Ασκήσεις υναµικής 1 η ενότητα: Κινηµατική σωµατιδίου 1. Η επιτάχυνση ενός σωµατιδίου καθορίζεται από τη σχέση : α=-4x(1+kx 2 ), όπου το α µετριέται σε m/s 2 και το x σε m. Γνωρίζοντας ότι η ταχύτητα, για x=0 είναι u=17m/s να καθορισθεί η ταχύτητα για x=4m, όταν: α) k=0, β) k=0.015, γ) k=-0.015. 2. Ένας µοτοσυκλετιστής ξεκινά από πλήρη ακινησία από το σηµείο Α, 2 δευτερόλεπτα αφότου ένα αυτοκίνητο το οποίο τρέχει µε σταθερή ταχύτητα 120 km/h περνάει από το σηµείο Α. Εάν ο µοτοσυκλετιστής επιταχύνει µε ρυθµό 6m/sec 2 µέχρι να φτάσει την µέγιστη ταχύτητα των 150 km/h την οποία και διατηρεί, να βρεθεί η απόσταση s από το σηµείο Α, στην οποία θα φτάσει το αυτοκίνητο. Απ: s = 912m 3. Η επιβράδυνση του κέντρου µάζας G ενός αυτοκινήτου κατά τη διάρκεια ενός τεστ κρούσης (crash test) µετρήθηκε από ένα επιταχυνσιόµετρο του οποίου τα αποτελέσµατα φαίνονται στο παρακάτω γράφηµα, όπου η απόσταση x που κινήθηκε το σηµείο G µετά την κρούση είναι 0.8m. Προσεγγίστε την ταχύτητα κρούσης v από τα δεδοµένα του γραφήµατος. Επιβράδυνση
4. H αεροδυναµική αντίσταση στην κίνηση ενός αυτοκινήτου είναι σχεδόν ανάλογη µε το τετράγωνο της ταχύτητάς του. Επιπλέον η αντίσταση τριβής είναι σταθερή έτσι ώστε, η επιτάχυνση του αυτοκινήτου όταν αυτό κινείται δίνεται από την έκφραση α = - C 1 -C 2 v 2, όπου C 1 και C 2 είναι σταθερές που εξαρτώνται από την αεροδυναµική του αυτοκινήτου. Εάν το αυτοκίνητο έχει αρχική ταχύτητα u 0, µε την µηχανή απενεργοποιηµένη, εκφράστε συναρτήσει των παραπάνω την απόσταση D που χρειάζεται το αυτοκίνητο για να έρθει σε πλήρη στάση. 5. Τα τρία βάρη του σχήµατος, αναρτώνται σε ίσες αποστάσεις οριζοντίως, και κινούνται κατακόρυφα µε σταθερές ταχύτητες. Γνωρίζοντας ότι αρχικά είναι στο ίδιο επίπεδο και ότι η σχετική ταχύτητα του C ως προς το B είναι 200 mm/sec µε φορά προς τα κάτω, να καθορίσετε την ταχύτητα κάθε βάρους, έτσι ώστε κατά τη διάρκεια της κίνησης, να παραµένουν και τα τρία ευθυγραµµισµένα. Α Β C
6. Η επιτάχυνση α x ενός εµβόλου µιας παλινδροµικής µηχανής δίνεται στον παρακάτω πίνακα συναρτήση της απόστασης x όπου µετριέται από την κορυφή της διαδροµής του εµβόλου. Χρησιµοποιώντας τα δεδοµένα σχηµατίστε το διάγραµµα α x (x) και υπολογίστε µε ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων την µέγιστη ταχύτητα u max του εµβόλου. x, m a x m/sec 2 x, m a x m/sec 2 0 4950 0.075-450 0.0075 4340 0.090-1265 0.015 3740 0.105-1960 0.030 2580 0.120-2510 0.045 1490 0.135-2910 0.060 476 0.150-3150 7. Ο κυλιόµενος ιµάντας Α, κινείται µε σταθερή ταχύτητα και αδειάζει άµµο στον ιµάντα Β, όπως φαίνεται στο σχήµα. Γνωρίζοντας ότι η ταχύτητα του ιµάντα Β είναι 2.4m/s να καθορισθεί η ταχύτητα της άµµου ως προς τον ιµάντα Β, όταν η άµµος προσγειώνεται στον ιµάντα Β.
