Θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων Φυσικής 015 Θέμα Α Στις ερωτήσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συμπληρώνει σωστά την ημιτελή πρόταση. A1. Η συχνότητα μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης α) είναι ίση με τη συχνότητα του διεγέρτη β) είναι πάντα ίση με την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή γ) εξαρτάται από την αρχική ενέργεια της ταλάντωσης δ) είναι ίση με το άθροισμα της συχνότητας του διεγέρτη και της ιδιοσυχνότητας του ταλαντωτή. Μονάδες 5 Σελίδα 1 σχολικού εγχειριδίου A. Ποια από τις περιοχές του φάσματος της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας έχει τη μικρότερη συχνότητα; α) η υπέρυθρη ακτινοβολία β) τα ραδιοκύματα γ) το ορατό φως δ) οι ακτίνες γ. Μονάδες 5 Σελίδα 61 σχολικού εγχειριδίου A3. Δύο σφαίρες Α και Β με ίσες μάζες, μία εκ των οποίων είναι ακίνητη, συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Το ποσοστό της μεταβιβαζόμενης ενέργειας από τη σφαίρα που κινείται στην αρχικά ακίνητη σφαίρα είναι: α) 100% β) 50% 1
γ) 40% δ) 0%. Μονάδες 5 Σελίδα 159 σχολικού εγχειριδίου. Βέβαια, εδώ πρέπει να γίνει ένας μικρός υπολογι- σμός... K' K 1 100% = 1 mu' 1 mu 1 100% = u ' 100% = 100% u 1 A4. Ένα στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα. Εάν διπλασιαστεί η στροφορμή του, χωρίς να αλλάξει ο άξονας περιστροφής γύρω από τον οποίο αυτό περιστρέφεται, τότε η κινητική του ενέργεια: α) παραμένει σταθερή β) υποδιπλασιάζεται γ) διπλασιάζεται δ) τετραπλασιάζεται. Μονάδες 5 K = 1 Iω = 1 Iω I I = I ω I = L I ( ) αν L' = L τότε K' = L' I = L I = 4 L I K' = 4K Α5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε Κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Σε μια φθίνουσα ταλάντωση στην οποία η αντιτιθέμενη δύναμη είναι ανάλογη της ταχύτητας (F= - bu), για ορισμένη τιμή της σταθεράς απόσβεσης b η περίοδος μειώνεται. Λ
Σελίδα 19 σχολικού εγχειριδίου β) Η σχέση που περιγράφει το φαινόμενο Doppler για το φως είναι διαφορετική από αυτήν που ισχύει για τον ήχο. Σ Σελίδα 171 σχολικού εγχειριδίου γ) Τα φαινόμενα της ανάκλασης και της διάθλασης είναι κοινά σε όλα τα είδη κυ- μάτων, ηλεκτρομαγνητικά και μηχανικά. Σ Σελίδα 66 σχολικού εγχειριδίου δ) Η σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, της ίδιας διεύθυνσης που γί- νονται γύρω από το ίδιο σημείο με συχνότητες που διαφέρουν λίγο μεταξύ τους, είναι απλή αρμονική ταλάντωση. Λ Σελίδα 7 σχολικού εγχειριδίου ε) Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι η ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέ- δου τους. Σ Σελίδα 114 σχολικού εγχειριδίου Μονάδες 5 3
Θέμα Β Β1. Λεπτή ομογενής ράβδος μάζας Μ και μήκους l μπορεί να περιστρέφεται σε κα- τακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Στο άλλο άκρο της ράβδου, είναι στερεω- μένο σφαιρίδιο μάζας m =M/, όπως φαί- νεται στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή που το σύστημα ράβδου σφαιριδίου αφήνεται να κινηθεί από την οριζόντια θέση, ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου είναι: α. ΔL ρ Δt = 1 Mgl β. ΔL ρ Δt = Mgl γ. ΔL ρ Δt = 5 Mgl Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της που περνά από το άκρο της, είναι I ρ = 1 3 Ml. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες Υπολογίζουμε τη συνολική ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδου σφαιριδίου: I = Ι ρ + I σ = 1 3 Μ l + Μ l I = 5 6 Μ l Στη συνέχεια, υπολογίζουμε το μετρο της γωνιακής επιτάχυνσης του συστήματος τη στιγμή που το σύστημα βρίσκεται στην οριζόντια θέση του: Στ = Iα γων Μ g l + M gl = 5 6 Ml α γων Μ g l = 5 6 M l α γων α γων = 6g 5l () Για τη ράβδο, λαμβάνοντας υπόψη ότι διαθέτει την ίδια γωνιακή επιτάχυνση με αυτήν του συστήματος, ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της είναι: 4
dl dt ρ = I ρ α γων = 1 3 Μ l 6g 5l dl dt ρ = 5 Μ gl Μονάδες 6 Β. Ένα στάσιμο κύμα που δημιουργείται σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο περι- γράφεται από την εξίσωση: y = Aσυν π x λ ηµ π t T Το πλάτος ταλάντωσης Α ενός σημείου Μ του ελαστικού μέσου που βρίσκεται δε- ξιά του τρίτου δεσμού x = 0 και σε απόσταση λ/1 από αυτόν είναι: α. A' = A 3 β. A' = A / γ. A' = A Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες Σχεδιάζοντας ένα στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος, υπολογίζουμε εύκολα την τετμημένη του σημείου Μ, δηλαδή: x M = 5 λ 4 + λ 1 x M = 4λ 3 Επομένως το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Μ θα είναι: A M ' = Aσυν π x M λ 4λ = Aσυν π 3 λ = Aσυν 8π 3 5
A M ' = Aσυν π + π 3 = Aσυν π 3 = A 1 A ' = A = M Μονάδες 6 B3. Σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης θ είναι τοποθετημένα δύο σώματα Σ1 και Σ με μάζες m1 και m αντίστοιχα, που εφάπτονται μεταξύ τους. Το σώμα Σ1 είναι δε- μένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς k, ενώ το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Μετακινώντας τα δύο σώματα προς τα κάτω, το σύστημα τίθεται σε ταλάντωση πλάτους Α. Η συνθήκη για να μην αποχωριστεί το Σ1 από το Σ είναι: α. A k < ( m 1 + m )gηµθ β. A k > ( m 1 + m )gηµθ γ. A k > ( m 1 + m ) gηµθ Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες Υπολογίζουμε τη συσπείρωση του ελατηρίου Δl όταν το σύστημα ισορροπεί. Σχε- διάζουμε το σύστημα, σε μια τυχαία απομάκρυνση x από τη ΘΙ της ταλάντωσής του και απομονώνουμε για τη μελέτη μας το σώμα Σ. Το Σ εκτελεί ταλάντωση με την κυκλική συχνότητα ω του συστήματος: D = k = ( m 1 + m )ω ω = k m 1 + m () και διαθέτει σταθερά επαναφοράς D που περιγράφεται από τη σχέση: D = m ω (3) από (), (3): D = m m 1 + m k (4) 6
Σ F x = 0 ( m 1 + m )gηµθ = kδl Δl = ( m 1 + m )gηµθ k Έχοντας σχεδιάσει και τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα Σ (όπου F η δύναμη επαφής από τη Σ1), από τη συνθήκη ΑΑΤ: (1) Σ F = D x F m gηµθ = D x F = m gηµθ D x (5) Αφού απαιτούμε να μη χάνεται η επαφή μεταξύ των δύο σωμάτων, θα πρέπει: F > 0 m gηµθ D x > 0 m gηµθ > D x x < m gηµθ D (6) Επομένως από (4), (5), (6): x < m gηµθ = m gηµθ x < ( m + m )gηµθ 1 D m k k m 1 + m Επομένως η μέγιστη απομάκρυνση x = A θα πρέπει: A k < ( m 1 + m )gηµθ Μονάδες 6 7
