ΥΠΟΥΡΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΙΑ (Ι) ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : ΤΡΙΤΗ, 22 ΜΑЇΟΥ 2012 ΩΡΑ : 11:00 13:30 ΛΥΣΗ ΔΟΚΙΜΙΟΥ /2
ΜΕΡΟΣ Α (48 μονάδες) - 2 - Κάθε ορθή απάντηση βαθμολογείται με 4 μονάδες. 1. ια τη δοκό του σχήματος 1, να γράψετε την εξίσωση για τον υπολογισμό της δεξ. τέμνουσας δύναμης δεξιά του σημείου Δ (Q Δ ). F 1 F 2 q δεξ. Q Δ = R F 1 F 2 q (a + b) Δ δεξ. ή Q Δ = R R α β γ R ΣΧΗΜΑ 1 2. Ράβδος ορθογωνικής διατομής και με πραγματικό μήκος 3 m στηρίζεται όπως φαίνεται στο σχήμα 2. Να υπολογίσετε το μέγιστο φορτίο που μπορεί να μεταφέρει χωρίς να εκδηλώνεται σε αυτή λυγισμός. Δίνονται: Ε = 200 kn/mm 2, I = 312500 mm 4, I y = 112500 mm 4 F κρ. Ελεύθερο μήκος λυγισμού l = L = 3 m Κρίσιμο φορτίο λυγισμού 3 m F κρ = π 2 Ε I ελ. l 2 3,14 2 200 10 3 N/mm 2 112500 mm 4 F κρ = (3 10 3 mm) 2 F κρ. = 24670 Ν = 24,67 kn ΣΧΗΜΑ 2.../3
- 3-3. Αμφιέρειστη δοκός φορτίζεται όπως φαίνεται στο σχήμα 3. Να σχεδιάσετε μια πιθανή μορφή των διαγραμμάτων των τεμνουσών δυνάμεων (Δ.Τ.Δ.) και των ροπών κάμψης (Δ.Ρ.Κ.) της δοκού. F q α β γ δ R R Μια πιθανή λύση ΣΧΗΜΑ 3 Δ.Τ. Δ. Δ.Ρ. Κ. 4. ια τη δοκό του σχήματος 4, να γράψετε την εξίσωση για τον υπολογισμό της ροπής κάμψης στο σημείο Δ. F 1 F 2 Δ q Μ Δ = R Α (α + β) F 1 β - q β 2 2 α β γ R R ΣΧΗΜΑ 4.../4
- 4-5. Να υπολογίσετε τις αντιδράσεις που αναπτύσσονται στη στήριξη της δοκού προβόλου του σχήματος 5. M R 2 m F = 10 kn 1 m q = 5 kn/m ΣF y = 0 R 10 5 3 = 0 R = 25 kn ΣΜ = 0 - M + 10 2 + 5 3 1,5 = 0 M = 42,5 knm ΣΧΗΜΑ 5 6. Να υπολογίσετε τη μέγιστη ροπή κάμψης για τη δοκό του σχήματος 6 που φορτίζεται με ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο q = 12 kn/m σε όλο το μήκος της l = 5 m. q = 12 kn/m ql 2 12 5 2 M ma = = = 37,5 knm 8 8 l = 5,0 m ΣΧΗΜΑ 6 7. ια τη δοκό του σχήματος 7, να σχεδιάσετε τις αντιδράσεις στις στηρίξεις και να γράψετε την εξίσωση ισορροπίας δυνάμεων στην κατακόρυφη κατεύθυνση (ΣF y = 0). q F y F R α φ F ΣF y = 0 F y = F ημφ R y + R q a F y = 0 R y R ΣΧΗΜΑ 7.../5
