ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Η κίνηση το ατοκινήτο γύρω από μια κκλική πλατεία, της μπίλιας στη ρολέτα πο περιστρέφεται, των σημείων της επιφάνειας ενός μοσικού δίσκο πο παίζει στο πικ-απ, είναι παραδείγματα κκλικών κινήσεων. Ένα σώμα γενικά πραγματοποιεί κκλική κίνηση, όταν η τροχιά πο διαγράφει είναι περιφέρεια κύκλο. Στην ενότητα ατή θα μελετήσομε την απλούστερη από τις κκλικές κινήσεις, την ομαλή κκλική κίνηση. Ομαλή κκλική κίνηση ονομάζεται η κίνηση πο πραγματοποιεί ένα σώμα σε περιφέρεια κύκλο με σταθερό μέτρο ταχύτητας. Παρατηρήσεις Η ταχύτητα ονομάζεται γραμμική ταχύτητα και η κατεύθνση της μεταβάλλεται, καθώς το σώμα κινείται κατά μήκος της κκλικής τροχιάς. 3 Σε κάθε σημείο έχομε ταχύτητες διαφορετικής διεύθνσης και ίσο μέτρο. 3 Το διάνσμα της γραμμικής ταχύτητας σε κάθε σημείο της τροχιάς το σώματος εφάπτεται στην τροχιά και είναι κάθετο στην ακτίνα της κκλικής κίνησης. Περιοδική είναι κάθε κίνηση η οποία επαναλαμβάνεται με τον ίδιο τρόπο σε ίσα χρονικά διαστήματα. Όπως κάθε περιοδική κίνηση έτσι και η ομαλή κκλική κίνηση χαρακτηρίζεται από την περίοδο Τ και τη σχνότητα f. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 8
Περίοδος Τ: είναι ο χρόνος πο απαιτείται ώστε το σώμα να πραγματοποιήσει μια πλήρη περιστροφή. Μονάδα της περιόδο στο S.I. είναι το. Σχνότητα f: είναι ο αριθμός των περιστροφών Ν πο πραγματοποιεί το σώμα στη μονάδα το χρόνο t: f N t Μονάδα σχνότητας στο S.I είναι η μία περιστροφή ανά δετερόλεπτο ( περιστροφή/) πο ονομάζεται Hz (Hetz). Πολλαπλάσιες μονάδες σχνότητας είναι το ΚHz = 0 3 Hz, MHz = 0 6 Hz, GHz = 0 9 Hz. Παραδείγματα ομαλής κκλικής κίνησης 9 3 6 κίνηση ωροδείκτη και λεπτοδείκτη κκλική κίνηση γραναζιού ατοκίνητο σε κκλική πλατεία Σχέση περιόδο - σχνότητας Ένα σώμα πο εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση, σε χρόνο μιας περιόδο πραγματοποιεί μια πλήρη περιστροφή: f N t N tt f = T Από την τελεταία σχέση σμπεραίνομε ότι η σχνότητα είναι το αντίστροφο φσικό μέγεθος της περιόδο. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 9
Γραμμική ταχύτητα Στην ομαλή κκλική κίνηση το σώμα περιστρέφεται με σταθερή κατά μέτρο ταχύτητα, της οποίας η κατεύθνση σνεχώς μεταβάλλεται. Η ταχύτητα ατή είναι η γραμμική ταχύτητα. Γραμμική ονομάζεται η ταχύτητα πο εκφράζει το ρθμό με τον οποίο το σώμα διανύει διαστήματα (τόξα) κατά μήκος της κκλικής τροχιάς και το μέτρο της ισούται με το πηλίκο το διαστήματος S πο διανύει το σώμα σε χρόνο t, προς το χρόνο t: S = t Χαρακτηριστικά της γραμμικής ταχύτητας. Η γραμμική ταχύτητα ενός σώματος πο εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση έχει: α. σταθερό μέτρο, β. διεύθνση, τη διεύθνση της εφαπτομένης εθείας στο σημείο της τροχιάς πο βρίσκεται το σώμα, γ. φορά, πο καθορίζεται από τη φορά περιστροφής το σώματος κατά μήκος της κκλικής τροχιάς. Επειδή το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας είναι σταθερό και δίνεται από τη σχέση το σώμα σε ίσος χρόνος διανύει ίσα διαστήματα (τόξα) κατά μήκος της κκλικής τροχιάς. S είναι προφανές ότι t Σε κάθε θέση το σώματος το διάνσμα της γραμμικής ταχύτητας είναι κάθετο στην ακτίνα πο σνδέει το σώμα με το κέντρο της τροχιάς το. Η ακτίνα ατή ονομάζεται επιβατική ακτίνα. Σχέση γραμμικής ταχύτητας-περιόδο Σε χρόνο μιας περιόδο Τ το σώμα πο εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση πραγματοποιεί μια πλήρη περιστροφή, δηλαδή διάστημα (τόξο) μήκος μια περιφέρειας π. Από τη σχέση το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας: ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 0
S = π t T Γωνιακή ταχύτητα Σε έναν κκλικό δίσκο πο περιστρέφεται, όλα τα σημεία το δεν έχον την ίδια γραμμική ταχύτητα. Τα σημεία Α, Β βρίσκονται κάθε χρονική στιγμή στην ίδια επιβατική ακτίνα. Καθώς ο δίσκος περιστρέφεται, η επιβατική ακτίνα διαγράφει γωνία θ Α Α' Β' Β Α Β Ο και τα σημεία Α, Β διανύον τα τόξα ΑΑ' και ΒΒ' αντίστοιχα. Επειδή το τόξο ΑΑ' έχει μεγαλύτερο μήκος από το τόξο ΒΒ', σμπεραίνομε ότι το σημείο Α έχει μεγαλύτερη γραμμική ταχύτητα από το σημείο Β: Α > Β Για την καλύτερη περιγραφή της περιστροφής το κκλικού δίσκο ορίζομε ένα νέο φσικό μέγεθος πο ονομάζεται γωνιακή ταχύτητα ω. Γωνιακή ταχύτητα ονομάζεται η ταχύτητα πο εκφράζει το ρθμό με τον οποίο η επιβατική ακτίνα διαγράφει γωνίες (στρίβει) και το μέτρο της ισούται με το πηλίκο της γωνίας θ πο διαγράφει η επιβατική ακτίνα σε χρόνο t, προς το χρόνο t: θ ω= t ή Δθ ω= Δt Χαρακτηριστικά της γωνιακής ταχύτητας Η γωνιακή ταχύτητα ενός σώματος πο εκτελεί ομαλή ω κκλική κίνηση έχει: α. σταθερό μέτρο θ θ β. διεύθνση, τη διεύθνση της εθείας πο είναι κάθετη στο επίπεδο της κκλικής τροχιάς και διέρχεται από το ω κέντρο της. γ. φορά, πο καθορίζεται με τον κανόνα το δεξιού χεριού: τα τέσσερα δάκτλα πλην το αντίχειρα «ακολοθούν» τη φορά περιστροφής το σώματος κατά μήκος της τροχιάς και ο τεντωμένος αντίχειρας δείχνει τη φορά το διανύσματος. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U.
Επειδή το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας είναι σταθερό και δίνεται από τη σχέση η επιβατική ακτίνα σε ίσος χρόνος διαγράφει ίσες γωνίες., είναι προφανές ότι t Όλα τα σημεία ενός περιστρεφόμενο κκλικού δίσκο έχον την ίδια γωνιακή ταχύτητα, όχι όμως και την ίδια γραμμική: Ο Α Β Γ Όσο πιο μακριά από το κέντρο ενός περιστρεφόμενο κκλικού δίσκο βρίσκεται ένα σημείο το, τόσο μεγαλύτερη είναι η γραμμική το ταχύτητα. Μονάδα γωνιακής ταχύτητας: μονάδα γωνιακής ταχύτητας στο S.I. είναι το ad/. Το ad είναι η μονάδα γωνίας στο S.I. Άλλη μονάδα γωνίας είναι η μοίρα ( ). π ad = 80, ad 57,3 Το ad είναι αδιάσταστο μέγεθος (δηλαδή σε γινόμενο με άλλες μονάδες δε λαμβάνεται πόψιν). Σχέση γωνιακής ταχύτητας περιόδο Σε χρόνο μιας περιόδο Τ η επιβατική ακτίνα το σώματος πο εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση διαγράφει γωνία 360, δηλαδή π ad. Από τη σχέση το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας: π ω= t T Τ Σχέση γραμμικής-γωνιακής ταχύτητας = ω T Η σχέση ατή σνδέει το μέτρο της γραμμικής και το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ενός σώματος πο εκτελεί κκλική κίνηση. Σμπέρασμα από τη σχέση = ω ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U.
