τα βιβλία των επιτυχιών

Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίηση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδόσεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών. τα βιβλία των επιτυχιών

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Mα θ η μ α τ ι κ ά Γ Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α Τό μ ο ς

Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Γ Λυκείου Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Α τόμος Νίκος Τάσος Επιστημονική επιμέλεια: Δημήτρης Παπαδημητριάδης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση, εξώφυλλο: Γεωργία Λαμπροπούλου Υπεύθυνος έκδοσης: Αποστόλης Αντωνόπουλος Στοιχεία επικοινωνίας συγγραφέα: 6944 343 415 nikotaso@yahoo.gr Copyright 2013 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ, Νίκος Τάσος για την ελληνική γλώσσα σε όλο τον κόσμο ISBN: 978-960-6881-43-5 SET: 978-960-6881-28-2 Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο, μέσο και μέθοδο αναδημοσίευση, αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, θέση σε κυκλοφορία, παρουσίαση, διανομή και η εν γένει πάσης φύσεως χρήση και εκμετάλλευση του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμηματικά, καθώς και της ολικής αισθητικής εμφάνισης του βιβλίου (στοιχειοθεσίας, σελιδοποίησης κ.λπ.) και του εξωφύλλου του, σύμφωνα με τις διατάξεις της υπάρχουσας νομοθεσίας περί προστασίας πνευματικής ιδιοκτησίας και των συγγενικών δικαιωμάτων περιλαμβανομένων και των σχετικών διεθνών συμβάσεων. Σωτήρος και Αλκιβιάδου 132, Τ.Κ. 185 35 Πειραιάς Τηλ.: 210 4112507 Fax: 210 4116752 www.poukamisas.gr publications@poukamisas.gr

Στη μνήμη του Γιάννη και της Κικής Πρό λ ο γ ο ς Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός να βοηθήσει τους μαθητές της Γ Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την ύλη των Μαθηματικών Κατεύθυνσης, αφετέρου να αποτελέσει χρήσιμο βοήθημα για τους συναδέλφους εκπαιδευτικούς. Κάθε κεφάλαιο αποτελείται από ενότητες οι οποίες περιέχουν: Ι. Θεωρια Σε Μορφη Ερωτησεων-Απαντησεων Πλήρης θεωρία η οποία συνοδεύεται από σχόλια και παρατηρήσεις προκειμένου να αναδειχθούν τα σκοτεινά σημεία της. ΙΙ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Έγινε προσπάθεια ώστε όλες οι ασκήσεις να ενταχθούν σε ένα πλαίσιο μεθοδολογιών. Πιστεύοντας ότι δεν υπάρχουν εύκολες ή δύσκολες ασκήσεις αλλά μόνο ασκήσεις που μπορούν να επιλυθούν με κατάλληλη μεθοδολογία, δημιουργήσαμε κατηγορίες οι οποίες βοηθούν τους μαθητές να αυτενεργήσουν προκειμένου να λύσουν εφαρμογές κάθε επιπέδου δυσκολίας. ΙΙΙ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ & ΕΜΒΑΘΥΝΣΗΣ Κάθε λυμένη εφαρμογή συνοδεύεται από παρόμοιες εφαρμογές για λύση. Όπου κρίνεται απαραίτητο υπάρχουν και επιπλέον εφαρμογές για λύση, ώστε ο μαθητής να αποκτήσει μεγαλύτερη εμπειρία. ΙV. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερωτήσεις σωστού-λάθους οι οποίες στοχεύουν να ελέγξουν τις γνώσεις που έχει αποκτήσει ο μαθητής. V. ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Στο τέλος κάθε παραγράφου υπάρχει ένα φύλλο αξιολόγησης με στόχο τον έλεγχο των γνώσεων που αποκτήθηκαν. Στο τελευταίο τμήμα του βιβλίου υπάρχουν απαντήσεις-υποδείξεις όλων των εφαρμογών, των ερωτήσεων κατανόησης και των διαγωνισμάτων. Ελπίζοντας ότι η προσπάθεια αυτή θα βρει το στόχο της, παραδίδουμε το πόνημα αυτό στην αυστηρή κρίση των μαθητών και συναδέλφων εκπαιδευτικών. Νίκος Τάσος Μαθηματικός M.Sc.

