Ασκήσεις. Άσκηση 1. Να αποδειχτεί ότι οποιαδήποτε δυαδική συµβολοσειρά µήκους λ αποτελεί στιγµιότυπο από 2 λ διαφορετικά σχήµατα.



Σχετικά έγγραφα
62 η ΣΥΝΟΔΟΣ ΠΡΥΤΑΝΕΩΝ & ΠΡΟΕΔΡΩΝ Δ.Ε. ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΩΝ

Ενότητα 2. Γενικά Οργάνωση Ελέγχου (ΙΙ) Φύλλα Εργασίας Εκθέσεις Ελέγχων

ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ Τιµαριθµική 2012Γ

ΤΙΤΛΟΣ I ΕΥΡΩΠΑΪΚΑ ΣΧΟΛΕΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

Ελένη Σκούρτου Πανεπιστήµιο Αιγαίου. Από το σπίτι στο σχολείο: Οι οµιλητές και οι γλώσσες τους

ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ

ΤΟ ΣΥΝΤΑΓΜΑ ΤΟΥ Εξώφυλλο του Συντάγµατος του 1844 (Βιβλιοθήκη Βουλής των

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ

ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΙΑΚΟΣ ΠΟΛΕΜΟΣ

Έχοντας υπόψη: τη συνθήκη για την ίδρυση της Ευρωπαϊκής Κοινότητας, και ιδίως το άρθρο 175 παράγραφος 1, την πρόταση της Επιτροπής ( 1 ),

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Αξιολόγηση Προγράμματος Αλφαβητισμού στο Γυμνάσιο Τρίτο Έτος Αξιολόγησης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 13 Α' ΜΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΟΛΕΜΟ ΤΟΥ 1897 ΣΤΟ ΓΟΥΔΙ

ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΣΩΜΑ ΠΡΟΣΚΟΠΩΝ ΚΥΠΡΟΥ

ΣΤΗΝ ΤΡΟΙΖΗΝΙΑ ΑΠΟ ΑΓ.ΕΛΕΝΗ ΕΩΣ ΤΟΝ ΚΟΜΒΟ ΚΑΛΛΟΝΗΣ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΛΙΑ ΤΟΥ ΑΡΤΙΜΟΥ. ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ Τιμαριθμική 2012Α


ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΟΙ

Πολιτική Πρόταση για μια Προοδευτική Διέξοδο Από την Κρίση

ΙΣΤΟΡΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 30 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑΔΑ ΠΡΩΤΗ ÁÍÉÁ

ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 14 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÍÔÁÂÏÓ ÁÈÇÍÁ

Στις ερωτήσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Ο ΗΜΑΡΧΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ /ΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ & ΤΑΜΕΙΑΚΗΣ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΚΗΡΥΞΕΩΝ & ΗΜΟΠΡΑΣΙΩΝ

Δράση 1.2. Υλοτομία και προσδιορισμός ποσοτήτων υπολειμμάτων.

ΕΜΠΕΙΡΟΓΝΩΜΟΣΥΝΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΚΛΑΔΟΥ ΤΗΣ ΕΚΤΡΟΦΗΣ ΤΩΝ ΓΟΥΝΟΦΟΡΩΝ

ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ Η/Μ ΕΡΓΑΣΙΩΝ

35η ιδακτική Ενότητα ΕΝΟΧΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ( ΕΝΟΧΙΚΟ ΙΚΑΙΟ)

ΣΧΕΔΙΟ. ΝΟΜΟΣ. Δηµόσιες υπεραστικές οδικές µεταφορές επιβατών. Κεφ. Α - ΓΕΝΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ. Άρθρο 1 Σκοπός πεδίο εφαρµογής

ΤΟ ΝΕΟ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟ ΤΟΠΙΟ

ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΝΟΜΗ ΙΑΚΙΝΗΣΗ ΑΝΘΡΩΠΩΝ

Η ευσέβεια, η αξιοπιστία και η ακεραιότητα του Αγησιλάου (1 διδακτική ώρα)

Έκθεση Γυμνασίου. Η Ελλάδα στον κόσμο

Σηµειώσεις στις Εµπορικές Εταιρίες

ΤΜΗΜΑ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΗΜΟΤΙΚΩΝ αριθ. Πρωτ. Προκ: & ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΚΤΙΡΙΩΝ Κ.Α για το 2015

