ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η µαθηµατική και διδακτική διάσταση της γνώσης των µελλοντικών εκπαιδευτικών της πρωτοβάθµιας σχετικά µε την έννοια του κλάσµατος ΣΤΑΜΑΤΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, Α.Μ.: 200720 ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ: ΠΟΤΑΡΗ ΕΣΠΟΙΝΑ Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ε.Κ.Π.Α ΑΘΗΝΑ 2011
Η παρούσα ιπλωµατική Εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού ιπλώµατο Ειδίκευση που απονέµει το ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών «ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών» Εγκρίθηκε την από Εξεταστική Επιτροπή αποτελούµενη από του : Ονοµατεπώνυµο Βαθµίδα Υπογραφή 1) Πόταρη έσποινα (επιβλέπουσα Καθηγήτρια) Αν. Καθηγήτρια 2) Σακονίδη Χαράλαµπο Αν. Καθηγητή 3) Ζαχαριάδη Θεοδόσιο Αν. Καθηγητή
ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστώ: - Τα µέλη της τριµελούς επιτροπής, κ. Πόταρη έσποινα, κ. Σακονίδη Χαράλαµπο και κ. Ζαχαριάδη Θεοδόσιο, για τη βοήθεια και τη στήριξη που µου παρείχαν µέχρι την ολοκλήρωση της διπλωµατικής εργασίας. - Ιδιαίτερα ευχαριστώ την επιβλέπουσα καθηγήτρια κ. Πόταρη έσποινα. Ο µοναδικός συνδυασµός ανθρωπιάς, υψηλού επιπέδου επιστηµονικής κατάρτισης στο χώρο της διδακτικής των µαθηµατικών, αδιαπραγµάτευτου προσανατολισµού στην επίτευξη υψηλών στόχων, αισιοδοξίας απέναντι στις δυσκολίες, προθυµίας για παροχή επιστηµονικής βοήθειας, υποµονής και ανεκτικότητας, που διαθέτει, έθεσαν τις καλύτερες προϋποθέσεις για την επιστηµονική µου κατάρτιση και την καλλιέργεια ερευνητικού πνεύµατος. - Τον Κώστα, το Χρήστο και το Σωκράτη για την απροϋπόθετη βοήθεια που µου παρείχαν και τη µοναδική συνεργασία που αναπτύξαµε κατά τη διάρκεια των σπουδών. Ιδιαίτερα τον Κώστα για την πολύτιµη βοήθεια που µου πρόσφερε στα µαθηµατικά, χωρίς την οποία η φοίτηση θα ήταν πολλαπλασίως δυσκολότερη. - Την Ιωάννα και τον Παύλο, που µε τη ζωντάνια τους, τη νεανική τους µατιά, το ανήσυχο πνεύµα και την απροσποίητη συµπεριφορά, έθεσαν της προϋποθέσεις για µια αλησµόνητη συνεργασία. - Το Χρήστο για το διαρκές ενδιαφέρον του για τη συγγραφή της διπλωµατικής εργασίας, τον προσανατολισµό στο εφικτό όταν οι δυσκολίες δηµιουργούσαν την εντύπωση του ανέφικτου, τις πολύτιµες συµβουλές, τη σταθερότητα και διαθεσιµότητα για βοήθεια. - Όλη την «παρέα του µεταπτυχιακού» που συνέβαλε στην παράλληλη ανάπτυξη της ανθρώπινης και κοινωνικής πλευράς των σπουδών. v
vi
ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 1 ABSTRACT... 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 5 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ... 7 Η ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ... 7 Η συµβολή του Shulman... 7 Η συµβολή της Ball... 8 Η συµβολή του Rowland... 11 ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 14 ιάκριση ρητών και κλασµάτων... 14 Η αναγκαιότητα των κλασµάτων... 14 ΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ... 16 Η ερµηνεία µέρος-όλου... 16 Η ερµηνεία του λόγου... 17 Η ερµηνεία του πηλίκου... 17 Η ερµηνεία του µέτρου... 18 Η ερµηνεία του τελεστή... 19 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΙΑ ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 19 ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ... 20 ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ... 23 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ... 24 Κυκλικοί τοµείς... 24 Ορθογώνια επιφάνεια... 25 Αριθµογραµµή... 26 ιπλή αριθµογραµµή... 27 Μοντέλο συνόλων... 28 ΠΑΡΑΝΟΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΑΙΤΙΕΣ... 29 Ι ΑΚΤΙΚΟΣ ΧΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΗΣ... 30 ΠΑΡΑ ΟΣΙΑΚΟ ΚΑΙ ΚΟΝΣΤΡΟΥΚΤΙΒΙΣΤΙΚΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ... 31 Παραδοσιακό διδακτικό µοντέλο... 31 Κονστρουκτιβιστικό διδακτικό µοντέλο... 31 ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ... 33 ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ... 35 Συµµετέχοντες... 35 Συλλογή δεδοµένων Εργαλείο... 35 Ανάλυση δεδοµένων... 35 εοντολογία... 35 ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ... 36 Κατηγοριοποίηση... 36 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ... 45 Αναγνώριση της παρανόησης... 45 Αιτίες παρανόησης... 46 Αντιµετώπιση παρανόησης... 48 Ερµηνεία κλάσµατος... 52 Πρόσθεση δοθέντων κλασµάτων... 56 Μοντέλο αναπαράστασης κλασµάτων... 57 Αναγνώριση περιορισµών στα µοντέλα... 61 Παιδαγωγικές διδακτικές αρχές... 62 Παρανοήσεις... 67 vii
Μοντέλο για πρόσθεση κλασµάτων Μοντελοποίηση πρόσθεσης... 69 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ... 89 Αναγνώριση παρανόησης... 89 Αιτίες παρανόησης... 89 Αντιµετώπιση παρανόησης... 91 Πρόσθεση δοθέντων κλασµάτων... 93 Ερµηνεία κλάσµατος... 94 Μοντέλο αναπαράστασης κλασµάτων... 95 Αναγνώριση περιορισµών στα µοντέλα... 98 Παιδαγωγικές διδακτικές αρχές... 98 Παρανοήσεις... 100 Μοντέλο για πρόσθεση κλασµάτων Μοντελοποίηση πρόσθεσης... 102 Οµαδοποιήσεις κατηγοριών... 105 Ερµηνευτική οµαδοποίηση... 107 Γνώση των µελλοντικών εκπαιδευτικών και πανεπιστηµιακή εκπαίδευση... 107 Σύνδεση µε τα πλαίσια της Ball και του Rowland... 110 ΕΠΙΛΟΓΟΣ... 115 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 117 viii
ΠΕΡΙΛΗΨΗ Με αυτή την εργασία διερευνούµε τη µαθηµατική και διδακτική διάσταση της γνώσης 200 µελλοντικών εκπαιδευτικών ενός παιδαγωγικού τµήµατος δηµοτικής εκπαίδευσης για την έννοια του κλάσµατος και την πρόσθεση κλασµάτων. Τα γραπτά κείµενα που συλλέξαµε αναλύθηκαν µε ποιοτική ανάλυση περιεχοµένου µε µονάδα αναφοράς το νόηµα και οι κατηγορίες προέκυψαν µε επαγωγική κατηγοριοποίηση. Οι κατηγορίες περιγράφουν την ικανότητα των συµµετεχόντων να αναγνωρίζουν παρανοήσεις των µαθητών σχετικές µε την πρόσθεση κλασµάτων, τις αιτίες των παρανοήσεων, καθώς και τους τρόπους αντιµετώπισης των παρανοήσεων που χρησιµοποίησαν οι συµµετέχοντες. Επίσης, αποτυπώνονται η δεξιότητα αλγοριθµικής πρόσθεσης ετερώνυµων κλασµάτων, οι διαφορετικές ερµηνείες που χρησιµοποίησαν οι µελλοντικοί εκπαιδευτικοί για το κλάσµα, τα µοντέλα που επέλεξαν για να αναπαραστήσουν κλάσµατα, η αναπαράσταση της πρόσθεσης κλασµάτων µε τη χρήση ενός µοντέλου, οι παιδαγωγικές και διδακτικές επιλογές τους, και τέλος οι παρανοήσεις που φάνηκε ότι διαθέτουν. Οι οµαδοποιηµένες κατηγορίες περιγράφουν τη διαδικαστική µαθηµατική γνώση, την εννοιολογική-αναπαραστασιακή µαθηµατική γνώση, καθώς και τις µεθόδους διδασκαλίας για την πρόσθεση κλασµάτων. Η διαδικαστική µαθηµατική γνώση των συµµετεχόντων χαρακτηρίστηκε µέτρια, η εννοιολογική-αναπαραστασιακή µαθηµατική γνώση βρέθηκε σε υψηλό επίπεδο, ενώ οι µέθοδοι διδασκαλίας που επέλεξαν για τη διδασκαλία της πρόσθεσης κλασµάτων ήταν σε περίπου ίσο ποσοστό παραδοσιακές-δασκαλοκεντρικές και οµαδοσυνεργατικές. Η πανεπιστηµιακή εκπαίδευση φάνηκε ότι είχε µέτρια επίδραση στην ανάπτυξη της διαδικαστικής µαθηµατικής γνώσης, πολύ σηµαντική επίδραση στην ανάπτυξη της εννοιολογικής-αναπαραστασιακής γνώσης και µέτρια επίδραση στην αλλαγή προτύπων διδασκαλίας. Μια αδρή σύγκριση µε τις εργασίες της Ball και του Rowland έδειξε ότι οι κατηγορίες που προέκυψαν είναι περισσότερο συµβατές µε το πλαίσιο της Ball, το οποίο αρκεί για να εντάξει και να περιγράψει τις κατηγορίες που προέκυψαν από την ανάλυση των δεδοµένων, ενώ το θεωρητικό πλαίσιο του Rowland αναδείχθηκε ευρύτερο από την κατηγοριοποίηση που πραγµατοποιήσαµε, αφού δεν περιορίζεται στην προετοιµασία µιας διδασκαλίας αλλά συνδέει την προετοιµασία µε την ίδια τη διδασκαλία. Λέξεις κλειδιά: κλάσµατα, πρόσθεση κλασµάτων, µελλοντικοί εκπαιδευτικοί, µαθηµατική γνώση, διδακτικές επιλογές. 1
2
ABSTRACT With this study we try to investigate the mathematical and instructional components of knowledge about fractions and fraction addition that 200 Greek pre-service teachers possess. We analyzed participants extended written answers on a test question using qualitative content analysis and the categories emerged through inductive category development. On one hand, categories describe participants capacity to recognize students misconceptions about fraction addition, the causes of those misconceptions and their instructional choices to confront with those misconceptions. On the other hand, the categories portray participants capacity to add algorithmically fractions with unlike denominators, the different interpretations of fractions they used, what models and representations they chose to represent fractions, their ability to use a model to represent addition of fractions with unlike denominators, their pedagogical and instructional choices, and their own misconceptions about fraction and fraction addition. Grouped categories describe participants procedural mathematical knowledge, conceptionalrepresentational mathematical knowledge, and instructional methods for teaching fraction addition. Participants procedural mathematical knowledge was characterized as average, conceptual-representational knowledge was found at high levels, and their instructional methods for teaching fraction addition were at about the same percentage traditional/teacher-centered and group-work instruction. University courses attendance was inferred to exert average influence on procedural mathematical knowledge, high influence on conceptual-representational mathematical knowledge and average influence on instructional methods modification. Rough comparison with Ball s and Rowland s theoretical frameworks about Mathematical Knowledge for Teaching and Knowledge Quartet respectively, revealed that Ball s theoretical framework suffices to include and to describe the categories emerged through content analysis, whereas Rowland s theoretical framework proved wider than our categorization, in virtue of connecting preparation for an instruction with the instruction performed. Key words: fractions, fraction addition, pre-service teachers, mathematical knowledge, instructional choices. 3
4
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η γνώση των εκπαιδευτικών για τα µαθηµατικά και τη διδασκαλία των µαθηµατικών έχει αποτελέσει αντικείµενο έρευνας για πάρα πολλά χρόνια. Αντικείµενα µελέτης έχουν αποτελέσει τόσο η µαθηµατική γνώση που διαθέτουν η εκπαιδευτικοί όσο και η παιδαγωγική τους γνώση. H καθοριστική συµβολή του Shulman έστρεψε το ενδιαφέρον της έρευνας στη συνδυασµένη µελέτη του γνωστικού αντικειµένου και της παιδαγωγικής γνώσης. Η Ball, επεκτείνοντας το έργο του Shulman στα µαθηµατικά, προσπάθησε να προσδιορίσει το είδος της µαθηµατικής γνώσης που είναι απαραίτητη για τη διδασκαλία, ενώ ο Rowland προσπάθησε να περιγράψει τη µαθηµατική και την παιδαγωγική γνώση των εκπαιδευτικών κατά την προετοιµασία και τη διεξαγωγή µιας διδασκαλίας. Η παρούσα εργασία κινείται µέσα στο γενικότερο πλαίσιο της συνδυασµένης διερεύνησης της µαθηµατικής και παιδαγωγικής γνώσης των εκπαιδευτικών. Στόχος µας είναι να διερευνήσουµε το είδος της µαθηµατικής και της διδακτικής γνώσης που διέθεταν µελλοντικοί εκπαιδευτικοί της πρωτοβάθµιας εκπαίδευσης, οι οποίοι φοιτούσαν σε ένα Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης της χώρας, για το κλάσµα και την πρόσθεση κλασµάτων. Οι φοιτητές των Παιδαγωγικών Τµηµάτων ηµοτικής Εκπαίδευσης αποτελούν καθοριστικό τµήµα του κύκλου που συνδέει την παρεχόµενη εγκύκλια εκπαίδευση, την πανεπιστηµιακή εκπαίδευση και την εκπαίδευση που αναµένεται να παρέχεται στους µελλοντικούς µαθητές της πρωτοβάθµιας εκπαίδευσης. Για αυτό το λόγο θελήσαµε να διερευνήσουµε και την επίδραση που φαίνεται να έχει η παρεχόµενη πανεπιστηµιακή εκπαίδευση στην µαθηµατική γνώση των µελλοντικών εκπαιδευτικών και στην αλλαγή των προτύπων διδασκαλίας. Η µελέτη την µαθηµατικής και διδακτικής γνώσης των συµµετεχόντων εκπαιδευτικών πραγµατοποιήθηκε µέσα από τις γραπτές απαντήσεις τους σε ένα ερώτηµα σχετικό µε τα κλάσµατα και την πρόσθεση κλασµάτων. Προκειµένου να προσδιορίσουµε κατηγορίες που περιγράφουν συνιστώσες της µαθηµατικής και διδακτικής γνώσης των συµµετεχόντων για τα κλάσµατα και την πρόσθεση κλασµάτων χρησιµοποιήσαµε τη µέθοδο της ανάλυσης περιεχοµένου. Οι κατηγορίες που προέκυψαν θεωρούµε ότι περιγράφουν την ικανότητα των συµµετεχόντων να αναγνωρίζουν παρανοήσεις των µαθητών σχετικές µε την πρόσθεση κλασµάτων, τις αιτίες αυτών των παρανοήσεων, καθώς και τους τρόπους που επέλεξαν να χειριστούν αυτές τις παρανοήσεις. Επίσης, αποτυπώνονται η δεξιότητα αλγοριθµικής πρόσθεσης ετερώνυµων κλασµάτων, οι διαφορετικές ερµηνείες που χρησιµοποίησαν οι µελλοντικοί εκπαιδευτικοί για το κλάσµα, τα µοντέλα που επέλεξαν για να αναπαραστήσουν κλάσµατα, η αναπαράσταση της πρόσθεσης κλασµάτων µε τη χρήση ενός µοντέλου, οι παιδαγωγικές και διδακτικές επιλογές τους, και τέλος οι παρανοήσεις που φάνηκε ότι διαθέτουν. Η συνολική εξέταση των διαφόρων κατηγοριών οδήγησε σε οµαδοποιήσεις κατηγοριών, οι οποίες θεωρούµε ότι περιγράφουν τη διαδικαστική µαθηµατική γνώση των συµµετεχόντων, την εννοιολογικήαναπαραστασιακή µαθηµατική γνώση, καθώς και τις διδακτικές µεθόδους που επέλεξαν για τη διδασκαλία της πρόσθεσης κλασµάτων. Πριν από την αναλυτική παρουσίαση των αποτελεσµάτων και των συµπερασµάτων της έρευνας, παρουσιάζουµε τα αποτελέσµατα της βιβλιογραφικής ανασκόπησης. Η βιβλιογραφική ανασκόπηση περιλαµβάνει τον προσδιορισµό της γνώσης των εκπαιδευτικών από άλλα θεωρητικά πλαίσια την οριοθέτηση της έννοιας του κλάσµατος και τις ερµηνείες για το κλάσµα την παρουσίαση µοντέλων για την αναπαράσταση του κλάσµατος και της πρόσθεσης κλασµάτων, καθώς και περιορισµούς που υπάρχουν στη χρήση τους την παρουσίαση µιας 5