Στην ομαλή κκλική κίνηση η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή, με αποτέλεσμα το σταθερό μέτρο της γραμμικής ταχύτητας να είναι τόσο μεγαλύτερο, όσο μεγαλύτερη είναι η ακτίνα της κκλικής τροχιάς. ω U Ο ω U Ο Χρήσιμες σχέσεις στην ομαλή κκλική κίνηση. Σχέση γραμμικής ταχύτητας σχνότητας T f T = πf.. Σχέση γωνιακής ταχύτητας σχνότητας T f T ω = π f. Κεντρομόλος επιτάχνση Σύμφωνα με τον ορισμό της επιτάχνσης ένα σώμα επιταχύνεται όταν αλλάζει το μέτρο ή η κατεύθνση της ταχύτητας το. Στην ομαλή κκλική κίνηση η γραμμική ταχύτητα το σώματος έχει σταθερό μέτρο αλλά η κατεύθνση της σνεχώς μεταβάλλεται. Το σώμα επομένως επιταχύνεται και η επιτάχνση το ονομάζεται κεντρομόλος επιτάχνση α κ Κεντρομόλος επιτάχνση είναι η επιτάχνση ενός σώματος πο εκτελεί κκλική κίνηση και το μέτρο της ορίζεται από το πηλίκο το τετραγώνο της γραμμικής ταχύτητας το σώματος, προς την ακτίνα της κκλικής τροχιάς το: α = ή κ α κ = ω Χαρακτηριστικά της κεντρομόλο επιτάχνσης Η κεντρομόλος επιτάχνση ενός σώματος πο εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση έχει: ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 3
α. σταθερό μέτρο, β. διεύθνση, τη διεύθνση της επιβατικής ακτίνας στο σημείο της τροχιάς πο α κ βρίσκεται στο σώμα, γ. φορά προς το κέντρο της κκλικής τροχιάς. Ο α κ α κ Σε κάθε κκλική κίνηση η κεντρομόλος επιτάχνση είναι κάθετη στη γραμμική ταχύτητα. Έτσι, αν μας πληροφορήσον ότι η επιτάχνση ενός σώματος είναι σνεχώς κάθετη στην ταχύτητα το σμπεραίνομε ότι το σώμα εκτελεί κκλική κίνηση. Γενικότερα, όταν η επιτάχνση και η ταχύτητα ενός σώματος δεν έχον την ίδια διεύθνση, η κίνηση το είναι καμπλόγραμμη. Κεντρομόλος δύναμη Μελετώντας το δεύτερο νόμο το Νεύτωνα στην εθύγραμμη κίνηση, είδαμε ότι η σνισταμένη δύναμη πο ασκείται σ' ένα σώμα και η επιτάχνση πο ατό αποκτά έχον σχέση αιτίο-αποτελέσματος, δηλαδή: Δύναμη (Αίτιο) Επιτάχνση (Αποτέλεσμα) Στην περίπτωση των κκλικών κινήσεων, το αίτιο της κεντρομόλο επιτάχνσης είναι η κεντρομόλος δύναμη F. Κεντρομόλος δύναμη ονομάζεται η σνισταμένη των δνάμεων πο ασκούνται σε ένα σώμα πο εκτελεί κκλική κίνηση και είναι η δύναμη πο προκαλεί την κεντρομόλο επιτάχνση, σύμφωνα με το δεύτερο νόμο το Νεύτωνα: F κ = α κ Σμπεράσματα Η κεντρομόλος δύναμη πο ασκείται σε ένα σώμα πο εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση έχει: ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 4
α. σταθερό μέτρο πο δίνεται από τη σχέση: F F β. κατεύθνση, την κατεύθνση της κεντρομόλο επιτάχνσης F κ Ο F κ F κ Σε κάθε κκλική κίνηση η κεντρομόλος δύναμη F είναι κάθετη στη γραμμική ταχύτητα. Μερικά παραδείγματα κκλικών κινήσεων στα οποία κάποια σγκεκριμένη δύναμη παίζει το ρόλο της κεντρομόλο, φαίνονται στις παρακάτω εικόνες: Περιπτώσεις κεντρομόλο δύναμης. Κίνηση ατοκινήτο σε οριζόντια κκλική στροφή ακτίνας : Στο ατοκίνητο ασκείται το βάρος το, η δύναμη στήριξης N από το οδόστρωμα και η στατική τριβή T. Επειδή το ατοκίνητο ισορροπεί στην κατακόρφη διεύθνση, Fy 0 N g, N T Ο Στην οριζόντια διεύθνση έχομε:. Αλλά επειδή το ατοκίνητο εκτελεί κκλική κίνηση ισχύει: F x F x F T N g = μg ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 5
Από τη σχέση είναι φανερό ότι το ατοκίνητο μπορεί να τρέξει τόσο περισσότερο πάνω στη στροφή, όσο μεγαλύτερη είναι η γωνία κλίσης φ το επικλινούς δρόμο (φ > φ εφφ > εφφ ) και όσο μεγαλύτερη είναι η ακτίνα της στροφής. Από τη σχέση g είναι φανερό ότι το ατοκίνητο μπορεί να τρέξει τόσο περισσότερο πάνω στη στροφή, όσο μεγαλύτερος είναι ο σντελεστής στατικής τριβής μ μεταξύ ελαστικών και οδοστρώματος και όσο μεγαλύτερη είναι η ακτίνα της στροφής (ανοικτή στροφή).. Ομαλή κκλική κίνηση σφαίρας προσδεδεμένης στο άκρο νήματος πο περιστρέφεται σε λείο οριζόντιο τραπέζι Στη σφαίρα ασκείται το βάρος της, η δύναμη στήριξης N από το τραπέζι και η τάση το νήματος Τ. N T Επειδή η σφαίρα ισορροπεί στην κατακόρφη διεύθνση, Fy 0 N g, αλλά στην οριζόντια διεύθνση F x T=. Σμπεράσματα α. Η τελεταία σχέση αποτελεί την ικανή και αναγκαία σνθήκη, ώστε η σφαίρα να εκτελεί κκλική κίνηση. β. Η τάση το νήματος πο παίζει το ρόλο της κεντρομόλο δύναμης έχει τόσο μεγαλύτερο μέτρο, όσο μεγαλύτερη είναι η γραμμική ταχύτητα της σφαίρας και όσο μικρότερο είναι το μήκος l το νήματος. γ. Η σφαίρα σνεχίζει να εκτελεί κκλική κίνηση, όσο το νήμα «αντέχει» στη δύναμη (αντίδραση της ) πο ασκεί η σφαίρα στο νήμα. δ. Αν η δύναμη ατή περβεί την τάση θραύσης το νήματος, τότε το νήμα κόβεται και η σφαίρα κινείται εθύγραμμα και εφαπτομενικά της κκλικής τροχιάς, στο σημείο πο κόπηκε το νήμα. ε. Η μέγιστη επιτρεπόμενη τιμή γραμμικής ταχύτητας ax, ώστε να μην κόβεται το νήμα, ικανοποιεί τη σχέση: Τ θρ άρα λοιπόν Tθρ ax = ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 6
3. Κίνηση ατοκινήτο σε λεία κεκλιμένη κκλική στροφή ακτίνας : Στο ατοκίνητο ασκείται το βάρος το και η δύναμη στήριξης N από το οδόστρωμα: Αναλύομε τη δύναμη στήριξης N σε δύο σνιστώσες N x και με μέτρα: N y στην οριζόντια και στην κατακόρφη διεύθνση αντίστοιχα N y φ φ N N x Ο Ν x = Νημφ N y = Νσνφ Επειδή το ατοκίνητο ισορροπεί στην κατακόρφη διεύθνση, g F 0 N g N. y y Η οριζόντια σνιστώσα έχει την κατεύθνση της ακτίνας άρα: g Fx F Nx F = g εφφ Στην ίδια σχέση μπορούμε να καταλήξομε αν προσθέσομε πρώτα, φ N φ ΣF Ο διανσματικά τις δνάμεις και μετά εφαρμόσομε την σνθήκη της φ κεντρομόλο δύναμης Σύμφωνα με το σχήμα F F g = g εφφ Η τελεταία σχέση δίνει τη μέγιστη γραμμική ταχύτητα με την οποία μπορεί να κινείται το ατοκίνητο πάνω στη στροφή, ώστε να μην εκτρέπεται από την πορεία το. Από τη σχέση g είναι φανερό ότι το ατοκίνητο μπορεί να τρέξει τόσο περισσότερο πάνω στη στροφή, όσο μεγαλύτερη είναι η γωνία κλίσης φ το επικλινούς δρόμο (φ > φ εφφ > εφφ ) και όσο μεγαλύτερη είναι η ακτίνα της στροφής. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 7
Στην περίπτωση πο πάρχει τριβή μεταξύ των ελαστικών το ατοκινήτο και το οδοστρώματος, αποδεικνύεται ότι η μέγιστη γραμμική ταχύτητα με την οποία μπορεί να κινείται το ατοκίνητο πάνω στη στροφή ώστε να μην εκτρέπεται από την πορεία το, δίνεται από τη σχέση: g όπο μ ο σντελεστής στατικής τριβής μεταξύ ελαστικών και οδοστρώματος. Λμένα παραδείγματα Με ένα κινητό εφαρμογή των τύπων κκλικής κίνησης Παράδειγμα. Η σφαίρα το διπλανού σχήματος εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση ακτίνας = 0, και διαγράφει 0 κύκλος κάθε κινούμενη αριστερόστροφα. α. Να πολογίσετε τη σχνότητα f και την περίοδο T της κκλικής κίνησης. K β. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας το διπλανό σχήμα και να σχεδιάσετε το διάνσμα της γραμμικής ταχύτητας στο σημείο όπο βρίσκεται η μικρή σφαίρα. γ. Να πολογίσετε το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας πο σχεδιάσατε. α. Γνωρίζομε τον αριθμό των περιφορών πο εκτελεί η σφαίρα (Ν = 0) και τη χρονική διάρκεια πο χρειάστηκε για τις περιφορές ατές (Δt = ). Η σχνότητα στην ομαλή κκλική κίνηση πολογίζεται από τον τύπο: N 0 f f Hz f = 5Hz t Αφού γνωρίζομε τη σχνότητα f, μπορούμε να βρούμε την περίοδο Τ χρησιμοποιώντας τον τύπο πο σνδέει τα δύο ατά μεγέθη. Είναι: f T T T = 0, T f 5 β. Το διάνσμα της γραμμικής ταχύτητας είναι εφαπτόμενο στην κκλική τροχιά στο σημείο όπο βρίσκεται κάθε φορά η σφαίρα πο εκτελεί την κκλική κίνηση. Αφού η σφαίρα κινείται αριστερόστροφα, δηλαδή αντίθετα από τη φορά κίνησης των δεικτών το ρολογιού, το διάνσμα της γραμμικής ταχύτητας της σφαίρας θα είναι όπως στο σχήμα. K ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 8
γ. Για τον πολογισμό το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας μπορούμε να χρησιμοποιήσομε τον τύπο: 0, T 0, = π ή την σχέση f 0, 5 = π. Παράδειγμα. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται μια σφαίρα πο εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση ακτίνας =, και η επιβατική της ακτίνα διαγράφει γωνία 60 σε χρονική διάρκεια. K α. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας το σχήμα και να σχεδιάσετε το διάνσμα της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας. β. Να πολογίσετε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας καθώς και το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας της σφαίρας. γ. Αν τη χρονική στιγμή t = 0 η σφαίρα διέρχεται από σημείο Α της τροχιάς της, να πολογίσετε τη χρονική στιγμή t πο η σφαίρα διέρχεται για πέμπτη φορά μετά την t = 0 από σημείο Β της τροχιάς της το οποίο είναι αντιδιαμετρικό το σημείο Α. α. Το διάνσμα της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας έχει σημείο εφαρμογής το κέντρο της κκλικής τροχιάς και είναι κάθετο στο επίπεδό της. Η φορά της βρίσκεται με τον κανόνα το δεξιού χεριού (ο αντίχειρας δείχνει τη φορά της γωνιακής ω K ταχύτητας). Με βάση τα παραπάνω, το διάνσμα της γωνιακής ταχύτητας είναι όπως στο σχήμα. β. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας πολογίζεται από τη σχέση: t όπο θ η επίκεντρη γωνία πο διαγράφει η επιβατική ακτίνα σε χρονική διάρκεια Δt. Η γωνία θ στον παραπάνω τύπο αντικαθίσταται σε μονάδες ad (ακτίνια). Γνωρίζομε ότι π ad = 80 ο οπότε 60 = ad. 3 Σνεπώς: 3 ad π ad ω= t 6 ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 9
Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας μπορεί να πολογιστεί από τον τύπο: = ω = 0,π / γ. Για να μεταβεί η σφαίρα από το σημείο Α στο σημείο Β για πρώτη φορά, πρέπει να διανύσει μισό κύκλο. Ατό σημαίνει ότι θα χρειαστεί χρόνο μισής περιόδο. Σνεπώς T για πρώτη φορά περνά από το σημείο Β τη χρονική στιγμή t. Για να t = 0 Α K Β ξαναπεράσει από το σημείο Β, θα χρειαστεί να διαγράψει, ξεκινώντας από το σημείο ατό, έναν πλήρη κύκλο. Άρα θα περάσει για πέμπτη φορά μετά την t = 0 από το σημείο Β τη χρονική στιγμή: T 9T t t 4T t 4T t Ισχύει: T = Σνεπώς: 9T 9 t t t = 54 6 Παράδειγμα 3. Ένα σώμα εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση με γραμμική ταχύτητα και διαγράφει το μήκος = 0,π το μισού κύκλο της τροχιάς το σε χρονική διάρκεια Δt = 0,. Να πολογίσετε: α. την απόσταση μεταξύ δύο αντιδιαμετρικών σημείων της τροχιάς το σώματος, β. την περίοδο και τη σχνότητα της ομαλής κκλικής κίνησης, γ. το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας και το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας το σώματος. α. Το μήκος τόξο είναι το μήκος το μισού κύκλο. Άρα το μήκος ολόκληρο το κύκλο θα είναι: ꞌ = ꞌ = 0,4π. 0,4 Το μήκος το κύκλο δίνεται από τη σχέση = 0,. Η απόσταση μεταξύ δύο αντιδιαμετρικών σημείων της τροχιάς το σώματος ισούται με τη διάμετρο το κύκλο. Άρα: d = d = 0,4 β. Σε χρονική διάρκεια Δt = 0,5 το σώμα διέγραψε μισό κύκλο. Σνεπώς χρειάστηκε χρόνο ίσο με τη μισή περίοδο T. Δηλαδή ισχύει: T t Τ = Δt T = 0,4 ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 30
Διαφορετικά θα μπορούσαμε να βρούμε το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας: 0, = π t 0, Αλλά ισχύει: 0, T Τ = 0,4 T Αφού γνωρίζομε την περίοδο, μπορούμε να πολογίσομε τη σχνότητα από τη σχέση: f f Hz f =,5Hz T 0,4 γ. Η γραμμική ταχύτητα έχει πολογιστεί σε παραπάνω ερώτημα και είναι ίση με: = π /. ad ad Για το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας έχομε: = ω ω = 5π 0, Βέβαια για την απάντηση το ερωτήματος θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσομε τις σχέσεις f ή. Κεντρομόλος δύναμη κεντρομόλος επιτάχνση. Παράδειγμα 4. Μικρό σώμα εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση ακτίνας και τη χρονική στιγμή t = 0 διέρχεται από σημείο Α το κύκλο, ενώ τη χρονική στιγμή t =,5 διέρχεται K Α από σημείο Β το κύκλο πο απέχει από το σημείο Α απόσταση d 5. Η επιβατική ακτίνα το σώματος στη χρονική διάρκεια Δt = t 0 έχει διαγράψει γωνία 90. α. Να πολογίσετε την ακτίνα της κκλικής τροχιάς. β. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας το σχήμα της εκφώνησης και στη σνέχεια να σχεδιάσετε το διάνσμα της κεντρομόλο επιτάχνσης το σώματος όταν διέρχεται από τα σημεία Α και Β. γ. Να βρείτε το μέτρο της κεντρομόλο επιτάχνσης. δ. Το μέτρο της μεταβολής της ταχύτητας στην χρονική διάρκεια Δt Δίνεται για τις πράξεις π = 0. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 3
α. Στη χρονική διάρκεια Δt η επιβατική ακτίνα το μικρού σώματος έχει διαγράψει γωνία 90 δηλαδή έχει διαγράψει ένα τεταρτοκύκλιο. Άρα τη χρονική στιγμή t βρίσκεται στο σημείο Β πο φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ισχύει από το Πθαγόρειο θεώρημα: Β K t d t = 0 Α + = d = d d (5 ) = 5 β. Η κεντρομόλος επιτάχνση έχει πάντοτε τη διεύθνση της επιβατικής ακτίνας και φορά προς το κέντρο της κκλικής τροχιάς. Το διάνσμά της όταν το σώμα διέρχεται από τα σημεία Α και Β φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Β α κ K α κ Α γ. Το μέτρο της κεντρομόλο επιτάχνσης πολογίζεται από τον τύπο: όπο το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας το σώματος. Έχομε: 5 = π t t,5 άρα 5 α κ = δ. Το διάνσμα της ταχύτητας στα σημεία Α και Β φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Β K Β Α Α Β Δ Α Η μεταβολή θα βρεθεί από την διανσματική αφαίρεση. Δ - Α Δ = π Παράδειγμα 5. Το σώμα μάζας = 0, kg το διπλανού σχήματος εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση με γωνιακή ταχύτητα μέτρο ω = 0 ad/. Δύο σημεία Α και Β της K Α κκλικής τροχιάς απέχον μεταξύ τος απόσταση d = και η κεντρομόλος δύναμη πο δέχεται το σώμα όταν διέρχεται από το σημείο Α είναι αντίθετη της κεντρομόλο δύναμης πο δέχεται όταν διέρχεται από το σημείο Β. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 3
α. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας το διπλανό σχήμα και να σχεδιάσετε την κεντρομόλο δύναμη πο δέχεται το σώμα όταν διέρχεται από τα σημεία Α και Β. β. Να πολογίσετε το μέτρο της κεντρομόλο δύναμης πο δέχεται το σώμα. γ. Αν το σώμα κατά τη διάρκεια της ομαλής κκλικής το κίνησης δέχεται σνολικά δύο σταθερού μέτρο δνάμεις F και F, από τις οποίες η F έχει μέτρο Ν, βρίσκεται στη διεύθνση της ακτίνας και έχει φορά προς το κέντρο της κκλικής τροχιάς, να βρείτε το μέτρο και την κατεύθνση της δύναμης F. Δίνεται για τις πράξεις π = 0. α. Αφού η κεντρομόλος δύναμη F, πο δέχεται το σώμα όταν διέρχεται από το σημείο Α είναι αντίθετη της κεντρομόλο δύναμης F, πο δέχεται όταν διέρχεται από το σημείο Β, Β F κ,b K F κ,a Α οι δύο ατές δνάμεις βρίσκονται στην ίδια διεύθνση και έχον αντίθετη φορά. Για να σμβαίνει ατό, πρέπει τα δύο σημεία να είναι αντιδιαμετρικά. Τα ζητούμενα διανύσματα φαίνονται στο διπλανό σχήμα. β. Για το μέτρο της κεντρομόλο δύναμης έχομε: F () Τα σημεία Α και Β είναι αντιδιαμετρικά. Σνεπώς απέχον μεταξύ τος d =. Άρα: d = = = 0,5. Για το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας έχομε: = ω = 0 0,5 / = 5 / Αντικαθιστώντας τις τιμές των μεγεθών στη σχέση () προκύπτει: F 0,5 0,5 N F κ = 5Ν γ. Αφού το σώμα εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση, η σνισταμένη των ακτινικών δνάμεων F και F ισούται με την κεντρομόλο δύναμη. Άρα: ΣF = F κ = 5 Ν F F K Η δύναμη F έχει φορά προς το κέντρο της κκλικής τροχιάς και παρατηρούμε ότι για το μέτρο της F ισχύει: F > F κ. Για να έχομε κεντρομόλο δύναμη ίση με 5 Ν θα πρέπει η δύναμη F να έχει τη διεύθνση της ακτίνας και φορά αντίθετη από ατή της F. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 33
Σνεπώς είναι: ΣF = F F F = F ΣF F = 7 Ν Παράδειγμα 6. Ένας δίσκος ακτίνας =, περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρο 0 ad/ γύρω από κατακόρφο άξονα πο διέρχεται από το κέντρο το Κ και είναι κάθετος στο επίπεδό το. Σημείο Α το δίσκο απέχει d = 0, ω K A από την περιφέρεια και σημείο Β πο βρίσκεται πάνω στην ίδια διάμετρο με το Α και απέχει από ατό απόσταση d =,8. α. Να πολογίσετε τη χρονική διάρκεια πο απαιτείται ώστε το σημείο Β να διαγράψει ένα πλήρη κύκλο. β. Να σχεδιάσετε το διάνσμα της γραμμικής ταχύτητας το σημείο Α και να πολογίσετε το μήκος το τόξο πο διανύει το σημείο Α, καθώς και την αντίστοιχη επίκεντρη γωνία πο διαγράφει η επιβατική το ακτίνα σε χρονική διάρκεια Δt = 5. γ. Να βρείτε το μέτρο της κεντρομόλο επιτάχνσης το σημείο Β. α. Όλα τα σημεία το δίσκο πο κινούνται εκτελούν ομαλή κκλική κίνηση με την ίδια γωνιακή ταχύτητα, την ίδια περίοδο Τ και την ίδια σχνότητα f. Πράγματι, και το σημείο Α αλλά και το σημείο Β ολοκληρώνον έναν πλήρη κύκλο στην ίδια χρονική διάρκεια, ενώ η επιβατική τος ακτίνα διαγράφει την ίδια επίκεντρη γωνία στην ίδια χρονική διάρκεια. Είναι: 0, Άρα λοιπόν ο χρόνος για μία πλήρη περιστροφή είναι Δt = Τ Δt = 0,π. Κάθε σημείο το δίσκο στον παραπάνω χρόνο θα έχει διαγράψει μία πλήρη περιστροφή άρα και το σημείο Β. β. Επειδή το διάνσμα έχει φορά προς τα πάνω, σύμφωνα με τον κανόνα το ω δεξιού χεριού ο δίσκος περιστρέφεται αριστερόστροφα (αντίθετα από τη φορά κίνησης των δεικτών το ρολογιού). Σνεπώς η γραμμική ταχύτητα το σημείο K A A Α ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 34
