Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών συναρτήσεων µίας πραγµατικής µεταβλητής. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. email: kkiritsis@vitali.gr 1
Κ. Κυρίτσης 2 Παράγωγος - ιαφόριση Περιεχόµενα 1 Παράγωγος 3 1.1 Ορισµός.............................. 3 1.2 εξιά και Αριστερή Παράγωγος................. 4 1.3 Εννοια της Παραγώγου..................... 4 1.4 Ανώτερης Τάξης Παράγωγοι................... 4 2 ιαφορικό 5 3 Κανόνες παραγώγησης 5 3.1 Βασικοί κανόνες παραγώγησης................. 5 3.2 Αλυσιδωτή Παραγώγηση..................... 6 3.3 Εµµεση Παραγώγηση...................... 7 3.4 Παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων.............. 7 4 Θεωρήµατα Μέσης Τιµής 9 5 Κανόνες L Hospital 10 6 Μελέτη Συναρτήσεων 11 6.1 Εφαπτοµένη και Κάθετη Γραφικής Παράστασης........ 11 6.2 Μονοτονία Ακρότατα...................... 11 6.2.1 Μονοτονία......................... 11 6.2.2 Ακρότατα......................... 12 6.3 Κοίλα Σηµεία Καµπής..................... 12 6.3.1 Κοίλα........................... 12 6.3.2 Σηµεία Καµπής...................... 13 6.4 Ασύµπτωτες............................ 13 6.4.1 Κατακόρυφες....................... 13 6.4.2 Οριζόντιες......................... 13 6.4.3 Πλάγιες.......................... 13 7 Μελέτη και Χάραξη Γραφικής Παράστασης 14 8 Ανάπτυγµα Συνάρτησης σε Σειρά 14
Κ. Κυρίτσης 3 Παράγωγος - ιαφόριση 1 Παράγωγος 1.1 Ορισµός Ας υποθέσουµε ότι έχουµε µια συνάρτηση f : A R B R µε τύπο f(x). Αν για κάποιο σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού, το όριο f(x) f(x 0 ) lim, (1) x x 0 x x 0 υπάρχει, το ονοµάζουµε παράγωγο της συνάρτησης στο σηµείο x 0 και γράφου- µε f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. (2) x x0 x x 0 Ισοδύναµα µπορούµε να γράψουµε f f(x 0 + ǫ) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. (3) ǫ 0 ǫ Η παράγωγος µιας συνάρτησης στο σηµείο x 0 είναι ένας αριθµός. Σ αυτή την περίπτωση λέµε ότι η f(x) είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x 0. Υπολογίζοντας την παράγωγο της f(x) για κάθε σηµείο του πεδίου ο- ϱισµού, µπορούµε να κατασκευάσουµε µια καινούργια συνάρτηση, από το A στους πραγµατικούς αριθµούς µε κανόνα απεικόνισης την παράγωγο της f(x). ηλαδή, σε κάθε αριθµό του A αντιστοιχούµε την παράγωγο της f(x). Η καινούργια συνάρτηση που κατασκευάσαµε λέγεται παράγωγος συνάρτηση, ή απλά παράγωγος. Συµβολίζεται µε f (x) και οι τιµές της είναι οι παράγωγοι της f(x) στα αντίστοιχα σηµεία. Ενδέχεται η f(x) να µην έχει παραγώγους σε κάποια σηµεία του πεδίου ορισµού της. Σ αυτή την περίπτωση το πεδίο ορισµού της f (x) είναι ένα υποσύνολο του A. Μια συνάρτηση που έχει παράγωγο συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιµη ή διαφορίσιµη. Προσοχή στην διαφορά: f (x 0 ) (f(x 0 )). Το πρώτο είναι η παράγωγος της f(x) στο x 0, το δεύτερο είναι η παράγωγος του αριθµού f(x 0 ) ο οποίος όπως ϑα δούµε παρακάτω είναι µηδέν. Θεώρηµα 1 Εάν µια συνάρτηση είναι διαφορίσιµη σε κάποιο σηµείο, τότε είναι και συνεχής σ αυτό το σηµείο. Εάν η παράγωγος είναι συνεχής συνάρτηση, τότε η f(x) λέγεται συνεχώς διαφορίσιµη.
Κ. Κυρίτσης 4 Παράγωγος - ιαφόριση 1.2 εξιά και Αριστερή Παράγωγος Η δεξιά παράγωγος σε κάποιο σηµείο ορίζεται ως f +(x 0 ) = lim ενώ η αριστερή παράγωγος είναι x x + 0 f (x 0) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ), (4) x x 0 f(x) f(x 0 ). (5) x x 0 Προφανώς, αν µια συνάρτηση είναι διαφορίσιµη στο x 0, ϑα ισχύει 1.3 Εννοια της Παραγώγου f (x 0) = f + (x 0) = f (x 0 ). (6) Οταν έχουµε µια συνάρτηση y = f(x), αυτό που µας λέει είναι πώς µετα- ϐάλεται το y, δηλαδή η εξαρτηµένη µεταβλητή, όταν µεταβάλεται το x. Η παράγωγος συνάρτηση f (x) µας λέει πόσο γρήγορα µεταβάλεται το y όταν µεταβάλεται το x, δηλαδή τον ϱυθµό µεταβολής της y. Η έννοια της παραγώγου είναι αλληλένδετη µε την έννοια της ταχύτητας, του πόσο γρήγορα αλλάζει κάτι. Κατ επέκτασην, στη γεωµετρία η παράγωγος είναι συνυφασµένη µε την έννοια της εφαπτοµένης. 1.4 Ανώτερης Τάξης Παράγωγοι Εχοντας την συνάρτηση f(x) και έχοντας κατασκευάσει την παράγωγο f (x), µπορούµε να επαναλάβουµε την διαδικασία και να ϐρούµε την παράγωγο της παραγώγου. ηλαδή f f (x) f (x 0 ) (x 0 ) = lim. (7) x x0 x x 0 Η διαδικασία µπορεί να συνεχιστεί, κατασκευάζοντας την τρίτη, τέταρτη, κ.λ.π. παράγωγο της f(x). Ο συµβολισµός που χρησιµοποιούµε είναι f (n) (x) (8) ή n f x n (9)
Κ. Κυρίτσης 5 Παράγωγος - ιαφόριση για την n-τάξης παράγωγο. Ο δεύτερος τρόπος (που µοιάζει µε κλάσµα αλλά δεν είναι είναι σύµβολο) οφείλεται στον Leibniz. Η τιµή της παραγώγου, οποιασδήποτε τάξης, στο x 0 γράφεται σαν ή 2 ιαφορικό f (n) (x 0 ) (10) n f x n. (11) x=x0 Ας ϑεωρήσουµε µια µεταβολή της ανεξάρτητης µεταβλητής x κατά x = x. Τότε για την εξαρτηµένη µεταβλητή y = f(x) ϑα έχουµε την µεταβολή y = f(x+ x) f(x). Εάν η f(x) είναι συνεχής και έχει συνεχή πρώτη παράγωγο, τότε y = f (x) x + ǫ x, (12) όπου ǫ 0 όταν x 0. Η έκφραση y = f (x)x = f x (13) x λέγεται διαφορικό της y ή της f(x). Γράφεται και σαν f = f (x)x. Προσοχή, εν γένει y y. Οταν όµως το x = x είναι µικρό, το y είναι κοντά στο y. Η ποσότητα x λέγεται διαφορικό του x. Το διαφορικό στο σηµείο x 0 είναι f(x 0 ) = f x x. (14) x=x0 3 Κανόνες παραγώγησης 3.1 Βασικοί κανόνες παραγώγησης Εστω ότι f(x), g(x) διαφορίσηµες συναρτήσεις και c σταθερά. Τότε είναι 1. 2. f (f(x) ± g(x)) = x x ± g x. (15) (cf(x)) = cf x x. (16)
Κ. Κυρίτσης 6 Παράγωγος - ιαφόριση 3. 4. f g (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) x x x. (17) ( ) f f(x) g(x) f(x)g = x x. x g(x) [g(x)] 2 (18) Ειδικά για f(x) = 1 είναι ( ) 1 = 1 g x g(x) [g(x)] 2 x. (19) 5. Εάν y = f(x) και x = f 1 (y), τότε 6. Εάν x = f(t) και y = g(t), τότε Αντίστοιχοι κανόνες ισχύουν και για διαφορικά. 3.2 Αλυσιδωτή Παραγώγηση y x = 1. (20) x y f y x = t. (21) g t Για σύνθετες συναρτήσεις F(x) = g(f(x)), ο υπολογισµός της παραγώγου µπορεί να αναχθεί στον υπολογισµό των παραγώγων των επιµέρους συναρτήσεων. Συγκεκριµένα, ισχύει ο κανόνας της αλυσιδωτής παραγώγησης, δηλαδή F (x) = g (u)f (x), (22) όπου ϑέσαµε u = f(x). (23) Εναλλακτικά µπορούµε να γράψουµε F x = g f f x. (24) Ο συµβολισµός του Leibniz είναι πιο ϐολικός σ αυτές τις περιπτώσεις και προτιµάται.
Κ. Κυρίτσης 7 Παράγωγος - ιαφόριση 3.3 Εµµεση Παραγώγηση Στην περίπτωση που ο κανόνας αντιστοίχησης µιας συνάρτησης δεν µπορεί να γραφτεί στη µορφή y = f(x) αλλά έχουµε µια σχέση της µορφής F(x, y) = 0, τότε µπορούµε να παραγωγήσουµε µε τους συνήθεις κανόνες και να έχουµε µια σχέση G(x, y, y ) = 0 για την παράγωγο. 3.4 Παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. (c) = 0. (25) x x xn = nx n 1. (26) sin x = cosx. (27) x cosx = sin x. (28) x x tanx = sec2 x = 1 cos 2 x. (29) x cotx = csc2 x = 1 sin 2 x. (30) sec x = sec x tan x. (31) x csc x = csc x cot x. (32) x x log a x = log a e x. (33) 10. x ln x = 1 x. (34)
Κ. Κυρίτσης 8 Παράγωγος - ιαφόριση 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. x αx = α x ln α. (35) x ex = e x. (36) x arcsin x = 1. (37) 1 x 2 x arccos x = 1. (38) 1 x 2 x arctan x = 1 1 + x2. (39) arccotx = 1 1 + x2. (40) { x arcsecx = ± 1 x + αν x > 1 x 2 1 αν x < 1. (41) { x arccscx = 1 x αν x > 1 x 2 1 + αν x < 1. (42) sinh x = cosh x. (43) x cosh x = sinh x. (44) x x tanhx = sech2 x = 1 cosh 2 x. (45) 22. x coth x = csch2 x = 1 sinh 2 x. (46)
Κ. Κυρίτσης 9 Παράγωγος - ιαφόριση 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 4 Θεωρήµατα Μέσης Τιµής sechx = sech tanhx. (47) x cschx = csch cothx. (48) x x arcsinhx = 1. (49) 1 + x 2 x arccoshx = 1 x2 1. (50) x arctanhx = 1 1 x2. (51) x arccothx = 1 1 x2. (52) x arcsechx = 1 x (53) 1 x2. x arccschx = 1 x x 2 + 1. (54) Θεώρηµα 2 (Θεώρηµα του Rolle.) Εάν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο [a, b], διαφορίσιµη στο (a, b) και εάν f(a) = f(b) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο ξ (a, b) τέτοιο ώστε f (ξ) = 0. Θεώρηµα 3 (Θεώρηµα της Μέσης Τιµής.) Εάν η f(x) είναι συνεχής στο [a, b] και διαφορίσιµη στο (a, b), τότε υπάρχει σηµείο ξ (a, b) τέτοιο ώστε f (ξ) = f(b) f(a). (55) b a
Κ. Κυρίτσης 10 Παράγωγος - ιαφόριση Το ϑεώρηµα του Rolle είναι ειδική περίπτωση όταν f(a) = f(b) = 0. Εναλλακτικά αυτό γράφεται και σαν µε ξ µεταξύ x και x 0. f(x) = f(x 0 ) + f (ξ)(x x 0 ), (56) Θεώρηµα 4 (Γενικευµένο Θεώρηµα της Μέσης Τιµής του Cauchy.) Εάν οι συναρτήσεις f(x), g(x) είναι συνεχείς στο [a, b] και διαφορίσιµες στο (a, b), τότε υπάρχει ένα σηµείο ξ (a, b) τέτοιο ώστε f (ξ) f(b) f(a) = g (ξ) g(b) g(a), (57) µε την προϋπόθεση ότι g(b) g(a) και οι f (x), g (x) δεν µηδενίζονται ταυτόχρονα. Η περίπτωση g(x) = x δείνει το ϑεώρηµα της µέση τιµής (επάνω). 5 Κανόνες L Hospital Αν έχουµε τα όρια lim x x0 f(x) = A και lim x x0 g(x) = B, όπου A, B είναι είτε και τα δύο µηδέν είτε και τα δύο άπειρο, τότε το όριο f(x) lim x x 0 g(x) (58) είναι απροσδιόριστο, είτε 0/0 είτε /. Σ αυτή την περίπτωση, µε την προϋπόθεση ότι οι συναρτήσεις είναι πα- ϱαγωγήσιµες σε κάποιο διάστηµα (a, b) γύρω από το x 0, ισχύει ότι f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). (59) Αυτό λέγεται ϑεώρηµα L Hospital. Εάν και το νέο όριο είναι απροσδιόριστο, µπορούµε να εφαρµόσουµε το ϑεώρηµα L Hospital ξανά. Οριο που είναι απροσδιόριστες µορφές του τύπου 0, 0, 0 0, 1, µε κατάλληλους µετασχηµατισµούς (άλγεβρα) µπορούν να έρθουν σε µορφή που να επιτρέπουν την εφαρµογή του ϑεωρήµατος L Hospital. Προσοχή στην διαφορά f (x) g (x) ( ) f(x). (60) g(x)
Κ. Κυρίτσης 11 Παράγωγος - ιαφόριση 6 Μελέτη Συναρτήσεων 6.1 Εφαπτοµένη και Κάθετη Γραφικής Παράστασης Η εφαπτοµένη ευθεία στο σηµείο (x 0, f(x 0 )) ϑα δίνεται από µια εξίσωση της µορφής y = αx + β. Είναι α = f (x 0 ), (61) β = f(x 0 ) αx 0. (62) Η κάθετη ευθεία στο σηµείο (x 0, f(x 0 )) της γραφικής παράστασης κάποια συνάρτησης ορίζεται σαν η κάθετη ευθεία στην εφαπτοµένη. Θα είναι της µορφής y = αx + β, όπου και 6.2 Μονοτονία Ακρότατα 6.2.1 Μονοτονία Για x 1 x 2 είναι Ισοδύναµα α = 1 α (63) β = f(x 0 ) αx 0. (64) f(x 1 ) f(x 2 ) αύξουσα, (65) f(x 1 ) f(x 2 ) ϕθίνουσα, (66) f(x 1 ) > f(x 2 ) γνησίως αύξουσα, (67) f(x 1 ) < f(x 2 ) γνησίως ϕθίνουσα. (68) f (x) 0 αύξουσα, (69) f (x) 0 ϕθίνουσα, (70) f (x) > 0 γνησίως αύξουσα, (71) f (x) < 0 γνησίως ϕθίνουσα. (72)
Κ. Κυρίτσης 12 Παράγωγος - ιαφόριση 6.2.2 Ακρότατα Θεωρούµε το σηµείο x 0 και µια περιοχή του αρκετά µικρή, (x 0 ǫ, x 0 + ǫ). Αν f(x) f(x 0 ) τοπικό µέγιστο, (73) Ισοδύναµα, αν f(x) f(x 0 ) τοπικό ελάχιστο. (74) f(x) αύξουσα για x < x 0 τοπικό µέγιστο, (75) f(x) ϕθίνουσα για x > x 0 f(x) ϕθίνουσα για x < x 0 τοπικό ελάχιστο. (76) f(x) αύξουσα για x > x 0 Ισοδύναµα, το x 0 είναι τοπικό ακρότατο αν f (x 0 ) = 0 και f (x 0 ) > 0 τοπικό µέγιστο, (77) f (x 0 ) < 0 τοπικό ελάχιστο. (78) Σηµεία στα οποία η f (x) µηδενίζεται λέγονται στάσιµα. Μαζί µε τα σηµεία που δεν ορίζεται η πρώτη παράγωγος και τα άκρα του πεδίου ορισµού αποτελούνε τα κρίσηµα σηµεία. Είναι τα υποψήφια ακρότατα. Στην περίπτωση που µηδενίζεται η δεύτερη παράγωγος, µπορούµε να καταφύγουµε σε ανώτερης τάξης παραγώγους. Γενικά το σηµείο x 0 ϑα είναι τοπικό µέγιστο αν f (2k) (x 0 ) < 0 και ϑα είναι τοπικό ελάχιστο αν f (2k) (x 0 ) > 0, υποθέτοντας ότι όλες οι άλλες µικρότερης τάξης παράγωγοι µηδενίζονται. Στην περίπτωση που στο x 0 όλες οι παράγωγοι µέχρι τάξης 2k µηδενίζονται και f (2k+1) (x 0 ) 0, τότε έχουµε ένα σηµείο καµπής ή σηµείο ανάκλασης. Γραφικά αυτό σηµαίνει ότι η εφαπτοµένη στην γραφική παράσταση της f(x) έχει ϑετική (ή αρνητική) κλίση αριστερά του x 0, µηδενική κλίση στο x 0 και αρνητική (ή ϑετική) κλίση δεξιά του x 0. 6.3 Κοίλα Σηµεία Καµπής 6.3.1 Κοίλα Αν σε κάποιο διάστηµα είναι f (x) > 0 κοίλη (79) f (x) < 0 κυρτή. (80)
Κ. Κυρίτσης 13 Παράγωγος - ιαφόριση 6.3.2 Σηµεία Καµπής Πρόκειται για σηµεία για τα οποία f (x 0 ) = 0 και τα κοίλα αλλάζουν εκατέρωθεν. 6.4 Ασύµπτωτες Ασύµπτωτες λέγονται οι ευθείες στις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης πλησιάζει οσοδήποτε κοντά αλλά ποτέ δεν τις τέµνει ή δεν ταυτίζεται µ αυτές. 6.4.1 Κατακόρυφες Κατακόρυφες ασύπτωτες, αν υπάρχουν ϑα είναι σε σηµεία x 0 στα οποία η συνάρτηση δεν ορίζεται. Σ αυτή την περίπτωση εξετάζουµε τα πλευρικά όρια lim x x f(x), lim 0 x x + f(x). Εάν απειρίζονται, έχουµε κατακόρυφη ασύµπτωτο. 0 Τα όρια µας λένε εάν η συνάρτηση τείνει ασυµπτωτικά στο ή στο + κα8ώς πλησιάζουµε τον κατακόρυφο άξονα x = x 0. 6.4.2 Οριζόντιες Εδώ εξετάζουµε τα όρια lim x ± f(x). Αν υπάρχουν και είναι πεπερασµένος αριθµός, τότε έχουµε οριζόντιες ασύµπτωτες. 6.4.3 Πλάγιες Πλάγιες ασύµπτωτοι είναι ευθείες y = α + x + β +, y = α x + β, τις οποίες υπολογίζουµε ώς εξής. f(x) α + = lim x + x, β + = lim (f(x) α +x), x + α = lim x f(x) x, β = lim x (f(x) α x), Να σηµειώσουµε ότι οι οριζόντιες είναι ειδική περίπτωση πλαγίων ασυµπτώτων.
Κ. Κυρίτσης 14 Παράγωγος - ιαφόριση 7 Μελέτη και Χάραξη Γραφικής Παράστασης Η διαδικασία είναι η εξής. 1. Πεδίο ορισµού. 2. Σηµεία τοµής µε άξονες. 3. Ασύµπτωτες. (α ) Κατακόρυφες, (ϐ ) Οριζόντιες, (γ ) Πλάγιες (αν δεν υπάρχουν οριζόντιες). 4. Υπολογισµός παραγώγων, f (x), f (x). 5. Ακρότατα και σηµεία καµπής. 6. Μονοτονία, κοίλα, συνοπτικός πίνακας. 7. Χάραξη γραφικής παράστασης µε ϐάση τον πίνακα. 8 Ανάπτυγµα Συνάρτησης σε Σειρά Ας υποθέσουµε ότι τόσο η f(x), όσο και οι παράγωγοί της µέχρι n τάξης υπάρχουν και είναι συνεχείς στο [a, b], η δε f (n+1) (x) αρκεί να υπάρχει στο (a, b). Τότε για κάποιο x 0 [a, b] είναι f(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ 1 2 f (c)(x x 0 ) 2 +...+ 1 N! f(n) (c)(x x 0 ) N +R N (x), (81) όπου R N (x) είναι το υπόλοιπο. Το παραπάνω ανάπτυγµα της συνάρτησης σε δυναµοσειρά σε πιο πυκνή γραφή είναι N 1 n f f(x) = n! x n (x x 0 ) n + R N (x). (82) x=x0 n=0 Το υπόλοιπο µπορεί να γραφτεί σαν R N (x) = 1 (N + 1)! f(n+1) (ξ)(x x 0 ) N+1, (µορφή Lagrange), (83) R N (x) = 1 N! f(n+1) (ξ)(x ξ) N (x x 0 ), (µορφή Cauchy), (84)
Κ. Κυρίτσης 15 Παράγωγος - ιαφόριση R N (x) = 1 N! ˆ x x 0 (x t) N f (N+1) (t)t, (ολοκληρωτική µορφή). (85) Εδώ ξ είναι ένας αριθµός µεταξύ a, b. Στην περίπτωση που υπάρχουν όλες οι παράγωγοι, µπορούµε να ξεχάσου- µε το υπόλοιπο και να γράψουµε f(x) = 1 n f n! x n (x x 0 ) n. (86) x=x0 n=0 Η παραπάνω άπειρη δυναµοσειρά λέγεται ανάπτυγµα Taylor. Στην πε- ϱίπτωση που x 0 = 0, λέγεται ανάπτυγµα MacLaurin. f(x) = 1 n f n! x n x n. (87) x=0 n=0 Μερικά χαρακτηριστικά αναπτύγµατα MacLaurin είναι τα 1 1 x = x n, x < 1, (88) n=0 1 1 + x = ( 1) n x n, x < 1, (89) sin x = ln(1 + x) = cosx = n=1 n=0 e x = n+0 x n n!, (90) ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)!, (91) n=0 n=0 ( 1) n x2n ( 1) n 1xn (2n)!, (92), 1 < x +1, (93) n arctan x = n=0 ( 1) n x2n+1, x 1. (94) 2n + 1
Κ. Κυρίτσης 16 Παράγωγος - ιαφόριση ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.
Κ. Κυρίτσης 17 Παράγωγος - ιαφόριση Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autoca Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )
Κ. Κυρίτσης 18 Παράγωγος - ιαφόριση Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας www.vitali.gr και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