ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΜΕ ΠΟΛΥΜΕΣΑ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΜΕ ΠΟΛΥΜΕΣΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ανδρέας Πάσσος Επιβλέπων: Ζαμαρίας Βασίλειος Λέκτορας ΠΔ 407 Ε.Μ.Π Αθήνα, Ιούλιος 2011

Σ ε λ ί δ α 2 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΜΕ ΠΟΛΥΜΕΣΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ανδρέας Πάσσος Επιβλέπων: Ζαμαρίας Βασίλειος Λέκτορας ΠΔ 407 Ε.Μ.Π Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή: 1 2 3 Β.Ζαμαρίας Ν.Τράκας Ε.Παπαντωνόπουλος Λέκτορας ΠΔ 407 Ε.Μ.Π Αν. Καθηγητής Ε.Μ.Π Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα, Ιούλιος 2011

Σ ε λ ί δ α 3 Η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας, Παρουσίαση σε Πολυμέσα

Σ ε λ ί δ α 4 Πρόλογος Σκοπός αυτής της εργασίας είναι παρουσίαση των βασικών αρχών της Γενικής θεωρίας της Σχετικότητας σε μια ιστοσελίδα. Έτσι, να μπορεί ο καθένας να έχει προσβαση σε αυτήν και να έχει την δυνατότητα να συλλάβει την ομορφιά της επιστημονικής σκέψης. Στην εργασία μου, κάνω προσπάθεια να εξηγήσω τις ενότητες, όσον το δυνατόν πιο απλά για τον αναγνώστη κάνοντας χρήση πολλών παραδειγμάτων. Στην ιστοσελίδα παραθέτω κάποια βίντεο κινούμενων γραφικών που αποσκοπούν στην ευκολότερη κατανόηση της θεωρίας, όπως επίσης και ένα Quiz γνώσεων που προσφέρει διαδραστικότητα με τον χρήστη. Για την υλοποίηση αυτού του έργου, οφείλω να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου, τον κύριο Βασίλη Ζαμαρία, για το θεωρητικό υπόβαθρο που μου προσέφερε, αλλά και τις πολύτιμες συμβουλές του, οι οποίες ήταν καθοριστικές για το τελικό αποτέλεσμα. Αφιερώνω την διπλωματική μου εργασία στους γονείς μου για την ανεκτίμιτη στήριξή τους όλα αυτά τα χρόνια σπουδών μου και όχι μόνο. Η παρουσία τους αποτελεί σημαντικό παράγοντα, αλλά και έμπνευση για την σταδιοδρομία μου.

Σ ε λ ί δ α 5 Περιεχόμενα: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ιστορικά Στοιχεία σελ.7 1) Τα κυριότερα γεγονότα της ιστορίας που οδήγησαν στην Θεωρία της Σχετικότητας Ο Rοemer και η ταχύτητα του φωτός (1676) Η αποπλάνηση του φωτός (1782) Το φαινόμενο Doppler (1842) Το πείραµα Michelson - Morley (1881 και 1887) 2) Ο Γαλιλαίος και ο μετασχηματισμός του Η αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου Ο μετασχηματισμός του Γαλιλαίου 3) Συμπεράσματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Η Ειδική θεωρία της Σχετικότητας σελ.25 1) Βασικές Παραδοχές 2) Αδρανειακοί παρατηρητές 3) Μετασχηματισμός Λόρεντζ 4) Η συστολή του μήκους και η διαστολή του χρόνου Η διαστολή του χρόνου

Σ ε λ ί δ α 6 Η συστολή του μήκους 5) Διάγραμμα Minkowski 6) Κώνος Φωτός 7) Παράδοξα της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας Το παράδοξο των διδύμων Το Παράδοξο της σκάλας 8) Μαθηματικά της Ειδικής θεωρίας της Σχετικότητας Σύμβαση Άθροισης του Einstein Διάστημα μεταξύ δύο σημείων Τετραδιανύσματα Τετρα-ταχύτητα Τετρα-ορμή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Η Γενική θεωρία της Σχετικότητας σελ.52 1) Εισαγωγή 2) Η Γεωμετρία της Νευτώνιας Βαρύτητας 3) Η Αρχή της Ισοδυναμίας 4) Απ την Ειδική στη Γενική θεωρία Σχετικότητας Ιστορικά Στοιχεία 5) Εξισώσεις Πεδίου του Einstein 6) Η Κοσμολογική Σταθερά 7) Μαύρες τρύπες ή μελανές οπές 8) Λύσεις των εξισώσεων του Einstein H λύση Schwarzschild Η λύση Kerr Η λύση Reissner-Nordström Η λύση Friedmann - Lemaître - Robertson Walker Η λύση Einstein - de Sitter 9) Συνέπειες της Γενικής θεωρίας της Σχετικότητας Βαρυτική διαστολή του χρόνου και μεταβολή της συχνότητας του φωτός Εκτροπή Φωτός και Βαρυτική Χρονική Καθυστέρηση (Shapiro effect) Βαρυτικά Κύματα Τροχιακή Μετάπτωση ή Μετάπτωση των Αψίδων Τροχιακή Εξασθένηση

Σ ε λ ί δ α 7 Γεωδαιτικές Μεταπτώσεις - το φαινόμενο Frame Dragging και ο δορυφόρος Gravity Probe B Βαρυτικός Φακός και οι Εφαρμογές του ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: σελ.83 Εφαρμογές στην Γενική θεωρία της Σχετικότητας (Ενδεικτικές Λύσεις) 1) Η λύση Schwarzschild 2) Η λύση Freidman-Lemaitre-Walker-Robertson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Πολυμέσα σελ.95 Αdobe Flash σελ.97 1) Τι είναι το Αdobe Flash 2) Το Περιβάλλον Εργασίας του Flash 3) Symbols 4) Actions Panel 5) Ήχος 6) Κινούμενα Γραφικά 7) Motion Guide 8) Ανάλυση του Quiz της Εργασίας Joomla σελ.134 1) Τι είναι το Joomla 2) Ιεραρχία 3) Template 4) Modules 5) Content 6) Λειτουργία 7) Components

Σ ε λ ί δ α 8 8) Plug-in 9) Πλεονεκτήματα του Joomla HTML σελ.140 1) Τι είναι η HTML 2) H Δομή της HTML 3) Μορφοποίηση Κειμένου Βασικές Ετικέτες 4) Ιδιότητες Ετικετών 5) Διαμόρφωση Κειμένου 6) Λίστες 7) Εισαγωγή Εικόνας 8) Σύνδεσμοι και Δεσμοί 9) Πίνακες

Σ ε λ ί δ α 9

Σ ε λ ί δ α 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ιστορικά Στοιχεία 1) Τα κυριότερα γεγονότα της ιστορίας που οδήγησαν στην Θεωρία της Σχετικότητας Ο Rοemer και η ταχύτητα του φωτός (1676) Η αποπλάνηση του φωτός (1782) Το φαινόμενο Doppler (1842) Το πείραµα Michelson - Morley (1881 και 1887) 2) Ο Γαλιλαίος και ο μετασχηματισμός του Η αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου Ο μετασχηματισμός του Γαλιλαίου 3) Συμπεράσματα

Σ ε λ ί δ α 11 1. Τα κυριότερα γεγονότα της ιστορίας που οδήγησαν στην Θεωρία της Σχετικότητας Στην μακρόχρονη ιστορία της επιστημονικής παρατήρησης, από τους Βαβυλώνιους και τους αρχαίους Έλληνες, μέχρι τον Γαλιλαίο και τον Νεύτωνα αλλά και αργότερα, υπήρξαν κάποια γεγονότα, όπου η βαρύτητά τους ήταν καθοριστική για την διατύπωση και θεμελίωση της Θεωρίας της Σχετικότητας από τον Einstein. Τα σημαντικότερα από αυτά τα γεγονότα είναι: 1632 Ο Γαλιλαίος δημοσιεύει το βιβλίο του: Διάλογοι σχετικά με τα δύο κύρια κοσμικά συστήματα - το Πτολεμαϊκό και το Κοπερνίκειο. 1676 Η πρώτη μέτρηση της ταχύτητας του φωτός από τον Ρέμερ (Rοemer). 1687 Δημοσίευση του. βιβλίου του Νεύτωνα: Μαθηματικές αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica). 1782 Μπραντλεϋ (Bradley). Ανακάλυψη του φαινομένου της αποπλάνησης του φωτός. 1842 Φαινόμενο Ντόπλερ (Doppler). 1851 Επίδειξη της περιστροφής της Γης με το εκκρεμές του Φουκώ (Foucault). 1849 Ο Φιζώ (Fizeau) και ο Φουκώ (Foucault). Μέτρηση της ταχύτητας του φωτός στο εργαστήριο. 1851 Φιζώ. Μέτρηση της ταχύτητας του φωτός σε κινούμενο νερό. 1856-1864 Μάξγουελ (Maxwell). Διατύπωση της θεωρίας του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. 1881 Το πρώτο πείραμα των Μάικελσον και Μόρλυ (Michelson-Morley). 1883 Δημοσίευση του βιβλίου του Μαχ (Mach), Die Mechαnik ίn ihrer Entwicklung. 1887 Βελτιωμένο πείραμα των Μάικελσον και Μόρλυ.

