ΤΥΡΒΩΔΕΙΣ ΑΝΩΣΤΙΚΕΣ ΦΛΕΒΕΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY OF ATHENS ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜ. ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ FACULTY OF CIVIL ENGINEERING DEPARTENT OF WATER RESOURCES AND ENVIRONENTAL ENGINEERING LABORATORY OF APPLIED HYDRAULICS ΤΥΡΒΩΔΕΙΣ ΑΝΩΣΤΙΚΕΣ ΦΛΕΒΕΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Ν. ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ, PhD ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 009

Τυρβώδεις Ανωστικές Φλέβες Διδακτικές Σημειώσεις στα πλαίσια του μαθήματος Περιβαλλοντική Υδραυλική του ΔΠΜΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Παναγιώτης Ν. Παπανικολάου Νοέμβριος 009 Απαγορεύεται κάθε είδους αναπαραγωγή των σημειώσεων ή τμήματος αυτών χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα.

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τυρβώδεις εκτοξευόμενες φλέβες είναι φλέβες ή δέσμες ρευστού από ένα ακροφύσιο, σωλήνα ή οπή οποιασδήποτε γεωμετρίας, που διαχέονται σε ομοειδές ή μη ρευστό και ανήκουν στην κατηγορία των ελεύθερων διατμητικών ροών (free shear flws). Οι ελεύθερες ροές διάτμησης διακρίνονται στις ακόλουθες κατηγορίες: (1) Ροές πίσω από κάποιο αντικείμενο (Σχήμα 1.1α) που βρίσκεται σε πεδίο ομοιόμορφης ροής όπως για παράδειγμα στην πτέρυγα αεροσκάφους που κινείται ή πίσω από κτίρια όταν υπάρχει άνεμος, ονομάζονται ολκοί (wakes) και επηρεάζονται από την ταχύτητα του ρευστού και τη γεωμετρία του αντικειμένου, () Ροές ανάμεσα σε δύο στρώσεις ρευστού (Σχήμα 1.1β) που κινούνται με διαφορετική ταχύτητα (διατμητική στρώση ή shear layer) και (3) Τυρβώδεις φλέβες (Σχήμα 1.1γ) με ή χωρίς άνωση από οπές ή σχισμές (turbulent buyant jets) όπως προαναφέραμε. U U U (α) U 1 U 1 U 1 (β) Πλάκα διαχωρισμού U U U (γ) U Σχήμα 1.1 (α) Ροή στον ολκό κυλίνδρου, (β) Πεδίο διάτμησης πίσω από πλάκα με διαφορετική ταχύτητα εκατέρωθεν, (γ) Τυρβώδης φλέβα. 1

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με τη ροή από οπή, ακροφύσιο ή σχισμές ρευστών που διαχέονται σε ομοειδές ρευστό (αποδέκτης), εξετάζοντας περιπτώσεις που εξαρτώνται από τη γεωμετρία της φλέβας και τις ιδιότητες του αποδέκτη. Eκτοξευόμενη φλέβα ή δέσμη (jet) είναι μια φλέβα ρευστού που διαχέεται σε ομοειδές ρευστό με την ίδια ή διαφορετική πυκνότητα. Tυρβώδης σημαίνει ότι στο πεδίο ροής της φλέβας υπάρχει χρονική διακύμανση της ταχύτητας και συγκέντρωσης κάποιας ουσίας που μεταφέρει η εκτοξευόμενη φλέβα. Tα χαρακτηριστικά και η ρευστοδυναμική συμπεριφορά των εκτοξευόμενων φλεβών εξαρτώνται από τους παρακάτω παράγοντες: (i) παράμετροι (χαρακτηριστικά) της φλέβας, (ii) παράμετροι του περιβάλλοντος ρευστού και (iii) γεωμετρικές παράμετροι. Στα χαρακτηριστικά των φλεβών περιλαμβάνονται η αρχική κατανομή ταχύτητας και ένταση τύρβης της φλέβας, η ογκομετρική παροχή και ορμή της φλέβας καθώς και η συγκέντρωση μεταφερόμενων ουσιών, όπως θερμοκρασία κλπ. Στις περιβαλλοντικές παραμέτρους περιλαμβάνονται η πυκνομετρική διαφορά φλέβας και αποδέκτη, η στρωμάτωση (θερμική ή πυκνομετρική), η κίνηση στον αποδέκτη κλπ. Oι γεωμετρικές παράμετροι περιλαμβάνουν την μορφή και προσανατολισμό των φλεβών, την αλληλεπίδραση με άλλες φλέβες, καθώς την επίδραση που έχουν σε αυτήν τα όρια του αποδέκτη. Oι εκτοξευόμενες τυρβώδεις φλέβες διακρίνονται σε (i) φυσικές όπως οι φυσικές υποθαλάσσιες φλέβες (sea vents ή blak smkers) του βυθού και αυτές που προκύπτουν κατά την έκρηξη των ηφαιστίων και (ii) τεχνητές για παράδειγμα οι φλέβες καπνού από καμινάδες και πυρκαγιές μικρής ή μεγάλης κλίμακας, αυτές σε υποθαλάσσιους διαχυτήρες διάθεσης αποβλήτων από μονάδες βιολογικής επεξεργασίας λυμάτων, αυτές στην εξάτμιση fuel injetin (διφασική φλέβα ή srey) των αυτοκινήτων, κλπ. Στα κεφάλαια που ακολουθούν γίνεται μια συνοπτική παρουσίαση των χαρακτηριστικών των εκτοξευόμενων φλεβών με απλή γεωμετρία σε προσέγγιση μηδενικής και πρώτης τάξεως. H ανάλυση των χαρακτηριστικών μηδενικής τάξεως των απλών φλεβών γίνεται με διαστατικά κριτήρια, χρησιμοποιώντας το θεώρημα π του Bukingham. Δηλαδή, από τις n παραμέτρους (μεταβλητές) του προβλήματος και τις k διαστάσεις που εμφανίζονται προκύπτουν n-k αδιάστατοι όροι (μονώνυμα) που προσπαθούμε να συσχετίσουμε. H ανάλυση τών χαρακτηριστικών 1ης τάξεως γίνεται με ολοκλήρωση των εξισώσεων που διέπουν την διάχυση των φλεβών. H ανάλυση των χαρακτηριστικών μεγαλύτερης τάξεως γίνεται με πολύπλοκα μοντέλα που λαμβάνουν υπόψη τα χαρακτηριστικά της τύρβης όπως είναι η ένταση τύρβης, οι τάσεις του Reynlds, η κινητική ενέργεια τύρβης, ο στροβιλισμός κλπ. 1.1 Oρισμοί, διάκριση διαφόρων τύπων φλεβών Οι βασικές μορφές (τύποι) φλεβών που θα μελετήσουμε είναι οι παρακάτω: απλή (εκτοξευόμενη) φλέβα μόνο με αρχική ορμή (jet) πλούμιο ή απλή ανωστική φλέβα με μηδενική αρχική ορμή αλλά με πυκνομετρική διαφορά σε σχέση με το περιβάλλον διάχυσης (lume)

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 ανωστική φλέβα με αρχική ορμή και πυκνομετρική διαφορά σε σχέση με το περιβάλλον ρευστό (buyant jet) Οι παραπάνω φλέβες μπορεί να είναι αξονοσυμμετρικές (κυκλικές 3-D jet, lume ή buyant jet) ή διδιάστατες από σχισμή φλέβες (-D jet, lume ή buyant jet). Οι φλέβες μπορεί να εκβάλλουν κατακόρυφα, οριζόντια ή υπό γωνία διαφορετική των 90 ο ως προς την οριζόντια, η δε ανωστική δύναμη μπορεί να είναι ομόρροπη με την κίνηση (θετικής άνωσης) ή αντίρροπη (αρνητικής άνωσης). Ο αποδέκτης μπορεί να είναι ομογενής ή πυκνομετρικά στρωματωμένος (π.χ. γραμμικό προφίλ πυκνότητας σαν συνάρτηση του βάθους), καθώς επίσης ακίνητος ή να κινείται σε σχέση με το σημείο εκβολής της φλέβας. 3

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10. ΑΠΛΗ ΤΥΡΒΩΔΗΣ ΦΛΕΒΑ (JET).1 Aπλή κυκλική φλέβα (jet) Θεωρούμε μια βυθισμένη φλέβα ρευστού με πυκνότητα ρ (Σχήμα.1)η οποία διαχέεται σε ομοειδές ακίνητο ρευστό (αποδέκτη). Η φλέβα με αρχική ογκομετρική παροχή έχει μόνον ορμή, η δε πυκνότητά της είναι αυτή του περιβάλλοντος ρευστού. r D W, C b w w(r,) w ()w(0,) b ()(0,) (r,) Σχήμα.1 Tυρβώδης διάχυση απλής φλέβας. Η αρχική ορμή της φλέβας κατά την έξοδο είναι ρμ ρw (-1) ενώ ορίζουμε σαν κινηματική ή ειδική ορμή (seifi mmentum flux) την ορμή ανά μονάδα μάζας κινούμενου ρευστού Μ W. (-) Η αρχική ογκομετρική παροχή (seifi mass flux) στην την έξοδο από την "πηγή" είναι ΑW (-3) όπου Α είναι η επιφάνεια του ανοίγματος της "πηγής" και W η μέση ταχύτητα εξόδου. Στην περίπτωση κυκλικής φλέβας διαμέτρου D η αρχική ογκομετρική παροχή κατά την έξοδο είναι πd W 4. (-4) Μια τομογραφία απλής φλέβας σε ένα επίπεδο που διέρχεται από τον άξονά της φαίνεται στη φωτογραφία του Σχήματος.. Το ρευστό της φλέβας περιέχει ροδαμίνη 6G, η οποία όταν διεγερθεί από μονοχρωματική ακτινοβολία (laser) μήκους κύματος λ514.5nm (πράσινο) εκπέμπει ακτινοβολία μήκους κύματος λ570nm (κίτρινο). Επομένως, όπου εμφανίζεται ρευστό της φλέβας αναμειγμένο ή όχι με αυτό του περιβάλλοντος αποδέκτη στη φωτογραφία εμφανίζεται περιοχή που ακτινοβολεί κίτρινο φως, αλλιώς όπου δεν εμφανίζεται ρευστό της φλέβας δεν υπάρχει ακτινοβολία και 4

