|
|
|
- Παναγιώτα Καλογιάννης
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2
3
4
5
6 a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R:
![: [a; b]](/docs-images/52/10724578/images/page_6.jpg "R! R y 2")
7 y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t) = p(t)y(t) + q(t); a t b; y(a) = y :
![y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a)](/docs-images/52/10724578/images/page_7.jpg "= y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y")
8 p q [a; b]; p; q 2 C [a; b]; Z y(t) = R t t a hy p(s) ds + q(s) R i s a p() d ds ; a t b; a Z y(t) = R t t a p(s) ds y + q(s) R t s p() d ds; a t b: a p = ; y (s) = q(s); [a; t]; a < t b; y(t) y(a) = R t a q(s) ds; y(t) = y(a) + Z t a q(s) ds; a t b: y (s) p(s)y(s) = q(s) R s a p() d y(s) = R s a p() d q(s): a t; q q(t) = ( y (t) = 2ty(t) + t; t 2 R; y() = : p(t) = 2t q(t) = t: a = y = ; y(t) y(t) = t 2h + Z y(t) = R t t h 2s ds + s R i s 2 d ds ; t 2 R: Z t i s s2 ds ; t 2 R:
9 := s 2 ; Z t s s2 ds = 2 y(t) = t 2h 2 Z t 2 d = 2 t 2 ; t 2 i = t 2h t 2 i ; y(t) = 2 3 t 2 ; t 2 R: y (t) = y(t) + 3t; t t: p(t) = /t q(t) = 3t: y() = c; c; y(t) t; y(t) = t hc + Z y(t) = R t t s hc ds + 3s R i s d ds ; t 2 R: Z t i 3s s ds = h Z t i c + 3ss ds = t t (c + t 3 ); y(t) = t 2 + c t ; t > ; c = c : t: y (t) = p(t)y(t) + q(t)[y(t)] ; a t b;
10 2 R; = = y = v(t) := [y(t)] ; v (t) = ( )[y(t)] y (t); [y(t)] v (t) = p(t)y(t) + q(t)[y(t)] ; v (t) = ( )p(t)v(t) + ( )q(t); a t b: v; y v(t) = [y(t)] : [y(t)] [y(t)] [a; b]; y(t) y (t) = y(t) + [y(t)] 2 ; a t b; [a; b]: = 2: y; y(t) = t 2 [a; b]; v(t) := [y(t)] 2 = /y(t); y(t) [a; b]; v (t) = [y(t)] 2 y (t); [y(t)] 2 v (t) = y(t) + [y(t)] 2 v (t) = y(t) +
![b]; y(t) y (t) = y(t) + [y(t)] 2 ; a t b; [a; b]: = 2: y; y(t) = t 2 [a; b]; v(t) :=](/docs-images/52/10724578/images/page_10.jpg "[y(t)] 2 = /y(t); y(t) [a; b]; v (t) = [y(t)] 2 y (t); [y(t)] 2 v (t) = y(t) + [y(t)] 2 v")
11 v (t) = v(t) ; a t b: v(t) = c t + ; c 2 R; y(t) = c t + ; a t b; c c t + [a; b]; c t + ; t 2 [a; b]: c t + a b; [a; b]: c [a; b]; a; b; b; a: c [a; b]; a; b; b; a: y (t) = r(t) + p(t)y(t) + q(t)[y(t)] 2 ; a t b: q = r = = 2: y y(t) = y (t) + z(t) ;
![[a; b]; a; b; b; a: c [a; b]; a; b; b; a: y (t) = r(t) +](/docs-images/52/10724578/images/page_11.jpg "p(t)y(t) + q(t)[y(t)] 2 ; a t b: q = r = = 2: y y(t) = y (t) +")
12 z; z y t; y (t) = y (t) [z(t)] 2 z (t): y(t) y (t) y (t) h [z(t)] 2 z (t) = r(t) + p(t) y (t) + i h + q(t) y (t) + i 2; a t b; z(t) z(t) y (t)r(t) p(t)y (t) q(t)[y (t)] 2 [z(t)] 2 z (t) = p(t) z(t) + 2q(t)y (t) z(t) + q(t) [z(t)] 2 : y [z(t)] 2 z (t) = p(t) z(t) + 2q(t)y (t) z(t) + q(t) [z(t)] 2 ; a t b; [z(t)] 2 ; z (t) = p(t) + 2q(t)y (t) z(t) + q(t); a t b: z y y y (t) = t y(t) [y(t)] 2 ; t 2; 2 t y (t) = /t y
![2q(t)y (t) z(t) + q(t) [z(t)] 2 : y [z(t)] 2 z (t) = p(t) z(t) + 2q(t)y (t) z(t) + q(t) [z(t)] 2 ; a t](/docs-images/52/10724578/images/page_12.jpg "b; [z(t)] 2 ; z (t) = p(t) + 2q(t)y (t) z(t) + q(t); a t b: z y y y (t) = t y(t) [y(t)] 2 ; t 2; 2 t y")
13 y(t) := t + z(t) ; z; z(t) [; 2]; y (t) = t 2 [z(t)] 2 z (t): y(t) y (t) t 2 [z(t)] 2 z (t) = t 2 t t + z(t) t + 2; t 2; z(t) [z(t)] 2 z (t) = 3 tz(t) [z(t)] 2 ; t 2; [z(t)] 2 ; z (t) 3 z(t) = ; t 2: t y (t) = /t z; '(t) ; ' '(t) z (t) 3 t '(t) z(t) = '(t) : ' ' (t) = 3/t; t; '(t) = 3 t; '(t) = /t 3 ; t 3 z(t) = t 3 :
![[z(t)] 2 ; t 2; [z(t)] 2 ; z (t) 3 z(t) = ; t 2: t y (t) = /t z; '(t) ; ' '(t)](/docs-images/52/10724578/images/page_13.jpg "z (t) 3 t '(t) z(t) = '(t) : ' ' (t) = 3/t; t; '(t) = 3 t; '(t) = /t 3 ; t 3")
14 t Z t z(t) = 3 t dt = 3 2t + c; 2 z(t) = ct 3 t 2 ; t 2; c; c 2 R: y(t) = t + ct 3 t ; t 2; 2 c: [; 2]; '(t) := ct 2 2 t 2 [; 2]: ' c c < c ; '() '(2) ' [; 2] [; 2]: c ; ' [; 2]; '() c > /2; '(2) c < /8: ' [; 2]; c < /8 c > /2: y y (t) = /t c ct 2 /2; y y (t) = g(t) f (y(t)) :
![< c ; '() '(2) ' [; 2] [; 2]: c ; ' [; 2]; '() c > /2; '(2) c < /8: '](/docs-images/52/10724578/images/page_14.jpg "[; 2]; c < /8 c > /2: y y (t) = /t c ct 2 /2; y y (t) = g(t) f (y(t))")
15 t y; y = g(t) f (y) dy dt = g(t) f (y) : f (y) dy = g(t) dt: Z Z f (y) dy = g(t) dt; F (y) = G(t) + c; c: y t; y(t): dy dy dt dx: y = g(t) f (y) : y t: f (y(t)) f (y(t)) I;
16 f (y(s))y (s) = g(s); s 2 I; a I a t Z t a f (y(s))y (s) ds = Z t a g(s) ds; t 2 I: y I = y(s): y(a) y(t); d = y (s) ds; Z y(t) f () d = Z t y(a) a g(s) ds; t 2 I: F G f g; F (y(t)) F (y(a)) = G(t) G(a); t 2 I: y a; G(t); G(a); F (y(a)) F y: y y: y a; F (y(a)) c F (y(t)) = G(t) G(a) + c; t 2 I; y; G(a); c: y(t) y (t) = t + t 3 ;
17 a t a; Z t a y(s) y (s) ds = Z y(t) y(a) d = Z t a Z t a (s + s 3 ) ds; (s + s 3 ) ds; y(t) y(a) = t t 4 4 a2 2 a4 4 : y a; c y(a) a2 2 a4 4 ; y(t) = t t c: y c; R y(t); y(t) = t t c ; y (t) = 3t 2 + 4t + 2 2[y(t) ] ; t ; y() = ;