Επίσηµη Εφηµερίδα αριθ. C 372 της 09/12/1997 σ

Η Αγορά Ηλεκτρικής Ενέργειας στην Κύπρο έχει οργανωθεί σε τομείς που υπόκεινται στις ακόλουθες ρυθμίσεις:

Άρθρο 2 -Καταχώρηση και τήρηση στοιχείων σε ηλεκτρονική µορφή

ΙΕΘΝΗΣ ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 183 «για την αναθεώρηση της (αναθεωρηµένης) σύµβασης για την προστασία της µητρότητας,»

Κεφάλαιο Πέμπτο Εθνοπολιτισμική Ζωή και Εμπειρίες Ελληνικότητας των Ελληνοαυστραλών Εφήβων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ FREDERICK

«Πολιτιστικές διαδροµές στα µεταλλευτικά τοπία της Kύθνου»

ΣΥΛΛΟΓΙΚΗ ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. «Για τους όρους αµοιβής και εργασίας των εργαζοµένων στις ξενοδοχειακές επιχειρήσεις όλης της χώρας.»

Οι Αγώνες θα διεξαχθούν τόσο στο Σύγχρονο Θέατρο όσο και στο Αρχαίο

ΣΥΝΘΗΚΗ SCHENGEN (ΣΕΝΓΚΕΝ)

α. Ιδρύεται σύλλογος µε την επωνυµία Ενιαίος Σύλλογος ιδακτικού Προσωπικού

επείγοντος για την κατανοµή των βαρών της υποδοχής και προσωρινής διαµονής των µετακινουµένων ατόµων ( 6 ). Έχοντας υπόψη:

ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΥΠ.Ε.Π.Θ. / ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «ΚΟΙΝΩΝΙΑ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ»

ΒΙΟΛΟΓΙΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2005 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

5 η Ενότητα Κουλτούρα και στρατηγική

Ο ΠΡΟΕ ΡΟΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Εκδίδοµε τον ακόλουθο νόµο που ψήφισε η Βουλή:

Πρακτικό 6/2012 της συνεδρίασης της Επιτροπής Ποιότητας Ζωής, του Δήμου Λήμνου, της 4ης Μαΐου 2012.

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ (ΦΛΩΡΙΝΑ) ΤΜΗΜΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ


ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ

14.00 µ.µ µ.µ. ένα (1) άτοµα (προετοιµασία παρασκευή) π.µ π.µ. δύο (2) άτοµα (προετοιµασία παρασκευή)

Β) Ντάκουλας Κωνσταντίνος Παππάς Βασίλης Πάσχος Αλέξανδρος Τσούκος Ηρακλής. Γ) Γείτονα Ανθή Πάτση Συμέλα Σκινήτης Φίλιππος Χασκή Βασιλική

ΠΟΛΙΤΙΚΉ ΠΑΙΔΕΙΑ. Α Γενικού Λυκείου και ΕΠΑ.Λ. Καζάκου Γεωργία, ΠΕ09 Οικονομολόγος

Επίσηµη Εφηµερίδα αριθ. L335 της 19/12/2001 σ ΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΝΩΣΗΣ,

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ 1/2005. ΘΕΜΑ: Κοινοποίηση των διατάξεων του άρθρου 9 Ν. 3302/04 (ΦΕΚ 267 τ.α ) περί ρύθµισης οφειλών του Ι.Κ.Α Ε.Τ.Α.Μ.

«Φιλολογικό» Φροντιστήριο Επαναληπτικό διαγώνισμα στη Νεοελληνική Γλώσσα. Ενδεικτικές απαντήσεις. Περιθωριοποίηση μαθητών από μαθητές!

ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΥΠΟΥ. Η ολοκληρωμένη προσέγγιση θα εφαρμοστεί με τα παρακάτω Εργαλεία

ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ» Ποσοστό στη.. του Μέτρου. Ποσό (σε ΕΥΡΩ)

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΕΘΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ

ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ

Η ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΗΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΜΕΤΑ ΤΟΝ Β ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΟΛΕΜΟ ΚΑΙ Η ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΣΤΟ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ

4 ο ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΜΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΡΙΣΗΣ ΕΚΘΕΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΕ ΘΕΜΑ. Ε ιµέλεια Εργασίας :Τµήµα Α4

Αυτός που δεν μπορεί να δει τα μικρά πράγματα είναι τυφλός και για τα μεγαλύτερα. (Κομφούκιος, πχ)

