ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ (Δ.Π.Θ.) ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΞΑΝΘΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ (Παλινδρομικές Θερμικές Μηχανών) (Βασικοί Υπολογισμοί) Διδάσκων: Δρ. Αναστάσιος Καρκάνης Μηχανολόγος Μηχανικός Μέλος ΕΤΕΠ Δ.Π.Θ.
Βασικοί Υπολογισμοί Καύση: διεργασία μετατροπής μάζας και ενέργειας κατά την οποία η ενέργεια των χημικών δεσμών του καυσίμου μετατρέπεται σε θερμική ενέργεια Χαρακτηριστικά καύσης: εξώθερμη χημική αντίδραση μεταξύ του καυσίμου και του οξυγόνου. Το καύσιμο αντιδρά με το οξυγόνο του αέρα (οξείδωση) και παράγει προϊόντα, όπως το διοξείδιο του άνθρακα (CΟ2) και ο υδρατμός (Η2Ο), που έχουν χαμηλότερη ενέργεια χημικών δεσμών συγκριτικά με τα αντιδρώντα.
ΚΑΥΣΗ = Εξώθερμη χημική αντίδραση. Βασικοί Υπολογισμοί Τέλεια καύση = Η πλήρης καύση όλων των στοιχείων του καυσίμου με μοναδικά παραγόμενα προϊόντα καύσης: CO 2, H 2 O και SO 2 (αν υπάρχει S) Ατελής καύση = Η εν μέρει καύση των στοιχείων του καυσίμου με επιπλέον παραγόμενα προϊόντα καύσης: CO, άκαυστοι υδρογονάνθρακες (HC) Θερμοκρασία αυτανάφλεξης: i. Ξύλου 250 300 C v. CO 590 610 C ii. Λιθάνθρακα 400 500 C vi. H 2 450 530 C iii. Πετρέλαιο 230 242 C vii. Προπάνιο C 3 H 8 490 510 C iv. Βενζίνη 330 520 C viii.βουτάνιο C 4 H 10 460 490 C 3
Καύσιμο = Συσσωρευτής ενέργειας Το Αργό Πετρέλαιο (Crude oil) και τα υποπροϊόντα του, χαρακτηρίζονται από: i. Ευελιξία ii. Ευκολία μεταφοράς iii. Δυνατότητες αποθήκευσης iv. Ανθεκτικότητα στο χρόνο v. Εύρος δυνατοτήτων καύσης vi. Υψηλή θερμογόνος δύναμη Βασικοί Υπολογισμοί 4
Βασικοί Υπολογισμοί Θερμογόνος δύναμη Ανώτερη Θερμογόνος Δύναμη (ΑΘΔ) High Calorific Value (HCV) καυσίμου: η αποδιδόμενη θερμότητα κατά τη τέλεια καύση, με προϊόντα μόνο CΟ 2 και Η 2 Ο, και ο παραγόμενος υδρατμός έχει συμπυκνωθεί σε υγρή κατάσταση στους 25 C (αποδίδοντας την λανθάνουσα θερμότητα του). Ανώτερη Θερμογόνο Δύναμη (ΑΘΔ) ενός καυσίμου χωρίς υγρασία στη στοιχειακή κ.β. σύσταση του, υπολογίζεται από τη σχέση: O ΑΘΔ 33.890, 4 C 144.180,6 (H ) kj/kg 8 όπου: C, H και Ο η %κ.β. στοιχειακή σύσταση του καυσίμου, σε άνθρακα, υδρογόνο και οξυγόνο, αντίστοιχα Κατώτερη Θερμογόνος Δύναμη (ΑΘΔ) Lower Calorific Value (LCV) καυσίμου: Στην περίπτωση που δεν ανακτηθεί η λανθάνουσα θερμότητα εξάτμισης του υδρατμού (δεν συμπυκνωθεί) και εξέλθει σε αέρια μορφή, θερμοκρασία μεγαλύτερη των 100 C τότε η αποδιδόμενη θερμότητα ονομάζεται κατώτερη θερμογόνος δύναμη του καυσίμου και ισούται με. LCV = HCV μ Η2 Ο xh fg