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 επομένως το υπόβαθρο είναι σκούρο (μαύρο). Η διάμετρος της κυκλικής φλέβας είναι 1m και ο αριθμός Reynlds στην έξοδό της ReWD/ν1150. re ZFE ZEF Σχήμα. Τομογραφία απλής φλέβας με τεχνική laser indued fluresene (LIF). Στη φωτογραφία αυτή παρατηρούμε ότι η φλέβα αρχικά έχει στρωτή ροή, στη συνέχεια ε μφανίζονται δακτυλιοειδείς στρόβιλοι (vrtex rings) που ζευγαρώνουν (vrtex airing). Μετά δύο ζευγαρώματα η ροή γίνεται ακανόνιστη (μετάβαση σε τυρβώδη) σε απόσταση περί τις 7 διαμέτρους στα κατάντη του ακροφυσίου. Η περιοχή ανάμεσα στο ακροφύσιο και το σημείο μετάβασης σε τύρβη ονομάζεται περιοχή εγκατάστασης της ροής (ne f flw establishment, ZFE), ενώ η περιοχή στα κατάντη του σημείου μετάβασης σε τύρβη ονομάζεται περιοχή εγκετεστημένης ροής (ne f established flw, ZEF). Η περιοχή 0</D<7 ονομάζεται και πυρήνας (re), μέσα στον οποίο η συγκέντρωση μιας ουσίας που μεταφέρεται από τη φλέβα είναι ίδια με την αρχική συγκέντρωση της φλέβας, η δε ταχύτητα σε μια κωνική περιοχή γύρω από τον άξονα της φλέβας είναι ίση με την αρχική ταχύτητα W εξόδου της φλέβας. Η απόσταση στην οποία εμφανίζεται ο πυρήνας της φλέβας είναι συνάρτηση του αριθμού Reynlds στην έξοδό της, θεωρείται δε στη βιβλιογραφία ότι εκτείνεται σε απόσταση 5 6 διαμέτρων από το ακροφύσιο, όταν ο αριθμός Reynlds Re 000. Σε απόσταση από την "πηγή" (nle) στην περιοχή της εγκατεστημένης (τυρβώδους) ροής (ZEF) η μέση ταχύτητα w μπορεί να περιγραφεί με μια εξίσωση της μορφής w w(, r) ή w w f (,) r (-5) όπου w w () είναι η μέγιστη μέση ταχύτητα που παρατηρείται στον άξονα και είναι συνάρτηση μόνο της απόστασης από την "πηγή" και f (, r) είναι κάποια συνάρτηση κατανομής της μέσης ταχύτητας όπου f (,0) 1. Από μετρήσεις η κατανομή μέσης ταχύτητας w (καθώς και της μέσης συγκέντρωσης ουσίας που μεταφέρει η φλέβα) προκύπτει ότι είναι εκθετική, όπως άλλωστε φαίνεται στο Σχήμα.3. Θεωρώντας ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα σε απόσταση, οι εξισώσεις της ογκομετρικής παροχής και ειδικής (ανά μονάδας μάζας του ρέοντος ρευστού) ορμής εκεί γράφονται ως εξής μ() A wda (-6) 5

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 και m () wda A (-7) αντίστοιχα, όπου Α είναι η επιφάνεια που καλύπτει η κινούμενη μάζα του ρευστού πάνω στο εγκάρσιο επίπεδο στον άξονα. Δεδομένου ότι δεν επιδρούν δυνάμεις βαρύτητας στη ροή, η αρχική ορμή της φλέβας παραμένει αμετάβλητη με την απόσταση από την έξοδο αυτής. ε δεδομένα την διάμετρο D της φλέβας την ταχύτητα εξόδου W και την αρχική συγκέντρωση C μιας ουσίας διαλυμένης στο ρευστό της φλέβας, θα θέλαμε να δούμε με διαστατική ανάλυση την διασπορά, ανάπτυξη, πεδίο ταχυτήτων και συγκεντρώσεων της φλέβας. Θεωρούμε ότι η διαλυμένη ουσία δεν αναλίσκεται. Aπό τα αρχικά χαρακτηριστικά της φλέβας και ορίζουμε μια χαρακτηριστική κλίμακα μήκους l 1 / π D 4 A (-8) όπο υ Α είναι το εμβαδόν της διατομής του ακροφυσίου (nle). Όλες οι ιδιότητες κατά μήκος της φλέβας μπορούν να εκφραστούν σαν συνάρτηση της απόστασης /D ή /l. 4 3 Data frm "ex30.dat" w w (m/s) 1 Σχήμα.3 0-0 -10 0 r (m) 10 0 Kατανομή της μέσης αξονικής ταχύτητας στο πεδίο ροής μιας τυρβώδους απλής φλέβας σε απόσταση /D 77.47.. Διαστατική ανάλυση σε απλή κυκλική φλέβα (jet). Έστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε τη μεταβολή της μέσης ταχύτητα w() στον άξονα της φλέβας σε απόσταση. Oι μεταβλητές και οι αντίστοιχες διαστάσεις τους είναι: 6

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 Μεταβλητές Διαστάσεις Μεταβλητές Διαστάσεις w() L/T w() L/T L 3 /T L 3 /T L 4 /T ή D L L L ρ /L 3 ρ /L 3 Eπειδή η διάσταση της μάζας Μ εμφανίζεται μόνο στη μεταβλητή της πυκνότητας (φλέβα και αποδέκτης αποτελούνται από το ίδιο υγρό), μπορούμε να αμελήσουμε την πυκνότητα σαν μεταβλητή. Έχουμε επομένως 4 μεταβλητές και θεμελιώδεις διαστάσεις δηλαδή 4 - αδιάστατα μονώνυμα τα w/ και /l ή /D. Επομένως αυτά συνδέονται με κάποια σχέση της μορφής Eδώ διακρίνουμε τις εξής δύο περιπτώσεις: w f l ή w f (-9) D 1. πολύ μικρό ή /D<5 6 που σημαίνει ότι w W και w/ 1 οπότε f(/d) 1 ή f(/l) 1. πολύ μεγάλο (/D>>5 6) που σημαίνει ότι w 0 f(/l ) 0, δηλαδή ισοδύναμο είτε με 0 για, σταθερά ή για, σταθερά. είναι Δηλαδή, για μεγάλα η αρχική παροχή γίνεται αμελητέα σε σχέση με την παροχή του ρευστού που διέρχεται από επίπεδο κάθετο στον άξονά της σε απόσταση και επομένως αμελώντας την, μας απομένουν οι μεταβλητές w, και, από τις οποίες προκύπτει ένα αδιάστατο μονώνυμο που προφανώς λαμβάνει μια σταθερά τιμή w Η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφτεί και ως w a 1 (-10) w W a l 1 ή w w a 1 W D 1 (-11) Συμπεραίνουμε επομένως ότι η μέση ταχύτητα είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης από την πηγή. Στο Σχήμα.4 (Paanilau & Gharib, 1994) φαίνεται η αδιαστατοποιημένη ταχύτητα w/w κατά μήκος του άξονα φλέβας διαμέτρου 1m για δύο διαφορετικούς αριθμούς Reynlds. Παρατηρούμε ότι w/w 1 μέχρι /D5 6, ενώ μειώνεται ανάλογα του (/D) -1 σαν συνάρτηση της απόστασης για /D >5 6 7

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 Σχήμα.4 Αδιαστατοποιημένη ταχύτητα και ένταση της τύρβης στον άξονα απλής φλέβας διαμέτρου 1m για δύο διαφορετικούς αριθμούς Reynlds. Aς δούμε στο σημείο αυτό πως αναπτύσσεται το πλάτος της φλέβας b σαν συνάρτηση της απόστασης από την αρχή. Σαν πλάτος της φλέβας μπορούμε να ορίσουμε (i) είτε την απόσταση από τον άξονα όπου η μέση ταχύτητα (ή μέση συγκέντρωση) μηδενίζονται, (ii) είτε την απόσταση από τον άξονα που ορίζεται από την περιβάλλουσα της επαλληλίας φωτογραφιών της φλέβας σε περίπτωση που τη χρωματίσουμε για να τη διαχωρίσουμε από το περιβάλλον ακίνητο ρευστό, (iii) είτε την απόσταση από τον άξονα στην οποία η μέση ταχύτητα (ή μέση συγκέντρωση) έχει τιμή 1/e (e.718... είναι η βάση των Νεπέριων λογαρίθμων) αυτής στον άξονα. Στις περιπτώσεις (i) και (iii) διαχωρίζουμε το πλάτος που ορίζεται από το προφίλ της μέσης ταχύτητας από αυτό της μέσης συγκέντρωσης με τους δείκτες w και αντίστοιχα, δηλαδή b w και b. ε διαστατική ανάλυση πάλι έχουμε τις ακόλουθες παραμέτρους και τις διαστάσεις τους (αμελούμε την πυκνότητα ρ και επομένως τη διάσταση ) b L L /T L L 3 4 /T και επομένως 4 - αδιάστατα μονώνυμα που συσχετίζονται με τη σχέση b l f l (-1) Δεδομένου ότι η αρχική παροχή στην πηγή μπορεί να αμεληθεί για >>D, πρέπει b ή διαφορετικά b l a l ή b a. (-13) D D 8