1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Ι Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων 11 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 16 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης 28 Ερωτήσεις κατανόησης 31 2. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΙΙ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων 33 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 36 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης 67 Ερωτήσεις κατανόησης 75 Φύλλο αξιολόγησης 77 3. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Ι Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων 79 Περ ι ε χ ό μ ε ν α ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μεθοδολογίες Εφαρμογές 81 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης 98 Ερωτήσεις κατανόησης 105 4. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΙΙ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων 107 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 110 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης 142 Ερωτήσεις κατανόησης 150 Φύλλο αξιολόγησης 151 Επαναληπτικό φύλλο αξιολόγησης 1 153 Επαναληπτικό φύλλο αξιολόγησης 2 155 Επαναληπτικό φύλλο αξιολόγησης 3 157 5. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων 161 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 172 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης 197 Ερωτήσεις κατανόησης 205 Φύλλο αξιολόγησης 207 6. ΙΣΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΘΕΣΗ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων 209 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 212 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης 240 Ερωτήσεις κατανόησης 247 Φύλλο αξιολόγησης 249 7. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων 251 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 255 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης 275 Ερωτήσεις κατανόησης 281 Φύλλο αξιολόγησης 283 8. 1 1 & ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων 285 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 289 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης 312 Ερωτήσεις κατανόησης 319 Φύλλο αξιολόγησης 321 ΟΡΙΑ 9. ΟΡΙΟ ΣΤΟ x 0 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων 325 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 331 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης 359 Ερωτήσεις κατανόησης 367 10. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων 369 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 371 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης 391 Ερωτήσεις κατανόησης 399 Φύλλο αξιολόγησης 401

11. ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x 0 Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων 403 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 406 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης 426 Ερωτήσεις κατανόησης 431 12. ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων 433 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 436 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης 474 Ερωτήσεις κατανόησης 483 Φύλλο αξιολόγησης 485 13. ΣΥΝΕΧΕΙΑ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων 489 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 494 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης 522 Ερωτήσεις κατανόησης 529 Φύλλο αξιολόγησης 531 14. ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων 533 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 535 ΣΥΝΕΧΕΙΑ Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης 559 Ερωτήσεις κατανόησης 568 15. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ BOLZANO Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων 569 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 574 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης 589 Ερωτήσεις κατανόησης 594 Φύλλο αξιολόγησης 595 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 16. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων 599 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 604 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης 639 Ερωτήσεις κατανόησης 649 Φύλλο αξιολόγησης 651 17. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων 653 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 663 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης 684 Ερωτήσεις κατανόησης 688 18. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ & ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων 689 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 693 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης 714 Ερωτήσεις κατανόησης 718 Φύλλο αξιολόγησης 719 19. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων 721 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 725 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης 750 Ερωτήσεις κατανόησης 760 20. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων 761 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 762 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης 782 Φύλλο αξιολόγησης 791 Απαντήσεις -Υποδείξεις -Λύσεις 793 Ενδεικτική βιβλιογραφία 861