Βασικοί Υπολογισμοί Θερμογόνος δύναμη Παράδειγμα υπολογισμού Θερμογόνου ύναμης Υπολογισμός της Κατώτερης Θερμογόνου ύναμης (ΚΘ ) βιομάζας που περιέχει, χωρίς υγρασία: 50% κβ άνθρακα, 6% κβ υδρογόνο, 44% κβ οξυγόνο και υγρασία 20 % Η συγκεκριμένη βιομάζα περιέχει 80% κβ ξηρή ύλη και 20% κβ νερό. Η ξηρή ύλη έχει ΑΘ : ΑΘ = 33.890,4 x 0,5 + 144.180,6 x (0,06 0,44/8) = 17.666 kj/kg ξηρής βιομάζας Οπότε, η συγκεκριμένη βιομάζα έχει ΑΘ : 0,8 kg ξηρής βιομάζας /kg βιομάζας x 17.666 kj/kg ξηρής βιομάζας = 14.133 kj/kg βιομάζας
Βασικοί Υπολογισμοί Θερμογόνος δύναμη Παράδειγμα υπολογισμού Θερμογόνου ύναμης Στο 1 kg βιομάζας (υγρή) περιέχεται: 20 % υγρασία ή 200 γρ. νερού ή 200/18 = 11,11 mol νερού, όπου: 18 gr/mol η Μοριακή Μάζα του νερού και Επιπλέον από την καύση 1 kg βιομάζας (υγρή) προκύπτουν: 80 % ξηρή βιομάζα ή 800 γρ. ξηρής βιομάζας x6% κβ υδρογόνο = 48 γρ ατομικού υδρογόνου ή 48/2 = 24 mol H 2, τα οποία κατά την καύση τους δίνουν 24 mol νερού. Τα συνολικά mol νερού που προκύπτουν μετά την καύση 1 kg υγρής βιομάζας είναι: 11,11 mol νερού από την υγρασία + 24 mol νερού από την καύση = 35,11 mol/kg βιομάζας
Βασικοί Υπολογισμοί Θερμογόνος δύναμη Παράδειγμα υπολογισμού Θερμογόνου ύναμης Με δεδομένο ότι: - η ενθαλπία εξάτμισης σε Κ.Σ. του νερού ισούται με 2257 KJ/Kg - το μοριακό βάρος του νερού είναι 18 Kg/Kmol Προκύπτει: Η λανθάνουσα θερμότητα εξάτμισης = 2257KJ/Kg * 18.0153Kg/Kmol = = 40661KJ/Kmol = = 40,7 kj/mol Η 2 Ο. Η ζητούμενη ΚΘ της συγκεκριμένης βιομάζας είναι: ΚΘ = 14.133kJ/kg βιομάζας 35,11mol H2 O/kg βιομάζας x 40,7kJ/ mol H2 O = = 12.704 kj/kg βιομάζας
Βασικοί Υπολογισμοί Στοιχειομετρική Καύση Στοιχειομετρική: η τέλεια καύση κατά την οποία καταναλώνεται τόση ποσότητα οξυγόνου, όση ακριβώς απαιτείται για την πλήρη οξείδωση των στοιχείων του καυσίμου Πλήρης στοιχειομετρική καύση με ατμοσφαιρικό αέρα: όπου: 3.76 = (0.79mol Ν 2 ) / (0.21 mol Ο 2 ) του αέρα Λόγος αέρα-καύσιμου (Air-Fuel Ratio, AFR) όπου: MBair (= 28.97 * 29kg/kmol) Λόγος καύσιμου-αέρα (Fuel-Air Ratio, FAR)
Βασικοί Υπολογισμοί Στοιχειομετρική Καύση Λόγος αέρα ή λάμδα (λ) ο ο ο λ = 1 => στοιχειομετρικό μίγμα (Stoichiometric) λ < 1 => πλούσιο μίγμα (rich) λ > 1 => φτωχό μίγμα (lean)