18 y ; t: 2[y(s) ]y (s) = 3s 2 + 4s + 2 t; t; Z t 2[y(s) ]y (s) ds = = y(s); Z y(t) 2( ) d = Z t y() Z t (3s 2 + 4s + 2) ds; (3s 2 + 4s + 2) ds; [y(t)] 2 2y(t) [y()] 2 2y() = t 3 + 2t 2 + 2t: y() = ; [y(t)] 2 2y(t) = t 3 + 2t 2 + 2t + 3: y (t) = p t 3 + 2t 2 + 2t + 4; y 2 (t) = + p t 3 + 2t 2 + 2t + 4; t : y 2 (t) y 2 () = 3 y(t) = y (t); t : y (t) = ty(t)[y(t) 2] y(t) = y(t) = 2 y(t) 2 y (s) y(s)[y(s) 2] = s:
19 a a t; Z t := y(s); a y Z (s) t y(s)[y(s) 2] ds = s ds; a Z y(t) y(a) Z t ( 2) d = s ds: a ( 2) = 2 2 ; h Z y(t) Z y(t) 2 y(a) 2 d i Z t y(a) d = s ds; a t 2 jy(t) 2j jy(t)j jy(a) 2j jy(a)j = a2 2 : jy(a)2j jy(a)j a 2 c; a y a; jy(t) 2j jy(t)j = t 2 + c; zc ; ˇ ˇy(t) 2 ˇ = t 2 + c; y(t) ˇ ˇ 2 ˇ = t 2 + c: y(t) ˇ ˇ 2 ˇ = zc t 2 ; y(t) 2 y(t) = C t 2 ;
20 C; y(t) = 2 + C t 2 C : C; y + C t 2 : y 2: C = ; y(t) = 2: y(t) = C; y (t) = g y(t) t f f (t; y) = f (t; y) 8; t; y 2 R: M N f; f (t; y) := M (t; y)/n (t; y); y (t) = f t; y(t) ; M (t; y) dt + N (t; y) dy = ; g(s) := f (; s); f (t; y) = f (t ; t y t ) = t f (; y t ) = f (; y t ):
21 v(t) := y(t)/t; t; y(t) = tv(t); y (t) = tv (t) + v(t); tv (t) = g v(t) v(t); g v(t) v(t) t; v (s) g v(s) v(s) = s : a a t a t Z t a v Z (s) t g v(s) v(s) ds = a s ds; = v(s); Z v(t) v(a) d = jtj jaj: g() G /[g() ]; G(v(t)) G(v(a)) = jtj jaj; t 2 I: y a; G v: v v: v a; G(v(a)) jaj c G(v(t)) = jtj + c; t 2 I;
22 v; v; y y(t) = tv(t): g v(t) v(t) v? 2 R g; g(v) = v; tv (t) = ; v v(t) = v? : y(t) = v? t y (t) = [y(t)]2 + 2ty(t) t 2 v(t) := y(t)/t v(t) + tv (t) = [v(t)] 2 + 2v(t) tv (t) = [v(t)] 2 + v(t): v 2 + v = v = v = : y(t) = y(t) = t v(t) v (s) v(s)[v(s) + ] = s :
23 a a t; Z t a v (s) v(s)[v(s) + ] ds = := v(s); Z v(t) v(a) ( + ) d = Z t Z t a a s ds; s ds: Z v(t) v(a) ( + ) = + ; Z v(t) Z d t v(a) + d = a s ds; jv(t)j jv(t) + j jv(a)j jv(a) + j = jtj jaj: jv(a)j jv(a) + j jaj jcj; c; a v a; jv(t)j jv(t) + j = jtj + jcj; v(t) ˇ ˇ = jctj; v(t) + v(t) v(t) + = ct; c: v(t) = y(t) = tv(t) ct ct ; y(t) = ct 2 ct c: c; y t /c:
24 y M (t; y(t)) (t) = N (t; y(t)) : f (t; y) = M (t; (t; y) = N (t; M (t; y) dt + N (t; y) dy = : f d dt f (t; (t; (t; y(t)) y (t) = M (t; y(t)) + N (t; y(t)) y (t) = ; f (t; y(t)) f (t; y(t)) = c; c: y y; f f: M N 2 ;
25 @t : f Z f (t; y) = M (t; y) dt + g(y); = M: Z M y (t; y) dt + g (y) = N (t; y): M y N t ; Z N t (t; y) dt + g (y) = N (t; y) Z g (y) = N (t; y) N t (t; y) dt: y; Z h Z g(y) = N (t; y) i N t (t; y) dt dy + C; C: f M N; M N f; Z Z h Z i f (t; y) = M (t; y) dt + N (t; y) N t (t; y) dt dy + C: y(t) y (t) = t y(t) + 2y(t) :
26 M (t; y) := y N (t; y) := t y (t; (t; y) = y ; f (t; (t; y) @y (t; y) = ty + (t; y) = y f (t; y) = t y + g(y); (t; y) = ty + 2y t y + g (y) = t y + 2y; g (y) = 2y; g(y) = y 2 + c; c: f (t; y) = t y + y 2 + c; c: t y(t) + [y(t)] 2 = c; c: ; y (t; y(t))m (t; y(t)) (t) = (t; y(t))n (t;
27 @t @t : t y; = = (t): d t; y; N : (t) N dt : = = d @t M : y; t; = (y); (y) M N y; M
28 t; = (y); y (t) = y(t) t 2 y(t) t : M (t; y) := y N (t; y) := t 2 (t; y) (t; y) = @y M (t; y) = 2ty + 2 y = 2t + 2 y t; = N (t; y) = 2ty + 2 t 2 y t = 2 t y; = (t) t: d dt (t) = 2 t (t) (t) = 2 t ; j(t)j = 2 jtj = t 2 (t) = t 2 : (t) = /t 2 : /t 2 ; y(t) t 2 y (t) = ; y(t) t
29 f = f (t; y) = y ty (t; y) = (t; y) = y Z H) f (t; y) = (t; y) = t + g (y); t + g (y) = ty t y t 2 dt + g(y) = y t + g(y): g (y) = y; g(y) = 2 y2 + c; c: f (t; y) = y t + 2 y2 + c; y(t) y(t) t c: + 2 [y(t)]2 + c = ; Η γραμμική Δ.Ε. ανάγεται σε πλήρη. y (t) = p(t)y(t) + q(t) y M (t; y(t)) (t) = N (t; y(t)) M (t; y) = p(t)y q(t) N (t; y) = : p; (t; y) = ; p = N (t; (t; (t; y) = p(t)
30 t; (t) (t) = R [p(t)] dt = R p(t) dt ; R p(t) dt y (t) = p(t)y q(t) R p(t) dt = z M (t; y(t)) zn (t; y(t)) ; zm zn : f = f (t; y) = zm (t; y) = p(t)y + q(t) R (t; y) = zn (t; y) = R p(t) dt : f (t; y) = R p(t) dt y + g(t) g: t Z g (t) = q(t) R p(t) dt ; g(t) = q(t) R t a p(s) ds dt; a p q f Z f (t; y) = R p(t) dt y q(t) R t a p(s) ds dt: f (t; y(t)) = C; Z R p(t) dt y(t) q(t) R t a p(s) ds dt = C; C: y(t) y(t) = R h Z p(t) dt C + q(t) R i t a p(s) ds dt ;
31 n n ( y (t) = A(t)y(t) + f (t); a t b; y(a) = y () : y : [a; b]! R n f : [a; b]! R n y (t); : : : ; y n (t) f (t); : : : ; f n (t); A : [a; b]! R n;n y (t) f (t) a (t) a 2 (t) : : : a n (t) y 2 (t) y(t) = B : A ; f (t) = f 2 (t) B : A ; A(t) = a 2 (t) a 22 (t) : : : a 2n (t) B : : : A ; y n (t) f n (t) a n (t) a n2 (t) : : : a nn (t) t 2 [a; b]: ( y (t) = p(t)y(t) + q(t); a t b; y(a) = y ; p q [a; b]; y(t) = R t a p(s) ds y + Z t a q(s) R t s p() d ds; a t b:
32 A A: A(t) A(s) t s [a; b]; A(t) = p(t)a; p A 2 R n;n : A(t) = A; A t; ( y (t) = Ay(t) + f (t); a t b; y(a) = y () : ( y (t) = Ay(t); t 2 R; y() = y () ; a; t = s + a: y () ; y(t) = : ( y (t) = ay(t); t 2 R; y() = y ;