Κεφάλαιο 1 ΜΙΓΑΔΙΚΟI

1 Η έννοια του Μιγαδικού Ι ΠραΞΕίς ίςοτητα ΔΥΝαΜΕίς ΘΕΩΡΙΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ -ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ 1 i. τι ονομάζουμε σύνολο των μιγαδικών αριθμών; ii. τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος και τι φανταστικό μέρος, ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi; iii. Ποιον αριθμό ονομάζουμε φανταστικό; απάντηση i. Σύνολο των μιγαδικών αριθμών ονομάζουμε ένα υπερσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με και στο οποίο: Επεκτείνονται οι γνωστές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού από το στο και έχουν τις ίδιους κανόνες λογισμού όπως στο. Το περιέχει ένα στοιχείο που το συμβολίζουμε με i, τέτοιο ώστε: i 2 = 1 Κάθε στοιχείο z του γράφεται κατά μοναδικό τρόπο, ως: z = α + βi, α, β ii. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z = α + βi, όταν α, β ονομάζουμε: Πραγματικό μέρος του z και συμβολίζουμε με Re(z), τον αριθμό α. Φανταστικό μέρος του z και συμβολίζουμε με Im(z), τον αριθμό β. iii. Φανταστικό αριθμό ονομάζουμε κάθε μιγαδικό αριθμό με πραγματικό μέρος μηδέν, δηλαδή της μορφής z = βi με β *. i. Ο αριθμός i, που έχει την ιδιότητα i 2 = 1 λέγεται φανταστική μονάδα. ii. Το σύνολο των φανταστικών αριθμών το συμβολίζουμε με I. iii. Ισχύει προφανώς ότι: Ι και. iv. Ένας μιγαδικός αριθμός z = α + βi, λέγεται γνήσιος, όταν β 0. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 11

ΜΙΓΑΔΙΚΟI v. Η επέκταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών δεν διατηρεί την διάταξη. Αυτό σημαίνει ότι αν δοθούν δύο μιγαδικοί αριθμοί δεν μπορούμε να πούμε ποιος είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος του άλλου, ούτε να χρησιμοποιούμε την έκφραση ο z είναι θετικός ή αρνητικός. Πράγματι αν ίσχυε η διάταξη θα έπρεπε: i 2 > 0 1 > 0, άτοπο vi. Άμεση συνέπεια του γεγονότος ότι δεν ορίζεται η διάταξη στο σύνολο είναι ότι δεν έχει νόημα το σύμβολο z, z. vii. Το σύμβολο + στο μιγαδικό z = α + βi δεν έχει την έννοια της πρόσθεσης, αλλά δηλώνει ότι για να σχηματίσουμε έναν μιγαδικό αριθμό, θα πρέπει να πάρουμε μαζί έναν πραγματικό και έναν φανταστικό. 2 Πώς παριστάνουμε γεωμετρικά ένα μιγαδικό αριθμό; απάντηση Σε κάθε μιγαδικό αριθμό z = α + βi, μπορούμε να αντιστοιχίσουμε το μοναδικό σημείο Μ(α, β) ενός καρτεσιανού επιπέδου και αντίστροφα. Το σημείο Μ λέγεται εικόνα του z και οι συμβολισμοί Μ(α, β), M(z) χρησιμοποιούνται με το ίδιο νόημα. y β Ο Ιm(z) α Μ(α+βi) Μ(α, β) Re(z) x i. ο μιγαδικός z = α + βi παριστάνεται επίσης και με το διάνυσμα OM. ii. Το καρτεσιανό επίπεδο, του οποίου τα σημεία είναι εικόνες μιγαδικών αριθμών, λέγεται μιγαδικό επίπεδο. iii. Τον άξονα των x, όπου παριστάνουμε (απεικονίζουμε) τους πραγματικούς αριθμούς α = α + 0i, τον ονομάζουμε πραγματικό άξονα. iv. Τον άξονα των y, όπου παριστάνουμε (απεικονίζουμε) τους φανταστικούς αριθμούς βi = 0 + βi, τον ονομάζουμε φανταστικό άξονα. v. Ο μιγαδικός 0 + 0i είναι το μηδέν των μιγαδικών αριθμών. 12 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ I 3 Πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι; απάντηση Δύο μιγαδικοί είναι ίσοι αν και μόνο αν τα πραγματικά τους μέρη είναι ίσα και τα φανταστικά τους μέρη επίσης είναι ίσα. Δηλαδή, αν z 1 = α + βi και z 2 = γ + δi τότε: z 1 = z 2 { α = γ β = δ} { Re(z 1) = Re(z 2 ) Im(z 1 ) = Im(z 2 )} i. Αν z = α + βi, με α, β, τότε: z = 0 (α = 0 και β = 0) ii. Η σχέση α + βi = 0 με α, β δεν δίνει απαραίτητα ότι α = β = 0. Απαραίτητη προϋπόθεση είναι να έχουμε α, β. 4 Πώς γίνονται οι πράξεις της πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών; απάντηση Έστω δύο μιγαδικοί αριθμοί z 1 = α + βi και z 2 = γ + δi, τότε: Πρόσθεση: z 1 + z 2 = (α + βi) + (γ + δi) = (α + γ) + (β + δ)i αφαίρεση: z 1 z 2 = (α + βi) (γ + δi) = (α γ) + (β δ)i Πολλαπλασιασμός: z 1 z 2 = (α + βi) (γ + δi) = α γ + α δi + β γi + β δi 2 = (αγ βδ) + (αδ + βγ)i Διαίρεση: Για να βρούμε το μιγαδικό που παριστάνει το πηλίκο της διαίρεσης α + βi με γ + δi 0 γ + δi πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το μιγαδικό γ δi: α + βi γ + δi = (α + βi)(γ δi) (γ + δi)(γ δi) 2 αγ αδi + βγi βδ i = = γ 2 (δi) 2 (αγ + βδ) + (βγ αδ)i = γ 2 + δ 2 αγ + βδ βγ αδ = γ 2 2 + + δ γ 2 + δ i 2 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 13