Βασικοί Υπολογισμοί Στοιχειομετρική Καύση Για τον υπολογισμό της θεωρητικής ποσότητας αέρα στην καύση χρειάζονται: Περιεκτικότητα O 2 στον αέρα: 21% άρα: AFR θεωρ. = O min * 100 / 21 [m 3 /Kg] όπου: AFR θεωρ. = ελάχιστη ποσότητα ατμοσφαιρικού αέρα σε m 3 ανά Kg καυσίμου O min = ελάχιστη ποσότητα Οξυγόνου σε m 3 ανά Kg καυσίμου Πυκνότητα ξηρού ατμοσφαιρικού αέρα: 1,293 Kg/m 3 σε Κ.Σ. Πυκνότητα οξυγόνου: 1,429 Kg/m 3 σε Κ.Σ. Μοριακό Βάρος Οξυγόνου (O 2 ) = 32 g/mol Μοριακό Βάρος Υδρογόνου (H 2 ) = 2 g/mol Μοριακό Βάρος. Άνθρακα (C) = 12 g/mol Μοριακό Βάρος Θείο (S) = 32 g/mol Οι χημικές αντιδράσεις καύσης: C + O 2 CO 2 12kg (C) + 32Kg (O 2 ) = 44Kg (CO 2 ) 2H 2 + O 2 H 2 O 4kg (H 2 ) + 32Kg (O 2 ) = 36Kg (H 2 O) S + O 2 SO 2 32kg (S) + 32Kg (O 2 ) = 64Kg (SO 2 ) (Η χημική αντίδραση του Θείου (S) είναι αναγκαία μόνο αν περιέχεται στο καύσιμο)
Βασικοί Υπολογισμοί Στοιχειομετρική Καύση Παράδειγμα υπολογισμών για το προπάνιο (C 3 H 8 ) α) Η χημική εξίσωση για στοιχειομετρική καύση C 3 H 8 + 5O 2 -> 3CO 2 + 4H 2 O β) Η αναλογία κατά βάρος αέρα-καυσίμου ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΕΡΑ Kατ Όγκο M.B. M.Β.air Kατά Bάρος N2 > 79.00% 28 22.12 76.70% O2 > 21.00% 32 6.72 23.30% TOTAL 100.00% 28.84 100.00% Γραμομοριακή Μάζα(C 3 H 8 )=3*MB C +8*MB H =44g/mol Μάζα Οξυγόνου από τον αέρα =2*5*MB Ο / Κ.Β. Ο2 στον αέρα = 686.67 g/mol Λόγος αέρα καυσίμου κατά βάρος στοιχειομετρικής καύσης = 686.67 / 44 = 15.61 γ) Η αναλογία κατ όγκο αέρα-καυσίμου Μόρια Οξυγόνου για στοιχειομετρική καύση: 5mol Απαιτούμενα mol Οξυγόνου από τον αέρα =5/Κ.Ο. Ο2 στον αέρα = 23.81 mol Λόγος αέρα καυσίμου κατ όγκο: mol(αέρα) / 1mol(καυσίμου) για στοιχειομετρική καύση = 23.81
Βασικοί Υπολογισμοί Στοιχειομετρική Καύση Παράδειγμα υπολογισμών μίγματος Για αέρια καύσιμα, όπου τη σύστασή τους την έχουμε σε κατ όγκο περιεκτικότητα στο καύσιμο, υπολογίζεται το O min άμεσα από τις αναλογίες όγκων των χημικών εξισώσεων και το αποτέλεσμα δίνεται: για το O min σε [m 3 O 2 /m 3 Καυσίμου] και για το AFR θεωρ. σε [m 3 αέρα/m 3 Καυσίμου] Για την καύση υγραερίου που αποτελείται από 30% Προπάνιο (C 3 H 8 ) και 70% Βουτάνιο (C 4 H 10 ) έχουμε: C 3 H 8 + 5O 2 3CO 2 + 4H 2 O C 4 H 10 + 6½O 2 4CO 2 + 5H 2 O Άρα: O min = 0.3 * 5 + 0.7 * 6.5 = 6.05 m 3 O 2 /m 3 Υγραερίου AFR θεωρ. = 6.05 * 100 / 21 = 28.81m 3 αέρα/m 3 Υγραερίου
Βασικοί Υπολογισμοί Στοιχειομετρική Καύση Στους κινητήρες ΟΤΤΟ στόχος είναι η λειτουργία με λ=1 διότι όταν υπάρχει στοιχειομετρική καύση έχουμε τους λιγότερους εκπεμπόμενους ρύπους. Οι κινητήρες DIESEL λειτουργούν με λ>1,2 Γνωρίζοντας το επιθυμητό λ λειτουργίας ενός κινητήρα τότε η αναγκαία πραγματική ποσότητα αέρα είναι: AFR πραγμ. = λ * AFR θεωρ. Ο αναγκαίος όγκος που θα πρέπει να προβλεφθεί για το μίγμα στον κύλινδρο, ανά μονάδα μέτρησης της κατανάλωσης του καυσίμου, θα είναι: Για στερεά και υγρά καύσιμα: G = λ * AFR θεωρ. [m 3 αέρα/kg Καυσίμου ] Για αέρια καύσιμα: G = 1 + λ * AFR θεωρ. [m 3 μίγμα/ m 3 Καυσίμου]