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 Ο συνολικός όγκος του ρευστού στη μονάδα χρόνου μ() που διέρχεται από επίπεδη διατομή κάθετη στον άξονα της φλέβας σε απόσταση, προκύπτει από διαστατική ανάλυση αμελώντας κατά τα γνωστά την αρχική παροχή, δεδομένου ότι σε μεγάλη απόσταση από το ακροφύσιο (nle) είναι αμελητέα σε σχέση με την ογκομετρική παροχή εκεί μ L 3 /T L 4 /T από ένα (3-1) αδιάστατο μονώνυμο που είναι το L μ 1/ σταθερά. (-14) Διαιρώντας τα δύο μέλη της παραπάνω εξίσωσης με την αρχική παροχή προκύπτει 1/ μ α 3 α ή 3 l μ α 3. (-15) D Η παροχή επομένως μεταβάλλεται γραμμικά μ() σαν συνάρτηση της απόστασης από το ακροφύσιο (nle). Έστω τώρα ότι η φλέβα περιέχει διαλυμένη ουσία με αρχική συγκέντρωση C. H μέση (time-averaged) συγκέντρωση στον άξονα σε απόσταση από το ακροφύσιο θα εκτιμηθεί με διαστατική ανάλυση. Aμελώντας την πυκνότητα ρ (σταθερή σε ολόκληρο το πεδίο ροής), διακρίνουμε τις εξής παραμέτρους και τις αντίστοιχες διαστάσεις τους Θ L 3 /T L 4 /T L Y C ΘL 3 /T Aγνοώντας την αρχική παροχή για μεγάλες αποστάσεις από το ακροφύσιο καταλήγουμε σε 4-3 1 αδιάστατο μονώνυμο ή ισοδύναμα C C 1 / l a4 ή σταθερά (-16) Στην παραπάνω σχέση εάν ορίσουμε σαν μέση αραίωση στον άξονα της φλέβας τον λόγο S C/ της αρχικής προς την τοπικά μέση συγκέντρωση, η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφτεί C a 4 D 1. (-17) 9

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 S C a. (-18) ' 4 l Επί πλέον, από τις σχέσεις -17 και -18 προκύπτει ότι S l S a 1/ 4 σταθερά (-19) Στον Πίνακα που ακολουθεί δίδονται οι σταθερές που προτείνουν οι Fisher et al. (1979) και Chen & Rdi (1980) που προέκυψαν από διάφορες έως τότε εργασίες, καθώς επίσης αυτές από την πειραματική έρευνα των Paanilau & List (1987, 1988) και την πιο πρόσφατη των Wang & Law (00). Fisher et al. (1979) Chen & Rdi (1980) Paanilau & List (1987, 1988) w b D 0.107 w W D l ( 7 ± 0.1) b D 0.103 D b D w 0.104 w W D l 7.58 Wang & Law (00) b D 0.106 D 1 1 w w 6. w w 6. W D W D μ ( 0.5 ± 0.01) l 1 1 w w 6.71 w w 6.48 W D W D μ 0.5 l b b b ( 0. 17 ± 0.004 ) 0. 16 0. 19 D D D D D D C ( 5.6 ± 0.1) l C 4.96 D 1 1 C 5 D 1 C C 6.06 l 5.37 D 1 1 C 5.6 D 1.3 Αδιαστατοποιημένες κατανομές ταχύτητας και συγκέντρωσης Οι κατανομές ταχύτητας και συγκέντρωσης (θερμοκρασίας στην προκείμενη περίπτωση) σε απλές τυρβώδεις φλέβες έχουν ληφθεί από τα δεδομένα της Διδακτορικής Διατριβής του συγγραφέα. Στο διάγραμμα του σχήματος.5(α) φαίνεται ο λόγος της αξονικής συνιστώσας της ταχύτητας προς τη μέγιστη μέση τιμή στον άξονα w(r,)/w () σαν συνάρτηση της αδιάστατης ακτινικής απόστασης από τον άξονα r/. Παρόμοια η κατανομή της μέσης θερμοκρασιακής διαφοράς απλής θερμαινόμενης φλέβας με αυτή του περιβάλλοντος ρευστού από το διάγραμμα του σχήματος.5(β). 10

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 Παρατηρούμε ότι οι κατανομές προσεγγίζονται με την Gaussian και μπορεί να γραφούν σύμφωνα με τη σχέση (-5) ως w(, r) w ( ) r ex 80 και T (, r) T ( ) r ex 75 (-0) (α) (β) Σχήμα.5 Αδιαστατοποιημένη κατανομή (α) μέσης ταχύτητας και (β) μέσης θερμοκρασιακής διαφοράς σε απλή φλέβα (Paanilau 1984, Paanilau & List 1987). Οι κατανομές της έντασης τύρβης ταχύτητας και η τυρβώδης μεταφορά μάζας σε απλή φλέβα φαίνονται στα σχήματα.6 και.7 που ακολουθούν. 11

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 Σχήμα.6 Αδιαστατοποιημένη κατανομή έντασης τύρβης της αξονικής ταχύτητας σε απλή φλέβα (Paanilau 1984). Σχήμα.7 Αδιαστατοποιημένη κατανομή αξονικής μεταφοράς μάζας από την τύρβη σε απλή φλέβα (Paanilau 1984). 1

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10.3 Oρμή σε μια απλή φλέβα. Δεδομένου ότι δεν υπάρχει επίδραση εξωτερικών δυνάμεων στη φλέβα, η αρχική της ειδική (ανά μονάδα μαζας) ορμή παραμένει σταθερή, δηλαδή Από τις σχέσεις -5 και -7 η σχέση -1 γράφεται ως εξής W σταθερά. (-1) m () wda w() f(,) r πrdr. (-) A [ ] 0 Οι κατανομές της μέσης ταχύτητας και συγκέντρωσης μπορούν να περιγραφούν με τις εξής εκθετικές (Gaussian) συναρτήσεις που έχουν προκύψει από πειραματικά δεδομένα w( r, ) w r ( )ex b w και r ( r, ) ( ) ex b (-3) ή παραλείποντας την απόσταση από τις παραπάνω σχέσεις r w ( r) w ex και bw r ( r, ) ex. (-4) b Με βάση τις παραπάνω σχέσεις οι αδιάστατες κατανομές της μέσης ταχύτητας και συγκέντρωσης γράφονται ως εξής w( r) r ex w b w Από τις σχέσεις - και -5 προκύπτει m( ) w 0 και r ex b.4 Παροχή όγκου σε μια απλή φλέβα. ( r, ) r ex b πw b π rdr w w. (-5) (-6) Η παροχή όγκου του ρευστού σε απόσταση από το ακροφύσιο μπορεί να υπολογιστεί με βάση τις σχέσεις -6 και -3 ως εξής μ r ( ) wda w ex πrdr πw bw b A 0 w (-7) Από την παραπάνω σχέση βλέπουμε ότι η παροχή όγκου σε απόσταση από το ακροφύσιο μπορεί να υπολογιστεί πολλαπλασιάζοντας την επιφάνεια κύκλου ακτίνας b w επί τη μέση ταχύτητα στον άξονα της φλέβας, ωσάν η πραγματική φλέβα να είχε πλάτος b w και ομοιόμορφη κατανομή της ταχύτητας w στο πλάτος αυτό. Η ομοιόμορφη κατανομή αυτή της ταχύτητας κατά το πλάτος b w της φλέβας ονομάζεται t-hat προφίλ και αντίστοιχα ονομάζεται το μοντέλο της φλέβας. 13

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 w W w ( 1 ) b w w ( ) ( 1 ) ( ) Σχήμα.5 T-hat κατανομές ταχύτητας σε απλή φλέβα. Επίσης από τη σχέση (-7) παρατηρούμε ότι η ειδική παροχή μ() είναι γραμμική συνάρτηση του (γιατί;), πράγμα το οποίο μπορεί να προκύψει και από διαστατική ανάλυση, δηλαδή μ a 3 l. (-8) Παράδειγμα.1. Σε δεξαμενή αποθήκευσης νερού μήκους 60m, το νερό εισέρχεται υπό μορφή κυκλικών φλεβών από τη μια πλευρά (είσοδο) με συγκέντρωση 300t χλωρίου, ενώ στην έξοδο από την άλλη πλευρά έχει αναμειχθεί πλήρως με το νερό της δεξαμενής. Εάν η παροχή μιας φλέβας είναι 00l/s και εξέρχεται από σωλήνα διαμέτρου 0.0m ζητείται να υπολογίσετε: (α) Την ταχύτητα στον άξονα της φλέβας στην πλε υρά εξόδου του νερού. (β) Τη συγκέντρωση χλωρίου στον άξονα της φλέβας στην έξοδο. (γ) Τη μέση συγκέντρωση χλωρίου στην έξοδο. (δ) Το πλάτος που καταλαμβάνει η φλέβα στην πλευρά εξόδου. Έξοδος Είσοδος Υπερχείλιση Απάντηση: Η ταχύτητα εισόδου της φλέβας στη δεξαμενή είναι 4 4 0.0 W 6.37 m / s πd π 0.0 Η ορμή της φλέβας κατά την είσοδο είναι 4 0.0 6.37 1.73 m / s W 14