Σ ε λ ί δ α 12 1896 Ανακάλυψη της ραδιενέργειας από τον Μπεκερέλ (Becquerel). 1894-1896 Ανακάλυψη του ηλεκτρονίου από τον Τόμσον (J.J. Thomson). 1902 Mελέτη της κίνησης σχετικιστικών σωματιδίων μέσα σε ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο απο τον Κάουφμαν (Kaufmann). 1892-1904 Δημοσιεύσεις του Λόρεντζ (Lorentz) για την ηλεκτροδυναμική των κινουμένων σωμάτων. 1895-1905 Δημοσιεύσεις του Πουανκαρέ (Ροincare) για τη σχετικότητα. 1905 Δημοσίευση του άρθρου του Άινστάιν (Einstein) 'Περί της ηλεκτροδυναμικής των κινουμένων σωμάτων'. 1909 Διάλεξη του Μινκόφσκι (Minkowski) για τον χώρο και τον χρόνο. Ας δούμε πιο αναλυτικά κάποια από τα σημαντικότερα επιστημονικά γεγονότα που αποτέλεσαν σημαντικό παράγοντα για την θεμελίωση της Θεωρίας της Σχετικότητας. Ο Roemer και η ταχύτητα του φωτός (1676) Έχουν χρησιµοποιηθεί πολλές µέθοδοι για τον προσδιορισµό της ταχύτητας του φωτός. Αρκετούς αιώνες πριν υπάρξουν πειραµατικές αποδείξεις, πολλοί πίστευαν ότι η ταχύτητα του φωτός πρέπει να είναι πεπερασµένη. Η πρώτη πειραµατική µαρτυρία δόθηκε από τον Δανό αστρονόµο Roemer το 1676. Αυτό που ουσιαστικά είχε παρατηρήσει ο Roemer ήταν μια εκδήλωση του φαινομένου που αργότερα έγινε γνωστό ως φαινόμενο Ντόπλερ. Μια περιοδική πηγή, στην περίπτωση αυτή ήταν το σύστημα πλανητών Δίας-Ιώ (η Ιώ είναι ένας δορυφόρος του Δία) και παρατηρητής ο ίδιος πάνω στην κινούμενη Γη. Διαπίστωσε ότι η συχνότητα των εκλείψεων ήταν μεγαλύτερη όταν η Γη πλησίαζε τον Δία από ό,τι όταν η Γη απομακρυνόταν από τον Δία. Για να δούμε όμως πως ο Roemer υπολόγισε τελικά την ταχύτητα του φωτός.

Σ ε λ ί δ α 13 Στην παραπάνω εικόνα φαίνονται οι τροχιές της Γης και του Δία γύρω από τον ήλιο, καθώς και η περιφορά της Ιούς γύρω από τον πλανήτη Δία. Όταν ο δορυφόρος δεν φαίνεται από την Γη, δηλαδή βρίσκεται πίσω από τον πλανήτη Δία, τότε έχουµε έκλειψη. Ο Roemer παρατήρησε ότι υπήρχε αυτή η µικρή µεταβολή στην περίοδο των εκλείψεων της Ιούς. Σε αυτήν τη θέση των πλανητών που φαίνεται στην παραπάνω εικόνα, η παρατήρηση στη Γη γίνεται µε καθυστέρηση L/c, όπου c η ταχύτητα του φωτός και L η απόσταση της Γης όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο Roemer μπόρεσε και προέβλεψε τον ακριβή χρόνο της έκλειψης που θα συνέβαινε µετά από 6 µήνες, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.

Σ ε λ ί δ α 14 Έξι µήνες αργότερα, η Γη έχει διανύσει το µισό της τροχιά της, ενώ ο Δίας έχει κινηθεί κατά 15 0 περίπου, αφού χρειάζεται 12 έτη για να κάνει µια πλήρη περιστροφή γύρω από τον ήλιο. Η έκλειψη τώρα παρατηρείται µε καθυστέρηση L'/c, µε L' = L + D. Με την αποδεκτή τότε απόσταση Ηλίου-Γης των 140 x 10 6 km, άρα το D=280 x 10 6 km, η πρόβλεψη του Roemer έπεσε έξω κατά 1320 sec. Από αυτή τη χρονική διαφορά, συμπέρανε ότι το φώς δεν είχε άπειρη ταχύτητα, όπως μέχρι τότε πίστευαν, αλλά πεπερασμένη. Οπότε θεώρησε ότι αυτή η διαφορά πρέπει να είναι ο χρόνος που χρειάζεται το φως για να διανύσει τη διάµετρο D της τροχιάς της Γης γύρω από τον ήλιο. Εποµένως, µε αυτόν τον τρόπο υπολόγισε ότι η ταχύτητα του φωτός είναι: 2,8 10 m 1320 sec 11 9 c= 2,12 10 / m s Η παραπάνω προσέγγιση της ταχύτητας θεωρείται αρκετά καλή, δεδοµένης της εποχής που έγινε ο προσδιορισµός της. Επιπλέον, ο Roemer έδειξε στους αστρονόµους ότι για την ανάλυση των αποτελεσµάτων των παρατηρήσεων, δηλαδή για να βρεθεί η αληθινή κίνηση ενός πλανήτη ή ενός δορυφόρου, είναι απαραίτητο να λαµβάνεται υπόψη και ο χρόνος διάδοσης του φωτεινού σήµατος. Ανεξαρτήτως της ακρίβειας με την οποία η ταχύτητα του φωτός υπολογίστηκε από τις μετρήσεις του Roemer, η σημασία των μετρήσεων αυτών μπορεί να συνοψιστεί ως εξής: 1. Για πρώτη φορά μετρήθηκε μια παγκόσμια σταθερά. 2. Η ταχύτητα του φωτός βρέθηκε πράγματι να είναι πολύ µεγάλη, αλλά πεπερασμένη. 3. Διαπιστώθηκε ότι οι αστρονόµοι πρέπει να λαµβάνουν τον χρόνο διάδοσης του φωτός στις χρονομετρήσεις τους κατά την παρατήρηση των ουρανίων φαινομένων. Οι μετρήσεις του Roemer, αρχικά αποσκοπούσαν στην λύση ενός προβλήματος στη ναυσιπλοΐα. Στην πραγματικότητα όμως οδήγησαν στον προσδιορισμό της ταχύτητας του φωτός, η οποία έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην μετέπειτα διατύπωση της Θεωρίας της Σχετικότητας, καθώς και την παρατήρηση φαινομένων που έχουν να κάνουν με την σχετική κίνηση των πλανητών και φωτεινών πηγών όπως η αποπλάνηση του φωτός.

Σ ε λ ί δ α 15 Η αποπλάνηση του φωτός (1782) Ο Μπράντλεϋ χρειάστηκε δύο χρόνια για να µπορέσει να ερµηνεύσει το φαινόµενο αυτό. Αυτό συνέβη όταν συνειδητοποίησε ότι η φαινοµενική µετατόπιση των άστρων οφείλεται στην κίνηση της Γης στην τροχιά της γύρω από τον Ήλιο και την πεπερασµένη ταχύτητα του φωτός. Ο Thomson αναφέρει µια ιστορία, σύµφωνα µε την οποία η έµπνευση για την ερµηνεία του φαινοµένου ήρθε στον Μπράτλεϋ στη διάρκεια ενός ταξιδιού αναψυχή µε πλοιάριο στον Τάµεση: Η συντροφιά ανέβηκε και κατέβηκε τον ποταµό µερικές φορές και ο Μπράτλεϋ πρόσεξε πως ο ανεµοδείκτης στην κορυφή του καταρτιού άλλαζε κατεύθυνση κάθε φορά που το πλοιάριο άλλαζε κατεύθυνση, παρόλο που ο ασθενής άνεµος φυσούσε προς την ίδια κατεύθυνση. Στα γραπτά του Μπράτλεϋ, όµως, δεν υπάρχει αναφορά σε κάποιο τέτοιο συµβάν, οπότε θα πρέπει να υποθέσουµε ότι έχουµε να κάνουµε µε ακόµη έναν αληθοφανή µύθο στην ιστορία της επιστήµης. Η ανακάλυψη της αποπλάνησης του φωτός είναι σημαντική, όχι µόνο γιατί οδήγησε σε µια καλύτερη προσέγγιση της ταχύτητας του φωτός (στον αέρα), αλλά έδειξε επίσης άµεσα την ετήσια µεταβολή της διεύθυνσης της ταχύτητας της Γης ως προς τα άστρα. Ως εκ τούτου, έδειξε επίσης ότι είναι ακριβέστερο να δεχθεί κανείς ότι η Γη κινείται γύρω από τον Ήλιο και όχι αντιστρόφως και ότι ο Ήλιος είναι εποµένως καλύτερο αδρανειακό σύστηµα από τη Γη.

