blok, 2.44-rasm) T=l! Bwladi (i=0 dagi faktorialning qiymati). (2i+1)! Uchun T=1!=1 (3i+2)! Uchun T=2!=1*2=2 (4i)! Uchun T=0!=1 va h.k. Endi (2.30) kwrinishidagi (3-blok, 2.44-rasm) rekursiv formulani yozamiz. Бошланиши i n ха T=T(2i)(2i+1) n,x i (i=1,n) йук T=1 i=1, S=0 S Тамом S=S+x i /T i=i+1 2.44- rasm Formuladagi kwpaytuvchilar soni k ta bwlib, ularning Eng ohirgisi k*i+l ga teng bwladi. Qolganlari oldingisiga nisbatdan bittaga kamayib boradi: T=T... (k*i+l-2) (k*i+l-1) (k*i+l) (2.31) Masalan, юqoridagi faktoriallar uchun (2i+1)! uchun T=T*(2i)*(2i+1) (3i+2)! uchun T=T*(3i)*(3i+1)(3i+2) (4i)! uchun T=T (4i-3) (4i-2) (4i-1) (4i) va h.k. SHuni ta kidlash lozimki, ichma-ich joylashgan tsiklik jarayonlar faqat yig indi yoki kwpaytma shaklida bwlishi shart Emas. Ammo tsikl parametrlarining qiymatlarini (i,j,k,...) hosil qilish usuli 22