Βασικοί Υπολογισμοί Βαθμός Απόδοσης Θερμικός βαθμός απόδοσης όπου: η i = ο εσωτερικός ή ενδεικνυόμενος βαθμός απόδοσης. Προσδιορίζει το ποσοστό της θερμότητας που μετατρέπεται σε μηχανικό έργο. P i = η εσωτερική ή ενδεικνυόμενη ισχύς της θερμικής μηχανής. Είναι η ισχύς που μεταφέρεται από τα αέρια στο έμβολο. = η θερμότητα που αναπτύσσεται στη μονάδα του χρόνου κατά την καύση του καυσίμου.
Βασικοί Υπολογισμοί Βαθμός Απόδοσης Θεωρητικός θερμικός βαθμός απόδοσης Είναι ο βαθμός απόδοσης που προκύπτει από τον θεωρητικό θερμικό κύκλο όπου κάθε μεταβολή θεωρείται ότι είναι αντιστρεπτή, η εργαζόμενη ουσία είναι ιδανικό αέριο, με σταθερή ειδική θερμοχωρητικότητα. Για κάθε τύπο κινητήρα υπάρχει και ένας αντίστοιχος θεωρητικός θερμικός κύκλος. Θεωρητικός θερμικός κύκλος ΟΤΤΟ Θεωρητικός θερμικός κύκλος DIESEL όπου: = ο συνολικός όγκος του κυλίνδρου = ο όγκος συμπίεσης του κυλίνδρου = ο λόγος ή βαθμός συμπίεσης = ο αδιαβατικός εκθέτης όπου: = ο λόγος ή βαθμός συμπίεσης = ο βαθμός (διάρκεια) ψεκασμού = ο αδιαβατικός εκθέτης
Βασικοί Υπολογισμοί Βαθμός Απόδοσης Θεωρητικός θερμικός κύκλος SEILIGER ή semi DIESEL όπου: = ο λόγος αύξησης πίεσης της ισόχωρης καύσης Μηχανικός βαθμός απόδοσης Ο λόγος της ισχύος που παίρνουμε στον άξονα του κινητήρα P e προς την εσωτερική ή ενδεικνυόμενη ισχύς της θερμικής μηχανής P i. η Μ = P e / P i Βαθμός ποιότητας Η σχέση μεταξύ του θερμικού ή εσωτερικού ή ενδεικνυόμενου βαθμού απόδοση η i και του θεωρητικού θερμικού βαθμού απόδοσης η θ. η π = η i / η θ Η διαφορά μεταξύ η i και η θ μπορεί να οφείλεται: i. Σε απρογραμμάτιστη προσαγωγή θερμότητας ii. Σε απρογραμμάτιστη απαγωγή θερμότητας iii. Σε ατελή καύση iv. Σε στραγγαλισμούς στην είσοδο και έξοδο των αερίων στον κύλινδρο v. Σε διαρροές στα ελατήρια και τις βαλβίδες
Βασικοί Υπολογισμοί Βαθμός Απόδοσης Τελικός ωφέλιμος βαθμός απόδοσης Ο λόγος της διαθέσιμης ισχύος στον άξονα του κινητήρα P e προς τη θερμότητα που αναπτύσσεται στη μονάδα του χρόνου κατά την καύση του καυσίμου. η e = P e / Οι βαθμοί απόδοσης: η θ : θεωρητικός, η i : θερμικός, η π : ποιότητας, η Μ : μηχανικός και η e : τελικός συνδέονται με τις σχέσεις: Βαθμός ογκομετρικής απόδοσης, Ο λόγος του όγκου του εισερχόμενου στον κύλινδρο αέρα ή μίγματος V a υπό Κ.