33 y(t) = at y ; y(t) = t y () ; t 2 R; 2 C; : y(t) = t y () H) y (t) = t y () ; y y (t) = Ay(t); t y () = A t y () = t Ay () ; Ay () = y () : y () y () = y(t) = t y () ; t 2 R; A y () y () A ; : : : ; m A x () ; : : : ; x (m) y () = c x () + + c m x (m) ; c ; : : : ; c m : y y(t) = c t x () + + c m mt x (m) ; t 2 R: y (t) = c t x () + + c m m mt x (m)
34 Ax (i) = i x (i) ; i = ; : : : ; m; Ay(t) = c t Ax () + + c m mt Ax (m) = c t x () + + c m mt m x (m) ; y (t) = Ay(t); t 2 R: x () ; : : : ; x (m) c ; : : : ; c m y () 2 R n A 2 R n;n : A n x () ; : : : ; x (n) 2 C n : A A x () ; : : : ; x (n) C n ; y () y () = c x () + + c n x (n) ; c i y () ; n n c i ; (x () ; : : : ; x (n) ); x (i) : y(t) = c t x () + + c n nt x (n) ; t 2 R; i A x (i) a; y(a) = y () ; y(t) = c (ta) x () + + c n n(ta) x (n) ; t 2 R: y () A: y () ; A
35 ( y (t) = ay(t); t 2 R; y() = y ; y(t) = at y ; y(t) = ta y () ; t 2 R; A ; A: z ; z 2 C; A 2 C n;n ; = I n I n A := I n + A + A2 2! + + A` `! + = X `= A` `! : = I n ; ; ta ta = A ta : A B = A+B ; A B AB = BA: y() = A y () = y () = I n y () = y () : y (t) = ta y () = ta y () = A ta y () = Ay(t); t 2 R; a; y(a) = y () ; y(t) = (ta)a y () ; t 2 R:
36 ta y () ( y (t) = Ay(t) + f (t); t 2 R; y() = y () ; ta y () ; y(t) = ta v(t); t 2 R; v: y() = y () v() = y () : y (t) = ta v(t) = ta v(t) + ta v (t) = A ta v(t) + ta v (t) = Ay(t) + ta v (t); y (t) = Ay(t) + f (t) ta v (t) = f (t): sa v (s) = f (s) v (s) = sa f (s); t v() = y () ; v(t) y () = v(t) = y () + Z t Z t sa f (s) ds; sa f (s) ds; t 2 R: Z t y(t) = ta v(t) = ta y () + ta sa f (s) ds; y(t) = ta y () + Z t (ts)a f (s) ds; t 2 R;
37 y (t) = ay(t) + f (t): a; y(a) = y () ; y(t) = (ta)a y () + Z t a (ts)a f (s) ds; t 2 R: ta y () ta y () ta x; x 2 C n ; t 2 R: = x A : A I n I n ; ta x = ti n t(ain) x = t I n t(ain) x = t t(ain) x h = t I n x + t(a I n )x + t 2 i 2! (A I n) 2 x + ; (A I n )x = (A I n )`x = ; `; ta x = t x: y () A: = x (A I n ) m x = ; A m: ta x = t t(ai n) x = t h I n x + t(a I n )x + t 2 + t m i m! (A I n) m x + ; 2! (A I n) 2 x + + t m (m )! (A I n) m x
38 (A I n )`x = ; ` m; ta x = t h I n x + t(a I n )x + t 2 2! (A I n) 2 x + + t m (m )! (A I n) m x i : n A C n A ta y () = A A A C n A A m: x 2 C n (A I n ) m x = A : A m; m C n A: m A ; m (A I n )x = A
39 (A I n ) 2 x = A A; ; (A I n ) 3 x = A A; (A I n )`x = ; ` ; m : n x () ; : : : ; x (n) A: y ()
40 x () ; : : : ; x (n) ; y () = c x () + + c n x (n) ; y(t) y(t) = ta y () = c ta x () + + c n ta x (n) ; t 2 R: = = ta x (i) ; x (i) A; y(t) = ta y () : a; ' (i) (t) := ta x (i) ; t 2 R; i = ; : : : ; n; y (t) = Ay(t) y (t) = Ay(t); y () ' (i) ; i = ; : : : ; n: x (i) ; i = ; : : : ; n: x (i) ; i = ; : : : ; n; A ' (i) ; i = ; : : : ; n: 4 y B C (t) = Ay(t); t 2 R; A 3 2 A: 2 p A p() = : 6 ; 2; 3; p; ; 2; 3: A = ; 2 = 3; 3 = 2: p p: p p:
41 = v 2 R 3 (A I 3 )v = (A I 3 )v = 4 B 3 A@ 2 2 v v 2 v 3 C A = ; v 2 + 4v 3 = 3v + v 2 v 3 = 2v + v 2 2v 3 = v + v 3 = ; v = v 3 ; v 2 = 4v 3 : v 3 ; v v 2 : B C v 4A: ' () (t) = t B 4A; t 2 R: 2 = 3 v 2 R 3 (A 2 I 3 )v = (A 3I 3 )v = 2 4 B 3 A@ 2 4 v v 2 v 3 C A = ; ƒ 2v v 2 + 4v 3 = 3v v 2 v 3 = 2v + v 2 4v 3 = v = v 3 ; v 2 = 2v 3 : B C v 2A; ' (2) (t) = 3t B 2A; t 2 R: : ƒ ;
42 3 = 2 v 2 R 3 (A 3 I 3 )v = (A + 2I 3 )v = 3 4 B 3 4 A@ 2 v v 2 v 3 C A = ; 3v v 2 + 4v 3 = 3v + 4v 2 v 3 = 2v + v 2 + v 3 = v = v 3 ; v 2 = v 3 : B C v A; ' (3) (t) = 2t B A; t 2 R: y(t) c t + c 2 3t c 3 2t y(t) = c t B 4A + c 2 3t B 2A + c 3 2t B C A 4c t + 2c 2 3t + c 3 2t C A; c t + c 2 3t + c 3 2t t 2 R; c ; c 2 c 3 : y(2) = (; 2; 3) T 2 R 3 : c t + c 2 3t c 3 2t B y(t) 4c t + 2c 2 3t + c 3 2t C A; c t + c 2 3t + c 3 2t c ; c 2 ; c 3 c ; c 2 ; c 3 y(2) = (; 2; 3) T : ƒ ;
43 ? c 2 + c 2 6 c 3 4 = ƒ 4c 2 + 2c c 3 4 = 2 : c 2 + c c 3 4 = 3 (?) 2c 2 6 = 4; c 2 = 2 6 : (?) c 2 c 3 4 = c 2 6 = 2 = 4c 2 + c 3 4 = 2 2c 2 6 = 2 4 = 2: ) c 2 c 3 4 = : 4c 2 + c 3 4 = 2 3c 2 = 3; c = 2 : c 3 4 = H) c 3 4 = 2 H) c 3 = 2 4 : c ; c 2 ; c 3 t t6 2 2t+4 B y(t) 4 t t t+4 C A t t t+4 y B C (t) = Ay(t); t 2 R; A A: 2
44 p A p() = (2 )( ) 2 ; A = 2 2 = = 2 v 2 R 3 (A I 3 )v = (A 2I 3 )v = B A@ v v 2 v 3 C A = ; v = v 2 = v 3 v 3 v 3 = ; ' () (t) = 2t B A; t 2 R; 2 = v 2 R 3 (A 2 I 3 )v = (A I 3 )v = v B CB A@ v 2 A = ; v 2 = v 3 = v v v = ; ' (2) (t) = t B A; t 2 R; 2 2 v 2 R 3 (AI 3 ) 2 v = (AI 3 )v : (AI 3 ) 2 = ; (A I 3 ) 2 v = v B CB A@ v 2 A = ; v 3 v 3
45 v 3 = v v 2 v = v 2 = 2 : ' (3) (t) = t v + t(a I 2 )v = t B A + t t B CB A@ A = t B A + t t B A; t ' (3) (t) = t B A; t 2 R; y(t) t y(t) = c 2t B A + c 2 t B A + c 3 t B A; (c 2 + c 3 t) t B y(t) c 3 t C A; t 2 R; c 2t c ; c 2 c 3 : x ; x 2 R; n n A := I n + A + A2 2! + + A` `! + = X A 2 R n;n : A A A; B 2 R n;n t; s 2 R `= A` `!