Θέμα Γ Ιδανικός πυκνωτής χωρητικότητας C είναι φορτισμένος σε τάση V = 40V. Τη χρο- νική στιγμή t = 0 συνδέεται με ιδανικό πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L και το κύκλωμα αρχίζει να εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Η ενέργεια UE του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή, σε συνάρτηση με το την ένταση i του ρεύματος, στο κύκλωμα δίνεται από τη σχέση UB = 8.10 - (1 i ) (S.I.) Γ1. Να υπολογίσετε την περίοδο των ηλεκτρικών ταλαντώσεων του κυκλώματος. Γ. Να υπολογίσετε την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή τη χρονική στιγμή t = T/1. Γ3. Να υπολογίσετε το μετρο του ρυθμού μεταβολής της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα κάθε φορά που η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή γί- νεται τριπλάσια της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου πηνίου. Γ4. Να γράψετε τη συνάρτηση f που συνδέει το τετράγωνο του φορτίου του πυ- κνωτή με το τετράγωνο της έντασης του ρεύματος από το οποίο διαρρέεται το πηνίο, q = f(i ) και να την παραστήσετε γραφικά. Μονάδες 8+5+6+6(+4) Γ1. Εφαρμόζοντας την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας της ταλάντωσης για το κύ- κλωμα, καταλήγουμε σε μια σχέση που εύκολα με αντιστοιχίες με τη σχέση που μας δίνεται, υπολογίζουμε το συντελεστή L αυτεπαγωγής του πηνίου: E = U E +U B U E = E U B U E = E 1 Li (1) U B = 8 10 8 10 i () Από (1), (): 1 Li = 8 10 i L = 16 10 H Επίσης, η ενέργεια Ε του κυκλώματος είναι ίση με: Ε = 8 10 J Η τελευταία μπορεί να γραφεί και ως έξης: E = 1 CV C = E V οπότε υπολογίζουμε και τη χωρητικότητα του πυκνωτή. C = 10 4 F 8
Επομένως η περίοδός της ταλάντωσής του Τ είναι: Τ = π LC T = π 16 10 10 4 Τ = 8π 10 3 s Γ. Από την ενέργεια Ε του κυκλώματος, μπορούμε να υπολογίσουμε και το πλάτος Q του φορτίου του πυκνωτή: E = 1 Q C Q = CE Q = 4 10 3 C Αφού τη χρονική στιγμή t = 0, έχουμε q = +Q και i = 0, η χρονική εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή περιγράφεται από τη σχέση: q = Qσυνωt οπότε, αντικαθιστώντας όπου t = T/1: q = Qσυνωt q = Qσυν π Τ Τ 1 = Qσυν π 6 q = Q 3 οπότε η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή είναι: U E = 1 q C = 1 Q 3 C = 1 Q C 3 4 U E = 3 4 E U E = 6 10 J Γ3. Υπολογίζουμε για ποιες τιμές του φορτίου του πυκνωτή γίνεται U E = 3U B, με τη βοήθεια της Αρχής Διατήρησης της Ενέργειας της ταλάντωσης: E = U E +U B Ε = U E + U E 3 Ε = 4 3 U 1 Q E C = 4 1 3 q C q = Q 3 Γνωρίζουμε ότι ισχύουν οι αντιστοιχίες ανάμεσα στις μηχανικές και ηλεκτρικές ταλαντώσεις, οπότε σύμφωνα με τον πίνακα θα ισχύει: 9
Οπότε di dt = ω q = ω Q 3 di dt = 15 3 A / s Γ4. Με τη βοήθεια της Αρχής Διατήρησης της Ενέργειας της ταλάντωσης: E = U E +U B 8 10 = 1 q C + 1 Li q = 16 10 6 (1 i ) ( S.I.) οπότε σχεδιάζουμε και το διάγραμμα που ακολουθεί, όπου το πλάτος της έντασης του ρεύματος είναι: I = ωq I = 103 4 4 10 3 I = 1A 10