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 Επομένως η χαρακτηριστική κλίμακα μήκους είναι l 0. 177 m (α) Στον υπερχειλιστή που βρίσκεται σε απόσταση 60m w W l 0.177 7 7 0.01 w 0.01 W 0.13 m / s x 60 (β) Στον άξονα της φλέβας στην έξοδο C 5.6 x l 1 0.177 5.6 60 0.0165 0.0165C 4.96 (γ) Η ανά μονάδα χρόνου ποσότητα χλωρίου στην είσοδο της δεξαμενής είνα ίδια με αυτήν στην υπερχείλιση. Επομένως, από την αρχή διατήρησης της ποσότητας χλωρίου στη δεξαμενή έχουμε ότι Όμως C Y C μ ( x) ave ave μ( x) μ x x 0.0 60 0.5 μ( x) 0.5 0.5 16.95 m l l 0.177 3 t / s και από την παραπάνω σχέση δηλαδή ave 1. 40. C 0.0 300 ave 3. 54 μ ( x) 16.95 t (δ) Θεωρώντας ότι η ακτίνα (πλάτος) της φλέβας είναι περίπου r 0. 0, το πλάτος που καταλαμβάνει στο μέτωπο του υπερχειλιστή θα είναιb 0.40 4 m. Αυτό σημαίνει ότι για να υπάρχει αλληλεμπλοκή των φλεβών στην έξοδο και ως εκ τούτου καλή αμάμειξη χλωρίου στη δεξαμενή, πρέπει η απόσταση των φλεβών εισόδου να είναι μικρότερη από 5m. Ασκήσεις 1. Θεωρείστε μια διδιάστατη απλή φλέβα που εξέρχεται από σχισμή πλάτους d, η δε ανά μονάδα μήκους της σχισμής παροχή είναι qwd με διαστάσεις {L /T}. Με διαστατική ανάλυση να προσδιορίσετε τις σχέσεις από τις οποίες προκύπτουν σε απόσταση από τη σχισμή (1) η ταχύτητα στον άξονα, () το πλάτος της φλέβας, (3) η ογκομετρική παροχή ανά μονάδα μήκους της σχισμής και (4) η συγκέντρωση ουσίας που μεταφέρεται και την αραίωσή της.. Να δείξετε με διαστατική ανάλυση ότι σε απλή κυκλική ή διδιάστατη φλέβα m()/ 1. 15

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 3. Να δείξετε ότι η μέση συγκέντρωση μιας απλής φλέβας είναι περίπου 1.50 φορές μεγαλύτερη από τη μέγιστη μέση συγκέντρωση στον άξονά της. 4. Tί συμβαίνει με την ορμή που προέρχεται από την τύρβη σε μια απλή φλέβα; Έστω w w + w'. Yπολογίστε το ολοκλήρωμα λαμβάνοντας τη μέση τιμή του αφού το χωρίσετε σε μέσο και τυρβώδη όρους. Kατόπιν θεωρείστε ότι η ένταση της τύρβης ακολουθεί κανονική κατανομή, όπως η κατανομή της μέσης ταχύτητας. 16

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 3. ΤΥΡΒΩ ΔΕΙΣ ΦΛΕΒΕΣ ΜΕ ΑΝΩΣΗ (ΠΛΟΥΜΙΑ) 3.1 Aπλή κυκλική ανωσ τική φλέβα ή πλούμιο (lume). Η απλ ή ανωστική φλέβα ή πλούμιο παράγεται από μια πηγής άνωσης χωρίς αρχική ορμή (ποσότ ητα κίνησης).ορ ίζουμε σαν κινηματική ή ειδική άνωση (seifi buyany flux) στην " πηγή" την ανά μονάδα μάζας ρέοντος ρευστού άνωση ( ρ a ρ ) B g g ' ρ που έχει διαστάσεις [Bg' ο] L 4 /T 3, όπου ρ a... η πυκνότητα του ακίνητου αποδέκτη ρ ο... η αρχική πυκνότητα της φλέβας (ρ ο <ρ a ) a (3-1) 3. Διαστατική ανάλυση σε πλούμιο (lume). (α) w () ρ a (β) r (γ) ρ Σχήμα 3.1 Πλούμιο από ακροφύσια (α) ορθογωνικής, (β) τριγωνικής και (γ) κυκλικής διατομής. Οι φωτογραφίες έχουν ληφθεί από τον Σκανδάλη (005) στο Εργαστήριο Υδρομηχανικής & Περιβαλλοντικής Τεχνικής, Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστημίου Θεσσαλίας. Έστω λοιπόν ότι η ειδική άνωση στην πηγή είναι B, και επιθυμούμε μια σχέση που να συνδέει τη μέση ταχύτητα στον άξονα της φλέβας με την απόσταση από την πηγή και τα αρχικά χαρακτηριστικά. Οι μεταβλητές που εμφανίζονται και οι αντίστοιχες διαστάσεις τους είναι οι ακόλουθες, 17

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 w L/T ταχύτητα L 3 /T παροχή L απόσταση ν L /T κινηματικό ιξώδες ρ ο, ρ a Μ/L 3 πυκνότητα g L/T επιτάχυνση βαρύτητας Έχουμε επομένως 7 παραμέτρους και 3 θεμελιώδεις διαστάσεις, δηλαδή 7-3 4 αδιάσ τατα μονώνυμα. Για μεγάλα, η ροή είναι τυρβώδης και επομένως το κινηματικό ιξώδες ν δεν επηρεάζει τη ροή. Επίσης, η θεμελιώδης διάσταση Μ εμφανίζεται μόνο στην πυκνότητα και επομένως ένα αδιάστατο μονώνυμο θα είναι το ρ ο /ρ a. Η βαρύτητα υπεισέρχεται στο φαινόμενο επειδή υπάρχει πυκνομετρική διαφορά μεταξύ του ρευστού της φλέβας και του περιβάλλοντος ρευστού και επομένως η φαινομενική βαρύτητα (ρ a - ρ ο ) g (Δρ) g είναι η καθολική δύναμη που επιδρά στη ροή. Μπορούμε επομένως να ενώσουμε το παραπάνω αδιάστατο μονώνυμο ρ ο /ρ a με τη φαινομενική βαρύτητα σε ένα μονώνυμο το g' (Δρ) g / ρ ο και κατά συνέπεια να μειώσουμε τις θεμελιώδεις διαστάσεις κατά μία (τη μάζα Μ). Επειδή στην πηγή 0, μπορούμε να αντικαταστήσουμε την παροχή και την φαινομενική βαρύτητα με την ειδική άνωση Βg' μειώνοντας τον αρχικό αριθμό των παραμέτρων στις εξής w L/T B L 4 /T 3 L Έχουμε επομένως 3 παραμέτρους και θεμελιώδεις διαστάσεις δηλαδή μένουμε με ένα αδιάστατο μονώνυμο το εξής w ( B / ) 1/ 3 σταθερά. (3-) Πρέπ ει να σημειωθεί ότι η αρχική ειδική άνωση Β παραμένει σταθερή με την απόσταση από την πηγή. Η ίδια παραδοχή ισχύει και στις παραγράφους που ακολουθούν. Σημείωση: Σε περίπτωση που το πλούμιο προέρχεται από πηγή θερμού νερού, η αρχική άνωση δεν διατηρείται. Αυτό συμβαίνει επειδή η πυκνομετρική διαφορά ανάμεσα στο ρευστό του πλουμίου και του ψυχρότερου περιβάλλοντος νερού μεταβάλλεται, όσο αραιώνεται το θερμό νερό της φλέβας συμπαρασύροντας κρύο νερό από το περιβάλλον, επειδή μεταβάλλεται ο συντελεστής θερμικής διαστολής του νερού σαν συνάρτηση της θερμοκρασίας. Το αποτέλεσμα είναι όταν μια φλέβα αραιωθεί περί τις 10 φορές, η αρχική ειδική άνωση μπορεί να έχει μειωθεί μέχρι και κατα 50% (Ktsvins, 1975, Paanilau & Kkkalis, 008). 18

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10.3 Ορμή, παροχή και συγκέντρωση σε απλή κυκλική ανωστική φλέβα. H ορμή μιας ανωστικής φλέβας με σταθερή άνωση είναι μια παράμετρος που μεταβάλλεται συνεχώς (υπό την συνεχή επίδραση καθολικής ανωστικής δύναμης στη φλέβα). Tο δεδομένο σε μία πλήρως ανωστική φλέβα είναι ότι η αρχική ειδική άνωση B παραμένει σταθερά. Μετά λίγη διαστατική ανάλυση παρόμοια με αυτή της προηγούμενης παραγράφου, η ορμή m σε απόσταση από την πηγή μεταβάλλεται λόγω της άνωσης και η μειωμένη λίστα παραμέτρων με τις διαστάσεις τους είναι L m L 4 /T B L 4 /T 3 απ' όπου προκύπτει το (3-1) εξής αδιάστατο μονώνυμο m 3 4 / 3 σταθερά ή m ( σταθερα) B / (3-3) 3 / 43 / B Μετά από παρόμοια διαστατική ανάλυση, η ογκομετρική παροχή μ σε απόσταση από την πηγή εξαρτάται από τις παραμέτρους L μ L 3 /T B L 4 /T 3 απ' όπου προκύπτει το εξής (3-1) αδιάστατο μονώνυμο B 1/ μ 3 5 / 3 σταθερά ή 19 3 3 μ ( σταθερα ) B 1 / 5 / (3-4) H συγκέντρωση διαλυμένης ουσίας στον άξονα της φλέβας με αρχική συγκέντρωση C σαν συνάρτηση των παραμέτρων L Θ YC ΘL 3 /T B L 4 /T 3 προκύπτει από το εξής (4-3 1) το αδιάστατο μονώνυμο B Y 1/ 3 5 / 3 σταθερά. (3-5) Και στις απλές ανωστικές φλέβες, οι αδιάστατες κατανομές της μέσης ταχύτητας και συγκέντρωσης (Σχήμα.) έχουν εκθετική μορφή w( r) r ex w b w και ( r, ) r ex b όπου bw και b είναι τα πλάτη που ορίζονται από τις εκθετικές αυτές κατανομές αντίστοιχα.