46 ta = ta : (t+s)a = ta sa : t(a+b) = ta tb ; A B AB = BA: A+B = A B ; A B A B t = A B = X `= A` `! X `= B` `! = X `X `= k= A`k (` k)! B k = k! X `= `! (A + B)` = A+B : ta ta = A + ta t ` A`+ `! + = A I n + ta t ` A` `! + ; ta = A ta : ( y (t) = Ay(t); a t b; y(a) = y () ; A = a ij i;j 2 =;:::;n Rn;n t y(t) y(t) = (ta)a y () ; a t b: y y (t) = (ta)a y () = ta aa y () = A ta aa y () = A (ta)a y () = Ay(t):
47 = I n ; y(a) = A y () = I n y () = y () : ( y (t) = Ay(t) + f (t); a t b; y(a) = y () : y(t) y(t) = (ta)a hy () + y(t) = (ta)a y () + Z t a Z t a i (sa)a f (s) ds ; a t b; (ts)a f (s) ds; a t b: y (t) = ay(t) y (t) = ay(t) + f (t); y(t) = (ta)a v(t); a t b; v(t): y () v(t) t: v(t): y(a) = v(a); v(a) = y () : (ta)a v (t) = f (t) A (ta)a v(t) + (ta)a v (t) = A (ta)a v(t) + f (t); v (t) = (ta)a f (t); a t b:
48 v; v s t; [a; t]; a t b; v(a) = y () ; v(t) = y () + Z t a (sa)a f (s) ds; a t b: (ta)a A: A (ta)a A v; v; A; A p; p() := (A I n ); A: = A A A a ij ; i j; a ii A i A = ( ; : : : ; n ): n y i (t) = iy i (t); A` = (` ; : : : ; ǹ); ` 2 N ; A = ; : : : ; n :
49 y(t) (ta) y () y(t) = 2(ta) y () 2 B : A ; a t b; n(ta) y () n y () ; y () 2 ; : : : ; y () n y () : A A B; S A = S BS SAS = B A B A 2 = (S BS)(S BS) = S B 2 S A` = S B`S; ` 2 N : A = X `= A` `! = X `= S B`S `! = S X `= B` `! S; A = S B S: A = ( ; : : : ; n ) S S AS = : AS = S; A S n n A n A A n A S n; A:
50 A = S ; : : : ; n S : y(t) y(t) = S (ta) ; : : : ; n(ta) S y () ; a t b: A n S AS = ; y (t) = Ay(t) y (t) = SS y(t) S y (t) = S y(t); z(t) := S y(t); z (t) = z(t): z(a) = S y(a) = S y () =: z () : ( z (t) = z(t); a t b; z(a) = z () : n zi (t) = iz i (t); z i (a) = z () i ; z i (t) = i (ta) z () i ; i = ; : : : ; n; z(t) = (ta) ; : : : ; n(ta) z () ; a t b: z(t) S y(t) z () S y () ; = A A A m A m A m = :
51 A` = ; ` m; A` = A`m A m = A`m = : m; A m = ; A: A m n n A n; A m; A = m X `= y(t) y(t) = m X `= A` `! (t a)` A`y () ; a t b: `! A A = I n +M; M m: I n = I n ; I n nn I n n n M; A = I n+m = I n M = I n M = M ; m X A = `= M ` `! : y(t) m X y(t) = (ta) `= (t a)` M `y () ; a t b: `! n n A A J = (J ; J ; : : : ; J k ); J
52 J` ` ` J` = : : : : : : 2 C n`;n`; ` = ; : : : ; k; B ` A ` n n S A = S JS: A J = J ; J ; : : : ; J k : J` J` = `I n` + M n` M n` 2 R n`;n` M n` = : : : : : : : B A M n` M n` x x 2 : x n` x n` x 2 x 3 = : ; C B C x n` A x M n` x = ; n` x 2 C n`; M n` = : n` M n` n`:
53 M k n` M n` M 2 : : : : : : = ; : : : ; M n` n` B A n` = : : : : : : ; M n` = : n` B A Σχετικά με το γεγονός ότι ο πίνακας M n` είναι μηδενοδύναμος. M n` M n` = M n` n`; J = (J ; J ; : : : ; J k ) J ` = (J ` ; J ` ; : : : ; J ` k ); ` 2 N ; A = S J ; J ; : : : ; J k S: J ; J i ; i = ; : : : ; k; y(t) y(t) = B(t)y () ; a t b; B(t) 2 C n;n ; a t b; b ij (t) b ij (t) = mx `= p (i;j ) ` (t) `t ; a t b;
54 ` A p (i;j ) ` (t) `: A v (ta)a v v; A ; y(t) (ta)a y () ; (ta)a : v; y () : y () v () ; : : : ; v (k) : t; 2 R; (ta)a = (ta)i n (ta)(ai n) = (ta) I n (ta)(ai n) = (ta) (ta)(ai n) ; v 2 C n ; (ta)a v = (ta) (t a)` v + (t a)(a I n )v + + (A I n )`v + : `! A: v (A I n )v = (ta)a v = (ta) v: A n y () A C n A: v 2 C n A ; (A I n ) v = : (A I n ) +`v = ; ` 2 N ; (A I n ) +`v = (A I n )`(A I n ) v = (A I n )` = : (ta)a v = (ta) v + (t a)(a I n )v + + (t a) (A I n ) v : ( )!
