ΦΥΣ. 131 ΕΡΓΑΣΙΑ # 8



Σχετικά έγγραφα
Ευχαριστούµε πολύ, το προσωπικό του Ειδικού σχολείου Αιγάλεω, για την πολύτιµη βοήθεια που µας πρόσφεραν.

2 0 4 t(s) 1

ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΚΕΙΜΕΝΟ. Γιώργου Ιωάννου. Στου Κεµάλ το Σπίτι

1181. EΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Υ ΡΕΥΣΗΣ

ΠΕ5: Παρουσίαση Βασικών Παραµέτρων Α Επιλογής

Εργασία: Εργασίες απολύµανσης, απεντόµωσης και µυοκτονίας των κτιρίων ευθύνης του ήµου

ΑΦΡΩ ΕΣ ΚΑΛΥΜΜΑ ΚΑΤΩ ΡΑΒ ΟΣ ΛΑΒΕΣ ΠΕΙΡΟΣ ΚΛΕΙ ΩΜΑΤΟΣ ΑΡΙΣΤΕΡΗ ΧΕΙΡΟΛΑΒΗ ΕΞΙΑ ΧΕΙΡΟΛΑΒΗ ΜΑΞΙΛΑΡΙ ΚΑΘΙΣΜΑΤΟΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΚΑΒΑΛΑΣ ΗΜΟΣ ΚΑΒΑΛΑΣ ΗΜΟΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ

6o ΚΥΝΗΓΙ ΚΡΥΜΜΕΝΟΥ ΘΗΣΑΥΡΟΥ Γρίφος Νο 1. Ακούγεται το τραγούδι του Νίκου Ξυλούρη «ΤΟ ΠΑΡΑΜΥΘΙ»

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΓΑΡ ΙΚΙΟΥ ΘΕΣΠΡΩΤΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ. «Μέλισσα, µέλισσα, µέλι γλυκύτατο»

Καχυποψία και πίστις

ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ «Κωδικοποίηση σε ενιαίο κείµενο των διατάξεων της κείµενης νοµοθεσίας που αφορούν το Υπαίθριο Εµπόριο»

Η Συνειδητή Σύγκλιση Ένα Κύµα Ενότητας Ιουλίου 2010:

( ) (Dalin,1998) (Fullan,1991,1993,Levin,1976,Ravitch,2000,Rogers, 1995, Sarason,1982,1990).

» /2010 .

Ο ΝΟΜΟΣ 1963/91 ΓΙΑ ΤΗΝ Ι ΡΥΣΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΦΑΡΜΑΚΕΙΩΝ (ΝΟΜΟΣ 1963/91 ΦΕΚ. ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΤΗΣ ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗΣ ΝΟΜΟΘΕΣΙΑΣ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ

ΚΟΙΝΗ ΥΠΟΥΡΓΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ ΟΙ ΥΠΟΥΡΓΟΙ ΚΑΙ

1

ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΟΛΗ-ΚΡΑΤΟΣ ΣΤΟ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΡΑΤΟΣ

Ε Υ Α Ρ Τ Ε Υ Χ Ο Σ 11 Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η ΗΜΟΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ Υ ΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΗΜΟΥ ΡΟ ΟΥ ,00 (χωρίς το Φ.Π.Α.) ΥΠΗΡΕΣΙΑ Υ ΡΕΥΣΗΣ - ΑΡ ΕΥΣΗΣ

προϋπολογισµού ,00 (χωρίς το Φ.Π.Α.),

Στην αρχαιότητα οι γιατροί

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΙΩΑΝΝΗ ΛΕΜΕΣΟΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΤΑΞΗ: Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Κεχαγιάς Στέργιο, /ντής Σχολείου 1


Άσκηση και ανάπτυξη των αντιληπτικών ικανοτήτων, των βασικών κινητικών και σωµατικών. σχηµάτων.