Α είναι το διάνσμα πο φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το σημείο Α εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση ακτίνας A. Εμείς γνωρίζομε την απόσταση το σημείο Α από την περιφέρεια επομένως A = d A =. Επομένως για το μέτρο της γραμμικής το ταχύτητας ισχύει: Α = ω A Α = 0 / Όμως ισχύει ότι: A A = A Δt l A = 50. t Για τον πολογισμό της επίκεντρης γωνίας πο διαγράφει η επιβατική ακτίνα το σημείο Α στη χρονική διάρκεια Δt μπορούμε να χρησιμοποιήσομε το μήκος το τόξο πο βρήκαμε παραπάνω. Το μήκος το τόξο A και η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία θ A σνδέονται με τη σχέση: A = A θ A θ A = A A θ A = 40 ad Στο ίδιο αποτέλεσμα μπορούσαμε να καταλήξομε αν χρησιμοποιούσαμε τον τύπο το ορισμού της γωνιακής ταχύτητας t Άρα για τη χρονική διάρκεια Δt A έχομε: ω = t θ A = ω Δt θ A = 40 ad Σχόλιο: Στον παραπάνω χρόνο γωνία 40 ad δεν έχει διαγράψει μόνο το σημείο Α, αλλά όλα τα σημεία το δίσκο, εκτός το κέντρο Κ πο παραμένει σνεχώς ακίνητο. Δηλαδή τα μεγέθη πο αφορούν την κκλική κίνηση (γωνιακή ταχύτητα, γωνία θ, περίοδος Τ και σχνότητα f) είναι κοινά για όλα τα σημεία το δίσκο. Ενώ τα μεγέθη γραμμική ταχύτητα, μήκος τόξο, κεντρομόλος δύναμη F και κεντρομόλος επιτάχνση εξαρτώνται από την απόσταση το κάθε σημείο από το κέντρο (δηλαδή την ακτίνα) και όσο μεγαλύτερη είναι η ακτίνα της κκλικής τροχιάς τόσο μεγαλύτερα είναι και τα παραπάνω μεγέθη. γ. Το μέτρο της κεντρομόλο επιτάχνσης το σημείο Β πολογίζεται από τη σχέση: ( ) () B ( ) ( ) B B B ω K Το σημείο Β βρίσκεται στην διάμετρο πο διέρχεται από τα σημεία Α και Κ και B d A A απέχει από το σημείο Α απόσταση d =,8 >. Ατό σημαίνει ότι: B + A = d B = 0,8 Από τη σχέση () προκύπτει: α κ (Β) = 80 / ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 35
Παράδειγμα 7. Ένα ατοκίνητο κινείται σε οριζόντιο δρόμο με σταθερή ταχύτητα μέτρο α = 54 k/h, με αποτέλεσμα η κάθε ρόδα το, πο έχει ακτίνα = 0,4, να εκτελεί ομαλή περιστροφική κίνηση γύρω από άξονα περιστροφής πο διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος σε ατή. α. Να πολογίσετε το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας της ομαλής κκλικής κίνησης πο εκτελούν τα σημεία της περιφέρειας κάθε ρόδας γύρω από το κέντρο της. β. Να βρείτε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας κάθε ρόδας. γ. Να πολογίσετε τον αριθμό των περιστροφών πο θα έχει εκτελέσει κάθε ρόδα όταν το ατοκίνητο θα έχει διανύσει στον οριζόντιο δρόμο διάστημα = 60. α. Το ατοκίνητο κινείται στον οριζόντιο δρόμο με σταθερή ταχύτητα μέτρο: α = 54 k/h = 5 /. Σε οποιαδήποτε χρονική διάρκεια Δt το μήκος πο διανύει το ατοκίνητο α στον Α α Α οριζόντιο δρόμο ισούται με το μήκος το τόξο περ πο διαγράφει στον ίδιο χρόνο κάθε σημείο της περιφέρειας οποιοδήποτε από τος τέσσερις τροχούς το ατοκίνητο. Άρα: περ = α περ Δt = α Δt περ = α περ = 5 / ad β. Για τα σημεία της περιφέρειας κάθε τροχού ισχύει: ω = 37,5 γ. Το ατοκίνητο έχει κινηθεί στον οριζόντιο δρόμο για χρονική διάρκεια Δt και έχει διανύσει διάστημα. Ισχύει: t Δt = 4 t Στη χρονική ατή διάρκεια κάθε τροχός έχει στραφεί κατά γωνία θ. Είναι: θ = ω Δt θ = 50 ad. Αφού σε κάθε πλήρη περιστροφή της η ρόδα στρέφεται κατά γωνία π ad, ο αριθμός των περιστροφών πο 50 75 έχει εκτελέσει σε χρόνο Δt πολογίζεται από τον τύπο: N Ν = π περ. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 36
Το ίδιο μπορεί να απαντηθεί και ως εξής: Κάθε σημείο της περιφέρειας το τροχού διανύει το ίδιο μήκος τόξο με το μήκος πο διανύει το ατοκίνητο στον οριζόντιο δρόμο για την ίδια χρονική διάρκεια. Άρα: περ = περ = 60 Όμως το μήκος το τόξο για ένα σημείο της περιφέρειας πο αντιστοιχεί σε μία περιστροφή το τροχού ισούται με π. Σνεπώς: 60 75 N. 0, 4 Παράδειγμα 8. Ένα ατοκίνητο εισέρχεται σε μια κκλική στροφή ακτίνας = 80 πο είναι καλμμένη με πάγο. Η μέγιστη επιτρεπόμενη ταχύτητα είναι για να πάρομε την στροφή με ασφάλεια είναι 54 k/h. Ο δρόμος ατός έχει τέτοια κλίση, ώστε ακόμη και να πιάσει πάγο το οδόστρωμα (μ = 0) το ατοκίνητο να μπορεί να περάσει τη στροφή κινούμενο σνεχώς με τη μέγιστη επιτρεπόμενη ταχύτητα. Να πολογίσετε: α. τον χρόνο πο απαιτείται ώστε το ατοκίνητο κινούμενο με την μέγιστη επιτρεπόμενη ταχύτητα να εξέλθει από την στροφή, αν για την έξοδο από την κκλική στροφή θα πρέπει να διαγράψει τόξο γωνίας θ = 0 ο, β. την κλίση της στροφής. Δίνεται η επιτάχνση της βαρύτητας g = 0 /. α. Η μέγιστη ταχύτητα ax με την οποία μπορεί να κινείται το ατοκίνητο καθώς διαγράφει τη στροφή ισούται με: ax = 54 k/h = 5 /. π Η γωνία σε ad είναι: 0 0 ad θ = ad 80 3 Το μήκος το τόξο πο θα διανύσει πριν βγει από την στροφή είναι: τόξο = 0π. ό 80 3 Έχομε: ό ό 0 t t Δt = 8π t 5 ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 37
β. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται οι δνάμεις N και πο ασκούνται στο ατοκίνητο κατά τη διάρκεια της κίνησης το στη στροφή. Αναλύομε τη N σε άξονα xx πο τατίζεται με την ακτίνα (οριζόντιος) και σε άξονα yy πο είναι κάθετος σε ατόν (κατακόρφος). N y φ φ N N x Ο Η γωνία κλίσης φ της στροφής ισούται με τη γωνία πο σχηματίζον οι δνάμεις ατές γωνίες είναι οξείες με πλερές κάθετες. Για τον κατακόρφο άξονα έχομε: g F 0 g N= () σνφ y y N y και N, διότι οι δύο Η δύναμη N x "λειτοργεί" ως κεντρομόλος. Σνεπώς: () g F F x g εφφ = 0,5 g Παράδειγμα 9. Ένας οριζόντιος δίσκος ακτίνας =, περιστρέφεται με σταθερή σχνότητα γύρω από κατακόρφο άξονα πο διέρχεται από το κέντρο το, έτσι ώστε τα σημεία της περιφέρειας το να κινούνται με γραμμική d K ταχύτητα μέτρο = 4,8 /. Ένα μικρό σώμα μάζας = 0 g βρίσκεται πάνω στο δίσκο σε απόσταση d = 0,8 από τον άξονα περιστροφής το και δε μετακινείται εξαιτίας της στατικής τριβής πο δέχεται από το δίσκο. Ο σντελεστής στατικής τριβής μεταξύ το δίσκο και το κέρματος ισούται με μ =,6. α. Να βρείτε τη στατική τριβή πο δέχεται το κέρμα. β. Να πολογίσετε τη μέγιστη σχνότητα περιστροφής το δίσκο ώστε το κέρμα να παραμένει στη θέση το. Δίνεται η επιτάχνση της βαρύτητας g = 0 /. α. Τα σημεία της περιφέρειας το δίσκο εκτελούν ομαλή κκλική κίνηση με γραμμική ταχύτητα μέτρο = 4,8 /. Είναι: ad ω = 4 N T στ K ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 38