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 Σχήμα. Αδιαστατοποιημένες κατανομές μέσης ταχύτητας και συγκέντρωσης σε πλούμια από Paanilau & List (1988). Στον Πίνακα που ακολουθεί δίδονται οι σταθερές που προτείνουν οι Fisher et al. (1979) και Chen & Rdi (1980) που προέκυψαν από διάφορες έως τότε εργασίες, καθώς επίσης αυτές από την πειραματική έρευνα των Paanilau & List (1987, 1988) και Wang & Law (00). Fisher et al. (1979) Chen & Rdi (1980) Paanilau & List Wang & Law (00) (1987, 1988) b 0.10 b 0. 135 b 0. 105 b 0. 105 w 4.7( B / ) μ 1/ 3 1/ 3 5 / 3 0.15B w 3.79( B / ) 1/ 3 1/ 3 w 3.85( B / ) w 4.13( B / μ m 1/ 3 5 / 3 0.14B / 3 4 / 3 0.9B b 0. 1 b 0. 15 b 0. 11 b 0. 109 9.1 11 1/ 3 5 / 3 1/ 3 5 / 3 C B 11.1 1/ 3 5 / 3 11.3 1/ 3 5 / 3 C B C B C B ) 1/ 3 Παράδειγμα 3.1. Σε βάθος 60m στη θάλασσα διατίθεται καθαρό νερό ψύξης μονάδας παραγωγής ενέργειας με θερμοκρασία 50 ο C και παροχή 1m 3 /s. Εάν η θάλασσα θεωρηθεί ότι είναι ομογενής και ακίνητος αποδέκτης με ομοιόμορφη πυκνότητα και θερμοκρασία 4.5Kg/m 3 και15 C αντίστοιχα, ζητείται να υπολογίσετε: (α) Την ταχύτη τα στον άξονα της κατακόρυφης φλέβας (πλουμίου) κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια. (β) Την ορμή του πλουμίου κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια. (γ) Τη θερμοκρασία στον άξονα του πλουμίου κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια καθώς και τη μέση αραίωση που επιτυγχάνεται εκεί. 0

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 Παρατήρηση: Η ειδική ανωστική δύναμη Β να θεωρηθεί σταθερή, έστω και αν η φλέβα είναι θερμαινόμενη. Απάντηση: (α) Η πυκνότητα του καθαρού νερού σε θερμοκρασία 50 ο 3 C είναι ρ 988.1 Kg / m. Επομένως, η ενεργός ανωστική επιτάχυνση και η ειδική ανωστική δύναμη είναι g ( ρ ρ ) 104.5 988.1 ' a g 9.81 ρ a 104.5 ' B g 4 3 0.349 m / s 0.349m / s αντίστοιχα. Η ταχύτητα στον άξονα του πλουμίου κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια υπολογίζεται από τη σχέση ( 60m) 1/ 3 1/ 3 0.349 w 3.85( B / ) 3.85 0.69 m / s 60 (β) Η ορμή του πλουμίου κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια ( 60m) είναι m 0 και / 3 4 / 3 / 3 4 / 3 4 3. 9B 0.9 0.349 60 33.77 m / s (γ) Η σχετική θερμοκρασία μεταξύ νερού ψύξης και θάλασσας είναι Τ ο 50-1535 C. Η παροχή θερμότητας είναι YT 35 ( Cm 3 /s). Σην ελεύθερη επιφάνεια (60m) ισχύει C ΔT ΔT 1 11.1 ΔT (60) 11.1 35 / 3 5 / 3 1/ 3 5 B 0.349 60 3 1 / 0.60 Δηλαδή Τ 15 + 0.60 15.60 C. Η μέση αραίωση που επιτυγχάνεται ( 60m) προκύπτει γνωρίζοντας την παροχή μ(60) από τη σχέση μ(60) ΔΤ ΔΤ. Όμως 3 3 3 3 3 μ 0.14B 1/ 5 / 0.14 0. 349 1/ 60 5 / 90.64 m / s. Επομένως, η μέση αραίωση είναι S ave /μ(60) 90.64, η δέ μέση θερμοκρασία του νερού στην επιφάνεια είναι ΔT 35 μ(60) 1 90.64 35 0.39 C T 15 + 0.39 15.39 C C Ασκήσεις 1. Θεωρείστε ένα διδιάστατο πλούμιο που εξέρχεται από σχισμή, η δε ανά μονάδα μήκους της σχισμής ανωστική δύναμη είναι Β με διαστάσεις {L 3 /T 3 }. Με διαστατική ανάλυση να προσδιορίσετε τις σχέσεις από τις οποίες προκύπτουν σε απόσταση από τη σχισμή (1) η ταχύτητα στον άξονα, () το πλάτος της φλέβας, (3) η ογκομετρική παροχή ανά μονάδα μήκους της σχισμής και (4) η ορμή της φλέβας και (5) η συγκέντρωση ουσίας που μεταφέρεται και την αραίωσή της όταν η ανά μονάδα χρόνου μαζα της ουσίας αρχικά είναι Υ. 1

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 4 ΤΥΡΒΩΔΕΙΣ ΑΝΩΣΤΙΚΕΣ ΦΛΕΒΕΣ (BUOYANT JETS Η FORCED PLUES) έχρι τώρα θεωρήθηκαν οι απλούστερες καταστάσεις φλεβών, η απλή φλέβα (jet) και η πλήρως ανωστική φλέβα (lume). Στη φύση όμως, οι τυρβώδεις εκτοξευόμενες φλέβες στην πηγή έχουν και ορμή και άνωση B. Έτσι αν η αρχική ορμή είναι επικρατέστερη η φλέβα αρχικά συμπεριφέρεται σαν jet, κατόπιν δε σε κάποια απόσταση από την πηγή μετατρέπεται σε lume. Aπό τις αρχικές παραμέτρους και B μπορούμε να ορίσουμε μία κλίμακα μήκους l ως εξής (Fisher et al., 1979) l 34 / (4-1) 1 / B Στη συνέχεια όλες οι παράμετροι της ροής μπορούν να εκφραστούν σαν συνάρτηση της αδιάστατης απόστασης /l από την πηγή όπως φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί. Οι σταθερές των παρακάτω εξισώσεων προσδιορίστηκαν με ακρίβεια στη Διδακτορική Διατριβή του Paanilau (1984) οι και είναι οι ακόλουθες JETS PLUES w 0.13 w 0.60 l / 3 (4-) b w ( ) 0. 109 b w ( ) 0. 105 (4-3a) b ( ) 0. 16 b ( ) 0. 11 (4-3b) C l l S 0. 165 C l l S 0.09 l / 3 (4-4) μ 0.5 l μb 1/ 5 / 4 0.140 l 5 / 3 (4-5) m 0.90 m 0.90 l 4 / 3 (4-6) όπου ορίζουμε ως S C/ τη μέση αραίωση (ή διάλυση) στον άξονα της φλέβας. 4.1 Υπολογισμός τυρβωδών εκτοξευόμενων ανωστικών φλεβών έχρι τώρα θεωρήθηκαν οι απλούστερες καταστάσεις φλεβών, η απλή φλέβα (jet) και το πλούμιο, των οποίων ο υπολογισμός μπορεί να γίνει άμεσα από τις σχέσεις (3-) έως (3-6) και τις σταθερές της προηγούμενης παραγράφου. Όταν όμως μια φλέβα έχει αρχική ορμή και αρχική άνωση (στη διεθνή βιβλιογραφία αναφέρεται σαν buyant jet ή fred lume), τότε η κατάσταση δυσκολεύει αρκετά. Για παράδειγμα, ας δούμε πως

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 μεταβάλλεται η ταχύτητα στον άξονα μιας ανωστικής φλέβας σαν συνάρτηση της αδιάστατης απόστασης από το ακροφύσιο /l (Σχήμα 4.1) 1 PL PL - jets 1/ /w 0.1 Σχήμα 4.1 0.01 0.1 1 10 100 /l Αδιαστατοποιημένη μέση ταχύτητα στον άξονα ανωστικών φλεβών από Paanilau & List (1988). Σύμφωνα με τη διαστατική ανάλυση σε μια απλή φλέβα (jet) w 0. 13, που από το διάγραμμα του παραπάνω σχήματος ισχύει όταν /l <1. Επίσης, από το / 3 διάγραμμα του παραπάνω σχήματοςφαίνεται ότι w 0.6( / l ) όταν 3 /l >5. Όταν 1</l <5 η αδιαστατοποιημένη ταχύτητα στον άξονα δεν μπορεί να περιγραφεί από μια απλή σχέση. Ανακεφαλαιώνοντας λοιπόν με βάση το διάγραμμα του Σχήματος 4.1 έχουμε ότι: Εάν /l <1 τότε w σταθερά και η ροή συμπεριφέρεται σαν απλή φλέβα (JET). / 3 Εάν /l >5 τότε ( ) Εάν 1</l <5 w σταθερα / l και η ροή συμπεριφέρεται σαν ΠΛΟΥΜΙΟ. Α ναλυτικές σχέσεις προσδιορισμού των διαφόρων παραμέτρων προκύπτουν από τις εξισώσεις διατήρησης μάζας (συνέχειας), ποσότητας της κίνησης (ορμής) και άνωσης σ αν συνάρτηση της απόστασης από την πηγή (ακροφύσιο) σύμφωνα με τους Fisher et al. (1979) και τη γενικευμένη θεωρία των List & Imberger (1973). Οι εξισώσεις της κίνησης μιας ανωστικής φλέβας σε απόσταση από το ακροφύσιο (πηγή) σύμφωνα με τους Fisher et al. (1979) γράφονται στην ακόλουθη μορφή Εξίσωση συνέχειας εξίσωση ποσότητας κίνησης (ορμή) τότε η ροή συμπεριφέρεται σαν ανωστική φλέβα (BUOYANT JET). dμ παm d 1 / (4-7)