Ο ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟΣ ΩΣ ΥΠΑΛΛΗΛΟΣ ΚΑΙ ΤΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΕΡΓΟ

στο σχέδιο νόµου «Άσκηση εµπορικών δραστηριοτήτων εκτός καταστήµατος» Γενικό Μέρος ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ

Το µάθηµα της ιερεύνησης-

Θ Ε Μ Α «Σύναψη Προγραµµατικής Σύµβασης µεταξύ ήµου Καβάλας ΝΠ του ήµου Καβάλας µε την επωνυµία Παιδικοί & Βρεφονηπιακοί Σταθµοί ήµου Καβάλας»

ΕΝΩΣΗ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΡΕΥΝΗΤΩΝ

Της από 27/2/ 2015 Τακτικής Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου του ήµου Ρόδου. Αριθ. Πρακτικού: 6/ Αριθ.

Οµάδα κατασκευών. του Συνδέσµου Νέων της Ι.Μ..

Για τις απαρχές του ελευθεριακού ρεύµατος

Ο Κ Ο Σ Μ Ο Σ ΤΗΣ Ν. ΦΙΛΑ ΕΛΦΕΙΑΣ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΠΑ. Τετάρτη 10 Μαρτίου 2010

ΕNOTHTA 18 AΓΡΟΤΙΚΗ ΖΩΗ ΤΑΞΗ Β

ΡΑΣΗ: Παράµετροι Αποτελεσµατικότητας των ιαφόρων Εργαλείων ιαχείρισης της Ενεργού Γήρανσης ΤΙΤΛΟΣ:

ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑ Α

ΠΕΡΙ ΓΕΝΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ

ΠΡΑΚΤΙΚΟ. της 33 ης (τακτικής ) συνεδρίασης της Οικονοµικής Επιτροπής την 10 η εκεµβρίου 2015 ήµου Κεφαλλονιάς.

ΣΥΝΑΣΠΙΣΜΟΣ ΡΙΖΟΣΠΑΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΕΡΑΣ ΟΜΙΛΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΕ ΡΟΥ ΤΟΥ ΣΥΡΙΖΑ, ΑΛΕΞΗ ΤΣΙΠΡΑ ΣΤΗΝ ΕΤΗΣΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΣΥΝΕΛΕΥΣΗ ΤΩΝ ΜΕΛΩΝ ΤΟΥ ΣΕΒ

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Το ευρωπαϊκό τραπεζικό σύστημα και η επιρροή του στην ανάπτυξη της Ευρωπαϊκής Ένωσης. Τοτολίδης Αεωνίδας Α.Μ.

RAPIDO ΜΠΛΕΝΤΕΡ 8 ΣΕ 1 Ο ΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ

ΑΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΤΟΥΣ 2013

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΑΣΛΑΝΟΓΛΟΥ ΜΑΡΙΝΑ. Εισηγητής : Καλοµοίρης Πέτρος

Περίληψη ειδικής έκθεσης «Το φαινόµενο της ρατσιστικής βίας στην Ελλάδα και η αντιµετώπισή του»

«Ευζωία αγροτικών ζώων».

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÍ-ÔÁÎÇ

ÍÅÏ ÄÕÍÁÌÉÊÏ ÓÔÁÕÑÏÕÐÏËÇ

ΙΑΚΗΡΥΞΗ ΥΠ.ΑΡ. 119 /2012 ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΙΑΠΡΑΓΜΑΤΕΥΣΗΣ Για την προµήθεια ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΦΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΕΛΕΥΣΗΣ Μεγαλύτερο ποσοστό έκπτωσης (%) για δύο µήνες

Φυσικό αέριο, χρήσεις, ασφάλεια και οικονομία Ομάδα Μαθητών: Συντονιστές Καθηγητές: Λύκειο Αγίου Αντωνίου Θεωρητικό υπόβαθρο Το Φυσικό αέριο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΜΥΤΙΛΗΝΗ: 03/04/2007 ΑΡΙΘ. ΠΡΩΤ.: 1835 ΙΑΚΗΡΥΞΗ

ΙΑΚΗΡΥΞΗ. «Μονάδα Αφαλάτωσης στο Μέριχα Κύθνου» (Ν0600a)» Μάιος K:\N0600a\cons\tefhi\MAPS.doc. Ν0600a/5222

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το Πρακτικό της µε αριθµό 29 ης / 09 εκεµβρίου 2011 Συνεδρίασης της Οικονοµικής Επιτροπής ήµου Καβάλας

ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΑΝΑΠΛΑΣΗ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ Ο ΟΥ ΚΑΙ ΠΛΑΤΕΙΑΣ ΝΕΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΑΠΟΚΟΡΩΝΟΥ. ΠΕΠ Κρήτης και νήσων Αιγαίου.

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΚ) αριθ. 1164/94 ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ της 16ης Μαΐου 1994 για την ίδρυση του

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΝΤΟΜΟΣ Ο ΗΓΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

Φωτογραφία εξωφύλλου: Πανσέληνος στο Αιγαίο* * Όλες οι φωτογραφίες του εγχειριδίου προέρχονται από το προσωπικό αρχείο της Ματίνας Στάππα-Μουρτζίνη

(Ε. Π. Παπανούτσου, «Τα νιάτα και ο δάσκαλος», Η παιδεία Το µεγάλο µας πρόβληµα, εκδ. ωδώνη, Αθήνα 1976, σ. 250)

Μ Ε Λ Ε Τ Η ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΥΠΟ ΟΧΗΣ ΚΑΙ. Προϋπολογισµού: ,09 σε ΕΥΡΩ

Ο περί Προστασίας των Μισθών Νόµος του 2007 εκδίδεται µε ηµοσίευση στην Επίσηµη Εφηµερίδα της

Π Ρ Α Κ Τ Ι Κ Α Β Ο Υ Λ Η Σ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΗΣ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΦΥΛΩΝ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΒΟΗΘΗΤΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ

Θεωρώντας το νερό ως στοιχείο

ΓρΑφΩ αστυνομικές ιστορίες κι έτσι μου προέκυψε πάνω

ΘΕΜΑ. Οι επιπτώσεις της ένταξης της Κύπρου στην ΟΝΕ στον εισερχόµενο τουρισµό της

ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΟ ΝΟΜΟΥ «για τη δίκαιη δίκη και την αντιµετώπιση φαινοµένων αρνησιδικίας» Α. ΓΕΝΙΚΟ ΜΕΡΟΣ

ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΑΡΘΡΟΥ 361α ΠΚ (ΑΠΡΟΚΛΗΤΗ ΕΜΠΡΑΚΤΗ ΕΞΥΒΡΙΣΗ)

Α Α: ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Π Ρ Α Κ Τ Ι Κ Ο Υ. Της από Τακτικής Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου του ήµου Ρόδου


ΑΔΑ: Β440ΩΞΜ-ΤΘΒ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το πρακτικό 13/2011. της συνεδρίασης της Οικονοµικήςεπιτροπής του ήµου Πολυγύρου

Προϋπολογισµός: Αρ. Μελέτης: Μ Ε Λ Ε Τ Η ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΞΥΛΙΝΟΥ ΑΠΕ ΟΥ ΣΤΗΝ ΑΙΘΟΥΣΑ ΑΘΛΟΠΑΙ ΙΩΝ ΤΟΥ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΤΗΡΙΟΥ ΑΡΚΑΛΟΧΩΡΙΟΥ ΤΟΥ Ν.

