ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ & ΚΩΔΙΚΕΣ
Υπολογιστικές μηχανές
Ιδιότητες των λογαρίθμων
Συστήματα Αρίθμησης N i= m 1 i m 1 m 2 1 0 1 2 n = a i = αm 1 + αm 2 +.. + α1 + α0 + α 1 + α 2 +.. + α n i= n ακέραιο μέρος του αριθμού κλασματικό μέρος του αριθμού εκαδικό σύστημα: β=10, ψηφία 0 έως 9 π.χ. 19,625 = 1 10 1 +9 10 0 + 6 10-1 + 2 10-2 + 5 10-3 υαδικό σύστημα: β=2, ψηφία 0 και 1 π.χ. 19,625 = 1 2 4 +0 2 3 + 0 2 2 +1 2 1 + 1 2 0 +1 2-1 + 0 2-2 + 1 2-3 Οκταδικό σύστημα: β=8, ψηφία 0 έως 7 π.χ. 19,625 = 2 8 1 +3 8 0 + 5 8-1 εκαεξαδικό σύστημα: β=16, ψηφία 0 έως 9 και A έως F π.χ. 19,625 = 1 16 1 +3 16 0 + Α 16-1 ηλαδή (19,625) 10 =(10011,101) 2 =(23,5) 8 =(13,Α) 16
Συστήματα Αρίθμησης β 10 Υπολογίζουμε την παράσταση α m-1 β m-1 + + α 1 β 1 + α 0 β 0 + α -1 β -1 + + α -n β -n 10 β Ακέραιο μέρος: διαδοχικές διαιρέσεις με το β Κλασματικό μέρος: διαδοχικοί πολλαπλασιασμοί με το β β 1 β 2 β 2 Χρησιμοποιούμε το δεκαδικό σύστημα σαν ενδιάμεσο 2 4 δυαδικά ψηφία 2 3 δυαδικά ψηφία 16 1 δεκαεξαδικό ψηφίο 8 1 οκταδικό ψηφίο
Μετατροπή σε άλλο σύστημα Να μετατραπεί στο οκταδικό και δεκαεξαδικό, ο δυαδικός αριθμός 1011011001,110111 (2)
Πρόσθεση δυαδικών αριθμών Θα προσθέσουμε τους αριθμούς 43 και 15, με τη δυαδική τους αναπαράσταση. Ο 43 στο δυαδικό σύστημα είναι ο 101011 (2) ενώ ο 15 παριστάνεται ως 001111 (2).
Πολλαπλασιασμός δυαδικών Ο πολλαπλασιασμός δυαδικών αριθμών γίνεται με διαδοχικές προσθέσεις. Ας πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς 22 (10) = 10110 (2) και 11 (10) = 1011 (2).
Οι εντολές του επεξεργαστή
Παράσταση Αριθμών Με Ν δυαδικά ψηφία παραστάνουμε 2 Ν το πλήθος διαφορετικούς αριθμούς, τους 0 2 Ν -1. Για προσημασμένους ακέραιους αριθμούς, εκμεταλλευόμαστε το αριστερότερο bit, στο οποίο κωδικοποιούμε το πρόσημο, 0 για θετικό και 1 για αρνητικό. Με τα υπόλοιπα Ν-1 bit κωδικοποιείται το μέτρο του. Πρόσημο Αριθμός 1 bit n-1 bits Υπάρχουν τρεις τρόποι κωδικοποίησης αρνητικών προσημασμένων αριθμών στα υπόλοιπα n-1 bits: Η παράσταση μέτρου, του συμπληρώματος ως προς 1 και του συμπληρώματος ως προς 2
Συμπληρώματα ως προς 1 και 2 Το συμπλήρωμα ως προς 1 δυαδικού αριθμού βρίσκεται, αν αντικατασταθεί το 0 με 1 και το 1 με 0. Το συμπλήρωμα ως προς 2 βρίσκεται, αν αντικατασταθεί το 0 με 1 και το 1 με 0 και στη συνέχεια προστεθεί το 1. π.χ. Ο αριθμός -17 σε υπολογιστή με μήκος λέξης 16 bits, αρχικά θα γραφεί το μέτρο του σε δυαδική μορφή, δηλαδή 0000000000010001. Στη συνέχεια για το συμπλήρωμα ως προς 1 αντικαθιστούνται τα 0 με 1 και τα 1 με 0, και προκύπτει ο 1111111111101110. Για το συμπλήρωμα ως προς 2 στον αριθμό αυτό θα προστεθεί το 1 και ητελικήτουπαράστασηθαείναι1111111111101111.
Πράξεις με προσημασμένους Η παράσταση του συμπληρώματος ως προς 2 πλεονεκτεί: οι πράξεις γίνονται απευθείας, χωρίς να απαιτείται μετατροπή τους, ανεξάρτητα απότοπρόσημότους. Έτσι η διαδικασία της πρόσθεσης εφαρμόζεται αυτούσια και σε προσημασμένους αριθμούς. Στο δεύτερο άθροισμα, το αποτέλεσμα της πρόσθεσης έχει και επιπλέον ένα bit, αυτό το επιπλέον bit αγνοείται. Το ίδιο ισχύει και για το τέταρτο άθροισμα.
Παράσταση πραγματικών αριθμών Παράσταση σταθερής υποδιαστολής: n1 ψηφία για το ακέραιο μέρος και n2=n-n1 ψηφία για το κλασματικό μέρος Π.χ. σε 8 bits, διατίθενται 5 στο ακέραιο μέρος και 3 στο κλασματικό. Η παράσταση γίνεται με το συμπλήρωμα του 2. Ο μεγαλύτερος θετικός αριθμός που μπορεί να παρασταθεί είναι 01111,111 δηλαδή ο 15,875 και ο μικρότερος αρνητικός αριθμός είναι ο 10000,000 που είναι ο -16. Στην παράσταση σταθερής υποδιαστολής οι πράξεις γίνονται ακριβώς όπως και στους ακέραιους αριθμούς. Το άθροισμα των αριθμών 01001,110(2) = 9,75 και 10010,001(2) = -13,875 υπολογίζεται απευθείας και είναι 11011,111(2) = -4,125 Παράσταση κινητής υποδιαστολής: ο αριθμός ΒΑΣΗ ΕΚΘΕΤΗΣ ΑΡΙΘΜΟΣ 01000000 1111 0.01 2 = 0.25 10 11101110 0100-10.01 2 = -2.25 10
Παράσταση χαρακτήρων Παράσταση χαρακτήρων με μία σειρά δυαδικών ψηφίων Προτυποποίηση της παράστασης αυτής: σύνολο χαρακτήρων ASCII (8 bits/χαρακτήρα) και Unicode (16 bits/χαρακτήρα) Επειδή ο ASCII δεν επαρκεί για να κωδικοποιηθούν όλα τα αλφάβητα, αναπτύχθηκε το πρότυπο Unicode, που μπορεί να παραστήσει 65536 χαρακτήρες οι οποίοι έχουν διαιρεθεί σε «περιοχές», μία για κάθε γλώσσα. Οι ελληνικοί για παράδειγμα βρίσκονται στην περιοχή από 880 (10) έως 975 (10).