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 και εξίσωση διατήρησης της άνωσης όπου dm 1+ λ d A dβ 0 d μβ m (4-8) (4-9) μ( ) w( r, ) da πb w (4-10) w πb m ( ) w ( r, ) da (4-11) A Δρ λ β ( ) g( r, ) w( r, ) da π gwb. (4.1) ρ 1+ λ A Οι κατανομές μέσης ταχύτητας και συγκέντρωσης μιας ουσίας που μεταφέρει η φλέβα θεωρούνται ότι είναι Γκαουσιανές της μορφής r ( r, ) ( )ex ή b r wr (,) w ()ex (4-13) b w r ρ ( r, ) Δ ρ ( )ex (4-14) b Δ Ο δείκτης συμβολίζει τις τιμές στον άξονα, ενώ r είναι η ακτινική πόσταση από τον άξονα, η κατακόρυφη απόσταση από το ακροφύσιο και b w και b το (1/e, e είναι η βάση των Νεπέριων λογαρίθμων) πλάτος της φλέβας από τις κατανομές μέσης ταχύτητας και συγκέντρωσης αντίστοιχα. Επίσης λb /b w είναι ο λόγος των δύο πλατών και a ο συντελεστής συμπαράσυρσης περιβάλλοντος ρευστού από τη φλέβα που έχει ορίσει ο G.I. Taylr θεωρώντας ότι η εισροή περιβάλλοντος ρευστού της φλέβας στα όριά της γίνεται με ταχύτητα v e aw. Το σύστημα των εξισώσεων (4-7), (4-8) και (4-9) με αρχικές τιμές τις (4-15) μπορεί να λυθεί με αριθμητικές μεθόδους, εφαρμόζοντας για παράδειγμα τον αλγόριθμο Runge- Kutta 4 ης τάξεως. Οι εξισώσεις (4-7), (4-8) και (4-9) αποτελούν ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων αρχικών τιμών (initial value rblem) για τον προσδιορισμό της ογκομετρικής παροχής μ() και ορμ ής m() σε απόσταση πάνω από το ακροφύσιο, με αρχικές συνθήκες μ(0) m(0), και (4-15) β(0) Β σταθερά. 4

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 4. Αριθμός Rihardsn ανωστικής φλέβας Ο αρχικός αριθμός Rihardsn R μιας ανωστικής φλέβας ορίζεται ως ο λόγος των δύο χαρακτηριστικών μηκών l και l (Fisher et al., 1979) Ri l 1/ 1/ 4 B π 1 π 5 / 4 l 4 F 4 [( Δρ) ρ / ] όπου F είναι ο αρχικός πυκνομετρικός αριθμός του Frude της φλέβας και είναι ο λόγος των ανωστικών προς τις αδρανειακές δυνάμεις που συμβάλλουν στην κίνηση και διασπορά της. Σε απόσταση από το ακροφύσιο ο αριθμός Rihardsn R() της φλέβας ορίζεται αντίστοιχα εάν χρησιμοποιήσουμε τις τοπικές τιμές των παραμέτρων εκεί, δηλαδή 1/ μβ R(). 5 / 4 m Οι Paanilau & List (1988) από μετρήσεις σε ανωστικές φλέβες κατάφεραν να προσδιορίσουν τον τοπικό αριθμό Rihardsn R() από μετρήσεις ταχυτήτων και συγκεντρώσεων (Σχήμα 4.). 1 1/ 4 W gd (4-16) (4-17) R() 0.1 Ri Ri (jets) Ri(LI) 0.01 0.01 0.1 1 10 100 /l Σχήμα 4. Τοπικός αριθμός Rihardsn ανωστικών φλεβών R() σαν συνάρτηση της αδιάστατης απόστασης /l (Paanilau & List, 1988). Από το παραπάνω σχήμα προκύπτει ότι: (i) Όταν η ροή αρχικά έχει τη συμπεριφορά απλής φλέβας (jet, /l <1) τότε R(). (ii) Όταν η ροή συμπεριφέρεται σαν πλούμιο (/l >5) τότε R()R σταθερά. Η σταθερά R προέκυψε (μετά από διόρθωση) ίση με R 0.63. Η ασυμπτωτική συμπεριφορά του τοπικού αριθμού Rihardsn R() προκύπτει (πλην των πειραματικών μετρήσεων) και από διαστατική ανάλυση. Τέλος, από το παραπάνω διάγραμμα παρατηρούμε ότι μιά ανωστική φλέβα με τη μικρότερη δυνατή αρχική άνωση Β, θα 5

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 γίνει πλούμιο σε απόσταση μεγαλύτερη από 5l από την πηγή (ακροφύσιο), όταν δ ηλαδή ο αριθμός Rihardsn R() λάβει την οριακή τιμή R 0.63, πράγμα που σημαίνει ευστάθεια στην αλληλεπίδραση άνωσης και αδρανειακών δυνάμεων. 4.3 Γενικευμένη θεωρία των List & Imberger (1973) Οι List & Imberger (1973) ανέπτυξαν μια γενικευμένη θεωρία για τις ανωστικές φ λέβες, με βάση την οποία ο μηχανικός μπορεί να υπολογίσει την ογκομετρική παροχή και ορμή σε οποιαδήποτε απόσταση από την πηγή, εάν γνωρίζει τις αρχικές της παραμέτρους. Με άλλα λόγια, χρησιμοποιώντας τις αρχές διαστατικής ανάλυσης και ασυμπτωτική θεωρία, μπόρεσαν να εκφράσουν τον τοπικό αριθμό Rihardsn R() μιας ανωστικής φλέβας σαν συνάρτηση της απόστασης, του αρχικού αριθμού Rihardsn R, του οριακού αριθμού Rihardsn του πλουμίου R και μιας σταθεράς παραμέτρου C που είναι μια διαφορετική έκφραση του πλάτους της φλέβας. Η σταθερά παράμετρος πλάτους της φλέβας C 0.7 εκτιμήθηκε από τα πειραματικά δεδομένα των Paanilau & List (1988) από τη σχέση C μ b π. (4-18) m Με βάση την ασυμτωτική θεωρία ο τοπικός αριθμός Rihardsn R() της φλέβας μπορεί να υπολογιστεί από την εξίσωση R( ) R R R R 1 + R 1 1/ ; R R l C R (4-19) σαν συνάρτηση των R, R και C, όπου είναι η απόσταση του νοητού κέντρου (virtual rigin) της φλέβας που προκύπτει από την σχέση (4-18) εάν αντικαταστήσουμε τις τοπικές μ() και m() με τις αρχικές παραμέτρους της φλέβας και Μ αντίστοιχα, δηλαδή l 3.7l 3. 8D. (4-0) C C Από την εξίσωση (4-19) για απλές φλέβες (R 0) προκύπτει ότι R(), ενώ για πλούμια (R R ) προκύπτει ότιr()r, πράγμα που δείχνει ότι εκτός από τη μεταβατική περιοχή (1</l <5), η παραπάνω εξίσωση ασυμπτωτικά ισχύει επίσης για τις απλές φλέβες και τα πλούμια. Απο την εξίσωση (4-19) και το σύστημα των εξισώσεων (4-7), (4-8) και (4-9) προκύπτει μετά από πράξεις ότι η ποσότητα της κίνησης m() (βασισμένη στην κατανομή ταχύτητας της μέσης ροής και αμελώντας τη συνεισφορά της τύρβης) και η ογκομετρική παροχή μ() της φλέβας σε απόσταση από την πηγή μπορούν να υπολογιστούν απ ευθείας από τις εξισώσεις m 1 R + R 1 / 3 και (4-1) 6

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 μ R 1 + R 1 1/ 3. (4-) Η τελευταία εξίσωση μπορεί να γραφτεί και ως μb 1/ 3 1/ 1 5 / 4 C + R C l l R R. (4-3) Χρησιμοποιώντας τώρα τα πειραματικά δεδομένα των Paanilau & List (1988) σχετικά με την ορμή και ογκομετρική παροχή, από τα Σχήματα 4.3α και 4.3β μπορούμε να διαπιστώσουμε την εξαιρετική συμβατότητα προβλέψεων της γενικευμένης θεωρίας και των μετρήσεων. 1000 100 Jets Buyant jets Thery LI (1973) 1000 100 Jets Buyant jets Thery LI (1973) m/ 10 5/4 μ B 1/ / 10 1 1 0.1 0.1 0.01 0.1 1 10 100 /l 0.01 0.01 0.1 1 10 100 /l Σχήμα 4.3 (α) (β) Σύγκριση των προγνώσεων της γενικευμένης θεωρίας των List & Imberger (1973) με τα πειραματικά αποτελέσματα των Paanilau & List (1988). (α) Αδιάστατη ποσότητα κίνησης και (β) αδιαστατη ογκομετρική παροχή, σαν συνάρτηση της απόστασης /l από την πηγή. Παράδειγμα 4.1. Σε βάθος 60m στη θάλασσα διατίθεται κατακόρυφη φλέβα νερού παροχής 0.50m 3 /s και θερμοκρασίας 0 ο C από μονάδα επεξεργασίας αστικών λυμάτων, από κυκλικό στόμιο διαμέτρου 0.50m. Η συγκέντρωση κολοβακτηριδίων (e-li) της φλέβας μετά τη χλωρίωση είναι 000 μονάδες/100ml. Θεωρούμε ότι η θάλασσα είναι 3 ομογενής και ακίνητος αποδέκτης με ομοιόμορφη πυκνότητα 4.5Kg/m αντίστοιχα. Ζητούμενο είναι να προσδιορίσουμε (α) Την αρχική συμπεριφορά της φλέβας (jet, lume ή buyant jet). (β) Υπάρχει περίπτωση η φλέβα να συμπεριφέρεται σαν πλούμιο προτού φθάσει στην επιφάνεια; (γ) Να προσδιορίσετε την ογκομετρική παροχή, την 7