Η Διοργανώτρια Πόλη και οι Ολυμπιακοί Αγώνες

ΓΚΙΛΓΚΑΜΕΣ, Ο ΒΑΣΙΛΙΑΣ ΤΗΣ ΟΥΡΟΥΚ ΠΡΟΛΟΓΟΣ

ΣΧΕΔΙΟ ΠΡΟΕΔΡΙΚΟΥ ΔΙΑΤΑΓΜΑΤΟΣ

ΑΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΡΟΣΕΛΕΥΣΕΙΣ ΑΠΟΧΩΡΗΣΕΙΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ Προσήλθαν:

Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών: Κατεύθυνση Α: Αειφορική Διαχείριση Ορεινών Υδρολεκανών με Ευφυή Συστήματα και Γεωγραφικά Συστήματα Πληροφοριών

ΥΠΟΥΡΓΟΣ: Καληµέρα σε όλους, καλή χρονιά, να είµαστε καλά, µε υγεία πάνω απ όλα, προσωπική για τον καθένα µας, συλλογική για τη χώρα µας και να

Ενότητα Έβδοµη. Η αποζηµίωση των ανταλλάξιµων και η ελληνοτουρκική προσέγγιση Η ένταξη των προσφύγων στην Ελλάδα

ΜΗΝΙΑΙΑ ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΗ ΕΚ ΟΣΗ ΤΟΥ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΑΓΙΟΥ ΠΑΝΤΕΛΕΗΜΟΝΟΣ ΡΑΠΕΤΣΩΝΑΣ. Έντυπο πνευµατικής εσωτερικής καταγραφής. Τεύχος 19ο Οκτώβριος 2008

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗΣ 24 ης /2010

Κέρκυρα, Αρ. Πρωτ. 914

ΦΥΣΙΚΗ II ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΣΥΛΛΟΓΙΚΗ ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Εφηµερίδα Ποντίκι, ΓΥΝΑΙΚΕΙΑ ΨΗΦΟΣ: Από το όνειρο ως τη δικαίωση

ιδακτική της Χηµείας στο σχολείο - Προβλήµατα και λύσεις

Ι Συνδυαστική. 1 Λυµένες Ασκήσεις στην Συνδυαστική

ΑΦΥΓΡΑΝΤΗΡΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΣ 20L

Ποσοστό στη.. του Μέτρου. Ποσό (σε ΕΥΡΩ)

για τη ριζική ανανέωση και αλλαγή της δηµοκρατικής παράταξης και του πολιτικού συστήµατος

Ο ρόλος του Σύγχρονου ιεπιστηµονικού Τεχνικού Πανεπιστηµίου. H Παιδεία ως θεµελιακής σηµασίας πρωτογενής αναπτυξιακή διαδικασία * 1991

ΑΔΑ: ΒΕΑ11-8ΩΑ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ

ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΛΗΡΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΤΩΚΟΠΙΑΣ (KATOKOPIA CULTURAL HERITAGE ASSOCIATION)

Ἀντιφωνητὴς. ΔΕΚΑΠΕΝΘΗΜΕΡΟ ΠΑΝΘΡΑΚΙΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΓΝΩΜΗΣ 25 ΙΟΥΝΙΟΥ 2008 ΕΤΟΣ 10ο / ΑΡ. Φ. 249 / ΤΙΜΗ 1

Στον αντίποδα της Διχοτόµησης ο Ευνουχισµός λειτουργεί ως παράγων ψυχικής µορφοποίησης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Εισαγωγή Στόχος της µελέτης Η εξέλιξη των µελετών Γενικών Πολεοδοµικών Σχεδίων, από το ν. 1337/83 στον 2508/97...

Transcript:

ΦΥΣ. 131 ΕΡΓΑΣΙΑ # 8 F 1. Ένας κύλινδρος κυλά προς το πάνω µέρος ενός κεκλιµένου επιπέδου µε την βοήθεια µιας ταινίας όπως φαίνεται στο σχήµα. Ποια είναι η ελάχιστη τιµή της δύναµης F που απαιτείται αν η γωνία είναι θ θ=30 ; Το βάρος του κυλίνδρου είναι 2Ν.

2. Ένα πηνίο σύρµατος µάζας Μ και ακτίνας R ξετυλίγεται εξαιτίας µιας σταθερής δύναµης F όπως στο σχήµα. Υποθέτοντας ότι το πηνίο είναι ένας ο µογενής στερεός κύλινδρος που δεν ολισθαίνει, δείξτε ότι (α) η επιτάχυνση του κέντρου µάζας είναι 4 F! /3M και (β) ότι η ροπή της δύναµης της τριβής έχει διεύθυνση προς τα δεξιά και µέτρο ίσο µε F/3. (γ) Αν το πηνίο ξεκινά από την ηρεµία και κυλά χωρίς να ολισθαίνει ποια είναι η ταχύτητα του κέντρου µάζας του αφού έχει κυλήσει µια απόσταση d; Υποθέστε ότι η δύναµη παραµένει σταθερή.

3. Μια µπάλα του µπιλιάρδου κτυπιέται µε τη στέκα όπως στο σχήµα. Η διεύθυνση της ώθησης της δύναµης είναι οριζόντια και περνά από το κέντρο της µπάλας. Η αρχική ταχύτητα υ 0 της µπάλας µετά την ώθηση, η ακτίνα της µπάλας R, η µάζα της Μ και ο συντελεστής τριβής µε την τσόχα του τραπεζιού µ, θεωρούνται γνωστές ποσότητες. Να βρεθούν (α) Πόσο µακριά θα κινηθεί η µπάλα πριν σταµατήσει να γλιστρά στο τραπέζι και ξεκινά να κυλά. (β) Ποια θα είναι η γωνιακή της ταχύτητα στο σηµείο αυτό; 88 υ 0 F τ R

4. Σφόνδυλος που περιστρέφεται ελεύθερα πάνω σε στρόφαλο συζεύγνυται µε µιας µέσω ενός ι µάντα µε δεύτερο σφόνδυλο προσαρµοσµένο σε παράλληλο στρόφαλο. Οι αρχικές γωνιακές ταχύτητες είναι ω 1 και ω 1, R 1, M 1 ω 2. Οι σφόνδυλοι είναι δίσκοι µαζών Μ 1 και Μ 2 και ακτινών R 1 και R 2 αντίστοιχα. Ο ιµάντας είναι αβαρής και οι στρόφαλοι δεν ω 2, R 2, M 2 έχουν τριβές. Ποια είναι η τελική γωνιακή ταχύτητα του κάθε σφόνδυλου; Πόση κινητική ενέργεια χάθηκε;

5. Μια µάζα m είναι δεµένη σε ένα σπάγγο που περνά µέσα από µια τρύπα και βρίσκεται πάνω σε λεία οριζόντια επιφάνεια, όπως στο σχήµα. Η µάζα αρχικά περιστρέφεται σε ένα κύκλο ακτίνας r 0 µε ταχύτητα υ 0. Ο σπάγγος αρχίζει να τραβιέται αργά από κάτω ελαττώνοντας την ακτίνα του κύκλου σε r. (α) Ποια είναι η ταχύτητα της µάζας όταν η ακτίνα είναι r; (β) Βρείτε την τάση του σπάγγου συναρτήσει του r. (γ) Πόσο έργο έχει παραχθεί κατά την κίνηση της µάζας m από την ακτίνα r 0 στην r; (Σηµειώστε: η τάση εξαρτάται από το r). (δ) Βρείτε αριθµητικές τιµές για τα υ, Τ και W όταν r=0.1m, αν m=50g, r 0 = 0.3m και υ 0 = 1.5m/s.