55 ; A n n A n y () A: A k ; : : : ; k ; : : : ; k ; : : : ; k ; y () y () = v () + + v (k) ; v (i) A i ; i = ; : : : ; k: y(t) y(t) = kx (ta)a v (`) = `= kx `= k X `(ta) m= (t a) m (A I n ) m v (`) ; a t b: m! A: n n y (t) = Ay(t); y n A nn y (t) a a 2 : : : a n y 2 (t) y(t) = B : A ; A := a 2 a 22 : : : a 2n B : : : A : y n (t) a n a n2 : : : a nn
56 t 2 R y () 2 R n ; y(t ) = y () ; y () (t) y (2) (t) y () (t) + y (2) (t) y () (t) + y (2) (t) y () (t) V: V n; V = n: Διάσταση του χώρου λύσεων της. V n; V = n: V n i 2 f; : : : ; ng; ' (i) ( y (t) = Ay(t); t 2 R; y() = e (i) ; fe () ; : : : ; e (n) g R n ; e (i) j = ı ij ; i; j = ; : : : ; n: ' () ; : : : ; ' (n) c ' () + + c n ' (n) = ; c ; : : : ; c n ; c ' () () + + c n ' (n) () = ; c e () + + c n e (n) = ; e () ; : : : ; e (n) ; c = = c n = : y y ' () ; : : : ; ' (n) ; c ; : : : ; c n y(): z; z := c ' () + + c n ' (n) ;
57 z z() = c ' () () + + c n ' (n) () = c e () + + c n e (n) = y(); y: y ' () ; : : : ; ' (n) ; n y (t) = ay(t) y(t) = c at ; c; y(t) = t v; v 2 R n : y (t) = t v; t v = t Av; Av = v: y A v p A; p() = (A I n ): ; : : : ; n v () ; : : : ; v (n) v () ; : : : ; v (n) ' (i) (t) = i t v (i) ; i = ; : : : ; n; t 2 R;
58 V y y = c ' () + + c n ' (n) ; c ; : : : ; c n : ; : : : ; n A = a + b A v = u + w A v = uw y(t) = (a+b)t (u + w) y (t) = Ay(t); y y y(t) = at (bt) + (bt) (u + w) h i = at (bt)u (bt)w + (bt)u + (bt)w : y () y (2) ; y () (t) = at (bt)u (bt)w ; y (2) (t) = at (bt)u + (bt)w ; v = u w: at (bt) at (bt) A; A n ; : : : ; n ; n V;
59 ( y (t) = Ay(t); t 2 R; B C A A y () B C A: y() = y () ; p A p() = ( )[( ) 2 + ]; A = ; 2;3 = : = v 2 R 3 (A I 3 )v = (A I 3 )v = B A@ v v 2 v 3 C A = ; v 2 = v 3 = v v v = ; ' () (t) = t B A; t 2 R; 2;3 = 2 = + ; 3 = = 2 v 2 C 3 (A 2 I 3 )v = A ( + )I 3 v = B A@ v v 2 v 3 C A = ; v = v 2 = v 3 : v 3 := ; v 2 = ; y(t) = (+)t B A; t 2 R;
60 " # y(t) = (+)t B A = t B C B C ( t + A A " # " # = t B C B C A A + t B C B C A + A ; y(t) = t B ta + t B ta: t t ' (2) (t) = t B ta ' (3) (t) = t B ta; t 2 R; t t y(t) y(t) = c t B A + c 2 t B ta + c 3 t B ta; t 2 R; t t c ; c 2 c 3 : c ; c 2 c 3 t = c B C B C B C B A + c A + c A A c c 3 c 2 C B C A A;
61 c = c 2 = c 3 = : y(t) = t B A + t B ta + t B ta = t B t ta; t 2 R: t t t + t ; : : : ; n A A A n A A k k < n: k t v; v 2 C n : n k n v A ; (A I n ) v = : Πλήθος γραμμικά ανεξάρτητων γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων. ; : : : ; k A 2 R n;n ; ; : : : ; k ( + + k = n) ; : : : ; k ( j j ); j < j ; (A j I n ) 2 v = j + (A j I n ) m v = ; m < j ; m j (m j < j ) (A j I n ) m+ v = m j + j A j : n A: n
62 = A: A n n t v; A v t v; = A k; k < n; k t v: A; v; (A I n ) 2 v = (A I n )v : v; ta v = t v + t(a I n )v = (A I n ) 3 v = (A I n ) 2 v : v; ta v = t v + t(a I n )v + t 2 2 (A I n) 2 v = n ( y 2 3 (t) = Ay(t); t 2 R; B C A 2 A y () B C 2A: y() = y () ; 2
63 p A p; p() = (2) 3 ; = 2 A v 2 R 3 (A I 3 )v = (A 2I 3 )v = 3 v B CB A@ v 2 A = ; v 2 = v 3 = v v v = ; ' () (t) = 2t B A; t 2 R; A; v 2 R 3 (A 2I 3 ) 2 v = (A 2I 3 )v : (A 2I 3 ) 2 = ; (A 2I 3 ) 2 v = B A@ v 3 v v 2 v 3 C A = ; v 3 = v v 2 v = v 2 = A: ' (2) (t) = 2t v + t(a 2I 3 )v 3 = 2t B A + t 2t B CB A@ A = 2t B A + t 2t B A; t ' (2) (t) = 2t B A; t 2 R;
64 (A 2I 3 ) 2 v = ; A v 2 R 3 (A 2I 3 ) 3 v = (A 2I 3 ) 2 v : (A 2I 3 ) 3 = ; v 2 R (A 2I 3 ) 3 v = : v = (; ; ) T (A 2I 3 ) 2 v (A 2I 3 ) 2 v = ' (3) (t) = 2t v + t(a 2I 3 )v + t 2 2 (A 2I 3) 2 v = 2t 6B C B CB C 4@ A + A@ A + t 2 B CB A@ A5; t 2 R; 2 3t ' (3) (t) = 2t B t 2 2 t A; t 2 R; y(t) 2 t 3t y(t) = 2t 6 B C B C B t C7 A + c A + c t A5 ; c ; c 2 c 3 : + 5t ' (3) (t) = 2t B t t A; t 2 R;
65 y () (t); : : : ; y (n) (t) y (t) = Ay(t); A 2 R n;n ; y y(t) = c y () (t) + + c n y (n) (t); c ; : : : ; c n ; y(t) = Y (t)c; Y (t) n n y () ; : : : ; y (n) c = (c ; : : : ; c n ) T 2 R n : Θεμελιώδης πίνακας. n n Y (t) Y (t) ta : Θεμελιώδης πίνακας και εκθετική συνάρτηση. Y (t) ta = Y (t)y () : Y (t) t: s y (t) = Ay(t); t 2 R; y(s) = v; v 2 R n ; t = s; Y (s)c = v: v 2 R n ; Y (s) s Y (t) t: Y (t) = y () (t); : : : ; y (n) (t) = Ay () (t); : : : ; Ay (n) (t) = AY (t); Y (t) = AY (t):
66 ta ( ta ) = A ta : Y (t) Z(t) C 2 R n;n ; Z(t) = Y (t)c: y () (t); : : : ; y (n) (t) Y (t) z () (t); : : : ; z (n) (t) Z(t) Z(t) Y (t); z (j ) (t) = c j y () (t) + + c nj y (n) (t); j = ; : : : ; n; Z(t) = Y (t)c C = (c ij ) i;j =;:::;n : ta = Y (t)c: t = ; C = Y () ; ta = Y (t)y () : y (t) = Ay(t) + f (t); A 2 R n;n ; f : R! R n : y y y + y : y : y () (t); : : : ; y (n) (t) y(t) y(t) = c y () (t) + + c n y (n) (t); t 2 R; c ; : : : ; c n c i v i y y (t) = v (t)y () (t) + + v n (t)y (n) (t);