Θέμα Δ Από το εσωτερικό άκρο Α ενός ημισφαι- ρίου ακτίνας R = 1,6 m αφήνεται να κυ- λήσει μια συμπαγής μικρή σφαίρα μάζας m = 1,4 kg και ακτίνας r = R/8. Το ημι- σφαίριο είναι βυθισμένο στο έδαφος, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα και η κίνηση της σφαίρας γίνεται χωρίς ολί- σθηση. Δ1. Να εκφράσετε τη στατική τριβή TS που ασκείται στη σφαίρα σε συνάρτηση με το συνημίτονο της γωνίας φ που σχηματίζει η ακτίνα ΟΓ του ημισφαιρίου με την ευθεία ΑΕ της επιφανείας του εδάφους. Δ. Να υπολογίσετε την κάθετη δύναμη που ασκεί η ημισφαιρική επιφάνεια στη σφαίρα όταν αυτή βρίσκεται στο σημείο Γ όπου φ = 30 ο. Μια άλλη σφαίρα, όμοια με την προηγούμενη εκτοξεύεται από το κατώτατο σημείο Δ του ημισφαιρίου με ταχύτητα u = 6m/s και κυλίεται χωρίς ολί- σθηση στο εσωτερικό του με κατεύθυνση το άκρο Ε. Δ3. να υπολογίσετε το μέγιστο ύψος από την επιφάνεια του εδάφους που θα φτάσει η σφαίρα κατά την κίνησή της. Δ4. να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας και το ρυθμό με- ταβολής της στροφορμής της σφαίρας αμέσως μόλις χάσει την επαφή με την επι- φάνεια του ημισφαιρίου στο σημείο Ε. Δίνεται: Η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας I cm = 5 mr και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s. Μονάδες 6+6+7+6(4+) Δ1. Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στη σφαίρα και τη στιγμή που διέρ- χεται από τη θέση (Γ) εφαρμόζουμε τους Θεμελιώδεις Νόμους για τη μεταφορική και στροφική κίνηση: 11
Σ F = ma cm mgσυνϕ T S = ma cm (1) Στ = Ι a γων T S r = 5 mr a γων T S = 5 ma cm () Διαιρώντας κατά μέλη (1), (): Τ S = 7 mgσυνϕ Τ S = 4συνϕ Δ. Εφαρμόζοντας την Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας ΑΔΜΕ από τη θέση (Α) μέχρι τη θέση (Γ) της σφαίρας, υπολογίζουμε το μέτρο της ταχύτητάς του ucm όταν διέρχεται από τη θέση (Γ): E µηχ,α = E µηχ,γ mgh = 1 mu + 1 cm 5 mr ω mgh = 1 mu + 1 cm 5 mu cm mgh = 0,7mu cm gh = 0,7u cm (1) όμως ηµϕ = h R r h = R r h = 0,7m() Από (1), (): u cm = 10 u cm = 10m / s (3) Εφαρμόζουμε τη συνθήκη της κεντρομόλου δύναμης και υπολογίζουμε το μέτρο της κάθετης δύναμης Ν που δέχεται η σφαίρα τη στιγμή που περνάει από τη θέση (Γ) του ημισφαιρίου: Σ F ακτινα = ma k N mgηµϕ = m u cm R r N = 17N 1
Δ3. Εφαρμόζοντας ΑΔΜΕ για την κίνηση της σφαίρας από τη θέση (Δ) μέχρι τη θέση (Ε) και υπολογίζουμε το μέτρο της ταχύτητάς ucm όταν διέρχεται από τη θέ- ση (Ε): E µηχ,δ = E µηχ,ε 1 mu + 1 cm,δ 5 mr ω Δ = 1 mu + 1 cm,ε 1 u + 1 cm,δ 5 u = 1 cm,δ u + 1 cm,ε 5 u + g( R r ) cm,ε 0,7u cm,δ = 0,7u cm,ε + g( R r ) u cm,ε = 4m / s 5 mr ω Ε + mg( R r ) Η σφαίρα όταν εγκαταλείψει το ημισφαίριο, θα περιστρέφεται με την ίδια γωνια- κή ταχύτητα καθώς ανεβαίνει (αφού το βάρος της δεν προκαλεί ροπή), ενώ το κέ- ντρο μάζας της θα επιβραδύνεται μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητά του στιγμιαία σε ύψος Η από το έδαφος. Εφαρμόζοντας ΑΔΜΕ για τις θέσεις (Δ) και (Ε) της σφαίρας, υπολογίζουμε το μέ- τρο της ταχύτητας ucm όταν διέρχεται από τη θέση (Ε): E µηχ,ε = E µηχ,ζ 1 mu cm,δ + Κ στρ,ε = Κ στρ,ε + mgη 1 mu = mgη Η = 0,8m cm,δ 13
Δ4. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής του ενέργειας στη θέση (Ε) είναι: dk dt = mgu cm,e dk dt = 56 J / s Ενώ ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ισούται με μηδέν, αφού έχει πλέον χάσει την επαφή της με το ημισφαίριο και δεν δέχεται δύναμη που να προκαλεί ρο- πή! dl dt = 0 14