Σ. (0 C & 1,013bar) προς τον όγκο εμβολισμού του κυλίνδρου V h. η L = V a / V h Για τους υπολογισμούς λαμβάνεται ίσος με: 2 χρονοι κινητήρες : η L = 0,40 0,55 4 χρονοι κινητήρες με αναρρόφηση : η L = 0,80 0,85 4 χρονοι πετρελαιοκινητήρες με προθάλαμο : η L = 0,85 0,90 η e = η i * η Μ & η e = η θ * η π * η Μ Κινητήρες με υπερπλήρωση : η L = 1,50 4,00
Βασικοί Υπολογισμοί Λόγος Συμπίεσης Βαθμός συμπίεσης ή λόγος συμπίεσης ε είναι ο λόγος του συνολικού όγκου του κυλίνδρου V h + V c ως προς τον όγκο του χώρου συμπίεσης V c. Από την πολυτροπική συμπίεση έχουμε: Έχοντας ως ζητούμενο ότι πρέπει να ορίσουμε τον χώρο συμπίεσης βρίσκουμε ότι: Η πίεση συμπίεσης έχει άμεση επίδραση την θερμοκρασία που θα αναπτυχθεί στο μίγμα ή τον αέρα πριν ξεκινήσει η καύση.
Βασικοί Υπολογισμοί Λόγος Συμπίεσης Στους βενζινοκινητήρες η θερμοκρασία που θα αναπτυχθεί στο τέλος της συμπίεσης θα πρέπει να είναι μικρότερη από την θερμοκρασία αυτανάφλεξης ώστε να μην έχουμε κρουστική καύση. Στους κινητήρες ΟΤΤΟ ο επιτρεπόμενος λόγος συμπίεσης ε ή ο λόγος P 1 / P 2 ορίζονται από το είδος και τις ιδιότητες ανάφλεξης του καυσίμου. Καύσιμο ε Ρ 2 / Ρ 1 Βενζίνη αμόλυβδη (RON 92 95) 8 16 Βενζίνη super αμόλυβδη (RON 98 100) 9 10 18.5 22 Μεθανόλη 11 13 24 32 Φυσικό αέριο 10 12 21 28 Η καύση θα πρέπει να ξεκινά από τον σπινθήρα του μπουζί και υπάρχει άνοδος της πίεσης κατά 2 3 bar ανά μοίρα της γωνίας περιστροφής του στροφάλου. Η μέγιστη πίεση φθάνει 40 50 bar και εμφανίζεται στις 10 15 μετά το Α.Ν.Σ. Σε πλήρες φορτίο η καύση θα πρέπει να εκτείνεται μέχρι και 40 50 μετά το Α.Ν.Σ.
Βασικοί Υπολογισμοί Λόγος Συμπίεσης Στους πετρελαιοκινητήρες η θερμοκρασία που θα αναπτυχθεί στο τέλος της συμπίεσης θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από τη θερμοκρασία αυτανάφλεξης ώστε να ξεκινήσει η καύση. Στους κινητήρες DIESEL ο επιτρεπόμενος λόγος συμπίεσης ε ή ο λόγος P 1 / P 2 ορίζονται: από τις συνθήκες λειτουργίας του κινητήρα (ψυχρή εκκίνηση 15 C αναγκαίο υψηλό ε), από τον επιθυμητό βαθμό απόδοσης (για ε>14 αρχίζει να μειώνεται ο ωφέλιμος βαθμός απόδοσης η e ). Καύσιμο ε Ρ 2 / Ρ 1 Μεγάλοι πετρελαιοκινητήρες άμεσου ψεκασμού 12 14 27 33 Μικροί πετρελαιοκινητήρες άμεσου ψεκασμού 14 18 33 43 Μικροί πετρελαιοκινητήρες με προθάλαμο > 20 > 48 Η καύση ξεκινά μετά τον ψεκασμό του καυσίμου και αφού μεσολαβήσει το διάστημα της «καθυστέρησης ανάφλεξης». Το καύσιμο που ψεκάζεται στη διάρκεια της «καθυστέρησης ανάφλεξης» καίγεται με γρήγορους ρυθμούς ανεβάζοντας την πίεσης κατά 3 5 bar ανά μοίρα της γωνίας περιστροφής του στροφάλου. Η μέγιστη πίεση φθάνει: τα 110 bar σε DIESEL με υπερπλήρωση τα 70 bar σε ατμοσφαιρικούς DIESEL τα 150 bar σε ακραίες περιπτώσεις