Σ ε λ ί δ α 16 Η πιο απλή εξήγηση της αποπλάνησης μπορεί να δοθεί με μια αναλογία ανάμεσα στη διάδοση του φωτός και στην πτώση των σταγόνων της βροχής. Ένα άτομο που περπατά γρήγορα μέσα σε μια βαριά καταιγίδα, με τις σταγόνες να πέφτουν κάθετα προς τα κάτω, θα πρέπει να φέρει σε κλίση την ομπρέλα του προς τα εμπρός προς αντιστάθμιση της κίνησής του. Κατά τον ίδιο τρόπο και για τον ίδιο λόγο, ένας αστρονόμος στην κινούμενη Γη πρέπει να αποκτά κλίση του τηλεσκοπίου του ελαφρά προς τα εμπρός στην κατεύθυνση της κίνησης της γης, προκειμένου το αστρικό φώς να πέφτει ακριβώς κάθετα στο κέντρο του τηλεσκοπίου του. Ως αποτέλεσμα αυτής της κίνησης, η φαινομενική θέση ενός αστεριού συνήθως δεν συμπίπτει με την αληθινή θέση του. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται φαινόμενο της εκτροπής ή αποπλάνησης του φωτός. Πώς όμως επηρεάζεται η συχνότητα του φωτός που εκπέμπει ένα αστέρι που βρίσκεται σε σχετική κίνηση με έναν παρατηρητή; Το φαινόμενο Doppler (1842) Το φαινόμενο Doppler (Ντόπλερ) ή η μετατόπιση Doppler, συσχετίζει τη μετρούμενη συχνότητα ενός κύματος με τη συχνότητά του στην πηγή εκπομπής, και με τις σχετικές ταχύτητες της πηγής, του μέσου και του δέκτη. Το φαινόμενο αυτό στην περίπτωση του ήχου είναι πολύ γνωστό στον καθένα που έχει προσέξει τον ήχο ενός αυτοκινήτου που πλησιάζει και έπειτα απομακρύνεται ή σε εκείνους που περιμένουν σε μια σιδηροδρομική εξέδρα και ακούνε ένα τρένο που σφυρίζει, περνώντας από μπροστά τους. Γενικά, όταν μια πηγή πλησιάζει προς ένα δέκτη, ο

Σ ε λ ί δ α 17 αριθμός των κυμάτων που εκπέμπονται από την πηγή σε 1 s, θα φτάσει στον δέκτη σε χρονικό διάστημα μικρότερο από 1 s, γιατί η πηγή βρίσκεται πιο κοντά στον δέκτη όταν εκπέμπει το τελευταίο κύμα από ό,τι όταν εκπέμπει το πρώτο. Έτσι, η συχνότητα που μετρά ο δέκτης είναι υψηλότερη. Αντίθετα, όταν η πηγή απομακρύνεται, η συχνότητα στον δέκτη είναι χαμηλότερη. Ανάλογοι συλλογισμοί ισχύουν και όταν πρόκειται για ακίνητη πηγή και κινούμενο δέκτη. Οι συσχετισμοί αυτοί, για τον ήχο, αποδίδονται με την εξίσωση: v v 1 / V 1 / V (1.1) όπου V είναι η ταχύτητα των ηχητικών κυμάτων στο μέσο διάδοσης (π.χ. στον αέρα που θεωρείται ακίνητος), υ π είναι η ταχύτητα της πηγής ως προς το μέσον, που την παίρνουμε θετική όταν η πηγή κινείται προς τον δέκτη, υ Δ είναι η ταχύτητα του δέκτη ως προς το μέσον, που την παίρνουμε θετική όταν ο δείκτης κινείται προς την πηγή, ν π είναι η συχνότητα της πηγής, όπως μετριέται από έναν παρατηρητή ακίνητο ως προς την πηγή, και ν Δ είναι η συχνότητα που μετριέται από τον δέκτη. Ας σημειωθεί ότι αν U π << V (υποθέτουμε υ Δ = 0), είναι v v 1 V (1.2) και v v v v v V (1.3) Το φαινόµενο Doppler αποτελεί τη βάση για ορισµένα ενδιαφέροντα πειράµατα ελέγχου της Ειδικής Σχετικότητας, καθώς και για µερικά άλλα σηµαντικά αποτελέσµατα, ιδιαίτερα στην αστρονοµία. Με βάση το φαινόμενο Doppler, μπορούμε και υπολογίζουμε την ταχύτητα με την οποία ένας γαλαξίας ή ένα άστρο πλησιάζει ή απομακρύνεται από την Γη αλλά και την ταχύτητα περιστροφής διαφόρων ουράνιων σωμάτων. Για τον υπολογισμό αυτό βασιζόμαστε στο γεγονός ότι το μπλε φως έχει μεγαλύτερη συχνότητα από ότι το κόκκινο φως, έτσι οι φασματικές γραμμές του φωτός μιας πηγής που πλησιάζει εμφανίζει μία μετατόπιση προς το ιώδες σε αντίθεση με μια πηγή που απομακρύνεται και εμφανίζει ερυθρή μετατόπιση.

Σ ε λ ί δ α 18 Εξηγώντας και αναλύοντας το φαινόμενο Doppler για τον ήχο, χρειαζόμαστε να αναφερθούμε στο μέσον που είναι ο φορέας των ηχητικών κυμάτων και στην κίνηση της πηγής ή του δέκτη ως προς το µέσο διάδοσης. Στην περίπτωση του φωτός όμως, δεν υπάρχει πάντα κάποιο μέσο διάδοσης, όπως τουλάχιστον ήταν το συμπέρασμα του πειράµατος Michelson - Morley που πραγματοποιήθηκε περίπου σαράντα χρόνια αργότερα. Το πείραµα Michelson - Morley (1881 και 1887) Οι θεωρίες της Φυσικής στα τέλη του 19ου αιώνα επεσήμαναν, ότι, όπως τα κύματα της θάλασσας έχουν ένα μέσο για να διαδοθούν, δηλαδή το νερό, ή τα ακουστικά κύματα διαδίδονται σε ένα μέσο (π.χ. αέρας ή νερό), έτσι και τα φωτεινά κύματα χρειάζονται ένα μέσο διάδοσης. Επειδή το φως μπορεί να ταξιδέψει μέσα στο κενό, έγινε δεκτό ότι το κενό πρέπει να περιέχει ένα μέσο που να διαδίδεται το φως, δηλαδή τον «φωτοφόρο αιθέρα». Αυτή η εντύπωση δόθηκε ιδιαίτερα, μετά την διατύπωση των εξισώσεων του Maxwell τον δέκατο ένατο αιώνα που αποδείχτηκε ότι περιελάμβαναν κυµατικές κινήσεις ανάµεσα στις λύσεις τους. Εάν υπήρχε κύµα, σίγουρα έπρεπε να υπάρχει κάτι που εκτελεί την κύµανση. Η έννοια ενός φωτοφόρου αιθέρα που διαπερνά τα πάντα είχε γεννηθεί.

Σ ε λ ί δ α 19 Το 1881 ο Albert Michelson πραγματοποίησε ένα πείραµα (που το βελτίωσε αργότερα µε τον Morley) και αποσκοπούσε την απόδειξη της ύπαρξης του φωτοφόρου αιθέρα καθώς και το πόσο γρήγορα κινούνταν το εργαστήριό του ως προς αυτόν. Η βασική ιδέα ήταν ότι η ταχύτητα και εποµένως ο χρόνος διάνυσης ενός οπτικού δρόµου σ' ένα συµβολόµετρο έπρεπε να εξαρτάται από τον προσανατολισµό του δρόµου ως προς τη ροή του αιθέρα. Όταν το πείραµα πραγµατοποιήθηκε για πρώτη φορά, καµία ροή αιθέρα δεν ανιχνεύθηκε. Φυσικά, αυτό θα µπορούσε να σηµαίνει απλώς ότι το εργαστήριο ήταν προς στιγµή και κατά σύµπτωση σε ηρεµία ως προς τον αιθέρα. Η λύση ήταν να περιµένουν έξι µήνες, οπότε η Γη θα διένυε το αντιδιαµετρικό σηµείο της τροχιάς της µε µια εύκολα παρατηρήσιµη ταχύτητα -έως και 60 km/sec- ως προς τον αιθέρα, που και πάλι όµως δεν ανιχνεύτηκε. Ένα ανάλογο παράδειγμα, για να αντιληφθούμε καλύτερα την ιδέα του πειράματος είναι να σκεφτούμε ένα ελικόπτερο. Οι έλικες του ελικοπτέρου, έστω ότι έχουν ταχύτητα περιστροφής στις άκρες, περί τα 500km/h. Αν το ελικόπτερο κινείται προς μία κατεύθυνση με 200km/h, θα υπάρχουν σημεία όπου οι έλικες θα κινούνται με 300km/h (αντίθετα με την κίνηση) και σημεία όπου οι έλικες θα έχουν ταχύτητα 700km/h. Έτσι σκεφτηκαν ότι, αντίστοιχο αποτέλεσμα θα προκαλούσε η αιθερική ροή στην ταχύτητα του φωτός. Στην παρακάτω φωτογραφία, βλέπουμε την διάταξη του πειράματος.

Σ ε λ ί δ α 20 Η λειτουργία του συμβολόμετρου, θα εξηγηθεί με ένα ανάλογο παράδειγμα, για την ευκολότερη κατανόηση του. Έστω ότι έχουμε έναν ποταμό με πλάτος 100m και η ροή του νερού είναι 3m/s. Δύο κολυμβητές, Α και Β, βρίσκονται στην ίδια όχθη του ποταμού. Ο Α (στο σχήμα το 1) θα κολυμπήσει μέχρι την απέναντι όχθη του ποταμού και θα επιστρέψει (σύνολο 200m). Ο Β (στο σχήμα το 2) θα κολυμπήσει 100m αντίθετα με την ροή του ποταμού και θα επιστρέψει, συμφώνα με την ροή του ποταμού (σύνολο 200m). Ποίος από τους δύο κολυμβητές θα κερδίσει αν υποθέσουμε ότι και οι δύο κολυμβητές κολυμπάνε το ίδιο γρήγορα, ας πούμε με 5m/s (η ταχύτητα αυτή είναι πολύ μεγάλη για κολύμπι, για τα ανθρώπινα δεδομένα)! Ποιος πιστεύετε ότι θα κερδίσει; Εξετάζουμε πρώτα τον κολυμβητή Β. Κολυμπώντας τα πρώτα 100m αντίθετα στην ροή του ποταμού, θα έχει ταχύτητα 2m/s, άρα θα διανύσει την απόσταση σε 50s. Την επιστροφή, όμως, που θα κολυμπά σύμφωνα με την ροή του ποταμού, θα έχει ταχύτητα 8m/s και θα την διανύσει σε 12,5s. Συνολικά λοιπόν, ο κολυμβητής Β θα χρειαστεί 62,5s. Ο κολυμβητής Α τώρα, για να καταφέρει να φτάσει στην ακριβώς απέναντι πλευρά του ποταμού (αλλιώς δεν θα διένυε 200m), πρέπει να κολυμπήσει διαγώνια, αντίθετα προς την ροή του ποταμού. Η γωνία που πρέπει να επιλέξει, θα πρέπει να δημιουργεί ένα ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα 5 (λόγω της ταχύτητας που κολυμπάει) και την μία κάθετη 3 (λόγω της ταχύτητας της ροής του ποταμού). Άρα η ταχύτητα με την οποία θα κινείται τελικά κάθετα στην ροή του ποταμού, είναι 4m/s. Έτσι, θα κολυμπάει με 4m/s για τα 200m/s της απόστασης. Άρα, συνολικά θα χρειαστεί 50s.