6. Ένα τούβλο µάζας m, βρίσκεται αρχικά σε ύψος h και σε κατάσταση ηρεµίας. Αρχίζει κατόπιν να γλιστρά προς τα κάτω κινούµενο σε µια λεία επιφάνεια όπως στο σχήµα. Κινούµενο στην οριζόντια επιφάνεια (η οποία είναι επίσης λεία) έρχεται σε σύγκρουση µε µια οµοιόµορφη ράβδο µάζας Μ και µήκους L. Το τούβλο κολλά Ο m στη ράβδο µετά τη κρούση. Η ράβδος είναι εξαρτηµένη από ένα L h θ σταθερό σηµείο Ο και το σύστηµα Μ ράβδος-τούβλο περιστρέφεται γύρω από το σηµείο αυτό µετά τη κρούση. Απαντήστε στα ακόλουθα ερωτήµατα (δώστε τις απαντήσεις σας συναρτήσει των m, M, L και h): (α) Ποια είναι η στροφορµή του τούβλου ως προς το σηµείο Ο ακριβώς πριν συγκρουστεί µε τη ράβδο; (β) Ποια είναι η γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος ράβδος-τούβλο µετά τη σύγκρουση; (γ) Μετά τη σύγκρουση το σύστηµα ράβδος-τούβλο αιωρείται γύρω από το σηµείο Ο πριν έρθει στιγµιαία σε ισορροπία σε µια γωνία θ ως προς την κατακόρυφο. Βρείτε µια σχέση για cosθ. (Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το ΚΜ δίνεται από τη σχέση Ι=1/12 ΜL 2, όπου Μ η µάζα της ράβδου και L το µήκος της).

7. Ένας ξύλινος κύβος µάζας Μ ηρεµεί σε µια λεία οριζόντια επιφάνεια και είναι αναρτηµένος σε µια στερεά ράβδο µήκους Λ και αµελητέας µάζας. Το άλλο άκρο της ράβδου είναι στερεωµένο. Μια σφαίρα µάζας m ταξιδεύει µε ταχύτητα υ παράλληλα µε την επιφάνεια και κάθετα ως προς τη ράβδο, οπότε χτυπά τον κύνο και καρφώνεται µέσα σ αυτόν. Ποια είναι η στροφορµή του συστήµατος σφαίρας-κύβου; Ποιος ο λόγος των απωλειών ως προς την αρχική κινητική ενέργεια.

8. Ένας ο µοιόµορφος κύλινδρος, ακτίνας R, κυλά από την κατάσταση ηρεµίας προς το κατώτερο σηµείο ενός παραβολικού σωλήνα η εξίσωση επιφάνειας του οποίου δίνεται από y=kx 2. O κύλινδρος δεν ολισθαίνει από το σηµείο Α στο Β αλλά η επιφάνεια του σωλήνα µεταξύ των σηµείων Β και C είναι λεία (δείτε το σχήµα). Σε ποιο ύψος προς την διεύθυνση του C θα ανέβει ο κύλινδρος; Κάτω από τις ίδιες συνθήκες, ποιο θα είναι το ύψος που θα καλύψει µια ο µοιόµορφη σφαίρα της ίδιας ακτίνας µε αυτή του κυλίνδρου; Λιγότερο ή περισσότερο από αυτό του κυλίνδρου; Θεωρήστε γνωστές τις ροπές αδράνειας του κυλίνδρου και της σφαίρας. Α y = R Β C y = 0

9. Ένα σχοινί είναι τυλιγµένο γύρω από ένα κύλινδρο µάζας Μ και ακτίνας R. Το σχοινί τραβιέται προς τα πάνω για να αποτρέψει το κέντρο µάζας του κυλίνδρου να πέσει καθώς το σχοινί ξετυλίγεται. (α) Ποια είναι η τάση του σχοινιού; (β) Πόσο έργο έχει καταναλωθεί στον κύλινδρο την στιγµή που έχει µια γωνιακή ταχύτητα ω; (γ) Πόσο 1 2 µήκος σχοινιού έχει ξετυλιχθεί µέχρι τη χρονική αυτή στιγµή; ( I κυλίνδρου CM = MR ). 2

10. Ένα δαχτυλίδι µάζας Μ και ακτίνας R βρίσκεται οριζόντιο πάνω σε µια λεία επιφάνεια. Μπορεί να περιστραφεί πάνω στη επιφάνεια ως προς ένα σηµείο της περιφέρειάς του. Ένα έντοµο µάζας m περπατά γύρω από το δαχτυλίδι πάνω στην περιφέρειά του µε ταχύτητα υ, ξεκινώντας από το σηµείο περιστροφής. Ποια είναι η γωνιακή ταχύτητα του δαχτυλιδιού όταν το έντοµο βρίσκεται (α) στο µέσο της περιφέρειας και (β) πίσω στο σηµείο περιστροφής;

11. Θεωρήστε ένα σχοινί το οποίο είναι τυλιγµένο γύρω από ένα στερεό κυκλικό σώµα ακτίνας R και µάζας m όπως στο σχήµα. Το ένα άκρο του σχοινιού είναι στερεωµένο σε ακλόνητο σηµείο ενώ το σώµα είναι αρχικά σε ηρεµία. Αφήστε το σώµα να κινηθεί. Προσδιορίστε το µέτρο της κατακόρυφης επιτάχυνσης προς τα κάτω που α ισθάνεται η µάζα. Θεωρήστε ότι Ι CM είναι η ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς τον άξονα συµµετρίας που περνά από το κέντρο µάζας του και είναι κάθετος στην κυκλική επιφάνεια του σώµατος.

12. Μια µπάλα του bowling ρίχνεται προς τον διάδροµο µε αρχική ταχύτητα υ 0. Αρχικά ολισθαίνει χωρίς να κυλίεται αλλά εξαιτίας των τριβών αρχίζει να κυλά. Να δειχθεί ότι η ταχύτητά της όταν κυλά χωρίς να ολισθαίνει είναι 5 7! 0

13. Μια ο µοιόµορφη ράβδος µάζας 100g και µήκους 50.0cm περιστρέφεται σε ένα οριζόντιο επίπεδο γύρω από ένα σταθερό κατακόρυφο και λείο καρφί που περνά από το κέντρο της. Δυο µικρές χάντρες, κάθε µια µάζας 30gr τοποθετούνται στη ράβδο έτσι ώστε να µπορούν να γλιστρούν κατά µήκους της ράβδου χωρίς τριβές. Αρχικά οι χάντρες κρατούνται ακίνητες µε κάποια ειδικά φρένα και σε απόσταση 10.0cm εκατέρωθεν του κέντρου της ράβδου, ενώ το σύστηµα περιστρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα 20 rad/sec. Ξαφνικά, τα φρένα που κρατούσαν τις χάντρες ελευθερώνονται και οι χάντρες γλιστρούν προς τις εξωτερικές άκρες της ράβδου. (α) Ποια είναι η γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος τη στιγµή που οι χάντρες φθάνουν στα άκρα της ράβδου; (β) Τι θα συµβεί αν οι χάντρες φύγουν από τη ράβδο; Πόση θα είναι η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αφού οι χάντρες έχουν ξεφύγει από πάνω της;

14. Μια µάζα m είναι εξαρτηµένη µε ένα νήµα από ένα στύλο ακτίνας R. Αρχικά η απόστασή της από το κέντρο του στύλου είναι r και κινείται µε εφαπτοµενική ταχύτητα υ 0. Στην περίπτωση (α) το νήµα περνά από µια τρύπα στο µέσο του στύλου και στο υψηλότερο σηµείο του στύλου. Το νήµα σταδιακά ελαττώνεται τραβώντας το προς το κέντρο του στύλου µέσω της τρύπας. Στην περίπτωση (β) το νήµα τυλίγεται γύρω από την εξωτερική επιφάνεια του στύλου. Ποιες ποσότητες διατηρούνται σε κάθε περίπτωση; Βρείτε την τελική ταχύτητα της µάζας καθώς χτυπά πάνω στο στύλο για κάθε περίπτωση.