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 ειδική ορμή και μέση αραίωση της φλέβας όταν 30m και όταν η φλέβα φθάσει στην ελεύθερη επιφάνεια. Απάντηση (α) Προσδιορισμός αρχικών παραμέτρων της φλέβας. 0.50m 3 /s, D0.30m. Η πυκνότητα του νερού της φλέβας είναι ρ (0 ο C)998.3Kg/m 3. g πd 4 W W 4 πd W ( ρ ρ ) g ο 7.07m/s 4 0.50 7.07 3.535 m / s 104.5 998.3 ' a 9.81 ρ a 104.5 ' B g Ο αρχικός αριθμός Rihardsn της φλέβας είναι Ri l l 4 3 0.16 m / s B 1/ 5 / 4 0.037 0.5m / s Από το Σχήμα 4. προκύπτει ότι επειδή Ri <0.1 η φλέβα αρχικά θα συμπεριφέρεται σαν απλή φλέβα. (β) Για να συμπεριφέρεται μια φλέβα σαν πλούμιο πρέπει /l >5. Επομένως l 34 / 7.6m 1 / B Στην επιφάνεια (60m) έχουμε ότι /l 8.6>5, επομένως η φλέβα θα συμπεριφέρεται σαν πλούμιο (ήδη από τη στάθμη των 5l 36.30m). (γ) Από την εξίσωση (4-0) έχουμε ότι l 3. 7l 0.98m. C C Στη στάθμη 30m από τη σχέση (4-19) μπορούμε να προσδιορίσουμε τον τοπικό αριθμό του Rihardsn R(30), θεωρώντας ότι R 0.63 R(30) R R R 1 R + R 1 1/ 0.549 R(30) 0.346 Παρόμοια για 60m από τη σχέση (4-19) προκύπτει R(60)0.606, αλλά θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι R(60) 0.63 αφού η φλέβα συμπεριφέρεται σαν πλούμιο. Η ορμή και ογκομετρική παροχή υπολογίζονται από τις σχέσεις (4-1) και (4-) αντίστοιχα, χρησιμοποιώντας τους τοπικούς αριθμούς Rihardsn R(30) και R(60). Επομένως 8

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 m(30) 9.11m 4 /s μ(30) 4.47m 3 /s m(60) 0.10m 4 /s μ(60) 7.69m 3 /s Η μέση αραίωση της φλέβας είναι S(30) μ(30)/ 48.94 (περίπου 41 e-li/100ml) S(60) μ(60)/ 145.38 (περίπου 14 e-li/100ml) 9

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 5. ANΩΣTIKEΣ ΦΛEBEΣ ΣE ΠEPIBAΛΛON E ΓPAIKH ΣTPΩATΩΣH ΠYKNOTHTAΣ Όπως στη φύση είναι δύσκολο να συναντήσουμε μια φλέβα που να έχει ακριβώς την ίδια πυκνότητα με το περιβάλλον ρευστό, έτσι δεν συναντάμε και ομογενή αποδέκτη με πυκνότητα που δεν μεταβάλλεται με το βάθος. Σε όλους τους υδάτινους αποδέκτες υπάρχει στρωμάτωση που οφείλεται κατά κύριο λόγο στη θερμοκρασιακή διαφορά μεταξύ ανώτερων και κατώτερων υδατικών στρώσεων (όπως π.χ. η θερμοκλίνη ή thermline στη θάλασσα και τις λίμνες), καθώς και στη διαφορά αλατότητας (π.χ. κοντά σε εκβολές ποταμών). H στρωμάτωση ενός αποδέκτη δεν είναι ποτέ γραμμική. Για ευκολία όμως στην ανάλυση καθώς και για προσδιορισμό χρήσιμων σταθερών στο σχεδιασμό διαχυτήρων και τη διαχείριση πεδίων αποβλήτων, είναι πολύ χρήσιμο να συζητηθεί η συμπεριφορά μιας ανωστικής φλέβας σε γραμμικά στρωματωμένο αποδέκτη. Θεωρούμε ένα αποδέκτη με γραμμική στρωμάτωση πυκνότητας. H χαρακτηριστική παράμετρος της στρωμάτωσης είναι N g dρ, (5.1) d το δε Ν ονομάζεται ανωστική συχνότητα (buyany frequeny) και έχει διαστάσεις T -1. Στις παραγράφους που ακολουθούν θα μελετήσουμε τη διάχυση κυκλικών φλεβών σε γραμμικά στρωματωμένο αποδέκτη, προσπαθώντας να εξάγουμε ορισμένα χρήσιμα συμπεράσματα σχετικά με το μέγιστο ύψος αναρρίχησης και τη μέση απόσταση του επιπέδου διάχυσης μιας ανωστικής φλέβας όταν διαχέεται κατακόρυφα. Προφανώς, όσο μεγαλύτερη είναι η διάλυση (αραίωση), τόσο λιγότερο θα ανυψωθεί στο γραμμικά στρωματωμένο περιβάλλον και αντίστροφα. 5.1 Kυκλικές ανωστικές φλέβες - διαστατική ανάλυση. ρ ρ() h S h,, B Σχήμα 5.1 Κατακόρυφη ανωστική φλέβα που διαχέεται σε αποδέκτη με γραμμική πυκνομετρική στρωμάτωση. 30

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 ια κ υκλική ανωστική φλέβα με αρχικά χαρακτηριστικά, και B όπως τα έχουμε ορίσει σε προηγούμενο κεφάλαιο, διαχέεται σε γραμμικά στρωματωμένο ήρεμο περιβάλλον υγρό, όπως σχηματικά φαίνεται παραπάνω. H παράμετρος γραμμικής στρωμάτωσης είναι N. Έστω ότι η φλέβα αρχικά έχει μηδενική άνωση, ορμή και ογκομετρική παροχή. Σε αρκετά μεγάλη απόσταση από την πηγή, η αρχική ογκομετρική παροχή της φλέβας μπορεί να αμεληθεί δεδομένου ότι η μέση τοπική ογκομετρική παροχή είναι κατά πολύ μεγαλύτερη από την αρχική. Έστω ότι η φλέβα ανυψώνεται σε ύψος h από το ακροφύσιο, το οποίο είναι μικρότερο από το βάθος του στρωματωμένου υγρού. Aυτό σημαίνει ότι η φλέβα έφτασε σε περιοχή ουδέτερης πυκνότητας (μέσο ύψος οριζόντιας διάχυσης h S ) την οποία λόγω κινητικής ενέργειας ξεπέρασε φτάνοντας σε ύψος h όπου η κινητική ενέργεια μετετράπη σε δυναμική. Στη συνέχεια η φλέβα διαχέεται οριζόντια σε ύψος h S όπου η μέση πυκνότητά της είναι ίδια με αυτή του αποδέκτη στο εν λόγω ύψος. H διαστατική ανάλυση μπορεί να δώσει αποτελέσματα με πολύ καλή προσέγγιση. Oι παράμετροι από τις οποίες εξαρτάται το φαινόμενο είναι οι παρακάτω: L 3 /T L 4 /T N T -1 h L και για μεγάλα ξεχνώντας την αρχική παροχή έχουμε (3-1) το εξής ένα αδιάστατο μονώνυμο 1/ 4 N h a1 (σταθερά) (5.) 1/4 Στην παραπάνω σχέση ο λόγος (Μ/Ν ) έχει διαστάσεις μήκους και τον κλίμακα μήκους L. j ονομάζουμε. Στην περίπτωση μιας πλήρως ανωστικής φλέβας, η διαστατική ανάλυση μας δίνει τα ακόλουθα αποτελέσματα (ένα μονώνυμο, παραβλέποντας την αρχική παροχή ) B L 4 /T 3 N T -1 h L 1/ 4 3 N h b1 B (σταθερά) (5.3) Στην παραπάνω σχέση ο λόγος (Β/Ν 3 ) 1/4 έχει διαστάσεις μήκους και τον ονομάζουμε. κλίμακα μήκους L. Στη φύση, κάθε φλέβα έχει αρχικά και ορμή και άνωση. Θεωρώντας ότι η πυκνομετρική στρωμάτωση του αποδέκτη παραμένει γραμμική, οι παράμετροι που επηρεάζουν το μέγιστο ύψος αναρρίχησης της φλέβας είναι L 3 /T 31

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 L 4 /T B L 4 /T 3 N T -1 h L. Aγνοώντας πάλι την αρχική παροχή, η διαστατική ανάλυση μας δίνει 4- αδιάστατα μονώνυμα. Tό ένα από αυτά είναι ένα από τα παραπάνω δύο (στις σχέσεις 5. και 5.3) που περιέχει το h, ενώ το άλλο περιέχει μόνο τα αρχικά και μόνιμα χαρακτηριστικά, B και N. Θεωρώντας τις κλίμακες μήκους L j. και L σε απλή και πλήρως ανωστική φλέβα αντίστοιχα 1/ 4 B N L j και N το μέγιστο ύψος στο οποίο θα φθάσει η φλέβα θα είναι 1/ 4 (5.4) B L (5.5) 3 N h h, f N. (5.6) L L B j Aλλά σε μια απλή φλέβα, (/B)N>>1 και ισχύει η εξίσωση (5.), ενώ σε μια ανωστική φλέβα (/B)N<<1 και ισχύει η εξίσωση (5.3). Διαιρώντας και τα δύο μέλη της εξίσωσης (5.) με L έχουμε ότι h L L a N 1/ 4 j 1 a1 L B. (5.7) 1/ 1/4 ή ότι μια ανωστική φλέβα φθάνει σε ύψος ανάλογο του [(/B)N ]. Aνάλογα, σε μια ανωστική φλέβα όπου (/B)N 1/ <<1 h L j L b1 b1 N L B j 1/ 4. (5.8) πράγμα που σημαίνει ότι μια απλή φλ έβα φθάνει σε ύψος ανάλογο το υ (Ν/B) -1/4. Η παραπάνω (ασυμπτωτική) διαστατική ανάλυση που εφαρμόσαμε γ ια τον προσδιορισμό του μέγιστου ύψους αναρρίχησης (terminal height f rise THR) ανωστικών φλεβών σε ήρεμο, γραμμικά στρωματωμένο αποδέκτη, μπ ορεί να εφαρμοστεί αυτούσια για τον προσδιορισμό του ύψους διάχυσης (sreading height SH) h S. Έτσι, για αρχικά απλές φλέβες ισχύει ότι ενώ για πλούμια 1/ 4 N h S h S a (σταθερά), ΜΝ/Β>>1 (5.9) L j 3