Σ ε λ ί δ α 21 Βλέπουμε ότι, τελικά θα κερδίσει ο κολυμβητής Α, που θα κολυμπήσει κάθετα στην ροή του ποταμού. Αυτό συμβαίνει για οποιαδήποτε ταχύτητα κολύμβησης, αρκεί φυσικά να είναι μεγαλύτερη αυτής της ροής του ποταμού. Έτσι και στο πείραμα των Michelson Morley, οι δέσμες φωτός όταν θα διαχωριστούν από τον διαχωριστή, θα ακολουθήσουν πορείες ανάλογες των κολυμβητών του παραδείγματος και η αιθερική ροή θα είναι η αντίστοιχη ροή του ποταμού. Σε μια ενδεχόμενη λοιπόν αιθερική ροή, θα υπήρχε ετεροχρονισμένη άφιξη των δεσμών, με αποτέλεσμα την δημιουργία κροσσών συμβολής και απόσβεσης που θα ανιχνεύονταν από τον δέκτη. Κάτι τέτοιο δεν ανιχνεύτηκε ούτε σε εκείνο το πείραμα ούτε σε μεταγενέστερα που ήταν και μεγαλύτερης ακρίβειας. Έτσι οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι η αιθερική ροή δεν υφίσταται. Το πείραμα αυτό θα μπορούσε να χαρακτηριστεί ως το πιο διάσημο αποτυχημένο πείραμα μέχρι σήμερα. Βέβαια αντί να παρέχει γνώση των ιδιοτήτων του αιθέρα κατάφερε να προβλέψει και αποδείξει πειραματικά ένα φαινόμενο (έστω και αν έγινε γνωστό μια εικοσαετία αργότερα) που αποτελεί βασική συνέπεια της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας και δεν είναι άλλο απ την διαστολή του χρόνου και συστολή του μήκους. 2. Ο Γαλιλαίος και ο μετασχηματισμός του Η αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου «Κλειστείτε µε κάποιο φίλο σας στο αµπάρι ενός µεγάλου πλοίου, και έχετε µαζί σας µερικές µύγες, πεταλούδες και άλλα µικρά ζώα που µπορούν να πετάξουν. Επίσης ένα µεγάλο δοχείο µε νερό και ψάρια µέσα σε αυτό. Κρεµάστε ψηλά ένα µπουκάλι που αδειάζει, σταγόνα-σταγόνα σε ένα φαρδύ δοχείο που βρίσκεται από κάτω του. Με το πλοίο ακίνητο, παρατηρήστε µε προσοχή πώς τα µικρά ζώα πετάνε µε τις ίδιες ταχύτητες προς όλες τις κατευθύνσεις µέσα στο αµπάρι. Τα ψάρια κολυµπούν αδιάφορα προς όλες τις κατευθύνσεις- οι σταγόνες πέφτουν στο δοχείο από κάτω και, πετώντας κάτι στον φίλο σας, δεν χρειάζεται να το πετάξετε µε µεγαλύτερη δύναµη προς µια κατεύθυνση από όσο σε µια άλλη, ακόμα, κάνοντας ένα βήμα προς μία διεύθυνση, θα διανύσετε την ίδια απόσταση με ένα βήμα προς οποιαδήποτε άλλη διεύθυνση. Όταν έχετε παρατηρήσει όλα αυτά προσεκτικά (παρ' όλον ότι δεν υπάρχει αµφιβολία ότι, µε το πλοίο ακίνητο, όλα θα συµβούν κατ' αυτόν τον τρόπο),

Σ ε λ ί δ α 22 ζητήστε να κινηθεί το πλοίο µε οποιαδήποτε ταχύτητα θέλετε, µε την προϋπόθεση ότι η ταχύτητα θα είναι οµοιόµορφη και δεν µεταβάλλεται προς τη µια ή την άλλη κατεύθυνση. Δεν θα παρατηρήσετε την παραµικρή διαφορά σε όλα τα φαινόµενα που αναφέρθηκαν, ούτε και θα µπορείτε να πείτε από αυτά κατά πόσο το πλοίο κινείται ή είναι ακίνητο.» Με αυτά τα λόγια εισάγει ο Γαλιλαίος την αρχή της σχετικότητας! Είχε παρατηρήσει, µε πειράµατα και µε λογικούς συλλογισµούς, ότι η οµαλή σχετική κίνηση ανάµεσα σε δύο παρατηρητές δεν επηρεάζει τα φαινόµενα της Μηχανικής, όπως αυτοί τα παρατηρούν. Αυτό εκφράστηκε στην αρχή του Γαλιλαίου για το αναλλοίωτο: Οι βασικοί νόµοι της Φυσικής είναι ταυτόσηµοι για όλα τα συστήµατα αναφοράς που κινούνται µε σταθερή ταχύτητα το ένα προς το άλλο. Η αρχή αναφέρεται φυσικά σε µηχανικά φαινόµενα και αποτελεί µια σηµαντικότατη συνεισφορά του Γαλιλαίου στη µαθηµατικοποίηση των νόµων της Φυσικής. Ο νόµος της αδράνειας είναι ακόµη µία συνεισφορά του Γαλιλαίου στη Φυσική. Δηλώνει ότι: Ένα σώµα πάνω στο οποίο δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάµεις, θα εξακολουθήσει να κινείται µε σταθερή ταχύτητα ή και να είναι ακίνητο. Αρχικά αναφερόταν φυσικά στις, µόνες τότε γνωστές δυνάµεις, τις μηχανικές, αλλά σήµερα επεκτείνεται για να καλύψει όλες τις δυνάµεις. Γνωρίζοντας ότι οι θεµελιώδεις δυνάµεις που υπάρχουν στη φύση µειώνονται τουλάχιστον τόσο γρήγορα όσο το αντίστροφο του τετραγώνου της απόστασης, θεωρούµε ότι ένα σώµα που βρίσκεται αρκετά µακριά από άλλα σώµατα µπορεί να θεωρηθεί, κατά προσέγγιση, αποµονωµένο. Ο νόµος της αδράνειας διατυπώθηκε ως Πρώτος Νόµος του Νεύτωνα για την Κίνηση. Ο Δεύτερος νόµος συσχετίζει την επιτάχυνση ενός σώµατος µε τις εξωτερικές δυνάµεις που ασκούνται πάνω σε αυτό: d p dt F Θα µπορούσε να θεωρηθεί ως ο ορισµός της δύναµης, η οποία, αν οριστεί µε αυτόν τον τρόπο, οδηγεί σε πολύ απλές µαθηµατικές εκφράσεις για τους νόµους που

Σ ε λ ί δ α 23 περιγράφουν τις φυσικές δυνάµεις. Ο πρώτος νόµος του Νεύτωνα για την κίνηση, εκφράζει κάτι πολύ σηµαντικό: ότι είναι δυνατόν να υπάρξουν στη φύση συστήµατα αναφοράς, στα οποία ισχύει σε ικανοποιητικό βαθμό η συνθήκη µηδενικής εξωτερικής δύναµης και για τα οποία ισχύουν οι δύο πρώτοι νόµοι κίνησης του Νεύτωνα. Τα συστήµατα αυτά αποκαλούνται αδρανειακά συστήµατα αναφοράς. Αν υπάρχει ένα τέτοιο σύστηµα, υπάρχουν άπειρα αδρανειακά συστήµατα, τα οποία κινούνται µε σταθερές σχετικές ταχύτητες µεταξύ τους. Προφανώς µόνο κατά προσέγγιση µπορούν να υπάρξουν αδρανειακά συστήµατα αναφoράς. Η Γη, ως περιστρεφόµενο σύστηµα αναφοράς δεν είναι αδρανειακό. Μπορεί να θεωρηθεί ως αδρανειακό, αν συμπεριλάβουμε και υποθετικές δυνάμεις, όπως η φυγόκεντρος δύναμη και η δύναμη Coriolis, στις πραγµατικές δυνάµεις που ασκούνται πάνω σε ένα σώµα. Ο Ήλιος υφίσταται µια πολύ µικρή επιτάχυνση, λόγω των βαρυτικών δυνάµεων από γειτονικά άστρα, αλλά, κυρίως, λόγω της περιστροφής του Γαλαξία γύρω από το κέντρο του. Οι επιταχύνσεις αυτές όµως είναι εξαιρετικά µικρές, µη µετρήσιµες, και µπορούν να αγνοηθούν. Το ηλιοκεντρικό σύστηµα αναφοράς είναι εποµένως, µε καλή προσέγγιση, αδρανειακό. Συνήθως αναφερόµαστε σε κίνηση «ως προς τους απλανείς αστέρες» για να µιλήσουµε για κίνηση µέσα σε αδρανειακό σύστηµα, εννοώντας την κίνηση ως προς την ύλη στους πολύ µακρινούς γαλαξίες του ορατού σύµπαντος.