67 y (t) = Y (t)v(t); Y (t) = y () (t); : : : ; y (n) (t) v(t) = v (t); : : : ; v n (t) T : Y (t)v(t) + Y (t)v (t) = AY (t)v(t) + f (t); Y (t) Y (t)v (t) = f (t); v (t) = Y (t) f (t): v Z v(t) = Y (t) f (t) dt: y Z y (t) = Y (t) Y (t) f (t) dt y; c Z B C y(t) = Y : A + Y (t) Y (t) f (t) dt; c n c ; : : : ; c n ( y (t) = Ay(t) + f (t); t 2 R; y(t ) = y () ; y(t) = Y (t)y (t ) y () + Y (t) Z t t Y (s) f (s) ds:
68 t = ; Y (t)y () = ta ; Y (t)y (s) = Y (t)y () Y ()Y (s) = Y (t)y () Y (s)y () = ta sa = (ts)a ; y(t) = ta y () + Z t (ts)a f (s) ds: y (t) = Ay(t) + f (t); B C y() A; B C B C A 2 2A f (t) A; 3 2 t (2t) t 2 R: ta : p A p() = ( )( ); A = 2;3 = 2: = v 2 R 3 (A I 3 )v = (A I 3 )v = B 2 2A@ 3 2 v v 2 v 3 C A = ; v = v 3 v 2 = 3v 3 /2: v 3 = 2; 2 y () (t) = t B 3A; t 2 R; 2 y (t) = Ay(t) 2;3 = 2 2 = + 2; 3 = 2 = 2
69 v 2 C 3 (A 2 I 3 )v = A ( + 2)I 3 v = 2 B 2 2 2A@ v v 2 v 3 C A = ; v = v 3 = v 2 : v 2 := ; v 3 = ; y(t) = (+2)t B A; t 2 R; y(t) = (+2)t B A = t (2t) + (2t) " # B C B A A " # " # = t B C B C A A + t B C B C A + A ; y(t) = t B (2t) A + t B (2t) A: (2t) (2t) y (2) (t) = t B (2t) A y (3) (t) = t B (2t) A; t 2 R; (2t) (2t) y (t) = Ay(t) 2 Y (t) = t B 3 (2t) (2t) A: 2 (2t) (2t)
70 2 Y () B C 3 A 2 2 B 3 C 2 A; ta = Y (t)y () = t C (2t) + (2t) (2t) (2t) 2 2 A: + 3 (2t) (2t) (2t) (2t) 2 y Z t y(t) = ta B A + ta sa f (s) ds Z t = ta B A+ ta s CB C (2s) (2s) (2s) (2s) 2 2 A@ Ads 3 (2s) (2s) (2s) (2s) s (2s) 2 Z t = t B (2t) (2t) A + ta s B (2s) (2s) A ds (2t) + (2t) 2 (2s) = t B (2t) (2t) A + ta B (4t) 8 A; (2t) + (2t) t + (2t) 2 8 y(t) = t (2t) ( + t ) (2t) C 2 A: ( + t ) (2t) + 5 (2t) 2 4 p : [a; b]! R y (t) = p(t)y(t); t 2 [a; b]; C: R t y(t) = C a p(s) ds
71 y u; u(t) = R t a p(s) ds y(t); t 2 [a; b]; u = ; u Η μέθοδος της μεταβολής των σταθερών p; q : [a; b]! R y (t) = p(t)y(t) + q(t); t 2 [a; b]; C ; t y(t) = R a p(s) dsh Z t C + q(s) R i s a p() d ds ; a t b; a y(t) = C (t)r t a p(s) ds ; C C C y (t) = y(t) + [y(t)] 2 ; t 2; y() = y : [a; b] [; 2]; y c < / c > / 2 : y = p /( p ) t 3/2: c = /( p ): y = :
72 y (t) = y(t) [y(t)] 2 ; y() = 2; I; y: y (t) = t 2 y(t) [y(t)] 2 ; t 2; t y() = y : y = 3 t p 2: c = /4: y = 3: y (t) = + [y(t)]2 ; 2ty(t) y (t) = 2t [y(t)] 3 y(t) ; y (t) = 3[y(t)]2 + t 2 : 2ty(t) y() = ; y (t) = 2t + y(t) t + 2y(t) :
73 y (t) = t + [y(t)]2 ; ty(t) = (t): ( y (t) = Ay(t); t 2 R; y() = y () ; ( y (t) = Ay(t); t 2 R; y() = y () ; 2 B C A 2 A y () B C 2A: 2 B C A 3 2A y () B C 2A: I R p : I! R A nn p(t)a = p (t)a p(t)a ; t 2 I: X p(t)a [p(t)a]` X = = [p(t)]` A` `! `! `= `= p(t)a = X `= A` `p (t)[p(t)]` `! k= = p (t)a X [p(t)a]` `= X = p [p(t)a] k (t)a = p (t)a p(t)a : k! y ( y (t) = p(t)ay(t); t 2 I; y(a) = y () ; (` )! a I; y(t) = (R t a p() d)a y () ; t 2 I:
74 y ( y (t) = p(t)ay(t) + f (t); t 2 I; y(a) = y () ; a I f : I! R n A n n ; : : : ; k A v () ; : : : ; v (k) v () ; : : : ; v (k) v () v () ; : : : ; v (`) ; ` < k; c v () + + c`+ v (`+) = ; c Av () + + c`+ Av (`+) = ; c v () + + c`+ `+ v (`+) = : `+ c (`+ )v () + + c`(`+ `)v (`) = : c i (`+ i ) = ; i = ; : : : ; `; c = = c` = : c`+ v (`+) = ; c`+ = : v () ; : : : ; v (`+) n n M; M n: M x = (x ; ; : : : ; ) T M (; ; : : : ; ) T = M 2 x = (x ; x 2 ; : : : ; ) T ; M n x = n: x 2 C n M: Αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα ιδιοτιμών ενός πίνακα Jordan. nn J = (J ; J ; : : : ; J k ); J J = ( z ; : : : ; z m ); J` ` = ; : : : ; k:
75 p() := (J I n ) J I n ; p() = ( z ) ( z m )( ) n ( k ) n k : J z ; : : : ; z m ; : : : ; k z i j J J: J J J J ; : : : ; J k ; J J J n n A; A = S JS; A Για κάθε n n μηδενοδύναμο πίνακα A ισχύει A n = : A; B; C nn A C ABC = ; B B = : ABC = A C : nn J; J J n = : x 2 R n ; y := J x y i = x i+ ; J (i; i + ) y i = ; J (i; i + ) J 2 x; : : : ; J n x J n x = ; x 2 R n ; J n = : A nn A A n = :! A = 2 2 ; A = B 5 9 6A; 6 4
76 A; S AS = J: A J S A n S = J n : J n = ; A n = : A n n A A x A`x = `x: A` ; ` 2 N: Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα ενός πίνακα Jordan. n n J = (J ; J ; : : : ; J k ); J J = ( z ; : : : ; z m ); J` ` = ; : : : ; k: n J n` J`; ` = ; : : : ; k: J; J J J` ; (J I n ) + : J` + J` I n` (J` I n`) + = : J I n ; J : (J I n ) + J : (J I n ) + (J I n ) + v = ; J J ; n n J C n ; J R n ; J Πλήθος γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων οποιουδήποτε n n πίνακα. S n n v () ; : : : ; v (k) 2 C n Sv () ; : : : ; Sv (k)
77 A nn n A; S AS = J A: A J S (AI n )S = J I n ; S (AI n )`S = (J I n )`; (A I n )`S = S(J I n )`: v () ; : : : ; v (n) 2 C n J; Sv () ; : : : ; Sv (n) 2 C n A;
78
79
80
81
82
83
84
a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20
d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x
y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf
(1.1) y (t) = f ( t, y(t) ), a t b, y(a) = y 0.