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΙΑΚΗΡΥΞΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΜΕΙΟ ΟΤΙΚΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΕΚΤΥΠΩΣΕΙΣ-ΕΚ ΟΣΕΙΣ ΕΤΟΥΣ 2011

Απομόνωση χλωροφύλλης

ΙΙ, 3-4. Α. Ερωτήσεις ανοικτού τύπου ή ελεύθερης ανάπτυξης

/ Απαντήσεις πανελληνίων εξετάσεων Επαγγελματικών λυκείων (ΕΠΑΛ) 2009


ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ

Περίληψη Εκδήλωσης. I. Ποια είναι η σχέση της έννοιας της λογοδοσίας µε την Ανοιχτή Κοινωνία;

Σκέψεις Εντυπώσεις Απορίες Απόψεις. Β) Παρακολουθούµε ή µετέχουµε στη λατρεία ;

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 25 ΜΑΪΟΥ 2015 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΡΧΑΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΑΠΟΤΙΜΩΜΕΝΩΝ ΜΕ ΚΑΤ ΑΠΟΚΟΠΗ ΤΙΜΗΜΑΤΑ

Περιεχόμενα !"#$%&%'(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( )!

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ

ΤΕΥΧΟΣ ΠΡΟΚΗΡΥΞΗΣ αριθμ /605/ ΔΗΜΟΣΙΟΥ ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΚΗΡΥΞΗ ΑΝΑΔΟΧΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ

ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟ ΤΟΥ ΕΞΩΡΑΪΣΤΙΚΟΥ ΣΥΛΛΟΓΟΥ «Η ΑΝΕΜΟΕΣΣΑ»

ΧΡΗΜΑΤΙΚΗ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗ (932 ΑΚ). ΑΝΑΙΡΕΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ

Ο ΙΑΜΑΤΙΚΟΣ ΤΟΥΡΙΣΜΟΣ & Η ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΣΑΝΤΟΡΙΝΗΣ

«ΑΝΩ ΛΙΟΣΙΑ: ΤΟΠΙΚΗ ΙΣΤΟΡΙΑ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ, ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ, ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ»

Η εξέλιξη της επιστηµονικής σκέψης και του πειραµατισµού στην Ελληνιστική

ΣΥΝΤΟΝΙΣΤΕΣ ΟΜΑΔΑΣ PROJECT ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ: ΟΜΑΔΑ PROJECT ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ:

ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ Ι ΑΚΤΟΡΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ

ΕΘΝΙΚΗ ΣΥΝΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΜΗΤΡΟΠΟΛΕΩΣ 42, ΑΘΗΝΑ ΙΝΕΜΥ - ΕΣΕΕ

& ../../ , :.. : FAX :... & :...

ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ «ΥΓΡΟΜΟΝΩΣΕΙΣ ΕΡΓΟ:

ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΗΜΟΣΙΑΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ ΚΡΑΤΟΥΣ (ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΙΚΟ ΙΚΑΙΟ)

Επαρχιακός Γραμματέας Λ/κας-Αμ/στου ΠΟΑ Αγροτικής

Αναλυτικό Πρόγραµµα Σπουδών του Μαθήµατος. Α Τάξη 1 ου Κύκλου Τ.Ε.Ε. 3 ώρες /εβδοµάδα. Αθήνα, Απρίλιος 2001

Oδηγία 94/33/ΕΚ του Συµβουλίου της 22ας Ιουνίου 1994 για την προστασία των νέων κατά την εργασία

ΣΧΕΔΙΟ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΓΟΝΕΩΝ & ΚΗΔΕΜΟΝΩΝ ΕΠΙ ΤΟΥ ΠΡΟΣΧΕΔΙΟΥ ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΟΥ 1 ου ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΡΚΟΠΟΥΛΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΗ

Transcript:

Ασκήσεις Άσκηση 1 Να αποδειχτεί ότι οποιαδήποτε δυαδική συµβολοσειρά µήκους λ αποτελεί στιγµιότυπο από 2 λ διαφορετικά σχήµατα. 1

1 η Λύση Έστω η δυαδική συµβολοσειρά: α λ α λ-1 α λ-2...α 2 α 1 Οι διαφορετικοί τρόποι που υπάρχουν να αντικαταστήσουµε r απόταλγονίδιατηςµε αδιάφορα είναι: λ r χωρίς να λαµβάνουµευπόψηµας τη σειρά Παράδειγµα: Αν λ=5 και r=2 τότε η συµβολοσειρά (10110) είναι στιγµιότυπο των σχηµάτων: (**110), (*0*10), (*01*0), (*011*), (1**10), λ 5 = = 10 (1*1*0), (1*11*), (10**0), (10*1*), (101**) r 2 1 η Λύση Για κάθε r = 0,1,2,3,...,λυπάρχουν διαφορετικά σχήµατα Εποµένως το συνολικό πλήθος των διαφορετικών σχηµάτων είναι: λ r λ r= 0 λ r Σύµφωνα µετοδιωνύµου του Newton είναι: n n r n x = (1 + x) r= 0 r Για n=λκαιx=1 προκύπτει: λ r= 0 λ = 2 r λ 2

2 η Λύση Κάθε θέση της συµβολοσειράς µπορεί να πάρει δύο τιµές, είτε την πραγµατική της τιµήείτετοαδιάφορο σύµβολο Επειδή η συµβολοσειρά έχει µήκος λ προκύπτει ότι είναι στιγµιότυπο 2 λ σχηµάτων Άσκηση 2 Έστω ότι θέλετε να υλοποιήσετε ένα Γ.Α., ο οποίος από ένα πληθυσµό 100 ατόµων θαξεχωρίζειεκείνοτοχρωµόσωµα (µήκους 100), το οποίο περιέχει τους περισσότερους άσους. Ποια αντικειµενική συνάρτηση θα χρησιµοποιήσετε; 99 eval( x) = bi 0 3

Άσκηση 3 Έστω ότι θέλουµε να ελαχιστοποιήσουµε τη συνάρτηση f(x)=-x 2 +5x+3 όπου το x ανήκει στο διάστηµα [0, 63]. Πόσα δυαδικά ψηφία θα χρειαστούν για να κωδικοποιηθούν όλες οι πιθανές ακέραιες τιµές του x στο διάστηµα 0 έως 63; 6 δυαδικά ψηφία Άσκηση 4 Να ορίσετε την αντικειµενική συνάρτηση f της δυαδικής συµβολοσειράς x, µε µήκος λ = 4, έτσι ώστε να ισούται µε τον ακέραιο που αναπαριστάται από το δυαδικό αριθµό x, π.χ. f ( ), f( ) 0011 = 3 1111 = 15 Ποια είναι η µέση απόδοση του σχήµατος: 1 4

Λύση Ηαντικειµενική συνάρτηση f έχει την παρακάτω µορφή: f= b 0 2 0 + b 1 2 1 + b 2 2 2 + b 3 2 3, b i = 0 ή 1 Η µέση απόδοση ενός σχήµατος S στο οποίο ταιριάζουν p δυαδικές συµβολοσειρές του τρέχοντος πληθυσµού δίνεται από τον παρακάτω τύπο: F(S) = j= 1 όπου eval(v j ) είναι η απόδοση της δυαδικής συµβολοσειράς v j p eval(v ) / p j Λύση Στο σχήµα 1*** ταιριάζουν οι παρακάτω συµβολοσειρές: 1000 eval(1000) = 8 1001 eval(1001) = 9 1010 eval(1010) = 10 1011 eval(1011) = 11 1100 eval(1100) = 12 1101 eval(1101) = 13 1110 eval(1110) = 14 1111 eval(1111) = 15 Εποµένως η µέση απόδοση είναι ( S ) = (8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15) / 8 11. 5 F 1 = 5

Άσκηση 5 Έστω ότι µια αντικειµενική συνάρτηση έχει την παρακάτω µορφή: fx= ( ) 2, x 111 1, x 0 0, αλλου Ποια είναι η µέση απόδοση των σχηµάτων: 1 11 11 Λύση Η µέση απόδοση ενός σχήµατος S στο οποίο ταιριάζουν p δυαδικές συµβολοσειρές δίνεται από τον τύπο: p F( S) = eval ( v j )/ p j= 1 Στο σχήµα 1 ταιριάζουν τα σχήµατα: 100 101 110 111 Εποµένως η µέση απόδοση του εάν ο αριθµός τωναστερίσκωνισούταιµε n, είναι: ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) n F S1 = eval 100 + eval 101 + eval 110 + eval 111 / 4 2 n n n n n ( ) ( 0 2 0 2 0 2 2 2 )/ 4 2 FS ( ) FS1 = + + + 1 = 1 2 6