- 5-8. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας της διατομής που φαίνεται στο σχήμα 8, ως προς τον κεντροβαρικό άξονα. (Οι διαστάσεις είναι σε cm.) 25 40 I - = 20 40 3-12,5 25 3 12 12 I - = 90390,63 cm 4 7,5 7,5 20 ΣΧΗΜΑ 8 9. Στο σχήμα 9 δίνονται η προέχουσα δοκός και η σχηματική μορφή του διαγράμματος τεμνουσών δυνάμεων (Δ.Τ.Δ.). Να σχεδιάσετε τις αντιδράσεις στις στηρίξεις και τα φορτία που καταπονούν τη δοκό, έτσι ώστε να ανταποκρίνονται στο Δ.Τ.Δ. F 1 F 2 q Δ E α β γ δ R R Δ.Τ. Δ. ΣΧΗΜΑ 9.../6
- 6-10. Να υπολογίσετε το μέγεθος της εσωτερικής δύναμης και να καθορίσετε το είδος της καταπόνησης που αναπτύσσεται στη ράβδο ΑΒ του δικτυώματος του σχήματος 10. 40 kn Λόγω συμμετρίας R = R = 40 + 2 20 2 = 40 kn 20 kn 20 kn 2 m Κόμβος Α 2 m Δ 2 m 20 kn Α F F Δ ΣF y = 0 40 20 F ημ45 = 0 ΣΧΗΜΑ 10 R = 40 kn F = 28,3 kn (θλιβόμενη) 11. Να υπολογίσετε τη λυγιρότητα της ράβδου του σχήματος 11. Η ράβδος έχει ορθογωνική διατομή 8 10 cm. Ελεύθερο μήκος λυγισμού l = 0,7 L = 0,7 350 = 245 cm 3,5 m 10 8 3 I y 12 i ελ. = = = 8 10 5,33 = 2,31 cm Λυγιρότητα ΣΧΗΜΑ 11 l 245 λ = = = 106,06 i ελ. 2,31.../7
- 7-12. Να υπολογίσετε τη ροπή αντίστασης W της διατομής που φαίνεται στο σχήμα 12. 25 cm 25 cm y 40 cm I - = W = 40 40 3 25 25 3-12 12 = 180781,25 cm 4 I - 180781,25 - y 20 = 9039,06 cm 3 40 cm ΣΧΗΜΑ 12.../8
- 8 - ΜΕΡΟΣ Β (32 μονάδες) Κάθε ορθή απάντηση βαθμολογείται με 8 μονάδες. 13. ια τη δοκό που φαίνεται στο σχήμα 13: (α) Να υπολογίσετε τις αντιδράσεις R και R. (β) Να υπολογίσετε την απόσταση () του σημείου από το σημείο Α, στο οποίο η τέμνουσα δύναμη έχει μηδενική τιμή (αλλάζει πρόσημο). 10 kn 15 kn/m Υπολογισμός αντιδράσεων ΣΜ Α = 0 R 1 m 3 m 1,5 m R 10 1 + 15 4 2 R 5,5 = 0 10 + 120 5,5R = 0 R = 23,64 kn ΣΜ Β = 0 R 5,5 10 4,5 15 4 3,5 = 0 ΣΧΗΜΑ 13 5,5R 45 210 = 0 R = 46,36 kn Έλεγχος ΣF y = 0 46,36 + 23,64 10 15 4 = 0 Θέση μηδενικής τέμνουσας δύναμης R 10 15 = 0 46,36 10 15 = 0 36,36 = 15 = 2,42 m (από το σημείο Α).../9