Το σώμα δέχεται τις δνάμεις, και T. H T είναι η δύναμη πο δρα ως κεντρομόλος και το εξαναγκάζει να εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση ακτίνας d = 0,8. Έχομε: ( d) d d 3 F F d 00 4 0,8 στ Τ = 0,8N β. Για να παραμένει το σώμα στην θέση το θα πρέπει η στατική τριβή να μην ξεπερνά την μέγιστη τιμή της, άρα: (),ax d Ισχύει ότι Fy 0 g. Σνεπώς: g g,6 0 ad () d g d g ω 4,5 d d 0,8 Άρα: ax 4,5, 5 ax fax fax fax Hz f ax = Hz. π Παράδειγμα 0. Μια μικρή σφαίρα μάζας = 00 g είναι δεμένη στο ένα άκρο αβαρούς και μη έκτατο νήματος μήκος L, το άλλο άκρο το οποίο είναι στερεωμένο στην οροφή. Η σφαίρα εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση ακτίνας = 0,8 σε οριζόντιο επίπεδο, έτσι ώστε το νήμα να διαγράφει κωνική επιφάνεια (το σύστημα ατό νήμα - μάζα ονομάζεται κωνικό εκκρεμές). Η σφαίρα διέρχεται από σημείο Α της τροχιάς της κάθε 0,5. Να πολογίσετε: α. το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας, β. το μέτρο της κεντρομόλο επιτάχνσης της σφαίρας, γ. το μήκος το νήματος και το μέτρο της τάσης το νήματος πο δέχεται η σφαίρα. Δίνεται η επιτάχνση της βαρύτητας g = 0 / και για τις πράξεις π = 0. Α L K α. Η σφαίρα εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση ακτίνας = 0,4. Αφού διέρχεται από ένα σημείο της τροχιάς της κάθε 0,5, η περίοδος της ομαλής κκλικής κίνησης πο εκτελεί ισούται με Τ =. Για το μέτρο της γωνιακής της ταχύτητας έχομε: ad ω = π ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 39
β. Το μέτρο της κεντρομόλο επιτάχνσης της σφαίρας πολογίζεται από τη σχέση: ( ) 4 0,8 α κ = 3 γ. Η σφαίρα δέχεται τις δνάμεις: τάση το νήματος T και βάρος. Αναλύομε την τάση το νήματος σε δύο σνιστώσες, από τις οποίες η μία έχει τη διεύθνση της επιβατικής ακτίνας, ενώ η άλλη την κατακόρφη διεύθνση. Η γωνία φ πο σχηματίζει το νήμα με την T y T K φ κατακόρφη ισούται με τη γωνία πο σχηματίζον οι δνάμεις T και T y. Για να πολογίσομε το μήκος το νήματος αρκεί να πολογίσομε την γωνία φ. Αφού η κίνηση T x γίνεται στο οριζόντιο επίπεδο, η σνισταμένη στον κατακόρφο άξονα ισούται με μηδέν. Έχομε: F y 0 T y 0 T g () Στον άξονα της επιβατικής ακτίνας η σνιστώσα x παίζει το ρόλο της κεντρομόλο δύναμης. Έχομε: Fy F x () Διαιρούμε κατά μέλη την () προς την () και έχομε: () () g g 4 Όμως ισχύει: 5 6 6 5 4 4 5 0,8 5. 4 5 5 0,8 Σύμφωνα με το διπλανό σχήμα έχομε: L L L = L 0,8 5 5 5 L φ Από την σχέση () έχομε: 0,540 0,8 () Τ = 4 5 Ν 0,8 5 ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 40
Παράδειγμα. Στο διπλανό σχήμα ένας κοβάς είναι στερεωμένος σε άκαμπτη ράβδο και μέσα έχομε τοποθετήσει σώμα με ελάχιστα μικρότερες διαστάσεις από τον κοβά. Το σύστημα μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρφο επίπεδο, έτσι ώστε το σώμα να εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση ακτίνας = 3 φτάνοντας σε ελάχιστη περίοδο περιστροφής Τ = π. Αν η μάζα το σώματος είναι = 5 kg, να πολογίσετε για την περίοδο ατή: α. το μέτρο της επιτάχνσης το σώματος, β. τη δύναμη την οποία δέχεται το σώμα από τον κοβά τις χρονικές στιγμές πο διέρχεται από την ανώτερη και την κατώτερη θέση της τροχιάς το. Δίνεται η επιτάχνση της βαρύτητας g = 0 / και για τις πράξεις π = 0. α. Όταν το σύστημα περιστρέφεται με περίοδο Τ το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής το ισούται με: ad ω =. Το μέτρο της κεντρομόλο επιτάχνσης το σώματος το οποίο εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση ακτίνας = πολογίζεται από τον τύπο: α = κ β. Στην ανώτερη θέση της τροχιάς το το σώμα δέχεται το βάρος το και τη δύναμη N από τον πάτο το κοβά. Οι δύο ατές δνάμεις είναι κατακόρφες με φορά προς τα κάτω. Ισχύει για τη θέση ατή: N F F g Ν = 0Ν Στην κατώτερη θέση της τροχιάς το το σώμα δέχεται και πάλι το βάρος το και τη δύναμη N από τον πάτο. Οι δύο ατές δνάμεις είναι κατακόρφες. Η δύναμη N έχει φορά προς τα πάνω, ενώ το βάρος έχει φορά προς τα κάτω. Ισχύει για τη θέση ατή: N F F g Ν = 0Ν ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 4
Σνάντηση δύο κινητών πο εκτελούν ομαλή κκλική κίνηση Παράδειγμα. Δύο σώματα Σ και Σ εκτελούν ομαλή κκλική κίνηση στην ίδια κκλική τροχιά ακτίνας = έχοντας ταχύτητες ίδιας φοράς και μέτρο = 5 / και = 3 / αντίστοιχα. Τη χρονική στιγμή t = 0 τα δύο σώματα διέρχονται από το ίδιο σημείο Α της τροχιάς τος. Να πολογίσετε: α. τη χρονική στιγμή t πο τα δύο σώματα σναντώνται για πρώτη φορά μετά τη χρονική στιγμή t = 0, β. το μήκος το τόξο πο έχει διανύσει κάθε σώμα στη χρονική διάρκεια 0 t. α. Το σώμα Σ κινείται με μεγαλύτερη γραμμική ταχύτητα. Σνεπώς, όταν τα δύο σώματα ξανασναντηθούν, το σώμα Σ θα έχει διαγράψει έναν κύκλο περισσότερο από το σώμα Σ. Αν είναι το μήκος τόξο πο διαγράφει το σώμα Σ μεταξύ δύο K διαδοχικών σναντήσεων και είναι το αντίστοιχο μήκος τόξο πο διαγράφει το σώμα Σ, τότε ισχύει: = + π (π= το μήκος ενός κύκλο) Όμως = Δt και = Δt. Άρα: = + π Δt = Δt +π ( )Δt = π t t 0 t =π Στο ίδιο αποτέλεσμα μπορούμε να καταλήξομε αν δολεύαμε με τις γωνίες πο διαγράφει κάθε σώμα αφού: t t t t t t και για την λύση αρκεί να βρούμε τις γωνιακές ταχύτητες ω και ω από τη σχέση = ω. Επίσης β. Για το μήκος το τόξο πο διαγράφον τα δύο σώματα μεταξύ δύο διαδοχικών σναντήσεων τος έχομε: l = Δt l = 5π και = Δt = 3π ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 4