Σ ε λ ί δ α 24 Ο μετασχηματισμός του Γαλιλαίου Η θέση ενός συμβάντος σε ένα σύστημα αναφοράς S καθορίζεται από τις συντεταγμένες του (x,y,z,t), θέσης και χρόνου, στο σύστηµα αυτό. Θα υποθέσουµε ότι ένα άλλο σύστηµα αναφοράς, το συστημάτων συµπίπτουν. Στην κλασική Μηχανική, ο χρόνος είναι απόλυτος και κοινός για όλο το σύµπαν. Εποµένως θα είναι t' = t. Επειδή η σχετική κίνηση των δύο συστηµάτων γίνεται κατά µήκος του άξονα των χ µόνο, η απόσταση µεταξύ των αρχών των αξόνων Ο' και Ο θα είναι OO' = Vt. Θα είναι λοιπόν επίσης x' = x - Vt και y' = y, z' = z. Ο μετασχηματισμός: x' x Vt y ' y z' z t ' t (1.4) ονοµάζεται μετασχηματισμός του Γαλιλαίου. Είναι ένας ειδικός μετασχηματισμός και ως εκ τούτου διατηρεί αναλλοίωτη την εξίσωση dp / dt F (1.5) Αντίστοιχα για τις ταχύτητες, προκύπτει: x V, y y x V, z z V (1.6) Διανυσµατικά, για γενική σχετική ταχύτητα του S' ως προς το S ίση µε V και τους άξονες των δύο συστηµάτων να συµπίπτουν όταν είναι t=t'=0, ο µετασχηµατισµός είναι: r r V, t t (1.7) Παραγωγίζοντας ξανά, έχουμε τον μετασχηματισμό της επιτάχυνσης: a ' a (1.8)

Σ ε λ ί δ α 25 Γράφωντας την εξίσωση / Προκύπτει ότι F ' ma ' F ' F Και αν υποθέσουμε dp dt F ως F ma (1.9) (1.10) Τότε ο μετασχηματισμός του Γαλιλαίου παραμένει αναλλοίωτος 3. Συμπεράσματα Από όλα αυτά τα γεγονότα που συνέβησαν στον επιστημονικό χώρο της Φυσικής, κατά την διάρκεια των τεσσάρων τελευταίων αιώνων, έχουν προκύψει τα παρακάτω συμπεράσματα, τα οποία, έχουν κυρίως πειραματική βάση: Η ταχύτητα c είναι αναλλοίωτη για όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Η ταχύτητα c είναι η μέγιστη ταχύτητα με την οποία μπορεί να διαδοθεί η ενέργεια. Η απόλυτη ταχύτητα ενός συστήματος αναφοράς δεν έχει νόημα. Μόνο σχετικές ταχύτητες μπορούν να προσδιοριστούν πειραματικά. Οι απλοί μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου δεν δίνουν ικανοποιητικές ερμηνείες για τα φαινόμενα στα οποία υπεισέρχονται μεγάλες ταχύτητες. Η Νευτώνεια έκφραση ½ mυ 2 για την κινητική ενέργεια δεν ισχύει ότανη ταχύτητα υ πλησιάζει την ταχύτητα c του φωτός.

Σ ε λ ί δ α 26 Είμαστε τώρα έτοιμοι να μελετήσουμε την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, έχοντας υπόψη τα πειραματικά δεδομένα που προηγήθηκαν. Να σημειώσουμε ότι αναφέραμε μόνο ένα μικρό μέρος από τα πειράματα που στηρίζουν την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, η οποία είναι σήμερα πολύ γερά θεμελιωμένη. Το επόμενό μας εγχείρημα θα είναι να διατυπώσουμε τη θεωρία αυτή και να καταλάβουμε μερικές από τις κυριότερες συνέπειες της.

Σ ε λ ί δ α 27

Σ ε λ ί δ α 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Η Ειδική θεωρία της Σχετικότητας 1) Βασικές Παραδοχές 2) Αδρανειακοί παρατηρητές 3) Μετασχηματισμός Λόρεντζ 4) Η συστολή του μήκους και η διαστολή του χρόνου Η διαστολή του χρόνου Η συστολή του μήκους 5) Διάγραμμα Minkowski 6) Κώνος Φωτός 7) Παράδοξα της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας Το παράδοξο των διδύμων Το Παράδοξο της σκάλας 8) Μαθηματικά της Ειδικής θεωρίας της Σχετικότητας Σύμβαση Άθροισης του Einstein Διάστημα μεταξύ δύο σημείων Τετραδιανύσματα Τετρα-ταχύτητα Τετρα-ορμή

Σ ε λ ί δ α 29 Στην κλασική μηχανική που θεμελιώθηκε από τον Νεύτωνα, όλοι οι νόμοι πρέπει να έχουν την ίδια μορφή σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς, δηλαδή στα συστήματα που έχουν μηδενική επιτάχυνση και να ισχύουν οι μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου. Όμως οι φυσικοί που ασχολιόντουσαν με τον ηλεκτρομαγνητισμό, αντιμετώπιζαν ταχύτητες πολύ μεγαλύτερες από αυτές που συναντάμε στην κλασική μηχανική, ταχύτητες που είναι συγκρίσιμες με την ταχύτητα του φωτός. Παρατήρησαν λοιπόν, ότι οι μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου δεν έχουν σωστή συμπεριφορά για τόσο μεγάλες ταχύτητες. Τέτοιου είδους αφορμές, οδήγησαν στην αναζήτηση και ανάπτυξη μιας νέας θεωρίας, της Ειδικής θεωρίας της Σχετικότητας. Προτού αναλύσουμε περεταίρω την θεωρία αυτή, ας δούμε κάποιες έννοιες που χρειάζονται αποσαφήνιση. 1. Βασικές Παραδοχές Το αρνητικό αποτέλεσµα του πειράµατος των Michelson και Morley σχετικά µε τη διαπίστωση της κίνησης της Γης µέσα σε έναν αιθέρα, µπορούν να γίνουν κατανοητά µόνο όταν κάνουµε µια επαναστατική αλλαγή στον τρόπο που σκεφτόµαστε. Η νέα αρχή που χρειαζόµαστε είναι απλή και ξεκάθαρη: Η ταχύτητα της διάδοσης του φωτός (στο κενό) είναι ανεξάρτητη από την κίνηση της φωτεινής πηγής ή του δέκτη. Αυτό σηµαίνει ότι η ταχύτητα του φωτός είναι η ίδια για όλα τα συστήµατα αναφοράς που κινούνται µε οµοιόµορφη κίνηση σε σχέση µε την πηγή. Σε αυτή τη νέα παραδοχή πρέπει να προστεθεί µια παλιότερη παραδοχή: Ο χώρος είναι ισότροπος και οµοιόµορφος. Οι θεµελιώδεις νόµοι της Φυσικής είναι ίδιοι για δύο οποιουσδήποτε παρατηρητές που βρίσκονται σε σχετική κίνηση. Όλες οι τεράστιες συνέπειες της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας ξεκινούν από αυτές τις παραδοχές. Ας δούμε όμως μια πολύ βασική έννοια που πρέπει να γνωρίζουμε, τον αδρανειακό παρατηρητή.

Σ ε λ ί δ α 30 2.Αδρανειακοί Παρατηρητές Ένας αδρανειακός παρατηρητής είναι ένας παρατηρητής σε ελεύθερη πτώση και µη περιστρεφόµενος. Είναι σηµαντικό ένας παρατηρητής να µπορεί να αποφανθεί αν είναι αδρανειακός ή όχι, χωρίς να χρειάζεται να αναφερθεί καθ' οποιονδήποτε τρόπο στο υπόλοιπο σύµπαν. Το εργαστήριό του πρέπει να εφοδιαστεί µε αρκετά επιταχυνσιόµετρα ώστε να µετρήσει επαρκώς τις βαρυτικές και τις φυγόκεντρες δυνάµεις. Αν όλα τα επιταχυνσιόµετρα δείξουν µηδέν, τότε είναι αδρανειακός εάν όχι, δεν είναι. Υπάρχει εδώ µια σαφής αντιδιαστολή: ένας παρατηρητής στο χωρίς παράθυρα εργαστήριό του αδυνατεί να µετρήσει την ταχύτητά του, αλλά µπορεί να µετρήσει χωρίς αµφιβολία την επιτάχυνσή του, η επιτάχυνση είναι απόλυτη, ενώ η ταχύτητα είναι σχετική. Ο όρος αδρανειακός παρατηρητής στην ειδική σχετικότητα αναφέρεται συνήθως σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Οι φυσικοί χρησιμοποιούν τον όρο «αδρανειακός παρατηρητής» για να δηλώσουν ένα συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς από το οποίο μετρώνται ένα σύνολο γεγονότων ή αντικειμένων. Τα αποτελέσματα της ειδικής σχετικότητας, συμβαίνουν, άσχετα από την ύπαρξη κάποιου παρατηρητή που βρίσκεται εντός του αδρανειακού συστήματος αναφοράς για να τα επιβεβαιώσει. Μιλώντας για έναν αδρανειακό παρατηρητή στην ειδική θεωρία της σχετικότητας, δεν εννοούμε ένα συγκεκριμένο άτομο κάτω από κάποιες συνθήκες που βιώνει τα γεγονότα, αλλά στην πραγματικότητα πρόκειται για ένα μαθηματικό πλαίσιο στο οποίο τα αντικείμενα και τα γεγονότα αξιολογούνται με βάση αυτό. Με έννοιες σαν και αυτή καθώς και με την βοήθεια του Lorentz και του μετασχηματισμού του, η Ειδική θεωρία της Σχετικότητας είναι ένα βήμα πιο κοντά από το να διατυπωθεί. 3.Μετασχηματισμός Λόρεντζ Ο Μετασχηματισμός Λόρεντζ, ο οποίος ονομάστηκε προς τιμήν του Ολλανδού Χεντρικ Λόρεντζ και αποτελεί τη βάση της Θεωρίας της Σχετικότητας, η οποία