Λύση Στο σχήµα 11 ταιριάζουν τα σχήµατα: 110 111 Εποµένως η µέση απόδοση του σχήµατος είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) n F S2 = eval 110 + eval 111 / 2 2 ( ) ( ) n n n FS2 = 0 2 + 2 2 / 2 2 = 1 Λύση 11 Στο σχήµα ταιριάζουν τα σχήµατα: 101 111 Εποµένως η µέση απόδοση του σχήµατος είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) n F S3 = eval 101 + eval 111 / 2 2 ( ) ( ) n n n FS3 = 0 2 + 2 2 / 2 2 = 1 7

Άσκηση 6 Έξι συµβολοσειρές έχουν τις ακόλουθες τιµές της αντικειµενικής συνάρτησης: 5, 10, 15, 25, 50, 100. Κάνοντας χρήση της εξαναγκασµένης ρουλέτας, να υπολογίσετε τον αναµενόµενο αριθµόαντιγράφωνκάθε συµβολοσειράς στο νέο πληθυσµό, αν σε κάθε γενιά διατηρείται ένας σταθερός πληθυσµός µεγέθους n=6. Λύση Η συνολική απόδοση της τρέχουσας γενιάς είναι: F(n)=5+10+15+25+50+100=205 Άρα η πιθανότητα επιλογής κάθε ατόµου για την επόµενη γενιά είναι: p(1)=5/205=0.024 p(2)=10/205=0.048 p(3)=15/205=0.073 p(4)=25/205=0.121 p(5)=50/205=0.243 p(6)=100/205=0.487 c(1)=0 c(2)=0 c(3)=0 c(4)=1 c(5)=2 c(6)=3 8

Άσκηση 7 Θεωρήστε τις δυαδικές συµβολοσειρές: A 1 = 11101111 A 2 = 00010100 A 3 = 01000011 και τα σχήµατα: H 1 = 1 H 2 = 0 H 3 = 11 H 4 = 000 H 5 = 1 1 H 6 = 1110 1 α) Ποιες συµβολοσειρές ταιριάζουν σε κάθε σχήµα; β) Βρείτε την τάξη και το καθορισµένο µήκος κάθε σχήµατος. γ) Υπολογίστε την πιθανότητα επιβίωσης κάθε σχήµατος, όταν υποβάλλεται σε µετάλλαξη και η πιθανότητα µιας απλής µετάλλαξης είναι p m =0,001. δ) Υπολογίστε την πιθανότητα επιβίωσης κάθε σχήµατος, όταν υποβάλλεται σε διασταύρωση και η πιθανότητα διασταύρωσης είναι p c =0,85. Λύση A 1 = 11101111 A 2 = 00010100 A 3 = 01000011 H 1 = 1 H 2 = 0 H 3 = 11 H 4 = 000 H 5 = 1 1 H 6 = 1110 1 α) ΗΑ 1 ανήκει στα Η 1, Η 3, Η 5 και Η 6 ΗΑ 2 ανήκει στο σχήµαη 2 ΗΑ 3 ανήκει στα Η 2 και Η 3 β) ο(η 1 )=1 δ(η 1 )=1-1=0 ο(η 2 )=1 δ(η 2 )=1-1=0 ο(η 3 )=2 δ(η 3 )=8-7=1 ο(η 4 )=3 δ(η 4 )=7-4=3 ο(η 5 )=2 δ(η 5 )=7-1=6 ο(η 6 )=5 δ(η 6 )=7-1=6 9

Λύση A 1 = 11101111 A 2 = 00010100 A 3 = 01000011 H 1 = 1 H 2 = 0 H 3 = 11 H 4 = 000 H 5 = 1 1 H 6 = 1110 1 γ) Η πιθανότητα επιβίωσης ενός σχήµατος S όταν υποβάλλεται σε µετάλλαξη µεπιθανότητα µετάλλαξης p m ισούται µε: os ( ) ( 1 ) ( ) 1 ( ) p S = p o S p s m m Εποµένως: p s (H1)=1-1 0.001=0.999 p s (H2)=1-1 0.001=0.999 p s (H3)=1-2 0.001=0.998 p s (H4)=1-3 0.001=0.997 p s (H5)=1-2 0.001=0.998 p s (H6)=1-5 0.001=0.995 Λύση A 1 = 11101111 A 2 = 00010100 A 3 = 01000011 H 1 = 1 H 2 = 0 H 3 = 11 H 4 = 000 H 5 = 1 1 H 6 = 1110 1 Η πιθανότητα επιβίωσης ενός σχήµατος S όταν υποβάλλεται σε διασταύρωση µεπιθανότητα διασταύρωσης p c ισούται µε: δ( S) ps( S) 1 pc m 1 Εποµένως p s (H 1 )=1-0.85 0/7=1 p s (H 2 )=1-0.85 0/7=1 p s (H 3 )=1-0.85 1/7=0.878571 p s (H 4 )=1-0.85 3/7=0.635714 p s (H 5 )=1-0.85 6/7=0.271429 p s (H 6 )=1-0.85 6/7=0.271429 10

Άσκηση 8 Ένας πληθυσµός περιλαµβάνει στη γενιά 0 τις δυαδικές συµβολοσειρές και τις αντίστοιχες αποδόσεις τους: Ηπιθανότηταµετάλλαξης είναι p m =0.01 και η πιθανότητα διασταύρωσης είναι p c =1.0. α) Υπολογίστε τον αναµενόµενο αριθµόσχηµάτων της µορφής S 1 =(1****) που θα υπάρχουν στη γενιά 1. β) Υπολογίστε τον αναµενόµενο αριθµόσχηµάτων της µορφής S 2 =(0**1*) που θα υπάρχουν στη γενιά 1. Λύση S1=(1****) S2=(0**1*) Η εξίσωση που δίνει τον αναµενόµενο, στην επόµενη γενιά, αριθµόδυαδικών συµβολοσειρών που ανήκουν σε ένα σχήµα ισούται µε: δ ( S) ξ ( S, t 1) ξ ( S, t) eval( S, t) / F( t) 1 pc o( S) m 1 Εποµένως έχουµε: δ(s 1 )=1-1=0 o(s 1 )=1 δ(s 2 )=4-1=3 o(s 2 )=2 = 0 4 = eval v i / 4 = 20 + 10 + 5 + 15 / 4 = 12. 5 i= 1 ( ) ( ) ( ) F t ( t ) ( ) (, t ) ( )/ eval S1, = 0 = 20+ 10 / 2= 15 eval S2 = 0 = 5+ 15 2= 10 ( ) p + m 11

Λύση ξ ( St, + 1) ξ( St, ) eval(s, t)/ Ft ( ) ηλαδή έχουµε: α) ξ( S1 t 1) 2 15 12 5 1 1 0, = = 1 0. 01 = 2. 376. 4 β) ξ( S2 t 1) 2 10 12 5 1 1 3, = = 2 0. 01 = 0. 368. 4 Θα υπάρχουν είτε τρεις συµβολοσειρές απότοσχήµα S 1 και µία συµβολοσειρά απότοσχήµα S 2 είτε τέσσερις συµβολοσειρές από το σχήµα S1 και καµία συµβολοσειρά από το σχήµα S2. Άσκηση 9 Θεωρείστε ότι ένα σχήµα Η όταν υπάρχει σε µια συγκεκριµένη δυαδική συµβολοσειρά την κάνει να εµφανίζει απόδοση 25% µεγαλύτερη από τη µέση απόδοση του τρέχοντος πληθυσµού. Εάν οι πιθανότητες καταστροφής λόγω διασταύρωσης και µετάλλαξης για το παραπάνω σχήµαείναιαµελητέες, καθορίστε σε ποια γενιά θα επικρατήσει σε ένα πληθυσµό µεγέθους n = 20, 50, 100 και 200, όταν ένας και µόνο ένας εκπρόσωπος του σχήµατος αυτού περιέχεται στον πληθυσµόκατάτηγενιά0. 12

Λύση Οαριθµός των συµβολοσειρών ενός σχήµατος Η που επιλέγονται για την επόµενη γενιά δίνεται από τον τύπο: ξ ( Ht, + 1) = ξ( Ht, ) evalht (, ) / Ft ( ) Έχουµε: ξ( H,0) = 1 ξ ξ ξ ( t ) 1. 25 eval ( H, t ) / F = ( H ) ξ( H ) ( H ) ξ( H ), 1 =, 0 1. 25 = 1. 25, 2 =, 1 125. = 125. ( H ) ξ( H ), 3 =, 2 125. = 125. 3 Λύση Το σχήµα Η θα επικρατήσει σε κάποιον πληθυσµόότανοισυµβολοσειρές που ανήκουν σ αυτό αποτελούν τουλάχιστον το 50% του πληθυσµού αυτού. Εποµένως για n=20 έχουµε: x 125. 10 x 11 Για n=50 έχουµε: x 125. 25 x 15 Για n=100 έχουµε: x 125. 50 x 18 Για n=200 έχουµε: x 125. 100 x 21 13