ΜΙΓΑΔΙΚΟI i. Αν μετά από πράξεις ο μιγαδικός πάρει τη μορφή z = α + βi, α, β λέμε ότι έχουμε κανονική μορφή μιγαδικού. ii. Αν z = α + βi, α, β τότε ο μιγαδικός αριθμός z = α βi, α, β λέγεται αντίθετος του z. iii. Αν z = α + βi 0, α, β τότε ο μιγαδικός αριθμός 1 z = 1 λέγεται αντίστροφος α + βi του z. iv. Όπως ορίσαμε την πρόσθεση δύο μιγαδικών z 1, z 2 προκύπτει ότι: Re(z 1 + z 2 ) = Re(z 1 ) + Re(z 2 ) και Im(z 1 + z 2 ) = Im(z 1 ) + Im(z 2 ) v. Ισχύει η βασική ταυτότητα: (α + βi)(α βi) = α 2 + β 2, α, β vi. Ο μιγαδικός α βi ονομάζεται συζυγής του μιγαδικού α + βi. Στη πράξη λοιπόν της διαίρεσης πολλαπλασιάσαμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το συζυγή του μιγαδικού γ + δi τον γ δi. Αν z = α + βi τον συζυγή τον συμβολίζουμε: z = α + βi = α βi, α, β Περισσότερες λεπτομέρειες για τους συζυγείς μιγαδικούς θα αναπτύξουμε στην επόμενη παράγραφο. 5 Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία της πρόσθεσης και της αφαίρεσης δύο μιγαδικών; απάντηση Αν z 1 και z 2 είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί με αντίστοιχες διανυσματικές ακτίνες OM 1 y και OM 2, τότε: M 2 (z 2 ) Ο μιγαδικός z1 + z 2 παριστάνεται από τη δια- M(z 1 +z 2 ) νυσματική ακτίνα OM που βρίσκεται από τον κανόνα του παραλληλογράμμου. Άρα: η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δύο μιγαδικών είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων των μιγαδικών αυτών. Ο μιγαδικός z1 z 2 παριστάνεται από τη διανυσματική ακτίνα OM αφού: OM 1 OM 2 = OM 1 + OM 2 = OM 1 Άρα: η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων των μιγαδικών αυτών. Ο M 2 ( z 2 ) M 1 (z 1 ) M 1 (z 1 z 2 ) x 14 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ I 6 i. Πώς ορίζονται οι δυνάμεις στο ; ii. Πώς βρίσκουμε τις δυνάμεις i ν, ν *; απάντηση i. Οι δυνάμεις στο ορίζονται όπως και στο. Δηλαδή: z 0 = 1, z 0 z 1 = z z ν = z ν 1 z, ν, ν > 1 z 1 = 1 z, z 0 z ν = z 1 ν, z 0, ν * ii. Είναι: i 0 = 1, i 1 = i, i 2 = 1, i 3 = i 2 i = ( 1) i = i, Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι: i 4 = i 2 i 2 = ( 1) ( 1) = 1, i 5 = i 4 i = i, i 6 = i 5 i = 1, i 7 = i 6 i = i Διαπιστώνουμε δηλαδή ότι τα αποτελέσματα των δυνάμεων του i, μετά το i 4, επαναλαμβάνονται με μια περιοδικότητα. Εξάλλου για κάθε ν * με ν 4, η ταυτότητα της διαίρεσης ν : 4, δίνει: ν = 4ρ + υ, όπου ρ * και 0 υ < 4 με υ. Οπότε: i ν = i 4ρ + υ = i 4ρ i υ = (i 4 ) ρ i υ = 1 ρ i υ = i υ = {1, αν υ = 0 i, αν υ = 1 1, αν υ = 2 i, αν υ = 3 i. Οι δυνάμεις στους μιγαδικούς αριθμούς ορίζονται μόνο αν οι εκθέτες είναι ακέραιοι. ii. Στο σύνολο ισχύουν όλες οι γνωστές ταυτότητες. Για παράδειγμα: (z + w) 2 = z 2 + 2zw + w 2, (z w) 2 = z 2 2zw + w 2, z 2 w 2 = (z w)(z + w), (z + w) 3 = z 3 + 3z 2 w + 3zw 2 + w 3, (z w) 3 = z 3 3z 2 w + 3zw 2 w 3 z 3 w 3 = (z w)(z 2 + zw + w 2 ), z 3 + w 3 = (z + w)(z 2 zw + w 2 ) iii. Στο σύνολο δεν ισχύει η ισοδυναμία: z 2 + w 2 = 0 z = w = 0 Για παράδειγμα αν z = 1 και w = i, τότε z 2 + w 2 = 1 2 + i 2 = 1 1 = 0 ενώ z 0 και w 0. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 15