- 9-14. Δίνεται δικτύωμα με διαστάσεις και φορτία όπως φαίνεται στο σχήμα 14. (α) Να υπολογίσετε τις αντιδράσεις στις στηρίξεις Α και Ε. (β) Να υπολογίσετε το μέγεθος της εσωτερικής δύναμης και να καθορίσετε το είδος της καταπόνησης στις ράβδους Δ, ΖΔ και ΖΕ, με τη μέθοδο των τομών. 50 kn 100 kn Υπολογισμός αντιδράσεων ΣF y = 0 Δ 20 kn R 20 = 0 R = 20 kn ΣΜ Α = 0 3 m R Z E 100 3 20 3 R E 6 = 0 300 60 6R E = 0 R E = 40 kn R y 3 m 3 m RE ΣΜ E = 0 R 6 50 6 100 3 20 3 = 0 ΣΧΗΜΑ 14 6R 300 300 60 = 0 R = 110 kn Έλεγχος ΣF y = 0 110 + 40 50 100 = 0 F Δ Δ 20 kn Ράβδος Δ 3 m Z F ΖΔ F ΖΕ E ΣΜ Ζ = 0 - F Δ 3 20 3 40 3 = 0 F Δ = - 60 kn θλιβόμενη 3 m R E = 40 kn Ράβδος ΖΔ ΣΜ Ε = 0 - F ΖΔ + F Δ 3 20 3 = 0 - F ΖΔ 2,12 + 60 3 20 3 = 0-2,12F ΖΔ + 180 60 = 0 F ΖΔ = 56,6 kn εφελκυόμενη Ράβδος ΖΕ ΣΜ Δ = 0 - F ZE 3 = 0 F ZE = 0
- 10 -.../10 15. Αμφιέρειστη δοκός μήκους 5 m και με διατομή Τ όπως φαίνεται στο σχήμα 15, φορτίζεται με συνεχές ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο q = 40 kn/m. Να υπολογίσετε τις μέγιστες τάσεις θλίψης και εφελκυσμού και να σχεδιάσετε το διάγραμμά τους. Δίνεται η θέση του κεντροβαρικού άξονα. (Οι διαστάσεις της διατομής είναι σε cm.) y 40 kn/m 15 10 60 10 9 N/mm 2 35 15 40 5,0 m ΣΧΗΜΑ 15 10 21 N/mm 2 y ql 2 40 5 2 M ma = = = 125 knm 8 8 I - = 60 10 3 10 40 3 + 600 10 2 + + 12 12 400 15 2 = 65000 + 143333 = 208333 cm 4 σ θλ. = 125 10 3 10 2 Νcm 15 cm = 900 N/cm 2 = 9 N/mm 2 208333 cm 4 σ εφ. = 125 10 3 10 2 Νcm 35 cm = 2100 N/cm 2 = 21 N/mm 2 208333 cm 4
- 11 -.../11 16. Δίνεται αμφιπροέχουσα δοκός, η οποία φορτίζεται όπως φαίνεται στο σχήμα 16, καθώς και το διάγραμμα των τεμνουσών δυνάμεών της. (α) Να υπολογίσετε τις αντιδράσεις R και R. (β) Να υπολογίσετε και να αναγράψετε στο διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων, τις τιμές των τεμνουσών δυνάμεων στα σημεία (1), (2), (3), (4) και (5). 15 kn 10 kn/m 20 kn 10 kn/m 1,5 m R R 3 m 3 m 1,5 m (2) 34,375 kn Δ.Τ.Δ 4,375 kn (3) (1) (4) - 15 kn - 15,625 kn ΣΧΗΜΑ 16 15 kn Υπολογισμός αντιδράσεων ΣΜ Α = 0-15 1,5 + 10 3 1,5 + 20 3 R 6 + 10 1,5 6,75 = 0 (5) Τέμνουσες δυνάμεις Q (1) = 15 kn Q (2) = 15 + 49,375 = 34,375 kn Q (3) = 15 + 49,375 10 3 = = 4,375 kn Q (4) = 15 + 49,375 10 3 20 = = 15,625 kn Q (5) = 15 + 49,375 10 3 20 + + 30,625 = 15 kn 183,75 = 6R R = 30,625 kn ΣΜ Β = 0-15 7,5 + R Α 6 10 3 4,5 20 3 + 10 1,5 0,75 = 0 6R = 296,25 R = 49, 375 kn Έλεγχος ΣF y = 0 49,375 + 30,625 15 10 30 20 10 1,5 = 0.../12