Παρατήρηση: Σε κάθε διαδοχική σνάντηση το σώμα πο έχει μεγαλύτερη ταχύτητα διαγράφει έναν κύκλο παραπάνω. Σνεπώς, αν σναντηθούν για Ν οστή φορά, θα ισχύει: = N π και φ φ = Ν π ad Παράδειγμα 3. Δύο κινητά Σ και Σ κινούνται στον ίδιο κκλικό δρόμο ακτίνας = 0,5 με γωνιακές ταχύτητες μέτρο ω = 0,6π ad/ και ω αντίστοιχα, τα διανύσματα των οποίων σχηματίζον μεταξύ τος γωνία 80. Τα δύο κινητά σναντώνται τη χρονική στιγμή t = 0 σε σημείο Α της τροχιάς τος και ξανασναντώνται τη χρονική στιγμή t = σε άλλο σημείο Β της τροχιάς τος. Να πολογίσετε: α. το μήκος το τόξο πο διέγραψε το κινητό Σ στη χρονική διάρκεια 0 t β. το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω το κινητού Σ. α. Αφού τα διανύσματα των γωνιακών ταχτήτων των δύο κινητών σχηματίζον γωνία 80, σημαίνει ότι τα δύο ατά διανύσματα έχον αντίθετη φορά. Άρα τα δύο κινητά κινούνται στην ίδια κκλική τροχιά έχοντας αντίθετη φορά. Η επίκεντρη γωνία πο διέγραψε το κινητό Σ στη χρονική διάρκεια 0 t πολογίζεται από τη σχέση: t θ =, π ad t Το μήκος το τόξο και η επίκεντρη γωνία θ πο βαίνει στο τόξο ατό ικανοποιούν τη σχέση: l = θ = 0,6π Επειδή η φορά κίνησης των δύο κινητών είναι αντίθετη, το άθροισμα των μηκών τόξο πο διανύον μεταξύ δύο διαδοχικών σναντήσεων τος ισούται με το μήκος ενός κύκλο. Δηλαδή: + = π 0,6π + = π = 0,4π 0,4 β. Για το κινητό Σ έχομε: = 0,π t K 0, ad Όμως ισχύει: ω = 0,π ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 43
Σνάντηση δύο σωμάτων με το ένα να εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση και το άλλο εθύγραμμη ομαλή. Παράδειγμα 4. Μια σφαίρα μάζας = 0 g κινείται με σταθερή οριζόντια ταχύτητα και τη χρονική στιγμή t = 0 απέχει απόσταση = 3 από ένα δίσκο ακτίνας, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Όταν η σφαίρα απέχει απόσταση από τον δίσκο η ακτίνα πο περνά από το σημείο Α είναι κατακόρφη ενώ όταν η Α d K σφαίρα χτπά τον δίσκο (στιγμή t ) η ίδια ακτίνα έχει γίνει οριζόντια για πρώτη φορά. Το σημείο A απέχει από το κέντρο Κ απόσταση d = 0,4. Ο δίσκος περιστρέφεται με σταθερή σχνότητα γύρω από άξονα πο διέρχεται από το κέντρο το και είναι κάθετος στο επίπεδο το, διαγράφοντας έναν πλήρη κύκλο κάθε 0,. Να πολογίσετε: α. το μέτρο της κεντρομόλο δύναμης πο δέχεται η σφαίρα μετά την κρούση με τον δίσκο, β. την κινητική ενέργεια της σφαίρας πριν την κρούση με τον δίσκο. Δίνεται για τις πράξεις π = 0, η κρούση δεν επηρεάζει την σχνότητα περιστροφής το δίσκο. α. Η σχνότητα περιστροφής το δίσκο είναι ίση με: N f f Hz f = 5Hz. t 0, Η γωνιακή ταχύτητα το δίσκο είναι ω = πf ω = 0π ad/. Η κεντρομόλος δύναμη πάνω στην σφαίρα είναι ίση με: d F F F d F 0 00 0, 4 F κ = 4Ν d d β. Η ακτίνα γίνεται οριζόντια για πρώτη φορά σνεπώς η γωνία πο διαγράφει είναι ad. Ο χρόνος για την παραπάνω περιστροφή το δίσκο πολογίζεται από τη σχέση: 0 t t t = t t 0 0 0. Στον ίδιο χρόνο η σφαίρα έχει διανύσει την 3 απόσταση. Άρα t = 60. Οπότε 0 Κ = 8 J. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 44
Η περίπτωση το ρολογιού Παράδειγμα 5. Ένα ρολόι δείχνει ακριβώς. α. Τι ώρα θα δείχνει το ρολόι όταν ο λεπτοδείκτης και ο ωροδείκτης σχηματίζον γωνία π/4 για πρώτη φορά; 9 3 6 β. Όταν η ώρα είναι και 30' πόση θα είναι η γωνία πο σχηματίζον ο ωροδείκτης με το λεπτοδείκτη; α. Ο λεπτοδείκτης και ο ωροδείκτης διαγράφον επίκεντρες γωνίες φ Λ και φ Ω. Θεωρούμε ως t 0 = 0 την χρονική στιγμή :00 οπότε Δt = t t 0 = t έτσι έχομε: t t ( ) t t () 9 3 6 Η περίοδος το ωροδείκτη σε ώρες είναι Τ Ω = h και το λεπτοδείκτη Τ Λ = h. Αντικαταστούμε στην σχέση () και έχομε: / 4 () t t t h t h 4 ή t = 5 in. Άρα, το ρολόι θα δείχνει και 5'. β. Τώρα ξέρομε τον χρονικό διάστημα πο έχει περάσει ώστε το ρολόι να δείχνει :30 άρα Δt = t 0 = t άρα t = 0,5 h. 9 3 6 π Από την σχέση () έχομε: t 0,5ad Δφ = ad Παράδειγμα 6. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα σύστημα δύο γραναζιών Γ και Γ τα οποία έχον ακτίνες = 0, και = 0,3 αντίστοιχα. Τα δύο γρανάζια Γ Γ περιστρέφονται με σταθερή σχνότητα και χωρίς να "χάνον" στροφές. Το γρανάζι Γ περιστρέφεται ωρολογιακά εκτελώντας 80 περιστροφές το λεπτό. α. Να πολογίσετε το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας των σημείων της περιφέρειας το γραναζιού Γ. β. Να βρείτε το μέτρο και την κατεύθνση της γωνιακής ταχύτητας το γραναζιού Γ. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 45
α. Το γρανάζι Γ εκτελεί Ν = 80 περιστροφές σε χρονική διάρκεια Δt = 60. Σνεπώς η σχνότητα περιστροφής το είναι: f N 80 f f = 3 Hz t 60 Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας το γραναζιού Γ πολογίζεται από τον τύπο: ω = πf ω = 6π ad/ Για το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας των σημείων της περιφέρειας το γραναζιού Γ έχομε: = ω = 0,6π / Επειδή τα δοντάκια το γραναζιού Γ και το γραναζιού Γ σμπλέκονται, κατά τη διάρκεια της περιστροφής τος τα κοινά σημεία της περιφέρειας των δύο τροχών έχον την ίδια κατά μέτρο γραμμική ταχύτητα. Σνεπώς για τα σημεία της περιφέρειας το γραναζιού Γ έχομε: = = 0,6π / β. Για το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας το γραναζιού Γ έχομε: = ω ω = π ad/ Επειδή το γρανάζι Γ περιστρέφεται ωρολογιακά, δηλαδή δεξιόστροφα, το Γ Γ ω U ω γρανάζι Γ περιστρέφεται αριστερόστροφα. Το διάνσμα της γωνιακής ταχύτητας το γραναζιού Γ είναι κάθετο στο επίπεδο πο ορίζει ο τροχός και η φορά το, σύμφωνα με τον κανόνα το δεξιού χεριού, είναι από τον τροχό προς τον αναγνώστη. Παράδειγμα 7. Δύο τροχοί Τ και Τ με ακτίνες = 0,8 και = 0, σνδέονται με ιμάντα όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Κάθε σημείο το Τ Τ ιμάντα κινείται με ταχύτητα μέτρο, με αποτέλεσμα οι δύο τροχοί να περιστρέφονται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, χωρίς ο ιμάντας να γλιστράει σε ατούς. Τα σημεία της περιφέρειας το τροχού Τ έχον κεντρομόλο επιτάχνση μέτρο 0 /. Να πολογίσετε: α. το μέτρο της ταχύτητας των σημείων της περιφέρειας το τροχού Τ, β. το μέτρο της κεντρομόλο επιτάχνσης ενός σημείο της περιφέρειας το τροχού Τ, γ. την περίοδο περιστροφής το τροχού Τ. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 46