ΜΙΓΑΔΙΚΟI ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Κατηγορία 1 ασκήσεις στις οποίες ζητείται να κάνουμε πράξεις με μιγαδικούς. ΜΕθοΔος Αν εμφανίζονται παραστάσεις με δυνάμεις τότε χρησιμοποιούμε γνωστές ταυτότητες: (α ± β) 2 = α 2 ± 2αβ + β 2, α 2 β 2 = (α β)(α + β) (α ± β) 3 = α 3 ± 3α 2 β + 3αβ 2 ± β 3, α 3 ± β 3 = (α ± β)(α 2 αβ + β 2 ) Αν εμφανίζονται δυνάμεις της μορφής: (α ± β) 2ν, ν * τότε εφαρμόζουμε το τέχνασμα: (α ± β) 2ν = [(α ± β) 2 ] ν, ν * Αν υπάρχουν παρονομαστές τότε πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την συζυγή παράσταση του παρονομαστή. Τελικά κάνουμε πράξεις μεταξύ των πραγματικών και των φανταστικών μερών των μιγαδικών που εμφανίζονται στην παράσταση. 1.1 Εφαρμογή Να κάνετε τις πράξεις: i. (7 5i) + (2i 6) ii. (4 + 3i) (6 2i) 5 iii. (5 i) + (i 2) 3i Λύση i. Είναι: ii. Ισχύει ότι: iii. Έχουμε: (7 5i) + (2i 6) = 7 5i + 2i 6 = 1 3i (4 + 3i) (6 2i) 5 = 4 + 3i 6 + 2i 5 = 7 + 5i (5 i) + (i 2) 3i = 5 i + i 2 3i = 3 3i 1.2 Εφαρμογή Να κάνετε τις πράξεις: i. (6 3i)(5 + i) ii. (3 + 2i)(7 + i)i 16 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ I Λύση i. Είναι: (6 3i)(5 + i) = 30 + 6i 15i 3i 2 = 30 9i 3 ( 1) = 30 9i + 3 = 33 9i ii. Ισχύει ότι: (3 + 2i)(7 + i)i = (3 + 2i)(7i + i 2 ) = (3 + 2i)(7i 1) = 21i 3 + 14i 2 2i = 1.3 Εφαρμογή = 19i 3 + 14 ( 1) = 19i 3 14 = 17 + 19i Να κάνετε τις πράξεις: i. (1 + 2i) 2 + (1 2i) 2 ii. 4(1 i) 3 + i(3 + 2i) 3 + (2 + i) 6 Λύση i. Είναι: (1 + 2i) 2 + (1 2i) 2 = 1 2 + 2 1 2i + (2i) 2 + 1 2 2 1 2i + (2i) 2 = = 1 + 4i + 4i 2 + 1 4i + 4i 2 = 2 4 4 = 6 ii. Ισχύει ότι: 4(1 i) 3 + i(3 + 2i) 3 + ( 2 + i ) 6 = = 4(1 3 3 1 2 i + 3 1 i 2 i 3 ) + i[3 3 + 3 3 2 2i + 3 3 (2i) 2 + (2i) 3 ] + [(2 + i) 2 ] 3 = 1.4 Εφαρμογή = 4(1 3i 3 + i) + i(27 + 54i 36 8i) + (4 + 4i + i 2 ) 3 = = 4( 2 2i) + i( 9 + 46i) + (3 + 4i) 3 = = 8 8i 9i + 46i 2 + 3 3 + 3 3 2 4i + 3 3 (4i) 2 + (4i) 3 = = 8 17i 46 + 27 + 108i 144 64i = 171 + 27i Να κάνετε τις πράξεις: i. 3 + 7i 1 2i + 5 + i 3 4i ii. (2 3i ) 2 + (1 + i ) 3 (3 i ) 2 (2i 1 ) 2 i. Λύση Είναι: 3 + 7i 1 2i + 5 + i 3 4i = (3 + 7i)(1 + 2i) (5 + i)(3 + 4i) + (1 2i)(1 + 2i) (3 4i)(3 + 4i) = = 3 + 6i + 7i + 14 i 2 + 15 + 20i + 3i + 4 i 2 = 1 2 4 i 2 3 2 16 i 2 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 17