Σ ε λ ί δ α 31 εισήχθη σε μια προσπάθεια να αρθούν οι αντιφάσεις ανάμεσα στις θεωρίες του ηλεκτρομαγνητισμού και της κλασικής Φυσικής. Υπό τους μετασχηματισμούς αυτούς, η ταχύτητα του φωτός είναι η ίδια σε όλα τα συστήματα αναφοράς, όπως αξιώνει η Ειδική Σχετικότητα. Αν και οι εξισώσεις συνδέονται με την Ειδική Σχετικότητα, διατυπώθηκαν πριν από αυτήν και προτάθηκαν από τον Λόρεντζ το 1904 ως εξήγηση του πειράματος Μάικελσον-Μόρλεϋ (Michelson-Morley), μέσω της συστολής του μήκους. Οι μετασχηματισμοί αυτοί έρχονται σε αντίθεση με τους περισσότερο διαισθητικούς μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου, που δίνουν καλά αποτελέσματα σε μη-σχετικιστικές ταχύτητες. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να υπολογίσουμε πώς φαίνεται η τροχιά ενός σωματιδίου από ένα Αδρανειακό Σύστημα Αναφοράς που κινείται με σταθερή ταχύτητα (σε σχέση με το αρχικό "ακίνητο" Σύστημα Αναφοράς), αλλά και αντικαθιστούν τους προγενέστερους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου. Η ταχύτητα του φωτός c, εισέρχεται σαν παράμετρος στους μετασχηματισμούς Λόρεντζ. Αν η ταχύτητα υ είναι επαρκώς μικρή σε σχέση με την c, τότε και προκύπτουν οριακά οι μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου. Οι μετασχηματισμοί Lorentz αποτελούν μια ομάδα μετασχηματισμών που χρησιμοποιείται για να μετασχηματίσει τις χωροχρονικές συντεταγμένες (ή γενικότερα, οποιοδήποτε τετραδιάνυσμα) από ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς S, σε ένα άλλο, S, όπου το S κινείται με σχετική ταχύτητα υ ως προς το S κατά μήκος του x-άξονα. Αν ένα γεγονός έχει χωρο-χρονικές συντεταγμένες (t,x,y,z) στο S και (t,x,y,z ) στο S, τότε αυτές συσχετίζονται με βάση τους μετασχηματισμούς Lorentz με τον ακόλουθο τρόπο: t '= γ x '= γ y'=y υ t- c x 2 x x -υ t

Σ ε λ ί δ α 32 z'=z (2.3) όπου το γ= 1 1 - β 2 (2.4) καλείται παράγοντας Lorentz. Αυτή είναι η πιο απλή περίπτωση όπου έχουμε την ταχύτητα υ να είναι πάνω στον άξονα των x και οι εξισώσεις αυτές ισχύουν μόνο στην περίπτωση που η ταχύτητα υ βρίσκεται κατά μήκος του x-άξονα του συστήματος S. Οι παραπάνω τέσσερεις εξισώσεις μπορούν να γραφούν συμπαγώς σε μορφή μήτρας ως εξής x t ' 0 0 t 2 c x ' x x 0 0 y ' y 0 0 1 0 z ' z 0 0 0 1 (2.5) ή εναλλακτικά ως ct ' 0 0 ct x ' 0 0 x y ' 0 0 1 0 y z ' 0 0 0 1 z (2.6) με

Σ ε λ ί δ α 33 x c Η πρώτη μορφή έχει το πλεονέκτημα ότι φαίνεται εύκολα ότι ανάγεται στους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου στο όριο / c 0. Η δεύτερη μορφή έχει το πλεονέκτημα ότι δείχνει σαφώς τη διατήρηση του χωροχρονικού μήκους 2 2 2 2 2 ds cdt dx dy dz, που είναι μια θεμελιώδης αναλλοίωτη ποσότητα της Ειδικής Σχετικότητας. Σε περιπτώσεις όπου η υ x δε δείχνει κατά μήκος του x-άξονα του S, είναι συνήθως ευκολότερο να κάνουμε μια περιστροφή του συστήματος, ώστε να φέρουμε την υ x κατά μήκος του x-άξονα του S, ώστε να αποφύγουμε την εμπλοκή με τη γενική μορφή του μετασχηματισμού Lorentz όπου είναι η ακόλουθη x y z 2 x x y x z ct ' x 1 ( 1) 2 1 2 1 2 ct x ' x 2 y x y y z y ' y 1 1 ( 1) 2 2 1 y 2 z ' z 2 z x zy z z 1 2 1 1 ( 1) 2 2 (2.7) με c x x, y z y, z c c (2.8) Καταλαβαίνουμε ότι η περιστροφή του συστήματος, έτσι ώστε να αποφύγουμε την γενική μορφή, απλουστεύει αρκετά τα πράγματα. Με βάση τον μετασχηματισμό του Lorentz, προκύπτει η περιγραφή δύο σημαντικών φαινομένων της Ειδικής θεωρίας της σχετικότητας, η συστολή του μήκους και η διαστολή του χρόνου.

Σ ε λ ί δ α 34 4.Η διαστολή του χρόνου και συστολή του μήκους Η διαστολή του χρόνου Σύμφωνα με όσα είπαμε για τον μετασχηματισμό του Lorentz, θα δούμε πως ο χρόνος δεν κυλάει με τον ίδιο ρυθμό για δύο διαφορετικούς αδρανειακούς παρατηρητές. Για να δούμε ένα παράδειγμα που θα βοηθήσει στην καλύτερη κατανόηση του φαινομένου της διαστολής του χρόνου. Θεωρούμε ένα τρένο που κινείται με ταχύτητα u προς τα δεξιά, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Στην οροφή του βαγονιού είναι στερεωμένο ένα κάτοπτρο και ένας ακίνητος ως προς το τρένο παρατηρητής (Ο ) κρατάει µια λυχνία φωτεινών παλµών σε απόσταση d από το κάτοπτρο. Σε κάποια στιγµή, η λυχνία στέλνει έναν φωτεινό παλµό προς το κάτοπτρο, ο οποίος ανακλάται και επιστρέφει. Επειδή ο φωτεινός παλµός έχει ταχύτητα c, ο χρόνος που χρειάζεται ώστε ο παλµός να µεταβεί από τη λυχνία στο κάτοπτρο και να επιστρέψει πάλι στη λυχνία µπορεί να υπολογιστεί από τον ορισµό της ταχύτητας:

Σ ε λ ί δ α 35 2d t ' (2.9) c Όπου 2d η διαδροµή του φωτεινού σήµατος, c η ταχύτητα του φωτός και t' ο χρόνος µετρήθηκε από τον παρατηρητή στο σύστηµα αναφοράς του κινούµενου οχήµατος. Τώρα, ας εξετάσουµε το συµβάν αυτό, όπως παρατηρείται από έναν παρατηρητή που βρίσκεται σε ένα ακίνητο συστήµα αναφοράς, (Ο), εκτός του κινούμενου τρένου, όπως βλέπουμε στο παρακάτω σχήμα. Σύµφωνα µε τον παρατηρητή αυτόν, το κάτοπτρο και η λυχνία κινούνται προς τα δεξιά µε ταχύτητα u. Την στιγµή που το φως από τη λυχνία φθάνει στο κάτοπτρο, το κάτοπτρο θα έχει διανύσει µία απόσταση uδt/2, όπου Δt είναι ο χρόνος που απαιτείται ώστε ο φωτεινός παλµός να µεταβεί από τη λυχνία στο κάτοπτρο και να επιστρέψει στη λυχνία, όπως µετρείται από τον ακίνητο παρατηρητή που βρίσκεται στο σημείο Ο. Με άλλα λόγια, λόγω της κίνησης του συστήματος, ο ακίνητος παρατηρητής (Ο) βλέπει τον παλμό να διανύει μεγαλύτερη απόσταση σε σχέση με τον παρατηρητή που βρίσκεται στο κινούμενο σύστημα (Ο ). Τώρα, σύµφωνα µε τον Einstein, η ταχύτητα του φωτός πρέπει να είναι c και για τους δύο παρατηρητές. Συνεπώς, προκύπτει ότι το χρονικό διάστηµα Δt που µετράται από έναν παρατηρητή στο ακίνητο σύστηµα είναι µεγαλύτερο από το χρονικό διάστηµα Δt που µετράται από έναν παρατηρητή στο κινούµενο σύστηµα. Για να βρούµε την σχέση µεταξύ των Δt και Δt, εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο του παρακάτω σχήµατος.

Σ ε λ ί δ α 36 και προκύπτει: 2 2 ct ut 2 2 d 2 (2.10) όπου λύνοντας ως προς Δt έχουμε: t 2d 2d c u u c 1 c 2 2 2 2 (2.11) και λόγω της (2.9) η παραπάνω εξίσωση γράφεται: t t ' u 1 c 2 2 t ' με 1 2 2 1 u c 2 (2.12) t και επειδή 1, καταλαβαίνουμε ότι 1, άρα και t t '. t ' Το αποτέλεσµα αυτό δηλώνει ότι το χρονικό διάστηµα που χρειάζεται ο παλμός για να επιστρέψει στην αρχική του θέση μετρώμενος από τον παρατηρητή στο ακίνητο σύστηµα (Ο), είναι µεγαλύτερος από εκείνο που µετράται από τον παρατηρητή στο κινούµενο σύστηµα (Ο ). Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι, σύµφωνα µε έναν ακίνητο παρατηρητή, ένα κινούµενο ρολόι πάει πιο αργά κατά ένα

Σ ε λ ί δ α 37 συντελεστή γ -1 από ένα ολόιδιο ακίνητο ρολόι. Το φαινόµενο αυτό είναι γνωστό ως διαστολή του χρόνου. Το χρονικό διάστηµα Δt' ονοµάζεται ιδιοχρόνος. Γενικά, ιδιοχρόνος ορίζεται το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί µεταξύ δύο συµβάντων όταν η µέτρηση γίνεται από έναν παρατηρητή που βλέπει τα γεγονότα να συµβαίνουν στην ίδια θέση. Στην περίπτωσή µας, ο παρατηρητής στο Ο' µετράει τον ιδιοχρόνο. Δηλαδή, ιδιοχρόνος είναι πάντοτε ο χρόνος που µετράται από έναν παρατηρητή ο οποίος κινείται µαζί µε το ρολόι. Η συστολή του μήκους Όπως είδαμε προηγουμένως, ο χρόνος δεν είναι απόλυτος. Το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο γεγονότων εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς όπου γίνεται η μέτρηση. Τι ισχύει όμως για τον χώρο και ειδικότερα για το μήκος; Ας δούμε το παρακάτω παράδειγμα και θα καταλάβουμε ότι και το μήκος δεν είναι απόλυτο και εξαρτάται από το αδρανειακό σύστημα παρατήρησης. Υποθέτουμε ότι πάνω στη Γη υπάρχει ένας παρατηρητής Α και ότι η Γη είναι ακίνητη σχετικά µε δύο αστέρες. Ο παρατηρητής Α μετρά την απόσταση μεταξύ των αστέρων και την βρίσκει L'. Έστω ότι ένα διαστημόπλοιο µε έναν παρατηρητή Β ξεκινάει από τον ένα αστέρα µε ταχύτητα u ως προς τον άλλο αστέρα. Σύµφωνα µε τον παρατηρητή Α, το διαστημόπλοιο θα φτάσει στον άλλο αστέρα σε χρόνο t ' L'/. Σύµφωνα µε τον παρατηρητή Β, που βρίσκεται στο διαστηµόπλοιο, λόγω της διαστολής του χρόνου θα µετρά ένα µικρότερο χρονικό διάστηµα t t'/. Ο ταξιδιώτης θεωρεί ότι βρίσκεται σε ηρεµία και ότι βλέπει τον αστέρα που κατευθύνεται ως κινούµενο προς το διαστηµόπλοιο του µε ταχύτητα u. Άρα, ο παρατηρητής Β, συµπεραίνει ότι η απόσταση µεταξύ των αστέρων είναι L, δηλαδή, µικρότερη από το L' που έβλεπε ο ακίνητος στην Γη παρατηρητής, αφού: άρα L ut ut '/ L'/ (2.13) L L'/ ή 2 L L' 1 u 2 (2.14) c Το μήκος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής που βρίσκεται στο σύστημα αναφοράς που ηρεµεί, στην προκειμένη περίπτωση αυτός που είναι στην Γη,

Σ ε λ ί δ α 38 λέγεται ιδιοµήκος. Το μήκος ενός αντικειμένου που μετράται σε ένα σύστημα αναφοράς στο οποίο το αντικείμενο κινείται, είναι πάντα μικρότερο από το ιδιοµήκος. Το φαινόµενο αυτό λέγεται συστολή του µήκους. Οπότε, καταλήγουμε στο εξής συµπέρασµα, ένα αντικείµενο που κινείται µε ταχύτητα u έχει μετρόµενο µήκος μικρότερο από το ιδιοµήκος L κατά έναν παράγοντα 2 1 u. c 2 5.Διάγραμμα Minkowski Το διάγραμμα Minkowski αναπτύχθηκε το 1908 από τον Herman Minkowski και παρέχει μια απεικόνιση των ιδιοτήτων του χώρου και του χρόνου στην ειδική θεωρία της σχετικότητας. Επιτρέπει την ποσοτική κατανόηση των αντίστοιχων φαινομένων όπως η διαστολή του χρόνου και η συστολή μήκους χωρίς μαθηματικές εξισώσεις. Το διάγραμμα Minkowski είναι ένα διάγραμμα χώρου-χρόνου με συνήθως μόνο μία διάσταση του χώρου. Είναι μια υπέρθεση του συντονισμού των συστημάτων για δύο παρατηρητές που κινούνται μεταξύ τους με σταθερή ταχύτητα. Σκοπός του είναι να επιτρέψει στον παρατηρητή την άμεση αντιστοίχιση μεταξύ των χωρικών και χρονικών συντεταγμένων, απ το ένα συστημα στο άλλο και αντίστροφα. Επίσης, ο ρόλος της ταχύτητας του φωτός ως ένα ανυπέρβλητο όριο, περιορίζεται από τις ιδιότητες του χώρου και του χρόνου. Για λόγους απλοποίησης στα διαγράμματα Minkowski, περιγράφουμε μόνο μονοδιάστατα γεγονότα. Σε αντίθεση με τα κοινά διαγράμματα απόστασης - χρόνου, η απόσταση θα εμφανιζεται στον άξονα x και ο χρόνος στον άξονα y. Με αυτόν τον τρόπο τα γεγονότα που έχουν μια οριζόντια πορεία στην πραγματικότητα, μπορούν να απεικονιστούν εύκολα με μια οριζόντια γραμμή στο διάγραμμα. Με τον τρόπο αυτό κάθε αντικείμενο, όπως ένας παρατηρητής ή ένα όχημα, ακολουθεί στο διάγραμμα μια καμπύλη που ονομάζεται κοσμική γραμμή. Κάθε σημείο στο διάγραμμα αντιπροσωπεύει μια συγκεκριμένη θέση στο χώρο και στο χρόνο. Κάθε τέτοια θέση ονομάζεται γεγονός άσχετα με το αν συμβαίνει κάτι σ αυτη την θέση.

Σ ε λ ί δ α 39 Για λόγους ευκολίας, ο κατακόρυφος άξονας του χρόνου αποτελεί, όχι τον χρόνο t, αλλά την αντίστοιχη ποσότητα ct, όπου c = 299.792.458 m / s είναι η ταχύτητα του φωτός. Με τον τρόπο αυτό, ένα δευτερόλεπτο στην τεταγμένη αντιστοιχεί σε μια απόσταση 299.792.458 m για την τετμημένη. Επειδή x = ct, για ένα φωτόνιο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων προς τα δεξιά, η κοσμική γραμμή του, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, είναι μια ευθεία γραμμή με κλίση 45, αν κλίμακες και στους δύο άξονες είναι ταυτόσημες. 6.Κώνος Φωτός Ένα κώνος φωτός, είναι το μονοπάτι όπου μια λάμψη φωτός εκπέμπεται από ένα γεγονός Ρ, το οποίο τοποθετείται σε ένα συγκεκριμένο σημείο του χωροχρόνου και ταξιδεύει προς όλες τις κατευθύνσεις μέσα σε αυτόν. Φανταστείτε το φως ότι περιορίζεται σε ένα δισδιάστατο επίπεδο και ότι απλώνεται σε έναν κύκλο, μετά απ το συμβάν του γεγονότος Ρ. Όταν διαγράφουμε έναν αυξανόμενο κύκλο σε σχέση με τον κατακόρυφο άξονα του γραφήματος που εκπροσωπεί τον χρόνο, το αποτέλεσμα είναι ένα κώνος, που είναι γνωστός ως ο μελλοντικός κώνος φωτός. Ο παρελθοντικός κώνος φωτός συμπεριφέρεται σαν ένας ανεστραμμένος μελλοντικός κώνος φωτός. Το σημείο που αντιστοιχεί στο παρόν, δηλαδή στο γεγονός το οποίο μελετάμε, είναι η ένωση των δύο κορυφών των δύο κώνων. Στην

Σ ε λ ί δ α 40 πραγματικότητα, υπάρχουν τρεις διαστάσεις του χώρου, έτσι το φως θα αποτελούσε μια διευρυνόμενη σφαίρα στον τρισδιάστατο χώρο και ο κώνος φωτός θα είναι ένα τεσσάρων διαστάσεων σχήμα. Ωστόσο, η ιδέα είναι πιο εύκολο να απεικονστεί με τον αριθμό των χωρικών διαστάσεων να μειώνεται από τρεις σε δύο. Η εξίσωση της υπερεπιφάνειας αυτής, θεωρώντας συντεταγμένων, είναι: το Ρ ως αρχή των 2 2 2 2 2 c t - x - y - z = 0 (2.19) και για z=0 προκύπτει η απλουστευμένη μορφή που περιγράψαμε. Ο κώνος φωτός διαιρεί τον χωρόχρονο σε τρείς περιοχές: 1) Γεγονότα του μελλοντος του Ρ όλα τα γεγονότα Q μ που βρίσκονται στον μελλοντικό κώνο φωτός, όπου έχουμε δύο κατηγορίες, i. Τα γεγονότα που βρίσκονται μέσα στον μελλοντικό κώνο φωτός και μπορούν να επηρεαστούν από την εκπομπή ενός σήματος απ το γεγονός Ρ. ii. Τα γεγονότα που βρίσκονται πάνω στην επιφάνεια του μελλοντικού κώνου φωτός και δεν μπορούν να επηρεαστούν απ το Ρ καθώς οι πληροφορίες τους κινούνται με την ταχύτητα του φωτός. 2) Γεγονότα του παρελθόντος του Ρ όλα τα γεγονότα Q π που βρίσκονται στον παρελθοντικό κώνο φωτός. Τα γεγονότα αυτά μπορούν να επηρεάσουν το γεγονός Ρ καθώς βρίσκονται στο παρελθόν του. 3) Γεγονότα που βρίσκονται εκτός του κώνου φωτός και δεν επηρεάζονται απ το Ρ καθώς και δεν μπορούν να το επηρεάσουν.

Σ ε λ ί δ α 41 Επειδή οποιοδήποτε σήμα δεν μπορεί να ταξιδέψει ταχύτερα από το φως, τουλάχιστον με βάση την Θεωρία της Σχετικότητας, ο κώνος φωτός διαδραματίζει ουσιαστικό ρόλο στον καθορισμό της έννοιας της αιτιότητας, ακόμα και σε φιλοσοφικό επίπεδο. Για ένα γεγονός Ε, το σύνολο των γεγονότων που βρίσκονται πάνω ή μέσα στον παρελθοντικό κώνο φωτός, θα είναι επίσης το σύνολο όλων των γεγονότων που θα μπορούσαν να στείλουν ένα μήνυμα και να επηρεάσουν με κάποιο τρόπο το γεγονός Ρ. Συνεπώς, φαινόμενα στο Ρ δεν μπορούν να επηρεάσουν φαινόμενα στο Q εκτός και αν το Q κείται στο μέλλον του Ρ (ή τουλάχιστον στο μελλοντικό τμήμα του κώνου φωτός στο Ρ). Ομοίως, εάν το Q πρόκειται να επηρεάσει το Ρ με οποιονδήποτε τρόπο, θα πρέπει να κείται στο παρελθόν του Ρ. Να σημειώσουμε ότι υπάρχει μια επιφύλαξη από κάποιες επιστημονικές κοινότητες σχετικά με το πόσο ισχύουν αυτά με απόλυτη ακρίβεια όταν ληφθεί υπ όψιν η κβαντική μηχανική. Παρόλο την γενικότερη αποδοχή της Θεωρίας της σχετικότητας, υπάρχουν διάφορα παράδοξα που συζητιούνται από τον επιστημονικό και όχι μόνο κόσμο.

Σ ε λ ί δ α 42 7.Παράδοξα της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας Το παράδοξο των διδύμων Το παράδοξο των διδύμων είναι ένα πείραμα σκέψης που έχει να κάνει με την ειδική θεωρία της σχετικότητας. Περιλαμβάνει δύο δίδυμους αδερφούς, όπου ο ένας απ τους δύο κάνει ένα ταξίδι στο διάστημα με ένα διαστημόπλοιο που κινείται με σχετικιστική ταχύτητα. Όταν επιστρέφει πίσω στην Γη, συναντάει τον αδερφό του, ο οποίος έχει μεγαλύτερη ηλικία από αυτόν, πράγμα λογικό αφού ο ένας ταξίδευε με μεγάλη ταχύτητα και ήταν υπαρκτή η διαστολή του χρόνου. Το παράδοξο έγκειται στο γεγονός ότι αν θεωρήσουμε σαν αδρανειακό σύστημα το σύστημα του «ταξιδιώτη» αδερφού, τότε και ο δίδυμος που βρίσκεται στην Γη ταξιδεύει και αυτός με σχετικιστική ταχύτητα σε σχέση με τον άλλον, έτσι κατά την επιστροφή του αδερφού του, αυτός θα έπρεπε να είναι νεότερος. Για αυτήν την αντίφαση έχουν δοθεί πολλές εξηγήσεις, η επικρατέστερη από αυτές δόθηκε από τον Paul Langevin το 1911 η οποία καταρρίπτει την αντίφαση, λέγοντας απλά ότι δεν υπάρχει καμία συμμετρία στο πρόβλημα, αφού μόνο ο αδερφός που ταξιδεύει, υπόκειται σε επιταχύνσεις και επιβραδύνσεις για να επιτύχει την σχετικιστική ταχύτητα, αλλά κατά την αλλαγή της πορείας του για την επιστροφή. Έτσι οι δύο περιπτώσεις διαφοροποιούνται, αφού ο αδερφός που είναι στην Γη παραμένει στο ίδιο σύστημα αναφοράς καθ όλη την διάρκεια του ταξιδιού, σε αντίθεση με τον κινούμενο αδερφό του. Μια άλλη εξήγηση, δόθηκε απ τον Max von Laue το 1913 λέγοντας ότι ο δίδυμος που ταξιδεύει χρησιμοποιεί όχι ένα αλλά δύο αδρανειακά συστήματα: ένα για την απομακρυνόμενη διαδρομή και ένα για την διαδρομή της επιστροφής. Οι εξηγήσεις που δόθηκαν είχαν σαν βάση την βαρυτική διαστολή του χρόνου σαν αιτία της γήρανσης και όχι την επιτάχυνση, κάτι που προκύπτει από την γενική θεωρία της σχετικότητας. Το παράδοξο αυτό έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι δεν ισχύει, χρησιμοποιώντας ακριβείς μετρήσεις ατομικών ρολογιών που τοποθετούνται σε αεροπλάνα και δορυφόρους και ταξιδεύουν γύρω από την Γη. Στην ειδική σχετικότητα, δεν υπάρχει η έννοια του απόλυτου παρόντος. Το παρόν ορίζεται ως ένα σύνολο γεγονότων που είναι ταυτόχρονα από τη σκοπιά της συγκεκριμένου παρατηρητή. Η έννοια του ταυτόχρονου εξαρτάται από το αδρανειακό σύστημα, έτσι η μετάβαση μεταξύ αδρανειακών συστημάτων απαιτεί

Σ ε λ ί δ α 43 την αναπροσαρμογή του ορισμού του παρόντος. Εάν κάποιος θεωρεί ένα παρόν ως ένα επίπεδο στον χώρο Minkowski, τότε αν αλλάξει το αδρανειακό σύστημα έχει ως αποτέλεσμα την αλλαγή της κλίσης του επιπέδου. Ας δούμε πως ερμηνεύεται το παράδοξο αυτό μέσω του διαγράμματος Minkowski. Το διάγραμμα χωροχρόνου είναι σχεδιασμένο για το αδρανειακό σύστημα του δίδυμου που θα παραμείνει στην Γη, η κοσμική γραμμή του δίδυμου, συμπίπτει με τον κατακόρυφο άξονα καθώς η θέση του είναι σταθερή στον χώρο και κινείται μόνο στο χρόνο. Όσον αφορά τον άλλον δίδυμο, αντιστοιχεί η μαύρη κεκλιμένη τεθλασμένη ευθεία για το πρώτο μέρος του ταξιδιού που απομακρύνεται απ την Γη και το δεύτερο μέρος όπου επιστρέφει. Οι μπλε γραμμές δείχνουν τα επίπεδα του ταυτόχρονου για το ταξίδι του δίδυμου κατά το πρώτο μέρος της διαδρομής και οι κόκκινες γραμμές, κατά τη διάρκεια του δεύτερου μέρους. Λίγο πριν αναστροφή, ο κινούμενος δίδυμος υπολογίζει την ηλικία του σταθερού δίδυμου μετρώντας το μήκος του κάθετου άξονα από την αρχή μέχρι την ανώτερη μπλε γραμμή. Ακριβώς μετά την αναστροφή, αν υπολογίσει το χρονικό διάστημα θα πρέπει να μετρήσει το μήκος του κάθετου άξονα από την αρχή μέχρι την κάτω κόκκινη γραμμή. Κατά μία έννοια, κατά την αναστροφή, το επίπεδο του ταυτόχρονου «πηδά» από το μπλε στο κόκκινο και πολύ γρήγορα σαρώνει ένα μεγάλο τμήμα της κοσμικής γραμμής του σταθερού δίδυμου. Έτσι ο κινούμενος δίδυμος εκτιμά ότι υπήρξε μια ασυνέχεια στην εξέλιξη της ηλικίας του σταθερού δίδυμου.

Σ ε λ ί δ α 44 Το Παράδοξο της σκάλας Το παράδοξο της σκάλας περιλαμβάνει μία σκάλα η οποία κινείται με σχετικιστική ταχύτητα και τελικά καταφέρνει και χωράει, λόγω της συστολής του μήκους, σε ένα γκαράζ που έχει πολύ μικρότερο μήκος από αυτήν. Αυτό συμβαίνει από την πλευρά του ακίνητου παρατηρητή σε σχέση με το γκαράζ. Αντίθετα, λόγω συμμετρίας, ο παρατηρητής ο οποίος βρίσκεται πάνω στην σκάλα, δηλαδή είναι ακίνητος σε σχέση με αυτήν, βλέπει το γκαράζ να έχει ακόμα μικρότερο μήκος, έτσι είναι ακόμα πιο δύσκολο να χωρέσει η σκάλα. Βλέπουμε ότι στα διαφορετικά αδρανειακά συστήματα περιμένουμε διαφορετικά αποτελέσματα. Σχήμα 1: Μια επισκόπηση του γκαράζ και της σκάλας σε ακινησία Σχήμα 2: Στο σύστημα του γκαράζ, η σκάλα υφίσταται συστολή μήκους και κατά συνέπεια θα χωράει στο γκαράζ. Σχήμα 3: Στο σύστημα της σκάλας, το γκαράζ υφίσταται συστολή μήκους και φαίνεται πολύ μικρό για να χωρέσει τη σκάλα. Αυτό το παράδοξο προκύπτει ως αποτέλεσμα του ταυτοχρονισμού. Στην σχετικότητα, το ταυτόχρονο είναι σχετικό για κάθε παρατηρητή και για κάθε αδρανειακό σύστημα, έτσι η σκάλα καταφέρνει και χωράει στο γκαράζ και της δύο περιπτώσεις. Αυτό συμβαίνει γιατί στην δεύτερη περίπτωση όπου η σκάλα δεν χωράει στο γκαράζ (σχήμα 3), υπάρχει διαφορά στον χρόνο τον οποίο κλείνουν οι πόρτες του γκαράζ, της φαίνεται στο σχήμα 5, οι πόρτες δηλαδή δεν κλείνουν