8. Όταν η επίδραση της αντίστασης του αέρα λαµβάνεται υπόψιν στην κατακόρυφη κίνηση µιας µπάλας κατά τον άξονα y, τότε η επιτάχυνσή της κατά την ανοδική της πορεία δίνεται από τον τύπο α u = -g-ku 2 και για την καθοδική της από τον τύπο α d = -g+ku 2,όπου k είναι µια θετική σταθερά και u είναι η ταχύτητα σε m/sec. Εάν πετάξουµε την µπάλα κατακόρυφα προς τα επάνω µε ταχύτητα 30 m/sec από το έδαφος, υπολογίστε το µέγιστο ύψος h και την ταχύτητα u f µε την οποία θα προσκρούσει στο έδαφος. ίνεται το g σταθερό και το k = 0.006 m -1. Απ: h = 36.5 m, u f = 24.1 m/sec 9. Ένα αγόρι πετάει ένα µπαλάκι προς τα πάνω µε ταχύτητα υ 0 =12 m/sec. Ο άνεµος που φυσά ασκεί µια οριζόντια επιτάχυνση 0.4 m/sec 2 µε κατεύθυνση προς τα αριστερά. Με ποια γωνία θ θα πρέπει να πεταχτεί το µπαλάκι έτσι ώστε να επιστρέψει στο σηµείο από το οποίο ξεκίνησε; Υποθέστε ότι ο άνεµος δεν επηρεάζει την κατακόρυφη κίνηση. Απ. θ=2.33 ο
10. Η γωνία περιστροφής της ράβδου ΟΑ γύρω από το Ο, καθορίζεται από τη συνάρτηση θ=2t 2, όπου το θ µετριέται σε rad και το t σε sec. Το κολλάρο Β ολισθαίνει κατά µήκος της ράβδου µε τέτοιο τρόπο, ώστε η απόστασή του από το σηµείο στήριξης Ο να δίνεται από τη σχέση r=60t 2-20t 3, όπου r σε mm και t σε sec. Όταν t=1s, να καθορισθεί Α) η ταχύτητα του κολλάρου, Β) η µέγιστη επιτάχυνση του κολλάρου και Γ) η επιτάχυνση του κολλάρου ως προς τη ράβδο. 11. Ένα αεροπλάνο περνάει πάνω από ένα ραντάρ που βρίσκεται στη θέση Α και συνεχίζει την πορεία του ανατολικά όπως δείχνει το σχήµα. Όταν το αεροπλάνο βρίσκεται στη θέση Ρ, η απόσταση του από το ραντάρ και η γωνία ανάβασης είναι αντίστοιχα r=3780 m και θ=31.2 ο. υο δευτερόλεπτα αργότερα, η απόσταση από το ραντάρ γίνεται r=4080 m, ενώ η γωνία ανάβασης θ=28.3 ο. Καθορίστε την ταχύτητα του αεροπλάνου καθώς και τη γωνία βύθισης α στη διάρκεια του διαστήµατος των 2 δευτερολέπτων.
12. Ο πείρος του σηµείου Β είναι ελεύθερος να ολισθαίνει κατά µήκος της καµπυλωτής εσωτερικής αυλάκωσης DE και της στρεφόµενης (ως προς το Ο) ράβδου ΟC, όπως δείχνει το σχήµα. Θεωρώντας ότι η ράβδος ΟC στρέφεται µε σταθερό ρυθµό & θ, α) αποδείξτε ότι η επιτάχυνση του πείρου Β είναι σταθερή ποσότητα, β) καθορίστε την διεύθυνση της επιτάχυνσης του πείρου Β. 13. Το αυτοκίνητο Α κινείται προς τα εµπρός µε ταχύτητα 18 m/sec και επιταχύνει µε 3m/sec 2. Υπολογίστε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του αυτοκινήτου σε σχέση µε τον παρατηρητή Β, ο οποίος βρίσκεται στη ρόδα του λούνα-παρκ και περιστρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα Ω = 3 rev/min. Να σηµειωθεί ότι ο παρατηρητης Β δεν έχει περιστροφή σε κανέναν άλλον άξονα και ότι η ακτίνα της ρόδας του λούνα-παρκ είναι R = 9m.
14. Σε ένα συγκεκριµένο σηµείο της τροχιάς επανεισόδου ενός διαστηµικού λεωφορείου στη γήινη ατµόσφαιρα, η συνολική επιτάχυνση του λεωφορείου µπορεί να αναπαρασταθεί από δύο συνισταµένες. Η µία εξ αυτών είναι η βαρυτική επιτάχυνση η οποία έχει τιµή g=9.66 m/sec 2 στο υψόµετρο αυτό. Η δεύτερη συνισταµένη ισούται µε 12.90 m/sec 2 εξαιτίας της αντίστασης από την ατµόσφαιρα και είναι αντίθετη µε τη φορά της ταχύτητας. Το λεωφορείο βρίσκεται σε υψόµετρο 48.2 km και έχει µειώσει την τροχιακή του ταχύτητα από 28300 km/h σε 15450 km/h στην κατεύθυνση θ=1.50 ο. Για τη στιγµή αυτή υπολογίστε την ακτίνα καµπυλότητας ρ της τροχιάς και το ρυθµό υ& µε τον οποίο µεταβάλλεται η ταχύτητα. 15. Ο ροµποτικός βραχίονας του σχήµατος περιστρέφεται γύρω από τον άξονα y ενώ ο βραχίονας µπορεί να εκτείνεται και να ανεβαίνει. Σε µια δεδοµένη στιγµή είναι, φ =30 ο, & φ =10 deg/sec =σταθ, l =0.5 m, l & =0.2 m/sec, & l =-0.3 m/sec 2 και Ω=20 deg/sec =σταθ. Προσδιορίστε τα µέτρα της ταχύτητας υ και της επιτάχυνσης α του σηµείου P. Aπ. υ=0.480 m/sec, a=0.474 m/sec 2
16. Ο περιστρεφόµενος γερανός έχει µπούµα µήκους O P =24 m και περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονά του µε σταθερή ταχύτητα 2 rev/min. Την ίδια στιγµή η µπούµα κατεβαίνει µε σταθερό ρυθµό & β =0.10 rad/sec. Υπολογίστε το µέτρο της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σηµείου P της µπούµας τη στιγµή που περνάει από τη θέση β=30 ο. Απ. υ=3.48 m/sec, a=1.104 m/sec 2 17. Στο κατώτατο σηµείο ενός κατακόρυφου κυκλικού ελιγµού στο x-y επίπεδο και σε ύψος 400 m, το αεροπλάνο έχει ταχύτητα 600 km/h χωρίς να έχει οριζόντια επιτάχυνση (στον x-άξονα). Η ακτίνα καµπυλότητας του ελιγµού στο κατώτατο σηµείο είναι 1200 m. Προσδιορίστε τις τιµές των R & και & φ που καταγράφει το ραντάρ στο Ο για τη στιγµή αυτή. Απ. R & =34.4 m/sec 2, & φ 2 =0.01038 rad/sec