ΜΙΓΑΔΙΚΟI = 3 + 13i 14 15 + 23i 4 1 + 4 + 11 + 13i 9 + 16 = 5 + 11 + 23i 25 = = 11 5 + 13 5 i + 11 25 + 23 25 i = 44 25 + 88 25 i ii. Έχουμε: (2 3i)2 + (1 + i ) 3 = 4 12i + (3i)2 + 1 + 3i + 3i 2 + i 3 = (3 i) 2 (2i 1) 2 (9 6i + i 2 )(4i 2 4i + 1) = 4 12i + 9i2 + 1 + 3i 3 i 7 10i = = 7 10i (8 6i)( 3 4i) 24 32i + 18i + 24i 2 48 14i = = 7 + 10i (7 + 10i)(48 14i) 336 98i + 480i 140i2 = = = 48 + 14i (48 + 14i)(48 14i) 48 2 (14i) 2 = 476 + 382i 2304 + 196 = 476 2500 + 382 2500 i Αν ζητείται να γράψουμε έναν μιγαδικό στην κανονική του μορφή χρειάζεται να κάνουμε πράξεις ώστε να τον οδηγήσουμε στη μορφή z = α + βi, α, β. 1.5 Εφαρμογή Δίνεται ο μιγαδικός: i. ii. z = 3 + 5i 1 i + (1 + i ) 2 2 3i Να γράψετε τον z στην κανονική του μορφή. Να βρείτε το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του z. i. Λύση Είναι: z = 3 + 5i 1 i + (1 + i ) 2 (3 + 5i)(1 + i) = 2 3i (1 i)(1 + i) + (1 + 2i + i 2 )(2 + 3i) = (2 3i)(2 + 3i) 18 = 3 + 3i + 5i + 5 i 2 2i(2 + 3i) + 1 2 i 2 2 2 (3i ) 2 = 3 + 8i 5 1 + 1 + 4i + 6 i 2 2 + 8i 4 + 9 = 6 + 4i 2 + 13 = ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ = 1 + 4i 6 13 + 13 4 i = 19 13 + 56 13 i