Άσκηση 10 Θεωρήστε ένα πρόβληµαπουείναι κωδικοποιηµένοωςέναςχωρίςπρόσηµο δυαδικός ακέραιος µεταξύ του 0 και του 127 (µεβάσητο10), όπου: 0000000 2 =0 10, 1000000 2 =64 10 & 1111111 2 =127 10 Υπολογίστε τους ακεραίους του διαστήµατος τιµών που καλύπτονται από καθένα από τα παρακάτω σχήµατα: 1 0 111111 10 01 Λύση Το σχήµα 1****** περιέχει τους ακέραιους από 1000000 2 =064 10 έως 1111111 2 =127 10 Το σχήµα ******0 περιέχει τους ακέραιους από 0000000 2 =000 10 έως 1111110 2 =126 10 ανά 2 Το σχήµα 111111* περιέχει τους ακέραιους από 1111110 2 =126 10 έως 1111111 2 =127 10 Το σχήµα 10***** περιέχει τους ακέραιους από 1000000 2 =064 10 έως 1011111 2 =095 10 Το σχήµα *****01 περιέχει τους ακέραιους από 0000001 2 =001 10 έως 1111101 2 =125 10 ανά 4 14

Άσκηση 11 ίνεται ο εξής πληθυσµός συµβολοσειρών τη γενιά 0: 11010, 01011, 11001, 10111 και η εξής αντικειµενική συνάρτηση: 4 b + 1 (1 ( 1) i ) F = i= 0 2 όπου το b i είναι το i-οστό δυαδικό ψηφίο (το πρώτο δυαδικό ψηφίο έχει δείκτη i=0). Επίσης δίνεται η παρακάτω λίστα τυχαίων αριθµών που έχει παραχθεί µεχρήσηµιας γεννήτρια τυχαίων αριθµών: 0.25, 0.73, 0.15, 0.52, 0.81, 0.65 Άσκηση 11 (συνέχεια) Θεωρήστε ότι: 1. ΟΓ.Α. χρησιµοποιεί τελεστή επιλογής που βασίζεται στην απόδοση της αντικειµενικής συνάρτησης κάθε ατόµου (κάθε άτοµο επιλέγεται ανάλογα µετην απόδοσή του) και πλήρη αντικατάσταση των ατόµων κάθε γενιάς (κανένας γονέας δεναντιγράφεταιστηνεπόµενη γενιά). 2. Πιθανότητα µετάλλαξης ίση µε 0. 15

Άσκηση 11 (συνέχεια) 3. Η επιλογή των ατόµων που θα συµµετέχουν στη διασταύρωση γίνεται µεβάσητοντελεστή επιλογής και τους τυχαίους αριθµούς που προέκυψαν από τη γεννήτρια τυχαίων αριθµών. Ο τελεστής διασταύρωσης είναι µονού σηµείου µε πιθανότητα διασταύρωσης 1.0, µετοσηµείο διασταύρωσης να επιλέγεται τυχαία ανάµεσα στα τέσσερα πιθανά σηµεία διασταύρωσης κάθε συµβολοσειράς. Με βάση κάποιο τυχαίο αριθµό τα σηµεία διασταύρωσης θα επιλέγονται από τα αριστερά προς τα δεξιά µε ίδια πιθανότητα και γιατατέσσεραπιθανάσηµεία (0.25 για κάθε πιθανή θέση). ηλαδή εάν ο τυχαίος αριθµός είναι ο 0.45 το σηµείο διασταύρωσης θα είναι ανάµεσα στο δυαδικό ψηφίο 1 και το δυαδικό ψηφίο 2 (το πιο αριστερό ψηφίο έχει αριθµό 0). Άσκηση 11 (συνέχεια) 4. Και τα δύο παιδιά που προκύπτουν από µία διασταύρωση προστίθενται στον πληθυσµότης επόµενης γενιάς, εποµένως µόνο δύο διασταυρώσεις χρειάζονται γιαναδηµιουργηθεί ο πληθυσµός της γενιάς 1 από τον πληθυσµότης γενιάς 0. 16