ΜΕΡΟΣ - 12 - Η ορθή απάντηση βαθμολογείται με 20 μονάδες. 17. Προέχουσα δοκός φορτίζεται όπως φαίνεται στο σχήμα 17. (α) Να υπολογίσετε τις αντιδράσεις στις στηρίξεις Α και Β. (β) Να υπολογίσετε τις τέμνουσες δυνάμεις και τις ροπές κάμψης στα χαρακτηριστικά σημεία Α, Β, και Δ. (γ) Να υπολογίσετε την απόσταση από το σημείο στήριξης Α, όπου αναπτύσσεται η μέγιστη θετική ροπή κάμψης M ma. (δ) Να υπολογίσετε το μέγεθος της μέγιστης θετικής ροπής κάμψης M ma. (ε) Να σχεδιάσετε τα διαγράμματα των τεμνουσών δυνάμεων Q και των ροπών κάμψης Μ και να αναγράψετε τα μεγέθη τους στα χαρακτηριστικά σημεία Α, Β, και Δ, καθώς και το μέγεθος της μέγιστης θετικής ροπής κάμψης M ma. R 40 kn q = 20 kn/m Β Α 2 m 5 m 2 m 58,57 kn 58,57 kn 18,57 kn Δ.Τ.Δ. = 0,93 m 7 m ΣΧΗΜΑ 17 R 40 kn Δ Υπολογισμός αντιδράσεων ΣΜ Α = 0 40 2 + 20 7 5,5 R 7 = 0 80 + 770-7R = 0 7R = 850 R = 121,43 kn ΣΜ Β = 0 R 7 40 5 20 7 1,5 = 0 7R 200 210 = 0 7R = 410 R = 58,57 kn Έλεγχος ΣF y = 0 58,57 + 121,43 40 20 7 = 0 Δ.Ρ.Κ. 2,93 m 117,14 knm 125,76 knm - 81,43 kn - 40,01 knm Τέμνουσες δυνάμεις Q (δεξ) = R = 58,57 kn Q (αρ) = Q (δεξ) = 58,57 kn Q (δεξ) = 58,57 40 = 18,57 kn Q (αρ) = 58,57 40 20 5 = - 81,43 kn Q (δεξ) = 58,57 40 20 5 + 121,43 = = 40 kn Q Δ = 58,57 40 20 7 + 121,43 = 0.../13
- 13 - Σημείο μηδενικής τέμνουσας δύναμης R F q = 0 58,57 40 20 = 0 = 0,93 m Απόσταση του σημείου της μηδενικής τέμνουσας δύναμης από το σημείο Α 2 + 0,93 = 2,93 m Ροπές κάμψης Μ Α = 0 Μ = 58,57 2 = 117,14 knm Μ ma = 58,57 2,93 40 0,93 20 0,93 0,465 = 125,76 knm M = 58,57 7 40 5 20 5 2,5 = 40,01 knm M Δ = 58,57 9 40 7 20 7 3,5 + 121,43 2 = ~ 0.../14
- 14 - ΤΥΠΟΛΟΙΟ Ανάλυση δυνάμεων F = F συνφ F y = F ημφ Συνθήκες ισορροπίας ΣF = 0 ΣF y = 0 ΣM = 0 Ροπές αδράνειας bh 3 πd 4 I - = I - = I y-y = 12 64 Ακτίνα αδράνειας Ι - h i = i = 12 Θεώρημα Στάινερ Ι - = I + d y 2 Ι y-y = I y + d 2 Ροπές αντίστασης I - bh 2 W = W = y 6 Απλή κάμψη M σ E I y R Λυγισμός π 2 Ε Ι ελ. l F κρ. = λ = l 2 i ελ. ΤΕΛΟΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟΥ ΔΟΚΙΜΙΟΥ