Βασικοί Υπολογισμοί Ισχύς Κινητήρα Για τον υπολογισμό της ισχύος του κινητήρα θα πρέπει να υπολογιστούν: Ο όγκος εμβολισμού: [m3] όπου: D = διάμετρος εμβόλου [m] s = διαδρομή εμβόλου (εμβολισμός) [m] Ο όγκος του εισερχόμενου στον κύλινδρο αέρα: [m3] Η ποσότητα καυσίμου που μπορεί να καεί σε κάθε θερμικό κύκλο λειτουργίας του κυλίνδρου: [kg καυσίμου ανά θερμικό κύκλο] Η θερμότητα που απελευθερώνεται ανά θερμικό κύκλο: [kj / θερμικό κύκλο]
Βασικοί Υπολογισμοί Κινηματική παλινδρομικών μηχανών ΑΝΣ = Ανω νεκρό σημείο ΚΝΣ = Κάτω νεκρό σημείο r = ακτίνα περιστροφής στροφαλοφόρου άξονα l = μήκος διωστήρα s = εμβολισμός εμβόλου ω= γωνιακή ταχύτητα στροφαλοφόρου άξονα φ= γωνία περιστροφής στροφαλοφόρου άξονα, μετρούμενη από τον άξονα του κυλίνδου = ω * t β = γωνία μεταξύ διωστήρα και άξονα κυλίνδρου
Βασικοί Υπολογισμοί Κινηματική παλινδρομικών μηχανών Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω μεγέθη υπολογίζονται: : λόγος διωστήρα. Στην πράξη είναι λ = 0,25 0,3 [sec] : Η περίοδος περιστροφής στροφαλοφόρου [στρ/1 ] : Αριθμός στροφών στροφαλοφόρου άξονα [cm/sec] : Μέση ταχύτητα εμβόλου [cm] : Ο εμβολισμός του εμβόλου (διαδρομή εμβόλου)
Βασικοί Υπολογισμοί Συνολικά εφαρμοζόμενες δυνάμεις
Βασικοί Υπολογισμοί Συνολικά εφαρμοζόμενες δυνάμεις Στον πείρο του εμβόλου Η δύναμη F p που εφαρμόζεται στο έμβολο μεταφέρεται πάνω στον πείρο του εμβόλου. Ένα μέρος της μεταφέρεται μέσω του διωστήρα στο κομβίο του στροφάλου: Ένα άλλο στα τοιχώματα του κυλίνδρου, όπου χάνεται σε μορφή τριβών.
Βασικοί Υπολογισμοί Συνολικά εφαρμοζόμενες δυνάμεις Στο κομβίο του στροφάλου Η δύναμη του διωστήρα F Δ αναλύεται στο κομβίο του στροφάλου σε δύο συνιστώσες. Την ακτινική δύναμη που έχει διεύθυνση την ακτίνα περιστροφής του στροφάλου και φορά αντίθετη στη φυγόκεντρο δύναμη λόγω περιστρεφόμενων μαζών: Και την εφαπτομενική στον κύκλο περιστροφής του στροφάλου η οποία προκαλεί την ροπή περιστροφής του κινητήρα:
Βασικοί Υπολογισμοί Συνολικά εφαρμοζόμενες δυνάμεις Παραγόμενη Ροπή Στρέψης Η ροπή στρέψης που προκαλεί την περιστροφή του στροφάλου είναι: Αλλά: Δεδομένου ότι η γωνία β παίρνει πολύ μικρές τιμές μπορεί κατά προσέγγιση να ληφθεί: εφβ=ημβ Γνωρίζοντας ότι: Η ροπή στρέψης προσεγγιστικά υπολογίζεται από τον τύπο: