8 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 3 Απριλίου, 04 Ώρα: 0:00 3:00 Προτεινόμενες Λύσεις: Θέμα ο (μον.5): α) 0 5s: Ε.Ο.Κ., 5s 0s: Ε.Ο. Επιταχυνόμενη Κ., 0s 5s: Ε.Ο. Επιβραδυνόμενη Κ., 5s 0s: Ακίνητο, 0s 5s: Ε.Ο. Επιταχυνόμενη Κ. (προς τα αριστερά), 5 30s: Ε.Ο.Κ. (προς τα αριστερά). (μ.3) β) Τη χρονική στιγμή t ο =0: ο =00m, τη χρονική στιγμή t 4 =0s: 4 =450m, τη χρονική στιγμή t 6 =30s: 6 =5m. Ακόμα τη χρονική στιγμή t 4 αλλάζει η φορά της κίνησης. Από t ο =0 t 4 =0s: μετατόπιση Δ 4 =450 00=350m (προς τα δεξιά). Από t 4 =0s t 6 =30s: μετατόπιση Δ 6 =5 450= 5m (5m προς τα αριστερά). Άρα το διάστημα που διανύει το κινητό από t ο =0 t 6 =30s: S= Δ 4 + Δ 6 =350+5=575m. (μ.) H μετατόπιση του κινητού από t ο =0 t 6 =30s: Δ=5 00=5m (προς τα δεξιά). (μ.) γ) Μέση αριθμητική ταχύτητα υ α = t Μέση διανυσματική ταχύτητα υ δ = δ) (μ.3) S 575 = =9,7m/s (μ.), 30 5 = =4,7m/s (μ.). t 30 Σελίδα από 9
8 η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ε) 0 5s: α =0 (Ε.Ο.Κ.), τη χρονική στιγμή t =5s: υ = 00 00 υ =0m/s. (μ.) 5 0 5s 0s: Δ=350 00=50m, επειδή Δ=υ Δt + α (Δt)² 50=0 5 + α 5² α = 4m/s² (προς τα δεξιά). Τη χρονική στιγμή t =0s: υ = υ + α Δt υ =0+4 5 υ =40m/s. (μ.) 0s 5s: Δ=450 350=00m, επειδή Δ=υ Δt α3 (Δt)² 00=40 5 α3 5² α 3 = 8m/s² (προς τα αριστερά). Τη χρονική στιγμή t 3 =5s: υ 3 = 0. (μ.) 5s 0s: α 4 = 0. Τη χρονική στιγμή t 4 =0s: υ 4 = 0. (μ.) 0s 5s: Δ=375 450= 75m, επειδή Δ= α4 (Δt)² 75= α5 5² α 5 = 6m/s² (προς τα αριστερά). Τη χρονική στιγμή t 5 =5s: υ 5 = α 5 Δt υ 5 = 6 5 υ = 40m/s (40m/s προς τα αριστερά). (μ.) 5s 30s: α 6 =0 (Ε.Ο.Κ.), τη χρονική στιγμή t 6 =30s: υ 6 = αριστερά). (μ.) 5 375 υ 6 = 30m/s (30m/s προς τα 30 5 στ) (μ.3) ζ) (μ.3) Σελίδα από 9
8 η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (μον.0): Α) α) Τη χρονική στιγμή t o =0 η θέση του αερόστατου o =0m, τη χρονική στιγμή t h που εκτοξεύεται ο εξοπλισμός η θέση του αερόστατου h =h=6,5m. Το αερόστατο εκτελεί Ε.Ο.Κ. επομένως: h o =υ (t h t o ) 6,5 0=,5 (t h 0) t h =6s. (μ.) β) Έστω t η χρονική στιγμή που γίνεται η προσπάθεια από τους επιβαίνοντες να πιάσουν τον εξοπλισμό. Τη χρονική στιγμή αυτή, η κατακόρυφη θέση του αερόστατου θα είναι η ίδια με την κατακόρυφη θέση του εξοπλισμού, που εκτελεί κατακόρυφη βολή προς τα πάνω. Επομένως για το αερόστατο: =h+ υ Δt (), όπου Δt= t t h (), για τον εξοπλισμό: = υ o Δt g (Δt)² (3). (μ.) (), (3) h+ υ Δt= υ o Δt g (Δt)² g (Δt)²+( υ υ o ) Δt +h=05 (Δt)² 57,5 Δt +6,5=0 Δt =5s (ο εξοπλισμός ανεβαίνει ) ή Δt =6,5s (ο εξοπλισμός κατεβαίνει ). (μ.) Επομένως οι χρονικές στιγμές που γίνονται η προσπάθειες από τους επιβαίνοντες να πιάσουν τον εξοπλισμό θα είναι: Δt =5s, () t =66s και Δt =6,5s, () t =67,5s. (μ.) γ) Για Δt =5s, () =6,5+,5 5 =75m (μ.) και για Δt =6,5s, () =6,5+,5 6,5 =78,75m. (μ.) δ) Για τον εξοπλισμό θα ισχύει: υ=υ ο g Δt (4). Επομένως: για Δt =5s, (4)υ ε =60 0 5 υ ε =0m/s (διεύθυνση κατακόρυφη φορά προς τα πάνω) (μ.) και για Δt =6,5s, (4) υ ε =60 0 6,5 υ ε = 5m/s (διεύθυνση κατακόρυφη φορά προς τα κάτω). (μ.) ε) Έστω t η χρονική στιγμή που ο εξοπλισμός φτάνει στο έδαφος, οπότε για =0, (3) 0= 60 Δt 5 (Δt)² Δt=s. Οπότε η ()t=73s. (μ.) Το ύψος στο οποίο θα βρίσκεται το αερόστατο θα είναι: για Δt=s, ()=6,5+,5 =9,5m. (μ.) Β) Θα χρειαστεί ακόμα να υπολογιστεί η χρονική στιγμή και το μέγιστο ύψος στο οποίο φτάνει ο εξοπλισμός. Στο μέγιστο ύψος υ ε =0, οπότε (4)0=60 0 Δt Δt=6s. Άρα η ()t=67s και η (3) =60 6 5 (6)² =80m. (μ.) Γραφική (μ.3) Σελίδα 3 από 9
8 η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 3 ο (μον.0): Α) α) Στο σώμα μάζας m ασκούνται το βάρος Β, η αντίδραση του επιπέδου Ν και η τάση του νήματος S. Στο σώμα μάζας M ασκούνται το βάρος Β, η αντίδραση του επιπέδου Ν, η τάση του νήματος S και η δύναμη F που ασκείται από το σώμα μάζας m. (μ.4) β) Το σώμα μάζας m ασκεί στο σώμα μάζας Μ δύναμη F και το σώμα μάζας Μ ασκεί στο σώμα μάζας m δύναμη Ν. Οι δυνάμεις αυτές F, Ν έχουν ίσο μέτρο σύμφωνα με τον 3 ο νόμο του Νεύτωνα, άρα F = Ν (). (μ.) γ) Σύμφωνα με τον ο νόμο του Νεύτωνα: για το σώμα μάζας m: ΣF =0Ν Β =0Ν =Β ()(μ.) και για το σώμα μάζας M: ΣF =0Ν Β F=0Ν =Β +F (3). (μ.) δ) Επειδή Μ>m, το σώμα μάζας Μ θα κινηθεί προς τα κάτω και το σώμα μάζας m προς τα πάνω, στο κεκλιμένο επίπεδο. Εφαρμόζοντας το ο νόμο του Νεύτωνα για κάθε σώμα (θεωρώντας ως θετική φορά για το κάθε σώμα, τη φορά της κίνησής του), έχουμε: για το σώμα μάζας m: ΣF =m α S Β =m α (4) (μ.), για το σώμα μάζας Μ: ΣF =Μ α Β S=Μ α (5) (μ.). B ε) (4),(5) Β Β = (m+μ) α α = B. Είναι όμως: Β =m g ημφ= 0,3 0 0,5=,5Ν, m M 6,5 Β =Μ g ημφ=, 0 0,5=6Ν. Επομένως α = α =3m/s². 0,3, Σελίδα 4 από 9
8 η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ στ) Για το σώμα μάζας m: Β =m g=0,3 0 Β =3Ν, () N =m g συνφ=0,3 0 0,866 N =,6Ν, (4) S Β +m α=,5+0,3 3S=,4N. (μ.) Για το σώμα μάζας M: Β =M g=, 0 Β =Ν, (3) F=,6N, (3)N =M g συνφ+f=, 0 0,866+,6 N =3Ν, S=,4N. (μ.) Σελίδα 5 από 9
8 η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ Β) α) Στο σώμα ασκούνται ακόμα το βάρος και η αντίδραση του επιπέδου Ν. Ακόμα είναι Β=m g=0 0=00N, F =F συνφ=40 0,6=84Ν, F =F ημφ=40 0,8=Ν. Παρατηρούμε ότι F >Β επομένως το σώμα δε θα έχει επαφή με το έδαφος και άρα Ν=0. (μ.) β) Θα είναι: ΣF = F B= 00 ΣF =N, ΣF =F ΣF =84N, επομένως ΣF= F ) ( F ) ( ΣF=60 ΣF=84,85N. (μ.) F Αν θ είναι η γωνία που σχηματίζει η ΣF με το οριζόντιο επίπεδο τότε: εφθ= = θ=8, ο. F 84 Σύμφωνα με το ο νόμο του Νεύτωνα, η επιτάχυνση με την οποία θα κινείται το σώμα θα έχει μέτρο: F 85 α= = α=8,5m/s² (μ.) m 0 και τη διεύθυνση και τη φορά της συνισταμένης δύναμης ΣF: θ=8, ο με το οριζόντιο επίπεδο. (μ.) Θέμα 4 ο (μον.0): α) Στο μαγνήτη Μ ασκούνται το βάρος Β, η αντίδραση του επιπέδου Ν και η τάση του νήματος S και η δύναμη F που ασκείται από το μαγνήτη Μ. Στο μαγνήτη Μ ασκούνται το βάρος Β, η αντίδραση του επιπέδου Ν και η τάση του νήματος S και η δύναμη F που ασκείται από το μαγνήτη Μ. (μ.4) β) ι) F 0 N S 0 Εφόσον ο Μ ισορροπεί: ΣF=0 F 0 F S B 0 N S F S N S () B F S B F Εφόσον ο Μ ισορροπεί: ΣF=0 F N S S F B N S S (3) F B (). (μ.) 0 N 0 S (4). (μ.) S B 0 F 0 Ακόμα σύμφωνα με τον 3 ο νόμο του Νεύτωνα F = F (5). Προφανώς από τις (), (4) προκύπτει ότι S >S και άρα σύμφωνα και με την εκφώνηση S /S =4 (6). Οπότε από τις (), (4), (5) S S B B (6) 4 S S B B S B B S 4 Σελίδα 6 από 9 50,0 30,0 S =3,7N. 4 0,866 0,940
8 η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ Επομένως (6) S =6,8N. (μ.) ιι) Η () F=3,7 0,940+50,0 F=79,8Ν. Επομένως σύμφωνα με την (5): F = F 79,8Ν. (μ.) ιιι) Έστω Ν και Ν οι δυνάμεις που δέχεται ο τοίχος από τους μαγνήτες Μ και Μ αντίστοιχα. Τότε σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα: Ν = Ν (7) και Ν = Ν (8). (μ.) Επομένως η συνισταμένη δύναμη Ν που δέχεται ο τοίχος από τους δύο μαγνήτες θα έχει μέτρο: Ν = Ν ( 7),(8) ( ),(3) + Ν Ν = Ν + Ν Ν = S S Ν =3,7 0,34+6,8 0,5 Ν =74,Ν. Η διεύθυνση της Ν θα είναι οριζόντια με φορά προς τα δεξιά. (μ.) γ) Το αβαρές καρφί δέχεται τις τάσεις των νημάτων S =3,7Ν και S =6,8Ν. Ακόμα ΣS = S + S ΣS = S ημφ+ S ημθ ΣS =3,7 0,34+6,8 0,5 ΣS =74,Ν και ΣS = S + S ΣS = S συνφ S συνθ ΣS =3,7 0,940 6,8 0,866 ΣS = 80N. (μ.) S Επομένως ΣS= ( S ) ( S ) ΣS=09,N και εφβ= β=4,8 ο S με τον τοίχο. (μ.) Για να ισορροπεί το αβαρές καρφί θα πρέπει σε αυτό να ασκείται μια δύναμη από τον τοίχο T ίδιου μέτρου αντίθετης φοράς με τη ΣS: ΣF=0 T ΣS=0T= ΣS. Επομένως η συνισταμένη δύναμη που δέχεται το καρφί από τον τοίχο θα έχει μέτρο Τ=09,Ν, φορά προς τα πάνω και δεξιά και διεύθυνση β=4,8 ο με τον κατακόρυφο τοίχο. (μ.) Θέμα 5 ο (μον.5): Α) Αρκεί να δείξουμε ότι για ένα κινητό με επιτάχυνση α=4m/s², η μεταβολή των μετατοπίσεων του για κάθε s της κίνησής του που περνάει (ή η μεταβολή δύο μετατοπίσεων του, μεταξύ προηγούμενου και επόμενου s της κίνησής του) είναι σταθερή : Δ(Δ)=4m. (μ.) Το κινητό εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση, οπότε η θέση του στις παρακάτω χρονικές στιγμές θα είναι: t=t = o + υ ο (t t o ) + α (t t o )² t=t =t + = o + υ ο (t + t o ) + α (t + t o )² t=t 3 =t + 3 = o + υ ο (t + t o ) + α (t + t o )² t=t n =t +n n = o + υ ο (t +n t o ) + α (t +n t o )² t=t n+ =t +n n+ = o + υ ο (t +n t o ) + α (t +n t o )² και επειδή t o =0 και α=4m/s² t=t = o + υ ο t + t ² t=t =t + = o + υ ο (t +) + (t +)² t=t 3 =t + 3 = o + υ ο (t +) + (t +)² Σελίδα 7 από 9
8 η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ t=t n =t +n n = o + υ ο (t +n ) + (t +n )² t=t n+ =t +n n+ = o + υ ο (t +n) + (t +n)² (μ.) οπότε t=t t=t (Δt=s): Δ = = υ ο + [(t +)² t ²] t=t t=t 3 (Δt=s): Δ = 3 = υ ο + [(t +)² (t +)²] t=t n t=t n (Δt=s): Δ n = n n = υ ο + [(t +n )² (t +n )²] t=t n t=t n+ (Δt=s): Δ n = n+ n = υ ο + [(t +n)² (t +n )²] αναπτύσσοντας τη διαφορά τετραγώνων μέσα στις αγκύλες έχουμε: t=t t=t (Δt=s): Δ = = υ ο + 4 t + t=t t=t 3 (Δt=s): Δ = 3 = υ ο + 4 t +6 t=t n t=t n (Δt=s): Δ n = n n = υ ο + 4 t +4 n 6 t=t n t=t n+ (Δt=s): Δ n = n+ n = υ ο + 4 t +4 n (μ.) και τελικά μεταξύ t=t t=t (Δt=s) και t=t t=t 3 (Δt=s): Δ(Δ)= Δ Δ =4m t=t n t=t n (Δt=s) και t=t n t=t n+ (Δt=s): Δ(Δ)= Δ n Δ n =4m. (μ.) Β) Από τη χρονική στιγμή εκπομπής του ήχου t o =0 μέχρι τη χρονική στιγμή t που ακούει τον ήo ο μοτοσικλετιστής θα ισχύει: Για το μοτοσικλετιστή: = υο α t α t= 3 3 () (μ.) () =υο t α t² =υο t α t t =υο t t 9 9 9 3 = t = t (). (μ.) 9 3 3 8 7 Για τον ήχο: + =υηχ t =υηχ t (3). (μ.) 9 9 Επομένως: () 3 (3) 7 9 t 3 t 7 3 υ ο = 34 3 υ ο = 340 34 υ ο =30m/s. (μ.) Σελίδα 8 από 9
8 η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 9 από 9