1. Προβλήματα αρχικών τιμών Στο μεγαλύτερο μέρος αυτού του βιβλίου θα ασχοληθούμε με μεθόδους αριθμητικής επίλυσης προβλημάτων αρχικών τιμών για Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (Σ.Δ.Ε.). Στο πρώτο κεφάλαιο
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 4: Αποκρίσεις χαρακτηριστικών συστημάτων με
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών
Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων Τοµεας Γεωµετριας Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου Πρώτη Εργασία, 2017-2018 1. ίνεται ϱοή φ(p, t). (αʹ) είξτε ότι το ω οριακό
Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων
Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Κεφάλαιο 7. Μετασχηματισμός Laplace. 7.1 Εισαγωγή στον μετασχηματισμό Laplace
Κεφάλαιο 7 Μετασχηματισμός Laplace Σε αυτο το κεφάλαιο θα μελετήσουμε τη μέθοδο του μετασχηματισμού Laplace, η οποία αποτελεί μία από τις βασικές τεχνικές μαθηματικών προβλημάτων: μετασχηματίζει δύσκολα
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
Μάθημα: Θεωρία Δικτύων
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 5ο Εξάμηνο Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Ανάλυση Ευσταθείας Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ.
P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r
r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st
L A TEX 2ε. mathematica 5.2
Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica
< h < +. σ (t) = (sin t + t cos t, cos t t sin t, 3), σ (t) = (2 cos t t sin t, 2 sin t t cos t, 0) r (t) = e t j + e t k. σ (t) = 1 2 t 1 2 k
ΛΥΣΕΙΣ 1. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - Tromba. 1. 3.1(3)(a) Είναι r (t) = sin ti + 2 cos(2t)j, r (t) = cos ti 4 sin(2t)j για κάθε t, r (0) = 2j, r (0) = i. Η εξίσωση της εφαπτομένης στο r(0)
Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
March 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 4: Αποκρίσεις χαρακτηριστικών συστημάτων με
Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.
Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. 1. Ποιά από τα παρακάτω σύνολα είναι συμπαγή; Μία κλειστή μπάλα, μία ανοικτή μπάλα, ένα ανοικτό ορθ. παραλληλεπίπεδο, ένα ευθ. τμήμα (στον R n ), μία
ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016
ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο
(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X
X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω
Teen Physique. 131 Luke Smith Lance Manibog Donail Nikooei 4 137
T hysq Fst Lst 20 Avo Vs 1 20 21 Rdy z 16 21 56 Ms Sz 8 56 67 Dy Gdy 15 67 82 Adw L 11 82 94 Do Csos 12 94 98 Jss Vs 6 98 103 Jss Mo 13 103 105 Dvd K 10 105 107 Jo By 9 107 112 Js Gtt 3 112 114 Ty MKy
Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14
1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής
Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης Δ. Δημογιαννόπουλος,
Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
Διαφορικές εξισώσεις 302.
Διαφορικές εξισώσεις 32. Μαθηματικό Αθήνας Συλλογή ασκήσεων 1 Λύτες: Βουλγαρίδου Εύα Ορμάνογλου Στράβων Παπαμικρούλη Ελένη Παπανίκου Μυρτώ Καθηγητές: Αθανασιάδου - Μπαρμπάτης Επιμέλεια L A TEX: Βώβος Μάριος
Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Υπολογισμός του εκθετικού πίνακα Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 13
Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 13 Πάτρα 28 Προσαρμοστικός έλεγχος με μοντέλο αναφοράς
Ενότητα 10: Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10: Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #2: Ποιοτικά Χαρακτηριστικά Συστημάτων Κλειστού Βρόχου - Μόνιμα Σφάλματα Δημήτριος Δημογιαννόπουλος
!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3. Κανονικές μορφές Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Γεώργιος Ακρίβης. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
Γεώργιος Ακρίβης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου 018 1 / 7 Προβλήματα δοκιμής Πρόκειται για απλές συνήθεις
Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr
Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.
Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design
Supplemental Material for Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design By H. A. Murdoch and C.A. Schuh Miedema model RKM model ΔH mix ΔH seg ΔH
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα
Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2016 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς
Συνθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκσεις - 26/0/207 Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης της
Παράδειγµα Θεωρείστε το σύστηµα: αυτοκίνητο επάνω σε επίπεδη επιφάνεια κάτω από την επίδραση δύναµης x( t ) : v(t)
Παράδειγµα Θεωρείστε το σύστηµα: αυτοκίνητο επάνω σε επίπεδη επιφάνεια κάτω από την επίδραση δύναµης x( t ) : p(t) v(t) v(t) Πίεση στό γκάζι Σήµα εισόδου t ΣΥΣΤΗΜΑ Ταχύτης του αυτοκινήτου Σήµα εξόδου t
Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πρώτης Τάξης
KEΦAΛAIO 5 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πρώτης Τάξης Όπως είδαμε στο Κεφάλαιο 4, η δυναμική μελέτη ενός φυσικού/ χημικού συστήματος οδηγεί συχνά στη διερεύνηση της δυναμικής συμπεριφοράς μιας γραμμικής,
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x
Χρονική απόκριση συστημάτων, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα
Χρονική απόκριση συστημάτων, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Χρονική απόκριση συστημάτων αυτομάτου ελέγχου Στα περισσότερα συστήματα αυτομάτου ελέγχου χρησιμοποιείται ως ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος,
(G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 6 W G G C = {K 2,i i = 1, 2,...} (C[, 2]) (C[, 2]) {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G u v G (G) = 2 O 1 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 O 8, O
1. ίνονται τα διανύσµατα: x=(a+µ,1), y=(0,b), a,b>0. Για ποιες τιµές του µ τα διανύσµατα είναι: (α) γραµµικά εξαρτηµένα, (β) γραµµικά ανεξάρτητα.
. ίνονται τα διανύσµατα: x=(a+µ,), y=(0,b), a,b>0. Για ποιες τιµές του µ τα διανύσµατα είναι: (α) γραµµικά εξαρτηµένα, (β) γραµµικά ανεξάρτητα.. ίνονται τα διανύσµατα (x,0), (0,y), (z,0). Είναι γραµµικά
Γραμμικά Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων
Κεφάλαιο 8 Γραμμικά Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε συστήματα διαφορικών εξισώσεων με περισσότερες από μία άγνωστες συναρτήσεις. Τέτοια συστήματα εμφανίζονται σε πολλά φυσικά
-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003
-! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!
Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις
Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική
TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789
TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2
iii) x + ye 2xy 2xy dy
ΕΚΠΑ - Τμήμα Μαθηματικών Διαφορικές Εξισώσεις Ι Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παραδόσεις Ε. Κόττα-Αθανασιάδου Ασκήσεις (Είναι οι ασκήσεις που αφήνονται για «λύση στο σπίτι» στις παραδόσεις της διδάσκουσας.
Παράρτημα. Παράρτημα - Ανάλυση Έλεγχος και Προσομοίωση Δυναμικών Συστημάτων
Παράρτημα Σύνοψη Στο παράρτημα αυτό θα παρουσιαστούν βασικές έννοιες των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου απαραίτητες για την κατανόηση της λειτουργίας των υδραυλικών και πνευματικών συστημάτων. Οι έννοιες
y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα
( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]
![( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]](/thumbs/49/25424945.jpg "( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]")
1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter
Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN
Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDN Εάν ένας πίνακας δεν διαγωνοποιείται, τότε ο στόχος μας είναι υπολογίσουμε μέσω ενός μετασχηματισμού ομοιότητας, έναν απλούστερο πίνακα, «σχεδόν διαγώνιο» όπως ο παρακάτω πίνακας
Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9. Πραγματοποιήσεις Συνάρτησης Μεταφοράς Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Επίλυση Δ.Ε. με Laplace
Επίλυση Δ.Ε. με Laplace Ν. Παπαδάκης 24 Οκτωβρίου 2015 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 1 / 78 Περιεχόμενα 1 Παρουσίαση Προβλήματος Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Ορισμός Άλλες μορϕή
HONDA. Έτος κατασκευής
Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V
= (2)det (1)det ( 5)det 1 2. u
www.maths.gr, Ενδεικτικές Λύσεις ης Εργασίας ΦΥΕ4 έτους -. Οι Λύσεις είναι για την βοήθεια των φοιτητών, σε ΘΕΜΑ ο 5 6 4 6 4 5 det 4 5 6 ()det ()det ()det 8 9 7 9 7 8 7 8 9 ()( ) ()( 6 ) ()( ) 5 4 4 det
GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c
GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία
Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και
γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
{(x, y) R 2 : f (x, y) = 0}
ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Διάλεξη 13 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης Οκτ 2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ 102-13 Οκτ 2014 1 / 10 Ενα θεμελιώδες πρόβλημα της Αναλυτικής Γεωμετρίας
ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα
DC BOOKS. a-pl½-z-v iao-w Da-c-n
a-pl½-z-v iao-w Da-c-n 1945 P-q-s-s-e 24þ\-v I-mkÀ-t-I-m-U-v aq-s-w-_-b-e-nâ P-\-n -p. {-K-Ù-I-À- -mh-v-, h-n-hà- I³-, d-n-«. A-²-y-m-]-I³. C-c-p-]- -n-\-m-e-p hàj-s- A-²-y-m-]-IP-o-h-n-X- -n-\-pt-i-j-w
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 2013 ιδάσκων : Π.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 203 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Πέµπτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 23/05/203 Ηµεροµηνία
Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3
Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,
Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN
Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΛΑΝΔΡΑΚΗ ΓΑΡΥΦΑΛΙΑ Επιβλέπων καθηγητής : Μακριδάκης Χαράλαμπος Περιεχόμενα Εισαγωγή Κεφάλαιο 1. Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN 1.1 Προκαταρκτικά 1.2
Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής. Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ
1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προσανατολισμένο Ευθύγραμμο Τμήμα (π.ε.τ.) είναι το ευθύγραμμο τμήμα PQ στο οποίο ορίζουμε το άκρο Ρ αυτού να είναι η αρχή του π.ε.τ. και το άκρο Q αυτού να είναι το
3. Γραμμικά Συστήματα
3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,
Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen
Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen Dissertation date: GF F GF F SLE GF F D Ĉ = C { } Ĉ \ D D D = {z : z < 1} f : D D D D = D D, D = D D f f : D D
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.
m i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.
Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα
Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία
Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 3: Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς
Το άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1
Ψηφιακός Έλεγχος 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης Ψηφιακός Έλεγχος Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Έστω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + x k Ax k Bu k Εφαρμόζουμε γραμμικό
() min. xt δεν έχει μετασχηματισμό LAPLACE () () () Αν Λ= το σήμα ( ) Αν Λ, έστω σ. Το σύνολο μιγαδικών αριθμών. s Q το ολοκλήρωμα (1) υπάρχει.
Έστω xt : Ο (αμφίπλευρος) μετασχηματισμός LAPLACE ορίζεται : X: L { xt} : X xt e dt = = μιγαδική συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής = σ+ j Ο (μονόπλευρος) μετασχηματισμός LAPLACE ορίζεται : L { xt } :
1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]
![1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]](/thumbs/77/75945202.jpg "1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]")
σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν
x k Ax k Bu k y k Cx k Du k «άνυσµα καταστάσεων» «άνυσµα εισόδων»
ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Μία άλλη περιγραφή συστηµάτων διακριτού χρόνου είναι η περιγραφή µέσω των εξισώσεων του «χώρου των καταστάσεων» (state space represetatios)
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου
1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1
1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
Μηχανική - Ρευστομηχανική
Μηχανική - Ρευστομηχανική Ενότητα 3: Κίνηση Υλικού σημείου σε τρείς διαστάσεις Διδάσκων: Πομόνη Αικατερίνη, Αναπλ. Καθηγήτρια Επιμέλεια: Γεωργακόπουλος Τηλέμαχος, Υπ. Διδάκτωρ Φυσικής 05 Θετικών Επιστημών
F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2
F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =
Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί
Παράρτημα ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 3 ο : Αντίστροφος μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 4 ο : Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων Παράρτημα 5 ο : Τυποποιημένα σήματα
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΙΠΛΩΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΕ. Ι..Ε.
ΑΣΚΗΣΗ 1 ΟΜΑ Α 2 Στην ακόλουθη άσκηση σας δίνονται τα έξοδα ανά µαθητή και οι ετήσιοι µισθοί (κατά µέσο όρο) των δασκάλων για 51 πολιτείες της Αµερικής. Τα δεδοµένα είναι για τη χρονιά 1985. Οι µεταβλητές
ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018
ΝΙΚΟΛΑΟΣ M. ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ: «Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις & Μιγαδικές Συναρτήσεις: Θεωρία και Εφαρμογές» η Έκδοση, Αυτοέκδοση) Αθήνα, ΜΑΡΤΙΟΣ 06, Εξώφυλλο: ΜΑΛΑΚΟ, ΕΥΔΟΞΟΣ: 5084750, ISBN: 978-960-93-7366-
ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ POINCARE-BENDIXSON. Κώστα Γεωργία. Επιβλέπων καθηγητής: Ανούσης Μιχαήλ. Εξεταστική επιτροπή: Φελουζής Ευάγγελος. Καραχάλιος Νικόλαος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟ: ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ POINCARE-BENDIXSON Κώστα Γεωργία Επιβλέπων καθηγητής: Ανούσης Μιχαήλ Εξεταστική επιτροπή: Φελουζής
Ενότητα 11: Βέλτιστος Έλεγχος με φραγμένη είσοδο - Αρχή ελαχίστου του Pontryagin. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11: Βέλτιστος Έλεγχος με φραγμένη είσοδο - Αρχή ελαχίστου του Pontryagin Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου
Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου Για την ανεύρεση της µορφής των λύσεων στρεφόµαστε προς τις αναγκαίες συνθήκες, αρχικά στις Εξισώσεις Euler-Lagrange: Τ Τ Τ! f d! f = 0 t t0, t
Χαρακτηριστική Εξίσωση Πίνακα
Έστω ο n nτετραγωνικός πίνακας A της μορφής a L a M O M an L a όπου aij, i n, j n πραγματικές σταθερές Ονομάζουμε χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα A την εξίσωση A λi, όπου I ο n n μοναδιαίος πίνακας και
Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11. Ελεγξιμότητα (μέρος 2ο) Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Ανακεφαλαίωση. T!q i. Q i δ q i q i. d T. ! r j. F j = V. r j. δ q j. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά: "" r ) δ r! i i. m i. ! r i
Ανακεφαλαίωση Τι είδαμε την προηγούμενη φορά: N Αρχή D Alembert: ( F i m i "" r ) δ r i i = 0 i=1 για σύστημα με k ολόνομους δεσμούς και n=n-k γενικευμένες συντεταγμένες q i : d r i = θεωρώντας δυνητικές