α. Επειδή ο ιμάντας δε γλιστράει σε σχέση με τος τροχούς, το μέτρο της ταχύτητας κάθε σημείο το ιμάντα είναι ίσο με το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας κάθε σημείο της περιφέρειας των δύο τροχών. Για σημείο της περιφέρειας το τροχού Τ ισχύει:,, = 4 β. Για σημείο το τροχού Τ έχομε = 6 /. Σνεπώς: 6 α κ, = 80 0,,, ad γ. Για τον τροχό Τ έχομε: ω = 0 π Όμως: T Τ = T 0. Κκλική κίνηση, με το μέτρο της ταχύτητας να μεταβάλλεται. Παράδειγμα 8. Το σώμα μάζας = kg το επόμενο σχήματος είναι δεμένο με αβαρές και μη εκτατό νήμα μήκος l =,6, το άλλο άκρο το οποίο είναι Ο φ ( Κ ακλόνητα στερεωμένο σε σημείο Κ. Εκτρέπομε το σώμα ώστε το νήμα να γίνει A οριζόντιο και στη σνέχεια το αφήνομε ελεύθερο να κινηθεί. Τη χρονική στιγμή t Γ πο το σώμα διέρχεται από σημείο Α της τροχιάς το το νήμα σχηματίζει με την αρχική το θέση γωνία φ = 30. α. να πολογίσετε την επιτάχνση το σώματος κατά μήκος της τροχιάς σε σνάρτηση με την γωνία από την αρχική θέση, μέχρι το νήμα να γίνει κατακόρφο και να γίνει η αντίστοιχη γραφική παράσταση β. Να πολογίσετε το μέτρο της τάσης το νήματος τη χρονική στιγμή t. γ. Να βρείτε το μέτρο της επιτάχνσης το σώματος εξαιτίας της αλλαγής το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας (επιτρόχιος επιτάχνση) τη χρονική στιγμή t. Δίνεται η επιτάχνση της βαρύτητας g = 0 /. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 47
α. Η τροχιά το σώματος είναι κκλική. Οι δνάμεις πο δέχεται το σώμα είναι η τάση το νήματος και το βάρος. Αναλύομε το βάρος στις σνιστώσες και y πο φαίνονται στο σχήμα προκύπτον τα εξής: Η σνισταμένη των δνάμεων και y "λειτοργεί" ως κεντρομόλος και ο ρόλος της είναι να μεταβάλλει τη διεύθνση της ταχύτητας το σώματος (άρα το εξαναγκάζει να εκτελεί κκλική κίνηση). Η σνιστώσα x έχει τη διεύθνση της ταχύτητας το σώματος (εφαπτομενική x Ο y ( A φ Τ φ x ( Κ στην τροχιά). Ατό σημαίνει ότι η δύναμη ατή αλλάζει το μέτρο της ταχύτητας και α (/ ) 0 σγκεκριμένα το αξάνει, αφού επιπλέον έχει φορά ίδια με τη φορά της ταχύτητας. Έτσι λοιπόν μπορούμε σε μία τχαία θέση να πολογίσομε την επιτάχνση από τον O π θ (ad) ο νόμο το Neton. F g α = 0σνφ (S.I.) () x x Η γραφική παράσταση για 0 φ π/ ad φαίνεται στο διπλανό σχήμα. β. Τη χρονική στιγμή t ισχύει: F F T T g 30 () y y Από την σχέση () φαίνεται ότι μας χρειάζεται η ταχύτητα την στιγμή t. Η κατακόρφη μετατόπιση το σώματος μπορεί να βρεθεί από το ημίτονο της γωνίας Ο Z h l l φ ( Κ στο τρίγωνο ΑΖΚ: h h h = 0,8 A Εφαρμόζομε το Θ.Μ.Κ.Ε. από την αρχική θέση Ο ως την θέση Α. W gh gh = 4 Από την () τελικά θα προκύψει: Τ = 30 Ν. γ. Από την σχέση () πο πολογίσαμε στο α ερώτημα έχομε: () 030 α t = 5 3 t ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 48
Παράδειγμα 9. Μικρή σφαίρα μάζας = 0,9 kg εκτοξεύεται από το κατώτερο σημείο μιας λείας κκλικής τροχιάς με ταχύτητα μέτρο 0 = 0 /. Η κκλική τροχιά έχει ακτίνα = 0,9 και διέρχεται από το σημείο της Α όπο η ακτίνα ΚΑ είναι οριζόντια και από το σημείο Β όπο η ακτίνα ΚΒ είναι κατακόρφη με ταχύτητες αντίστοιχα. Να πολογίσετε: και B Κ 0 A α. το μέτρο της δύναμης πο δέχεται η σφαίρα από την κκλική τροχιά όταν διέρχεται από τα σημεία Α, και Β, β. την ελάχιστη τιμή το μέτρο της ταχύτητας 0, ώστε η σφαίρα να μη χάνει την επαφή της με την κκλική τροχιά όταν διέρχεται από το σημείο Β. Δίνεται η επιτάχνση της βαρύτητας g = 0 /. θεωρήστε αμελητέες τις διαστάσεις της σφαίρας. α. Στο σημείο Α η σφαίρα έχει διαγράψει τεταρτοκύκλιο και η ταχύτητα της έχει μέτρο Α πο μπορεί να βρεθεί με εφαρμογή το Θ.Μ.Κ.Ε. από το σημείο Ο ως το Α. W 0 g 0 g Α = 8. Στο σημείο Α μόνο η δύναμη από την σιδηροτροχιά βρίσκεται πάνω στην διεύθνση της ακτίνας και ισχύει: A 0,98 Fx F NA NA N N A = 8N 0,9 B Κ Ν Α Α A Στο ανώτερο σημείο B η μικρή σφαίρα δέχεται τη δύναμη N από τη σιδηροτροχιά και το βάρος της. Οι δύο ατές δνάμεις είναι κατακόρφες και έχον φορά προς τα κάτω. Αφού η σφαίρα εκτελεί κκλική κίνηση, η σνισταμένη των δνάμεων πο δέχεται στη διεύθνση της επιβατικής ακτίνας έχει το ρόλο της κεντρομόλο δύναμης. Σνεπώς για το σημείο B ισχύει: Β Ν Β B Κ A B B Fy F B B g () Εφαρμόζομε το Θ.Μ.Κ.Ε. από το σημείο Ο ως το Β: ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 49
W 0 g 0 4g Β = 8 Οπότε: 0,964 () ( 9) Ν Β 0,9 = 55Ν β. Για το σημείο Β ισχύει: Fy F g g () Παρατηρούμε από τη σχέση () ότι όσο πιο μικρό είναι το μέτρο της ταχύτητας, τόσο πιο μικρό είναι και το μέτρο της δύναμης N πο δέχεται η σφαίρα από τη σιδηροτροχιά. Η πιο μικρή τιμή της ταχύτητας πο μπορεί να έχει η σφαίρα όταν διέρχεται από το σημείο B είναι ατή για την οποία η δύναμη N τείνει να γίνει ίση με μηδέν (μόλις πο να μη χάνεται η επαφή). Για να έχομε σνεχώς επαφή στο σημείο Β θα πρέπει η δύναμη N να έχει μέτρο Ν 0 Από τη σχέση () έχομε: () 0 g 0 g άρα,in g (3) Επομένως για να φτάσει με τέτοια ταχύτητα στο ανώτερο σημείο θα πρέπει να εκτοξετεί με ταχύτητα: (3) W 0 g 4g 0 g 4g 0 0 = 5g 0 = 3 5 ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 50