Άσκηση 11 (συνέχεια) Να υπολογίσετε τα ακόλουθα: 1. Την απόδοση της αντικειµενικής συνάρτησης για κάθε άτοµο του πληθυσµού στη γενιά 0. 2. Την µέση απόδοση του πληθυσµού στη γενιά 0. 3. Τη ρουλέτα που χρησιµοποιείτε για την επιλογή των ατόµων από τη γενιά 0. Να φαίνεται καθαρά το ποσοστό που αντιστοιχεί σε κάθε άτοµοτου αρχικού πληθυσµού. 4. Τον πληθυσµότωνατόµων στη γενιά 1. 5. Τον αριθµότωνατόµων του πληθυσµού που ανήκουν στα σχήµατα 1***1 και **01* στην γενιά 0 και στη γενιά 1. 6. Τη µέση απόδοση των παραπάνω σχηµάτων στη γενιά 0 και στη γενιά 1. 1. Την απόδοση της αντικειµενικής συνάρτησης για κάθε άτοµοτουπληθυσµού στη γενιά 0. Ηγενιά0 αποτελείται από τα χρωµοσώµατα: v 1 =11011, v 2 =01011, v 3 =11001, v 4 =10111. Η απόδοση για κάθε ένα από τα άτοµατηςγενιάς0 είναι: eval(v 1 )=2 eval(v 2 )=1 eval(v 3 )=3 eval(v 4 )=4 F = 4 i= 0 (1 ( 1) 2 b i + 1 ) 17

2. Την µέση απόδοση του πληθυσµού στη γενιά 0. Η συνολική απόδοση του πληθυσµού είναι: F(0)=2+1+3+4=10 Η µέση απόδοση του πληθυσµού στη γενιά 0 είναι: F ( 0) = (2 + 1+ 3+ 4) / 4 = 2,5 3. Τη ρουλέτα που χρησιµοποιείτε για την επιλογή των ατόµων από τη γενιά 0. Να φαίνεται καθαρά το ποσοστό που αντιστοιχεί σε κάθε άτοµοτουαρχικούπληθυσµού. Ηπιθανότηταεπιλογήςκάθεατόµου είναι: eval(v1)=0,2 eval(v2)=0,1 eval(v3)=0,3 eval(v4)=0,4 Εποµένως, η ρουλέτα που χρησιµοποιείται για την επιλογή τους είναι: 18

0.25, 0.73, 0.15, 0.52, 0.81, 0.65 11010, 01011, 11001, 10111 4. Τον πληθυσµότωνατόµων στη γενιά 1. Η συσσωρευµένη πιθανότητα για κάθε άτοµοείναι: Ο πρώτος τυχαίος αριθµός είναι ο 0.25, εποµένως το πρώτο άτοµοείναιτοv2.οεπόµενος τυχαίος αριθµός είναι ο 0.73, άρα επιλέγεται το v4. Ο τρίτος τυχαίος αριθµός είναι ο 0.15 εποµένως έχουµε διασταύρωση µονού σηµείου των v2 και v4 µετά το δυαδικό σηµείο 0, δηλαδή: Στη συνέχεια επιλέγεται το v3 αφού ο επόµενος αριθµός είναι ο 0.52. Τέλος, επιλέγεται το v4 αφού ο πέµπτος αριθµός είναι ο 0.81. Ο τελευταίος τυχαίος αριθµός είναι ο 0.65 εποµένως έχουµε διασταύρωση µονού σηµείου των v3 και v4 µετά το δυαδικό σηµείο 3, δηλαδή: 5. Τον αριθµότωνατόµων του πληθυσµού που ανήκουν στα σχήµατα 1***1 και **01* στην γενιά 0 και στη γενιά 1. Στο σχήµα 1***1 ανήκουν οι συµβολοσειρές: Γενιά 0: 11011, 11001, 10111. Γενιά 1: 11011, 11011, 10101. Στο σχήµα **01* ανήκουν οι συµβολοσειρές: Γενιά 0: 11011, 01011. Γενιά 1: 11011, 11011. 19

6. Τη µέση απόδοση των παραπάνω σχηµάτων στη γενιά 0 και στη γενιά 1. 20