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 3 N h B 1/ 4 h L S b (σταθερά), ΜΝ/Β<1. (5.10) Όλα τ α παραπάνω έχουν αποδειχθεί και πειραματικά όπως για παράδειγμα φαίνεται στο διάγραμμα του Σχήματος 5.. 10 h/lj, hs/lj 1 Σχήμα 5. Pa & Stamulhs 009 Pa & Stamulhs 009 Wng & Wright 1988 rth Wng & Wright 1988 rund Pa, Synlakis & Hdge 1990 Knstantinidu & Pa 00 0.01 0.1 1 10 100 1000 N/B Αδιάστατο μέγιστο ύψος αναρρίχησης ανωστικής φλέβας που διαχέεται σε αποδέκτη με γραμμική πυκνομετρική στρωμάτωση (δεδομένα από διαφορετικούς ερευνητές). Τα μαυρισμένα τρίγωνα αντιστοιχούν στο ύψος διάχυσης, η δε γραμμή έχει κλίση -1/4. Aπό πειραματικά δεδομένα διαφορετικών ερευνητικών εργασιών προέκυψαν οι σταθερές του παρακάτω πίνακα. Ερευνητές N/B>10 h /L j N/B<1 H /L Wng & Wright 1998 3.60 4.46 Paanilau et al. 1990 3.46 4.60 Knstantinidu & Paanilau 003 3.55 3.97 Paanilau & Stamulis 009 3.6 4.5 Average values 3.55 4.39 Βιβλιογραφικά προτεινόμενες τιμές Fisher et al. (1979) 3.80 3.80 Chen & Rdi (1980) 3.80 5.00 Με βάση τα προαναφερόμενα μπορούμε να θεωρήσουμε τα εξής ως δεδομένα: 33

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 ία φλέβα που διαχέεται κατακόρυφα σε γραμμικά στρωματωμένο αποδέκτη, συμπεριφέρεται σαν απλή φλέβα εάν και εφόσον Ν/B<1 και σαν ανωστική για Ν/B>10. Για 1<Ν/B<10, η φλέβα έχει μια ενδιάμεση συμπεριφορά. Oι σταθερές των εξισώσεων 5- και 5-3 αντίστοιχα με βάση πρόσφατα πειράματα του παραπάνω πίνακα λαμβάνουν τις τιμές και 1/ 4 N h N/B>10 h 3. 55 L j 1/ 4 N 3 h N/B<1 h 4. 40 B L Αναφορικά με το επίπεδο διάχυσης, από τα δεδομένα των Paanilau & Stamulis 009 προέκυψαν τα εξής: N/B>10 N h S 1/ 4 h L S j 1.9 και 1/ 4 N 3 hs N/B<1 h S. 9 B L 5. Μέση αραίωση σε γραμμική στρωμάτωση πυκνότητας Από διαστατική ανάλυση (πώς;) προκύπτει ότι όταν η φλέβα συμπεριφέρεται ως πλούμιο, η παροχή της φλέβας στο πεδίο αποβλήτων (Z s ) είναι συνάρτηση μόνο της αρχικής άνωσης Β και της συχνότητας της στρωμάτωσης Ν (Μ, 0), δηλαδή 5 / 4 μ( Z m ) N σταθερα 3 / 4. B Η σταθερά αυτή προκύπτει (θεωρώντας ότι ο συντελεστής συμπαράσυρσης σε ένα πλούμιο είναι 0.0875 όπως προσδιορίστηκε από τον Paanilau 1984) από αριθμητική επίλυση των εξισώσεων κίνησης και είναι μ( Z m ) N 3 / 4 B 5 / 4 1.165; N / B < 1 Η μέση διάλυση ή αραίωση προκύπτει ως ο λόγος της παροχής μ(ζ m ) στη θέση του μέγιστου ύψους αναρρίχησης Ζ m ως προς την αρχική (μικρή) παροχή της φλέβας μ( Z ) N B μ( Z 1 B < 1 S 5 / 4 m.0; N / 3 / 4 m ) B 1.0 N 3 / 4 5 / 4 (5.11) (5.1) Η σταθερά αυτή για την ελάχιστη αραίωση προέκυψε 0.80 (Wng & Wright 1988) ενώ οι ίδιοι συγγραφείς προτείνουν 0.84 για τη μέση αραίωση, που απέχει από τις παραπάνω αριθμητικές προβλέψεις. 34

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 Παράδειγμα 5.1. Σε βάθος 60m στον πυθμένα της θάλασσας διατίθεται κατακόρυφη κυκλική φλέβα νερού παροχής 0.30m 3 /s και θερμοκρασίας 0 ο C από μονάδα επεξεργασίας αστικών λυμάτων, από κυκλικό στόμιο διαμέτρου 0.30m. Θεωρούμε ότι η θάλασσα είναι γραμμικά στρωματωμένος ακίνητος αποδέκτης με πυκνότητες 3 3 104.5Kg/m και 100Kg/m στον πυθμένα και ελεύθερη επιφάνεια αντίστοιχα. Ζητούμενο είναι να προσδιορίσουμε (α) το μέγιστο ύψος αναρρίχησης της φλέβας (β) Τη μέση στάθμη διάχυσης. Απάντηση Προσδιορισμός αρχικών παραμέτρων της φλέβας. 0.30m 3 /s, D0.30m. Η πυκνότητα του νερού της φλέβας είναι ρ ο (0 ο C)998.3Kg/m 3. g D 4 π W W 4 πd W ( ρ ρ ) g 4.4m/s 4 0.30 4.4 1.73m / s 104.5 998.3 ' a 9.81 ρ a 104.5 ' B g 4 3 0.0756 m / s 0.5m / s Η ανωστική συχνότητα (buyany frequeny)της φλέβας βρίσκεται από τη σχέση N g Δρ 9.81 104.5 100 4 7.4 10 s N 0.07s ρ Δ 998.3 60 Επομένως η αδιάστατη παράμετρος ΜΝ/Β 0.457<1. (α) Η φλέβα δηλαδή θα συμπεριφερθεί σαν πλούμιο και επομένως (L (B/N 3 ) 1/4 7.83m. (β) Η h L 4.40 h 4.40L 4.40 7.83 34. 45m αδιάστατη στάθμη διάχυσης προκύπτει από τη σχέση h L S.9 h S.9L. 86m. 1 Ασκήσεις 1. Θεωρείστε μια διδιάστατη απλή φλέβα που εξέρχεται από σχισμή πλάτους d, η δε ανά μονάδα μήκους της σχισμής παροχή είναι qwd με διαστάσεις {L /T}και διαχέεται σε ακίνητο αποδέκτη με γραμμική πυκνομετρική στρωμάτωση με ανωστική συχνότητα Ν όπου N g / ρ ( dρ / d). Με διαστατική ανάλυση να προσδιορίσετε το μέγιστο ύψος αναρρίχησης και το μέσο ύψος διάχυσης (1) σε μια απλή φλέβα (jet) και () σε ένα πλούμιο. 35

ΔΠΜΣ Επιστήμη & Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Ακ. Έτος 009-10 6. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΕΣ ANΩΣT IKEΣ ΦΛEBEΣ ΣE ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΡΟΗ Συναντώνται πολύ συχνά στη φύση, όπως για παράδειγμα στις καμινάδες σπιτιών και εργοστασίων, πάνω από πυρκαγιές και σε μεγαλύτερη κλίμακα σαν προϊόντα εκρήξεως ηφαιστίων, στο πυρηνικό ατύχημα του Chernbyl (1986) και στο βιομηχανικό ατύχημα στο Bhal της Ινδίας (1984). Η ρευστομηχανική συμπεριφορά των πλουμίων αυτών είναι αρκετά πολύπλοκη, πρόσφατα δε παρουσιάστηκε μονοδιάστατη ανάλυση από τους Paanilau et al. (1996), όπου παρουσιάζονται η τροχιά και η διάλυση της φλέβας σε αδιάστατη απλοποιημένη μορφή, μαζί με τα αδιάστατα προφίλ μέσης θερμοκρασίας και τύρβης. Οι εξισώσεις της τροχιάς και διάλυσης σε αδιάστατη μορφή (Paanilau et al. 1999) είναι οι και l ( RR) 13 / / RR x RR x 3 1 + l πα l 13 13 /. (6.1) αντίστοιχα, όπου x...... r... a... R... S.... SR RR RR x RR x 13 / 13 / 1 ( ) ( 9 ) + πα l l (6.) η οριζόντια απόσταση από την πηγή η κατακόρυφη απόσταση από την πηγή η ακτίνα της φλέβας (εγκάρσια διάσταση) 0.50 (σταθερά) ο λόγος ταχυτήτων φλέβας και εγκάρσιου ρεύματος και η μέση διάλυση της φλέβας. Στις παραπάνω σχέσεις R είναι ο αριθμός του Rihardsn στην πηγή, ενώ ο λόγος των ταχυτήτων της φλέβας και του ομοιόμορφου εγκάρσιου ρεύματος R είναι Η μέση διάλυση S ορίζεται από τη σχέση R 3 / W. (6.3) U S μ Uπr Uπα ; r a. (6.4) Στο διάγραμμα του σχήματος 3.1 και αυτά που ακολουθούν στη συνέχεια, οι κλίμακες μηκών κατά την οριζόντια και κατακόρυφη κατεύθυνση ορίζονται από τις σχέσεις 36