παρανόησης που διαθέτουν οι µαθητές για την πρόσθεση κλασµάτων και τις αιτίες που φαίνεται πως ευθύνονται για αυτό το είδος παρανόησης και τέλος τις βασικές αρχές διδακτικών µοντέλων. 6
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ Η ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ Ο έλεγχος της γνώσης των εκπαιδευτικών αποτελεί αντικείµενο συστηµατικής διερεύνησης τις τελευταίες δύο δεκαετίες, παρόλα αυτά όµως οι ιστορικές ρίζες εκτείνονται ως τις αρχές του 19 ου αιώνα (Hill, Sleep, Lewis & Ball, 2007). Για παράδειγµα, στα τέλη του 19 ου αιώνα στην Αµερική διεξήγαγαν εξετάσεις για την πιστοποίηση της διδακτικής ικανότητας των εκπαιδευτικών (Shulman, 1986). Οι εξετάσεις εκείνες είχαν ως πρωτεύοντα στόχο τον έλεγχο των γνώσεων στα επιµέρους γνωστικά αντικείµενα, ενώ ο έλεγχος των παιδαγωγικών γνώσεων βρίσκονταν σε δεύτερη µοίρα και µε πολύ µικρό ποσοστό (5%) στο σύνολο των ερωτήσεων. Τη δεκαετία του 1980 σε πρώτη µοίρα πέρασε η παιδαγωγική γνώση και οι ικανότητες διαχείρισης της σχολικής τάξης, ενώ απουσίαζε πλήρως ο έλεγχος των γνώσεων στο γνωστικό αντικείµενο. Αυτή την απουσία εστίασης στο γνωστικό αντικείµενο, ο Shulman τη χαρακτήρισε ως το πρόβληµα του χαµένου παραδείγµατος στην έρευνα ( missing paradigm problem) (σελ. 6). Η συµβολή του Shulman Ο Shulman (1986) προσπάθησε να µεταθέσει την εστίαση της έρευνας σε µια συνδυασµένη µελέτη του γνωστικού αντικειµένου και της διδασκαλίας, µε το επιχείρηµα ότι «η αµιγής γνώση του γνωστικού αντικειµένου πιθανώς να είναι παιδαγωγικά το ίδιο άχρηστη µε τις διδακτικές δεξιότητες χωρίς γνώση του γνωστικού αντικειµένου» (σελ. 8). Η πρωτοποριακή συµβολή του Shulman στην έρευνα για τη γνώση των εκπαιδευτικών συνίσταται στη διαίρεση της γνώσης που έχουν οι εκπαιδευτικοί για ένα γνωστικό αντικείµενο σε τρεις κατηγορίες: (α) τη γνώση του γνωστικού αντικειµένου (subject matter content knowledge), (β) την παιδαγωγική γνώση του γνωστικού αντικειµένου (pedagogical content knowledge), και (γ) τη γνώση του προγράµµατος σπουδών (curricular knowledge) (σελ. 9). Ο Shulman ορίζει τη γνώση του γνωστικού αντικειµένου ως την ποσότητα της γνώσης που κατέχει ο εκπαιδευτικός, τον τρόπο µε τον οποίο οργανώνεται στο νου του, και την κατανόηση που έχει για τη δοµή του γνωστικού αντικειµένου. Η κατανόηση της δοµής αναφέρεται τόσο στην κατανόηση βασικών εννοιών και αρχών του συγκεκριµένου επιστηµονικού κλάδου, όσο και στην κατανόηση του τρόπου µε τον οποίο ελέγχεται η αλήθεια ή η εγκυρότητα µιας πρότασης µέσα σε αυτόν τον επιστηµονικό κλάδο. Εποµένως, οι εκπαιδευτικοί χρειάζεται να είναι σε θέση να διατυπώνουν προτάσεις που είναι αληθείς στο πλαίσιο µιας επιστήµης, να εξηγούν για ποιο λόγο είναι αληθείς, και ποια είναι η σχέση µεταξύ των διαφόρων προτάσεων. Επιπλέον, χρειάζεται να είναι ικανοί να διακρίνουν ποιες προτάσεις κατέχουν κεντρικό ρόλο σε µια επιστήµη και ποιες περιθωριακό. Με βάση τα παραπάνω, η γνώση ενός εκπαιδευτικού σε ένα γνωστικό αντικείµενο δεν µπορεί να είναι λιγότερη από τη γνώση ενός αποφοίτου στον συγκεκριµένο επιστηµονικό κλάδο. Η παιδαγωγική γνώση του γνωστικού αντικειµένου ορίζεται ως η γνώση του γνωστικού αντικειµένου που είναι απαραίτητη για τη διδασκαλία. Αυτό το είδος εξειδικευµένης γνώσης αποτελείται από δύο συνιστώσες: (α) Τους τρόπους αναπαράστασης και τυποποίησης του γνωστικού αντικειµένου προκειµένου να είναι κατανοητό σε άλλους. Πιο αναλυτικά, περιλαµβάνει τις πιο χρήσιµες µορφές αναπαραστάσεων, τις πιο ισχυρές αναλογίες, επεξηγήσεις και επιδείξεις, καθώς και τα πιο ισχυρά διαγράµµατα και παραδείγµατα, (β) Κάποια κατανόηση 7
για τα αίτια που καθιστούν τη µάθηση ενός συγκεκριµένου θέµατος εύκολη ή δύσκολη. Εδώ συµπεριλαµβάνονται η βασιζόµενη σε ερευνητικά δεδοµένα γνώση των εννοιών, των διαισθητικών ιδεών και των παρανοήσεων που έχουν οι µαθητές διαφορετικών ηλικιών για διάφορα διδασκόµενα θέµατα, και η αντίστοιχη γνώση των στρατηγικών µε τις οποίες είναι δυνατή η αναδιοργάνωση των παρανοήσεων των µαθητών. Η τρίτη κατηγορία γνώσης που έχουν οι εκπαιδευτικοί για το γνωστικό αντικείµενο είναι η γνώση του προγράµµατος σπουδών αποτελείται από τη γνώση των προγραµµάτων σπουδών των διαφόρων γνωστικών αντικειµένων που διδάσκονται σε µία τάξη, τη γνώση για την ποικιλία των διαθέσιµων διδακτικών υλικών για ένα γνωστικό αντικείµενο, και τη γνώση των ενδείξεων και αντενδείξεων χρήσης των διδακτικών υλικών σε διάφορες περιστάσεις. Η γνώση του προγράµµατος σπουδών διαιρείται σε δύο υποκατηγορίες: (α) την παράπλευρη γνώση του προγράµµατος σπουδών (lateral curriculum knowledge, σελ. 10), η οποία συνίσταται στην ικανότητα του εκπαιδευτικού να συνδέει το περιεχόµενο ενός γνωστικού αντικειµένου µε το περιεχόµενο άλλων γνωστικών αντικειµένων που διδάσκονται στην ίδια τάξη, και (β) την κάθετη γνώση του προγράµµατος σπουδών (vertical curriculum knowledge, σελ. 10) η οποία συνίσταται στη γνώση που έχει ο εκπαιδευτικός για την ύλη του γνωστικού αντικειµένου που έχει διδαχθεί ή θα διδαχθεί σε άλλες τάξεις. Κρίνοντας από τη συγκεκριµένη εργασία του Shulman (1986), θα µπορούσαµε να επισηµάνουµε κάποια αντιφατικά σχετικά µε τη γνώση που διαθέτουν οι εκπαιδευτικοί για το γνωστικό αντικείµενο. Ο Shulman ορίζει τις τρεις κατηγορίες γνώσης των εκπαιδευτικών µε βάση τον τρόπο που οργανώνεται η γνώση για το γνωστικό αντικείµενο στο νου των εκπαιδευτικών. Ο ορισµός όµως των τριών κατηγοριών γνώσης δεν φαίνεται να είναι περιγραφικός, όπως θα περίµενε κάποιος, αλλά µάλλον κανονιστικός. ηλαδή, κατά τον ορισµό των κατηγοριών δεν περιγράφεται ο τρόπος οργάνωσης της γνώσης στο νου των εκπαιδευτικών, αλλά η γνώση που θα έπρεπε ή που αναµένεται να έχουν οι εκπαιδευτικοί για ένα γνωστικό αντικείµενο και τη διδασκαλία του. Η συµβολή της Ball Οι πρωτοποριακές ιδέες του Shulman είχαν µεγάλη επίδραση στην έρευνα για την γνώση των εκπαιδευτικών, και έγιναν προσπάθειες αξιοποίησής τους σε πολλούς επιστηµονικούς κλάδους (π.χ. φυσικές επιστήµες, µαθηµατικά, φυσική αγωγή, επιστήµες υγείας, µουσική, γλώσσα, κοινωνική αγωγή, ειδική αγωγή) και µε διάφορους τρόπους (Ball, Thames & Phelps, 2008). Οι Ball et al. (2008) επεσήµαναν ότι οι κατηγορίες του Shulman έχουν µεγάλο εύρος, ασαφή όρια, επιδέχονται πολλές ερµηνείες, και έχουν εφαρµογή σε πολλούς επιστηµονικούς κλάδους. Οι ερευνητικές εργασίες της οµάδας της Ball αποτελούν µια σηµαντική προσπάθεια να τεκµηριωθεί η ύπαρξη των κατηγοριών του Shulman και να προσαρµοστούν ειδικά για τα µαθηµατικά, να διερευνηθεί η ύπαρξη νέων κατηγοριών εντός των κατηγοριών του Shulman, να οριστούν οι κατηγορίες µε µεγαλύτερη σαφήνεια και ακρίβεια, να διερευνηθεί η φύση της µαθηµατικής γνώσης που είναι απαραίτητη για τη διδασκαλία, να δηµιουργηθούν έγκυρα και αξιόπιστα µέτρα µε τα οποία θα είναι δυνατή η µέτρηση της µαθηµατικής γνώσης που είναι απαραίτητη για τη διδασκαλία, να προσδιοριστεί η σχέση της µαθηµατικής γνώσης για τη διδασκαλία µε την επίδοση των µαθητών (Ball et al., 2008), και να διερευνηθεί η σχέση που υφίσταται µεταξύ της µαθηµατικής ποιότητας της διδασκαλίας και της µαθηµατικής γνώσης για τη διδασκαλία (Hill et al., 2008 Learning Mathematics for Teaching Project, 2011). 8
Η Ball και οι συνεργάτες της προσπάθησαν να προσδιορίσουν τη µαθηµατική γνώση που είναι απαραίτητη για τη διδασκαλία (Mathematical Knowledge for Teaching, ΜΚΤ), δηλαδή τη µαθηµατική γνώση που απαιτείται για τη διεξαγωγή της διδασκαλίας των µαθηµατικών (Ball et al., 2008). Η ΜΚΤ διαιρείται σε δύο µεγάλες κατηγορίες, την γνώση του γνωστικού αντικειµένου και την παιδαγωγική γνώση του γνωστικού αντικειµένου, οι οποίες αντιστοιχούν στις δύο πρώτες κατηγορίες του Shulman. Καθεµιά από τις παραπάνω δύο κατηγορίες υποδιαιρείται σε τρεις υποκατηγορίες, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Η γνώση του γνωστικού αντικειµένου υποδιαιρείται στην (α) κοινή γνώση του γνωστικού αντικειµένου (common content knowledge, CCK), (β) εξειδικευµένη γνώση του γνωστικού αντικειµένου (specialized content knowledge, SCK) (Ball et al., 2008), και (γ) γνώση του µαθηµατικού ορίζοντα (knowledge at the mathematical horizon) (Ball, Thames, Bass et al., 2009a). Η παιδαγωγική γνώση του γνωστικού αντικειµένου υποδιαιρείται στη (α) γνώση του γνωστικού αντικειµένου και των µαθητών (Knowledge of content and students, KCS), (β) γνώση του γνωστικού αντικειµένου και της διδασκαλίας (knowledge of content and teaching, KCT) (Ball et al., 2008), και (γ) γνώση του προγράµµατος σπουδών (knowledge of curriculum) (Ball et al., 2009a). Μαθηµατική Γνώση για τη ιδασκαλία. Αναπαραγωγή από Ball et al. (2009a). Η κοινή γνώση του γνωστικού αντικειµένου ορίζεται ως «η µαθηµατική γνώση και δεξιότητα που χρησιµοποιείται σε περιβάλλοντα διαφορετικά από τη διδασκαλία», (Ball et al., 2008, σελ. 399), αποτελεί δηλαδή µαθηµατική γνώση η οποία δεν εµφανίζεται αποκλειστικά στη διδασκαλία, αλλά µπορεί να τη διαθέτει και κάποιος που δεν είναι εκπαιδευτικός. Για τους εκπαιδευτικούς, η κοινή γνώση του γνωστικού αντικειµένου σηµαίνει ότι πρέπει να γνωρίζουν το υλικό που διδάσκουν (π.χ. να µπορούν να εκτελούν έναν αλγόριθµο ή να λύνουν ένα µαθηµατικό πρόβληµα), να αναγνωρίζουν τις λανθασµένες απαντήσεις των µαθητών ή τα λάθη στα διδακτικά εγχειρίδια, να χρησιµοποιούν σωστά τη µαθηµατική ορολογία και τον µαθηµατικό συµβολισµό. Η εξειδικευµένη γνώση του γνωστικού αντικειµένου ορίζεται ως «η µαθηµατική γνώση και δεξιότητα που απαιτείται αποκλειστικά για τη διδασκαλία» (Ball et al., 2008, σελ. 400). Μερικά παραδείγµατα της εξειδικευµένης αυτής γνώσης αποτελούν η επιλογή αναπαραστάσεων για 9
κάποιο συγκεκριµένο µαθηµατικό στόχο, η σύνδεση των αναπαραστάσεων µε µαθηµατικές έννοιες και µε άλλες αναπαραστάσεις, η επιλογή κατάλληλων παραδειγµάτων, η παροχή ή η αξιολόγηση µαθηµατικών ερµηνειών, η γρήγορη αξιολόγηση της ορθότητας των συλλογισµών που εκφράζουν οι µαθητές, η ανταπόκριση στις ερωτήσεις των µαθητών. Οι ερευνητές επισηµαίνουν ότι τα όρια µεταξύ αυτού του είδους γνώσης και της γνώσης του γνωστικού αντικειµένου και των µαθητών είναι πολλές φορές δυσδιάκριτα. Η γνώση του µαθηµατικού ορίζοντα είναι «η κατανόηση του ευρύτερου συνόλου των µαθηµατικών ιδεών µε το οποίο συνδέεται µια συγκεκριµένη ιδέα» (Ball et al., 2009a, σελ. 98). Αποτελεί ένα είδος κατανόησης που παρέχει στον εκπαιδευτικό την αντίληψη για το πού βρίσκεται τώρα και προς ποιο σηµείο κατευθύνονται οι µαθητές, για τις συνέπειες που έχει ο τρόπος αναπαράστασης των µαθηµατικών ιδεών, και για το γεγονός ότι οι αποφάσεις που λαµβάνει σήµερα µπορεί να έχουν θετική ή αρνητική επίδραση στη µελλοντική ανάπτυξη των µαθητών. Η γνώση του γνωστικού αντικειµένου και των µαθητών είναι «η γνώση που συνδυάζει τη γνώση για τους µαθητές και τη γνώση για τα µαθηµατικά 1» (Ball et al., 2008, σελ. 401). Αυτό σηµαίνει ότι ο εκπαιδευτικός χρειάζεται να είναι εξοικειωµένος µε τη σκέψη των µαθητών, µε τις αναµενόµενες δυσκολίες των µαθητών, µε τις ιδέες και τις παρανοήσεις τους για συγκεκριµένα µαθηµατικά θέµατα. Η γνώση του γνωστικού αντικειµένου και της διδασκαλίας «συνδυάζει τη γνώση σχετικά µε τη διδασκαλία και τη γνώση για τα µαθηµατικά» (Ball et al., 2008, σελ. 401). Εδώ εντάσσονται οι επιλογές και η ακολουθία των θεµάτων διδασκαλίας, η επιλογή και η ακολουθία των παραδειγµάτων κατά τη διδασκαλία, η γνώση των διαφορετικών αναπαραστάσεων για µια µαθηµατική έννοια, τα πλεονεκτήµατα και τα µειονεκτήµατά τους, η εξοικείωση µε παιδαγωγικές αρχές για τη διδασκαλία συγκεκριµένων θεµάτων. Η γνώση του προγράµµατος σπουδών είναι στην ουσία η γνώση του προγράµµατος σπουδών στην κατηγοριοποίηση του Shulman. Η θέση αυτής της κατηγορίας δεν έχει οριστικοποιηθεί µέσα στο θεωρητικό πλαίσιο των ερευνητών, και υπάρχει προβληµατισµός αν θα πρέπει να αποτελεί ανεξάρτητη υποκατηγορία, αν θα πρέπει να αποτελεί µέρος της γνώσης του γνωστικού αντικειµένου και της διδασκαλίας, ή αν θα πρέπει να διατρέχει όλες τις κατηγορίες (Ball et al., 2008). Με το παρακάτω σχήµα προσπαθούµε να συσχετίσουµε τις κατηγορίες του Shulman µε τις κατηγορίες της Ball. 1 Οι ερευνητές διακρίνουν τη γνώση των µαθηµατικών από τη γνώση για τα µαθηµατικά. Η δεύτερη αναφέρεται στη φύση της γνώσης των µαθηµατικών, δηλαδή στην προέλευσή της, στον τρόπο µε τον οποίο προκύπτουν οι αλλαγές στα µαθηµατικά, και στον τρόπο µε τον οποίο αποδεικνύεται-κατοχυρώνεται η αλήθεια στα µαθηµατικά. 10
Σχηµατική αναπαράσταση της σχέσης των κατηγοριών του Shulman µε τις κατηγορίες της Ball. Η συµβολή του Rowland Οι Rowland, Huckstep and Twaites (2005) στην εργασία τους παρουσιάζουν αναλυτικά το κουαρτέτο της γνώσης (knowledge quartet), το οποίο αποτελεί ένα θεωρητικό πλαίσιο που έχει στόχο να περιγράψει τη γνώση που διαθέτουν και τη διδασκαλία που προετοιµάζουν και διεξάγουν µελλοντικοί εκπαιδευτικοί της πρωτοβάθµιας εκπαίδευσης κατά την περίοδο της πρακτικής άσκησης. Αξίζει να επισηµάνουµε ότι οι ερευνητές, σύµφωνα µε τις υποδείξεις του Shulman (1986), δεν προτείνουν ένα κανονιστικό θεωρητικό πλαίσιο που επιβάλλει το είδος και το ποσό της γνώσης που πρέπει να διαθέτει ένας εκπαιδευτικός. Αντίθετα, αποτελεί ένα περιγραφικό πλαίσιο που παρέχει τα εργαλεία για αναστοχασµό πάνω στη διδασκαλία και στη γνώση των εκπαιδευτικών, µε στόχο τη βελτίωσή τους. Το κουαρτέτο της γνώσης αποτελείται από τέσσερις κατηγορίες: θεµελιακή γνώση (foundation), µετασχηµατισµός (transformation), σύνδεση (connection), και απρόοπτη εξέλιξη (contingency) (Rowland et al., 2005, σελ. 259). Κάθε κατηγορία αποτελείται από µικρό πλήθος υποκατηγοριών (συνολικά 18), οι οποίες αναφέρονται λακωνικά, ώστε η εστίαση να βρίσκεται στις τέσσερις κατηγορίες και µε αυτόν τον τρόπο να καθίσταται το θεωρητικό πλαίσιο εύχρηστο και κατάλληλο για συζήτηση πάνω στη γνώση των εκπαιδευτικών. Η θεµελιακή γνώση αναφέρεται στο θεωρητικό υπόβαθρο γνώσεων (µαθηµατικό και παιδαγωγικό) και στις πεποιθήσεις που διαθέτουν οι µελλοντικοί εκπαιδευτικοί της 11
πρωτοβάθµιας εκπαίδευσης. Πηγές προέλευσης της γνώσης 2 και των πεποιθήσεων αποτελούν τόσο η προσωπική εκπαίδευση όσο και οι γνώσεις που απέκτησαν στην ακαδηµία, κατά την προετοιµασία τους για τον ρόλο τους µέσα στην τάξη (Twaites, Huckstep & Rowland, 2005). Θεωρείται δεδοµένο ότι το υπόβαθρο γνώσεων που διαθέτουν οι εκπαιδευτικοί επηρεάζει µε έναν λογικό και αιτιολογηµένο τρόπο τις παιδαγωγικές τους αποφάσεις και τις στρατηγικές που ακολουθούν (Rowland et al., 2005). Η θεµελιακή γνώση αποτελείται από δύο συνιστώσες: τη µαθηµατική γνώση και τις πεποιθήσεις. Ως µαθηµατική γνώση θεωρείται η καθαυτή γνώση των µαθηµατικών, η γνώση σηµαντικών ρευµάτων και ιδεών που αναφέρονται στη βιβλιογραφία για τη µάθηση και τη διδασκαλία των µαθηµατικών, η ικανότητα µαθηµατικής αιτιολόγησης, και η προσεκτική και συνειδητή χρήση της µαθηµατικής ορολογίας (λιγότερο σηµαντικό). Στις πεποιθήσεις περιλαµβάνονται πεποιθήσεις για τη φύση των ίδιων των µαθηµατικών και οι φιλοσοφικές θέσεις για τη φύση των µαθηµατικών, πεποιθήσεις για τους σκοπούς της µαθηµατικής εκπαίδευσης και τους λόγους για τους οποίους συγκεκριµένα µαθηµατικά θέµατα διδάσκονται στο σχολείο, και πεποιθήσεις για τις συνθήκες υπό τις οποίες οι µαθητές µαθαίνουν καλύτερα τα µαθηµατικά. Η θεµελιακή γνώση πρόκειται για γνώση που κατέχουν οι εκπαιδευτικοί ανεξάρτητα από το αν την χρησιµοποιούν σκόπιµα στην πράξη, και αυτό το χαρακτηριστικό τη διαφοροποιεί από τις υπόλοιπες τρεις κατηγορίες, οι οποίες περιλαµβάνουν γνώση που χρησιµοποιείται στην πράξη για τον σχεδιασµό και τη διεξαγωγή της διδασκαλίας (Rowland et al., 2005) και απορρέει από τη θεµελιακή γνώση των εκπαιδευτικών (Twaites, et al., 2005). Με την κατηγορία του µετασχηµατισµού περιγράφεται η γνώση των εκπαιδευτικών όπως εκδηλώνεται στο σχεδιασµό και στη διεξαγωγή της διδασκαλίας, και συνεπώς ο µετασχηµατισµός πρόκειται για κατηγορία που περιγράφει τις διδακτικές επιλογές και ενέργειες (συµπεριφορά, που προκύπτει από περίσκεψη και κρίση) του εκπαιδευτικού, οι οποίες έχουν στόχο να µετασχηµατίσουν την προσωπική του γνώση ώστε να διευκολύνει τη µάθηση των µαθητών. Στην κατηγορία αυτή περιλαµβάνονται οι αναπαραστάσεις, η χρήση αναλογιών, οι επεξηγήσεις, και η επιλογή και χρήση παραδειγµάτων, που χρησιµοποιεί ο εκπαιδευτικός προκειµένου να παρουσιάσει µια µαθηµατική έννοια, να αντιµετωπίσει παρανοήσεις, να δικαιολογήσει ή να απορρίψει µια µαθηµατική εικασία. Με την κατηγορία της σύνδεσης περιγράφονται οι επιλογές που κάνει και οι αποφάσεις που λαµβάνει ο εκπαιδευτικός για τη διδασκαλία συγκεκριµένων µαθηµατικών εννοιών. Αφορά τη συνεκτικότητα που εµφανίζεται στο σχεδιασµό ή στην ίδια τη διδασκαλία ενός µαθήµατος ή µιας σειράς µαθηµάτων. Η συνεκτικότητα αναφέρεται στην ακεραιότητα της µαθηµατικής γνώσης του εκπαιδευτικού, στις συνδέσεις µεταξύ διαφορετικών νοηµάτων που έχει µια µαθηµατική έννοια, στις συνδέσεις µεταξύ διαφορετικών αναπαραστάσεων µιας έννοιας, στις συνδέσεις µεταξύ διαφορετικών τρόπων εκτέλεσης αλγορίθµων, στη διαχείριση του διαλόγου στην τάξη, την αλληλουχία των θεµάτων διδασκαλίας σε ένα µάθηµα ή σε µια σειρά µαθηµάτων, την ιεραρχική κατάταξη των δραστηριοτήτων και των ασκήσεων. Τα παραπάνω αντικατοπτρίζουν προσεκτική σκέψη και επιλογές που απορρέουν από τη γνώση δοµικών 2 Στις εργασίες Rowland, Huckstep & Thwaites (2003) και Rowland & Turner (2009) ως πηγή προέλευσης της θεμελιώδους γνώσης θεωρείται μόνο η γνώση που αποκτήθηκε στην παιδαγωγική ακαδημία. Στο Twaites, Huckstep & Rowland (2005) διαφαίνεται ότι η θεμελιώδης γνώση προέρχεται από την προσωπική εκπαίδευση και την ακαδημία. Χρησιμοποιούμε τη σαφώς διατυπωμένη άποψη για τη διπλή προέλευση της γνώσης, η οποία αναφέρεται στο Twaites, Huckstep & Rowland (2005), θεωρώντας ότι δεν είναι εύκολη η διάκριση μεταξύ των δύο πηγών γνώσης. 12
συνδέσεων µέσα στα ίδια τα µαθηµατικά, και από τη συνειδητοποίηση των σχετικών γνωστικών απαιτήσεων που έχουν διαφορετικά αντικείµενα διδασκαλίας και δραστηριότητες. Η απρόοπτη εξέλιξη έχει σχέση µόνο µε τη διδασκαλία στην τάξη και αναφέρεται σε περιστατικά που είναι σχεδόν αδύνατο να προβλέψει ο εκπαιδευτικός κατά το σχεδιασµό της διδασκαλίας. Περιλαµβάνει την ετοιµότητα του εκπαιδευτικού να ανταποκρίνεται στις ιδέες των µαθητών, και την ετοιµότητα να παρεκκλίνει από το σχέδιο διδασκαλίας, όταν αυτό κρίνεται απαραίτητο. Αποκαλύπτεται µε αυτόν τον τρόπο η ικανότητα του εκπαιδευτικού να λαµβάνει αποφάσεις άµεσα και να ανταποκρίνεται κατάλληλα στις παρεµβάσεις των µαθητών κατά τη διάρκεια του µαθήµατος. 13
ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ιάκριση ρητών και κλασµάτων Σύµφωνα µε τη Lamon (2007) οι λέξεις κλάσµα και ρητός συχνά χρησιµοποιούνται χωρίς διάκριση, όµως οι όροι κλάσµα και ρητός αριθµός δεν είναι ταυτόσηµοι. Ένας συνηθισµένος ορισµός για τους ρητούς είναι ότι πρόκειται για αριθµούς της µορφής :, έ, 0}. Tα κλάσµατα αποτελούν ένα συµβολικό τρόπο γραφής αριθµών µε { τη µορφή {, > 0}, αποτελούν δηλαδή θετικούς ρητούς αριθµούς. Αυτή η διάκριση ρητών και κλασµάτων είναι τεχνική και αναγκαία, αφού στο σχολείο έχει επικρατήσει να διδάσκονται τα κλάσµατα πριν από τους ακεραίους. Με αυτή την αλληλουχία στη διδασκαλία οι αριθµοί α και β κατ ανάγκη περιορίζονται στους φυσικούς αριθµούς, κι έτσι τα κλάσµατα αποτελούν µόνο ένα υποσύνολο των ρητών. Μια επιπλέον διάκριση µεταξύ ρητών και κλασµάτων είναι ότι κάθε κλάσµα δεν αντιστοιχεί σε διαφορετικό ρητό. Με αυτό εννοούµε ότι τα ισοδύναµα κλάσµατα αποτελούν διαφορετικά κλάσµατα που µπορεί να επιδέχονται διαφορετική ερµηνεία, αλλά στους ρητούς όλα τα ισοδύναµα κλάσµατα αποτελούν µια κλάση ισοδυναµίας που αντιπροσωπεύεται από έναν µόνο ρητό. Τέλος, χρειάζεται να τονίσουµε τη διάκριση µεταξύ της κλασµατικής µορφής για τη γραφή αριθµών από τα κλάσµατα. Η κλασµατική µορφή γραφής αριθµών είναι ένα είδος συµβολισµού µε το οποίο µπορούµε να συµβολίσουµε όχι µόνο ρητούς ( = ) αλλά και πραγµατικούς αριθµούς (π.χ., ). Χρειάζεται να επισηµάνουµε ότι παλαιότερα η διδασκαλία των κλασµάτων βασιζόταν αποκλειστικά στις συγκρίσεις µέρος-όλου και για αυτό ο όρος κλάσµα ταυτίστηκε µε αυτή την ερµηνεία (Lamon, 2007). Αντίθετα, τις τελευταίες δεκαετίες στα σχολικά εγχειρίδια του δηµοτικού σχολείου αναπτύσσονται και άλλες ερµηνείες του κλάσµατος πέρα από την ερµηνεία µέρος-όλου. Επιπλέον, οι εκπαιδευτικοί σήµερα είναι περισσότερο ενηµερωµένοι σχετικά µε τις διαφορετικές ερµηνείες των ρητών αριθµών (τελεστής, µέτρο, λόγος, πηλίκο) (Lamon, 2007). Στο εξής µε τους όρους κλάσµα και ρητός θα αναφερόµαστε µόνο σε θετικούς ρητούς αριθµούς, δεδοµένου ότι τα µαθηµατικά στο δηµοτικό σχολείο περιορίζονται µόνο σε θετικούς αριθµούς. Επίσης, θεωρούµε ότι η έννοια του κλάσµατος δεν περιορίζεται στην ερµηνεία των ρητών ως µέρος-όλου (Lamon, 2007 Fandiño Pinilla, 2007), αλλά επεκτείνεται ώστε να περιλάβει και τις υπόλοιπες ερµηνείες των ρητών αριθµών (µέτρο, πηλίκο, τελεστής, λόγος) (Usiskin, 2007a). 14 Η αναγκαιότητα των κλασµάτων Ένας τυπικός µαθηµατικός ορισµός των ρητών αριθµών [π.χ. ως άπειρο διατεταγµένο σώµα πηλίκου (Kieren, 1976)] θα ήταν ιδιαίτερα απαιτητικός για την γνωστική ικανότητα και την µαθηµατική ωριµότητα ενός µαθητή της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης, πόσο µάλλον ενός µαθητή του δηµοτικού σχολείου (Fandiño Pinilla, 2007). Καθίσταται εποµένως σαφές ότι οι ρητοί αριθµοί δεν είναι δυνατόν να διδαχθούν στην τυπική µαθηµατική τους µορφή, και για αυτό το λόγο είναι απαραίτητος κάποιος διδακτικός µετασχηµατισµός, που χρησιµοποιεί ως όχηµα τα κλάσµατα (Fandiño Pinilla, 2007). Παρόλο που ο διδακτικός µετασχηµατισµός δηµιουργεί µια φαινοµενικά απλοποιηµένη γνώση, δηµιουργεί προβλήµατα που δεν υπάρχουν στο τυπικό σύστηµα. Για παράδειγµα, τυπικά η πρόσθεση δύο ρητών (α,β) και (γ,δ) ορίζεται ως: (α,β)+(γ,δ)
= (α δ+β γ,β δ), που παρακάµπτει τόσο την ανάγκη εύρεσης ισοδύναµων κλασµάτων όσο και την παρανόηση + =, που έχουν οι µαθητές για την πρόσθεση κλασµάτων (Kieren, 1976). Επίσης, στους ρητούς δεν έχει νόηµα η διάκριση µεταξύ γνήσιων και καταχρηστικών κλασµάτων (Fandiño Pinilla, 2007). Κατά καιρούς έχει τεθεί υπό αµφισβήτηση η ανάγκη διδασκαλίας των κλασµάτων στο σχολείο (Pitkenthly & Hunting, 1996 Fandiño Pinilla, 2007 Usiskin, 2007a, 2007b). Ο Usiskin (2007a, 2007b) υποστηρίζει ότι τα κλάσµατα όχι µόνο θα συνεχίσουν να υφίστανται στη διδακτέα ύλη του σχολείου, αλλά και ότι είναι πιθανό να δοθεί µεγαλύτερο βάρος και σηµασία στη διδασκαλία τους. Παραθέτει αρκετά επιχειρήµατα που συνηγορούν σε αυτή την άποψη, µερικά από τα οποία είναι τα εξής: α) Σε µερικές περιπτώσεις είναι πιο εύκολο να γίνουν υπολογισµοί µε κλάσµατα παρά µε δεκαδικούς αριθµούς. Για παράδειγµα, είναι πιο εύκολος και κατανοητός ο πολλαπλασιασµός = 1 µε κλάσµατα, παρά µε δεκαδικούς αριθµούς (4,5 0, 2 = 1). Επίσης, σε µερικές περιπτώσεις κατά την επίλυση πρωτοβάθµιων εξισώσεων είναι προτιµότερο να δοθεί η λύση σε κλασµατική µορφή παρά µε δεκαδικό αριθµό, όπως για παράδειγµα στην εξίσωση 7 = 1, η λύση = είναι µάλλον προτιµότερη από τη λύση = 0, 142857. β) Η έννοια της ισοδιαµέρισης µιας ποσότητας είναι πιο κατανοητή όταν γράφεται µε κλασµατική µορφή παρά µε τη µορφή δεκαδικού αριθµού. Όταν θέλουµε να µοιράσουµε εξίσου 2 πίτες σε 3 άτοµα, ο δεκαδικός αριθµός 0, 6 αποκρύπτει τη σηµασία που έχει το κλάσµα (το ίδιο υποστηρίζει και ο Kieren (1980)). γ) Οι λόγοι και οι αναλογίες εκφράζονται καλύτερα µε κλάσµατα παρά µε δεκαδικούς αριθµούς, και είναι απαραίτητα για τη µελέτη της οµοιότητας στη γεωµετρία. δ) Αν συνδυάσουµε ένα από τα επιχειρήµατα του Usiskin µε τη γνώση του προγράµµατος σπουδών του Shulman και της Ball, θα µπορούσαµε να πούµε ότι πολλοί ξεχνούν ότι στο πρόγραµµα σπουδών της υποχρεωτικής εκπαίδευσης διδάσκονται και άλλα γνωστικά αντικείµενα εκτός των µαθηµατικών. Αυτή η διατύπωση, αν και επιφανειακά φαίνεται να στρέφεται εναντίον των µαθηµατικών, στην ουσία ενισχύει την αναγκαιότητα διδασκαλίας των κλασµάτων αφού ο χειρισµός κλασµάτων, κλασµατικών παραστάσεων, λόγων και αναλογιών είναι απαραίτητος τόσο για τη φυσική (Arons, 1990/1992) όσο και για τη χηµεία. Για παράδειγµα, πάρα πολλοί τύποι στη φυσική έχουν κλασµατική µορφή, π.χ. =, =, =, ενώ οι αναλογίες είναι απαραίτητο εργαλείο για την επίλυση ασκήσεων στη χηµεία. ε) Οι πιθανότητες συνήθως εκφράζονται σε κλασµατική µορφή και σε πολλές περιπτώσεις είναι πιο κατανοητές σε αυτή τη µορφή (υποστηρίζεται και από τον Kieren (1980)). Για παράδειγµα, γίνεται πιο εύκολα κατανοητή η πιθανότητα ή που έχει κάποιος να επιλέξει ρήγα από µια τράπουλα, παρά ο δεκαδικός αριθµός 0,. 076923 εδοµένου ότι οι πιθανότητες αποκτούν ολοένα και πιο σταθερή θέση στο πρόγραµµα σπουδών της υποχρεωτικής εκπαίδευσης, η γνώση των κλασµάτων είναι µάλλον απαραίτητη. 15
ΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ Ο Κieren (1976) παρουσίασε µια λογική ανάλυση των ρητών αριθµών και υποστήριξε ότι οι ρητοί επιδέχονται τουλάχιστον εφτά ερµηνείες, οι οποίες είναι απαραίτητες για την κατανόηση τους. Αργότερα, περιόρισε αυτές τις εφτά ερµηνείες σε πέντε (Kieren, 1980): Μέροςόλου, Πηλίκο, Μέτρο, Λόγος, Τελεστής 3. Αυτές οι διαφορετικές ερµηνείες δεν είναι µαθηµατικά ανεξάρτητες. Με εξαίρεση κάποιες περιπτώσεις λόγων, οι διαφορετικές αυτές ερµηνείες είναι ισόµορφες. Παρόλα αυτά, κάθε ερµηνεία αποτελεί µια διαφορετική άποψη για τους ρητούς, που όλες µαζί συνθέτουν την έννοια του ρητού αριθµού. Κάθε ερµηνεία σχετίζεται µε διαφορετικούς τρόπους σκέψης και µε διαφορετικές γνωστικές δοµές και ως εκ τούτου δεν µπορεί να υποστηριχθεί ότι αν αναπτυχθεί µια από αυτές τις ερµηνείες, αναπτύσσονται παράλληλα και αυτόµατα οι υπόλοιπες. Η παραπάνω διαπίστωση έχει άµεσες διδακτικές προεκτάσεις και υποδεικνύει ότι σε ένα πρόγραµµα σπουδών για τα µαθηµατικά χρειάζεται να αναπτύσσονται περισσότερες από µία ή δύο ερµηνείες (Kieren, 1976 Kieren, 1980). Αν η διδασκαλία βασίζεται σε µία µοναδική ερµηνεία του κλάσµατος και παρουσιάζονται επιλεκτικά µερικές µόνο από τις αναπαραστάσεις της, οι µαθητές είναι δυνατόν να µην κατορθώσουν να κατασκευάσουν επαρκή θεµέλια για την κατανόηση του συνόλου των ρητών αριθµών (Lamon, 2001). Η ερµηνεία µέρος-όλου Η ερµηνεία των ρητών ως µέρος-όλου ορίζεται ως µια κατάσταση στην οποία µια συνεχής ποσότητα ή ένα σύνολο διακριτών αντικειµένων διαµερίζεται σε ίσα µέρη. Συνεπώς, το κλάσµα αναπαριστά µια σύγκριση µεταξύ ενός αριθµού µερών µιας µονάδας η οποία έχει διαµεριστεί, και του συνολικού αριθµού µερών στα οποία η µονάδα έχει διαµεριστεί. Με βάση αυτή την ερµηνεία, ο αριθµητής του κλάσµατος πρέπει να είναι µικρότερος ή ίσος µε τον παρονοµαστή (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007). Για αυτή την ερµηνεία των ρητών αριθµών η έννοια της µονάδας αναφοράς είναι πολύ σηµαντική (Κολέζα, 2000). Στην ερµηνεία του ρητού ως µέρος-όλου εµπεριέχεται η έννοια της συµπερίληψης κλάσης (π.χ. 3 κόκκινοι βόλοι από τους 7 βόλους), και για αυτό το λόγο η ικανότητα χειρισµού καταστάσεων συµπερίληψης κλάσης είναι σηµαντική για την κατανόηση των κλασµάτων (Kieren, 1980). Αυτή η ερµηνεία, όταν βασίζεται τόσο σε συνεχείς όσο και σε διακριτές ποσότητες, αποτελεί τη βάση για την ανάπτυξη της έννοιας του ρητού αριθµού. Μαζί µε την έννοια της ισοδιαµέρισης µιας ποσότητας είναι βασικές για τη µάθηση των υπόλοιπων ερµηνειών, ενώ µαζί µε την ερµηνεία του ρητού ως µέτρο συµβάλλουν στην κατανόηση της πρόσθεσης κλασµάτων (Behr et al. 1983). Για την αναπαράσταση της σχέσης µέρους-όλου χρησιµοποιούνται γεωµετρικές επιφάνειες, σύνολα αντικειµένων ή η αριθµογραµµή (Behr et al. 1983). 3 Έχουν προταθεί διάφορες ερμηνείες για τους ρητούς, αλλά έχει καθιερωθεί η ανάλυση του Kieren (1980), η οποία θεωρείται ότι είναι επαρκής και αποσαφηνίζει την έννοια του ρητού αριθμού (Pitkethly & Hunting, 1996). 16
0 1 4 1 2 3 4 1 5 4 3 2 7 4 2 Για την ανάπτυξη των αρχικών κλασµατικών εννοιών οι συνεχείς ποσότητες θεωρούνται πιο κατάλληλες από τα σύνολα διακριτών αντικειµένων (Pitkethly & Hunting, 1996), αλλά η ερµηνεία γεωµετρικών περιοχών για την αναπαράσταση της σχέσης µέρους-όλου προϋποθέτει κάποια κατανόηση της έννοιας του εµβαδού (Behr et al. 1983). Η αριθµογραµµή θεωρείται το πιο απαιτητικό µοντέλο για την αναπαράσταση των κλασµάτων, αφού για την τοποθέτηση ενός αριθµού στην αριθµογραµµή απαιτείται η αντίληψη της απόστασης του αριθµού από το µηδέν (Van de Walle, 2001/2005), ενώ εµφανίζονται επιπρόσθετες δυσκολίες όταν η αριθµογραµµή έχει µήκος µεγαλύτερο από τη µονάδα ή η διαµέριση είναι διαφορετική από αυτή που υποδηλώνει ο παρονοµαστής του κλάσµατος (Behr et al. 1983). Η ερµηνεία του λόγου Ο λόγος αποτελεί µάλλον δείκτη σύγκρισης παρά αριθµό (Behr et al., 1983), και περιγράφει τη σχέση µεταξύ δύο µεγεθών, τα οποία µπορεί να είναι οµοειδή (π.χ. 2 κοµµάτια από τα 5 κοµµάτια) ή ετερογενή (π.χ. 3 χιλιόµετρα ανά 1 ώρα) (Lamon, 2007). Οι λόγοι εµπεριέχουν την έννοια της σταθερότητας και της συµµεταβολής. Αυτό σηµαίνει ότι όταν µεταβάλλεται το ένα µέγεθος, µεταβάλλεται και το δεύτερο µε ένα συγκεκριµένο τρόπο, ενώ η σχέση τους παραµένει σταθερή (Lamon, 2007). Όταν δύο λόγοι είναι ίσοι λέµε ότι βρίσκονται σε αναλογία (Behr et al., 1983). Η ερµηνεία των ρητών ως λόγων φαίνεται ότι µπορεί να ενισχύσει την κατανόηση της έννοιας της ισοδυναµίας (Behr et al., 1983) και κατ επέκταση στην εύρεση ισοδύναµων κλασµάτων (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007), που εµπλέκονται στις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης κλασµάτων. Η ερµηνεία του πηλίκου Για την ερµηνεία των ρητών ως πηλίκο, κάθε ρητός αριθµός είναι δυνατόν να ερµηνευθεί ως το αποτέλεσµα της διαίρεσης µεταξύ δύο ακεραίων αριθµών,, 0 (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007). Η έννοια του πηλίκου βασίζεται στην έννοια της ισοδιαµέρισης. Οι καταστάσεις ισοδιαµέρισης µιας απλής ή σύνθετης µονάδας αποτελούν το συγκεκριµένο πλαίσιο µέσα στο οποίο αποκτά νόηµα ο ρητός ως πηλίκο (Kieren, 1976). Για παράδειγµα, ο ρητός περιγράφει το 17
ποσό της πίτσας που αντιστοιχεί σε καθένα από τα 4 άτοµα που µοιράζονται 3 πίτσες. Σύµφωνα µε τη Lamon (2006), η ισοδιαµέριση είναι µια διαδικασία µέσα από την οποία προκύπτουν τα κλάσµατα. Η ισοδιαµέριση είναι η διαδικασία διαίρεσης ενός ή περισσότερων αντικειµένων σε έναν αριθµό ξεχωριστών µεριδίων που δεν επικαλύπτονται, έχουν το ίδιο µέγεθος (ανεξάρτητα από το σχήµα τους) και εξαντλούν το όλο. Αν η µονάδα είναι σύνθετη (αποτελείται από περισσότερα από ένα αντικείµενα), τα αντικείµενα θα πρέπει να έχουν το ίδιο µέγεθος. Η ερµηνεία των ρητών ως πηλίκο οδηγεί στα καταχρηστικά κλάσµατα αφού τα ίσα µερίδια µπορεί να είναι µικρότερα, ίσα ή µεγαλύτερα από τη µονάδα και συνεπώς ο αριθµητής µπορεί να είναι µικρότερος, ίσος ή µεγαλύτερος από τον παρονοµαστή (Charalambous & Pitta- Pantazi, 2007). Αυτή η ερµηνεία σχετίζεται µε τις αλγεβρικές ιδιότητες των ρητών, αφού τα πηλίκα αποτελούν λύση της εξίσωσης =, 0. Σε ανώτερο επίπεδο αφαίρεσης, οι ρητοί αποτελούν σώµα πηλίκου, όπου η ισοδυναµία και οι πράξεις µεταξύ τους ορίζονται και δεν προκύπτουν από απλή διαίσθηση (Kieren, 1976). Η ερµηνεία του µέτρου Η ορολογία για αυτή την ερµηνεία οφείλεται στον ορισµό των ρητών ως µέτρο (Behr & Post, 1992), αφού οι ρητοί χρησιµοποιούνται για να αποδοθεί ένα αριθµητικό µέτρο σε διαστήµατα, επιφάνειες ή τρισδιάστατα αντικείµενα (Kieren, 1980 Lamon, 2006). Συνήθως, οι ρητοί αναπαρίστανται ως σηµεία 4 στην αριθµογραµµή και χαρακτηρίζουν την απόσταση των σηµείων από το µηδέν, µε βάση κάποια µονάδα µέτρησης. Με βάση αυτή την ερµηνεία, το κλάσµα σηµαίνει ότι η µονάδα έχει διαιρεθεί σε β ίσα µέρη µήκους και ότι το σηµείο, που αντιστοιχεί στο ρητό πάνω στην αριθµογραµµή, απέχει από το µηδέν α διαστήµατα µήκους (Lamon, 2006). Οι Behr & Post (1992) διευκρινίζουν ότι όταν αντιστοιχίζουµε τους ρητούς ως σηµεία στην αριθµογραµµή, αναδεικνύεται η έννοια της απόστασής τους από το µηδέν και αποκρύπτεται η έννοια της απόστασης µεταξύ δύο σηµείων στην αριθµογραµµή. Αυτή η διάκριση είναι χρήσιµη στην πρόσθεση κλασµάτων, αφού η αριθµογραµµή χρησιµοποιείται για την αναπαράσταση της πρόσθεσης κλασµάτων. Σε αυτή την ερµηνεία τα κλάσµατα θεωρούνται αριθµοί, αλλά για τους µαθητές η µετάβαση από τους φυσικούς αριθµούς στην αντίληψη του κλάσµατος ως αριθµού δεν είναι απλή διαδικασία (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007). Αρχικά, οι µαθητές δυσκολεύονται να δουν το κλάσµα ως έναν αριθµό και συνήθως το αντιµετωπίζουν ως δύο ξεχωριστούς αριθµούς. Για παράδειγµα, όταν ρωτήθηκαν µαθητές πόσοι αριθµοί βρίσκονται στη λίστα 26, 1/3, 1/5, 132, αρκετοί µαθητές απάντησαν ότι ήταν έξι και όχι τέσσερις αριθµοί (Cramer & Whitney, 2010). Θεωρούµε ότι οι µαθητές κατανοούν την ερµηνεία του κλάσµατος ως µέτρο όταν είναι σε θέση να πραγµατοποιήσουν οποιαδήποτε ισοδιαµέριση, να βρουν οποιοδήποτε αριθµό κλασµάτων µεταξύ δύο δοθέντων κλασµάτων, να συγκρίνουν οποιαδήποτε κλάσµατα (Lamon, 2006), να διατάσσουν κλάσµατα και να υπολογίζουν ισοδύναµα κλάσµατα (Charalambous & Pitta- Pandazi, 2007). Η ερµηνεία των κλασµάτων ως µέτρο συνδέεται µε τη χρήση της αριθµογραµµής και βοηθά τους µαθητές στην εκτίµηση του µεγέθους των κλασµάτων. Παρόλα αυτά η 4 Η Lamon (2006) χρησιμοποιεί τον όρο «συγκεκριμένα σημεία» (σελ. 170), αφού υπάρχουν σημεία στην αριθμογραμμή που αντιστοιχούν σε άρρητους. 18
αριθµογραµµή ως µοντέλο αναπαράστασης των κλασµάτων δυσκολεύει τους µαθητές, ιδίως όταν το µήκος της αριθµογραµµής είναι µεγαλύτερο από 1 ή/και η αριθµογραµµή έχει διαµεριστεί σε διαφορετικό πλήθος ίσων τµηµάτων από το µέτρο του παρονοµαστή του κλάσµατος (Behr et al., 1983 Behr & Post, 1992 Charalambous & Pitta-Pandazi, 2007). Η ερµηνεία του τελεστή Η ερµηνεία του ρητού ως τελεστή περιγράφει έναν µηχανισµό πολλαπλασιαστικής αντιστοίχισης µεταξύ δύο συνόλων ή δύο επιφανειών (Kieren, 1980). Για παράδειγµα, το κλάσµα α/β αντιµετωπίζεται ως συνάρτηση που µετασχηµατίζει γεωµετρικά σχήµατα σε όµοια γεωµετρικά σχήµατα µε λόγο οµοιότητας α/β, η µετασχηµατίζει σύνολα σε νέα σύνολα µε πλήθος στοιχείων α/β φορές το πλήθος των στοιχείων των αρχικών συνόλων (Behr et al., 1983). Επίσης, µπορούµε να δούµε τον τελεστή ως σύνθεση δύο πολλαπλασιαστικών συναρτήσεων ή ως δύο συναρτήσεις που εφαρµόζονται διαδοχικά (Charalambous & Pitta-Pandazi, 2007). Τέλος, η κατανόηση των κλασµάτων ως τελεστών βοηθά στην κατανόηση του πολλαπλασιασµού των κλασµάτων. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΙΑ ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Πρωταρχική έννοια για τα κλάσµατα είναι η αντίληψη της µονάδας αναφοράς, η οποία είναι σηµαντική για την κατανόηση όλων των ερµηνειών για το κλάσµα (Pitkethly & Hunting, 1996). Άλλες βασικές έννοιες είναι η ισοδιαµέριση της µονάδας αναφοράς, η διάταξη και η ισοδυναµία των κλασµάτων. Σύµφωνα µε τη Lamon (2006) στους φυσικούς αριθµούς οι µαθητές µετρούν ακέραιες µονάδες. Για την αντίληψη της µονάδας του κλάσµατος απαιτείται ένα γνωστικό άλµα, αφού η µονάδα αναφοράς του κλάσµατος µπορεί να αποτελείται από ένα, από περισσότερα του ενός ή από µέρος ενός αντικειµένου. Επίσης, ενώ στους φυσικούς αριθµούς υπάρχει 1-1 αντιστοίχιση µε το πλήθος των αντικειµένων, στα κλάσµατα µια απεικονιζόµενη ποσότητα µπορεί να αντιστοιχεί σε διαφορετικό κλάσµα ανάλογα µε τη µονάδα αναφοράς. Για παράδειγµα, το αντιστοιχεί στο ¼ αν η µονάδα αναφοράς είναι, στο 1/8 αν η µονάδα είναι, ή στο ½ αν η µονάδα είναι. Τέλος, ενώ στους φυσικούς κάθε αριθµός αντιστοιχεί σε συγκεκριµένο πλήθος αντικειµένων, στα κλάσµατα µια ποσότητα µπορεί να περιγράφεται µε περισσότερα του ενός κλάσµατα. Η ισοδιαµέριση αποτελεί θεµελιώδη έννοια για την κατανόηση των κλασµάτων (Behr & Post, 1992). Με τον όρο ισοδιαµέριση εννοούµε τη διαίρεση ενός όλου σε συγκεκριµένο αριθµό µερών, τα οποία είναι ίσα, δεν επικαλύπτονται και εξαντλούν το όλο (Lamon, 2006). Από πλευράς δυσκολίας η ισοδιαµέριση συνεχών µονάδων είναι πιο εύκολη από την ισοδιαµέριση διακριτών συνόλων (Behr & Post, 1992). Πιο συγκεκριµένα, όταν χωρίζουµε µια συνεχή µονάδα σε ίσα µέρη, κάθε µέρος αποτελεί ένα ξεχωριστό συνεχές τµήµα. Αντίθετα, όταν χωρίζουµε ένα σύνολο αντικειµένων σε ίσα µέρη, το ένα µέρος µπορεί να αποτελείται από περισσότερα του 19
ενός αντικείµενα. Για παράδειγµα, το ¼ ενός συνόλου 12 αντικειµένων αποτελείται από 3 αντικείµενα. Η δυσκολία έγκειται στο ότι χρειάζεται να εκλάβουµε 3 αντικείµενα ως ένα µέρος. Σχετική µε την έννοια της ισοδιαµέρισης είναι και η έννοια της ισοδυναµίας (Lamon, 2006). ιαφορετικές ισοδιαµερίσεις της ίδιας µονάδας αναδεικνύουν ότι η ίδια ποσότητα µπορεί να περιγραφεί µε δύο ή περισσότερα κλάσµατα και µε αυτόν τον τρόπο µπορεί να γίνει αντιληπτή η έννοια της ισοδυναµίας κλασµάτων. Η έννοια της ισοδυναµίας χρειάζεται να γίνει αντιληπτή από τους µαθητές πριν προχωρήσουν στην εκµάθηση αλγορίθµων για την εύρεση οµώνυµων κλασµάτων (Behr & Post, 1992). Ο αλγόριθµος εύρεσης ισοδύναµων κλασµάτων χρειάζεται να αποκτήσει νόηµα για τους µαθητές και αυτό µπορεί να επιτευχθεί µέσα από την εµπειρία µε φυσικά αντικείµενα ή διαγράµµατα. Η χρήση αντικειµένων και διαγραµµάτων µπορεί να τους οδηγήσει στη διατύπωση ότι ο πολλαπλασιασµός του αριθµητή και του παρονοµαστή ενός κλάσµατος µε τον ίδιο φυσικό αριθµό δηµιουργεί ισοδύναµα κλάσµατα. Ένας άλλος τρόπος για την ανάπτυξη της έννοιας της ισοδυναµίας είναι η διαπίστωση µοτίβων σε σειρές ισοδύναµων κλασµάτων, όπως = = = = (Petit, Laird & Marsden, 2010). Πριν οι µαθητές προχωρήσουν στις τυπικές πράξεις µε τα κλάσµατα, χρειάζεται να αναπτύξουν την έννοια της διάταξης των κλασµάτων (Lamon, 2006). Υπάρχουν διάφορες στρατηγικές διάταξης κλασµάτων που σχετίζονται µε τους αριθµητές, τους παρονοµαστές, τη σύγκριση µε σηµεία αναφοράς ή το σχετικό µέγεθος των κλασµατικών µονάδων. Η πιο εύκολη περίπτωση από πλευράς διάταξης είναι µεταξύ οµώνυµων κλασµάτων. Στην περίπτωση αυτή οι κλασµατικές µονάδες είναι ίσες και η σύγκριση γίνεται όπως στους φυσικούς αριθµούς: µεγαλύτερο είναι το κλάσµα µε τις περισσότερες κλασµατικές µονάδες. Για τη σύγκριση µεταξύ κλασµάτων που έχουν ίσους αριθµητές, εστιάζουµε στους παρονοµαστές και πιο συγκεκριµένα στο µέγεθος των κλασµατικών µονάδων: όσο µεγαλύτερος ο παρονοµαστής, τόσο µικρότερο το µέγεθος των κλασµατικών µονάδων. Για τη σύγκριση κλασµάτων µπορούν να χρησιµοποιηθούν και τα σηµεία αναφοράς. ηλαδή, αν τα κλάσµατα βρίσκονται κοντά στο 0, στο ½ ή στο 1. Αν ένα κλάσµα είναι κοντά στο 0 και ένα άλλο κοντά στο 1, τότε το πρώτο είναι µικρότερο από το δεύτερο. Αν ένα κλάσµα είναι µικρότερο από το ½ και ένα άλλο µεγαλύτερο από το ½, τότε το πρώτο είναι µικρότερο από το δεύτερο. Πιο απαιτητικές είναι οι περιπτώσεις στις οποίες δύο ετερώνυµα κλάσµατα είναι κοντά σε ένα σηµείο αναφοράς. Στις περιπτώσεις αυτές, η σύγκριση γίνεται µε βάση την απόσταση των κλασµάτων από το σηµείο αναφοράς, λαµβάνοντας υπόψη το µέγεθος των κλασµατικών µονάδων. Για παράδειγµα, το 7/8 είναι µικρότερο από το 9/10 γιατί το 1/8 είναι µεγαλύτερο από το 1/10 και εποµένως το 7/8 απέχει περισσότερο από το 1 σε σχέση µε το 9/10. ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Σύµφωνα µε τον Van de Walle (2001/2005) τα µοντέλα για την αναπαράσταση κλασµάτων χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες: τα µοντέλα περιοχής ή εµβαδού, τα µοντέλα µήκους ή µέτρησης και τα µοντέλα συνόλων. Στα µοντέλα περιοχής ή εµβαδού περιλαµβάνονται ορθογώνιες επιφάνειες, κυκλικοί δίσκοι, γεωπίνακες, διάστικτοι καµβάδες, ορθογώνιοι, pattern blocks, διπλωµένο χαρτί. Σε αυτά τα µοντέλα µια επιφάνεια αποτελεί τη µονάδα αναφοράς, η οποία διαιρείται σε ίσα µέρη. Μερικά παραδείγµατα µοντέλων περιοχής ή εµβαδού φαίνονται στα παρακάτω σχήµατα. 20